（信号与信息处理专业论文）参数建模技术在水声换能器校准中的应用研究.pdf

东南大学硕士学位论文 摘要 低频、窄带水声换能器在有限尺寸水域条件下的校准技术，是换能器测量的 一个难题。本文将信号建模技术应用于水声换能器校准中，扩展由有限尺寸水域 所造成的低频限制。在相关的理论指导下，通过大量实验研究，尤其是针对低频、 窄带换能器的校准实验，探讨、总结出了提高信号分析精度的方法，使得信号参 数估计性能得到了改善。 论文共分四章： 第一章介绍信号建模的基本原理，分析、比较瞬态建模的方法，阐述模型参 数的优化算法，给出由模型参数恢复信号和估计信号参数的基本方法。 第二章瞬态建模对仿真信号的分析处理，探讨由模型参数估计信号各参数的 性能和影响估计精度的因素；由校准水声换能器的仿真和模拟实验j 验证瞬态建 模技术扩展校准低频限的可行性。 第三章低频、窄带换能器的校准实验。应用瞬态建模技术对水池实测信号分 析处理，系统研究由模型参数重建信号和估计信号参数的具体实现方法，探讨提 高估计精度的途径和方法，达到了较高精度，讨论算法的适用条件和信号参数的 估计性能。 第四章多路径信号模型的结构、参数和模型参数的最优化方法等建模理论分 析，说明信号极点的初始值可由瞬态建模技术给出。并作了一些实验研究。 关键词：换能器校准，瞬态建模，多路径信号模型，非线性最d , - - 乘法 东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec a l i b r a t i o no fn a r r o w - b a n d ，l o w f r e q u e n c ye l e c t r o a c o u s t i ct r a n s d u c e r si sab i g p r o b l e mb e c a u s eo ft h el i m i to fw a t e ra r e ad i m e n s i o n i nt h i sp a p e r , s i g n a lm o d e l i n g t e c h n o l o g yw a sa d o p t e dt oe x p a n dt h el o wf r e q u e n c yl i m i t s o m eo fe x p e r i m e n t s b a s e do nn a r r o w b a n d ，l o w - f r e q u e n c yt r a n s d u c e r sw e r ed o n ew i t l l h e l po fs o m e r e l a t e dt h e o r i e s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep e r f o r m a n c eo fs i g n a l p a r a m e t e r s e s t i m a t i o nw a si m p r o v e d t h i sp a p e ri n c l u d e s4c h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，t h ep r i n c i p a l so fs i g n a l m o d e l i n gw e r ei n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gs o m e t r a n s i e n ts i g n a lm o d e l i n gm e t h o d s ，t h eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m sf o r t h em o d e l p a r a m e t e r sa n dh o w t or e c o v e r i n gs i g n a la n de s t i m a t i n gs i g n a lp a r a m e t e r s i nc h a p t e r2 ，s o m es i m u l a t i o nd a t aw a sp r o c e s s e dw i 也t r a n s i e n ts i g n a lm o d e l i n g t e c h n o l o g yt of i n do u tt h ep e r f o r m a n c ea n df a c t o r