（信号与信息处理专业论文）基于非均匀傅里叶变换的超声层析成像研究.pdf

摘要 i 摘摘 要要 超声波成像技术作为现代医学四大影像技术之一，有着不可替代的作用。x 光成像可以准确获得人体组织的信息，是一种很好的检测手段，但其对软组织的 成像不理想，且因其有电离辐射特性，对于人体的影响较大，所以它的应用有局 限性。 超声成像仪器因其价格便宜， 无电离辐射， 可以制造成便携式设备等特点， 在医院的使用频率很高。常用的 b 超能应用于常规性的体检或胎儿的检查等情 况。但是 b 超的成像较模糊，对人体情况的判断需要依靠医生的经验，个人的 主观性会影响判断的结果， 因此超声波用于人体的定量的成像成为一个重要的研 究方向。层析成像(computed tomography)是通过从许多不同方向照射物体，根 据透射或反射的数据来重建断面图像的成像技术。 本文讨论的是考虑散射的情况下采用超声波这种安全的能源对人体组织进 行定量成像的超声衍射层析成像问题。所完成的主要工作和创新点如下： 基于傅里叶散射投影定理，频域插值(gridding)算法是在频域对变换后的散 射场数据进行插值，得到均匀网格上的值，从而进行二维傅里叶反变换得到介质 成像平面的分布。 非均匀傅里叶变换(non-uniform fourier transform)包括前向 nuft 和后向 nuft。 其中前向 nuft 的快速算法可以采用对过采样的 fft 变换的频域值进行 插值得到。min-max 方法对其插值参数进行优化，得到基于 min-max 的快速非均 匀傅里叶变换的算法。本文讨论的是后向 nuft，即二维情况下从非均匀样点到 均匀样点的前向 nuft 的反变换问题。因为计算的规模很大，不能采用直接求 解逆矩阵的方法实现， 所以采用最小二乘法的思想， 采用迭代算法(cg)逐步接近 最优化解。采用插值方法的成像结果作为迭代的初始值，可以减少迭代次数，减 小运算量。经试验分析，采用本文的方法，成像效果得到提高。 对仿真数据的获取方法进行了讨论分析，在弱散射情况下，基于傅里叶散射 投影定理，可以对 shepp-logan 模型的频域任一点的值进行解析求解，基于此可 以得到不引入任何误差的用于仿真的数据。对多频率投影的情况，分析其频域分 布特点，在多频率入射的情况下，可以减少成像的时间，在医学图像的提取中是 一个好的发展方向。在成像过程中会出现不完整投影的情况，分析其不完整程度 对成像效果的影响，和数据冗余以减少投影或采样点，使信息的利用率变高。对 透射和反射模式下散射场所提供的信息量进行分析， 在不增大采样时间的情况下 可同时获取反射场和透射场的数据，将其进行结合，可以提高成像质量。 关键词：超声衍射层析成像 非均匀傅里叶变换 共轭梯度算法 傅里叶散射定理 摘要 ii min-max abstract iii abstract abstract as one of modern medical imaging techniques, ultrasound imaging technique has its irreplaceable role. x-ray imaging technique can accurately obtain information on human tissue, but it is not ideal for soft tissues. x-ray imaging has a huge impact on the human body due to associated radiation hazards, so there are limits in application. ultrasound imaging equipment is used highly frequency in the hospital for its cheap, non-ionizing radiation, and it could be made into portable devices. b-mode ultrasonic can be applied to common physical examination or routine fetal examination and so on, but the quality of imaging is fuzzy, to judge the situation on the human body need to rely on the experience of doctors which affect the individuals