（应用数学专业论文）关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究.pdf

s t u d yo ns o l u t i o n so ft w ot y p e so fn o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b y d uz h u o r a n b e ( x i a n g t a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 1 9 9 8 m s ( f u d a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no f t h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f d o c t o ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rg u ic h a n g f e n g m a r c h ，2 0 1 0 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 辑吣 日期：历卜年f 月罗口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密碰 ( 请在以上相应方框内打”，) 作者签名： 导师签名： 裤艺 橼峰 日期：劣卜年t ib ；日 日期：三p 年，2 月，日 关于两类非线性椭圆塑偏微分方程解的研究 摘要 本文主要研究两类非线性椭圆偏微分方程的解第一类是奇异椭圆方程这 类方程来自于对薄膜平衡状态模型的刻画我们得到了有初值条件时这类奇异椭 圆方程经典径向解的存在唯一性结果，与奇异( 奇性发生在原点) 径向解的存在 性结果还研究了这些径向解的振荡性及其在无限远处的极限情形其中奇异径 向解的研究对于涂料工业具有重要的意义第二类是在二维空间中的有界区域内 带有n e u m a n n 边界条件的a l l e n c a l m 方程我们研究了其内部层解 第一章，简单介绍了所研究问题的背景及本文的主要结果也交代了文中需 要用到的一些概念与基本定理，还包含有全文的结构安排 第二章，我们研究奇异椭圆方程 1 a u ( x ) = * - u 一口( z ) 一p ( r )z j r 州( n 3 ) ， 1 3 1 的经典径向解，其中r = 吲由于该方程的非线性项含有负指数幂，我们需要谨 慎讨论该问题的“解”我们先给出该方程解的定义若一非负连续函数让0 且 在开集 z r ，u ( x ) o ) 中满足方程，则我们称u 为该方程的解我们在本章 得到了：对任意的叼 0 ，该问题存在唯一的经典径向解u ( r ) 满足u ( o ) = 7 7 ，且 解u ( r ) 有振荡性质与极限结果在考虑极限情形时，我们根据解u ( r ) 的三种可能 情形进行讨论，并得到了解在三种情形中都有相同的极限结果 第三章，我们首先得到奇异解在原点处的增长率结果然后通过压缩映照原 理证明了前面奇异椭圆问题奇异径向解的存在性奇异径向解的振荡性质与极限 结果可用类似第二章的方法得到 第四章，我们研究如下带有n e u m a n n 边界条件的非齐次a l l e n c a l m 方程的内 部层解 l 2 t l + v ( y ) u ( 1 一u 2 ) = 0y q ， 气 1 塞= 0y 锄， 其中q 为r 2 中的有界光滑区域我们用无限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法，得 到了该问题有两个具有相反方向的内部层解的结论我们的重点是需要得到其中 一个层解，另外一个则可对称的得到本章中我们需要多次构造问题的近似解以 逐步提高其精度，及反复用到不动点原理还将通过截断的办法将局部问题非局 部化 我们将遵循如下主要步骤首先，我们通过多次构造问题的近似解，逐步降 低误差其次，再将原问题泰勒展开，得到线性算子然后证明线性算子对于相 应的投影问题是可逆的，且逆算子有界再次，用上一步得到的逆算子及投影算 子对泰勒展开式的两边复合作用，非线性投影问题就转化为一个不动点问题然 博士学位论文 后用不动点原理证明该非线性投影问题有唯一解最后，说明对应投影问题的解 即为原问题的解 关键词：奇异椭圆方程；奇异解；振荡的；a l l e n c a h n 方程；无限维l i 印u n o v s c h m i d t 约化；内部层解 i l l 关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h es o l u t i o n so f t w ot y p e so f n o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s 。