sw h i c ha f f e c tt h ea c c u r a c yo ft h e s i g n a lp a r a m e t e r se s t i m a t i o nf r o mt h em o d e lp a r a m e t e r s t h es i m u l a t i n ga n di m i t a t i n g e x p e r i m e n t sp r o v et h a ti ti sp r a c t i c a lt oe x p a n dt h el o wf r e q u e n c yl i m i to fc a l i b r a t i o n b yt r a n s i e n tm o d e l i n g i nc h a p t e r3 ，t r a n s i e n tm o d e l i n gt e c h n o l o g yi sa p p l i e dt ot h er e a ld a t a ，w h i c hw e r e a c q u i r e df r o mn a r r o w - b a n d , t o w f r e q u e n c yt i 。a n s d u c e r t h er e a l i z a t i o no fs i g n a l r e c o v e r i n ga n ds i g n a lp a r a m e t e r se s t i m a t i n gf r o mm o d e lp a r a m e t e r sa n dh o wt o i m p r o v ee s t i m a t i o na c c u r a c yw a ss y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e d t h ea p p l i c a t i o nc o n d i t i o n f o rt h ea l g o r i t h mw a sa l s od i s c u s s e d t h i sm e t h o ds h o w sag o o dp e r f o r m a n c e i nc h a p t e r4 ，t h ef r a m eo fm u l t i p a t hs i g n a lm o d e l ，i t sp a r a m e t e r sa n dp a r a m e t e r o p t i m i z a t i o nw e r ei n t r o d u c e d t h ei n i t i a lv a l u e so fp o l e sc o u l db eg i v e nb yt h e t r a n s i e n tm o d e l i n gt e c h n o l o g y s o m ee x p e r i m e n t sw e r ed o n e k e yw o r d s ：t r a n s d u c e rc a l i b r a t i o n ，t r a n s i e n tm o d e l i n g ，m u l t i p a t hs i g n a lm o d e l ， n o n l i n e a rl e a s t - s q u a r ea l g o r i t h m l i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：兰兰垄墨日期：巫矿 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名： 兰圭至导师签名： 日期 前言 上- | l 刖舌 水声换能器是实现电声能量互换的装置，是声呐湿端的重要组成部分。它作 为发射器是水下声系统的信息源，作为接收器是感知水下信息的耳目，也是采集 水下信息的窗口。它肩负着将电信号转换成水中声信号或将水中声信号转换成电 信号的重任。为了确保声呐系统的工作性能以及量值传递的需要，必须对水听器 和发射器进行校准。现代水声工程需要声呐系统向低频方向发展，以提高声呐系 统的探测作用距离。声呐的工作频率从高频向低频的扩展，又为换能器校准技术 提出了新的要求。 根据换能器的工作条件和换能原理，大多数换能器的校准应在自由场、远场 和稳态条件下进行。但是，在现有的实验室条件下，由于校准水池的尺寸限制， 不可能取得理想的自由场条件。