（信号与信息处理专业论文）基于分数低阶循环统计量的doa估计新方法.pdf

大连理工大学硕七学位论文 摘要 信号的波达方向( d o a ，d i r e c t i o no fa r r i v a l ) 估计是阵列信号处理的一个重要研究内 容。d o a 估计的任务是确定同时处在空问某一区域内多个感兴趣信号的空间位置，广 泛应用于雷达、声纳、地震波、心电图等信号处理领域。d o a 估计的算法很多，以m u s i c ， e s p r i t 为代表的特征子空间类算法是其中的典型代表。虽然m u s i c 算法和e s p r i t 算 法在一定的条件下都可以得到很好的效果；但是，传统特征子空间算法分辨率较低，不 具有频率选择性等缺点。鉴于此，基于循环平稳信号的d o a 估计方法得到了广泛的重 视与发展。 在通信、天文、海洋等信号中，存在着一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳性表 现为周期平稳性，即统计特性呈周期或多周期性变化( 各周期不能通约) 。鉴于此，基 于循环平稳特性的d o a 估计方法综合考虑了信号的时域和空域信息，具有很多传统 d o a 估计方法所不具备的优点：一方面可以抑制循环互不相关的干扰和噪声，另一方 面在阵元数少于信源数时仍然有效。基于二阶循环相关的d o a 估计方法有： c y c l i c m u s i c i 5 l 、c y c l i c e s p r i t i 5 j 和s c s s f 。其中，c y c l i c m u s i c 和c y c l i c e s p r i t 是适用于窄带的；s c s s f 是适用与宽带的。然而，在自然界中存在着大量具有突出的 尖峰脉冲特性的噪声，它们都显著偏离传统的高斯分布。这些噪声通常采用适用性更广 泛的a 稳定分布模型来描述。由于口稳定分布噪声不具有有限的二阶矩，此时基于二阶 循环统计量的算法性能会显著退化甚至失效。 针对这些问题，本文首先提出了分数低阶循环相关矩阵概念；并在此基础上，提出 了分数低阶总体最小二乘( t l s ) 循环e s p r i t 算法的两种形式。计算机仿真表明所提 出的算法可有效地估计出脉冲噪声条件下的波达方向，其性能优于传统的基于二阶循环 统计量的循环e s p r i t 类算法，有潜在的应用前景。 其次，本文又提出了基于分数低阶循环相关的波达方向( d o a ) 估计算法。该算法 是利用了分数低阶循环相关的相移特性将宽带循环平稳信号的d o a 估计问题转化为 “中心频率 为占的窄带问题，从而解决了由宽带引起的d o a 估计困难的问题。计算 机仿真表明了此算法可有效完成高斯噪声和脉冲噪声条件下的宽带循环平稳信号的波 达方向估计，其性能优于传统的基于二阶循环相关的s c s s f 算法。 关键词：a 稳定分布；d o a 估计；循环平稳；分数低阶循环统计量 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 t h en e wm e t h o d so fd o ae s t i m a t i o nb a s e do nf r a c t i o n a l l o w e ro r d e r c y c l i cs t a t i s t i c s a b s t r a c t t h es i g n a lo fd o ae s t i m a t i o ni sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n to ft h ea r r a ys i g n a l p r o c e s s i n g t h et a s ko fd o a e s t i m a t i o ni st od e t e r m i n et h es p a t i a ll o c a t i o no ft h es i g n a l st h a t a r ei nar e g i o no fs p a c ea tt h es a m et i m e ，a n di sw i d e l yu s e di ns i g n a lp r o c e s s i n ga r e a sa b o u t r a d a r , s o n a r , s e i s m i cw a v e s ，e c ga n ds oo n t h e r ea r em a n yd o ae s t i m a t i o na l g o r i t h m s ，a n d i nt h e mt h e e i g e n s p a c ea l g o r i t h mr e p r e s e n t e db ym u s i ca n de s p r i ta r et h et y p i c a l r e p r e s e n t a t i v e a l t h o u g hu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n