t h ef i r s tk i n di ss i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o nc o m i n gf i - o mt h ee q u i l i b r i u m s t a t e si nt h i nf il m s w eg e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fc l a s s i c a lr a d i a ls o l u t i o nt o t h i sc l a s so fs i n g u l a re q u a t i o nw i t hag i v e ni n i t i a lv a l u e ，a n dt h ee x i s t e n c eo fs i n g u l a r r a d i a ls o l u t i o n s ( s i n g u l a r i t yo c c u r sa tt h eo r i g i n ) t h eo s c i l l a t i o na n dt h el i m i tb e h a v i o u r a ti n f i n i t yo f t h e s er a d i a ls o l u t i o n sa r ea l s os t u d i e d i np a r t i c u l a r , t h er e s e a r c ho f s i n g u l a r r a d i a ls o l u t i o n si so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nt h ec o a t i n g si n d u s t r y t h es e c o n dt y p ei st h e a l l e n c a h ne q u a t i o nw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni nab o u n d e dd o m a i ni n r 2 w es t u d yi t si n t e r i o rl a y e rs o l u t i o n s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t sa r eb r i e f l yp r e s e n t e d s e v e r a l n o t a t i o n sa n ds o m eb a s i ct h e o r e m su s e di nt h et h e s i s ，a n dt h eo u t l i n eo ft h i sw o r ka r e a l s og i v e ni nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr a d i a ls o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gs i n g u l a r e l l i p t i ce q u a t i o n u ( z ) = 三u ”( z ) 一p ( r ) z r ( 3 ) ， w h e r er = | z i d u et ot h en e g a t i v ee x p o n e n to ft h en o n l i n e a r i t yi nt h i se q u a t i o n ，w e n e e dt ob ec a r e f u li nd i s c u s s i n g “s o l u t i o n s ”t ot h i sp r o b l e m t ob e g i nw i t h ，w eg i v e t h ed e f i n i t i o no fs o l u t i o n st ot h i se q u a t i o n i fan o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o nu 0s a t i s f yt h i se q u a t i o ni nt h eo p e ns e t z r ：1 1 ( z ) o ) ，t h e nw ec a l ls u c h t t a sas o l u t i o nt ot h i se q u a t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h a tf o ra n yr 0 ，t h e r e e x i s t sau n i q u ec l a s s i c a lr a d i a ls o l u t i o nu ( r ) t ot h i se q u a t i o n ，w h i c hs a t i s f i e su ( 0 ) = 叼， f u r t h e r m o r e ，仳( r ) i so s c i l l a t o r ya n dh a sal i m i ta to 。