在低频情况下，消声水池的消声效果大大减弱， 尤其是对大功率声呐发射器来说，由于存在着水面反射和池壁的不完全吸收引起 的反射，使得水听器接收到的信号变成了通过发射器和水听器之间的各种各样传 播通道的多个信号的叠加，因此无法全面、精确地评价此类换能器的声性能。 为了减小由有限尺寸水域引起的反射声影响，通常采用脉冲声技术。脉冲声 技术是目前常用的测试技术，各国水声计量测试单位都建有相应的标准装置和测 量系统。脉冲声技术是利用直达信号和反射信号到达的时间差来避开来源于边界 ( 池壁，水面，水底) 的反射干扰的。然而在测量中要求达到稳态测试条件。根 据我国国家标准要求声脉冲中包含的最小稳态正弦波不能少于两个周期n 1 。由于 换能器建立稳态振动所需的时间，即暂态过程的持续时间，取决于其机械振动系 统的q 值与测量时所用的频率厂的比值( q 厂) ，因此，对于低频、高绋值的 换能器，要求声脉冲具有足够大的宽度，而有限尺寸的水域又限制了声脉冲具有 的最大宽度。这些条件限制了能校准的低频限。一般尺寸的水池( 如：8 * 8 * 5m 3 ) ， 下限频率一般都高于2 k h z 。为了发展远距离声纳系统的，需要解决水声换能器 低频校准的问题。 结合现代信号处理技术和信号分析技术，用宽带信号作为校准信号，用频率 分析技术代替脉冲声的扫描技术，只需一次时间信号的测量，就可以在很短的时 东南大学硕士学位论文 间内求得系统在一定频率范围的复频响曲线。不但大大缩短了测量时间，而且还 可能降低由水域的有限尺寸所引起的低频限制。信号分析通常利用f f t 技术，但 在水声换能器的校准中，直达信号和反射信号到达的时间差很短，因此可利用的 数据样本也很短，一般在2 m s 左右。而对于2 m s 的离散数据，f f t 的频率分辨 率将达到5 0 0 h z 。显然，f f t 技术由于频率分辨率以及其本身存在的功率泄漏造 成谱估计的失真等问题，已不能适合于水声换能器的低频校准。应用信号建模技 术，可以克服f f t 技术的上述缺点而引人注目，是一个非常值得研究的方向。 瞬态建模的原理是将采样时间域信号表示成衰减指数或衰减正弦波的形式， 这与一般的具有衰减过渡过程的换能器传递特性相适应。通过对模型参数的优化 估计，由短时间采样数据推算整个信号波形和估计信号的各参数，因而具有很高 的频率分辨力，有利于扩展在自由场校准中由水域有限尺寸所限定的低频限。多 路径参数模型是把每一路径的接收信号按瞬态参数模型表示成一系列指数函数 的和，再按顺序将各路径的指数函数和叠加起来来表示多路径信号。把瞬态建模 估计作为多路径信号模型参数的初始值，利用n l 2 s o l 算法最小化平方误差函数， 再把初始极点带入进行迭代运算得出复极点的估计值，进而估计直达信号和各反 射信号的的各种参数，包括到达时间、频率、幅度、初相等特性参数。多路径建 模技术有可能更好的扩展由水域有限尺寸所限定的低频限。 本文首先介绍建模的基本原理，比较、选择和阐述瞬态建模方法和模型参数 的优化算法。然后，通过仿真、模拟和水池实验，尤其是低频、窄带换能器的校 准实验，较系统地研究由模型参数重建信号和估计信号参数的实现方法、性能， 以及瞬态建模技术的适用条件等问题，探讨提高估计精度的途径和方法，并达到 较高的精度。最后对多路径信号模型的结构、参数和模型参数的最优化方法等建 模理论，作了较详细地分析，讨论给出了信号极点初始值的估计方法，并进行了 部分实验研究。 2 第一章瞬态建模技术的理论分析 第一章瞬态建模技术的理论分析 1 1 信号建模概述 信号的参数模型应用很广，形式多种多样，但其思想是共同的；即将具有许 多变量的复杂过程用只包含少量参数的简单模型来表示。如用集中参数等效电路 来分析半导体器件，用冲激序列或白噪声激励的线性时变系统模拟语音的产生过 程等。如果模型参数具有物理意义，就可研究模型参数产生的影响，从而更深入 地认识原来的过程。 离散时间信号可以看成是由某种固定输入( 如单位取样信号或白噪声序列) 激励线性时不变系统产生的输出。在输入激励是单位取样序列的情况下，信号被 模型化为线性时不变系统的单位抽样响应嘲1 3 11 4 1 。这时，由于线性时不变系统的 传输函数是有理函数，因此，称这时的模型为“有理”模型，也可称为“极点一 零点 模型。系统函数的系数( 或它的极点和零点) 构成模型的参数集，用它来 表示信号。在输入激励是白噪声的情况下，线性时不变系统的输出信号具有有理 功率谱。实际上，参数模型谱分析方法已得到广泛应用，并取代了传统的傅立叶 分析方法。 有理模型一般都要规定用具体的能够准确表示的时间函数来表示信号。如瞬 态参数模型，是将采样时间域信号表示成衰减指数或衰减正弦波的形式。