（计算数学专业论文）数值积分对无网格方法的影响.pdf

中文摘要 论文题目：数值积分对无网格方法的影响 专 业： 计算数学 博士生：张庆辉 指导教师：许跃生教授 陈仲英教授 u d a yb a n e r j e e 教授 中文摘要 本文主要是为g a l e r k i n 的无网格方法设计高效的数值积分策略。我们考虑了 三类二阶线性椭圆偏微分方程模型：p u r en e u m a n n 边值问题、本质边界条件的 问题、一般的非常系数的椭圆方程。我们分别为每一个模型发展无网格方法、设 计适当的数值积分公式，并分析了由数值积分格式获得的近似解对真解的逼近误 差。 无网格方法起源于上个世纪七十年代，从九十年代初期开始了大量的研究。 该方法的动机是为了舒缓通常的网格方法( 例如有限元) 用于求解一些复杂的工程 问题( 如裂纹传播问题、大变形问题等) 时划分空间网格的沉重负担。从这类方法 诞生的初期，人们便意识到了( 刚性矩阵、质量矩阵、承载向量的元素的) 数值积 分严重地阻碍g a l e r k i n 无网格方法的有效运用。不充分的数值积分甚至可以导致 方法的失败。尽管工程界进行了很多的努力来处理这个问题，然而对于它的精确 的理解仍然是很缺乏的，工程师们经常用“过度的积分”，计算代价相当昂贵。同 时，鲜有系统的理论( 数学) 分析来研究这个问题。因此，数学上考察数值积分对 无网格方法的影响并在此基础上设计可靠的积分公式是这类方法成功的关键。 在这篇论文中，我们提出了无网格方法中的数值积分需要满足的三个条件， 其中之一是由g r e e n 公式得到的启示，它将在本文的所有分析中发挥中心的作 用。这个条件指出，当g r e e n 公式的两端的积分项被数值地计算时，等式依然可 以对一些特定的光滑函数类成立。我们同样给出了满足这个条件的算法，我们称 第i i i 页，共1 2 9 页 中文摘要 之为积分校正原则。我们提及一些标准的积分公式并不满足这个条件，例如高斯 积分。 对于文中考虑的每个模型问题，我们都从数学上分析了带有数值积分格式的 无网格方法的逼近性。这些分析是建立在所谓的s t r a n g 引理的基础上的，该引理 允许我们将误差划分为两部分一一逼近误差和数值积分导致的“扰动 误差，其中 扰动误差可以被文中的积分算法控制，即误差不会放大。而且依据离散化参数h 适当地选择数值积分公式，我们可以获得计算的近似解的最佳逼近阶。这个现象 是完全不同于标准的有限元方法的。在有限元方法中，为了得到最佳的逼近阶， 数值积分公式不必依赖于h 。这是消除网格所付出的代价。 需要强调的是，对于上面提到每种模型问题我们都需要为其考虑适当的变分 形式，从而对应了不同的g a l e r k i n 无网格方法。例如，( a ) 在p u r en e u m a n n 的情 形，我们用基于l a g r a n g e 乘子的变分公式( 见第3 章) ；( b ) 对于带有本质边界条 件的问题，我们用一个扰动的变分问题，即所谓的非对称的n i t s c h e s 方法( 见第 4 章) ；( c ) 通常的变分公式被用于一般的、带有非常系数的椭圆方程( 见第5 章) 。 结果的每种无网格方法在精确积分和数值积分的情形下的数学分析在相应的章节 中被研究。 关键词：偏微分方程数值解，无网格方法，数值积分，g r e e n 公式，积分校 正，收敛阶，l a g r a n g e 乘子，n i t s c h e s 方法，s t r a n g 引理。 第i v 页，共1 2 9 页 英文摘要 t i t l e ： m a j o r ： n a m e ： s u p e r v i s o r ： e f f e c to fn u m e r i c a li n t e g r a t i o no nm e s h l e s sm e t h o d s c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s q i n g h u iz h a n g p r o f e s s o rz h o n g y i n gc h e n p r o f e s s o ru d a yb a n e r j e e a b s tr a c t t h i sp h d t h e s i si sm a i n l yf o c u s e do nd e s i g n i n ge f f i c i e n tn u m e r i c a li n t e g r a - t i o ns t r a t e g yf o rt h eg a l e r k i nm e s h l e s sm e t h o d si ns o l v i n gt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sn u m e r i c a l l y w ec o n s i d e rt h r e ek i n