（课程与教学论专业论文）高中数学教学策略变革研究——以函数内容为例.pdf

摘要 当前，我国正在开展基础教育课程改革，“一切为了每一位学生的发展”是新课程 的最高宗旨和核心理念。观念的转变，必然导致教学方式的转变和变革。在这样的背景 下，就要求我们的教师探索和发现新的适合学生发展的，行之有效的，容易被学生接受 的教学策略。现阶段我国高中数学教学一般运用哪些教学策略，这些策略有哪些先进性， 哪些不足，是否适合当代学生的发展，课程变革下高中数学应采用哪些教学策略，这些 问题都值得我们认真研究。 本文将研究的主题定位在课程变革下的高中数学( 函数部分) 教学策略，试图尝试 通过对教师课堂教学策略的调查，探寻适合学生发展的，行之有效的，容易被学生接受 的教学策略。 本文共计分五部分： 第一部分：教学策略的概述与研究背景。这一部分论述了教学策略产生和发展的历 史，澄清概念，并阐明了在当前社会教学改革的背景下，研究高中数学教学策略的价值， 分析现在实际的高中教学策略存在哪些问题。 第二部分：研究设计与方法。本文运用质化研究方法来研究问题。研究的主题是： 高中数学教学策略存在的问题及其解决策略，以及课程变革下高中数学教学策略的价值 取向与发展趋势 第三部分：对高中数学( 函数部分) 教学策略的案例进行评述与分析。 第四部分：课程变革下高中数学教学策略的改革建议。通过对高中数学( 函数部分) 教学策略的案例的分析和研究，探讨了课程变革下高中数学教学策略，对教学策略的改 革提出建议。 第五部分：结论。总结本文对于研究的问题给出的建议。并对于未来高中数学教学 策略的价值取向和发展趋势进行分析与展望。 关键词：教学策略：高中数学；课程变革；信息技术教学：差异教育策略 独鬟 羹囊一薹羹本人声明两单覆的j 筠弛宣t j 鞭酗阳蔓j 雏薛；型氇罨盎擗m 羰筹牛雍蔑 氟。得的研究成果据我所短隧喜习咕懑瑚二卿型要黧皑露誊娥掣6 j 投尊箫壬高。鼬薪 川洋韭势静鹾；翻雾n 疆鞴浮晒。葛硼目 配溆霉：沸狮演蠹孕瘟氇m 淳i 擎嘶蚓 商孥萱瑟霸。型嘤撙搭烈峰竖零；型匿砌e 一鞒罂露j 鬲裂嗣黝州融尉二剪涮瑾 舞疆澳孑呵氆点燃嘲峨蜥慨葫。 霉雨盟蘑擘嚆潍鼋滥角罐廷髫誓一白曼骊雩薹缓薹醋磊矧掣藏垂戥乏塑磊蠖 醅鬟：嘉萋森鏊妻蓁萎薹攀妻奏羹囊薹羹l 薹童；霎囊窆萎萎囊i 曲鸽狮d e 千朔器呈1 硼鞠 h 创鞠钮销霸；弱鲤撑翘卧笛：呕潮披嗽捌淀狮蠢盹丽j 濠才。芒良黔烈燮蔓绑黪；型 饵灞渭b 鋈驯构巷霉= 蚕翼 x ( 一)教学策略与教学设计 有人把教学策略看成是教学设计。那么什么是教学设计呢? 我国权威辞典界定是： 教学设计是对整个教学系统的规划，是教师教学准备工作的组成部分，是在分析学习者 的特点、教学目标、学习内容、学习条件以及教学系统组成部分特点的基础上统筹全局， 提出教学具体方案，包括一节课进行过程中的教学结构、教学方式、教学方法、活动形 式、知识来源、板书设计等。由此可见，教学设计是教学活动开展之前的准备工作，是 对整个教学活动的计划和安排。教学设计的结果或教学设计的文字表达形式是教学活动 方案，而教学策略自然要在教学准备阶段进行设计、谋划，形成一定的方案，从这个意 义上说，教学策略是教学设计的组成部分。我们认为，教学策略与教学设计各有自身的 内涵，在具体内容或环节上有交叉、重叠部分。进行教学设计时要考虑教学策略的制定、 选择与运用。教学策略选择与运用时，又必须通盘考虑教学的整个设计。教学设计一旦 完成就比较定型了，它可以是对整节课或整个单元的设计，也可以是对整个科目的设计。 教学设计包括的范围比较广，而教学策略的运用范围较窄，一般主要集中在某一课时、 某一内容的范围内，并且具有较强的灵活性。”1 ( 二) 教学策略与教学思想 有人把教学策略看成是一种教学思想，还有人甚至认为教学策略中，观念与技巧的 关系应该是绝对统一的，教学观念支配决定着教学技巧，教学技巧从属于一定的教学观 念和教学目标。的确，教学策略与教学观念之间有着密切的联系。任何教学策略、教学 技巧的选择和运用都不是盲目或随意的，尤其在现代社会条件下，教育活动的开展是有 目的、有计划的。教学策略的选择与运用必定要受到一定教学思想的制约或指导。但是， 教学策略与教学思想之间并不具有一一对应的关系。教学思想位于较高层次，属于理论、 观念形态；教学策略虽包含有理论，但本质上是属于操作形态的东西，是对教学思想观 念的具体化。