（应用数学专业论文）圆周上markov映射的逆极限空间.pdf

华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人蠢奎受向本学位论文答辩委员会提交 题为互搓乳乙丝敬b l 鲤酒列堕墼塑虹蛐硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 薹：? 隧签名 委员： 翔出 论文指导老师( 签名) ： 沁鲫声年6 月f 日 摘要 o 介绍研究逆极限空间的意义，介绍对线段和图上m a r k o v 映射的逆极 限空间研究的既有结果以及本文研究所得的主要结论1 作为预备知识介 绍连续统理论中关于逆极限空间的基本结论2 利用提升引理在圆周上定 义了m a r k o v 映射；特别考虑了把相邻分点之间的弧段映满圆周并环绕圆周 若干次的m a r k o v 映射；给出了一类关于同定分点的m a r k o v 映射列的重要 定理3 证明了圆周上两个关于两组固定分点的m a r k o v 映射列在相同下标 的两个约束映射总是关于两组分点的固定次序m a r k o v 同型的条件下生成 同胚的逆极限空间；特别考虑了约束映射具有无穷个水半区间的隋形；并把 相应结论推广到线段上m a r k o v 映射的逆极限空间 关键词：圆周；m a r k o v 映射；逆极限；同胚；连续统 a b s t r a c t i n ow ei n t r o d u c et h es i g n i f i c a n c eo fi n v e r s el i m i ts p a c e sr e s e a * c h ，s o m e k n o w nr e s u l t so ni n v e r s el i m i ts p a c e so ni n t e r v a l so rg r a p h sa n dt h em a i n r e s u l t so fo u rr e s e a r c h i n 1w ei n t r o d u c ea sp r e p a r a t i v ek n o w l e d g et h e b a s i cc o n t i n u u m t h e o r yo fi n v e r s el i m i ts p a c e s i n 2w e d e f i n em a r k o vm a p s o ns 1t h r o u 曲l i f t so nrw h i l et h em a r k o vm a p sw h i c ht a k ea na r cb e t w e e n t w oa d j a c e n tp a r t i t i o np o i n t so n t ot h ec i r c l ea n dm a k ei ts u r r o u n dt h ec i r c l e s e v e r a lt i m e sa x et a k e ni n t o s p e c i a lc o n s i d e r w ea l s og i v e a ni m p o r t a n t t h e o r e mo nak i n do fi n v e r s es e q u e n c e so fm a r k o vm a p so nt h ec i r c l ew i t h r e s p e c tt oaf i x e dp a r t i t i o n i n 3w ep r o v et h a tt w os e q u e n c e so fm a r k o v m a p s o nt h ec i r c l eg e n e r a t e dh o m e o m o r p h i ci n v e r s el i m i ts p a c e si fe a c hp a i r o ft h eb o u n d i n gm a p sw i t ht h es a m es u b s c r i p ta r eo ft h es a m em a r k o vt y p e w i t hr e s p e c tt oaf i x e da r r a n g e m e n to ft h et w op a r t i t i o n s h e r ew ea l l o w t h eb o u n d i n g m a p st oh a v ei n f i n i t e l ym a n y h o r i z o n t mi n t e r v a l s t