d so fm o d e l so fl i n e a re l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h es e c o n do r d e r ：t h ep u r en e u m a n np r o b l e m ，p r o b l e m s w i t he s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h en e u m a n np r o b l e mf o rg e n e r a le l l i p t i ce q u a r t i o n sw i t hn o n - c o n s t a n tc o e f f i c i e m s f o re a c ho ft h e s em o d e l s ，w eh a v ed e v e l o p e d m e s h l e s sm e t h o d s ，p r o p o s e da p p r o p r i a t en u m e r i c a li n t e g r a t i o ns c h e m e s ，a n da n a , - l y z e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n st ot h ee x a c ts o l u t i o n si nt h e p r e s e n c eo fp r o p o s e dq u a d r a t u r es c h e m e s t h em e s h l e s sm e t h o d sw e r ef i r s ti n t r o d u c e di n7 0 sa n dt h e r eh a v e b e e ne x t e n s i v e r e s e a r c ha c t i v i t yi nt h i sa r e as i n c ee a r l y9 0 s t h e s em e t h o d sw e r ea i m e dt oa l l e v i a t e t h eh e a v yb u r d e no fm e s h - g e n e r a t i o ni nt h em e s hb a s e dm e t h o d s ( e g t h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) ，w h e na p p l i e dt os o l v es o m ec o m p l i c a t e de n g i n e e r i n gp r o b l e m s ， e g ，p r o b l e m sw i t hc r a c k - p r o p a g a t i o no rw i t hl a r g ed e f o r m a t i o n s b u ta l s of r o m t h ev e r yb e g i n n i n g ，i th a sb e e nr e a l i z e dt h a tt h en u m e r i c a li n t e g r a t i o n ( o ft h ee l e - m e n t so ft h es t i f f n e s sm a t r i x ，t h em a s sm a t r i x ，a n dt h el o a dv e c t o r ) i sas e r i o u si s s u e i nt h ee f f i c i e n tu s eo fg a l e r k i nm e s h l e s sm e t h o d s i n a d e q u a t en u m e r i c a li n t e g r a t i o n m a yc a u s et h ef a i l u r eo ft h e s em e t h o d s e v e nt h o u g hg r e a te f f o r t sh a v eb e e nm a d e 第v 页，共1 2 9 页 英文摘要 i t i sn e c e s s a r yt oe m p h a s i z et h a tf o re a c hm o d e lc o n s i d e r e di nt h i st h e s i s ，w e h a dt oc o n s i d e ras e p a r a t ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w h i c hr e s u l t e di n t os l i g h t l yd i