（岩土工程专业论文）双参数弹性地基上中厚板的加权残值分析法.pdf

摘要 随着建筑工程、大型现代化飞机场、远洋码头、集装箱堆场、重交通道路建 设等领域的飞速发展，导致其领域中的基础板设计要求需与此发展相适应的问题 越来越突出。常规分析中的克希霍夫经典薄板理论由于其模型假定的先天缺陷， 在板的厚度较大时会出现明显的误差而不能满足工程精度要求。因此，中厚度弹 性地基板的弯曲问题研究以及板与地基相互作用分析对工程实践有着越来越重要 的意义。 本文采用瑞斯纳中厚板理论求解弹性地基板，建立双参数地基与中厚板相互作用的 控制微分方程，结合胡海昌的解耦函数，运用双五次b 样条函数作为试函数的离散型最 小二乘加权残值法分析了双参数地基上的中厚板的弯曲问题，并将结果与有限元线法、 有限条法、级数精确解等进行比较，证明本文方法具有足够的精确性与实际的可行性。 计算中本文应用m a t l a b 数学软件编制出求解该问题的加权残值算法程序，程序适用性 较强，可以求解双参数弹性地基上任意边界条件组合下任意竖向荷载( 包括板面上任意 位置的均布荷载、集中荷载以及两者的组合) 作用下的中厚板内任意点的位移场、内力 场。利用该程序计算大量的算例，对所得挠度和弯矩的结果进行了分析与研究，并总结 了各种边界条件下中厚板与地基相互作用的规律，即探讨了板的厚度h ，地基参数k 、t 以及荷载4 等不同因素对于双参数地基上的中厚板挠度及内力的影响。给出t 9 2 参数地 基上中厚板在荷载作用下的内力分布图和挠度变化的表面三维图，从而可以从总体上直 观的观察到板的内力分布和挠度变化的规律。本文最后计算了弹性地基上不同长宽比的 中厚板在不同的厚宽比情况下的中点挠度值，并与薄板理论的级数精确解答进行比较， 根据其相对的误差绝对值，对弹性地基上薄板和中厚板尝试进行了大致的界定。 关键词：瑞斯纳中厚板：双参数弹性地基；b 样条函数；加权残值法；相互作用 王l 垩童丝丝兰些董圭室星堡塑三立望墼塑堡垒堡坌堑鎏 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n t si nt h ef i e l d so fc o n s t r u c t i o n ，l a r g em o d e ma i r p o r t , o f f s h o r e d o c k ，c o n t a i n e ry a r d ，h e a v yt r a f f i cr o a dc o n s t r u c t i o ne t c ，t h ep r o b l e mo fa d a p t i n gd e s i g n r e q u i r e m e n t so fp l a t e so ne l a s t i cf o u n d a t i o n st o t h ed e v e l o p m e n t si nt h e s ef i e l d sb e c o m e s m o r ea n dm o r eo u t s t a n d i n g i ng e n e r a la n a l y s i s ，a st h el i m i t a t i o no fa s s u m p t i o n so fk i r c h h o f f c l a s s i c a lp l a t e st h e o r y , i tm a k e se r r o rw h e nt h ep l a t e sa r et h i c k e r , w h i c hc a n tm e e tt h e r e q u i r e m e n t s o fe n g i n e e r i n gp r e c i s i o n t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c hi nb e n d i n gp r o b l e mo f m o d e r a t e t h i c kp l a t e sa n dt h ea n a l y s i si nt h ei n t e r a c t i o n so fp l a t e sa n df o u n d a t i o nb e c o m e s m o r ei m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e t h i sa r t i c l ed i s c u s s e st h er e i s s n e r sp l a t e so ne l a s t i cf o u n d a t i o n t h ee l a s t i cf o u n d a t i o n m o d e li sc o n s i d e r e da st w o p a r a m e t e re