（应用数学专业论文）矩阵值小波的理论及构造.pdf

摘要 矩阵值小波的理论及构造 摘要 在最近的十几年中，小波理论及其应用成为了研究的热点。小波最大 的优点之一是它的时频局域性。随着研究的发展，人们发现了单小波的一 些局限性，在时域上局域化的小波在频域上就不能很好的局域化，另外， 单小波不能同时拥有紧支撑、正则性、正交性、对称性等良好的性质。为 了克服单小波的这些弊端，很多小波专家研究了由两个或两个以上小波函 数构成的多小波，并且已经构造出了连续，紧支撑、对称、正交的多小波。 在应用方面，多小波也取得了比单小波更好的效果。然而，在将多小波应 用于单值信号时，遇到了一些问题，需要先进行预滤波或构造平衡多小波。 于是，直接处理向量值信号的矩阵值或向量值小波的概念被x i ax g 等人 首先提了出来。矩阵值小波和多小波的主要区别是：矩阵值小波不仅可以 在时域上分解向量值信号，而且可以在向量值信号的元素问进行分解，而 多小波只能在时域上分解向量值信号。离散多小波变换往往需要预滤波， 而离散矩阵值小波变换不需要预滤波。 本篇论文主要研究了矩阵值小波的基本理论及构造。首先针对m 带 向量值多小波，利用双无限矩阵的方法，研究了m 带向量值多小波的存 在性，给出了m 带向量值多小波正交性的符号表达式，研究了向量值多 小波和普通多小波的联系，指出多小波可以由向量值多小波的行向量来得 到，向量值多小波可以通过单小波来构造，讨论了m 带向量值多小波的 仿酉矩阵符号的构造，由于构造的复杂性，只给出了当低通滤波器满足某 些限制条件时的构造方法。进一步的，提出了向量值多小波快速变换公式。 其次，论文主要讨论了具有双正交性质的矩阵值小波的存在性及构造，证 明了双正交矩阵值小波存在的充要条件，提出了构造双正交矩阵值小波的 一种简单算法，利用这种算法，双正交矩阵值小波的高通滤波器可以通过 低通滤波器来表达，并且给出算例。 关键词：矩阵值多分辨分析，矩阵值小波，向量值多小波，双无限矩阵， 卷积，快速向量值多小波变换，因式分解 a b s t r a c r t h e o r ya n dc o n s t r u c t i o no fn m r i x v a l u e d 7 = 6 i v e l e t s a b s t r a c t w a v e l e th a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yi nb o t ht h e o r i e sa n da p p l i c a t o n s d u r i n gt h el a s td e c a d e t h em a i na d v a n t a g eo fw a v e l e t si st h e i rt i m e f r e q u e n c y l o c a l i z a t i o np r o p e n y m a n ys i g n a l si na r e a sl i k e m u s i c ，i m a g e ，e t c ，c a nb e e f f i c i e n t l yr e p r e s e n t e db yw a v e l e t st h a ta r et r a n s l a t i o n sa n dd i l a t i o n so fa s i n g l ef u n c t i o nc a l l e dm o t h e rw a v e l e tw i t hb a n d p a s sp r o p e r t y b u tb yt h e d e v e l o p m e n to fs t u d y i ti sf o u n dt h a tt h e r ei sal i m i t a t i o nf o r t h e t i m e - f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o no fas i n g l em o t h e rw a v e l e t ，t h a ti s ，i fi ti sv e r y 1 0 c a l i z e di nt h et i m ed o m a i nt h e ni tw i l ln o tb ev e r yl o c a l i z e di nt h ef r e q u e n c v d o m a i n i ti sa l s ok n o w nt h a ta no r t h o g o n a lw a v e l e tf u n c t i o nw i t hc o m p a c t s u p p o r ta n dc e r t a i nr e g u l a r i t yc a nn o th a v