f f e r e n t g a l e r k i nm e s l l l e s sm e t h o d s f o re x a m p l e ( a ) i nt h ec a s eo ft h en e u m a n np r o b l e mf o r t h ep o i s s o ne q u a t i o n ，w eu s e dav a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o nb a s e do nl a g r a n g em u l t i p - i e r s ( s e ec h a p t e r3 ) ，( b ) f o rt h ep r o b l e m w i t he s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w eu s e da p e r t u r b e dv a r i a t i o n a lp r o b l e mi nt h ed i s c r e t i z a t i o np h a s e ，c a l l e dt h en o n - s y m m e t r i c n i t s c h em e t h o d ( s e ec h a p t e r4 ) ，a n d ( c ) t h ec o n v e n t i o n a lv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n f o rt h eg e n e r a le l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hn o n - c o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ( s e ec h a p t e r5 ) t h e m a t h e m a t i c a la n a l y s i so fe a c ho ft h er e s u l t i n gm e t h o d s ，b o t hw i t ht h ee x a c tn u m e r - i c a li n t e g r a t i o n sa n du n d e rt h ee f f e c to ft h eq u a d r a t u r e s ，h a v eb e e np r e s e n t e di n t h e s er e s p e c t i v ec h a p t e r s k e yw o r d s ：n u m e r i c a ls o l u t i o nf o rp d e ，m e s h l e s sm e t h o d s ，q u a d r a t u r e ，i n t e - g r a t i o nc o r r e c t i o n ，c o n v e r g e n c eo r d e r ，l a g r a n g em u l t i p l i e r ，n i t s c h e sm e t h o d ，s t r a n g l e m m a 第v i i 页，共1 2 9 页 表格目录 表格目录 3 - 1p u r en e u m a n n 问题的数值结果：k = 1 、标准的高斯积分公式5 1 3 - 2p u r en e m n a n n 问题的数值结果：k = 1 、非对称的高斯积分公式5 3 3 - 3p u r en e t u n a j m 问题的数值结果：k = l 、1 一校正的非对称的高斯积 分公式5 4 3 - 4p u r en e u m a n n 问题的数值结果：k = 2 、2 - 校正的非对称的高斯积 分公式5 7 3 - 5p u r en e m n a z m 问题的数值结果：k = 2 、1 校正的非对称的高斯积 分公式5 9 3 - 6p u r en e u m a n n 问题的数值结果：k = 2 、非对称的高斯积分公式6 0 本质边界问题的数值结果： 本质边界问题的数值结果： 本质边界问题的数值缩采： 本质边界问题的数值结果： 本质边界问题的数值结果： 本质边界问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： 非常系数问题的数值结果： k = l 、标准的高斯积分公式7 9 k = 1 、非对称的高斯秋分公式8 0 k = 1 、1 一校正的非对称的高斯积分公式 8 1 k = 2 、非对称的高斯积分公式8 2 k = 2 、l 一校正的非对称的高斯积分公式8 3 k = 2 、不校正的非对称的高斯积分公式 8 4 k = l 、标准的高斯积分公式1 0 1 k = 1 、非埘称的高斯积分公式1 0 2 k = 1 、l 一校正的非对称的高斯积分公式1 0 3 k = 2 、非对称的高斯积分公式1 0 4 k = 2 、1 一校正的非对称的高斯积分公式1 0 5 k = 2 、2 一校正的非对称的商斯积分公式1 0 6 第) d 页，共1 2 9 页 1 2 3 4 5 6 l 2 3 4 5 6 禾垂垂缸乒牟 孓孓孓孓舅孓 插图目录 插图目录 1 1 有限元的网格和无网格方法的粒子 1 l 一2 常用的各种积分策略1 0 3 - 1p u r en e u m a n n 问题的收敛阶：k = l 、标准的高斯积分公式5 2 3 - 2p u r en e m n a m 问题的收敛阶：k = l 、非对称的高斯积分公式5 3 3 - 3p u r en e u m a n n 问题的收敛阶：k = 1 、1 一校正的非对称的高斯积分 公式5 5 3 - 4p u r en e u m a n n 问题的收敛阶：k = 2 、2 校正的非对称的高斯积分 公式5 8 5p u r en e t u n a z m 问题的收敛阶：k = 2 、1 校正的非对称的高斯积分 公式5 9 3 - 6p u r en e u m a n n 问题的收敛阶：k = 2 、非对称的高斯积分公式6 0 本质边界问题的收敛阶： 本质边界问题的收敛阶： 本质边界问题的收敛阶： 本质边界问题的收敛阶： 本质边界问题的收敛阶： 本质边界问题的收敛阶： 非常系数l 口逝的收敛阶： 非常系数f j 题的收敛阶： 非常系数问题的收敛阶： 非常系数问题的收敛阶： 非常系数问题的收敛阶： 非常系数问题的收敛阶： k = l 、标准的高斯积分公式7 9 k = 1 、稚对称的高斯积分公式8 0 k = 1 、1 一校正的非对称的高斯积分公式8 1 k = 2 、非对称的高斯积分公式8 2 k = 2 、1 校正的非对称的高斯积分公式8 3 k = 2 、2 。校j f 的非对称的高斯积分公式8 4 k = 1 、标准的高斯积分公式1 0 1 k = l 、非对称的高斯积分公式1 0 2 k = 1 、1 一校形的非对称的高斯积分公式1 0 3 k = 2 、非对称的高斯积分公式1 0 4 k = 2 、1 一校正的非对称的高斯积分公式1 0 5 k = 2 、2 校j f 的非对称的高斯积分公式1 0 6 第x i i i 页，共1 2 9 页 l 2 3 4 5 6 l 2 3 4 5 6 冬各垂垂垂垂 孓孓孓孓孓争 原创性及使用授权声明 原创声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期： 缸婚 年月2 - 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅， 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方 法保存学位论文 学位论文作者签名：弓名磊形手 醐砌刁“胞日 第i 页，共1 2 9 页 名f 嗽咋 日期： 年月日 杉 第一章绪论 11 有限元方法在工程实践中的困难 众所周知，有限元方法( f e m ) 3 23 4 ，4 4 螂1 5 0 绎过几1 年的发展，已经成 为偏微分疗程数值斛领域中最重竖的方 ：! _ 之。该方法的土竖特点是6 0 题域被划 分成为可小相交蔫足庄柑容性条件的单儿，然徭住姆个单元上用多项】= l = 作为 局郝的逼近函数类。这种网格( m e s h ，见圈1 】( a ) ) 加多项式的结构使得山限元方 法，无论存数学r 还足在t 程r 都被得j 报人的成功。然而在某些特定( 义搬重 要) 的r 程问题中，划分网格往往是很闻难的，甚争是不可能的，我们给出r 而 的些例子： 问题域h 什复杂的几何形状。寅际的问翘域可能是非常复杂的，例如带有很 多扎的材料，以至于网格无法自动十成，有时甚至需要必要的人机且动的操 作f 8 | _ 。 刚格更新的问题。很多实际问题c h 问题域赴随着叫日】存剧烈改变的，例如 大变形的问题 l a r g ed e f o r m a t i o n ) ：1 8 7 7 + 8 i ，9 3 1 、冲击动力学的问题( i m p a c t d y n a m i c s ) 7 5 ，ig 模拟的时候，在每个离散的时间点都需要重新划分网 格，相应的计算代价是极其昂贵的。 州格儿配的问题【2 3 ：2 5 ，2 72 9 ，5 l ，5 21 0 0 ，1 0 1 ，1 1 5 】。例如利制中出现裂痕 图1 - 1 肯限兀的州格和无m 格方法的粒于 ( a ) 同格 第1 页，共1 1 _ _ | 页 ( b ) 拉子 1 2 通常的无网格方法及其分类 ( c r a c k ) 的时候，问题的解在裂痕的两侧变得不连续了，这种情形下网格要 匹配、不跨过裂痕，当裂痕生长( g r o w t h ) 和传播( p r o p a g a t i o n ) 的时候，计 算量开始急剧的增长。 