d u r i n gt h ec o n s i d e r a t i o no fl i m i t b e h a v i o u r , w ed i s c u s sa n do b t a i nt h es a m el i m i tr e s u l to f s o l u t i o n1 1 ( r ) ，f o rt h r e ep o s s i b l e c a s e so f u ( r ) i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s tc h e c kt h eg r o w t hr a t eo f s i n g u l a rs o l u t i o n sn e a rt h eo r i g i n a f t e r w a r d s ，ad i r e c ta p p l i c a t i o no fc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l ey i e l d st h ee x i s t e n c eo f t h es i n g u l a rr a d i a ls o l u i t o n st ot h e p r e v i o u ss i n g u l a rp r o b l e m s i m i l a r l ya si nt h ec h a p t e r t w o ，w ec a ng e tt h eo s c i l l a t i o na n dl i m i tr e s u l to ft h es i n g u l a rr a d i a ls o l u t i o n s i nc h a p t e rf o u r , w es t u d yt h ei n t e r i o rl a y e rs o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n ga l l e n - c a h n e q u a t i o nw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，e 2 a u + y ( s ，) u ( 1 一u 2 ) = 0 可q ， 、雾：0 y 勰 i v 博士学位论文 w eg e tt h er e s u l tt h a tt h e r ee x i s tt w oi n t e r i o rl a y e rs o l u t i o n sw i t ho p p o s i t ed i r e c t i o n ，b y a p p l y i n gi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n t h ek e yi st oa c h i e v eo n e l a y e rs o l u t i o n ，s i n c et h eo t h e ro n e c a nb eo b t a i n e ds i m i l a r l y i nt h i sc h a p t e r , w en e e dt o c o n s t r u c tr e p e a t e d l ya p p r o x i m a t i o nt ot h es o l u t i o ns oa st oi m p r o v et h ea c c u r a c ys t e pb y s t e p ，a n da f i x e dp o i n ta r g u m e n ti sa l s ou s e dr e p e a t e d l y w et r a n s f o r mt h el o c a lp r o b l e m i n t os i m i l a rn o n l o c a lo n e ，b yi n t r o d u c i n gas m o o t hc u t o f ff u n c t i o n w ew i l lf o l l o wt h ef o l l o w i n gm a i ns t e p s f i r s to fa l l ，w ec o n s t r u c ta p p r o x i m a t i o n r e p e a t e d l yi no r d e rt or e d u c ee r r o r s e c o n d l y , w ea p p l yt a y l o r se x p a n s i o na b o u tt h e e q u a t i o nt ob ec o n s i d e r e d ，a n dg e tal i n e a ro p e r a t o r a f t e r w a r d sw ep r o v et h el i