st h em u s i ca n dt h ee s p r i ta l g o r i t h mc a n g e tv e r yg o o dr e s u l t s ，t h er e s o l u t i o no ft h et r a d i t i o n a le i g e n s p a c ea l g o r i t h mi sl o w e r , a n dt h i s a l g o r i t h md on o th a v ef r e q u e n c ys e l e c t i v ea n ds oo nd i s a d v a n t a g e s i nv i e wo ft h i s ，t h e m e t h o db a s e do nd o ae s t i m a t i o no ft h ec y c l o s t a t i o n a r ys i g n a lh a sb e e nw i d e l ya t t e n t i o na n d d e v e l o p m e n t i nc o m m u n i c a t i o n s ，a s t r o n o m y ，o c e a n s ，a n do t h e rs i g n a l s ，t h e r ei sas p e c i a lc l a s so f n o n s t a t i o n a r ys i g n a l sa n dt h ep e r f o r m a n c eo ft h e i rn o n - s t a t i o n a r yn a t u r ei sc y c l es t a b l e ， w h i c hm e a n st h a tt h e i rs t a t i s t i c a lp r o p e r t i e sc h a n g e si no n eo rm o r ec y c l e ( e a c hc y c l ec a nn o t p a s sa r o u n d ) i nv i e wo ft h i s ，d o ae s t i m a t i o nm e t h o db a s e do nt h ec y c l o s t a t i o n a r i t y p r o p e r t i e st o o ki n t oa c c o u n tt h ei n f o r m a t i o no ft i m e - d o m a i na n ds p a t i a l - d o m a i n ，w i t hm a n y a d v a n t a g e st h a tt h et r a d i t i o n a ld o a e s t i m a t i o nm e t h o d sd on o th a v e ：o nt h eo n eh a n d ，t h i s a l g o r i t h mc a ni n h i b i tt h ei n t e r f e r e n c ea n dn o i s et h a ta r en o tc y c l i cc o r r e l a t i o n ；o nt h eo t h e r h a n d , i ss t i l lv a l i dw h e nt h en u m b e ro fa r r a ya r el e s st h a nt h es o u r c e t h ed o ae s t i m a t i o n m e t h o d sb a s e do nt h es e c o n d o r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o na r ec y c l i c m u s i c 5 1 、c y c l i c e s p r i t 5 1 a n ds c - s s fe t c i nt h e m ，c y c l i c m u s i ca n dc y c l i c e s p r i ti sa p p l i c a b l et ot h es i g n a lo f n a r r o w b a n d ；s c s s fi sa p p l i c a b l et ot h es i g n a lo fb r o a d b a n d h o w e v e r , i nn a t u r et h e r ea r ea 1 0 to fn o i s e sw i t hn o t a b l ep u l s ec h a r a c t e r i s t i c t h e ya r eas i g n i f i c a n td e p a r t u r ef r o mt h e t r a d i t i o n a lg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n