ea n ys y n l m e t r y i no r d e rt o o v e r c o m et h e s es h o r t c o m i n g so fw a v e l e t ，m u l t i w a v e l e t sw h i c hh a v en ol e s s t h a nt w of u n c t i o n sw a sp r o p o s e d ，a n dr e s e a r c h e r sh a v ec o n s t r u c t e do r t h o g o n a l m u l t i w a v e l e t st h a ti sc o n t i n u o u s ，s h o r ts u p p o r t ，a n do fc e r t a i ns y m m e t r y w h e ns e v e r a lm o t h e rw a v e l e t sa r eu s e di na ne x p a n s i o n ，b e t t e rp r o p e r t i e s ， s u c ha se n e 唱yc o m p a c t i o n ，c a nb ea c h i e v e do v e rs i n g l ew a v e l e t s b u tu s i n g m u l t i w a v e l e t st op r o c e s ss c a l a r - v a l u e ds i g n a l si ss t i l lac h a l l e n g i n gp r o b l e m p r e f i l t e ro rb a l a n c em u l t i w a v e l e t sa r er e q u e s t e d s o ，m a t r i x v a l u e dw a v e l e t so r v e c t o 卜v a l u e dm u l t i w a v e l e t st o p r o c e s sm a t r i x v a l u e ds i g n a l sa r ef i r s t d i s c u s s e db vx i ax gm u l f i w a v e l e t sa n dm a t r i x v a l u e dw a v e l e t sa r ed i 船r e n t i nt h ef 6 l l o w i n gs e n s e m a t r i x v a l u e dw a v e l e t sc a nb eu s e dt od e c o r r e l a t ea v e c t o r v a l u e ds i g n a ln o to n l yi nt h et i m ed o m a i nb u ta l s ob e t w e e nt h e c o m p o n e n t so fm a t r i xf o raf i x e dt i m e t h ec o n s t m c t i o no fm u l t i w a v e l e t s f o c u s e so n l vo nt h ed e c o r r e l a t i o no fs i g n a l si nt i m ed o m a i n a n o t h e r d i f f e r e n c ei sb e t w e e nt h e i rd i s c r e t ei m p l e m e n t a t i o n s p r e f i l t e r i n gi su s u a l l v r e q u i r e df o rd i s c r e t em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m sb u tn o tn e c e s s a r yf o rd i s c r e t e m a t r i x v a h l e dt r a n s f o r m s 北京化工大学硕十学位论文 t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e dt h e o r i e sa n dc o n s t m c t i o n so fm a t r i x - v a l u e d w a v e l e t s f i r s t l v ，w es t u d i e dm - b a n do r t h 0 2 0 n a lv e c c 0 r v a l u e dm u l t