h er e l a t i v e c o n c l u s i o n sa r ee x t e n d e dt ot h ei n v e r s el i m i ts p a c e so fi n t e r v a lm a r k o vm a p s k e yw o r d s ：c i r c l e ；m a r k o vm a p s ；i n v e r s el i n f i ts p a c e s ；h o n l e o m o r p h i s m ；c o n t i n u a 3 0引言 连续统是一般拓扑学的主要研究领域之一，而逆极限是生成连续统的重要 手段早在上世纪6 0 年代，人们发现映射的动力学性质与特定逆极限空间的 拓扑结构有密切的联系，从而诱发了对动力系统与逆极限理论相互关系的 深入研究，并得出了丰富的成果 w i l l i a m s ( 1 9 6 7 ) f 1 3 指出，在定条件下流形上的微分同胚f 在其吸 引子a 上的限制拓扑共轭于某个有限图g 上逐段单调映射，所产生的逆 极限空间上的转移映射，m b a r g e 和jm a r t i n ( 1 9 9 0 1f 2 指出，对于有限 图g 上的每一个映射 存在爬3 上的同胚，使得f 在其吸引子上的限制 与逆极限空间l i m ( g ，f ) 上的转移映射，共轭 逆极限空间研究的主要课题体现在两个方面：一是研究约束映射与逆 极限空间的关系，二是研究并刻画逆极限空间的结构mb a r g e 和r r o e ( 1 9 9 0 ) f 3 证明了圆周映射，混沌蕴涵( ，) 有不可分子连续统m b a r g e 和b d i a m o n d ( 1 9 9 4 ) 1 证明了逐段单调的图映射具有正的拓扑熵等价于 其诱导的逆极限具有不可分子连续统l b l o c k 和j k e e s l l n g ( 1 9 9 8 ) f 4 1 对 线段的逆极限空间( j ，) 上所有圊胚具有零熵的条件进行研究指出当， 为逐段单调映射且，周期点的周期之集有限时( ，) 上所有同胚具有零拓 扑熵叶向东( 1 9 9 8 ) f 1 4 讨论了线段上一列连续映射的动力学性质与其逆 极限的拓扑结构间的关系并证明：一个可链体的约束映射具有广义马蹄的 充要条件是此可链体含有不可分解子连续统吕杰，熊金城和叶向东( 2 0 0 0 ) f 9 1 证明对于图g 上逐段单调映射，及其逆极限空间( g ，) 而言，以下命题 都是等价的：( 1 ) ( g ，f ) 有不可分子连续统；( 2 ) ，具有正拓扑熵；( 3 ) ( g ，f ) 是s u s l i n e a n 连续统；( 4 ) ( g ，f ) 上所有同胚的拓扑熵为零；( 5 ) f 只有有限 个非平凡的极小集合；( 6 ) f 的回归点集上闭的；( 7 ) f 的每个u 一极限点是回 归点；( 8 ) f 的每个回归点具有有限轨道、这是关于逐段单调的零熵图映射 及其诱导的逆极限的比较全面的结论w t i n g r a m ( 2 0 0 2 ) 7 】对线段上单 一m a r k o v 映射诱导的逆极限空间进行了具体的刻画 较之刻画逆极限的结构更为基本的问题是鉴别两个逆极限空间是否同 胚事实上两个大不相同的映射可以生成同胚的逆极限空间在线段的逆 极限方面，w tw a t k i n g s ( 1 9 9 2 ) 1 2 1 证明线段上n 帐篷映射和m 一帐篷映 射诱导同胚的逆极限空间当且仅当 ，m 具有相同的素因子( 【1 2 还对相 4 关的逆极限空间进行了具体刻画) h o l t e ( 2 0 0 2 ) 6 】 止明了线段上由两列关 于固定分点的按下标m a r k o v 同型的m - m a r k o v 映射( 具有限个水平区间的 m a r k o v 映射) 列生成同胚的逆极限在图的逆极限方面，吕杰( 1 9 9 7 ) 8 1 指 出无周期点的图映射的逆极限空间同胚于圆周f 从而其上的同胚具有零拓 扑熵) r a i n e s ( 2 0 0 1 ) 【1 1 】指出有限图上转折点都具有有限轨道的逐段单调 映射所生成的逆极限在同胚的意义下决定于每个转折点的u 一极限集 本文证明了圆周上两列关于两组固定分点的m a r k o v 映射在它们相同下 标的两个映射总是关于两组分点的固定次序m a r k o v 同型的条件下产生同 胚的逆极限我们特别考虑了m a r k o v 映射把相邻分点之间的弧映满圆周 ( 并环绕圆周若干次) 或具有无穷个水平区间的情形而这两种情形在f 6 1 ， 1 1 1 中是不被允许的因此我们在圆周上推广了f 6 1 ，f 1 1 1 的结沦相关结论 