虽然在 形式上类似于傅立叶逆变换，都是复指数求和，但实际上有着深刻的区别。傅立 叶表示的基础是一组固定的基函数复正弦函数，其数目与被变换数据的频率 分量的点数相等。而有理模型的指数函数是可调整的。一个好的有理模型能够用 较少量指数函数来表示信号。 当采用一个固定阶的有理模型来作为一个信号的模型时，不可避免地要作某 种近似，近似就会带来误差。由于模型不可能完全准确地表示信号，这就必须规 定一个“拟合好坏程度”的度量标准，以便用系统的方法求解模型对信号进行最 佳逼近的问题。估计逼近误差的度量标准有好几种，但最小二乘方准则最流行， 它度量的是误差的能量。在数学上也便于处理。 用模型拟合或逼近信号，称为信号的建模问题。建模方法有两大类型：直接 ( 或正向) 建模和间接( 或逆向) 建模。直接建模法是使因果信号x ( n ) 与一有理 东南大学硕士学位论文 系统的单位抽样响应h ( n ) 间的误差平方和达到最小。由于该方法需要解非线性方 程，因此实际上很少使用。 间接建模仍然使用最d , - - 乘方准则，使误差总能量最小，但误差信号是用一 个有限冲激响应f i r 滤波器对信号x ( n ) 滤波产生的。该f i r 的设计着眼点是力 图去掉x ( n ) 的极点，通过求解线性方程组就可求得模型参数，因此，f i r 的传 输函数应当是信号的全极点模型的分母多项式的最优估计1 3 1 。而且通过求解线性 方程组就可求得模型参数，因此得到了广泛应用。其中，p a d e 逼近方法，是通 过强制模型在一个有限的固定区间 0 ，p + q ( p 、q 分别是模型的极点数和零点数) 内是精确的，而使问题转化为求解一个线性方程组。该方法的严重缺陷是对区间 o ，p + q 之外的建模精度没有保证，性能较差。也不能保证模型稳定。这在依赖 模型对信号进行综合或外推的应用中是个严重的问题。p r o n y 法放宽了模型在区 间 o ，阳 内精度匹配要求，以产生对所有点的信号的更好逼近。但对分子多项 式系数的求解与p a d e 逼近法完全相同，使得模型在区间 0 ，q 内是精确的，而没 有考虑n q 时的数据。s h a n k s 给出了一个更好的办法，可使模型误差的平方和 对整个记录的数据达到最小化，也只需求解一个线性方程组。 1 2 瞬态参数模型 瞬态参数模型是把短时间的采样数据样本表示为一系列衰减复指数函数 ( 或衰减正弦波) 级数的形式。这与一般具有衰减过渡过程的信号是相适应的。 复指数函数表达式定义如下i s 1 6 1 ： x ( 刀) = 羔a 后p s ，| r ：0 ，1 ，1 )( 1 2 1 ) k = l 其中： a 。为复数振幅，s 。为复数频率，即信号极点，其实部为衰减因子，虚 部除以2 万即为信号频率，p 为瞬态参数模型的阶数，丁为抽样间隔。模型把采 样数据点x ( ，2 ) 表达成p 个复指数函数的级数形式，复数振幅a 。和复数频率 s 。将由采样数据点确定。 对( 1 2 1 ) 式作z 变换得： x ( z ) = i v - i t4 9 s 汀z ( 1 2 2 ) 4 第一章瞬态建模技术的理论分析 交换求和符号并计算几何级数的n 项和有： 酢) = 酗p 岂笨j | = l 1 一c 么 pm ( 1 _ e s t t mz - n ) ( 兀p ( 1 - e s ：z - 1 ) ) 一k = l ( _ ，= l - ，七) = - _ _ _ - i - - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ l - - _ _ _ _ _ l i _ - _ _ _ - _ - _ _ 二二- _ - - = - _ _ _ _ 二_ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - - _ _ 一 丌( 1 一e s k tz 。1 ) k = 1 b ( z ) = 一a ( z ) ( 1 2 3 ) pp 式中：彳( z ) = 兀( 1 - e s ：z - 1 ) = 1 + 吼z 一是z 的p 次多项式，而且其 k = lk = l 零点在2 s t ，e s 2 t ，g s p 丁处。 p 1p 1 b ( z ) = 吃z 以+ 钆+ 七z 删是z 的n + p - 1 次多项式，且 k = ok = o 系数b p = b p + l = = b n 一1 = 0 。若舍去z 的高次项，b ( z ) 则成为z 的 p 一1 次多项式。 由( 1 2 3 ) 式可知，x ( z ) 同线性时不变系统的系统函数一样，都是z 的有 理函数。