（大地测量学与测量工程专业论文）测量数据处理中病态性问题的扩展研究.pdf

硕士学位论文摘要 摘要 在g p s 数据处理、地球物理反演、形变观测分析等大地测量领域，系 统的病态问题是常见的，并且病态性的危害作用非常严重。当遇到病态问 题时，从根源上分析引起病态问题的原因对病态的减弱具有重要的意义。 本文在较系统地回顾了病态研究的历史及研究现状的基础上，重点从 病态性的空间几何分析和非线性病态问题两个方面对传统的病态问题研 究进行了拓展。 从空间几何的角度对病态问题进行研究，克服了过去对复共线性的研 究都是基于数值方面分析的不直观和不易理解的缺点。首先从空间几何的 体积和形状这一直观的角度对病态性进行分析，讨论了矩阵空间几何图形 的构成、超平行多面体体积的范数表示，并用公式证明了超平行多面体的 体积大小与复共线性强弱的关系；其次引入奇异值分解来简化体积的计 算，并将超平行多面体改化到超立方体中，建立了超立方体的体积与条件 数的关系，加深了对病态性的认识；最后给出了基于超椭球形状的复共线 性分析的方法，研究了用超椭球的变异程度来确定复共线个数并进行定位 的方法，给病态性诊断的矩阵行列式法、特征分析法和条件数法赋予了几 何意义。 将病态性的研究从线性模型扩展到非线性模型，是病态性研究与非线 性理论的一种有益结合。首先概述了病态性与非线性理论相结合的四种研 究情况，并统称为非线性病态问题。其次从非线性算法的两个方面对非线 性病态问题进行了研究，一是非线性模型近似解法对复共线性判断的影 响，二是非线性迭代算法中病态性对迭代算法的影响。最后介绍了非线性 模型的选取对求解稳定性的影响。 关键词病态性，扩展研究，空间几何分析，非线性病态问题 硕士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t g e n e r a l l y , t h ei l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e mn o to n l ye x i s t si ng e o d e s y , s u c ha s g l o b a lp o s i t i o n i n gs y s t e m ( g p s ) d a t ap r o c e s s i n g ，g e o p h y s i c a li n v e r s i o n ， o b s e r v a t i o nd e f o r m a t i o na n a l y s i s ，e t c ，b u ta l s oi t se f f e c t sa r ev e r ys e r i o u s w h e n i l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e m s a r ee n c o u n t e r e d ，i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et ot h e d e c l i n eo f i l l c o n d i t i o n i n gd u et oa n a l y s i sf r o mt h er o o t t h ed i s s e r t a t i o n b e g i n s w i t ht h er e v i e wo ft h em a i n h i s t o r y o f i l l c o n d i t i o n i n gr e s e a r c h a n dt h e ni te m p h a t i c a l l yd i s c u s s e sa n di n v e s t i g a t e s t h ee x p a n s i o no ft h et r a d i t i o n a li l l - c o n d i t i o n i n g s t u d y , c o n c e r n i n gt h es p a t i a l g e o m e t r ya n a l y s i s o ft h e i l l - c o n d i t i o n i n gp r o b l e m s a n dn o n l i n e a r i l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e m s t h i sp a p e re x p l o r e st h ei l l c o n d i t i o n i n gf r o ms p a t i a l g e o m e t r y , w h i c h o v e r c o m e st h ea b s t r a c ta n d i n c o m p r e h e n s i b l ep r o b l e m o fn u m e r i c a l a n a l y s i s f i r s t ，t h ei l l - c o n d