此外，有些问题，如板、壳、双调和问题等，需要形函数具有高阶的光滑性 ( c 1 ) ，而构造高阶的形函数对有限元来讲，不是容易的事情 5 3 ，6 5 ，9 0 ，1 0 9 】。 事实证明，有限元方法在处理以上这些问题时，通常不能给出令人满意的分 析和模拟的结果。针对有限元法的网格依赖的主要缺点，最近三十年，一种所谓 的无网格方法( m m ) 取得了很大的进展，这种方法的主要优势在于，形函数的构 造不依赖或者很少依赖网格，从而在有限元等网格方法不能应用或很难应用的领 域显现出了较大的优势，特别在上面所列举的问题里都获得了一定的成功。多数 情况下，无网格方法通过散乱分布在空间中的粒子( p a r t i c l e ，见图1 1 ( b ) ) 来构造 形函数，从而达到独立于网格的效果，有时候无网格方法也被称为粒子方法。 1 2 通常的无网格方法及其分类 1 9 7 7 年，l u c y 1 1 6 】和g i n g o l d 、m o n a g h a n 【6 6 】引进光滑质点流体动力学方 法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) 模拟天体物理学( a s t r o p h y s i c a l ) 的现 象，他们的工作被认为是最早的无网格方法。1 9 9 4 年，b e l y t s c h k o 、l u 和g u 2 6 】 最先用移动最小平方( m o v i n gl e a s t - s q u a r e ，m l s ) 插值基底【9 1 ，9 2 】求解偏微分方 程的弱形式( g a l e r k i n 方法) ，特别的，弹性问题( e l a s t i c i t y ) 和热传导问题( h e a t c o n d u c t i o n l 在他们的文章中被考虑，他们把这种方法命名为无网g a l e r k i n 方法 ( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d s ，e f g m ) 。这个工作极大地刺激了无网格方法的发 展。另外的一些重要的工作包括d u a r t e 和o d e nh p - 云团法( h p - c l o u d s ) 、b a b u s k a 和m e l e n k 的单元分解方法( p a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d s ，p u m ) 以及b e l y t s c h k o 等的扩展有限元方法( e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，x f e m ) 等。目前为 止，已经有很多种无网格方法广泛应用于工程中的各个领域，我们简要地列 举一些常见的方法。为了详细的了解无网格方法，读者可以参考总结的文献 1 1 ，1 3 ，2 5 ，6 4 ，9 8 ，1 0 8 ，1 1 8 ，1 2 8 】和几本书 2 ，6 ，9 9 ，1 0 6 。 1 光滑质点流体动力学方法( s p h ) ： s p h 是一种配置法，首先被应用于天体物理学的问题【6 6 ，1 1 6 】，它被认为是 第2 页，共1 2 9 页 第一章绪论 最早、最简单的无网格方法。想法是把连续介质离散成为一族粒子，粒子携带着 连续体的信息并且按照一定的物理定律移动。每个粒子相关一个核，这些核反应 了粒子的信息，被用于计算连续体的相关的物理量。该方法有容易执行、快速的 优势，同时也存在一些基本的困难，比如精度低、稳定性差、施加本质边界条件 困难等 2 5 ，6 4 ，9 8 】。这种方法仍然有着持续的研究和应用，严格的数学基础是该 方法面临的一项重要挑战。进一步的了解，可以参考【2 4 ，3 1 ，8 2 ，1 2 5 】。 2 径向基函数法( r a d i a lb a s i sf u n e t i o n r b f ) ： 另外一种配置的无网格方法是基于径向基函数 3 5 ，5 8 ，1 5 7 。这种方法可以分 为对称型【5 8 ，6 l ，6 2 】的和非对称型 8 弘8 7 ，1 3 1 】的两类，它们的数学基础分别在 6 1 ，6 2 ，1 5 7 和【7 8 ，7 9 ，1 0 5 ，1 2 7 中被处理。径向基函数法的主要缺点是，由于形 函数具有整体的支撑，导致离散化的线性方程组通常是稠密的、坏条件数的( 可 能是指数式的) 。r b f 同样也可以用在g a l e r k i n 框架下 1 5 6 】，但是由于其难于执 行而很少引起注意。 3 无网g a l e r k i n 方法( e f g m ) ： 1 9 8 1 年，l a n c a s t e ra n ds a l k a u s k a s 9 1 1 引进了移动最小平方插值技术用于处 理散乱数据的逼近、曲面拟合的问题，该方法通过分布在空间中的粒子来构造 紧支集插值基函数。