i 、聊【v e l e t s u s i l l gb i i n f i n i t em a t r i x p r o v e dt h ee x i s t e n c eo f 朋7 一b a n d o r t h o g o n a l v e c t o f - v a l u e dm u l t i w a v e l e t s ，百v eo r t h o g o n a l i t yi nf o n no fs y m b o l s ，t h e nw e d i s c u s s e dt h er e l a c i o n s h i pb e t w e e nv e c t o r v a l u e dn m l t i w a v e i e t sa n d m u l t i w a v e l e t sa n dt h ec o n s c m c t i o no fs v m b o i so fv e c t o r v a l u e dm u l t i w a v e i e t s ， 如r t h e r m o r e ， f a s tv e c c o 卜v a 】u e dm u l c i w a v e l e t st r a n s f o f ma r ei n v e s f i g a t e d s e c o n d l v ，w ed i s c u s s e db i o r t h o g o n a lm a t r i x v a l u e dw a v e l e t s s u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r vc o n d i t i o n sf b rt h ee x i s t e n c eo fb i o r t h o g o n a im a t r i x v a l u e dw a v e l e t s a r ep r o v e d a na l g o r i t h mt 0c o n s t m c eb i o r t h o g o n a lm a t r 议v a 王u e dw a v e l e t s w i c hw h i c hh i g h p a s sf i t e r sc a nb ee x p r e s s e de x p l i c i t yb yl o w p a u s sf i l t e f sa f e p r o p o s e d ，t h e nt w oe x a m p l e sa r es h o w e d k e yw o r d s ：m a t r i x - v a l u e dm u l c i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m a t r i x v a l u e d w a v e l e t s ，v e c c o f - v a l u e dm u l t i w a v e l e t s ，b i i n f i n i t em a t r i x ， c o n v 0 1 u t i o n ，f a s tv e c t o 卜v a l u e dm u l t i w a v e l e c st r a n s f o r m ， f a c t o r i z a t i o n 符号说明 符号说明 实数集 复数集 整数集 所有平方可积函数构成的空间 所有平方可和序列构成的空间 范数 内积 多分辨分析 矩阵爿的共轭转置 矩阵或向量4 的转置 矩阵的迹 ，的傅立叶变换 d i r a c 序列使得氐a1 ，而对七z 0 ) ，瓯= o r 阶单位矩阵 空间r 俾) 中的尺度函数 空间r 似) 中的小波函数 两尺度序列 空间r 僻) 7 中的多尺度函数 空间r ( r ) 7 中的多小波函数 两尺度矩阵序列 r 俾) 或r 限) 7 空间中的闭子空间序列 l x 尺c z焖焖删妤乃广瓯l m州附咐咐咻 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：强遮之阁 日期： 丛墨! 宰 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：塑逊驾嗍 导师签名： 毽幽兰塞 日期： 哦匿j 砩 第一章多分辨分析和小波基 第一章多分辨分析和小波基 在这一章，我们简单回顾经典多分辨分析和单小波的构造 1 1 细分函数 定义1 1 1 一个函数妒：尺呻c ，被称为是一个细分函数，如果它满足下面的二尺 度细分方程 一2 三玩( h 一七) ( 1 1 ) 其中吃c 被称为递归系数。 细分函数驴称为正交的，当且仅当， ( o ) ，驴o 一七) ) = 哦。 