l a s t i cf o u n d a t i o nm o d e la n di t se f f e c tt om o d e r a t e t h i c kp l a t e sa r et a k e ni n t oa c c o u n tb yas e to fg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u n i t e dw i t h h uh a l c h a n g sf u n c t i o n ，l e a s ts q u a r e sc o l l o c a t i o nw e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o dw h i c hu s e s b s p l i n ef u n c t i o na st r i a lf u n c t i o ni sp u tf o r w a r df o rs o l v i n gt h eb e n d i n gp r o b l e m s c o m p a r e w i t ht h er e s u l t so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o do fl i n e s ，s p l i n ef i n i t es t r i pm e t h o d ，a c c u r a t es o l u t i o n o fs e r i e se t c i ti sp r o v e dt h a tt h em e t h o di nt h i sa r t i c l eh a sa d e q u a t ea c c u r a c ya n dp r a c t i c a l f e a s i b i l i t y i nt h i sa r t i c l e ，ap r o g r a ma b o u tt h ew e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o di sc o m p i l e db yu s i n g m a t l a bm a t h e m a t i c ss o f t w a r et os o l v et h i sp r o b l e m t h ep r o g r a mh a sb r o a da p p l i c a b i l i t y , w h i c hc a na n a l y z et h ed i s p l a c e m e n tf i e l d sa n dt h ei n t e r n a lf o r c ef i e l d so fm o d e r a t e - t h i c k p l a t e so nt w o p a r a m e t e r e l a s t i cf o u n d a t i o nw i t ha r b i t r a r yb o u n d a r ya n da r b i t r a r yl o a d i n g c o n d i t i o n s ( c o n t a i n su n i f o r ml i n el o a d ，c o n c e n t r a t e d l o a do rc o m b i n e dl o a d so na r b i t r a r y p o s i t i o no fp l a t e s ) a n a l y z i n ga n dr e s e a r c h i n gi nt h er e s u l t so ft h ep l a t e s d e f l e c t i o na n d b e n d i n gm o m e n tf r o mc a l c u l a t i n g am a s so fe x a m p l e sb yt h ep r o g r a m t h e1 a w so f i n t e r a c t i o n so fp l a t e sa n df o u n d a t i o nw i t ha r b i t r a r yb o u n d a r ya r es u m m a r i z e d n a m e l y , d i s c u s st h ei n f l u e n c eo ft h et h i c k n e s so fp l a t e sh ，f o u n d a t i o n sp a r a m e t e r stt ，t h el o a dqa n d o t h e rf a c t o r so nt h ed