在同一种思想指导下，结合不同的背景、条件，由不同的人来开发，就会 形成不同的教学策略。同一种教学策略，也不必然都源于某一种教学原理或思想，而可 以源于多种教学原理、教学思想。教学观念与教学策略之间是有实质性区别的。 ( 三)教学策略与教学模式 国外有学者把教学策略看成是教学模式，尤其是北美，有时把教学策略作为教学模 式的同义词。诚然，从可操作性来看，这是二者的共同特征，但单从这一点并不能认为 这二者是等同的。从教学理论到教学实践的转化，是从教学理论到教学模式再到教学策 略，再到教学方法，再到教学实践，可见教学策略是对教学模式的进一步具体化，教学 模式包含着教学策略。教学模式是能用于构成课程和课业，选择教材，提示教师在课堂 或其它场合教学的一种计划或范型，具有简约化、概括化、理论性和相对稳定性的特点。 教学模式规定着教学策略、教学方法，属于较高层次。教学策略比教学模式更详细、更 具体，受到教学模式的制约。从教学研究的发展来看，先有教学模式研究，然后才有教 学策略研究，这也反映出了二者的区别与联系。 ( 四) 教学策略与教学方法 已有研究中，不少学者把教学策略等同于教学方法。从前面分析中，我们已看到这 4 不同层次的教学策略具有不同的适用条件和范围，具有不同的功能，不能相互代替。另 外，不同层次的教学策略之间尤其是相邻层次的教学策略之间是相互联系的，高一层次 的策略可分解为低一层次的教学策略，指导和规范低一层次的教学策略。认识教学策略 的层次性，有助于我们正确选择和运用它们，恰当发挥它们的价值。1 四、教学策略类型与结构 ( 一) 教学策略类型 自教学策略概念一提出，就成为人们研究的重要内容。美国教学设计专家梅里尔在 1 9 9 1 年出版的教育技术一书中，曾明确提出教学策略的类型问题，指出不同类型的 教学策略可以增进不同种类的知识和技能的学习，但没有就依何标准如何划分类型提出 自己的观点。加涅则提出教学策略应包括保证学生接触教材的管理策略和易化教材学习 的指导策略两部分嘲，但这种分类显得线条太粗。在我国，李康以广义教学策略中属于 中心位置的主要因素的不同，主张把教学策略划分为方法型、内容型、方式型和任务型 四类。顾泠沅主张分成四类，但说法与李康有所不同，他把教学策略划分为内容型、方 法型、形式型和综合型。黄高庆、申继亮、章涛则认为，按是否具有特殊性和个性化来 划分，教学策略可以分为一般性教学策略和特殊性教学策略；按教学策略活动的指向来 划分，教学策略分为问题指向型教学策略和自我指向型教学策略。西南师大教授张大钧 把教学策略分为教学实施与监控两大基本策略。各种分类都有其一定的合理性，也有偏 颇之处，根据我们对学习策略内涵的界定，我们认为依据教学策略构成的要素，可以从 两个层面来分类，第一层面，教学策略可以分为基本性教学策略和特殊性教学策略，基 本性教学策略为各门学科通用，特殊性教学策略为学科专用，也可叫学科教学策略。第 二层面，教学策略可以分为内容呈现策略、教学方法( 式) 策略、课堂管理策略、教学 评价策略等。其结构如下：教学策略基本性教学策略特殊性教学策略一内容 呈现策略教学方法策略课堂管理策略教学评价策略 ( 二) 教学策略结构 任何教学策略都有其内在的结构。教学策略的结构是由它所包含的诸要素有规律地 构成的系统。一个成熟的有效的教学策略一般应包含以下几个要素：指导思想、教学目 标、实施程序、操作技术。 1 指导思想，即某一教学策略所依据的理论基础，它能对具体的教学策略作出理论 解释，是教学策略的灵魂。任何一种教学策略的背后都有一定的教学观念、教学理论作 支撑。在教学策略的制定和实施过程中，教师拥有不同的教学思想，就会导致不同的教 学策略出台。明确这一点，有助于教师有目的、有意识地贯彻教学理论，更好地发挥理 论的价值，否则有可能陷入盲目和混乱。 2 教学目标，任何一种教学策略都是指向一定的教学目标，为完成一定的教学任 务而创立的。目标是教学策略结构的核心要素，对其它要素起制约作用。也就是说，一 定的教学策略总是针对一定的教学目标的，并且总是尽力满足教学目标所提出的要求。 对教学策略的运用，无论是活动内容，还是活动细节、活动方式，或者是活动的程序及 其每个环节，都是指向教学目标的，为达成教学目标而存在。比如知识教学的讲授策略， 其日标是通过教师对学生难以理解的教学内容进行分析、讲解，通过语言的表达，使教 学内容简化成易理解易接受的内容，达到学生理解、把握和运用的目的。