i t i o n i n gp r o b l e mi sd i s c u s s e df r o mt h ep e r s p e c t i v eo f t h ev a r i a t i o ni nt h ev o l u m ea n ds h a p e ，i n c l u d i n gt h ec o n s t i t u t i o no ft h es p a t i a l g e o m e t r i cf i g u r eo fc o r r e s p o n d i n gm a t r i c e s ，t h en o r me x p r e s s i o no ft h ev o l u m e o fm u l t i d i m e n s i o n a l p a r a l l e lp o l y h e d r o n m o r e o v e r , t h er e l a t i o n s h a v e b e e n p r o v e nb e t w e e nt h ev o l u m es i z eo ft h em u l t i d i m e n s i o n a lp a r a l l e lp o l y h e d r o n a n dt h ec o l l i n e a r i t y s e c o n d ，t h ev o l u m ec o m p u t a t i o ni si n t r o d u c e db a s e do n s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( s v d ) t h e m u l t i d i m e n s i o n a l r e c t a n g u l a r p o l y h e d r o n ，g e n e r a l i z i n gt h er e l a t i o n sb e t w e e ni ta n dt h ec o n d i t i o nn u m b e r , i s r e b u i l tw i t hs v d ，w h i c h d e e p e n a n du n d e r p i nt h e u n d e r s t a n d i n go ft h e i l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e m f i n a l l y , t h ev a r i a t i o no fm u l t i d i m e n s i o n a le l l i p s ei s u s e dt od e t e r m i n a t et h en u m b e ra n dl o c a t i o no f m u l t i c o l l i n e a r i t y t h e r e f o r e ，t h i s p a p e rs u c c e e d si ne n d o w i n gt h ed e t e r m i n a n ta n a l y s i s ，f e a t u r ea n a l y s i sa n d c o n d i t i o nn u m b e rw i t hg e o m e t r i cm e a n i n g si nt h ed i a g n o s t i c sa n dm e a s u r e m e n t o ft h em u l t i c o l l i n e a r i t y t h ei l l c o n d i t i o n i n gs t u d yi sd e v e l o p e df r o mt h el i n e a rm o d e lt on o n l i n e a r m o d e l ，w h i c hi sam e a n i n g f u lc o m b i n a t i o nb e t w e e ni l l c o n d i t i o n i n gs t u d ya n d n o n l i n e a rt h e o r y f i r s t ，t h ef o u rk i n d so fc o m b i n a t i o na r ei n t r o d u c e d ，w h i c ha l l a r en a m e dn o n l i n e a r i l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e m s s e c o n d ，t h ei m p a c t o f i l l c o n d i t i o n i n gr e s e a r c h ，f r o m t w o a s p e c t s o fn o n l i n e a r a l g o r