完全适用用于线段的情形 5 1连续统与逆极限空间 本文中瓞，s 1 ，z ，n ，z + 分别表示实数集，单位圆周，整数集，非负整数集( 即 自然数集) 和正整数集合设，为一实数或实值函数，a c 豫我们把集合 ，+ ala e a 简记为，+ a 设x ，y 是两个拓扑空间用c ( x ) 表示x 上的连续映射空间，c ( x ，y ) 表示从x 到y 的连续映射空间 设x 为一非空集合，则i d x 表示x 上的恒同映射我们用p 表示从r 到 s 1 的投射2h ( c o s2 7 r a ：，s i n2 r r x ) 给定笛卡尔集n ax 我们用m 表示从 兀 ； x 到其第a 个坐标空间x 的自然投射设( ，b ) a 是一族拓扑空 间乘积空间兀 ； x 的拓扑是指以s = 颤1 ( 叭) i 巩是x 中的开集，a s a 为予基的拓扑 设x 是一个度量空间我们总用d 表示x 的度量设x c x ，0 a ，b c x ，定义d ( x ，a ) = d ( a ，x ) = i n f d ( x ，a ) 1a c a ，d ( a ：b ) = i n f d ( a ，b ) l a c a ，b c b 瓞上度量按通常定义；s 1 上度量定义为d ( x ，y ) = d ( p _ 1 ( ) ，p “( g ) ) n 。 os 1 上度量定义为d ( ( 盈) 晓o ，( y 1 ) i o ) = l o2 - i d ( x i ，玑) 定义1 0 所谓连续统，即指非空紧致连通的度量空间若一个连续统能 表示为它的两个真子连续统之并，则称这个连续统可分 所谓逆序列( 五，五+ 1 ) 。! o ，是指如下的系统 且一x l 且五五丛x 。盈 图1 0 其中各托为拓扑空间，称作坐标空间；各k c c ( x t ，五一1 ) ，称作约束映 射系统( x ， + i ) i o 的逆极限空间，记做l i m i ( x i ： + 1 ) ，是指乘积空间 兀； 。置的按如下定义的子空间 1 i m 。( x i ，n 1 ) = ) 幽墨l ( ) t 0 x ，v t 1 ) ，( 1 0 ) 定理1 1 ( 1 0 】) 一列连续统空间的逆极限空问仍是连续统 6 定义1 2 设e 0 称，：( x ，d ) 一y 为e 一映射，如果对任意x e x ， 4 ( f _ 1 ( ，扣) ) ) 0 存在从x 到于中某一空间k 的满的e 映射，则称x 是 类甲的 定理1 3 ( 【1 0 ) 每个连续统都是一列紧致连通多面体在满的约束映射 下的逆极限而且，设x 为一个连续统，于为一个由紧致连通多面体构成的 族，则x 能表示为于中的一列空间在满约束映射下的逆极限当且仅当x 是类于的 所以圆周上的一列连续满射的逆极限和类圈连续统也就是同一事物 7 2 圆周上的m a r k o v 映射与映射列 显然，用区间记号表示圆周s - 的连通真子集是方便的和时宜的设 a 6 s 1 ，5 e p 一1 ( 。) ，g e p 。( b ) ，a 5 a + 1 我们用h 嘲表示p ( 臣- 】) 类 似地定义 0 ，b ) ，( a ，6 和( a ，b ) 此外，本文中特别规定【a ，0 】= o ，( a ，a ) = s 1 一 o ) ，而对 a ，a ) 和( a ，翻不作定义设j 为s 1 的连通真子集( 即区间) ， z ，y e i 我们在，上规定“逆时针”的序( i ，) ：( ，茎) 当且仅当【x ，y c i 设。o ，。n l s 1 如果关系式a o ( i x o ，a 一1 】，s ) ( ，a n 1 ，) 。_ 一1 成立，我们将其简记为a o a 一- 定义2 0 设i c s l 非空连通，i e c ( 1 ，s 1 ) ，c p _ 1 ( j ) 连通并满足p ( i ) = j 称，g ( f 豫) 为，在，上的提升，如果，满足 ，。p i ，= p 。，( 2 0 ) 记l ( i ，) 为，在j - 上所有提升构成的集合 设，为豫上非空连通集合记 矿( f ，窿) = ，g ( f ，豫) 1 如果孟f ，( 吼) i 。c f ，孟一甄_ 丑 ( 2 1 1 贝4 ，( 牙) ，( 矾) + f z 、 7 众所周知，对任意i e c ( s 1 ) 存在，( r ) 使得l ( r ，f ) 一，+ z ( 张景 中，熊金城【1 6 】，定理2 5 3 给出该结论的一个证明) 以这个结论为基础我们 给出定理21 定理2 1 ( 提升引理) 设i c s l 非空连通， c p _ 1 ( ) 连通并满足p ( z ) = ， ( a ) 对任意i e c u ，s 1 ) ，0 l ( ，) cc + ( j ，r ) 如果f e l ( i ，) ，则 l ( i ，) = ，十z 且对任意i e l ( i + n ，) m z ) 存在m c z 使得，( z ) = ，缸n ) 十m 对所有。