每一种教学策 略都有一定的教学目标，但教学策略与教学目标又不是一对一的关系。一种教学策略可 以有多种目标，其中又有主次之分。主要目标是区别不同策略的特点，也是适用教学策 略的重要依据。这是在制定和运用教学策略时应当注意的。 3 实施程序，即教学策略按时间展开的逻辑活动步骤以及每一步骤的主要做法等。 教学策略是针对一定教学目标相互组织起来的程序化设计，因此有其自身的操作序列， 它指出教师在采取一定的教学策略时先做什么、后做什么、再做什么。由于教学活动的 复杂性和特殊性，教学策略的实施程序只能是基本的和相对稳定的，而不是僵化的和一 成不变的，也就是说教学策略的实施程序有一定的前后顺序，但没有定式，可以随着教 学条件的变化以及教学的进程及时调整和交换。 4 操作技术，即教师运用教学策略的方法和技巧。要保证教学策略的实施有效和可 靠，就必须提出一整套明确易行的行为技术和操作要领，它一般包括以下几个方面的内 容：( 1 ) 教师方面，教师在教学策略中的角色、作用或对教师的要求；( 2 ) 教学内容方面， 包括教学策略的根据及教师对教学内容的处理：( 3 ) 教学手段方面，除平常教学所需的 教学手段外，还包括运用本策略所需特殊教学手段；( 4 ) 使用范围方面，包括本策略适 用的学科性质、问题性质或年级层次等。以上几个因素相互联系，相互制约，缺一不可， 它们完整地构成一定的教学策略。了解了教学策略的基本结构，就掌握了教学策略建构 的要领，抓住了它的实质。这不仅有助于学习和借鉴有效的教学策略，而且有助于总结 和建构自己的教学策略，知道从哪些方面去总结归纳教学策略。 五、有关数学教学策略的研究 首先，它有利于改进教学，提高教学质量，美国教育心理学家沃尔伯格、韦克斯曼 认为，“改进教学往往要注重以心理学理论为基础的教学策略。”国内外许多学者通过研 究认为，有效的教学策略同学生学习成绩的提高呈正相关，教师根据自己对教学活动的 认知结果，对教学活动进行科学分析，自觉地、有目的地控制和改善自己的教学行为， 可以从根本上提高教学质量。其次，教学策略的研究有助于促进教学理论和教学实践的 结合，教学策略是在一定的教育理论、教育思想指导下形成的，因此，具有较强的理论 性：同时，教学策略又具有较强的可操作性，研究教学策略一方面有利于教师从整体上 综合认识和探讨教学过程中各种要素之间的相互作用，把握教学规律，另一方面又便于 教师掌握和运用，进而改进教学，因此，教学策略成为教学理论研究与教学实践相结合 的桥梁。再次，教学策略研究有利于教师素质的提高，教学策略具有一定的理论性，层 次比较高，又具有实践性，易于教师掌握。可以成为广大教师的研究课题，通过研究以 改进自己教学，提高教学质量，同时，促进教师各方面素质的提高。 六、高中数学教学策略现状分析 ( 一) 我国当前高中数学教学的现状 高中数学教学有其特殊性，要以激发学生的学习兴趣为出发点，根据青少年的兴趣 爱好选择教学内容和教学方法，安排教学活动。 我国现在的课堂教学中普遍存在着“四多四少”现象( 教师讲得多，学生练得少； 老师问得多，学生答归答，灵活思考少；老师灌输多，学生质疑少；老师包办多，学生 活动少) 。”1 在许多教学过程中，一是过分强调教师的主导作用，而忽视学生的主体作用，加之 生怕学生弄不懂，听不明白，往往是按部就班地进行琐细的分析、讲解，但过多地诉诸纯 理论的分析、讲解，学生的创新就失去了展现和培育的空间。二是教师设计一些问题，让 学生回答和讨论，但学生被动地回答问题，不能作为学习的主体参与教学，学生的积极情 感得不到体验，意志品质得不到体现，再加上教师应变机智不够等因素，结果使教学流于 形式，放而不开，无法收到预期的教学效果。三是把教学过程变成教师自编、自导、自演 ( 少数学生当群众演员) 的教案剧。 教学中存在着的问题反映在课程上：学生的学习方式单一、被动，缺少自主探索、 合作学习、独立获取知识的机会；对书本知识、运算和推理技能关注较多，对学生学习 数学的态度，情感关注较少，课程实施过程基本以教师、课堂、书本为中心，难以培养 学生的创新精神和实践能力。 ( 二) 信息技术应用的现状 虽然说信息技术应用于教学已有一段时间了，但目前的大多数应用仍停留在浅层的 探索阶段，鉴于目前的应用水平和发展状态，对教学信息化的研究应有更多可操作性的 实际内容，从硬件的构成来讲，教学信息化是特指在网络环境下开展的教学工作。