i t h m ，i s a n a l y s e d o n e i s j u d g e m e n t o fm u l t i c o l l i n e a r i t yf r o mn o n l i n e a rm o d e l 1 1 硕士学位论文 a b s t r a c t a p p r o x i m a t es o l u t i o na n da n o t h e ri s i l l e o n d i t i o n i l n g f i n a l l y , s t a b i l i t yi s n o n li n e a rm o d e l n o n l i n e a ri t e r a t i v e a l g o r i t h mo w i n gt o i n t r o d u c e dd u et ot h e s e l e c t i o no fa k e yw o r d s i l l c o n d i t i o n i n g ，e x t e n s i o no ft h es t u d y ，t h es p a t i a lg e o m e t r y a n a l y s i s ，n o n l i n e a ri l l - c o n d i t i o n i n gp r o b l e m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：盍垦堡些争 日期：丝年月盈日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：盘里蜂导师签名：妥灶日期：之监年上月卫日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 不适定问题是大地测量中研究的热点，其一般定义【l 2 】为“解不连续依赖于数据”， 即解不满足下述三个条件中的任何一个：( 1 ) 解存在；( 2 ) 解唯一；( 3 ) 解稳定。当 不满足条件( 3 ) 时，则称该求解问题是病态的。病态问题广泛存在于许多科学领域中， 例如计算数学、最优化理论、经济学、统计学、信号处理、地球物理、摄影测量和大 地测量等领域。在g p s 数据处理、工程控制网平差、形变观测分析、大地测量反演和 摄影测量等测量数据处理中，系统的病态性问题是客观存在的，并且病态性的危害作 用非常严重。在国际大地测量协会( i a g ) 主持的基础研究中，将“如何针对测量实际， 分析测量平差系统病态性的实质、克服和减弱测量平差系统病态性的影响及取得更为 准确的参数估值和可靠的平差结果”列为了大地测量数据处理中所要解决的一个重要 课题。 在大地测量领域，对病态问题的研究主要集中在以下两个方面，一是如何建立病态 问题的有效诊断方法，二是寻求效果更好的病态问题解法。针对前者，国内外学者 b e l s l e y 、t i k h o n o v , a n 、a r s e n i n ，v y 、卢秀山、归庆明、郭建锋、边少锋、李国重、 欧吉坤等人近年来做了很多有益的工作，这些工作主要包括探讨问题是否存在复共线 性、有几个复共线性关系、每一个复共线性的严重程度如何、复共线性存在于哪些数 据列之间以及评价采用l s 估计作为测量平差模型中未知参数的估计的合理性等方面。 在探讨有效解法方面，目前有许多人已经对岭估计【3 ，4 1 、广义岭估计【4 ，5 】、奇异值分解【5 】 和截断奇异值分解【6 j 、附先验信息解以及正则化解法【3 】等解法做了大量的工作，并取得 了一定进展。另外，一些国内外学者也结合全球重力场模型 7 1 、卫星轨道确定【8 】等实际 情况对病态问题进行了研究。 在测量平差的研究中，一般所讨论的问题都是基于线性模型而考虑的，遇到非线性 模型时通常都是将其泰勒展开为线性模型【4 】，病态问题的研究亦是这样。但是，经过线 性化所得到的量测矩阵仅取至一次项，略去了二次以上的高次项，显然这样处理会引 入线性化误差【9 】，势必会影响病态性的判断。因此，在病态问题的研究中，考虑非线性 模型的特征和性状是十分必要的。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 非线性问题的研究现状 在近3 0 多年来，非线性参数估计的研究取得了明显的进步，其有关非线性理论和 硕士学位论文第一章绪论 方法的发展主要集中在： 非线性模型的非线性度量：1 9 8 0 年，b a t e s 和w 撕s 开创了非线性研究的新时期， 从微分几何的观点定义了模型的固有曲率和参数效应曲率【i0 1 ，较好地反映了非线性模 型的本质，王新洲给出了非线性模型能否线性化的实用准则】，刘国林提出了带权的 非线性模型的曲率度量公式【9 】。宫秀军给出了三种简单的非线性度量方法【1 2 j ，主要讨 论了利用二阶余项来度量非线性程度的方法，这三种方法分别为限定上界法、特征值 估计法和统计估计法，另外还讨论了模型非线性程度对参数估计及残差向量的影响。 