n e a r o p e r a t o ri nt h ec o r r e s p o n d i n gp r o j e c t e dp r o b l e mt ob ei n v e r t i b l e ，f u r t h e r m o r e ，t h ei n v e r s eo p e r a t o ri sb o u n d e d t h i r d l y , a c tt h ep r e v i o u si n v e r s eo p e r a t o ra n dap r o j e c t i o n o p e r a t o ro nt w os i d e so f t h et a y l o r se x p a n s i o n ，t h e nt h en o n l i n e a rp r o j e c t e dp r o b l e m i st r a n s f o r m e di n t oaf i x e dp o i n tp r o b l e m n o ww ec a np r o v et h en o n l i n e a rp r o j e c t e d p r o b l e mp o s s e sau n i q u es o l u t i o n ，b ya p p l y i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m f i n a l l y , w en e e dt o v e r i f yt h a tt h es o l u t i o no f t h ep r o j e c t e dp r o b l e mi sa c t u a l l yt h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a l p r o b l e m k e y w o r d s ：s i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n ；s i n g u l a rs o l u t i o n s ；o s c i l l a t o r y ；a l l e n - c a h n e q u a t i o n ；i n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n ；i n t e r i o rl a y e rs o l u t i o n s v 4 4 线性投影问题的求解4 2 4 5 非线性中间投影问题的求解4 7 4 6 误差投影的估计5 3 4 7 涉及砂项投影的估计5 7 4 8 定理4 1 1 的证明6 0 结论6 3 参考文献6 5 致谢 附录攻读博士学位期间发 博士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 在十八世纪，经过欧拉，达朗贝尔等数学家对弦振动问题的研究，开创了现 代数学的一个重要分支一一偏微分方程在随后的十九世纪与二十世纪，偏微分 方程理论得到了迅速的发展到今天，线性偏微分方程的理论相对比较成熟，而 非线性偏微分方程的结果，人们知道的要少得多事实上，无论从物理，几何， 生物等学科或其它一些实际问题中来的偏微分方程更多的是以非线性形式出现， 所以无论就理论还是实际意义而言，开展对非线性偏微分方程的研究都有其必要 性确实在当前，非线性方程吸引了广大数学工作者投身于其研究对于偏微分 方程而言，一个重要的研究内容是解的适定性问题，即解的存在性，唯一性与稳 定性三个方面但我们知道，许多方程的解往往不具有唯一性，而是有多个解或 无数解，有些甚至加上边界条件与初始条件也没有唯一性由于问题的非线性等 因素导致的困难与复杂性，对其一般解的研究通常不是一件容易的事于是人们 首先想到去考虑一些特殊解的存在性及其性质椭圆型偏微分方程是偏微分方程 中的重要一类对于椭圆方程，常见的特殊解包括如径向解，正解，一维解，鞍形 解，层解，峰解等 1 2 研究问题的背景及本文主要结果 1 2 1 奇异椭圆方程经典径向解的存在唯一性，振荡性与极限结果 为描述v a nd e rw a a l s 力驱动粘性流体中的薄膜运动模型，人们得到方程 u t = d i v ( u 3 v p ) ( 1 1 ) 其中u ( z ，t ) 0 表示薄膜的厚度，压强p = i l u 一札为由产生吸引的v a nd e r w a a l s 力导致的脱离压力与一相应于表面张力影响的线性化曲率项共同作用而得 0 - 4 1 将p 的表达式代入( 1 1 ) 可得方程 札t = 一d i v ( u 1 v u ) 一d i v ( u 3 v x u ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 为下面一般薄膜方程的特殊情形( 对应m = 一1 ，n = 3 ) u t = - d i v ( u m v u ) 一d i v ( u ”v a u ) ( 1 3 ) 