，+ n 成立 ( b ) 对任意尺c ( ，r ) 存在唯一，a ( ，s 1 ) 使得，上( ，) 证明( a ) ( i ) 设，= s 1 ，f e c ( i ，s 1 ) 由张景中，熊金城 1 6 ，定理2 5 3 ( i ) ，( i i ) ，存在f ( r ) 满足f o p = p o p 令，= 尹f f ，则，p ( ，r ) 且 f o p l rp 。 8 ( i i ) 设j = 【口，6 为s 1 的闭区间( 这时，是s 1 的真子集) ，c ( i ，s 1 ) 设f ( a ) = c ，( 6 ) = d 作连续映射9 ：( 6 ，n 】一s 1 使得9 ( 6 ) = d ，9 ( n ) = c 令f ：s 1 一s 1 ，f k q = ，f i b , q = g ，由粘结引理，f e ( 妒) 令p 9 ( r ) 满足f o p p 。户令，= 户 ，则，g + ( ，r ) 且o p l r = p o f ( i i i ) 设j = f o ，b ) 为s 1 的半开区间( 这时j 是s 1 的真子集且d ( i ) s 1 ) 取口= a o 口1 b ，a i _ 6 ；令西瓮a o 丘1 拒，满足 p ( a 。) = 啦，t 0 ，p ( b ) 一b 记 一，1 i 。，“+ 。】由( i i ) ，对t = 0 ，1 ，一， 存在孔c + ( a t ，a 】，r ) 满足 。p l l 籼，a 。1 = p 。 显然对任意z ， 五十( 陬，氓+ 1j ，r ) 并满足 叩旧，a 。1 = p o ( 五+ ) ，i 0 易见每 个五( 盈+ 1 ) 一五+ j ( a i + 1 ) c z ，故我们可以使选取的( 五) 。! o 满足五( a 州) = 五+ ，( 函+ 1 ) ，i20 ，令，：，一琏，j h ，面+ 。】= 五，i 0 易验证，连续，而 f o p l t = p o i 则由各五的定义保证因为5 a 十1 即d ( i ) 1 ，g + ( ，r ) 当然成立 ( i v ) 设i = ( n ，6 1 用类似于( i i i ) 的操作可得，伊( ，r ) 使o v l r = p o ， ( v ) 设i = ( o ，6 ) ，= ( i ，6 ) ，y c ( i ，s 1 ) 令a e 1 ，。廷( j ，r ) 取a 5 i + 1 ，令o = p ( a ) ，b = p ( 5 ) 令五= 凡瓦日，五= 确5 ，a + 1 】令，o ：k ，b 】一s 1 ，0 = v o 五o ( p l l 瓦日) 。； ：【b ，o 】，s 1 ， = p o 五o ( v l 5 ，a + 1 1 ) 一1 由五( a ) 一五( a + 1 ) z ，五( 5 ) = 五( 5 ) ， 可知，0 ( ) = f l ( a ) ，矗( 6 ) = ，1 ( b ) 故可作映射，：s 1 一s 1 使，q = ，0 ， ，“b 、。1 = 由于p k 日：瓯司一b ，6 l ，p 旧。+ q ：西，a + 1 j 一瞧o 】是同胚， 可知，0 ， 连续由粘结引理，连续，。p l ，a 。1 = p o ，“毛a + 1 】由，的定义 成立进而y o p l i = p o y 由斥( ，r ) 保证成立 9 ( i i ) 设d ( j ) 1 由p l ，：i p ( i ) 是同胚，只要令f = v o f o ( p l ) - 1 即有 f 6 c ( i ，s 1 ) ，f o p i = p o f ( i i i ) d ( i ) = 1 时，分三种情形说明 情形一：，为闭区间瓯a + 1 取e ( i ，i 十1 ) 令o = p ( a ) ，c = p ( e ) 由( i i ) ，存在，0 g ( 【n ，c 1 ，s 1 ) ，a e c ( c ，n 】，s 1 ) 满足f o o p l l a , 日= 妒扎面目， f l 。p e ，a + l 】= p 。f b ，a + 1 1 由，( i ) 一f ( a + 1 ) e z 易验证，0 ( o ) = ，1 ( o ) ；而 f o ( c ) = f l ( c ) 也显然成立故可令f ：s 1 一s 1 ，f l a ，d = f o ，fl 。