因此，x ( ，? ) 可以表示为一个线性时不变系统的单位抽样响应。即建模 为极一零点参数模型，直接在频域上估计该瞬态采样信号的频域特性。 虽然，极一零点参数模型可由合适的全极点参数模型来近似，但近似就会带 来误差。全极点参数模型，用如下的a r 模型对信号建模： 其分子固定为1 ( 或一个常数) ，以。( 尼) 仅是分母多项式系数。用这样的形式去近 东南大学硕士学位论文 似一个信号的频域表达式就难免出现误差。所以，本文将采用a r m a 模型对信 号建模，并使用s h a n k s 给出的方法对模型参数进行优化。 1 3 模型参数的优化算法 设有线性时不变滤波器，其系统函数为有理函数，有p 个极点和q 个零点， 渺掣a j z ) = 舞一粤是实 值信号，r n qe a b 。( 力) = 0 ，因此可将e ( 刀) 按不同的以值表达为： l _ p ix ( 以) + 艺口p q ) x ( 刀- 1 ) 一b 。( ，z ) ， e ( 玎) = i = 已1 。 lx ( 卅艺x ( 疗， l l = l 刀= 0 ，1 ，g ( 1 3 5 ) n g 4 p ( z ) 是归一化的，r pa p ( o ) = 1 。首先使下列平方误差最小以求解口p ( 露) ： 孝矿卦1 2 = 卦+ 缸巾棚1 2 m 3 固 可以看出，极一零点参数模型关心的是第q + l 点以后的平方误差。乡m 只与系 数a p ( 克) 有关，与饥( j | ) 无关，因此取孝，g 对口p ( 七) 的偏导数为零就可以求出使 平方误差最小的系数日p ( 七) ，即： 躲：砉捌p 弯一、丽c 3 e ( n ) 一o ，k = 1 , 2 , - - - , p aat n ) a 3 a 。( 意) 一。鲁。a ( 尼) 一z 。象。g a 。( 尼) 一u u 。 由( 1 3 5 ) 式可知 ae ( ，? ) a p ( k ) 2 x ( 刀一七) ，七= 1 ，2 ，p( 1 3 8 ) 因此，f 1 3 7 ) 式可写为： e ( 刀) x ( 刀一忌) = 0 ，k ：1 2 一，p ( 1 _ 3 9 ) n = q + l 这也称为正交性原理2 1 。将( 1 3 5 ) 式的e ( ，? ) 带入( 1 3 9 ) ，得： 。萎。 xc 门，+ 喜a 户( 1 ) x ( n - 1 ) ) x ( n - k ，：。 c - 3 。， 7 东南大学硕士学位论文 或等效地， 圭口，( z ) l 芝x ( 玎一，) x ( 行一七) i - 一艺x ( 以) x ( 刀一| i ) ( 1 3 1 1 ) - l l n = q + ljn = q + l 为简化上式的表示，我们定义x ) 的确定性自相关为： l x ( 后，) = x 一t ) xo 一七) ( 1 3 1 2 ) n = q + l 它是一个对称函数，即厂，( 七，) = 厂，( z ，尼) 。根据( 1 3 1 2 ) 式，( 1 3 1 1 ) 式可写为： 善硝咖删) = - - j r x ( ， ，2 ，p ( 1 3 1 3 ) 上式称为p r o n y 正则方程，共有p 个未知量口，( 1 ) ，口p ( p ) ，也有p 个线性方程。 写成矩阵形式，为： 或： 厂，( 1 ，1 )厂，( 1 ，2 )厂，( 1 ，3 ) 厂x ( 1 ，p ) 7 ，( 2 ，1 ) 厂，( 2 ，2 ) 厂，( 2 ，3 ) 厂，( 2 ，p ) 广，( 3 ，1 ) 厂，( 3 ，2 ) 厂，( 3 ，3 ) - ，( 3 ，p ) 厂，( p ，1 )尸，( p ，2 )厂，( p ，3 ) 7 ，( p ，p ) r x 西p = 一r l a p ( 1 ) a | p ( 2 ) a p ( 3 ) a ，( 力 ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 式中r ，是p xp 的自相关对称矩阵，n 是如下矢量： 厂，：口，( 1 ，o ) ，厂，( 2 ，o ) ，厂，( p ，o ) r ( 1 3 1 6 ) 也可以用稍不同的形式来表达p r o n y 正则方程。设x 。是包括p 个无限维列矢量 的数据矩阵： x q = x ( 9 )x ( g 一1 ) x ( 9 一p + 1 ) x ( g + 1 )x ( 9 ) x ( 9 一p + 2 ) x ( q + 2 )x ( q + 1 ) x ( g p + 3 ) 自相关阵尺，可以由x 。写为： r ，= x 孑x 。 8 ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) 埘硼珊；蚺； 工 z 工 r 几以几 n i_。