subjective judgments of the results, so the quantitative ultrasound imaging for human become an important area. computed tomography is an imaging technology which illuminating an object from many different directions and reconstructing the cross-section image of the object according to transmission data or reflection data. we discussed the ultrasound diffraction tomography problem that a security energy-ultrasonic image the human tissue quantitatively in the case of scatter in this paper. the main work and contribution of this dissertation can be summarized as follows: according to the fourier diffraction projection theorem, the frequency domain interpolation (gridding) algorithm is interpolating the scattered field data that transformed into the frequency domain to get the value on the uniform grid. we get the imaging of the media plane through inverse 2-d fourier transform. non-uniform fourier transform include forward and backward nuft. we can get the fast forward nuft through interpolating the over-sampling fft transform of the data in the frequency domain. adopt to the min-max method to optimize the parameters in the interpolation, we get the non-uniform fast fourier transform algorithm based on min-max. we discussed the backward nuft samples from the non-uniform to uniform samples that the inverse transform of the forward nuft problem in the two-dimensional. because the calculation is large, we cant solve the inverse matrix using direct method. we introduce the least square method idea using the iterative algorithm (cg) closing to the optimal resolve gradually. using the imaging results in the in the interpolation method as the initial value of iteration, we abstract iv can reduce the number of iterations and reduce the computation. through test analysis , imaging effect is improved using this method. access to the simulation data are discussed .in the case of weak scattering, we can get the values of shepp-logan model in the frequency