李志伟等研究了变形监测分析中非线性模型的非线性程度引，王志忠等介绍了非线性 模型的线性近似的条件和附加限制条件的非线性模型的非线性强度度量的方法【l4 。总 之，给定某一特定模型时，便可以计算出某点处模型的固有曲率和参数效应曲率，从 而对非线性模型的实质有了量的认识。 非线性模型的参数估计方法：非线性模型的参数估计一般均采用非线性最小二乘估 计，高斯牛顿法、修正的高斯一牛顿法、阻尼最d - - 乘法、松弛搜索法等是几种最常用 的非线性最小二乘迭代算法【9 l l j 。在数学或测绘界的一些学者也针对各算法的不足，对 各种算法进行了改进。但是当非线性模型在某些情况下求导非常困难时，且为了避免 局部收敛的缺点，还可以采用非线性随机搜索法，这些方法主要包括l l5 】：m o n t ec a r l o 法，模拟退火算法，单纯形法和遗传算法等。 刘国林在文献 1 6 d pj 丕利用非线性最小二乘的精确正交性条件方程推导了顾及一 次项、双一次项和顾及二次项的非线性参数平差的计算公式，这些公式可作为非线性 参数平差的近似直接计算公式。文献【9 】中，刘国林还详细论述了非线性秩亏自由网平 差，主要包括非线性秩亏自由网平差模型的曲率度量、取至双一次项的非线性秩亏自 由网平差和取至二次项的非线性秩亏自由网平差。但由于传统的测量平差模型的非线 性程度不是太强，文献 1 7 得出了“二阶项对一阶项平差无明显改善和顾及二阶项的平 差方法性价比不合理 的结论，并指出测量平差的归属是建立非线性函数空间的平差 与数据处理。 非线性模型的误差和精度评价：w o l f 在1 9 6 0 年首次提出了含有二次项的误差传播 定律【1 扪。刘国林从线性空间理论和矩阵理论出发分别给出了含有二次项和三次项的非 线性函数的广义方差协方差传播律公式【9 l ：王新洲研究了非线性模型平差中单位权方 差的估计，并给出了相应的计算公式1 1 1j 。 1 。2 。2 病态性分析的研究现状 目前最为关注的病态性分析主要有以下三种【1 9 1 ，一是数据的病态性；二是估计量 的病态性；三是极小化准则的病态性。在l s l i n e a r 这种特殊情况下，数据的病态性、 估计量的病态性和极小化准则的病态性三者是完全一致的，反映在最后都集中到了设 计矩阵的复共线上。但是如果研究的模型是非线性的或用的不是最小二乘估计的话， 2 硕十学位论文第一章绪论 那么前述的三种病态性不再一致，需要根据模型分开进行讨论。 病态性的机理分析，这些原因【3 】主要可以概括为以下四个方面：一是模型的选择， 应用最d , - 乘配置法进行重力场逼近计算，是近二、三十年来物理大地测量中系统研 究的数学方法之一，同时这也是目前综合利用和联合处理多种类型空间和地面大地测 量观测数据的有效方法。确定拟合所用的基函数类型是最小二乘数据拟合中最重要同 时也是最困难的问题，通常采用多项式拟合时，法矩阵常常是病态的，逼近程度往往 不是很好，数值精度自然也不高：而非均匀b 样条函数由于本身具有方法通用、逼近性 能良好等优点，因此应该选择它作为基函数。二是解算方法的原因，从计算的角度讲， 导致病态的原因包括所采用计算方法本身的数值稳定性和机器的字长。三是参数选取 的原因，模型加入附加参数后，往往造成过度参数化，使得附加参数之间或附加参数 与基本参数之间强相关，从而导致系统病态。四是观测的原因，这主要是包括统计分 析中采样不足或测量中观测量不够，由于这种原因导致的病态性是无法通过算法的选 择来消除病态性的，只有通过病态性减弱的方法来削弱其对平差结果的影响。 特征分析、法【1 9 】、条件数法、方差扩大因子法【2 0 1 、行列式判别法、条件指标与方差 分解比法1 2 l j 是人们提出地实用的判定复共线性的技术，这几种方法有一个共同的特点， 那就是它们都是基于矩阵的特征系统提出的。文献【2 2 】对上面的几种方法进行了比较， 并指出了各种方法的利弊。处理病态性的方法主要包括两类，一类是有偏估计，另一 类是观测方程的直接解算方法。从目前的文献看，国内测量界对有偏估计的研究始于 二十世纪八十年代，许多学者将统计领域中比较成熟的理论应用于测量平差，一方面 它进一步丰富和发展了现代平差理论及测量数据处理的范围，另一方面由于结合了测 量背景，又大大拓宽了有偏估计的理论。在有偏估计中，岭估计、广义岭估计、s t e i n 估计、主成分估计1 2 3 j ，特征根估计及偏最小二乘回归1 2 4 】是经常用到的方法。 岭估计中岭参数的选取是该方法的重中之重，近3 0 年来，相继提出了许多确定岭 参数的原则和方法，这些方法主要包括：岭迹法、g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s s v a l i d a t i o n ) 法【2 5 】、l 曲线法【3 1 、基于h e l m e r t 方差分量估计的岭参数确定方法【2 6 】等。 病态性分析中，有偏估计( 特征根估计除外) 有其共同的特点【4 】，l s 估计是作为极 限包含于每个有偏估计类中，是对l s 估计的一种压缩。在每一类估计中，至少存在一 个估计，使它的均方误差比l s 估计的均方误差小。因此，有偏估计在均方误差意义下 优于l s 估计，即提高了估计的准确性。