1 9 9 4 年b e l y t s c h k o 、l u 和g u 2 6 】用这种方法在g a l e r k i n 的 框架下数值求解p d e ，在一些f e m 执行起来比较困难的问题中取得了一定的成 功，例如断裂和裂纹生长问题 2 7 】、静态和动态断裂的问题 2 9 1 、裂纹传播的问题 2 8 】、波动传播的问题 1 1 5 、薄板( 壳) 的问题【2 5 ，9 0 】等。从那时起，无网格方 法开始得到了广泛的关注，特别是在工程界。对于该方法的进一步的了解，可以 参考 2 5 ，6 4 ，9 8 】对于方法的逼近理论方面，可参考 1 3 ，7 6 ，1 1 8 、执行方面，可 参考4 9 。e f g m 最突出的问题是数值积分，不充分的数值积分会降低方法的精 度，甚至导致方法的失败 2 2 】有大量的工作来处理数值积分的问题，我们将在 后面进行详细的讨论。 彳再生核粒子方法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) ： m l s 插值形函数可以被用作逼近函数丰要是因为它们具有紧支集和多项 式再生的性质，这些性质同样可以由其它方式得到，即所谓的再生核粒子方 第3 页，共1 2 9 页 1 2 通常的无网格方法及其分类 法( r k p m ) 。在文献 1 0 7 ，1 1 1 ，1 1 3 ，1 1 4 中，l i u 等提出了r k p m 用于构造校 正的s p h 插值。1 9 9 5 年，他们用r k p m 模拟结构动力学的问题 1 1 0 ，1 1 1 】。之 后，r k p m 在一系列的大变形问题中得到了成功的应用 3 8 ，8 4 ，9 3 】。尽管r k p m 与m l s 有着不同的源头( 小波理论和数据拟合) ，两者在特定的条件下可以是等价 的 6 4 】，前者在构造形函数时有更多的自由度。对于r k p m 进一步的阅读及其逼 近理论，可见 9 9 ，1 0 8 】和 9 5 9 7 ，1 1 2 。 5 广义有限元方法( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d 。g f e m ) ： 1 9 9 4 年，b a b u s k a 等用g f e m 求解带有粗糙系数的p d e 1 8 1 ；随后b a b u s k a 和m e l e n k 在一系列工作中【2 0 ，2 1 ，1 1 7 将其发展成为单元分解( p a r t i t i o no fu n i t y , p u ) 的框架。在g f e m 中，形函数的构造分为两个步骤。首先构造单元分解函 数，它们的构造是相对容易的、不依赖网格的，可以是低阶的m l s 、r k p m 或 者s h a p e r d 方法 1 3 2 ，或者是有限元的形函数 5 4 ，1 3 8 】等：然后为每一个单元分 解函数指定一个局部的逼近子空间，所有的单元分解函数与其子空间的基函数的 乘积构成最后的形函数集合。方法的优势在于，当被逼近函数的局部信息( 奇异 性、不连续性、裂纹等) 先验知道时，可以选取相应有效的局部逼近函数来提高 逼近的效果。对于方法的进一步了解可以参考 1 l ，1 3 】，方法的理论方面，如逼近 性 1 3 】、求解h e l m h o l t z 方程 1 9 ，1 3 9 、形函数的选择 1 2 ，1 4 、超收敛 1 5 】等， 对于该方法的执行方面，可参见 1 3 8 ，1 4 0 - 1 4 5 】。 6 h p 云团法( h p - e l o u dm e t h o d ) ： 1 9 9 6 年，d u a r t e 和o d e n 首先将p u 的思想作为一种无网格方法来考虑，引 进了所谓的h p - 云团法 弱】，他们的p u 是由m l s 来构造，局部的逼近函数是多 项式或者其它的函数。他们指出h p - 云团法具有更方便的p - 和h p - 适应性，还考 虑了方法的后验误差估计【5 5 】。对于该方法的更多的了解，可以参见 5 7 ，6 5 】o 7 扩展有限元法( e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，x f e m ) ： 不连续和奇异性的问题，如裂纹生长问题，在工程实践中是非常重要的， 有限元在模拟这样的问题时要匹配相应的不连续性( 裂纹、材料表面、孔等) ， 计算负担很重。同样是基于p u 的想法，b e l y t s c h k o 及其合作者们在系列 文章 2 3 ，4 5 ，4 8 ，5 l ，5 2 ，1 1 9 ，1 4 6 ，1 4 7 中发展了一种所谓的扩展有限元方法 第4 页，共1 2 9 页 第一章绪论 ( x f e m ) 。p u 函数通过网格加多项式来构造，不同的是，网格可以是规则的、跨 过不连续性的、不满足相容性条件的。能够反映局部不连续性信息的函数被作为 局部的逼近函数。该方法的另外一个优势在于，现有的有限元程序代码可以很容 易的移植过来。 