domain at any point using the analytic solution based on the fourier projection theorem. we can get the simulated data without introducing any error based on this. the multi-frequency ultrasonic projections can reduce the imaging time. the standpoint is a good development of medical images. the less integrity projection occured in the imaging process, we analyze the effect of the adequate extent and data redundancy on the imaging to reduce the projector or sampling points, the utilization of information becomes higher. analysing the information in the transmission and reflection mode scattering, we can get the transmission and reflection data without increasing the sampling time. we can improve the image quality with combining the data. key words: ultrasonic diffraction computed tomography, non-uniform fourier transform, conjugate gradient,fourier diffraction theorem, min-max 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：_ 签字日期：_ 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 公开 保密（_年） 作者签名：_ 导师签名：_ 签字日期：_ 签字日期：_ 第一章 绪论 1 第一章第一章 绪论绪论 1.1 背景技术背景技术 人的耳朵所能接受的声音域从 16到20000 hz。 当声音的频率达到 25到 8200 hz 的时候，能感觉到振动，低于 16hz 的声音称为次声，高于 20000 hz 的为超 声波。 x 射线成像、超声成像、核磁共振成像和正电子发射断层扫描技术，被称为 现代医学四大影像技术。x 射线影像技术发展较早，特别是 20 世纪 70 年代中期 x-ct 的成功，使 x 射线影像技术获得了重大突破，至今 30 多年的时间已经从 第一代 ct 发展到第五代产品，每一代的进步主要是扫描方式、成像质量、成像 速度及图像处理等方面的改进，其诊断效果大为提高，应用更加广泛。但是 x 射线成像技术为电离辐射成像，有放射性，人体可接受的辐射剂量是有严格限制 的，且 x 射线对软组织也不能较好成像，因此其应用场合有一定局限性。核磁 共振成像(mri: magnetic resonance imaging)利用磁共振现象从人体获得信号， 并 重建出人体信息， 今年来发展起来的功能磁共振成像是无创研究脑科学的新技术， 为揭开大脑的秘密，为疑难脑病的诊断提供了其他设备所不能达到的重要作用。 但是核磁共振价格昂贵，因其对金属敏感，对于一些装有心脏起搏器等的病人不 能适用。正电子发射断层成像 (positron emission tomography)利用正电子同位素 衰变产生出的正电子与人体内负电子发生湮灭效应这一现象， 通过向人体内注射 带有正电子同位素标记的化合物，采用符合探测的方法，探测湮灭效应所产生的 光子，得到人体内同位素的分布信息，由计算机进行重建组合运算，从而得到 人体内标记化合物分布的三维断层图像。但其造价昂贵，成像时间长，且受放射 性同位素的限制，目前应用受限。 作为四大影像技术中不可或缺的一方面，超声成像有着其不可取代的地位。 下面我们介绍一下超声成像的特点： a) 超声波为非电离辐射，在诊断功率范围内对人体无害，可经常性的反复 使用。 x射线的辐射性决定了其不可对孕妇使用， 对儿童也要保守使用。 在无毒副作用这方面，超声波有着明显的优势。 