另外，有偏估计的条件数小于l s 估计的条件 数( s t e i n 估计除外) ，即有偏估计的抗病态扰动性能比l s 估计强，从而提高了参数估值 的稳定性。 在病态观测的直接解算方法中，奇异值分解技术( s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n t e c h n i q u e ，简记为s v d ) 用于直接解算病态观测方程引起了越来越多的关注，并且己经 在地球物理反演中得到了成功的应用【27 1 。目前，基干s v d 技术直接解算病态观测方程 一3 一 硕士学位论文第一章绪论 方法的实质就是将设计矩阵的奇异值进行修正。在众多的奇异值修正方案中，截断奇 异值法1 6 2 8 】是比较有影响的一种方法。 1 2 3 非线性模型在非线性空间中解决病态问题的方法 当非线性模型的非线性程度小时，对于此类模型出现的病态问题可以使用上述介绍 的方法去解决，即选定一合适的初始值并线性化，利用线性模型的方法进行复共线性 的判断、病态程度的度量及病态解算。但是当模型的非线性强度大或近似值不能确定 在某一范围时必须借助其他的方法。关于此类解法，一般包括两种情况：一种是将非 线性模型在非线性空间进行求解，当表现出病态问题时，再利用有偏估计或奇异值法 去解决，如阻尼最小二乘【9 2 9 1 ，我国著名的测量平差专家刘大杰教授针对测量平差给出 了具体的选择策略和计算公式【3 0 1 ；另一种方法是解算模型中本身已经包含了病态解法 的思想，如连续同伦算法【1 5 】。 当模型的固有非线性程度不大而参数效应显著时，一方面可以通过参数变换来减弱 模型的参数效应，然后再线性化，如果出现病态情况，便可以利用上面介绍的方法去 处理。另一方面，不通过参数转换而使用线性化来处理，如果条件矩阵出现病态，通 过实施正交变换，实际上也是对参数实施一个变换，在新的坐标系下改善线性空间基 的无关性，由这种改进的基进一步构成法方程，从而改善其病态性，这样在一定程度 上改善解的稳定性，使得平差结果更加稳定。 连续同伦算法是由c h o w ，m a l l e t p a r e t 等人提出来的一种具有大范围收敛，且可进 行并行计算的非线性模型的数值解法。其基本思想是：对于非线性方程f ( x 1 = 0 ，通 过构造同伦函数 h ( t ，x ) = t g ( x ) + ( 1 - t ) f ( x ) 连续跟踪f 【o ，1 】的同伦曲线，当，= 0 时，h ( t ，工) = 厂( x ) = 0 的解，即为原非线性方 程的解。同时，由微分拓扑概念证明了同伦函数解的唯一性和具有大范围收敛的特点， 特别是当牛顿迭代不收敛时，该算法仍能保持原有的精度，收敛于原问题的参数解。 我国学者张勤在其博士论文中对非线性同伦算法的基本思想、性质、解算步骤进行了 探讨【l 引，并给出了非线性同伦最d - - 乘。 根据非线性同伦最小二乘，可以得出其解算模型 l ( x a b 7p 1 ) t7 + ( t l + ( 1 一，) ( b7 尸b + g 7 e t ) ) x 。= 0 1 i t , x ) = ( 1 ，口) 对于病态最小二乘，同伦微分方程中的系数阵( b7 p b + g7 p i ) 的行列式是接近于0 的，但依据有偏估计的理论知道，当f ( 0 r 1 ) 乘以该矩阵后，得到了一个压缩矩 阵，而前面再加上一个盯后，则会使系数阵的正交性大大提高。 4 硕士学位论文第一章绪论 1 3 大地测量中病态问题研究的不足 以往大地测量病态问题的研究存在以下不足： ( 1 ) 稳定性分析法、特征分析法、条件数法、条件指标与方差分解比法等是几种 常用的方法，但这些方法都是从数值的角度去度量和分析设计阵( 法矩阵) 的复共线 性，不直观，不便于去理解。 ( 2 ) 以往的研究过于强调如何缩小病态观测方程的系数阵( 或法矩阵) 的条件数， 往往忽略了从病态的分析和从机制上采取有效措施，尤其是对于非线性的病态问题， 不能仅从减弱方法上下手，而更应该能从病态产生及病态加重的原因方面入手进行研 究。 ( 3 ) 以往的研究都是基于线性模型或把非线性模型泰勒线性化来研究。对于非线 性模型来讲，如果模型的线性化程度高，线性化时因近似值的取法不同有时势必会加 重解算问题的病态性，对于不同的非线性模型，应视具体情况而讨论。 ( 4 ) 在解决实际问题时，通常首先需要构建数学模型。在有的实际问题中，如果 选取的模型不当，解算时法矩阵常常是病态的，而换用符合实际问题的函数模型( 通 常情况下都是非线性模型) ，则会使解算稳定性及数值精度都能够得到有效的保证。在 线性最d , - 乘的情况下，复共线性与数据的病态性分析两者是一致的，而在非线性模 型的情况下，不再是简单的一致关系，两者之间的关系有待进一步的研究。另外，特 别是当最小化准则出现病态问题时，将会出现新的病态性问趔1 2 】。 1 4 本文研究的内容和意义 本文研究的内容主要从以下两个方面展开，如图1 1 所示。 5 - 硕士学位论文第一章绪论 线性化过程对 病态性分析和 判断的影响； 非线性迭代算 法中病态性对 迭代收敛的影 响： 非线性模型的 选择对所研究 问题病态性的 影响； 图1 1 本文研究的主要内容 在g p s 数据处理、工程控制网平差、形变观测分析等非线性模型的数据处理领域， 当遇到病态问题时，从根源上去分析引起病态的原因对病态的减弱是很有意义的。