e f l e c t i o na n db e n d i n gm o m e n to ft h em o d e r a t e - t h i c kp l a t e so n t w o p a r a m e t e re l a s t i cf o u n d a t i o n t h ed i s t r i b u t e dc h a r to fb e n d i n gm o m e n ta n dt h es u r f a c e 3 - dc h a r to fd e f l e c t i o na r eg i v e n ，f r o mw h i c hw ec a nv i s u a l l yo b s e r v et h ed i s t r i b u t i n go f b e n d i n gm o m e n ta n dt h ev a r i a t i o n a ld i r e c t i o n so fd e f l e c t i o na sa w h o l e t h ea r t i c l eg i v e st h e r e s u l t so fr e c t a n g u l a rm o d e r a t e t h i c kp l a t e su n d e rv a r i o u sl e n g t h w i d t hr a t i o sa n dv a r i o u s t h i c k n e s s w i d t hr a t i o sa n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t hc o r r e s p o n d i n gs e r i e ss o l u t i o na b o u t t h i np l a t e s a tl a s tt h ea r t i c l eg i v e sar o u g hl i m i t a t i o nb e t w e e nt h i na n dt h i c kp l a t e sa c c o r d i n g t ot h ea b s o l u t ev a l u e so f t h e i rr e l m i v ee r r o r s k e yw o r d s ：r e i s s n e r sm o d e r a t e t h i c kp l a t e s ；t w o p a r a m e t e re l a s t i cf o u n d a t i o n ； b s p l i n ef u n c t i o n ；w e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d ；i n t e r a c t i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：舀绎日期：加缉，月，g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：抛辟 月z 日 日期：加缉，月亿日 掰 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 加权残值法的研究现状 半解析数值方法是科学计算与工程分析方法的一个新的分支。鉴于纯解析的 理论分析方法在数学上的困难，能解决的问题十分有限：而各种纯数值方法，如 有限元、边界元、有限差分法等，又基于全域离散原理，对复杂的实际问题输入 数据及计算工作量大、对计算机要求较高、费用可观，因此将解析与数值方法相 结合，以兼备两者优点的各种半解析半数值方法成为用计算机求解科学与工程问 题的有效手段。这些方法由于引入了解析解的方法与成果，使数值计算工作量大 大降低，适合微机计算，并可收得显著的经济效益；同时又保留了纯数值方法的 灵活性与通用性的特点，易于工程人员所掌握。 半解析半数值方法是指在数值分析中采用与引入部分解析解或解析函数，加 权残值法就是其中较为突出的一种。该方法用于计算解决力学问题和场问题具有 原理的统一性、方法的一致收敛性和应用的广泛性。 加权残值法的基本思想早在上世纪2 0 年代就在数理方程的直接方法中提出， 但到5 0 年代由于计算技术的发展才得以广泛应用，并正式提出“加权残值法”名字 ( m e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l s ) t 1 1 。进入7 0 年代后，加权残值方法主要应用于流 体力学、空气动力学、热传导、化工容器【2 q 1 等方面。随后由于这一方法具有简 便、计算工作量少、程序简短、精度高等优点，使得这一方法在固体力学和其它 领域也得到了迅速的发展。 在国内一般认为首先把加权残值方法用于固体力学是1 9 7 8 年由徐次达提出 的【5 1 。