这类方程常出现在许多涉及流体交界面的物理模型中【5 ，6 1 例如，当礼= 3 ， m = 3 时，它描述了悬挂在天花板上的小液滴的状况 7 1 对于n ，m 分别取一些 1 关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究 不同值的情况，我们可以参看文献 8 1 4 】在过去二十多年来，上面这些模型得 到了广泛的研究，参看文献 1 5 2 8 】可以得到详细的了解 类似在v a i ld e rw a a l s 力的情形，更一般地，只要n m l 的话，可以令 p = 一南u m - - n + l _ _ u ( 1 4 ) 则( 1 3 ) 可以写为 u t = d i v ( u ”v p ) 现在考虑一柱状容器中的粘性流体，用q 表示容器的底部，则q 为譬中的一个 有界光滑区域我们忽略干湿影响，并假设流体表面垂直于容器壁，即 尝：oz 凇， o n 其中n 表示边界a q 的单位外法向量对于静态薄膜流体，可以推导得知p 必为 一个常数，且u 满足( 1 4 ) 所以，令q = 一( m 一佗+ 1 ) ，我们得到椭圆问题 牡( z ) ：1 u - o ( z ) 一p z q ， ，、 i “1 ) “1 掣盟：oz 勰 口n j i a n gh u i q i a n g 与n iw e i - m i n g 研究了当q 1 ，q 为球形区域研。( 0 ) 时， ( 1 5 ) 的经典径向解( 有初值条件) 及奇异( 奇性发生在原点即u ( 0 ) = 0 ) 径向解 的存在唯性，振荡性与极限情形【2 9 1 问题( 1 5 ) 有常数解= ( q p ) 一言1 他们证 明了径向解围绕振荡的性质及极限l i m ，。仳( 7 ) = ，其中r = g u o z o n g m i n g ，y ed o n g 与z h o uf e n g 研究了问题 a u ( x ) = f ( u c x ) )z r ( j 7 v 3 ) 的径向解，要求，满足几个条件，其中要求厂有唯一零点1 3 0 他们讨论了上面 问题的经典径向解( 有初值条件) 的存在唯一性与振荡性还研究了奇异( 奇性 发生在原点) 径向解的存在性与振荡性关于振荡性的结论是：径向解围绕r 的 零点振荡 我们将研究全空间的奇异椭圆方程 1 x u ( x ) = 2 u 一口( z ) 一p ( r )z r n ( n 3 ) ( 1 6 ) ( 3 的经典径向解，其中o t 1 ，r = 川我们这里研究的问题没有常数解，这使得问 题变得更困难我们需要函数p ( f ) 有适当的条件，及巧妙构造辅助函数的办法得 到经典径向解( 有初值条件) 的存在唯一性与振荡性在研究径向解的极限情形 2 博士学位论文 时，我们需要对解的三种可能情形进行讨论，并得到在三种情形下径向解都有同 样的极限结果 我们通过分析的办法，结合常微分方程的基本理论得到了问题( 1 6 ) 在有初 值条件下经典径向解的存在唯一性及振荡性与极限结果，具体结论见第二章定理 2 1 1 ，2 1 2 与2 1 3 1 2 2 奇异椭圆方程奇异径向解的存在性，振荡性与极限结果 对于问题( 1 6 ) 的奇异( 奇性发生在原点) 径向解的研究，与前面经典径向解研 究的差别主要在于存在性问题我们将通过对解在原点处的增长估计，结合压缩映 照原理得到前面问题( 1 6 ) 在原点附近的的奇异径向解的存在性然后此解可以唯 地扩展为全空间的解至于奇异径向解的振荡性及极限结果可类似第二章方法得 到具体结论见第三章定理3 1 1 此时与上一章不同的是，我们没有得到奇异径向 解的唯性结果这部分结果及前面经典径向解的结果已经被【c o m m u n i c a t i o n s o np u r ea n da p p l i e da n a l y s i s 录用 1 2 3 a l l e n - c a h n 方程的内部层解 a l l e n c a h n 方程是个著名的双相过渡模型，常用来描述两种不同物质的混 合状况，例如，水与冰的混合情形1 3 1 一个标准的a l l e n c a h n 方程是 a u + t | 一t 上3 = 0 ，i 训1 ，z qcr n 其中u 的不同取值对应混合物的不同状态，t 三4 - 1 分别对应混合状态的两种极 端情形一纯态 。 近年来，有关层解的问题受到广泛的关注及研究，也有了大量的结果( 见 3 2 - 6 0 】) 所谓的层解，即指那些除了一个狭窄区域外，在其它地方分别趋向于两个 常数的解，例如，上面方程的层解除了一个狭窄区域外分别趋向于l 与一1 对于a l l e n c a l m 方程 葚妇划嚣 也有很多的文献讨论了其层解的问题，见【6 l 一7 1 】及其里面的参考文献 无限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法常用于研究奇异摄动椭圆问题，也是一种 很有效的方法4 0 , 5 8 , 5 9 , 7 2 对于摄动椭圆问题峰解，层解等的研究很方便例如， m a n u e ld e lp i n o ，k o w a l c z