空 问几何分析有助于找到病态性产生的根源，加深了对病态性的认识。在非线性病态问 题中，如果还是使用经典的处理病态问题的方法有时会造成结果偏离的程度更加严重， 所以采取一些有效的措施，对此进行系统的研究是十分必要的。测量平差系统病态性 的扩展理论是一种有益的探索，进一步丰富和发展了现代平差理论及数据处理方法， 将其应用于经典的测量数据处理、g p s 数据处理、地球物理反演、重力场逼近等领域， 有助于对上述大地测量数据处理问题的正确处理。 1 5 论文的结构 本论文的第一章简要论述了测量数据处理中病态问题和非线性理论研究的背景、 现状和目前还有待解决的问题，以及论文主要的研究内容和研究意义。 第二章介绍了病态问题的基本特征、成因分析、判断标准及减弱方法，该章是后 续章节中空间几何分析的数值背景及非线性病态问题的理论基础。 第三章是对病态性研究方法的拓展，利用了空间几何的体积和形状对病态性迸行 了分析，从公式上给予了严密的证明，给复共线性的诊断方法赋予了几何意义；给出 了通过超椭球的变异程度来确定复共线个数并进行定位的方法。 第四章介绍了非线性算法中的病态问题，将病态性理论与非线性理论相结合，讨 论了非线性模型线性化过程对复共线的影响和非线性迭代算法中病态性对迭代算法的 影响。 6 硕士学位论文第一章绪论 第五章讨论非线性模型的选取对病态性的影响。 第六章对全文作了总结，并提出了一些新的设想和有待解决的问题。 1 6 本章小结 本章全面回顾t n 量数据处理中病态问题研究的背景及现状，并在分析国内外文 献的基础上提出了目前还有待解决的问题，提出了论文主要的研究内容和研究意义， 最后给出了论文的结构。 7 硕士学位论文 第二章病态问题的基本理论及其分析 2 1 引言 第二章病态问题的基本理论及其分析 本章结合g a u s s m a r k o v 模型和测量实际，对病态问题的基本特征进行分析，讨论 病态性的危害、成因和分类，以理顺数据列的复共线性与病态性的关系。在对病态性 产生的原因和机理讨论的基础上，对病态性的诊断方法进行介绍和评价，分析目前克 服和减弱病态性的常用方法。本章是本文病态性问题研究的基础。 2 2 病态性的基本特征 2 2 1g a u s s - m a r k o v 模型及最, b - - 乘估计 g a u s s m a r k o v 模型为【3 l l l = a x + 厶 l e ( ) = o ，d ( a ) = o 0 2 p ( 2 - 1 ) 式中，为门1 的观测向量，彳为nxm 的设计阵，且列满秩，x 为m l 的未知参数向 量，为n x i 观测误差向量，盯；为单位权方差，p 为权矩阵。 式( 2 1 ) 中，当x 用估值j 表示，用估值v 表示，则可得到误差方程 y = a x 一三 ( 2 2 ) 基于最小二乘，即v7 p v = r a i n ，有法方程 n x = ( 2 3 ) 其中n = a7 1 p a ，缈= a7 p l ，移项后得最小二乘解为 一 一 x = ( 彳2p a ) 。1a 7 pl(2-4) z 具有下列性质1 3 2 】：( 1 ) 无偏性；( 2 ) 一致性；( 3 ) 有效性。 因为法矩阵= 彳r 以为实对称矩阵，可将其进行谱分解，并代入到( 2 4 ) 中， 得 j ：。爿r p 爿，一，彳r p 三：j 如 8 o 7 a7 p l ( 2 5 ) 硕士学位论文第二章病态问题的基本理论及其分析 ( + ) ( j + 露) = w + a w ( 2 6 ) 越0 0 _ l 1 1 ( i 又0 + l | 越i i ) + l l 。1 m 8 ( 2 8 ) 0 j l l - - i n l l 恻i ( 2 - 9 ) k = i u l | l - i n 1 0 ( 2 - 1 0 ) 蚓婚锗巾m 坤i i i i 饼 婚钳巾m k 制1 饼 协 c * 锗，饼婚c 锗+ 饼， 协 当的扰动非常小时，使i 叫| 1 i a n _ l ，l i pk in 旷0 忙1 ，因此， 饼klc钳+钾，-k 0 力0 。i i o 酬- a o i 。l i 0 。i i 0 ( 2 1 3 ) 9 硕士学位论文 第二章病态问题的基本理论及其分析 从上面不等式可以看出，k 反映了法方程( 2 3 ) 式的解x 的相对误差对于，的相对 误差的依赖程度。在这里将k 称为条件数( c o n d i t i o nn u m b e r ) 。由定义知，条件数 的值与所取范数有关，一般取2 范数，也称为谱范数。根据谱范数的性质【1 4 1 ，容易知 道 ：= a ，p l l 2 ：後，则k = 叛1 从公式可以看出，条件数度量了法矩阵的特征值的离散程度。一般讲，若k 很大，即 使，的扰动很小，也能引起x 的很大偏差，条件数反映了其解x 的抗干扰能力。所 以解决病态性一个可行的办法是通过降低条件数k 来实现的。条件数较大时，一般认 为其解x 的抗干扰能力越弱，系统是病态的，否则系统称为良态。