t h e s en o i s e su s u a l l yu s ea l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o nm o d e lt o d e p i c ts t o c h a s t i cs i g n a l s w i t har e m a r k a b l e i m p u l s i v ec h a r a c t e r i s t i c b e c a u s eo ft h e s e c o n d - o r d e rs t a t i s t i c so ft h ea l p h a s t a b l ed i s t r i b u t e dn o i s ed o e s n te x i s t , w h i c hr e s u l ti n n o t i c e a b l ed e g r f i d a t i o no re v e nf a i l u r eo ft h ep e r f o r m a n c eo fa l g o r i t h m sb a s e do nt h e s e c o n d - o r d e rs t a t i s t i c s f o c u s i n go nt h i sq u e s t i o n ，t h i sp a p e rf i r s t l yp r e s e n t san e wc o n c e p tr e f e r r e dt o 嬲t h e f r a c t i o n a ll o w e ro r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o nm a t r i xa n db a s e do ni t p r e s e n t sa l g o r i t h m si nt w o f o r m s ，w h i c ha r ec a l l e df r a c t i o n a l l o w e ro r d e rm o m e n tt o t a l l e a s ts q u a r e sc y c l i ce s p r i t i i 大连理工大学硕士学位论文 s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h m sc a ne f f e c t u a l l yg i v ed o a e s t i m a t i o n u n d e ri m p u l s i v e - n o i s ec o n d i t i o n s ，a n dt h e yp e r f o r m a n c ei s s u p e r i o rt ot h ec y c l i c e s p r i t b a s e do ns e c o n do r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o n t h en e w a l g o r i t h m sh a v ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n s s e c o n d l y ，t h i sp a p e rp r e s e n t sa na l g o r i t h mo fd i r e c t i o no fa r r i v a l ( d o a ) e s t i m a t i o n b a s e do nt h ef r a c t i o n a ll o w e ro r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o n 1 1 1 ea l g o r i t h mu s e st h ep h a s es h i f t c h a r a c t e r i s t i c so ft h ef r a c t i o n a ll o w e ro r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o na n dt r a n s f o l m st h ed o a e s t i m a t i o np r o b l e mo ft h ew i d e b a n dc y c l o s t a t i o n a r ys i g n a l si n t oa ni s s u eo ft h en a r r o w b a n d c y c l o s t a t i o n a r ys i g n a l st h a tt h e “c e n t r ef r e q u e n c y ”i s s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e p r o p o s e