y km i c h a l 与w e ij u n c h e n g 用无限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法研究了下面问题的峰解 e 2 u y ( y ) t i + 矿= 0 ，u 0 ，t 上h 1 ( 兄2 ) ， 3 关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究 其中p l ，y 是一致正的光滑函数1 5 9 1 m a n u e ld e lp i n o ，k o w a l c z y km i c h a l 与w e ij u n c h e n g 用无限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法讨论了下面问题的层解 2 u + ( t 正一o ( 可) ) ( 1 一t 上2 ) = 0 ，y q ， 芸= 0 ，y 锄， 其中q 为冗2 中的有界光滑区域，一1 0 我们设r 为q 内的封闭的光滑曲线，且是 相对于度量d s 2 = v ( y ) ( d y + d 谚) 的非退化的测地线即r 为加权弧长f r y 二d 1s 的非退化的测地线曲线r 将区域分成 s2 = 52 1us2 2ui ， 其中a q l = r ，a q 2 = rua q 在一维空间中，问题( 1 7 ) 有内部层解，并且每个解的零点只可能在v ( y ) 的 局部极小值点，局部极大值点与区间端点附近，即过渡层出现在v ( y ) 的局部极值 点或端点附近在局部极小值点附近最多只有一个零点，即单层，但是在局部极 大值点附近可能存在多层 3 7 1 本文证明了，对于每个足够小的，问题( 1 7 ) 都有两个内部层解，当e 一0 时，其中的一个解在q l 中收敛于一1 ，在q 2 中收敛于1 ，过渡层出现在r 附近 另外个解有着相反的收敛趋势，即在q 1 中收敛于1 ，在q 2 中收敛于一1 ，过渡 层也出现在r 附近这部分的结论详见第四章定理4 1 1 及其证明过程这部份工 作已经被( j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 录用 无限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法由有限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法( 见 【7 3 8 0 】) 发展而来事实上，这两种方法有着很大的相似性为了让读者对l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法有所了解，也有助于本论文的阅读，我准备在这里花些笔墨介绍 有限维l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法的基本思想与步骤我们将引用文献 7 3 】中的 实例展开叙述 考虑一维空间中的方程 e 2 1 ) ( z ) + y ( z ) 口( z ) 一a v ( x ) + 们3 ( z ) = 0 ，z r ， ( 1 8 ) 其中v ( 0 ) = 0 ，常数a 0 我们希望证明，对于y 的每个非退化临界点x 0 ， 都存在相应的o 0 ，使得对任意的0 1 ，；1 + i 1 = 1 如果，妒( q ) ，g l q ( q ) ，其中 q 是舻中有界区域，贝4 上l ，9 l d x 1 ，c 0 函数p ( r ) c 1 【o ，) 单调递减，而且，对于适当大的r ， 我们设p ( r ) = c ( 1 一葫2 一) 一，苔0 对于n 3 ，有l i m e - 0 0 p ( r ) = c 容易 看到p ( r ) 0 ，r f 0 ，) 我们考虑如下问题 u 。) = 三u a ) 一p ( r ) z r ( 3 ) ，( 2 1 ) 其中r = h 由于该方程的奇异性质，我们需要先给出该方程解的定义，并从而引出经典 解与奇异解概念 若定义在全空问冗的一非负连续函数u 0 且在开集 z r ：u ( x ) o ) 中满足方程( 2 1 ) ，则我们称u 为方程( 2 1 ) 的解 我们定义 = z r ：牡( z ) = o ) 由标准的椭圆方程理论可知，上面定义的解u 是方程( 2 1 ) 在冗内的经典解 若= 0 ，则问题( 2 1 ) 的解札为经典解否则，若0 ，则称问题( 2 1 ) 的解乱 为奇异解我们称解仳在内的点处有奇性 本文中我们只研究方程( 2 1 ) 的径向解，所以我们总可将( 2 1 ) 写成如下径向 形式 厂一1 t ( r ) + j u ，( r ) + ，( 乜( r ) ，r ) = 0r 【0 ，o 。) ， ( 2 2 ) 其中，( u ，r ) = - - 三。u 1 + p ( r ) 我们称h 为( 2 1 ) 的径向解，则意指u 为一个定义在【0 ，( 2 0 ) 上且在集合矿= r 【0 ，。) ：u ( r ) o ) 中满足( 2 2 ) 的连续函数 从上面的定义可知，奇异椭圆方程( 2 1 ) 的经典径向解u ( r ) 即指在【0 ，o 。) 