，“= ，1 易 见f e c ( s 1 ) 且l o p e 1 1 = p o f 情形二：，为半开区间i + 1 ) 或( a 一1 ，司两种情形类似，我们就 i = 陋，i + 1 ) 说明这时，= p ( d = s 1 ，由于i e c ( a + 1 ) ，r ) 根据 g + ( 陋，a + 1 ) ，r ) 的定义，即见存在k e z 使l i b a + 1 ( i ) = ，( a ) + 这样 可以把，连续延拓到 a ，a + 1 】上得映射p e c ( a ，i + 1 】，r ) ，由情形一的 讨论，存在f e c ( s 1 ) 满足f 。p l i + 1 1 = v o p 则f o p l t m + 1 1 = p o f l a , a + 1 ) ，即 托l ( f f ) 情形三：，为开区间( a ，a + 1 ) 取5 j 令a = p ( a ) ，c = p ( d ) 由( i i ) ，存在 f o c c ( ( a ，c 】，s 1 ) ，1 g ( c ，o ) ，s 1 ) 满足f o o p l ( 乱日= p 。f l ( a , 目，f l o p l i 种+ 1 ) = p 。，i ，a + 1 ) 由南( c ) = ，1 ( c ) 可令，：s 1 一s 1 ，f l ( 。，d = f o ，f l t o ，。) = f 1 f e c ( i = p ( ( a ，a + 1 ) ) ，s 1 ) 且，。p i ( a ，a + 1 ) = p o f ( i v ) 满足f o p l i p o i 的，的唯一性显然 定义2 2 设i t s l 非空连通，区间i c r 满足p ( i ) = j ；i e c ( i ，s 1 ) ， i e l ( i ，) 如果，单调( 常值，递增，严格递增，递减或严格递减) ，则相应 地称，单调( 常值，递增，严格递增，递减或严格递减) 设i e c ( s 1 ) ，如果存在分划a = a o a n - 1 ) cs 1 使得，限制在 s 1 一a 的每个连通分支上单调，则称，是( 关于分划a 的) 逐段单调映射 如果f e c ( s 1 ) 是关于a = a o a _ 一1 的逐段单调映射且a ，一不变 即f ( a ) c a ，则称，是s 1 上( 关于a 的) m a r k o v 映射 设f ，9 e c ( s 1 ) 分别是关于a s 一 a 6 岛一1 ) ，a g = a 8 蝎一1 ) 的m a r k o v 映射取a 6 a ：r = a 6 + l ，醒 a 备= 都+ 1 使 得p ( ) = o ；m o d ，p ( a ；) = o ；m o d n ，0 j n 如果存在廷l ( a o ，a 翻，) ， l ( 嘲，a ，g ) ) 满足 ，( a ；) 一可+ k 甘j ( 霹) = 留+ k ( k e z ) ，0 j5 n ，( 2 2 ) 1 0 则称f ，g ( 关于( ( o ，弼) ，( 。毒一1 ，n 备。) ) ) m a r k o v 同型 由定理2 1 ，c ( i ，s 1 ) 中映射单调的概念及c ( s 1 ) 中的m a r k o v 映射 与m a r k o v 同型的概念定义确切( 不依赖于提升映射的不同选取) 两个 m a r k o v 映射同型，粗略地说，是指分点数相同，把对应分点变到对应分点， 把对应弧变为对应的分点，同向地变为对应弧或同向地环绕圆周相同罔数 定理2 3 1 5 】设，：x y 是连续的一一对应，其中x 紧致，y 是 h o u s d o r f f 空间，则f 是同胚 引理2 4 设i c s l 非空连通，f c ( f ，s 1 ) 那么 ( a ) ，单调递增当且仅当对任意满足f ( j ) s 1 的连通集s 1 j c i ，如 果口( 上) 6 ，则，( n ) ( ，( t ，) ，) ，( 6 ) ； ( b ) f 单调递减当且仅当对任意满足f ( j ) s 1 的连通集s 1 j c l ，如 果o ( j ，) b ，则，( o ) ( ，( j ) ，) ，( 6 ) 证明( a ) 设，单调增加，连通集j c l ( j s 1 ) 满足f ( j ) s 1 ， n ( 工) b 设j 为p - i ( j ) 的连通分支；了为p - 1 ( j ) 含于，的连通分支，a ，诞歹 满足p ( a ) = o ，p ( i ) = b 取 e l ( i ，) 由f o p b = v o i 有f 。