da l g o r i t h m c a ng i v ea c c u r a t ed o ae s t i m a t i o nu n d e rb o t h g a u s s i a na n d i m p u l s i v e - n o i s ec o n d i t i o n s ，a n di t sp e r f o r m a n c ei ss u p e r i o rt ot h es c s s f ( s p e c t r a l c o r r e l a t i o n - s i g n a ls u b s p a c ef i t t i n g ) b a s e do ns e c o n do r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o n k e yw o r d s ：a l p h a 。s t a b l ed i s t r i b u t i o n ；d o ae s t i m a t e ；c y c t o s t a t i o n a r y ；f r a c t i o n a l l o w e ro r d e rc y c t i cs t a t i s t i c s i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处， 学位论文题目： 作者签名： 本人愿意承担相关法律责任。 撇俪狮铆籽矿 钓翮铆r 靴办 兰天 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 整i 塑堡堕堡堡垒鲨丝堕堕塑 兰灭 1 日期：姿! ! 年l 月垒 _ 日 日期：竺：竺z年生二月三二- 日 大连理工大学硕十学位论文 1 绪论 1 1 课题的理论意义和应用价值 信号的波达方向【l ，2 j ( d o a ，d i r e c t i o no f a r r i v a l ) 估计是阵列信号处理的一个重要研 究内容。d o a 估计的任务是确定同时处在空间某区域内多个感兴趣信号的空间位置， 广泛应用于雷达、声纳、地震波、心电图等信号处理领域。根据信号处理理论，信号参 数估计问题受到多个因素的影响，包括估计算法的性能、信号观测时间、接收信号中的 噪声特性及信噪比，对于射频信号来说，还特别受到传输信道的非理想特性和同频带干 扰的影响。其中噪声和同频带干扰是影响信号估计精度两个非常重要因素。 关于无线传播信道的同频带干扰抑制问题，传统上采用基于循环统计量的信号分析 处理方法。我们知道，调制后的射频信号是一种典型的非平稳信号，通常根据其非平稳 特性将其称为循环平稳信掣3 引。所谓循环平稳特性，是指随机过程的统计特征矢量随 时间的变化呈现出周期或多周期变化的规律。循环平稳信号处理的特色在于：既反映了 信号统计量随时问的变化，弥补了平稳信号处理的不足；又利用信号统计量的周期变化， 简化了一般的非平稳信号处理。循环平稳信号处理已经在雷达、通信、大气信号处理、 水文学、阵列处理和生物医学信号处理等方面得到了广泛应用。 噪声问题是无线传输技术不可避免地要面临的重要问题之一。传统信号处理中，通 常使用高斯模型。在多数情况下，这种高斯假定是合理的，而且基于这种高斯假定基础 上所设计的信号处理算法易于进行理论上的解析分析。但是在地震勘探、水声、生物医 学等许多领域所遇到的信号和噪声，往往是非高斯分布的，若还采用高斯假定来设计信 号处理系统，则会出现严重的性能退化。特别是无线电监测与移动通信等无线被动定位 环境中，所遇到的信号和噪声，很多是非高斯分布的。研究表明，在无线信道中，由于 自然因素( 例如大气噪声、磁暴、雷电、宇宙电磁波等) 和人为因素( 荧光灯、微波炉、 汽车发动机点火、电动机，发电机、各种电磁设备等) 的影响，信号噪声实测数据中往 往伴随着较强的脉冲性干扰，这表明实测数据的概率分布显著偏离高斯分布，且比高斯 概率分布具有更厚重的拖尾。在信号处理理论中，常把这类非高斯噪声用口稳定分布 ( 口s t a b l ed i s t r i b u t i o n ) 来描斟9 1 。 本文为了解决基于二阶统计量( s o s ，s e c o n do r d e rs t a t i s t i c s ) 循环统计量在口稳定 分布噪声条件的退化的问题，基于分数低阶统计量( f l o s ，f r a c t i o n a ll o w e ro r d e r s t a t i a i c s ) 对循环统计量进行改造，构建新型的分数低阶循环统计量( f l o c s ，f r a c t i o n a l l o w e ro r d e rc y c l i c s t a t i s t i c s ) 是一种可行有效的解决方案。 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 另外，目前的循环平稳信号的d o a 估计问题均假设为高斯模型，对于将非高斯信 号与非平稳信号相结合的d o a 估计理论与应用研究基本处于开始阶段。因此本课题的 研究具有重要的理论价值和应用价值。 