十多年来，加权残值法的理论和应用研究在国内取得了长足的发展，其涉 及的领域除早期的固体力学外，还应用于热传导、静电磁场、航空测量、光学设 计、石油钻井、天文学等；其分析的内容不仅由静力学问题、线性问题、单相问 题、传统力学问题、单纯力学问题和基础理论问题，而且还有动力学问题、非线 性问题、多相问题、新兴边缘问题、交叉耦合问题、和工程应用问题。自1 9 8 2 年以来，中国力学学会已召开过四届全国性的加权残值法学术交流会，据粗略统 计，发表在会议和期刊上的有关论文多达数百篇。由于力学工作者和其他工程技 术人员的共同努力，已经使这一方法应用到除一般固体力学之外的其它领域之中， 包括弹性薄板弯曲问题、梁弯曲与稳定性问题、板壳的动力学问题、板壳的非线 性问题、板壳的稳定性问题、厚板厚壳问题、流体力学问题弹性平面力学问题、 水坝与拱坝问题、有孔板壳问题、热传导问题、静电磁场问题、网格分析、高层 双参数掸性地基上中厚板相互作用的加权残值分析法 建筑分析、扁壳弹塑性分析、壳体等组合结构分析、弹性力学三维问题、薄板弹 塑性分析、扁壳弹塑性分析、壳体蠕变分析、板壳的极限分析、索网力学分析、 薄壁杆件扭弯问题、岩土工程逆分析、圆形隧道力学问题、光弹性问题、腐蚀电 场分析、波动方程分析、天文学的三体问题及测量学中测点定位等等。足以可见 加权残值法的巨大潜力和广泛的适应性。目前国内对加权残值方法的理论与应用 的研究工作处于相对领先地位。可以说，现有的一切近似计算方法，如有限单元 法、边界元法、有限差分法、变分法中各种近似方法等，都是加权残值法的一个 特例【4 ，6 1 。 1 2 弹性板的分类以及中厚板理论的发展概况 1 2 1 弹性板的分类 板是工程中大量存在的，一个方向尺寸( 厚度) 远远小于其它两个方向的尺寸 的三维结构。由于板固有的结构特性，且质量轻，耗材少，因而使其成为优良的 结构构件，广泛应用于各种工程结构中，如建筑工程、交通工程、航天工程、海 洋工程、军事工程等。 板通常可以按照其结构作用的特点分为下列四种主要类型【7 l ： ( 1 ) 刚性板：也称小挠度薄板或线性薄板，是一种具有抗弯刚度的薄板，它 按二维承载，主要是由内力矩( 弯矩和扭矩) 以及横向剪力来承受外荷载，它的工 作性质与一般梁相似。在实际工程中所指的板，一般情况下指的就是这种类型的 刚性板。 ( 2 ) 薄膜：一种没有抗弯刚度的薄板，它是由轴力和中心剪力( 中心剪力作用 于板的平面内) 来承受横向荷载。这种承载作用可以采用受拉缆索网格来近似，由 于薄膜的厚度极薄，所以它的抗弯刚度可以忽略不记。当板的厚度很薄，而横向 荷载相当大时，板的工作情况便趋近于薄膜受力状态。一般认为，当挠度大于5 倍板的厚度，而仍保持为弹性时，便可按薄膜进行计算。 ( 3 ) 柔性板：也称大挠度薄板或非线性薄板，它的工作状态处于刚性板和薄 膜之间，或者称为刚性板和薄膜的综合体。它是由内力矩、横向剪力、中心剪力 和轴向力共同来承受外荷载。由于这种板具有良好的自重对荷载的比值，所以已 被广泛的应用于航空工业方面。 ( 4 ) 厚板( 中厚板) ：其内应力情况相似于三维连续介质体的应力情况，严格来 说，厚板( 中厚板) 必须用弹性力学的空间一般理论来分析，但这是相当困难，不 过在薄板的理论基础上放弃某些假设来加以模拟，或者还有中厚板的精化理论等。 1 2 2 中厚板理论的发展概况 第一个板弯曲理论由纳维尔( c l n a v i e r ) 在18 2 3 年发表，揭开了板弯曲理论 硕士学位论文 发展的序幕。他得到在任意横向载荷作用下板弯曲的微分方程： jjd、 d i 箬+ 2 兰笔+ 箬i _ g ( w ) ( 1 1 ) 掰蹦o yo y 1 8 2 9 1 8 3 1 年期间，泊松( s d p o i s s o n ) 在其弹性体平衡和运动的论文中也同 样得到在横向载荷作用下的板弯曲方程( 1 1 ) 。但第一个完善的板弯曲理论是克希 霍夫( k i r c h h o f f ) 在1 8 5 0 年发表的，他的平板弯曲理论建立在目前公认的两个假设 上：原来垂直于平板中面的法线，变形后仍保持为直线且垂直于弯曲后的中面， 即直法线假设；在横向载荷作用下产生弯曲时，板的中面并不伸长。克希霍夫 根据这两个假设导出了著名的平板弯曲微分方程。 由克希霍夫导出的近似理论称为经典理论或薄板理论，在大量由板壳组成的 工程结构中，根据克希霍夫假设建立的薄板近似理论的计算结果可以满足工程计 算的精度。这种经典理论的直线假设规定结构的法线在变形后仍保持为直线，并 且垂直于变形后的中面，也就是横向剪切应变为零。而由平衡方程知，非均布弯 矩和扭矩必将产生横向剪切应力和相应的剪切应变。有剪切应力而没有剪切变形 不符合固体力学基本方程，这是经典理论的矛盾之一。此外，板边的三个物理边 界条件仅满足两个。对于比较厚的板，或者即使板很薄，在集中力作用点附近以 及薄板边界周围，对于具有较大厚径比的孔洞应力集中，对于断裂板壳裂纹尖端 处应力的奇异性和幅角分布规律，经典理论不仅不能取得满意的结果，甚至会导 致错误的结论。