几十年来的统计经 验【j j 表明，条件数小于1 0 0 时，可以认为没有病态性；条件数位于1 0 0 到1 0 0 0 之间时 认为存在中等程度的病态性；条件数超过1 0 0 0 时认为存在严重的病态性。 2 2 3 从认识论的观点来认识病态性 哲学观点认为，认识论是探讨人类认识的本质和结构，认识与客观实在的关系，认 识的自订提和基础，认识发生、发展的过程及其规律，认识的真理标准等问题的哲学学 说。测量是人类对其所居住的这个世界获取空间认识的一种手段，也是认识世界的一种 活动，通常可以通过获取的数据来认识世界，但在认识的活动中，自然会遇到下面的 三种情况1 3 6 j ： ( 1 ) 很容易就发现了不同之处而将甲乙两事物区别开来； ( 2 ) 很容易就发现了相同之处而将甲乙两事物归于一类： ( 3 ) 难于将甲乙两事物区别开来，从而造成认识上的混淆，产生错误的结果。 例如，在实地上测定一个点的位置时，至少需要两个要素：或者两个角度，或者两条边 长，或者一个角度和一条边长。把己知点视为观测点，将待定点视为目标点，从一个观 测点出发，对于目标点形成一个视野。当从两个或更多的明显不同的视野观测时，从 观测获得的认识容易区别开来，信息充分且不重叠，容易将目标点确定；但当仅从一 个视野或者从两个很接近的视野观测目标时，所获得的关于目标的信息不容易区别， 对目标进行准确定位的信息不足，容易造成认识上的混淆，产生不可靠的结果。过度 参数化和模型的选择不当是对所研究的问题认识不清，使选取的参数和模型与实际情 况不合，而局部采样，是认识上只限于很小的范围。 上面提及的认识的不足，最终用数学语言表示出来，就反映在矩阵上。另一方面，因 为观测设备的分辨率受制造误差、观测者、观测环境等因素的影响，使任何观测数据 都包含有误差，这些误差也要通过矩阵来影响人们的认识行为。由于这两个有缺陷的 认识的共同作用，使人们最终对事物的判断出现了错的结果。 2 2 4 病态性与均方误差 由上面的分析可知，如果设计矩阵( 亦即法矩阵) 病态时，虽然l s 估值的方差在 1 0 - 硕士学位论文第二章病态问题的基本理论及其分析 线性无偏估计类中是最小的，但其数值却很大，此时已经不能用来衡量估计质量的好 坏，这里引入均方误差( m e a ns q u a r e de r r o r s ，简记为m s e ) ，它是评价参数估计优劣 的标准，更好地刻画了l s 估值与参数的真值的接近程度。 设x 为，z 1 的未知参数的向量，j 是x 的一个估计，均方误差定义如下： 甲 m s e ( x ) = e ( 1 心一x 0 ) = e ( ( x x ) 7 ( x x ) ) = e 【( x e ( x ) ) + ( e ( x ) 一x ) 】讯j e ( x ) ) + ( e ( x ) 一x ) 】 = 研( j e ( j ) ) 7 ( j e ( j ) ) 】+ f i e ( j ) 一x i f 2 = 印( c d v ( j ) ) + 愀j ) 一x l l 2 = + y ( 2 1 4 ) 均方误差是衡量精确度的指标，从公式可以看出，其包括观测结果与其数学期望 接近程度和数学期望与其真值的偏差，反映了偶然误差与系统误差联合影响的程度， 是一个全面衡量观测质量的指标。 记宕= ( 又。，j ：，毫) r ，则( 2 1 4 ) 式中的第一项为： 5 f ，l = 护( c d 矿( j ) ) = 哳( j ，) i = l ( 2 - 1 5 ) 是估值j 的各个方差分量和。第二项 ”眦) - x 2 = 善( 砸户阳2 ( 2 _ 1 6 ) 是估值j 的各个分量偏差的平方和，要使均方误差小，必须使少。和y ：都比较小才可行。 而对于最小二乘估计，因为j 是x 的最小无偏估计，即e ( 膏) ：x ，所以在均方误差 m s e ( x ) 中，第二项2 = 0 ，所以 m s e ( f o = t r ( c o v ( 2 ) ) = 2 t r ( ( a r p a ) 一1 ) ：2 厶m 了l ( 2 17 ) 当法矩阵彳r 剐条件数很大时，相对来说存在最小特征值较小，导致肱范( 岩) 很大，上s 估值不再是x 的一个良好估计。 从病态性的扰动和均方误差两个方面，能充分认识病态性的危害。扰动论是从数 值计算角度讨论的，当设计阵或观测阵有小的扰动时，使最小二乘估计的结果的稳定 性大大减弱；均方误差是从统计角度考虑的，病态性使最小二乘估计的方差迅速膨胀， 不再是一个良好的估计。 2 2 5 病态性与复共线性的关系 病态性( i l lc o n d i t i o n i n g ) 和复共线性( c o l l i n e r i t y ) 是两个不同的术语，但在特定 硕士学位论文第二章病态问题的基本理论及其分析 的条件下又是一致的。病态性的定义已经在前面做了阐述，笼统地讲，就是指解的不 稳定性，描述的是系统抗干扰的强弱或稳定性的好坏，而复共线性是这样定义的：两 个变量间的复共线性是指它们的向量几乎落在了同一条直线上，即它们的夹角很小； 多个变量问的复共线性是指其中一个数据变量的数据向量几乎落在了该数据变量的其 余向量所张成的线性空间之内，其描述的是数据之间内在的关系。 