帅矿黔 当二尺度细分方程的递归系数是无限长的序列时，只要递归系数衰减的足够快， 多小波的大部分理论还是成立的，一个经典的衰减条件是 蚶” o 然而无限长的系数给很多定理的证明增加了复杂性，所以我们假设，只有有限个递归 系数是非零的，大部分小波的研究都限定了这个假设 定理1 1 2 细分函数f 交的一个必要条件是 仇w 一纠= 6 f o ( 1 2 ) 其中木表示复共轭转置，在标量值的情况下表示复共轭 证明直接计算可得， 小( m 埘) ) - ( 压；似扯坝压；州址址门) ) = 2 玩群( ( 及一七) ，驴( h 一卫一，z ) ) 。弘睇瓯引矿弘w z ， 由f 交条件可得，一个f 交的细分函数咖只能有偶数个递归系数，否则正交条件 北京化工大学硕士学位论文 中必有k k o 许多细分函数没有显式的表达式，但是我们司以近似的计算它的点值，积分， 以及计算它的光滑性等 定义1 1 3 细分函数的符号是一个三角多项式， 纵勤2 击磊缸m 5 细分方程的f o u r i e r 变换得到 乒( 占) = ( 丢) 乒( 盖) ( 1 - 3 ) 将上式进行迭代并取极限，可得 蛔2 吁( 2 以舷o ) ( 1 4 ) 假设这个无限积收敛，这就提供了一个求( x ) 的方法我们可以令乒( o ) 等于一个任 意常数，这是因为，细分方程的解可以有不同的常数因子，即，一个解乘以一个常 数还是细分方程的解，如果令莎( o ) = o ，那么= o ，这时细分函数就毫无意义了，所 以我们假设乒( o ) o 无限积方法能用来估计细分函数的存在性和光滑性，但只有在极简单的情况下 才能实际计算妒 ) 计算妒( 石) 的近似点值的方法被称为级联算法( c a s c a d ea l g o r j 曲m ) ， 它是用固定的值代入细分方程，然后进行迭代得到的即，首先选一个合适的初始 值m ，然后定义 驴加( x ) = 2 ，砭扣以( 2 x 一七) 这种方法在很多情况下是收敛的 定理1 1 4 方程( 1 2 ) 所表示的正交性等价于 i ( 亭) 1 2 + i j i l ( 亭+ 刀) 1 2 = 1 ( 1 5 ) 假设细分函数驴存在，那么上面的两个必要条件也是驴正交的充分条件 证明直接计算可得 ) 1 2 + i ( 亭+ 玎) 1 2 = 专吃铲啾训5 【1 + ( 一旷】 2 。一邑蚴一“町52 军( ；e 一2 瞎2 弘e 一2 垮= l 第一章多分辨分析和小波果 证明结束 函数西的支撑是满足下面条件的闭集 协：妒( 工) o 紧支撑也就是有限支撑 定理1 1 5 如果是细分方程( 卜1 ) 的具有紧支撑的解，那么 s u p 妒c 【七o ，七1 】 证明假设s u p = 【口，6 】，那么我们将它代入细分方程可得到 唧纠学，学， 所以口= ，6 = q 由此定理可知，在级联算法中如果我们选择的初始函数驴o 的支撑是【口们，6 o 】， 那么驴“的支撑当，l 一时，将收敛于【，白】 定义1 1 6 我们称细分函数有稳定平移，如果r 并且存在常数0 4s 口，对任 意的序列乜) ，2 ( z ) 满足， 4 ；j e l 2 s 0 ；驴。一七) 1 1 2 s b ；i 气1 2 如果妒是正交的，那么它必然有稳定的平移，并且彳= 占= 1 定理1 1 7 假设毋是细分方程的紧支撑r 解，并且它的整数平移线性无关，那么下面 的条件满足 1 ) ( 0 ) = 1 ， 2 ) 妒 一七) = c ，c o 是一个常数 3 ) 缸) = 0 证明如果f 俾) 且具有紧支撑，那么它也是r 俾) 中的函数，这意味着乒连续， 并且在无限远处趋于o ，这是由黎曼一勒贝格引理( r i e m a i l n k b e s g u ek m m a ) 得到 由于多和j i l 都是连续的，那么方程( 2 3 ) 在每一点都成立令亭= o ，可得 乒( o ) ；j l l ( o ) 乒( o ) 由于假定乒( o ) o ，那么必有向( o ) = 1 由j i l ( 亭) 的周期性可得， ( h 七) = 1 对任意的七z 均成立那么， 3 j ! 里些：三查兰竺兰堡堡圣一一 乒( 锄艮) = ( h 良) 乒( h 七) 一乒( 幼七) 一般的， 乒( 2 4 万七) = 乒( 2 7 r 七) ，刀之1 由于p ( 亭) l o 当吲呻，那么 参( h 尼) = o 对任意的七z ，七o ， 由柏松( p o i s s o n ) 求和公式得， ；肛七) = 压y 撇乒( 劢七) = 痂( o 叩o ) 出= c 将上式代入细分方程得， c 5 ；o 一七) = 2 善 ，( 缸一2 七一7 ) = ( 2 一诎) 妒( h 一甩) 由( x ) 的整数平移的线性无关性，可得 压。压弘r 1 那么， = 击；铲触= 击c 弘一+ 1 ) = 。 