1，。l = 第一章瞬态建模技术的理论分析 自相关矢量厂，也可以由x 。表达为： ( 1 3 。1 9 ) 其中x 州- - i x ( g + 1 ) ，x ( g + 2 ) ，x ( g + 3 ) ，r 。因此p r o n y 正则方程可以等效地写 为： k 孑x 。) 瓦= 一x ；+ 。 ( 1 3 2 0 ) 若尺，是非奇异的，则使孝p 坷最小的系数以p ( 尼) 为： 瓦= 一r ：1 = 一k 孑x 。) - lx 孑矗“ ( 1 3 2 1 ) t n i 寸n 一下误差孝朋的最小值。由于： 孝矿卦1 2 = 毒。咖) 巾，+ 如肭叫 = e ( 刀) x ( 刀) + e ( 刀) l p 口p ( 尼) x 一七) - l i 厂 ”q + l”q + l l k = l j = e ( 刀) x ( 聆) + 口p ( 后) i e p( 押) x ( 船一七) i ( 1 3 2 2 ) i l ”q “ k = l l q + l 由正交性原理可知： 羔p ( 珂) x ( 以一尼) ：0 ( 1 3 2 3 ) 所以孝舢的最小值s p 再应为： g 舢= 。萎1 p ( ，z ) x ( 刀) - 。萎。【x ( 刀) + 善口尹( 尼) x ( 门一七) x ( 船) ( 1 3 2 4 ) 刀= 口+行= 口+ 1 l膏= 1 j 由( 1 3 1 2 ) 式自相关序列厂，( 克，d 的定义，上式可写为： 矗。巩( 。，o ) + 善硝研即瑚( 1 3 2 5 ) 该式只对满足正则方程的那些臼p ( 尼) 系数成立。如果要计算其他任意系数的建模 误差，则需要用( 1 3 2 2 ) 式，它对口p ( 惫) 没有约束。 9 东南大学硕士学位论文 1 3 2 求解m a 系数 采用s h a n k s 给出的方法，使如一f 模型误差的平方和对整个记录的数据达到 最小化： e 7 ( ”) = x ( 刀) 一h ( )( 1 3 2 6 ) 为实现这一目标，首先将对x ( 聆) 建模的滤波器分别看作是b 。( z ) 和j 丽1 两个 滤波器的级联，即： h ：耶引1 西) m 3 刀， 如图1 - - 2 所示。一旦确定了a p ( z ) ，根据信号与系统7 1 的知识可知 图1 2 求m a 系数的系统解释 如下关系： 万( ”) = g ( 妒“加委厶) g ( 枞) ( 1 3 2 8 ) i 虫( 1 3 2 8 ) 式，可以用如下的递归方法计算滤波器刁的单位响应g ( 刀) ： g ( 加万( 玎) 一喜硝馏( n - k ) ( 1 3 2 9 ) 其中，对于刀 o 的2 ，0 ) 的平方和来求解系数6 口( 后) 。但若只已知x ( 玎) 在有限区间【o ，n 】中 的值，由于不能获得r t n 时的e ( 刀) ，因此不可能最小化包括以 的区间内的 2 ( 功的平方和，只能对区间【o ，j 之外的x ( 聆) 值做一些假设，在水声换能器校 准中可用的只是在无反射时间内的- - 4 段数据，也属于这种情况。这时我们采用 的方法是保持区间i o ，】内的数据不变，而置i o ，】之外的数据为零，相当于对 x ( 聆) 加了一个矩形数据窗，然后用前述的方法求加窗信号的模型。 在处理加窗数据时，1 3 1 和1 3 2 两小节所阐述的求a r 系数和m a 系数的 方法依然成立，只是在求a r 系数时，求解( 1 3 。1 3 ) 式的p r o n y 正则方程，且用 ( 1 3 1 2 ) 式计算自相关厂。( 七，) 时采用加矩形窗的数据，a r 系数的解依然由( 1 3 2 1 ) 式给出；在求m a 系数时，求解( 1 3 3 9 ) 式且用( 1 3 3 7 ) 式和( 1 3 3 8 ) 式分别求自相 关和互相关时采用加矩形窗的数据，这时( 1 3 3 9 ) 式的系数矩阵不再是t o e p l i t z 矩 阵。 作用于x ( 行) 的不一定都是矩形窗，也可以是其他窗。当作用于x ( ”) 的是矩 形窗时，在求解a r 系数的过程中，虽然比较便于处理，但有时会出现较大的边 缘效应1 4 1 ，可能在窗的边缘处不正常地出现很大的误差。为了减小这种误差，常 常采用锥形窗作用于x ( 刀) 来建立瞬态参数模型。 1 4 第一章瞬态建模技术的理论分析 1 4 信号的恢复及参数估计 得到口p ( 七) 和玩( 七) 后即可建立线性时不变滤波器的系统函数： 一筹= 器 k = l ( 1 4 1 ) 此时可以把上式近似当作采样信号x ( n ) ( n = 0 ，1 ，n - 1 ) 的z 变换形式。