中恒 为正且在【0 ，。) 中处处满足方程( 2 2 ) ，也即( 2 2 ) 的经典解对于方程( 2 1 ) 的奇 异径向解让( r ) ，则有矿【0 ，。) 且s + 【0 ，) ，即解u ( r ) 在某些点处为0 ，产 生了奇性，而在解为正的地方仍满足方程( 2 2 ) ，也即( 2 2 ) 的奇异解事实上，本 文只研究方程( 2 1 ) 的奇性发生在原点的奇异径向解，即满足u ( 0 ) = 0 而在( 0 ，) 中为正且满足方程( 2 2 ) 的解u ( r ) 9 关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究 我们首先指出，若给定初值条件u ( o ) = 叩 0 ，则( 2 2 ) 的经典解满足如下初 值问题 u v ) + 竿以卅m ，r ) = 。 r 0rc o ) ， ( 2 3 ) 1 ( 0 ) = r ，u 7 ( 0 ) = 0 由f ( u ，) = _ 1 。1 一a + p ( r ) ，令，( ( ，) ，r ) = 0 ，可得到( r ) = ( q p ( r ) ) 一；1 由函 数p ( r ) 的性质可知，( r ) 为单调递增函数且( r ) _ 岛：= ( a c ) 一；1 当r _ 0 0 另 外，容易验证可知对于适当大的r ，( r ) = ( q c ) 一吉( 1 一动2 一) ，还满足方程 f ，( r ) + ! ! 三土，( r ) ：0 ( 2 4 ) 我们定义 f ( u ，7 ) = ，( s ，r ) d s ，f ( r ) 则 f ( t t ，r ) 2 志( u 卜。一( ) 卜。) + p ( r ) ( 仳一) 所以 f ( ( r ) ，r ) = r i f ( r ) ，r ) = ，( ( r ) ，r ) = 0 ： 其中r ( u ，r ) = 必o u对固定的r ，容易证明r ( u ，7 ) 关于t ( o ，o 。) 为凸的，且 ( r ) 为f ( 1 ，r ) 的唯一极小值点我们还知道，对每个nf ( u ，r ) _ + 当1 1 , _ 0 + 或让_ + 我们知道，( 2 3 ) 总有唯一的局部解u ( 在r = 0 附近) 然后我们将局部解 乜设法扩展，假设1 的最大存在区间为 0 ：r + ) 我们将证明( 2 3 ) 有唯一的总体解 t l ，即需要证明r + = o o ，这个我们将随后证明，并还将证明仳的振荡性与极限结 果作为本节的结尾，我们下面给出本章的主要结果 定理2 1 1 对任意的r 0 ，( 2 3 ) 在【0 ，o 。) 中都有唯一的正解u ( r ) 定理2 1 2 对于( 2 3 ) 在【0 ，。) 中唯一的正解u ( r ) ，不存在r o 0 ，使得对所有的 r r o 有u ( r ) ( r ) 或u ( r ) 0 ，( 2 3 ) 在 0 ，o 。) 中唯一的正解札( r ) 有极限l i m ，。仳( 7 ) = 如= ( q c ) 一= i t 注2 1 1 定理2 1 2 的结果即指( 2 3 ) 在【0 ，o o ) 中的正解u ( r ) 的曲线围绕f ( r ) 曲线 振荡定理2 1 1 与2 1 2 得到了程( 2 3 ) 总体解的存在唯一性及振荡性质，即证明 了方程( 2 1 ) 在初值条件u ( 0 ) = 叩下经典径向解的存在唯一性及振荡性质定理 2 1 3 得到了方程( 2 1 ) 的经典径向解的极限结果 一1 0 博士学位论文 我们将在第二节证明定理2 1 1 ，第三节证明定理2 1 2 ，第四节得到定理2 1 3 的证明 2 2 ( 2 1 ) 在初值条件u ( o ) = 叩下经典径向解的存在唯一性 本节我们将得到方程( 2 1 ) 在初值条件u ( o ) = 7 下经典径向解的存在唯一性 结果，即需要证明定理2 1 1 我们将通过构造辅助函数e ( r ) ，然后得到e ( r ) 的单 调性来证明定理2 1 1 上一节我们讲到( 2 3 ) 总有唯一的局部解u ，然后将其扩展，设u 的最大存在 区间为【0 ，r + ) 我们要证明定理2 1 1 ，需要证明尼= o 。 对每个7 【0 ，r ) ，令 e p ) 2 主( u ，( r ) ) 2 + f ( u ( r ) ，- ) + i 圭了( ( r ) ) 1 _ 口一i 圭1 醯一。， 日j 计算得到 d e j ( 一r ) ：札，( r ) u ，( r ) + u ，( r ) ，( u ( r ) ，r ) + ( r ) ( 牡( r ) 一( r ) ) 一代( r ) ) 一n ，( r ) ：一n _ _ - 一1 ( u ，( r ) ) 2 + ( r ) ( u ( r ) 一专( r ) ) 一( ( r ) ) 一n ，( r ) ：一! ! _ ；= _ ! ( u ，( r ) ) ：+ ( r ) u ( 7 ) 一( r ) ( q p ( r ) ) 一吉 ( 2 5 ) 一叩( r ) ( 叩( r ) ) 一i 1 1 ( 一1 ) ( r ) ：n