8 粒子单元分解方法( p a r t i c l e - p a r t i t i o no yu n i t ym e t h o d ) ： 用s h a p e r d 方法【1 3 2 】构造单元分解函数、多项式作为局部的逼近函 数，g r i e b e l 和s c h w e i t z e r 在一系列文章中完整地考虑了所谓的粒子单元分解 方法的执行方面【6 7 _ 7 3 ，1 2 9 ，1 3 0 ，如施加本质边界条件、数值积分、多尺度解、 并行等。 9 无网局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h f r e el o c a lp e t r o v g a l e r k i n m e t h o d ，m l p g ) ： 另外一种著名的无网格方法，无网局部p e t r o v - g a l e r k i n 法( m l p g ) ，由 a t l u r i 等在1 9 9 8 年引进 8 】。这种方法不同于上面的所有方法，它是基于局部 的弱形式，而不是整体的弱形式；另外一个不同点是测试函数( t e s tf u n c t i o n ) 空间可以不同于试探函数( t r i a lf u n c t i o n ) 空间，因此该方法在实际应用中有很 大的自由度。已经有两本书【2 ，6 1 论述m l p g ，同时有大量的工程实践被执行 【3 _ 5 ，7 ，7 4 ，7 7 ，1 0 2 - 1 0 4 ，1 3 3 1 3 5 ，1 5 9 ，更多的了解可以参考( 7 ，9 ，8 8 ，1 3 6 。该方 法的数学理论方面的一个尝试可以参见 1 2 6 】。 实践当中还有其它的一些无网格方法， 如d i f f u s ee l e - m e n tm e t h o d ( d e m ) 1 2 0 、l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ( l b i e ) m e t h o d 1 6 2 ， 1 6 3 、n a t u r a le l e m e n tm e t h o d ( n e m ) 1 4 8 ，1 4 9 、f i n i t ep o i n tm e t h o d ( f p m ) 1 2 2 ， 1 2 3 】等。 从求解方程的形式上面，无网格方法可以分为配置法( 方法1 ，2 ) 、g a l e r k i n 法( 方法3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ) 和p e t r o v - g a l e r k i n 法( 方法9 ) ：按照形函数的选 择，可以分为基于多项式再生性质的m m ( 方法3 ，4 ) 和基于p u 的m m ( 方法 5 ，6 ，7 ，8 1 。在这篇论文里，我们考虑g a l e r k i n 无网格方法。 1 3g a l e r k i n 的无网格方法 在这个小节，我们用下面的n e u m a n n 边值问题作为例子来阐明m m 如何工 第5 页，共1 2 9 页 1 3g a l e r k i n 的无网格方法 作： 一a u4 - u = ，在q 中 丽o u = 9 ， 在r 三a q 上 ( 1 - 1 ) 其中未是边界f 的单位外法向导数，l 2 ( q ) ，g l 2 ( f ) 。由g r e e n 公式，我 f ：l , - f p a 得到( 1 - 1 ) 相应的弱形式如下 找到u h 1 ( q ) 使得 s ( u ，口) = l ( 口) ，v 秽h 1 ( q )( 1 - 2 ) 其中 b ( 仳，秽) 兰v 乱v u 出+ 上弘口如，l ( ) 兰上， 如+ z 9 口幽 我们可以直接得到，双线性型b ( ，) 在日1 ( q ) 上是连续的、强制的。因此上面的 变分问题( 1 - 2 ) 的解是存在唯一的，我们记为u 。为了离散( 1 - 2 ) ，我们引进有限 维子空间v h = 钟：i 帆) ch 1 ( q ) ，其中h 是相关的小参数。和前面同样的原 因，如下的定义在k 上的变分问题存在唯一的解t t h ： 找到u l i l v h 使得 b ( u h ，v h ) = l ( v h ) ，vv h 坛， ( 1 - 3 ) 然后，从c e a s 引理【3 3 ，我们可以得到逼近解和真解之间的误差估计式 i i 乱一钍 i i h - ( n ) 可。i n f i l u v h l i h l ( n ) 其中范数”怕t ( n ) 定义为 i l u 幢c q ，= 上v “v u 如+ 上u 2 出 因此，由g a l e r k i n 方法，解的逼近问题转化为逼近的子空间对真解的逼近问 题。一个逼近子空问是缸相容的，如果对于任何光滑函数u ，逼近量 。i n f i i 仳一v h l l 日1 ( q ) 具有收敛阶o ( h 七) 。