就教 学构成来看，则应包括教与学双方面的信息，既要有各种静态的教学资源，也要有动态 的学习档案，通过对学生学习档案信息的分析和处理，指导教与学双方面的工作，使其 更为科学、合理和高效。 ( 三) 对待差异学生的现状 我们都知道，现在大多的学校对于学习有差异的学生对待是不同的。但是这种不同 大多不能给大部分学生带来有益的帮助。通常都是学习好的学生得到更多的教师关注， 并且拥有更好的学习条件。这样的结果就是造成学生之间差异变得更加巨大。 9 访谈的主要内容包括以下几个方面：经常运用的教学策略的内容；教师教学策略存 在的问题，运用哪些教学手段，对于现代化教学工具的运用等。 以上几个问题，是在所有访谈中均涉及到的共性问题。同时，根据被访谈者的反应、 访谈的进展情况，根据研究的目标需要，访谈内容也进行相应的调整。另外，笔者也在 参与活动的过程中，根据情况，对一些教师进行了一些临时的访谈。 访谈对象包括教师，年级组长( 见表) 。 接受访谈人员情况 5 年以下6 1 0 年1 1 年以上总数 教师 1124 年级组长 ll 2 观察 为了更加生动全面的了解教学策略的现状，笔者多次听了被采访教师的授课。 ( 二) 资料的整理 1 对录音资料、观察记录进行整理，归类。寻找与教学策略相关的有意义的事件， 进行标注和简单分析。 2 选择不同的教师。收集教师对教学策略的理解与应用。 3 结合个案材料，进行梳理、分析，寻找教师应用的教学策略与存在的问题，得出 结论，最后写出研究报告。 ( 三) 资料及其结论的验证 1 质化研究的一个重要的概念就是建构事实。研究者需要从不同角度来获得资料， 来保证研究资料及其结果的真实可靠性。为了做到这一点，笔者从撰写观察记录、分析 教师访谈等不同角度进行分析，努力做到了研究资料的真实可靠性。 2 研究应该有利于发展和改善目前的社会现实，是帮助解决实际的问题或者提供解 决问题的思路。研究应该发展实践者的专业知识。在研究的过程中，参与的教师对自己 的工作和能力有了更多的认识，反思自己的教学理念和行动，积极寻求有效的教学策略。 他们拓宽了自己视野，发展了专业知识，提供了工作质量。 3 研究要符合伦理道德的要求。研究开始的时候，就征求了教师的意见，在教师的 同意下参与研究，没有强迫参加。访谈资料整理成文字材料后，也征求了被访谈老师的 意见，让他们和我共同分享了劳动成果。在调查研究、写成研究报告、公开研究成果之 前，研究者都征求了参与研究人员的意见，删除了涉及个人隐私及不愿意公开的内容。 第三部分、高中数学( 函数部分) 教学策略的案例分析 函数是高中代数的一条主线，贯穿中学数学的始终，它是学好高中数学的基础，函 数思想是解决数学问题的重要思想，它的应用遍及整个高中数学，是进一步学好高等数 学的必备知识，因此，函数知识是高中数学的重点和难点，也是高考重点考查的内容在 函数学习中，应以函数的概念和性质作为理论指导，在对比中掌握各类函数的定义、图 象和性质。注重提高学生综合运用函数知识和思想方法解题的能力。针对函数的重要性， 对教师而言，合适的教学策略能够帮助教师很快突破重点和难点，提高教学质量，提高 课堂效率，真正达到减轻学生学习负担的目的，对学生而言，能够帮助学生理清知识脉 络，牢固掌握知识点，而且能拓展视野，使学生更上一层楼。 以下是一位老教师s 的说课记录。 案例一：反函数 一、说教材 1 、地位与重要性 反函数”一节课是高中代数第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念 有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学 会反函数的求法，叉可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学 做好准备，起到承上启下的重要作用。 2 、教学目标 ( 1 ) 使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数： ( 2 ) 使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系： ( 3 ) 培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力： ( 4 ) 使学生树立对立统一的辩证思维观点。 3 、教学重难点 重点是反函数的概念及反函数的求法。