b) 超声波对软组织的鉴别能力较高，在对软组织疾患诊断时具有优势。 c) 超声成像仪器使用方便、价格便宜。 随着声学理论的深入、计算机技术的发展，超声诊断学取得了前所未有的进 第一章 绪论 2 步。从早期的 a 型(amplitude mode)、m 型(motion mode)一维超声成像，b 型 (brightness mode)二维成像，演进到动态实时三维成像；由黑白灰阶成像发展到 彩色血流成像。谐波成像、组织多普勒成像等新型成像技术和各项新的超声检查 技术(如腔内超声检查、器官声学造影检查、介入超声)逐渐应用于临床。目前 b 超成像的应用非常普遍， 但是 b 超成像质量有待提高， b 超图像的判断依然要依 赖于医生的经验，对病灶组织的定量诊断成为一个研究的热门方向。本文研究的 超声层析成像技术将对被测组织的声学特性进行定量测量， 可以提高超声检查在 医学检查中的组织定征和诊断价值。 层析成像(ct: computed tomography)是指通过从许多不同方向照射物体， 根 据透射或反射的数据来重建断面图像的成像技术(kak1999)。这项技术使诊断医 学中得到革命性的发展， 它能使医生在无创情况下以前所未有的精度看到人体内 部情况。最早应用于实践的时候采用的是 x 射线，x 射线 ct 基于衰减系数对人 体组织进行成像(kak1979)。后来利用放射性同位素、超声、磁共振也成功获得 了医学图像，在每一种情况下都用不同的参数成像。计算机层析成像还应用于大 量的非医学领域，例如：通过钻孔成像测绘地下资源，无损检测中断面成像的某 些特殊案例，确定天球面上的亮度分布，电子显微镜三维成像等。从根本上说， 层析成像就是从投影重建图像的过程。严格来说，某一角度的投影是在该角度所 定义的方向上的积分。然而，在宽泛的意义上，当沿一定角度入射时投影意味着 从传播能量中获得介质的信息， 若辐射源是衍射性的如超声波或微波， 可使用 “衍 射投影”一词(devaney1980)。从数学的角度来看，从投影重建图像这个问题可 以追溯到 1917 年 radon 的论文。当前在断层成像方面令人激动的成就源自 hounsfield 发明的 x 光扫描装置，他因此项发明而于 1979 年获得了诺贝尔奖。 他因此与在算法方面有独自发展的 allan cormack 分享诺贝尔奖。 allan cormack 的算法显示即使投影数据未严格满足有效实现重建算法来意成立的理论模型， 仍 有可能得到精度达千分之一的高质量断面图像。 可以说自从 hounsfield 的发明以 来，x 射线 ct 成像技术的改进在很大程度上要归功于重建算法方面的发展。 hounsfield 采用代数算法，可得到精度为百分之一的 80*80 的噪声颇大的图像。 随后是卷积反投影算法应用在此方面，此算法最早被 ramachandran 和 lakshminarayanan 发明，随后被 shepp 和 logan 推广。以后的算法降低了重建 时间，重建结果更加精确。之后，x 射线层析成像扫描装置的制造商开始生产能 重建 256256 和 512512 图像的系统，所形成的形态细节清晰可辩，并与解剖 结果完全一致，在这一意义上这些图像几乎达到了照相术上完美的程度。在 x 射线 ct 取得巨大成功的情况下，毫无意外近年来更多的注意力集中于将这一成 像技术一方面扩展到核医学和核磁共振方向，一方面扩展到超声和微波方向 第一章 绪论 3 (tracy1983)。在核医学方面，我们关注于重建人体内放射性同位素分布的断面图 像；在核磁共振方面，我们期望重建物体的磁力性质。在这两个领域都可以基于 直线传播的模型来重建图像。用超声波和微波做能源时情况有所不同，尽管其目 的和 x 射线 ct 相同，即重建某一参数(如衰减系数)的断层成像，x 射线是非衍 射的且沿直线传播，超声和微波要考虑衍射。当使用衍射源照射物体时，尽管当 场的不均匀范围远大于波长并用折射率作为成像参数时， 可以满足于直线传播的 假设，波实际上是四面八方散射的。当波散射引起的不均匀性不可忽略时，层析 成像可以用基于 fourier 衍射投影定理的算法实现。 1.2 现状现状 本节将从前向散射场的透射投影算法、 后向散射场的反射投影算法和非均匀 傅里叶变换算法等几方面分别讨论其发展状况。 1.2.1 透射模式超声层析成像(tmdt:transmission mode diffraction ultrasound tomography) 图 1-1 透射模式超声层析成像示意(发射器和接收器位于介质对侧) 透射模式超声层析成像如图 1-1 所示，接收器位于发射器的另一侧，从发射 器的对侧接收前向散射场的数据，发射器和接收器围绕物体旋转，可以得到物质 的横截面的声学参数的分布信息。