正如我们前一节提到的那样，在m m 中，通常有两种方法来 构造肛相容的子空间，一种是基于多项式再生性质( m l s 2 6 ，9 1 ，9 2 ，1 1 8 】或者 第6 页，共1 2 9 页 第一章绪论 r k p m 6 4 ，7 6 ，9 8 ，1 0 8 ，1 1 1 ) ，一个子空间具有肛多项式再生性质如果 p ( z ? ) 西( z ) = p ( z ) vz q ，对任意的k 阶的多项式p ( 1 4 ) i 其中集合 z ：i m 被称为粒子集合，子空间是由这族粒子来构造的。另 外一种构造髓相容的无网逼近子空间的方法是基于单元分解( p u ) 的方法 【1 3 ，2 0 ，2 1 ，5 5 ，5 6 ，1 1 7 ，一族函数 钟：i 被称为p u 函数如果 钟( z ) = 1 v 。q 挺k 从这个定义，我们可以发现m l s 和r k p m 形函数均可作为p u 函数( 在( 1 4 ) 取 p = 1 ) 。 1 4 无网格方法在执行中的问题 从上面一个小节的讨论中我们可以发现，与f e m 相比，g a l e r k i n 的框架是相 同的；m m 的逼近性是没问题的。然而目前m m 除了在一些特定的问题上比较有 效外，在其它很多问题中尚无法与f e m 相媲美，其原因就在于m m 在执行的过 程中存在着很多的困难。由于逼近子空间的改变( 从分片多项式到m m 形函数) ， 很多在f e m 中很自然的问题，在m m 中都可能成为较大的障碍，我们列举一些 基本的困难。 1 形函数及其导数的取值： 通常，m m 形函数没有显示的表达式，为了求形函数在一点的值，需要解一 个从多项式再生性质( 1 4 ) 得到的线性方程组，方程组的阶是瓯詹嚷七，其中 d 是问题域的维数，具体要进行下面的运算 2 5 ，6 4 】： 线性方程组的构造，过程中要对于每个取值点搜索其临域内的粒子； 方程组的逆，算法中要考虑方程组的可逆性和条件数的问题； 进行矩阵乘矩阵、矩阵乘向量的计算。 形函数导数的计算是更加复杂的。在构造刚性矩阵和承载向量时，如果数值积分 执行的不好，导致大量的积分点时，这个问题就会被很严重的凸现出来。 第7 页，共1 2 9 页 1 4 无网格方法在执行中的问题 2 施加本质边界条件： 由于m m 的形函数不满足k r o n e c k e r 性质，即钟( 苟) 奶，施加本质边界条 件的时候，不像f e m 那样自然，需要一些特殊的处理，常见的处理方法如下： 拉格郎日乘子法( l a g r a n g em u l t i p l i e r ) 2 6 ，1 1 5 ； 惩罚方法( p e n a l t ym e t h o d ) 2 7 ，1 6 1 ； n i t s c h e s 方法( n i t s c h e sm e t h o d s ) 1 3 ，6 0 ，7 2 】； 变换法( t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d s ) 3 9 ，4 0 ，9 4 1 耦合有限元法( c o u p l i n gw i t hf e m ) 5 9 ，8 0 ，8 9 ，1 5 5 ； 广义有限元法( g f e m ) 1 3 ，1 1 8 。 目前在m m 中施加本质边界条件仍然是在继续推进的研究方向，这方面的参考文 献可见 1 3 ，6 0 ，6 4 ，9 8 ，1 1 8 。在本文中，我们用n i t s c h e s 方法，详细的讨论将在 第4 章进行。 3 数值积分： 设u h = 迮n h 让t 钟是变分问题( 1 3 ) 的解，然后从( 1 - 3 ) 我们得到其等价的 线性方程组 ( 均+ o i j ) u j = 如，vi g h 歹帆 其中 7 0 = z v 劈v 矽hd x ，三l h h 如，厶三l f c h d x + i o f h 如 这些量需要被数值地计算： 饬兰zv 穆v ? d x ，o i j 三z 蝣钟出，譬兰d x + i o f 砂hd 8 我们把从数值积分格式计算出来的解记为u h , - f p a 说数值积分是m m 执行方面最 严重的问题，大量的计算时间被用来计算刚性矩阵和承载向量。如果说f e m 最 主要的缺陷是生成网格的话，那么对于m m 则是数值积分。为了进一步理解这个 问题，我们把它和有限元中的数值积分进行对比是很有帮助的。在f e m 中，形 函数具有下面的两个性质： 第8 页，共1 2 9 页 第一章绪论 在每个单元上是k 阶的多项式； 形函数在每个单元上的大于k 次的导数为0 。 基于上面的两个性质，p g c i a r l e t 4 4 1 证明了，如果数值积分公式可以在 每个单元上精确积分2 七一2 次多项式，那么逼近解的收敛阶不损失，即 i i u u 训日( n ) = o ( h 知) 。然而在m m 中，形函数不再具备这样的性质，即 形函数不再是多项式，甚至没有显示的表达式； 形函数的导数将随着导数阶的升高抖动的更加剧烈。 形函数的这些变化导致了m m