根据b e l s l e y 讨论知，一般对病态性的研究主要包括以下三个方面1 1 9 1 ： ( 1 ) 数据的病态性( d a t ac o n d i t i o n i n g ) ( 2 ) 估计量的病态性( e s t i m a t o rc o n d i t i o n i n g ) ( 3 ) 极小化准则的病态性( c r i t e r i o nc o n d i t i o n ) 数据的病态性就是指数据矩阵的复共线性。在线性模型的最小二乘估计( l s l i n e a r ) 中，上面三者是一致的，三者最后反映出来的病态性就都体现在了数据矩阵的复共线 性上。在平差实践中，一般都使用的是线性模型或将非线性模型线性化，而平差准则 使用的是最小二乘准则，此时病态性的讨论就转移到了复共线的讨论上，所以说复共 线性是一种特殊的病态性。但对于不是l s l i n e a r 的情况，如所研究的是非线性的函数 模型，或者使用的不是最小二乘而是最小一乘等时，上述三者将不再具有一致性，这 时，使用病态性和复共线性这两个术语则须谨慎。 需要说明的是：复共线性是参数问的一种度量，既可以引起病态性也是病态性的外 在表现，但引起复共线性的原因很多，仅从复共线性的诊断上是难以深挖内因的，但 病态性是系统性的，病态性的机制研究对于病态性的认识是很必要的，因此，研究复 共线性是手段，研究病态性是目的。另外，复共线性的本质是一个数据问题，而不是 一个统计问题，它考虑的是变量之间的数值特性和几何特性，所以对复共线性也只能 说是“诊断”，而不能说是“检验”。 2 2 6 病态性的分类 病态性的分类根据研究的角度不同，有两种分类方法，如图2 1 所示。按病态性研 究角度的不同可以分为数据的病态性、估计量的病态性和极小化准则的病态性。按产 生的原因1 3 可分为i 类病态问题和i i 类病态问题，i 类病态问题是因为对于问题的认 识分析不足，在参数估计系统中设置的参数不合理或设置过多，参数间存在较严重的 复共线性，系统病态；i i 类病态问题则是因为条件限制，观测结构不合理，虽然观测 的方程多于参数的个数，但观测组所含的信息量却少于确定参数所含的必须的信息量， 导致系统病态。如g p s 快速定位技术中，由于观测时间少，法方程的病态性很严重， 如果应用最小二乘估计，模糊度浮动解与其真值相差较大，很难给出准确的整周模糊 度。 1 2 硕士学位论文第二章病态问题的基本理论及其分析 图2 - 1 病态， 生的分类 2 2 7 病态性的成因分析 2 2 3 小节从认识论的观点对病态性进行了分析，但这只是病态性产生的直观认识， 为了便于对病态性进行准确而快捷的诊断和减弱，对其产生的原因和机理进行全面的 分析是必不可少的。 ( 1 ) 模型的选择 在解决实际问题时，通常首先需要构建数学模型。数学模型的选取包括两方面的情 况：一是在平差计算前，本身并不知道研究问题的模型，需要根据实际情况和特定的 研究方法去选取模型，有时当模型选择不当时会造成病态；第二种情况是研究问题的 基本模型已经给出，但在平差前并不能对所有参数的规律有足够的了解，往往造成过 度参数化，使得参数在一定程度上存在复共线性，从而导致模型病态。 这两种情况在测量平差中都是十分普遍的。例如，应用最小二乘配置法进行重力场 逼近是近二、三十年来物理大地测量中系统研究的数学方法之一，同时也是目前综合 利用和联合处理多种类型空间和地面大地测量观测数据的有效方法。确定拟合所用的 基函数类型是最小二乘数据拟合中最重要同时也是最困难的问题。如果在数据拟合时 采用多项式拟合，法矩阵常常是病态的，逼近程度往往不是很好，数值精度自然也不 高，究其原因主要是采用多项式拟合逼近时，当拟合多项式的次数大于7 时【3 8 】时，会 导致龙格现象的产生，文献 3 9 1 提出的非均匀b 样条函数由于具有良好的局部性态， 使最d x - 乘拟合的稳定性及数值精度都能够得到有效的保证。 过度参数化是一种特殊的由模型不当而导致病态性的原因。例如，在摄影测量的附 加参数的自检校平差问题中，为了有效的补偿观测数据中的系统误差，常常在观测方 程中附加大量的补偿系统误差的参数，但由于附加参数之间或附加参数与参数之间存 在近似的线性关系，从而导致法方程系数阵病态。 ( 2 ) 观测方面的原因 观测方面的原因主要是受客观条件的限制，数据采样具有一定的局限性。g p s 快 速定位中，理论上讲两个历元的双差观测值就能进行最小二乘估计，并能解算模糊度， 1 3 硕七学位论文第二章病态问题的基本理论及其分析 即多个历元的观测能够保证了设计矩阵满秩的性质，但是由于几个历元观测的问隔很 小，也就是卫星和接收机构成的几何图形几乎没有发生什么变化，历元之间的观测近 似属于重复观测，设计矩阵复共线性严重。其实，近似相同的观测结构，并没有带来 足够的信息，也就是观测信息不足。再如在后方交会的测边网或测角网中，如果交会 图形不是很好的话，也就是 兑采样受某种条件限制为局部采样，也会导致设计矩阵( 法 矩阵) 的病态性。 ( 3 ) 计算方面的原因 从计算的角度来讲，导致病态性的原因1 3 j 包括两个方面，一是所采用的计算方法本 身的数值稳定性，二是机器的字长。 一种计算方法，如果在计算过程中舍入误差迅速增长，