p 1 3 = p o i b ， 进而f ( j ) = p ( ，( 了) ) 由n ( 上) 6 有i 5 由的递增性有穴a ) ，( 5 ) 由 ，( a ) ，( 5 ) c ，( j ) 得p ( ，( a ) ，( 5 ) ”c p ( ，( 刃) 即 ，( 。) ，( 6 ) c ，( i ，) ， ，( 。) ( ，( j ) ，) ，( 6 ) 反之，若，不是单调增加即，不是单调增加，取a ，b e i 一， a b f ( b ) ，d ( f ( 【i ，h i ) ) ) ，( 6 ) ( b ) 的证明与( a ) 类似 引理2 5 设f e c ( s 1 ) 为关于a = n o o c s n a ，纠不妨设a 8 0 s 1 b 取西知 写1 b ，( 而) 由f o p ( g j + ，) = f ( s j + - ) = z = ，( 町) = ，o p ( 弓) 以及 f 。vl t a ，a + 1 1 = p o f 知p ( f ( s j + 1 ) ) = p ( f ( s j ) ) = z 故f ( g j + 1 ) 一f ( i j ) e z 那么 ，( 弓+ ，) 一，( 弓) 1 于是对任意m e z + ，( 5 ) 一，( a ) ，( i m ) 一，( 郓) m 这与e c ( a ，a + 1 ，r ) 矛盾 定义2 6 设，= ( ，) 。! 。c c ( s 1 ) 是一列关于分划4 ，= n 5 1 时记 巧= 蟛，吒删m o d 】，0 j n 一1 设对所有的i 1 ，0 j n 一1 ， i ，或者是常值或者严格单调归纳地定义s 1 的一列分划( a f ) t ，。- 1 令 a 毫一1 = a ，a ，+ l = a y u b d ( 五- + 1 1 ( a j ) ) ，i m 一1 ( 2 3 ) 对每个a i 用蟛表示其基数由b l 理2 5 及归纳法易知每个z + 故( a j ) ，! 一l 是s 1 的分划列对每个i ，把a ! 的元素记作。5 = o 1 则记吃= 【a 毛，n “f 件1 ) 。d n i l ，0 j 州一1 ；记 j 导( ) ) 哟一l u ( j 0 ) ) 吲e 町一 ( 2 4 ) 固定a o q v 一1 ( n ) ；记a ，= i 1 1 a 5 a f ) = p - 1 ( 且记 可= i f ，a ，+ 1 l ，j z 对每个i ，记霉= a f 一1 i 知= a 5 a i l ) = p - 1 ( a f ) ；记碰，= ，a + ， ，j z 取a c l ( a 5 = a f 。，= a 品= a 6 + 1 】， ) ，i m 对所有i m ，0 墨j n 一1 ，把 1 ， 1 j ：f ：，p l 曩， 分别简记为 j ，k , j ，西，易见以下等式都是成立的 p ( 可) = 。，p ( 巧) = g 二。，j z ； ( 2 5 ) p ( a 毛) = n 。f 。o d q ，p ( 咒) = i f 。d 吖，i m l j j z 叩慨，a 翻2 p o y , ，i ” 1 2 ( 2 6 ) ( 27 ) 五j ，i 。pj 可2 p 。，l j 可，i m ，0 js n l f o p 5 一p 。矗3 ，i 2 m ，0 墨j 墨n 一1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 定理2 7 设，= ( ，i ) 创，9 = ( 9 i ) 叫c c ( s 1 ) 分别是关于分划a ，= 6 o 知一l ，a 9 一 o g n 曼，一1 ) 的m a , r k o v 映射列如果 ( i ) 对任意i 1 ， ，g i 关于( ( 口5 ，媚) ，( n j ：一，n ，) ) m a r k o v 同型， ( i i ) 对所有的i l ，0 j n 一1 ，f d 一，g i f 辟或者是常值或者严格单 调， j o 那么对所有i 1 ，以下叙述成立 ( a ) 埘= 埘垒v ；n i ，可锌a i g d e l ，0 j l l _ ( b ) ( n 乙) = 吐1 讳g i ( a 9 , ，) = 巴l 一0 j s m 一1 ( c ) ( j ! ) c j 1 ，一i ”k “i ) 一。”i - i ；s , j ( f f j ) = a ，) 甘g i , i ( ，玉) = o f ) ，( 吃) = 0 l j 幸争g l ，j ( 吧) = 单1 d0 墨js 腿一1 证明我们用归纳法证明定理2 7 在f ，g 中分别加入s 1 上的恒等映射如，9 0 ，得到的映射列仍记做f ，g 显然引理结论中各项记号的含义并不因加入了f o ，g o 而改变且 0 ) 慨) ：! o 满足 五( 巧) = - 讳虱( 霹) = 卵，i 0 ，0s j ( 2 1 1 ) 设( a ) ，( b ) ，( c ) 对某个i = k 0 成立 考虑j = v 玉。= 1 的情形这时n = 1 ，a ，+ 。= 。