采用散射场重建的算法，由这些数据求出散射 界面的声学参数的分布值。下面将对算法的发展历程进行概述： 最初的超声层析成像技术源于 x-ct， 假定超声波在成像介质中沿直线传播， 由物体周围采集到的反射波或投射波重建成像界面的声速、 声折射系数等的分布。 第一章 绪论 4 由于这一假设的条件太过宽松，没有考虑到超声波的波长比 x 光大很多，经过 成像介质时会发生散射现象，成像效果较差。70 年代末发展起来的超声衍射层 析成像技术，从波动方程出发，经过数学推导，建立起来成像界面的声学参数和 外界散射场数据的关系(程建春 2004)，进而重建成像界面图像(greenleaf1981)。 由此发展起来的超声层析成像算法可以分为两类方法： 频域重构方法和空间域的 重构方法。频域中的重构方法(schomberg1995)利用傅里叶衍射投影定理，建立 物体的频域分布与投影值的傅里叶变换之间的关系， 通过各种方法得到可以用于 快速二维傅里叶变换的均匀网格上的频域分布值，通过 ifft 得到空间域成像界 面的声学参数分布图像。空间域的重构方法即滤波反向传播算法(anon1982)，类 似于 x-ct 的 fbp 算法，通过在频域建立物体的傅里叶变换和投影的傅里叶变 换之间的关系，在极坐标下，对这一公式直接求取反变换，得到目标函数的重建 公式。 近年来发展起来的非均匀傅里叶变换(nufft)引出了一个新的空间域角度 的散射 ct 的重建方法(liu1998)。已知频率域非均匀分布的样点值，求空间域的 均匀样点值。在二维情况下，研究其非均匀傅里叶变换的正变换过程，通过迭代 方法逐步获得空间域原图像的近似值，能取得较好的成像质量。 1.2.2 反射模式超声层析成像(rmdt:reflection mode diffraction ultrasound tomography) 反射式超声层析成像如图 1-2 所示，从发射器的同侧接收散射场数据，随着发射 器围绕成像界面旋转，获得其声学参量分布的信息，重建介质的声学参数的分布 值。 图 1- 2 反射模式超声层析成像示意(发射器和接收器位于介质同侧) 1979 年，美国学者 s.j.norton 提出单发单收反射式超声 ct 成像方法并推广 到超声三维成像，由于这个方法实验条件简单，且能得到重建像的纵向横向高分 辨率而受到人们重视。中国科学院武汉物理研究所的兰从庆、陈彦华等人在这种 成像理论的基础上围绕超声线型 ct，做了大量深入的工作，在理论、实现、应 用上都做出了相当的成就。他们的成果包括在有限角超声 ct 的迭代算法、反射 第一章 绪论 5 式超声 ct 成像的傅里叶切片理论、单发/单收探头扫描等多种模式下成像方法、 用二重迭代修正 fourier 切片定理克服成像中波面弯曲的影响，应用最大似然估 计和小波变换等改善成像质量等。由于早期的反射型超声 ct 方法沿用了 x-ct 的射线理论，没有考虑超声波在不均匀介质传播时的会产生散射现象，所以重建 效果较差。随着超声衍射投影定理的确立和发展，人们开展了关于基于衍射的反 射型超声 ct 的研究。 反射型 ct 的算法和透射型的透射型 ct 的算法发展方向相似。反射型 ct 与透射型 ct 的接收器的位置不同，接收到的散射场数据含有较高频的信息，从 空间域考虑即介质的轮廓和细节部分的信息。因其成像不清楚，此方面的研究和 应用较少。 在一些情况比如成像物体比较大型， 不适合在对侧设置接收器的时候， 可采用反射型超声 ct，在此情况下又存在采集的数据较少的问题。因此在有限 角度下恢复成像介质的声学参数的信息作为一个研究方向受到重视。潘小川 (pan2002,anast2002)等人对衍射层析成像中的有限角度的重建问题进行了讨论， 发现了扫描角度是如何影响成像精度的， 提出了一种称为短扫描的滤波后向传播 算法，根据此算法的分析，可以将扫描角度缩小到 180 以内。 1.3 本文的结构本文的结构 本文各章节的编排如下： 第一章为绪论。主要介绍开展此课题研究的背景和意义，简单介绍了医学常 用的医学影像技术，简单比较了其优缺点，引出了超声成像方法。通过对现在临 床的超声成像方法的介绍，指出了对其进行定量成像的必要性。回顾了超声衍射 层析成像方法的发展历程，指出我们研究的方向。 第二章概述了超声衍射层析成像技术的基本原理，特别对其理论依据-傅里 叶散射投影定理进行讨论，在波动方程的求解中，采用 born/rytov 方法进行近 似，本文中所讨论的问题-对人体软组织的成像问题满足此近似条件，适合引入 本文的讨论。 