1 。2 国内外研究历史与现状 阵列信号处理的理论研究自二十世纪六十年代开始，至今己有四十多年的历史。自 2 0 世纪7 0 年代末开始，在d o a 估计方面涌现出了大量的研究成果，其大致可以分为四类： 传统法、子空间法、最大似然法和综合法。其中，基于子空间类的测向算法最为突出 它实现了向现代超分辨测向技术的飞跃，从而也促进了特征子空间类算法的兴起。基于 子空间类的测向算法包括著名的m u s i c 算法【1 0 】和e s p r i t 算法【1 1 】。但是这些算法主要是 仅利用信号入射到阵列的空间相关特性，而缺少了信号的选择性，并且都忽略了信号的 时间特性，从而使其性能和应用受到了限制。上世纪8 0 年代，g a r d n e r 等人首先将信号的 循环平稳特性用于d o a 估计中，从而很好的解决d o a 估计中存在的上述问题。 循环平稳过程理论的起源虽然可以追溯到本世纪5 0 年代，但是出现迅速发展却只知 8 0 年代中期才开始的。8 0 年代中期，随着g a r d n e r 等学者对无线电调制信号循环平稳特性 的深入研究，循环平稳随机过程理论在通信技术领域受到了广泛关注。许多的人工信号 天然信号是循环平稳信号。循环平稳信号分析与处理在雷达、声纳、通信、遥测、生物 医学、气象学、大气科学、海洋学、天文学等中已获得许多成功的应用，并显示出其广 阔的前景1 6 1 。 g a r d n e r 等人提出的循环平稳信号d o a 估计方法一循环m u s i c l l 2 】( c y c l i c m u s i c ) 、循环e s p r i t l l z j ( c y c l i ce s p r i t ) 等方法，它们仍然要求信号必须是窄带的。 1 9 9 2 年，g h x u 等人重新研究了阵列信号模型，在不进行任何信号模型约束的情况下 研究得到了基于信号谱相关特性的信号子空间拟合d o a 估计方法，称之为s c s s f l l 3 】估 计方法。改方法一个显著的特点就是不仅适用窄带信号，也对宽带信号同样成立。 循环平稳信号d o a 估计算法都是基于二阶统计量或高阶统计量的，其噪声都是假 定为高斯噪声模型。但是人们在研究中发现，许多入为的信号，以及自然中的冰l i 断裂， 雷电和雷达扫频都是有很高尖峰脉冲的。研究表明，口稳定分布能够很好的模拟这些过 程。因此，发展适应于a 稳定分布模型的稳健的信号处理算法在理论和实践中都具有重 要的意义。 f l o s 是2 0 世纪9 0 年代中期以来得到迅速发展的一种新型统计信号处理理论方法， 是非高斯信号处理的一个重要方面，是国际统计信号处理领域学术研究的主要前沿之 一，特别适合于分析处理d 稳定分布随机信号。研究表明，即使当随机信号或噪声确实 大连理工大学硕士学位论文 服从高斯分布时，基于口稳定分布假设和f l o s 而设计的信号处理算法，其性能也与基 于高斯假定和算法的性能相割9 1 。正是因为具有上述显著优点，自2 0 世纪9 0 年代中期 以来，对于口稳定分布与基于f l o s 的信号处理理论和方法受到国际信号处理学术界极 大的关注，并且在一些领域得到了应用。 基于二阶或高阶的循环平稳信号d o a 的一些算法已经可以很好的抑制高斯噪声或 者干扰，但是当噪声或干扰是非高斯时，这些算法将退化甚至失效，所以把应用于非高 斯信号的分数低阶理论和循环统计量相结合的方法正成为现在研究的一个重要方向。国 内外关于f l o c s 的研究则刚刚起步，关于f l o c s 的概念和理论框架尚未系统形成，有 很多有待于研究解决的问题。例如需要深入研究无线传播的噪声和干扰问题，需要分析 研究口稳定分布噪声环境下，基于s o s 循环统计量变的退化与失效问题，需要研究基于 f l o s 循环统计量的构建与相应的性能分析问题。此外，还需要依据新型的f l o c s 解 决口稳定分布噪声和同频带干扰条件下的d o a 估计问题。基于f l o s 的循环统计量概 念与理论框架及其用于口稳定分布噪声环境下d o a 估计的研究，当属国际信号处理学 术研究的前沿课题，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。 1 3 本文的主要研究内容和结构 本文主要在a 稳定分布脉冲噪声环境下，研究循环平稳信号的d o a 估计问题。结 合分数低阶统计量与循环统计量的特点，提出新的分数低阶循环统计量；并在分数低阶 循环统计量的基础上，提出适用于窄带的分数低阶总体最小二乘( 1 1 5 ) 循环e s p r i t 算法的两种形式和适用于宽带的基于分数低阶循环相关的s c s s f ( s p e c t r a lc o r r e l a t i o n s i g n a ls u b s p a c ef i t t i n g ) 算法。全文各章内容安排如下： 第一章绪论，主要介绍了循环平稳信号d o a 估计和口稳定分布信号处理理论的发 展历史及趋势。 第二章简要介绍了循环平稳信号的基本概念；给出了两种基于二阶循环统计量的 窄带d o a 估计算法，即循环m u s i c 与循环e s p r i t 算法；然后以s c s s f 算法为例简 单介绍了宽带循环平稳信号的d o a 估计算法。 