1 2 多分辨分析和小波基 定义1 2 1r 俾) 空间的一个多分辨分析( m r a ) 是一串相互嵌套的闭子空间序列， c 旷1c ckc 并且，它们满足下面条件 1 ) u k = r 僻) ，n 圪= o ) ， 一 2 ) ，g ) k 当且仅当，( 及) k + l 对任意的咒z 3 ) 存在一个函数r 僻) 满足仰 一七) ：七z 构成的一组稳定的基 函数称为尺度函数如果是正交的那么它所生成的多分辨分析也被称为是正 交的 条件3 ) 等价于任意的函数厂可唯一的写成下面的形式 4 第一章多分辨分析和小波基 厂 ) = c 矽 一七) ， 上式依r 范数收敛，并且存在两个常数0 彳s b 满足 彳；恢1 1 2s ；恢0 2s b ；0 2 由此可以推出具有稳定的平移 由2 ) 可知，在多分辨分析中闭子空间k 是由中的函数压缩2 ”后形成的所以， k 的一组稳定的基 妣：七z ) 具有下列形式 丸( 石) = 2 7 2 ( 2 “工一七) ( 1 - 6 ) 因子2 只是为了保持r 范数 由于c k ，那么妒可写成嵋空间的一组基的线性组合的形式 ( 石) 2 ；丸o ) = 2 ；魄驴( 及一尼) 其中，吮是系数序列，我们将假定这个细分方程是一个有限和的方程 任意的函数，r ，它在闭子空间k 上的正交投影为 ，o ) = ( ，妣k o ) 只厂被称为在尺度2 ”上对厂的逼近，当甩一时，只厂依范数收敛于厂一个函数 在尺度2 ”和2 1 。1 上的逼近的差称为尺度2 ”上的细节部分， q 厂o ) = 只+ 。厂 ) 一只厂 ) 实际上q 也是正交投影，它的值域正交与k ，并且ko 形= k 关于闭子空间 序列眠有下列定理 定理1 2 2 对任意的正交的m r a ，它的尺度函数为驴，那么 1 ) 0 叱= ( 尺) ， 2 ) 当七刀时，h ：上w ： 3 ) 对任意的以z ，o ) 睨当且仅当，( 及) 睨+ 。 4 ) 存在一个函数妒r 僻) 满足缈o 一七) ：七z 】构成的一组正交稳定的基，并且 伽柚：n ，七z ) 构成r 似) 的一组稳定的基 5 ) 由于妒k ，所以它可以表示为 北京化工大学硕七学位论文 妒( x ) = 压鼠m 一七) 其中是系数矩阵函数缈被称为小波函数 定义矽的符号为 孵) - 击p 越5 缈的细分方程的f o u r i e r 变换为 矽( 亭) = g ( ( 号) 尺度函数驴和小波l | f ，之间的正交性可以表示为 ，i t ，一：，2 = g t g ：z ，。= 4 。( 1 7 ) 饥盛圹g t = o 、 等价的 l 办( 亭) 1 2 + l 血( 亭+ 乃) 1 2 = l g ( 亭) 1 2 + l g ( 亭+ 万) 2 = 1 ( 1 8 ) 办( 亭) g ( 宇) + ( 亭+ 兀) g ( 亭+ 万) ；g ( 亭) 血( 亭) + g ( 亭+ 万) ( 亭+ 石) = 0 下面介绍双正交多分辨分析 定义1 2 3 两个细分函数，多被称为是双正交的，当且仅当， ( ( z ) ，石( x 一七) ) = 6 。 同时，称石为驴的对偶 现在假设有两个多分辨分析形 和碱 ，它们是由双正交的两个尺度函数驴和驴 生成的闭子空间的k 和吃的投影只和只为 只，= ( 厂，无k ， 丘厂= ( ，丸瓶t 其中，丸和无像( 卜6 ) 定义，并且它们是非正交投影 定义投影q 和磊如下 q ，f p n 。f 一只f ， q ，t f = r 。 一p i l 它们的值域是空间睨和吃形垂直与吃，并且 第一章多分辨分析和小波基 k 一屹+ l 上式是非正交直和 定理1 2 4 假设妒和石是两个尺度函数，生成一对双正交的多分辨分析，并且它们的 级联算法都收敛，那么 1 ) 否万= r ( 尺) ，o 。吃= r ( 尺) ， 2 ) 当足刀日寸，矸上w 名 3 ) 对任意的咒z ，厂 ) 睨当且仅当厂( 及) 睨+ 1 ， ， ) 吃当且仅当厂( 及) 吃+ 。 4 ) 存在一对双正交的函数妒，矽满足缈o 一七) ：七z ) 构成的一组稳定的基， 够o 一七) ：七z 构成哦的一组稳定的基，并且似杜：n ，七z ) ，彤止：咒，七z ，分别构成 r ( r ) 的一组稳定的基 5 ) 由于缈k ，矽坟，所以它们可以表示为 f ，( x ) = 2 g t 妒( h 一尼) ， 矽( x ) = 压反石( h 一七) 其中瓯，或是系数序列 函数l f ，矽被称为双正交的小波函数 1 3 构造小波的方法 在本节中，我们将讨论修正己知小波和构造具有理想性质的小波的一般方法，我 们将给出一些标准的方法。 1 3 1 利用正交补构造小波 假定驴，莎是一对给定的双正交尺度函数，我们来求它们的小波函数。 回忆调幅矩阵的定义是 雌，= 纂：)g 【告jg 善+ 万j 双正交条件等价于 m ( 亭) 厨( 亭) = m ( 亭) 府( 亭) + = ，( 1 9 ) 北京化工大学硕士学位论文 令 那么 口( 亭) ；d e t m ( 宇) = j i l ( 亭) g ( 亭+ 石) 一j l ( 亭+ 石) g ( 亭) ( 1 1 0 ) 埘= 馏“器) m i ( 亭+ 石) 季皓+ 万) j 。 