分析了透射模式和反射模式下其散射场信息在频域分布情况，并简 要介绍了人体组织与超声的作用机理。 第三章对超声衍射层析成像的典型算法滤波反传播算法、 频域插值(gridding) 算法进行介绍。gridding 算法根据傅里叶散射投影定理，在频域对散射场的变换 值进行插值，得到均匀网格上的频域样点的成像值，经二维傅里叶反变换得到空 间域的图像。滤波反向传播算法，类似于 x-ct 的 fbp 算法，通过在频域建立 物体的傅里叶变换和投影的傅里叶变换之间的关系，在极坐标下，对这一公式直 接求取反变换，得到目标函数的重建公式。 第一章 绪论 6 第四章对非均匀傅里叶变换(nuft)的方法进行了介绍，从一维的非均匀傅 里叶变换的定义推导出二维情况下非均匀傅里叶变换的近似计算方法。 介绍了非 均匀傅里叶变换的快速算法：通过对过采样的频域采样点进行插值得到。本文采 用 min-max 方法对其插值系数进行了优化，并讨论了采用迭代方法进行非均匀 傅里叶变换的反变换的可行性及算法效率。 第五章主要分析了仿真数据获取的几种方法， 并对解析方法和基于散射场的 矩量法得到的仿真数据的适用范围和优缺点进行分析。 多频率投影是超声层析成 像的一种新思路，可以有效减少成像时间，对临床上的信息提取过程的简化非常 有效。 分析了出现不完整投影的情况，并对数据冗余和因此减少数据量方面做出 了工作。 对透射模式超声层析成像(tmdt)和反射模式超声层析成像(rmdt)进行 分析，对其信息量进行结合，提高了成像质量。 第六章对本文所做工作及创新之处进行总结。 最后针对本研究内容的不够深 入之处进行讨论，并对下一步的工作做出了展望。 第二章 基本原理和作用机制 7 第二章第二章 基本原理和作用机制基本原理和作用机制 散射理论是二十世纪数学物理的主要的研究内容之一， 从天空为什么是蓝的 (rayleigh 的解释)、rutherford 原子核模型到现代医学成像(x-ct、核磁共振成像 nmr-ct、超声衍射 ct、微波成像)，一个多世纪以来，散射现象一直是科学界 引人入胜的课题。 广义的讲， 散射理论研究的是当波(声波、 电磁波以及 de broglie 波)入射到非均匀介质而发生的物理效应。如果假定总的场为入射场与散射场之 和， 散射理论的正问题是根据入射场和控制方程及相应的边界决定散射场。而我 们需要解决的问题是散射理论的逆问题：从散射场的远场性质，反演非均匀介质 的特性。 波的散射特性依赖于入射波波长和散射体的大小，如果用l表示散射体的线 度，若 l时，可以忽略散射现象，认为波沿直线传播，比如 x 射线 ct 对人 体组织的成像情况。如果与l的大小比例关系已经不能忽略散射现象时，波在介 质内部不沿直线传播，即我们讨论的散射现象。我们讨论的超声波与人体组织的 散射现象可以用 born/rytov 近似对波动方程进行线性化，本章将进行介绍。 2.1 超声衍射超声衍射 ct 的理论基础的理论基础 超声层析成像最初基于中心切片定理(x-ct)，认为超声和 x 射线类似，在 介质内沿直线传播。此假设忽略了超声波长与人体组织的尺度相比，会发生散射 现象，超声波不按直线传播，可以检测到散射场的信息。 2.1.1 x-ct 基本原理 x 射线成像是对人体组织对 x 射线的衰减系数成像。 x 射线对人体成像的过程为：采用理想的 x 射线源，它发出极细的笔束 x 射线，在其对面置一检测器。测出 x 射线发出的强度i0，以及经过物体衰减以后 到达检测器的 x 射线强度 i，再将 x 射线源与检测器在观察平面内(图 2-2)同步 平移一定步数nt。每平移一步均作同样测量。如此取得一组数据。然后旋转一个 小角度，再同步平移nt步，取得新角度下的另一组数据。如此重复，直至旋 转n次，作n = 180o旋转，取得n组数据后停止。 图 2-1 为 x-ct 的基本原理示意图。 图中所示为 x 射线围绕人体成像的过程 示意，接收器和发射器位于人体的两侧，围绕人体组织成像的横截面进行平移和 第二章 基本原理和作用机制 8 旋转的操作。 图 2-1 x-ct 基本原理示意图 图 2-2 成像过程示意 按照以上方法测得一组数据， 可基于中心切片定理采用这组数据重建物体截 面图像。中心切片定理：在某一方向上用 x 射线照射物体，则所测投影(沿传播 路径的线积分)的一维傅里叶变换对应物体这个方向上的二维傅里叶变换的一个 切面。(图 2-3 中心切片定理) 图 2-3 中心切片定理 图 2-3 是中心切片定理的示意图像，接收器收到的数据在频域形成如上图所 示的采样点的分布。可以采用频域插值的方法得到频域均匀样点上的值，再经过 二维傅里叶反变换得到空间域分布的图像。