第三章简要介绍了口稳定分布与分数低阶矩理论。 第四章首先，结合二阶循环统计量和分数低阶统计量理论，提出了分数低阶循环 相关矩阵的概念；并在此基础上，提出了分数低阶总体最d x - - 乘( t l s ) 循环e s p r i t 算法的两种形式。计算机仿真表明所提出的算法可有效地估计出脉冲噪声条件下的波达 方向，其性能优于传统的基于二阶循环统计量的循环e s p r i t 类算法，有潜在的应用前 景。 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 第五章针对在脉冲噪声环境中基于传统二阶循环相关算法性能显著退化的问题， 以口稳定分布作为噪声模型，提出了基于分数低阶循环相关的波达方向( d o a ) 估计算 法。该算法是利用了分数低阶循环相关的相移特性将宽带循环平稳信号的d o a 估计问 题转化为“中心频率”为的窄带问题，从而解决了由宽带引起的d o a 估计困难的问 题。计算机仿真表明了此算法可有效完成高斯噪声和脉冲噪声条件下的宽带循环平稳信 号的波达方向估计，其性能优于传统的基于二阶循环相关的s c s s f 算法。 最后，对本文的工作进行总结。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 2 基于二阶循环统计量的d o a 估计方法 2 1循环平稳信号分析p , 3 ，9 l 2 1 1 循环均值和循环相关函数 平稳随机过程一般具有时间遍历性特性，因此描述该过程的各阶数字统计量，如均 值、相关函数等，均可用时间平均值来代替统计平均值。然而，非平稳信号的统计量是 随时间变化的，时间平均不能直接使用。循环平稳信号既然是一种特殊的非平稳信号， 那么在分析和处理上，它既不同于平稳信号，也有别于一般非平稳信号。这主要是因为 信号的统计量变化的周期性是可以充分利用的重要信息。下面研究循环平稳信号，分析 其均值和相关函数的时间特性，先讨论“一阶循环平稳”信号。 设有确定性复正弦信号s o ) = b e j ( z , , f t + 8 ) ，式中，b 为幅度，f 为信号载频，0 为起始 相位；噪声为零均值的随机噪声以o ) ，即接收信号为： z o ) = s 1 3 f ) + 咒o ) = b e j ( 撕凡枷+ 以o ) ( 2 1 ) 如果对该信号作统计平均求其均值，则有 m 。( f ) = e k o ) 】一b e j ( 猢柑) ( 2 2 ) 从上式可知，显然均值是时间的函数，无法直接使用时间平均来估计信号的均值。若已 知复正弦信号的周期t 一1 f ，由白噪声的遍历性可知，对于任意给定时刻f ，以r 为周 期的采样序列 x o + ，l 丁) ) 也具有遍历性，所以可用样本均值估计统计均值【3 2 1 ，则有： m ，( f ) ；e 呲+ 以丁) 】2 l i m2 1 石。蛩o + ，l r ) ( 2 3 ) 可见m 。o ) 是周期为z 的周期函数，可将统计均值展开成f o u r i e r 级数，得： m ，o ) = 罗m ? 厅p 棚仃 ( 2 4 ) 而 对应的f o u r i e r 系数为： 掣r = 手置m ，( t ) e - j 2 = r d t ( 2 5 ) 将( 2 3 ) 式代入上式，并令瓦= ( 2 n + 1 ) r ，得： 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 岷1 l n i r a 面南等专, f t z r 2 x 【 + n 璀姗| 1 d l 。 一* ( 心+ 1 ) f 。鲰- ，一 、7 2 n l i m 。l z l j f r r i d 2 2 工o ) p j 拥f ，r 出 a ( t e - j 细, a r 1 2 ( x ( t ) e， ( 2 6 ) 式中，( ) 。表示时间平均。 当信号x q ) 包含有多个不同的周期信号，且各周期互不可约，式( 2 4 ) 和式( 2 6 ) 可以 写成更一般的形式： m 。( f ) = 蟛e 口删 ( 2 7 ) 蟛o ) = ( z o ) e - j 撕e t ) ( 2 - 8 ) 式中，表示信号x o ) 中加性周期信号的谐波频率。 通常，时变均值m ，( f ) 的频率分量m ：o ) 被称为循环均值( c y c l i cm e a n ) ，被称 为一阶循环频率( f i r s t o r d e rc y c l ef r e q u e n c y ) 。式( 2 8 ) 说明循环均值相当于将信号x o ) 的频谱左移频率占后，再取时间平均。因此，只要信号的功率谱中存在频率为的谱线， 贝l jm ；0 ，这时称信号是一阶循环平稳的，同时这也是一阶循环平稳的判据。 一些不具有一阶循环平稳性的非平稳信号往往具有更细致的周期特性，称为二阶周 期特性( s e c o n d - o r d e rp e r i o d i c i t y ) 或循环平稳特性( c y c l o s t a t i o n a r i t y ) 。同理定义信号 的循环相关函数1 4 1 。