i ，暖1 0 = 玎= s 1 ， 扎o + 1 i = a + 1 如果 + t 是常值映射，则由题设( i i ) ，珊+ ，也是常 值映射， + - ( s 1 ) = 。i ，m + t ( s 1 ) = 。g 同时曙。= 1 ，雒+ ，= a g ) ， 1 3 嘿1 ，o = 蹭= s 1 ，g k “o = 珊+ 1 l j ! = 9 k + 1 ( a ) ，( b ) ，( c ) 对i 一+ 1 成立是 显然的 如果以+ 1 严格单调，则五+ 1 严格单调由州+ 1 = 1 易知d e g ( f k + 1 ) = 士1 _ 显然 + 1 是从伊到s 1 的同胚于是c a r d ( a ) = c a r d ( a + 1 ) = 1 ，即n = 1 由归纳假设，n z = 艇= n = 1 由m a r k o v 同型的定义易见两个同型 的m a r k o v 映射必具有相同的映射度于是d e g ( g k + 1 ) = d e g ( + 1 ) = 士1 再 由g k + l = 9 k + 1 1 眉严格单调，g k + l 是s 1 上同胚这样，0 1 = 蠼= = 1 ， a l + 1 = 媚) ，取1 ，o = 瑁= s 1 易验证( a ) ，( b ) ，( c ) 对+ 1 成立 以下设咄1 2 取0 j n 1 如果 + 。f ，是常值映射，则g k + 1 k 也是常值映射由 a + 1 与a + l 的定义知c a r d ( a + l n 巧) = c a r d ( a + 1 n 碍) = 2 如果k + l l , f 严格单调，则五+ ，i ，严格单调设五+ ，( f i j ，吼， ) = a f = a f ，。 o e l i m i ( 五，缸1 ) 对任意i 0 ，由= ，f 上1 ( z ) 及图3 0 中相应矩形可换我们得到( 鼢) = h i ( + l ( z ) ) = g i + l ( h ( z ) ) 于是 ( h i ( x i ) ) i o e ( y i ，g l + 1 ) h 把l i m i ( x i ， + 1 ) 映入l i m i ( k ，m 十1 ) 定义映射k ：l i m i ( y , ，g + 1 ) 一兀。，o 鼍，慨) 。 0 一( ( 霄1 ( 玑) ) ) 电。注意到 对任意 0 ，k 1 0 9 i + l = + 1 0 h 0 1 则由类似于上一步的讨论可知k 把 l i m i ( y ，g i + 1 ) 映入l i m t ( 墨，五+ 1 ) c ak o h = i d n m ，( x ，十1 ) ，h o k = i d n m ，( h m + 1 ) 知h 是1 - 1 映射 取n m k 的拓扑子基8 = 万1 ( k ) l 是m 中的开集，i o ) 任取 万1 ( k ) s 令巩= k 1 ( k ) 则u k 是x k 中的开集，p _ 1 ( 巩) 是n ，o 置中 的开集易验证 ( z i ) i o p i l ( u , o n l i m ( x i ， + 1 ) 车 ( ( 。) 。2 0 ) p ；1 ( v k ) n l i m ( y i ，9 件1 ) ( 3 1 ) 从而 。( p i l ( k ) n l i r a , ( y i ，g l + 1 ) ) = p _ 1 ( 仉) n l i r a , ( x t ，+ 1 ) 是l i m i ( x i ， + 1 ) 中的开集故h 连续 同理，k = h _ 1 连续这样h 是从l i r a 。( x ， + 1 ) 到l i m i ( ，g i + 1 ) 的同胚 定理3 1 设，= ( ) 训，g = ( 9 1 ) i l c c ( s 1 ) 分别是关于分划a s = o n 矗一1 ) ，a 9 = 媚 - 1 且存在d z ，n n l 使 得嗄。f = 时，o “。) 。0 d ，】， 扎，( 眩，j ) = ) 由定理2 7 ，臻。、，： f 2 婶，屹+ r j 。a j ，皿+ ，j ( 臻，。) = f 铝) 定义k + ：j ：砭= f s 1 使 得 州。2 i 晴。= h , 1 1 由于 f 严格增加，则h j 严格增加由q ， 几( f ) 2 节= 臻- 。，乜( ) = 醒因此扎，是从嗄。，到珥。，的递增同 胚且 乜。，l + 】j = 吼+ 1 0 乜+ l ，( 3 2 ) 其次设五扎，严格单调如果五扎j ( 瞄l j ) = 嵫酽，则由( 2 9 ) ， d ( + 1 j ( 西1 ，j ) ) 0 存在g g t 使得i | 一硎 e 那么存在一列映射 ( g l g t 崔钠使得l i m | ( s 1 ，厶1 ) 2l i 啦( s 1 ，9 i + 1 ) y 王i 定理3 3 设，= ( ) ，g = 慨) 斛c g ( s 1 ) 分别是关于分划a f = 。