由于经典理论的这些缺陷，要求研究者提出一些新的假定，建立 新的理论，它既能避免数学方面的困难，又能克服采用克希霍夫假定忽略横向剪 切变形所引起的误差。瑞斯纳( r e i s s n e r ) 首先采用直线假定，即变形前垂直于中面 的法线变形后仍为直线，考虑了横向剪应力r 。：和r v ：对板变形的影响【8 q 们。该理 论同时计及法向应力昵和应变s ：的影响，采用拉格朗日乘子变分法导出基本方程， 最终得到一个关于横向挠度w 的六阶偏微分方程式，因此在每条边上需要三个边 界条件。用此理论瑞斯纳研究了矩形板的扭转和有圆孔的无限大板的弯曲、扭转。 同时，他引入了平均转角的概念，建立了瑞斯纳中厚板近似理论。该理论考虑了 横向剪切力对变形的影响。随后，格林( g r e e n ) 、明德林( m i n d l i n ) 相继发展了瑞斯 纳理论1 “，i “。 几乎在瑞斯纳发表上述理论的同时，汉盖( h e n c k y ) 也提出了考虑横向剪切变 形理论。他假设位移“和v 是：的线性函数，横向剪切应力与z 无关，因此实际 上是考虑横向剪切应力平均值对板变形的影响。该假设忽略法向应变s 的影响， 利用拉格朗日虚位移原理，导出与瑞斯纳理论相似的六阶方程和相应的边界条件。 五十年代初期，克劳姆( k r o m m ) 提出了另一种改进理论。他力求严格满足三 维弹性体应力乎衡方程，以克服瑞斯纳和汉盖理论中的不足之处。其主要特点是 假定o z 、l - x 。t y ：是z 的函数，由应力应变关系、应力平衡微分方程以及上下两面 取参数弹性地摹上中厚板相互作用的加权残值分析法 边界条件得到一组基本方程。 符拉索夫( b b z t a c o b ) 于1 9 7 5 年提出考虑横向剪切应力对变形影响的平板理 论。假定变形前垂直于中面的直法线变形后发生扭曲，并且剪切应力沿厚度方向 按抛物线规律分布，平板处于平面应力状态等，利用拉格朗日变分方程导出的方 程组与瑞斯纳理论相比，可以发现后者的方程中被略去的项和保留的项都属( a 1 2 阶的量。 列维逊( l e v i n s o n ) 和库克( c o o k ed w ) 提出了另一种改进理论 1 3 , 1 4 1 。与瑞斯纳 理论相比，新理论允许板变形时法线可以扭曲，因此有可能满足上下表面剪切应 力自由的条件，依次就能导出以挠度w 、中面处横截面转角妒。和妒，为变量的三 个解耦的微分方程，由方程得到各种载荷作用下周边简支板的结果比明德林更为 精确。但经仔细分析，可以发现该理论的基本假设、中面位移表达式和基本方程 式与上述符拉索夫理论完全相同，唯一的差别只是中面内线素的旋转角的正向定 义与后者完全相反。 此后，不断有学者提出和发展中厚板理论以及中厚板的精化理论。但由于中 厚板理论中的控制方程和边界条件比较复杂，其力学和数学处理均存在较大困难， 因此中厚板理论的发展一直较为缓慢。到了二十世纪八十年代，由于计算方法和 手段的目益完善，特别是高速电子计算机的应用，中厚板理论得到迅速发展，如 道尔( d a w e ) 5 】以铁摩辛柯( t i m o s h e n k o ) 梁函数为试函数，用瑞利一里兹 ( r a y l e i g h r i t z ) 法对各种不同边界条件下各向同性矩形板进行分析并得到满意的 数值结果；如通过计算机编程，用有限层法1 6 1 、样条有限层法1 7 1 、有限条法1 8 1 、 有限厚条法 1 9 , 2 0 1 、样条边界元法i2 1 1 、边界元法2 2 以5 1 、加权残值法 2 6 , 2 7 1 等来求解 中厚板静力问题的研究工作也逐渐增多。 与此同时将中厚板理论应用于弹性地基板的研究工作也活跃起来。如 h e n w o o dd j 采用有限元法、有限差分法和傅立叶级数法分析弹性地基上四边自 由矩形中厚板【2 8 】；石小平，姚祖康采用迭加法分析弹性地基上四边自由矩形中厚 板【2 州；h a nj b 和l i e wk m 提出了数值微分求积的近似方法( d qm e t h o d ) 求解 双参数地基上的任意边界条件的瑞斯纳板1 3 0 ；李永彪提出了有限元线性分析法 ( f e m o l ) 3 1 1 ；邓安福等应用边界元法分析了双参数地基的厚板弯曲问题【3 2 1 ；上海 交大沈惠申教授也在弹性地基上中厚板及层合板的屈曲和振动问题中做了大量的 研究工作f 3 3 】。 在计算模型一定的条件下，计算方法的选择与应用则尤为重要，加权残值法 作为计算力学的一个新分支，具有原理统一、方法简便、适应广泛、工作量小、 计算精度高等特点，但将其运用于弹性地基上中厚板的弯曲问题的求解的相关文 献不多，且均没有对其相互作用的规律进行总结归纳。 1 3 本文工作的意义及主要内容 在建筑结构的设计和旋工过程中，人们普遍认为最难驾驭的并不是上层结构， 而是基础，因此基础的设计和施工被视为建筑工程的重中之重。