考虑这类非平稳信号x o ) 的时变相关函数： r x o ；了) = e l x ( t + 2 江o 一2 ) 】 ( 2 9 ) 如果上式所示相关函数关于时间t 也具有周期为丁的周期性，则采用与式( 2 3 ) 相同的方 法，可以将式( 2 9 ) 写成： 疋2 l i m 2 = t 石。娶o + ，z r o ) x o + ，l 瓦一f ) ( 2 1 0 ) 同理，由于上式是周期为丁的周期函数，因此展开成f o u r i e r 级数为： o ；z ) = 足p 弦獬 ( 2 1 1 ) r e l 。- 。一- a a 上式中，f = m t o ，其对应f o u r i e r 系数为： 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 ) ；恕# 二x o + z 2 ) x o 一衫2 弦伽班 2 ( z o + v 2 ) x 。( f 一衫2 p 。拥) ， ( 2 1 2 ) p ) 称为循环自相关函数( c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ) ，占称为二阶循环频率( 为与 a 稳定分布的特征指数口相区别，以下各章均采用占表示循环频率) ，简称为循环频率 ( c y c l ef r e q u e n c y ) 。 若信号在频率f 处的循环相关函数p ) 一0 ，就称该信号是二阶循环平稳的，称为 该信号的循环频率。一个循环平稳信号的循环频率可能有多个值，包括零循环频率和非 零循环频率。当循环频率为零时，循环自相关函数退化为信号的自相关函数。因此若 彤 ) 存在，而v 一0 ，p ) = o 则信号为平稳信号；若至少存在一个非零的，使得 p ) 0 ，则信号是循环平稳的。所以零循环频率刻画了信号的平稳部分，非零循环频 率才刻画了信号的循环平稳性。 2 1 2 典型通信信号的循环相关 雷达、通信、声呐、遥感和遥测等系统中常使用的信号，如a m ( a m p l i t u d em o d u l a t i o n ) 信号、f s k ( f r e q u e n c y s h i f tk e y i n g ) 信号和相位编码信号( 如b i n a r yp h a s e - s h i f tk e y i n g ， b p s k ；q u a t e r n a r yp h a s e - s h i f tk e y i n g , q p s k ) 等，都具有循环平稳特性。下面以b p s k 信 号为例，简单介绍下信号的循环相关。 一个b p s k 信号可表示为： x q ) = a ( t ) c o s 2 勿f o t + 九o ) 】 ( 2 1 3 ) 其中口( f ) = a g ( t 一气一，l t o ) ，g ( f ) 为以原点为中心、宽度为瓦的矩形脉冲，为简化计 算，现假定初相位九p ) = 0 ，则式( 2 1 3 ) 可等价表示为： 删钏帅s ( 砜归隆鼬- t o - n t o ) c o s ( 砜r ) ( 2 1 4 ) 其中口。 口矗f = 1 , 2 ，口。一1 , a ：= 一1 ，p 为口。出现的概率，口，出现的概率由下列概率场 表示： ( a p l1 a 一2 尸) ( 2 1 5 ) 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 b p s k 信号的循环自相关函数为： 定。) 一l h ( o c o s 砜z + 扣+ 2 如p ) + 扣。2 p ) ( 2 1 6 ) 式中患p ) 中的g 表示循环频率。 2 2 窄带循环平稳信号的d o a 估计方法简介 2 2 1 引言 大部分人造信号具有循环平稳特性，主要特点是具有不同循环频率的信号循环互相 关为零。循环平稳特性首先被g a r d n e r 等人用于阵列信号处理并应用于d o a 估计中。 他们用循环互相关矩阵代替互相关矩阵，并用特征空间分解进行d o a 估计( 简写为 c y c l i c - s s f ) 。其主要分为两大类：c y c l i c m u s i c 和c y c l i c e s p r i t 。这类算法的优点 是可以在比较宽松的条件下，能估计多于阵元数的信号，实现不同循环频率信号的分离。 c y c l i c - s s f 方法的基础是假设源信号为窄带信号，因此称为窄带循环平稳信号的d o a 估计方法。 ( 1 ) 窄带阵列信号数学模型【1 1 考虑n 个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，其中阵列天线由m 个阵元组成。 在信号源是窄带的假设下，信号可用如下的复包络形式表示： 雠掣篇h h 卜叫 泣忉 lt ( f 百) t 比j ( f f ) p h p 一7 ) + 妒p 一叫j 式中，心( f ) 是接收信号的幅度，驴( f ) 是接收信号的相位，是接收信号的频率。在窄 带远场信号源的假设下，有 m u i ( t 一- z i ：) ) 。 驴u i ( ( ，t ) ( 2 1 8 ) m z ) 。