理解反函数概念并求出函数的反函数是高一 代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数 的基本概念有清醒的认识。 难点是反函数概念的接受与理解。学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关 系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能 使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。教学中复习函数概念，进而引出反函 数概念，就是为突破难点做准备。 二、说教法 根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电 脑多媒体的辅助教学作用。 引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中， 教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接 受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”， 学生也不会变成教师注入知识的“容器”。 电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔 和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信 息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的 思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。 三、说学法 整个过程贯穿“怀疑一思索_ j 发现，- _ 解惑”四个环节，学生随时对所学 知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符 合学生认知水平，培养了学习能力。 “授人以鱼，不如授人以渔”，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培 养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教 学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨， 在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。 四、说过程 在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求发挥学生自我发现的能力，突 出学生的教学主体地位，以启发、引导为教师的责任。 1 、新课导入 首先，在导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习 来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导 学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢? 首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电 脑动画，以函数y = 2 x 来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量， 都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x y 的单值对应，例如：1 2 ， 2 4 ，3 6 ，若将定义域与值域互换，则对应变为、2 1 ，4 2 ，6 3 这种对应是否构成单值对应，即映射呢? 这种对应是否构成函数呢? 至此，引出反函数 的概念，为概念的新授做好准备。 这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此 外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反 函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2 、新课讲授 在导入的基础上，给出反函数的具体概念。 