随着现代建筑业 的迅速发展，特别是大跨度建筑和高层建筑的不断发展，使基础的厚度加大，并 随之也出现了转换层的设计与施工的问题。整板基础和转换层都可视为板结构， 由于厚跨的增加，大多数应视为中厚板或厚板。但通常在整板基础和转换层的分 析和设计中仍采用薄板理论进行结构分析和计算【3 4 】，为了保证工程质量而加大板 厚。这样依靠经验的做法与实际不符，如果板太薄则会影响其使用性和耐久性， 如果太厚则会造成浪费。因此，整板基础和转换层均应按中厚板或厚板进行分析 设计与施工。在交通运输工程和航天工程中，由于重型车辆和大型飞机已成为普 遍的交通工具，尤其是航天技术的飞速发展，使机场跑道、航天发射场坪的厚度 不断增加。但在有关水泥混凝土场坪的设计与施工建设中仍采用传统的弹性地基 上薄板的分析方法进行结构计算，同时加大板厚以保证工程的使用寿命。同样， 如果板厚太薄则会影响其使用寿命，甚至有可能造成重大事故。因此，发射场坪、 机场跑道、港1 ：3 场坪、集装箱货场等大型工程均须采用弹性地基上中厚板、厚板 理论进行设计、施工。 由上可知，中厚度弹性地基板的弯曲问题研究以及板与地基相互作用分析对 工程实践有着越来越重要的意义。常规分析中常用的克希霍夫经典薄板理论由于 其采用直法线假设，忽略横向剪切对变形的影响，当板的厚度与跨度之比较大时 便会出现明显的误差而不能满足工程精度要求。因而本文舍弃了克希霍夫假设， 采用瑞斯纳中厚板理论作为求解弹性地基板的理论基础。 在中厚板力学分析中，由于舍弃了克希霍夫假设，使得其控制微分方程和边 界条件都十分复杂。当今研究表明：关于弹性地基上的厚板分析，只有在极少数 情况下能得到精确解。对于复杂的边界条件或不规则形状的厚板，获得高精度的 解答有相当大的难度，当然也无法通过对解答的分析去归纳地基与中厚板的相互 作用规律。为此，本文准备进行如下工作： f 1 1 为了简化方程，在胡海昌的瑞斯纳中厚板精化理论的基础之上，建立双 参数弹性地基模型与中厚板相互作用的控制微分方程，运用双五次b 样条函数作 为试函数的加权残值法，用离散最小二乘法分析了双参数地基上各种边界条件下 的瑞斯纳中厚板的弯曲问题。这样在使求解的困难和工作量大大的减少的基础上， 又可以有效的保证较高的精度以满足工程实际的需要。 ( 2 ) 应用了m a t l a b 数学软件，编制出相应的计算应用程序，通过对数值算例 分析，对中厚板与基础这两种介质相互作用的规律进行了探讨与总结，从而为理 论探索和工程实践提供一些有参考价值的结论。 ， 蝥童丝塑堡兰董占士矍堡塑兰堡里竺垫堡些堡坌堑鎏 ( 3 ) 将计算弹性地基上中厚板的中点挠度值，和对应用薄板理论的计算值进 行对比，根据其相对误差绝对值，对弹性地基上的薄板和中厚板进行大致的界定。 6 硕士学位论文 第2 章加权残值法理论基础 2 1 加权残值法的基本概念 在工程技术和科学研究中，经常会遇到各种各样的定解问题。即在一定的几 何边界条件或者初始条件下，求解问题的控制方程。这些控制方程既有微分方程， 也有积分方程；既有线性方程，也有非线性方程；既有单一的方程，也有耦合方 程组。而目前关于微分方程或积分方程的研究，仅仅能得到少量边界问题的精确 解。因此，大量的定解问题只能通过近似求解来实现。加权残值法就是诸多近似 数学方法中的一种，可以直接从微分方程得出近似解。 用这种方法解微分方程的特点，首先要假设一组试函数( t r i a lf u n c t i o n ) 作为控 制微分方程的近似解，这个近似解中有已确定的试函数项，也有待定的系数或待 定的函数。其次将试函数代入控制微分方程式，一般不能满足，便出现残值 ( r e s i d u a l s ) ，于是组成消除残值的方程组，同时在消除残值式引入一个权函数 ( w e i g h t e df u n c t i o n ) 去乘残值，以体现在一定的域内按某种平均意义消除残值的意 图。消除残值方程组是一系列线性的或非线性的代数方程组，联立解这些代数方 程组，便得到待求的系数。于是，试函数中的待定系数也就确定了。试函数成为 满足控制微分方程以及边界条件的近似解，将这个近似解代入求解的微分方程以 及边界条件中，残值式最小或甚至为零。 如果所假设的试函数项已经满足了控制微分方程式，则可将带有待定系数的 试函数引入边界条件，去确定其中的待定系数。将已被确定了的试函数代入边界 条件，边界残值即为零或是最小。于是，这个试函数便是满足控制微分方程及边 界条件的近似解了。 如有某一应用科学或工程科学问题的控制微分方程式及边界条件分别为： f , u f = 0 矿 ( 2 1 ) g - g = 0 s ( 2 2 ) 式中为待求的场函数；f ，g 分别为域内矿上和边界s 上的微分算子；，、g 分别为定义在域内和边界上不含口的已知函数。 假设试函数为： h 丘= y c ， ( 2 3 ) i 。 