所以，由2 2 矩阵的逆矩阵公式可得， 蝌圳铲1 2 击( 驾葛 - - ! 考i + 丌) 1 ( 1 1 2 ) j i l ( 亭)j 由于厨( 芋) 的元素是有限阶的三角多项式，所以口皓) 只可能是单项式，又由( 1 1 0 ) 式可得口皓+ 刀) = - 口皓) ，所以此单项式必为奇数次： 口( 亭) = 口2 “+ 1 培，a 0 ，甩z 。 在正交的情况下，m 皓) 是仿酉矩阵，所以口必须满足h = 1 ，如果a 是实数，则口= 1 方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 给出了递归系数间的必要关系，通过使矩阵的元素相等， 我们得到 用递归系数来表达就是 同样的， 鹏) 一击 传栅) 季t ：一! = ( 一1 ) t 2 。+ 1 t ( 1 1 3 ) 口 g 。= 一a ( 一1 ) 石：。+ 。一( 1 1 4 ) 可以证明，如果反，或由上式给出，并且j l z 和厅问的双正交条件 ( 亭) ( 亭) + + j l ( 亭+ 万) ( 占+ 万) = 1 成立，那么其它的双正交条件也成立。 1 3 2 投影因子方法 已经证明，任意正交小波的多相矩阵可以有以下形式的因式分解 p ( z ) = 舛( z ) e ( z ) e ( z ) z 。，( 1 1 5 ) 其中q 是常数正交矩阵，e 是一个投影因子具有以下形式， f ( z ) = ，一“+ + “z 第一章多分辨分析和小波基 “2 瞄) 是一个靴幔 投影因子是仿酉的，投影因子的个数被称为p 的m c m i l l 卸阶数，事实上p q ) 的 m c m i l l a n 阶数就等于d e t 尸( z ) 的多项式阶数最后面的因子z 只起到平移妒的支撑的 作用，因而它并不重要。 1 3 3 由已知小波构造新小波的方法 下面介绍对给定的小波，妒，乒，矽加以某种变换来构造新的小波九。，妒。，磊，妒。， 的方法 交换j i l ，石间的因子。如果i i z ，后满足双正交方程，且j l l 可分解为 ( 亭) = 厂( 亭) ，1 0 ( 亭) 其中( 0 ) = 1 ，那么 k ( 亭) = 7 1 0 ( 亭) 啊。( 宇) = 厂( 亭) + j i l ( 亭) 也是双正交的 利用投影因子。我们可以对已知的小波添加投影因子来构造新的小波。这个方法的优 点是它保持正交性。但是它破坏了不小于2 的逼近阶。 利用提升因子。我们可以对己知的小波添加提升因子或对偶提升因子，适当的选择提 升因子可以保持甚至提高逼近阶，但是它却破坏了正交性。 1 3 4 构造小波的其它方法 构造小波的方法是直接构造尺度函数和小波的方法。其中的一些方法有： 直接解双正交方程。寻找方程 矗( 亭) ( 亭) + j z ( 亭+ 万) ( 亭+ 万) = 1 的三角多项式解。它等价于求解二次方程组。如果滤波器比较短，则可以直接解此方 程，但是如果滤波器比较长，此方程就难解了。d a u b e c h i e s 基于b e z o u t 方程找到了解 j 下交方程的好方法 使用投影因子。这是构造任意长度具有1 阶逼近阶的正交小波的好方法，高阶逼近阶 可作为参数的附加方程。对于滤波器较短的小波，此方法可以解出解析解。而对于滤 波器较长的小波只能解出数值解。 使用提升因子。这是构造任意长度双正交小波的简便方法，很容易加进逼近阶条件， 同样的，也可加入对称性条件。 9 北京化工大学硕士学位论文 除了上面提到的之外，还有很多其它的方法构造小波，在d a u b e c h i e s 的书1 1 中给 出了一些，更多的例子参见【2 捌等文献。 l o 第二章多小波的基本理论 第二章多小波的基本理论 在这一章中，我们介绍多小波理论的基本知识多小波是单小波的推广，相对 于单小波而言，多小波的主要变化是它的递归系数是矩阵，符号是矩阵值的三角多 项式 2 1 多尺度函数 吣，髑 吣) = 肌磊即( 一n 挺乃q 。1 ，称为中的重数，整数肌苫2 是伸缩因子，递归系数饥是厂厂的矩阵 ( m ( 石) ，币0 一七) ) = r ) o 一七) 。出= 哦。