驴( f ) 忆埔 根据式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ，显然有下式成立： 墨( t f ) 一墨( t ) e 一郇 i - - 1 , 2 ，n( 2 1 9 ) 则可以得到第z 个阵元的接收信号为： 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 为( f ) 一g 肛墨( 卜z u ) + n ，( f ) zs 1 ，2 ，m ( 2 2 0 ) 面 式中，鼠为第z 个阵元对第i 个信号的增益，嘞( f ) 表示第z 个阵元在t 时刻的噪声，表 示第f 个信号到达第z 个阵元时相对于参考阵元的时延。 在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素 的影响，那么式( 2 2 0 ) 中的增益可以省略( 即归一化为1 ) ，在此假设下将m 个阵元在特 定时刻接收的信号排列成一个矢量，可得 葺( t ) x 2 ( t ) x m ( t ) e 。l 吣l n e j 吣z n e j 雌 墨( f ) s ：( t ) ( t ) + n 1t ) 行：( t ) ( t ) ( 2 2 1 ) 将上式写成矢量形式为： x ( f ) = 凇( f ) + ( f ) ( 2 2 2 ) 式中，x ( f ) 是阵列为m 1 维快拍数据矢量，( f ) 是阵列为m 1 维噪声数据矢量，s ( t ) 是空间信号为1 维矢量，4 是空间阵列为m x n 维流型矩阵( 导向矢量阵) ，且 4 = 口( q ) 口( ) 口( ) 】。其中： 口( q ) = e x p ( 一j 吒) e x p ( - j t o o z 2 ) e x p ( 一j ) i 一1 ，2 ，n ( 2 2 3 ) 上式，鳓= 弘厂一及，c 为光速，a 为波长。 本文阵列均假设为线性均匀阵列，各相邻阵元间的距离为d ，da 冬，九：丝， 二too 其中，为信号的中心频率；所以有： = ( 七一彬s i n 0 】f c ( 2 2 4 ) 2 2 2 循环m u s i c 算法1 4 1 由前面章节讨论可知，窄带远场信号的d o a 数学模型为： 慨； 。 小 p p ；惭肭，椭；惭 一 基于分数低阶循环统计量的d o a 估计新方法 x ( t ) ，凇( f ) + ( ，) ( 2 2 5 ) 其中与上一节不同的是，s ( f ) = h o ) ，s ：o ) ，o ) r 为指定循环频率的入射信号矢 量。o ) = i n 。o ) ，刀：o ) ，( f ) 】为天线阵列接收到的噪声矢量，假定各个阵元接收噪声 均服从高斯分布，且与入射的循环平稳信号不循环相关。 因为噪声与入射信号循环不相关，所以在式( 2 2 5 ) 的两端求循环频率为的循环 相关得： r j g p ) = 彳髅( o a h ( 2 2 6 ) 在常规m u s i c 方法中，需要对接收信号的自相关矩阵做特征值分解，与常规m u s i c 方法不同，在循环m u s i c 算法类中，由于接收信号的循环自相关矩阵列0 ) 不是 h e r m i t i a n 矩阵，所以我们用奇异值分解代替特征值分解。对式( 2 2 6 ) 做奇异值分解，得 到： 尺嚣 ) = 嬲y h ( 2 2 7 ) 其中酉矩阵u ，y 分别为左奇异矩阵和右奇异矩阵，它们的列分块形式为： u = k “：，v = i v ，屹， 列向量峨和k ( i = 1 ，2 ，m ) 就是左奇异向量和右奇异向量。而s 为对角矩阵，其对角元 素为矩阵蟛 ) 的奇异值。由于f a n k ( 础p ) ) = r a n k ( 砧p ) ) 一。所以础p ) 仅有个 非零的奇异值，其余( m 一) 个奇异值均为零，将奇异值按从大到小的循序排列： 墨 s 2 0 对应的把酉矩阵u ，y 分成两部分： u = 虹u 。v 一【坎圪 ( 2 2 s ) 其中玑和k 分别由u 和矿前个主奇异值对应的奇异向量组成；而虬和k 分别由u 和 v 后( m 一) 个主奇异值对应的奇异向量组成，即： 兰；：2 = i n n ：! j _ ：己】k 三二 z ：， c 2 2 9 ， 砜 小，】k 一 形， 大连理t 大学硕士学位论文 上式玑( 或k ) 的列向量张成的子空间称为信号子空间；由玑( 或圪) 的列向量张成 的子空间称为噪声子空间。由文献 1 4 1p - i 得到： 赡p ) = 0 ( 2 3 0 ) 彳线性不相关，由式( 2 2 6 ) ( 2 3 0 ) 可得 。) h a ( 雌) ；0 ，i 一1 ，2 ，n ( 2 3 1 ) 式( 2 3 1 ) q a 是信号向量和噪声矩阵的内积，当a ；( ) 与虬的各列正交时，该式的值为零。 据此定义c y c l i c m u s i c 方法的空间谱表达式为： 一觯) 2 再丽确 q 2 通过对式( 2 3 2 ) 寻找谱峰( 即d 枷u 。k ) 的最大值) ，最p - - i 得到c y c l i c m u s i c 算法的 d o a 估计。 2 2 3 循环e s p r i t 算法1 2 1 e s