式中：c 厂为待定系数 m 一为试函数项，也称为基函数 双参数弹性地基上中厚板相互作用的加权残值分析法 将( 2 3 ) 式代入( 2 1 ) 及( 2 2 ) 式之后，一般不会满足，于是分别出现了内部残值 r r 及边界残值r s ： r r = f 一厂0( 2 4 ) r s = g 卢一g 0( 2 5 1 为了消除残值，选择内部权函数n 及边界权函数分别与r 极丑s 相乘，列 出消除内部残值的方程式及消除边界残值的方程式如下： l ，彤d v = 0 ( 2 6 ) l 。b 栅= 0 ( 2 7 ) 据此，即可以得到用于求解待定系数c ，q = l ，2 ，n ) 的代数方程组，将c ，代 入试函数( 2 3 ) 式，则( 2 3 ) 式的形式即被确定，于是( 2 _ 3 ) 式即成为微分方程式( 2 1 ) 及( 2 2 ) 式的近似解，且残值就是最小的或等于零。 加权残值法的试函数分为三类： ( 1 ) 边界型：试函数项m 己满足边界条件( 2 2 ) 式，但不满足微分方程( 2 1 ) 式。 ( 2 ) 内部型：试函数项m 己满足微分方程( 2 1 ) 式，但不满足边界条件( 2 2 ) 式。 ( 3 ) 混合型：试函数项m 既不满足微分方程( 2 1 ) 式，也不满足边界条件( 2 2 ) 式。 若所假设的试函数是边界型的，我们只需消除微分方程在嘲内的残值，即 只用( 2 6 ) 式消除内部残值即可，这种方法称为内部法( i n t e r i o rm e t h o d ) ；若所假设 的试函数是内部型的，则只需消除边界条件在s 边界面上的残值，即只用( 2 7 ) 式消 除边界残值即可，这种方法称为边界法( b o u n d a r ym e t h o d ) ；若试函数是混合型的， 则需同时应用( 2 6 ) 与( 2 7 ) 式以消除内部及边界的残值，这种方法称为混合法 ( m i x e dm e t h o d ) 。 由上可知，加权残值法的应用可以分为三个步骤：选取试函数；代入基 本方程列出残值表达式：选取权函数，消除残值。 以上并没有给出基本方程的具体内容，换言之，对于任何工程技术问题都可 以按此步骤进行，下面将介绍试函数和权函数的选取原则以及消除残值的方法。 2 2 加权残值法的基本方法 在前述中已提出了加权残值法按试函数类型的分类法：内部法、边界法及混合 法。本节将按权函数的形式进行分类。按权函数进行分类，加权残值法共有五种 基本方法： 2 2 1 最小二乘法 最小二乘法的基本思想：选择一个试函数，使得残值的平方和最小。如果定 义的平方和为方差泛函，那么最小二乘法就是使得方差泛函取极值。 预士学位论文 在域v 内残值r 的平方积分为： i ( c j ) = 工r 2 d v ( 2 8 ) 可得消除残值的方程式： 【，r 要d v ：o ( ，一l ，2 卅) ( 2 9 ) 申 a c ” 。、 7 由此可知，最小二乘中权函数为a r o c ：，明显( 2 9 ) 式可化为r 个代数方程式 足以求出刀个系数g ( ，= 1 , 2 ， ) 。 如果求解的问题属于二维的，则( 2 9 ) 式可以写为： i f 舷力掣肌。舭= 1 ，2 ，胛) ( 2 t l o ) 同样的，三维问题的最小二乘法中，消除残值方程为： m r 舻) 篙岩肌。叫孔2 n ) ( 2 1 1 ) 2 2 2 子域法 将物体的整个区域矿分为聆个子域吩( ，= 1 ，2 ，2 ) ，在每一个子域内令残值的 积分为零。权函数确定如下： f 1 v - 2 o 叱j ( 2 1 2 ) 列出消除残值方程式为： j ，r d _ 20 ( ，2 1 , 2 ，咒)( 2 1 3 ) 由此可以得到九个代数方程，以求得g ( ，= 1 ，2 ，n ) 。 这个方法与有限元法在概念上相似，但无节点的设立，在本法中，若试函数 适用于全域则不需要列出跨子域的连续条件，若每一个子域设立一个单独的试函 数，则必须考虑跨子域的连续条件。 2 2 3 配点法 如果令子域法中的子域面积趋向于零，则子域法就变成了配点法。引入迪克 拉占函数( 又称为单位脉冲函数) ，一维的单位脉冲函数的主要性质如下： i ( 3 0z=y ( 1 ) 6 ( x - x j ) 2 ox扎-j(214) ( 2 ) e 占( x x j ) a x = 1 ( 2 1 5 ) 9 双参数弹性地基上中厚扳相互作用的加权残值分析法 8 ( x - x ：胁= ：i 裂 仁 f f ( x ) 8 ( x - x j 胁= 端 偿 二维单位脉冲函数的主要性质如下： ( 5 ) 5 ( x - x) ： ：舻_ 乡砒 (2：)6(y-yg 1 8 )( 5 ) 卜如，i 菇 但 - x g ) a ( y - y j 嬲= ：) 耄；嚣! i 。 亿聊 r 胁力鼬- x a s ( y - y ：蚴= 孑嚣菇= z ；墨 。 b z 。， 于是，按( 2 1 7 ) 式有一维问题的配点法，即： j ，月d 矿= g ( x ) 6 ( x x , ) d x = r ( x j ) ( ，21 , 2 ，以)( 2 2 1 ) 按( 2 2 0 ) 式二维问题的配a 法为： r d v = j r ( x ，y ) 占( x x j ) & d y = r ( _ ，y j ) ( ，2 1 , 2 ，- ，”) ( 2 2 2 ) 残值r 根据代数方程( 2 2 1 ) 或( 2 2 2 ) 1 i 1 j 能解出待定系数g 。 