， 日( 宇) = 击z 乩p 矾5 v ，咒怎： 毒( 亭) ：日( 至) 毒( 鱼) ( 2 2 ) 帕= 【玎( 聊以咖( o ) ( 2 - 3 北京化工大学硕+ 学位论文 上式的无限积是矩阵的乘积，所以我们应注意乘积的顺序假设这个无限积收敛， 这就提供了一个求 ) 的方法假如参( 0 ) = o 那么中= 0 ，这时多尺度函数就毫无意 义了，所以我们假设南( 0 ) 0 ，但是，$ ( 0 ) 也不能任意取值，假设面在o 点连续，那 么由( 2 2 ) 式可知，只有当1 是h ( 0 ) 的特征值，并且毒( 0 ) 是日( 0 ) 对应与特征值1 的一 个特征向量时( 2 2 ) 才有非平凡的解 无限积方法只能用来估计多尺度函数的存在性和光滑性，而不能用来实际计算 币o ) 计算中( x ) 的近似点值的方法被称为级联算法( c a s c a d ea l g o r i 曲m ) ，它是用固 定的值代入细分方程，然后进行迭代得到的即首先选一个合适的初始值m ( 叭，然 后定义 币“o ) = 石也p 1 ( 脚一七) 7 这种方法是收敛的 多尺度函数的j 下交性可以由它的递归系数和符号来表示 定理2 1 3 正交性的两个等价的必要条件是 吼q 驯= 4 。卜( 2 4 ) 驰亭+ 封一，协5 ， 假设多尺度函数m 存在，那么上面的两个必要条件也是的充分条件 证明将细分方程代入正交性条件的定义得 6 ，。，= ( 中( x ) ，中 一z ) ) = 垅日。日：( 西( ，魃一足) ，币( ，珊一朋z 一疗) ) = h 。研( 币( y ) ，币+ 七一胧z 一，z ) ) = z 也以6 吣肌。= 芝仇h ：耐 用符号表示可得 驰亭+ 斟= 去萋p 雌- “h 州h ) 2 么 = h k h o 嘲舵；i 其中我们用到 第二章多小波的基本理论 亨e 嘲o q ：f 小矿n 弘棚，拒 知 io d 矾e m 觇 证明结束 在单小波的情况下，正交性条件可以推出正交尺度函数的递归系数必定是偶数， 因为正交性条件中包含玩。七：。= o 然而在多小波中，上述限制就不存在了，因为两 个非零矩阵的积可以是零矩阵 定义2 1 4 函数毋的支撑是满足下面条件的闭集 仁：o ) 0 】- 向量值函数中的支撑被定义为 s u p = u s u p 咴 七 紧支撑也就是有限支撑 定理2 1 5 如果中是细分方程( 2 1 ) 的具有紧支撑的解，那么 唧巾c t 鲁，击-，咒一上，疗一上 证明假设s u p = 【口，6 】，那么我们将它代入细分方程可得到 s u p mc 【坐生，坐q 所以 口坐生6s 丝 也即， 口玉6s 生 ，咒一1 ，7 l 一1 由此定理可知，在级联算法中如果我们选择的初始函数o 的支撑是【口m ，6 o 】， 那么中( h 的支撑当甩一时，将收敛于【。一1 ，一1 】的某个子集在单小波的情 况下，妒的支撑近似与它的边界，而在多小波的情况下，未必满足这样的条件多尺 度函数中的某些元素的支撑可能比的支撑小在文献n 1 中证明了如果递归系数日b 和h q 不是幂零的，那么在一定简单的条件下中的支撑是【一1 ，一1 】 定义2 1 6 我们称多尺度函数中有稳定平移，如果中r 并且存在常数0 4s 曰，对 任意的向量值序列 c 。】，2 ( z ) 7 满足， 北京化工大学硕士学位论文 彳；| i q | i 2s | f ；中。一七) 1 1 2s 口；忙川2 如果m 是正交的，那么它必然有稳定的平移，并且彳；口；1 定义2 1 7 一个矩阵彳满足条件e ，当且仅当，它有简单特征值1 ，所有其它的特征 值的绝对值都小于1 定理2 1 8 假设m 是细分方程的紧支撑r 解，并且整数平移线性无关，那么下面的 条件满足 1 ) h ( 0 ) 满足条件e ， 2 ) 存在向量0 满足 y ： 一七) = c ， c 是一个常数 3 ) 向量y 。满足 y 弘( 马：瓯。w ，七：o ，所一1 4 ) 向量y 。满足 y ；军2 去y 晶拈0 朋- 1 此定理的证明见 2 2 多分辨分析和多小波 多小波的多分辨分析和单小波的很相似，很多定义和定理都是单小波的推广 定义2 2 1r 俾) 空间的一个多分辨分析( m r a ) 是一串相互嵌套的闭子空间序列， ck 。c c k c 并且，它们满足下面条件 1 ) u k = r 似) ，n k = o ) ， 2 ) ，0 ) k 当且仅当厂( ，珊) k 对任意的刀z 3 ) 存在一个函数向量西= ( 破，谚) r ，谚r 作) 满足 锄( x 一七) ：z = 1 ，七z ) 构成k 的一组稳定的基 1 4 第二章多小波的基本理论 函数向量m 称为多尺度函数如果西是正交的那么它所生成的多分辨分析也被 称为是正交的 条件3 ) 等价于任意的函数，可唯一的写成下面的形式 ， ) = c ：中。一七) ， 上式中慨) 是向量值序列，并且存在两个常数0 4s 口满足 彳；忙1 1 2s ；恢1 1 2 s b ；恢1 1 2 由此可以推出具有稳定的平移 由2 ) 可知，在多分辨分析中闭子空间k 是由中的函数压缩小“后形成的所以， k 的一组稳定的基 础：七z 】- 具有下列形式 西础( 石) a 肌2 巾( m “工一七) ( 2 6 ) 因子臃只是为了保持r 范数 由于ck ，那么m 可写成k 空间的一组基的形式 中( 石) 2 ；峨- t 。) ；石；巩巾一七) 其中，h 。