此时 便完成了在频域上估计采样信号频域特性的工作。 令a r m a 模型传递函数的分母多项式为0 ，即： 刖力_ 1 + 喜“”z - o ( 1 4 2 ) 上式的复根为z 。( k = l ，2 ，p ) 。结合第一节的讨论可知，x ( 刀) 的极点即为 a r m a 模型分母多项式的零点，即 z 七= e x p ( s 7 ) ( 后= 1 ，2 ，p )( 1 4 3 ) 从而确定信号极点s 。： s k = 亍11 n ( z 女) ( 后= 1 ，2 ，p )( 1 4 4 ) 将( 1 4 3 ) 式带入( 1 2 1 ) 式 ! 导： 将上式写成矩阵形式有 z 1z 2 z ， ，一1 ，一1一】 z iz 2 z p ( n = o ，1 ，2 n 一1 )( 1 4 5 ) 么。 么： 么p x ( o ) x ( 1 ) x ( n 一1 ) ( 1 4 6 ) 然后，再将由( 1 4 2 ) 式解出的复根z 。( k = 1 ，2 ，p ) 以及采样数据点x ( 刀) ( 胛= o ，1 ，n 1 ) 带入( 1 4 6 ) 式利用最小二乘法解此超定方程组求解系数么。在 得到模型和信号的参数估计值后，就可以由下式重建信号： 一七z4 羔料 = 、 x 东南大学硕士学位论文 受( 甩) = 圭4 2 & 刖= 羔4 七z ：( r l - ：o ，1 ，2 ，) ( 1 4 7 ) k - - 1i = 1 可见，只要能对信号极点z 。( k = 1 ，2 ，p ) r g r 撇，就有可能精确估计信 号参数并恢复信号，即较准确地外推整个瞬态过程。 1 6 第二章瞬态建模校准换能器的仿真 第二章瞬态建模校准换能器的仿真 在第一章，我们较详细地分析了瞬态模型和模型参数的优化算法，给出了由 模型参数恢复信号和估计信号参数的基本方法。在实际应用中的主要问题是，在 信噪比不太高的情况下，测量噪声的影响将使极点z j ( 露= 1 ，2 ，p ) 的估计不稳 定而影响参数的估计精度。这时适当增加模型的阶数i s i ，可以增加信号极点的稳 定性。模型阶数的增加将出现由噪声引起的新极点，在信噪比不是很低的情况下， 通常噪声极点的幅度相对信号极点来说小得多。这样就可以区分信号极点与噪声 极点，从而改善参数估计的精度。 在本章，首先利用计算机仿真实验来探讨信号参数的估计问题：然后通过水 声换能器校准的仿真和模拟实验，去验证瞬态建模技术扩展校准低频限的可行性 和有效性问题。 2 1 信号参数估计的仿真 对于实信号而言，所有的复数极点都表现为共轭对的形式。如果对一个水声 换能器的阶跃正弦响应信号建模，就可以将瞬态信号模型( 1 2 1 ) 式写成如下衰减 正弦波的形式1 9 11 1 0 1 ： x ( 功= 么。s i n 2 a f 。( 刀丁) + 矽。】 乜 + e a ，e x p a ，( 玎丁) 】x s i n 2 ，r f ，( 玎丁) + 矽) k + a f e x p o ! 肛丁) 】 ( 2 1 1 ) i = k c + l 模型可以看作三部分：一对共轭纯虚极点，其频率为厂。，对应响应信号的 稳态分量；至少一对共轭复数极点，对应响应信号的瞬态成分；可能出现的实极 点，也应对应响应信号的瞬态部分，但不应表示信号的本质特征，而且也有可能 是噪声干扰引起的。在式( 2 1 1 ) 中，k 表示共轭复数极点对的数目，群表示实 极点的数目，k = 疋+ 群。 我们仿照匕述模型形式构造一个附加白噪声的时间域信号，经过采样，然后 东南大学硕士学位论文 用瞬态建模技术来估计该信号的各个参数，并分析其性能。以期从中探讨规律， 获得一些经验。待处理的附加白噪声的时间域信号表达式如下定义： ( ，) = 2 0e x p ( 一9 0 t ) c o s ( 12 0 n t ) + 4 0c o s ( 10 0 n t ) - 6 0e x p ( 一3 0 t ) c o s ( 8 0 7 r t ) + 刀( z ) ( 2 1 2 ) 式中n ( f ) 是方差为万2 的高斯白噪声。从上式可以看出信号为6 阶，6 个极 点分别为一9 0 士j 1 2 0 7 【，o # 1 0 0 7 【，- - 3 0 - j ：j 8 0 x ；极点对应的复数振幅a t 分别为1 0 - x j o ， 2 0 - a ：j o ，3 0 # 0 。该信号包含两对共轭复数极点和一对共轭纯虚极点。其中两对共 轭复数极点对应信号的瞬态部分，那一对共轭纯虚极点对应信号的稳态部分。 设信号采样率为工，数据长度为n 。本章各表均为2 0 次实验的平均数据。 