由于配点法只需要在某些离散点上进行，这样就避免了冗繁的积分运算，方 便于计算机求解，所以它是加权残值法中最简单也是最广泛使用的一种。 2 2 4 伽辽金法 伽辽金( g a l e r k i n ) 法是由俄国q - 程师伽辽金于1 9 1 5 年提出来的。它是里兹变分 法的推广，但是仍然属于加权残值法。只不过这里所要介绍的伽辽金法，并不像 变分法中那样，要求试函数必须满足所有的位移和力的边界条件，因而适应范围 更广。如果将变分法中的伽辽金法称之为传统方法，那么这里所介绍的就应该称 作为广义伽辽金法。 伽辽金法中的权函数就正是其基函数，如果其试函数如( 2 3 ) 所示，则 w = ，( ，x 2 ，) ( ，21 2 ，竹)( 2 2 3 ) 这样所得的伽辽会法的计算公式为： l , e u a v = 0 ( ，2 1 2 ，竹)( 2 2 4 ) 显然残值方程和试函数的每一个基函数正交，这是这一性质，保证了伽辽金 法的收敛性。 1 0 硕士学位论文 2 2 5 矩量法 在一维问题中，矩量法的权函数为一以( ，= 1 ，2 ，n ) ；二维问题矩量法的权函数 为一一1 _ y ( ，七= 1 , 2 ，疗) 。所以一维问题矩量法的消除残值方程式为： r x 一1 d v = o ( ，= 1 ，2 ，h ) ( 2 2 5 ) 二维问题矩量法的消除残值方程式为： 皿r ( x ，y ) x “y d v = o ( ，七= 1 , 2 ，叫) 根据( 2 2 5 ) 或( 2 2 6 ) 式可以分别得到待定系数q 和q 女。 上述的五种基本的加权残值法可以结合使用，如最小二乘配点法， 点法，最小二乘子域法，矩量配点法等。 2 3 加权残值法的试函数 f 2 2 6 ) 伽辽金配 在加权残值法运用中，如何去确定试函数是十分重要的，尤其是在低级近似 计算中，因为它可以直接影响计算结果的精度；在高级近似计算中，试函数的优 劣对计算精度没有直接的关系，而仅对解的收敛速度有影响。现有的研究一般认 为要保证试函数更好的收敛于真实解，试函数必须满足以下四个要求 3 5 , 3 6 】_ ( 1 ) 连续性：试函数系必须是坐标变量的连续函数： ( 2 ) 无关性：试函数系之间互相线性无关； ( 3 ) 正交性：试函数系满足正交条件； ( 4 ) 完备性：试函数系构成一个完备的函数序列。 在上述这四条中，连续性是最基本的要求，因为研究的所有的场函数，都是 定义在某个给定域内的连续函数；无关性实质上就是要求随着试函数系的增大具 有补充性；完备性则保证在取足够多的试函数项时可以收敛于真实解；正交性是 为了防止试函数的不安定。前三条尤为重要。 以下几种试函数就是其中应用较为广泛的： ( 1 ) 多项式：以幂函数形式表示，有单重的及双重的； ( 2 ) 三角级数：一般与多项式结合； ( 3 ) 样条函数f 3 7 】：一般三次与五次b 样条函数，分为单样条和双样条； ( 4 ) 梁振动函数【3 8 1 ； ( 5 ) 柱稳定函数【3 8 1 ； ( 6 ) 正交多项式：切比雪9 电( c h e b yc h e v ) 多项式 3 9 1 ，勒让德( l e n g e n d r e ) 多项式 【4 0 等： ( 7 ) 贝塞尔( b e s s e l ) 函数【4 1 1 。 双参数弹性地基上中厚板相互作用的加权残值分析法 在具体计算过程中，为7 更好的选取试函数，必须先对所研冤的问题做定性 的分析，如边界条件对称性渐进性奇异性方程的通解和特解类型以及类似问题的 解答等，根据这些定性的研究，尽可能的选取一个接近真实解的试函数，不仅计 算工作量少，而且精度高。 2 4 双五次b 样条函数为试函数的最 b - - 乘配点法 2 4 1b 样条函数的引入 由上面叙述可知，在加权残值法中，需假设试函数来求解微分方程式。计算 实践显示，如果用单独的一个多项式去逼近一个函数，例如在l a ，6 区域中去逼近 一个函数他) 则效果往往不够好；如果将函数的区域陋，b 1 分成为较多的子域陋1 i x i ，石2 】| ，b 州，6 】在各分区中应用不同的多项式来表示，则计算效果就改善不少。 但是，又出现了在分区交界处函数及其导数的不连续点或者不连续界。于是如何 设法解决这些不连续点或不连续界，使它们在这些分区交界处包括若干阶导数在 内能够“连续”光滑。这种情况如果采用样条函数作为试函数便容易得到解决。 样条函数是现代函数逼近的一个十分活跃的分支，是计算方法的重要基础之 一，应用广泛，用它可以创造出一些新的结构分析方法。样条函数的种类很多， 但目前以b 样条函数为最优。b 样条函数的构造、性质及其详细的论证可以参看 文献 3 7 】，珂次b 样条函数可用下式确定： 北)