6 商一1 ) ，a g = 粥 n 备一l 的m a r k o v 映射列如果 对任意i 1 ， ，吼关于( ( n 5 ，口吕) ，( o ；：，一1 ，n 暑，1 ) ) m a r k o v 同型，那么 l i m i ( s 1 ，+ 1 ) ! l i n 毗( s 1 ，g t + 1 ) 证明对所有i ，七1 ，令骨：【a j ，丘翻一r ， 芹( 2 ) = 五( ) + ( 1 ；) ( 五( i ) 一五( 苟) ) + ：藕( 确( 咖， ( 3 3 ) 牙 西，a ；j 1 】，0s j 茎n 一1 那么对所有i ，k ，我们有露( a j ) = 五( a f ) ，0 j ；骨p ( 江5 ，a 翻，r ) ： 骨i ，或者是常值或者严格单调，0sj n 一1 ；以及 骨钢i ；一似( i 沪五( 鲥o j 曼肛 f34)1 i u - 州u o f ，a 翻) ) 对所有i ，k 1 ，令 ：s 1 一s 1 为c ( s 1 ) 上满足骨l ( 嗡5 ，a ，”) 的 唯一映射比较等式开叩，。翻= p 。厅与( 2 7 ) 得 芹一划噼一到；d ( 五( 阮a 2 1 ( 35 ) 1 9 由定理3 2 ，存在( s ，= f t t ) 纠使得 1 乎( 砂黾+ 1 ) = l i p ( s 1 ，f i + 1 ) ( 3 6 ) 对所有i ，由8 1 = 露。的构造可见：岛是s 1 上m a r k o v 映射且s 关于 ( ( 口6 ，n 5 ) ，( o ；：t 。d 矗一1 ) ) m a r k o v 同型；黾l 一或者是常值或者严格单调， ， 0 j n 1 同理，存在s 1 上m a r k o v 映射列( t i ) 。1 1 满足：对所有i ，t 。，g ；关于 ( ( 媚，n 5 ) ，( o 备一1 ，o 一1 ) ) m a r k o vn 型，t i l ，9 或者是常值或者严格单调 ( 0 j 茎n 一1 ) 以及 1 1 沁1 ，t i + i ) 21 5 ，( 伊，g i + i ) - ( 3 7 ) 显然，对所有i ，s ，t 。关于( ( ，媚) ，( n 嘉一，喝1 ) ) m a r k o v 同型，故由 定理3 1 有l i m i ( s 1 ，五+ 1 ) ! l i m l ( s 1 ，8 i + 1 ) 2l i m i ( s 1 ，t ) ! l i m 。( s 1 ，肌十1 ) ， 推论3 4 设，g 为s 1k n + n n nm a r k o v 映射则l i m 。( s 1 ，) ! l i 驰( s 1 ，g ) 参考文献 1 】m b a r g e ，b d i a m o n d ，t h ed y m a m i c so fc o n t i n u o u sm a p s0 ，f i n i t e g r a p h st h r o u t hi n v e r s el i m i t s n a n s a m e r ，m a t hs o c 3 4 4 ( 1 9 9 4 ) n o 2 7 7 3 7 9 0 2 m b a r g e ，j m a r t i n ，t h ec o n s t r u c t i o no ，g l o b a la t t r a c t o r s ，t _ r a n s a m e r m a t h s o c 1 1 0 ( 1 9 9 0 ) ，5 2 3 5 2 5 3 】m b a r g e ，r r o e ，c i r l em a p sa n di n v e r s el i m i t s ，t o p o l o g ya p p l 3 6 ( 1 9 0 0 ) ，1 9 2 6 ql b l o c k ，j k e e s l i n g ；o nh o m e o m o r p h i s m so | ) h a v i n ge n t r o p y z e r o ，t o p o l o g ya p p l 8 4 ( 1 9 9 8 ) ，1 2 1 1 3 7 f 5 】m b r o w n ，s o m ea p p l i c a t i o n so f a na p p r o x i m a t i o nt h e o r e m 加i n v e r s e l i m i t s , p r o c a m e rm a t h s o c 1 1 ( 1 9