样本标准差由下式给出： s = = 2 1 1 模型阶数的影响 ( 2 1 2 ) 表2 - - 1 列出了噪声方差分= o 0 0 1 ，数据点数目n - - 5 0 和抽样频率五= 5 0 0 h z 的情况下，模型阶数p - - 2 0 ，q 取不同值时的参数估计结果。 估计值 参数真值 p = 2 0 ，q = 1 8p = 2 0 ，q = 1 9p = 2 0 ，q = 2 0p = 2 0 ，q = 2 1 s l - 9 0- 9 0 3 6 8 士1 9 9 l- 9 0 1 8 3 士1 8 6 7- 9 0 4 8 4 4 - 1 9 4 3- 8 9 1 5 5 士2 9 0 2 a l 1 0 1 0 0 0 3 - x - 0 4 1 7 1 0 删畦卸3 2 61 0 0 1 8 = t - o 4 2 69 9 7 l ：t = o 4 4 5 s 2 9 0 - 9 0 3 6 8 士1 9 9 l- 9 0 1 & i 士1 8 6 79 0 4 8 4 士1 9 4 3s 9 1 5 5 圭2 9 0 2 实 a 2 1 01 0 0 0 3 - x - o 4 1 71 0 0 0 5 = t - 0 3 2 61 0 0 1 8 - - l - o 4 2 69 9 7 1 ：l 0 4 4 5 0o 0 0 蹦曲0 4 90 0 0 3 - a ：0 0 4 80 0 1 5 - a ：0 0 4 80 0 2 6 ：t - 0 0 7 8 a ， 2 0 1 9 9 8 9 士o 0 8 8 1 9 9 9 2 - - t - 0 0 7 9 1 9 9 7 5 ：t - 0 0 7 7 2 0 0 4 5 士- 0 1 2 3 s o0 0 0 8 士o 0 4 90 0 0 3 a ：0 0 4 80 0 l s 如0 4 80 0 2 6 ：t 0 0 7 8 a 2 01 9 9 8 9 - x - 0 0 8 81 9 9 9 ： 士0 0 7 9 1 9 9 7 5 ：t - 0 0 7 72 0 0 4 5 ：t - 0 1 2 3 部 s s - 3 02 9 9 8 5 - x - 0 11 6- 2 9 9 9 4 士- 0 1 3 6- 2 9 9 7 3 - 士o 1 5 63 0 0 4 1 t - 0 1 9 7 a s 3 0- 2 9 - 9 8 6 ：t 0 2 0 0- 2 9 9 9 i 融= o 2 0 4- 2 9 9 9 3 士0 2 7 5- 3 0 0 睚旺：0 2 8 1 s - 3 0- 2 9 9 8 5 a = 0 1 1 6- 2 9 9 9 4 圭- 0 1 3 6- 2 9 9 7 3 士o 1 5 6- 3 0 0 4 1 = t - o 1 9 7 a - 3 0- 2 9 9 8 6 i - 0 - 2 0 0- 2 9 9 9 6 = 1 = 0 2 0 4- 2 9 9 9 3 i - 0 2 7 5 - 3 0 0 0 3 - 士0 2 8 1 第二章瞬态建模校准换能器的仿真 s l 1 2 0 露 ( 1 2 0 0 怔o 9 0 8 ) 霄( 1 1 9 9 9 - t 0 6 7 0 ) 耳( 1 2 0 1 4 ：l - o 7 7 1 ) 靠( 1 1 9 9 2 士1 1 3 鼬丌 a i o0 0 9 9 i 0 4 2 80 1 4 8 - 印3 1 00 1 1 6 ：0 3 0 80 0 4 0 - 士- 0 6 2 4 s 2 1 2 0 正 - 02 0 a 畸：0 9 0 8 ) 万 - ( 1 1 9 型牲0 6 7 0 ) 丌- ( 1 2 0 1 钍o 7 7 1 ) 丌- ( 1 1 9 9 2 士1 1 3 8 ) 霄 虚 a 2 o - 0 0 9 9 圭0 4 2 8 - 0 1 4 8 d = 0 5 1 0o 1 1 6 士o 3 0 8- 0 o i 帕m 6 2 4 s 3 1 0 0 ( 9 9 9 9 8 _ 4 - 0 0 2 2 ) 丌( 9 9 9 9 9 - 士- 0 。0 1 9 ) 露 ( 1 0 0 o o 士o 0 2 7 ) 耳( 9 9 9 9 9 a 0 0 2 4 ) 巧 a 3 00 0 2 2 _ 4 0 1 0 5 o 饼9 士o 0 9 8o 0 2 酗= o 1 3 4 0 0 3 6 ：l - 0 1 1 8 s 一l 冗 - ( 9 9 9 9 8 士o 0 2 2 ) 霄- ( 9 9 卿1 9 士0 0 1 9 ) 兀_ 1 0 0 0 0 ：0 0 2 7 ) 耳- ( 9 9 9 9 1 h = o 0 2 4 ) 靠 a 00 0 2