还可以采用经典的滤波反投影(fbp: filtered back-projection)算法，在频域进行滤波和极坐标下的反变换，得到变换 公式，再结合快速算法，可以得到清晰的人体组织的图像 nt步 旋转 第二章 基本原理和作用机制 9 2.1.2 超声衍射投影定理的推导 如(图 2-4)所示沿s0 方向的单位平面超声波照射成像物体的二维界面。 图 2-4 超声衍射 ct 成像示意图 此物体成像界面可以表示为一个在空间二维分布的函数o(x,y)，此函数的二 维傅里叶变换可以表示为： o w = o(r )ejw r dr (2-1) 上式中w = u,v ,r = (x,y)，在无损介质中此分布函数对应于散射系数 (refractive index)n r ，其关系为o r = n2 r 1。 o r 是描述物体内部不同介质声速的量，如果能够根据测得的超声波穿过物体时 的散射场数据求得物体内部的声学参数的信息， 我们就可以重建物体内部的结构 图像， 这就是逆散射成像问题的主要思想。入射平面波可以认为在特定角度是单 色的，即只有单一频率。成像介质浸没在水中。在介质外，平面波沿水介质传 播符合以下方程： ui r = u0ejk0s0 r (2-2) 其中u0入射波在空间原点的复振幅，k0是与水作用时的波长，由k0=2/ 给出，其中为波长。 当成像物体浸润在水中时，在任何位置散射场us(r )，全场u(r )的分布及关系 可以通过下式由入射场ui r 和散射场us(r )表示。 u r = ui r + us r (2-3) 当入射场的入射角可以如图(2-4)表示为，可以设定旋转坐标系(,)，轴 和入射角度s0 方向一致，且接收器接收散射场信息在 = l的位置(透射模 式) = l的位置(反射模式)。入射场和散射场可以分别表示为ui, r 和us, r 。 可以用 helmholtz 方程表示散射场和散射介质的关系。 第二章 基本原理和作用机制 10 2 + k0 2 u r = k02o r u r (2-4) 在背景介质中n r = 1，因此o r = 0，对于入射波ui r ，满足背景介质中 的 helmholtz 方程： 2 + k0 2 u i, r = 0 (2-5) 因此，散射波满足的方程为 2 + k0 2 u s, r = k0 2o r ui, r + us, r (2-6) 可以通过 helmholtz 方程的基本解 green 函数式来表示上式的解,green 函数 的表示为： g r ,r = exp (ik r r ) 4 r r (2-7) 散射波满足的方程为 us, r = k0 2 o r ui, r + us, r g g r ,r d (2-8) 其中散射场满足辐射条件，用总场表示 u r = ui, r + k0 2 o r ui, r + us, r g g r ,r d (2-9) 上式称为 lippmann-schwinger 积分方程。 对于上述积分方程可以进行简化和近似，近似的条件将在后文给出。通过变 换可以得到在 = l位置测得的散射场的分布us, 的傅里叶变换可以表示为 us, k = us, ejk d (2-10) 和物体成像平面的关系可以表示为： us, k = k0 2u0 j2 ejlq(k) (2-11) 期间的推导过程可参见参考文献dev1980 ult1982 其中 = k0 2 k2 k k0 透射 = k0 2 k2 k k0 (3-29) = ub(k, k0)ejl (3-30) 如果没有滤波函数g ，本算法的其他部分和 x-ct 中的 fbp 算法是一样 的。此滤波函数就是由参数决定的。 重建函数可以改写为： o x,y = 1 2 d(xsin ycos,xcos + ysin) 2 0 (3-31) 滤波反传播算法的具体实现方法如下： （1） 根据不同方向的入射波投影情况下得到的散射场， 计算()及其傅里叶 变换 ； （2） 用不同的值来确定不同的滤波函数n = h g()，与 相乘 后求傅里叶逆变换； （3） 反传播，把不同角度得到的(x,y)点的函数值相加作为o x,y 的值。 第三章 频域插值(gridding)算法 25 反传播算法计算复杂度的分析： 随深度变化的滤波器给算法带来复杂的计算。 例如，如果选择n个深度值，每个投影将需要进行(n+ 1)次快速傅里叶变换 (ffts),如果有n个投影， 第一步将需要进行(n+ 1) n次 ffts。 对于一个n n 的图像的重建，一般认为n和 n都可以大致取 n。这样滤波反传播算法大约需 要n2次快速傅里叶变换。与频域插值方法相比，此方法的计算复杂度太大，所 以不常使用。 