是系数矩阵，我们将假定细分方程是一个有限和的方程 在单小波中，由m r a 的正交性可以推得尺度函数矽是唯一的，然而在多小波中， 这个结论将不成立 定义2 2 2 一个三角多项式矩阵爿皓) 被称为是仿酉的，当且仅当， 彳( 宇) 彳( 亭) = 彳( 亭) 彳( 亭) = ， 任意的函数厂r ，它在闭子空间k 上的正交投影为 只，o ) = ( ，中础净。 ) 像在单小波中一样，只厂可以被理解为在尺度，l ”上对厂的逼近，当甩一时，只， 依范数收敛于，一个函数在尺度小”和朋”4 上的逼近的差就是尺度脚”上的细节部 分， q ，o ) = 只+ ， ) 一只厂 ) 实际上q 也是正交投影，它的值域形正交与圪，并且ko 睨= k 关于闭子空问 序列 睨) 有下列定理 北京化工人学硕士学位论文 定理2 2 3 对任意的正交的m r a ，它的多尺度函数为，那么 1 ) 0 睨一r 俾) ， 2 ) 当七一n 时，矸：j - w ： 3 ) 对任意的疗z ， ) 形当且仅当厂( 懈) 形+ 。 4 ) 存在相互正交的函数向量v ，s = 1 ，m 1 也与正交，并且 掣5 ( z 一七) ：s = 1 ，_ ，l 一1 ，七z ) 构成哌的一组稳定的基， 1 l ，k ：s ；1 ，肌一l 以，七z ) 构成r 俾) 的一组稳定的基 5 ) 由于w 5 k ，所以它可以表示为 v 5 ( 石) = 石研中一七) 其中q 是系数矩阵 这些函数向量v 5 ，s = 1 ，m 1 被称为多小波函数 此定理的证明和单小波的情况很相似，只是在这旱我们不能给出v 的递归系数 的表达式，在多小波中没有类似与单小波的简单公式，并且多小波函数也不是唯一 的，如果中是紧支撑的，那么构造的l l ，5 ，s = 1 ，m 1 也是紧支撑的 定义、l ，5 的符号为 g 始) = 击；咿雌v 脚下 l l ，5 的细分方程的f o u r i e r 变换为 巾( 芋) ；g 5 ( 兰) $ ( 羔) 多尺度函数巾和多小波l 王，5 之间的正交性可以表示为 了j hk h = i q q = - 。，；6 ，。6 吖， ( 2 - 7 ) 巩q ：州= q h 厶= o 等价的 第二章多小波的基本理论 i ( 宇) 1 2 + 1 日皓+ 石) 1 2 = ， g 5 ( 亭) g 皓) + + g 5 ( 亭+ 石) g ( 亭+ 万) i 屯，( 2 8 ) h ( 亭) g 5 ( 宇) + + h ( 亭+ 玎) g 5 ( 亭+ 石) = 0 g 5 ( 宇) h ( 亭) + g 5 ( 亭+ 石) 日( 宇+ 万) = 0 f 面介绍双正交多分辨分析 定义2 2 4 两个细分函数向量西，面被称为是双正交的，当且仅当， ( 中。一七) ，西。一z ) ) = ， 同时，称面为西的对偶 现在假设有两个多分辨分析形】和 i ；：l ，它们是由双正交的两个多尺度函数中和 面生成的闭子空间的k 和i ；：i 的投影只和意为 只厂= ( 厂，无k ， 丘厂= ( ，丸溉 其中，晚。和元像( 2 6 ) 定义，并且它们是非j 下交投影 定义投影q 和q 如下 q ，f = r “f p n f ， q ，f = 只。f p n f 它们的值域是空间形和谚像单小波的情况一样，形垂直与吃，并且 k0 睨= k + 。 上式是非正交直和 定理2 2 5 假设m 和击是两个多尺度函数，生成一对双正交的多分辨分析，并且它们 的级联算法都收敛，那么 1 ) 瓦瓦= r ( 尺) ，o 。呒= r ( 尺) ， 2 ) 当七刀时，w ：上西：l 3 ) 对任意的疗z ，厂o ) 睨当且仅当厂( 臌) 睨 厂( x ) 呒当且仅当厂( 腻) 嘭+ 。 4 ) 存在一对双f 交的函数向量l l ，5 ，皿5s = 1 ，m 1 满足 v 5 ( x 一七) ：s = 1 ，肌一1 ，七z _ 1 7 北京化工大学硕上学位论文 构成的一组稳定的基， 掣5 ( z 一七) ：s 一1 ，小一1 ，七z 构成哌的一组稳定的基，并且 分别构成似) 的一组稳定的基 5 ) 由于平5 k ，币5 嘎，所以它们可以表示为 、l ，5 ( z ) = 石瓯中一七) ， 每5 ( x ) = 而俄西一七) 其中q ，俄是系数矩阵 这些函数向量l 王，币ss ：1 ，m 1 被称为双币交的多小波函数 2 3 多小波的构造方法 在本节中，我们讨论已知多尺度函数构造它所对应的多小波的方法，和构造多 小波的一般方法 2 3 1 正交补方法 给定一个正交的多尺度函数，怎样找到它所对应的多小波函数呢? 在多小波的 情况下，要比单小波复杂的多，下面介绍两种方法 多小波不是唯一的，但是我们有下面的定理 定理2 3 1 如果只( z ) 和罡( z ) 是对应于同一个多尺度函数的仿酉多相矩阵，那么它们 满足下面的关系 肫，2 三丁擀z ， 其中，r ( z ) 是仿酉矩阵 证明见 投影因子法 解决j f 变补的一个方法就是用投影算子 定理2 3 2 假设p 0 ) 是一个正交多小波的多相矩阵，那么p ( z