3.4 本章小结本章小结 本章对经典的滤波反投影算法和 gridding 算法进行表述，对算法复杂度进 行了分析。本节得到的 gridding 算法虽然成像效果不算太好，但可以作为我们 下一步迭代算法的初始值，节省了大量的运算。值得一提的是插值中采用的零扩 展技术对于增加频域采样点的密度，减少实验引进的误差起到了很好的作用。 第四章 基于 nufft 的迭代算法 27 第四章第四章 基于基于 nufft 的迭代算法的迭代算法 频域插值的 gridding 算法能够得到介质声学参数的图像，但是因为算法的 插值过程引入了误差，图像的精度受到了影响。滤波反传播算法因为引入了随深 度变化的滤波器使变换的运算复杂度加大，其应用也受到影响。 我们本章采用的基于非均匀傅里叶变换(nufft)的迭代算法使得图像的质 量能够得到进一步的提高。 非均匀傅里叶变换是近二三十年来随着理论研究方面 的需求而发展起来的基于傅里叶变换的新的方向。 超声衍射 ct 的问题是非均匀傅里叶变化应用的一个典型案例。是二维情况 下非均匀样点到均匀样点的后向傅里叶变换的问题， 讨论了前向非均匀傅里叶变 换的快速算法，并给出了由前向的 nufft 求解后向 nuft 的办法。 4.1 基于基于 min-max 准则的快速非均匀傅里叶变换准则的快速非均匀傅里叶变换(正变换正变换) 4.1.1 非均匀傅里叶变换的基本定义 傅里叶分析是法国著名数学家、 物理学家傅里叶在研究热的传播时创立的一 套数学理论发展而来的。傅里叶变换是一种对函数的分解和还原的手段。它能将 满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或积分。 傅里叶分析具有 非常良好的性质，其变换的逆变换容易求出，正弦基函数的物理意义明显便于信 号的分析，其应用广泛的离散形式具有快速算法等。因此傅里叶分析在信号分析 与处理、物理学、图像学等很多方面得到广泛应用和发展。 傅里叶变换的快速算法(fft: fast fourier transform)在信号处理中得到广泛 应用。 对于一个 n 点的信号， 对其进行傅里叶变换需要n2次乘法运算， 采用 fft 实现需要o(nlogn)。上述变换讨论的是时域与频域的采样点均匀分布的情况。 一些应用需要求解频域非均匀采样点的变换值。例如雷达成像、计算 radon 变 换用到的导向小波、电磁计算问题、fir 滤波器的设计等问题引出了一个非均匀 傅里叶变换的问题，期望能在求解非均匀采样点的值时继续保持 fft 的快速运 算的特点。 非均匀傅里叶变换(nuft: non-uniform fourier transform)可以认为是从均 匀样点分布的数据与非均匀样点分布的数据之间的傅里叶变化关系。 可以分为两 类： 1. 均匀样点到非均匀样点的变换，也可以称为 ner(non-equispaced results)，均 匀分布的xk到非均匀网格 = 1,k 的变换为： 第四章 基于 nufft 的迭代算法 28 xk= xk n 2 1 k=n 2 e2jkk/n k = 1.m (4-1) 2. 非均匀样点到均匀样点的变换，ned(non-equispased data),非均匀网格 = 1,k 到均匀分布的xk的变换为 xk= xk m k=1 e2jkk/n k = 1.n (4-2) 即由非均匀样点求取均匀样点的分布值， 是 ner 的反变换。 也可以称为 ner 为前向非均匀傅里叶变换，ned 为后向非均匀傅里叶变换。该定义可以扩展到 二维或更高维。 图 4-1 非均匀傅里叶变换示意 前向 nuft 的运算方法有很多种，在运算规模比较小时，可以直接计算其 卷积过程，当运算规模较大时，我们可以寻找一些快速算法。比较易想到的方法 就是求取过采样的均匀频域样点， 再经过由频域的均匀样点到非均匀样点的变换 来求解其k的值。前一过程可以采用 fft 算法来实现，后一过程可以采用插值 等方法。插值的方法有很多种，如多项式插值、sinc 函数插值等。 后向 nuft 即已知非均匀样点的值来求解均匀样点的值，是一个在应用中 经常见到的问题。如层析成像的图像重建问题，滤波器的设计等问题。可以根据 前向算法来进行迭代趋近于真实值。 4.1.2 min-max 方法 采取迭代算法从非均匀频域样点重建图像的核心问题是前向非均匀傅里叶 变换。下面讨论一维情况下的 nufft 问题： 定 义 = 1,k :k , 是 一 个 频 域 非 均 匀 分 布 的 样 点 ， = fn 2 ,fn 21 :fn c是信号域均匀样点集合。非均匀傅里叶变换被定义为：