给出概念后，必须防止学生对于反函数f 1 ( y ) 形式的误解( 以为是1 f ( x ) ) 。此外， 1 4 还要学生理解：最终的表达形式写为y _ f _ l ( x ) 是顺应习惯，并且也为后面的图象研究提 供方便，y 实际上是原函数中的x ，x 是原函数中的y 。对于这一问题可以引导学生从图 象观察得出。 进一步深化对概念的理解，出示电脑幻灯，设置疑问：( 1 ) 反函数是不是函数；( 2 ) 反函数有没有三要素? 如何确定? 引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是原函数的值域， 对应法则可由原函数得到，值域则是原函数的定义域。 这时，给出电脑动画，指明反函数与原函数的关系。澄清学生对于概念的认识，抓 住问题的关键。 但是，具体怎样求一个函数的反函数呢? 这些问题，骆须通过实例解决，于是进入例题解答过程。 例1 、求下列函数的反函数。 ( 1 ) y = 3 x 一1 ( x r ) ；( 2 ) y = x 3 + l ； ( 3 ) y = ( 2 x + 3 ) ( x 一1 ) ( x r 且x 1 ) 通过倒1 ，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。 启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢? 这 时结合第( 1 ) 小题，让学生思考问题引导学生找出关键- i 透过解关于x 的方程， 将x 用y 表达，以得到反函数的表达式这个表迭式中的x 、y 表示什么? 这和我们通 常的函数表迭式有什么区别? 进而引导学生想到交换x 、y 得到我们习惯使用的函数表 达式。再考虑：反函数的定义域、值域怎么求? 是怎样来的? 学生思考后，可得出通过 求原函数值域来得到反函数的定义域的方法。 教师板书第( 1 ) 小题，学生完成后两题 此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反 解( 把解析式看作x 的方程，求出反函数的解析式) 一一互换( 求出所给函数的值域并 把它改换成反函数的定义域) 一一改写( 将函数写成y = f 。1 ( x ) 的形式) 。 教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与原函数 之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个 个问题来引导学生逐步“发现”解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问 题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。 “反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该体息了”，有的学 生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。 例2 、( 1 ) y = x 2 ( x r ) 的反函数 ( 3 ) y = x 2 ( x o ，l n j l 0 ，l o g 一0 5 1 ， i o9 05 0 6 1 ，所以1 0 9 j 0 5 o 。 板书： 解：+ 2 x 一1 0 x 0 5 1 0 9 08 x 一1 0 ， x 0 8 x 0 x 0 x ( o ，o 5 ) u ( 0 5 ，o 8 师：接下来我们一起来解这个不等式。 分析：要解这个不等式，首先要使这个不等式有意义，即真数大于零， 再根据对数函数的单调性求解。 师：请你写一下这道题的解题过程。 生： 解： x 2 + 2 x 一3 ox 1 ( 3 x + 3 ) 0x 一1 x 2 + 2 x 一3 ( 3 x + 3 ) 一2 x 3 不等式的解为：1 0 ，0 x 1 u = x x 2 一( x o 5 ) 2 + 0 2 5 ，- 0 o ，a 1 ) 求它的单调区间；当o a 0 ，a 1 ) ， 求它的定义域；当x 为何值时，函数值大于1 ；讨论它的 单调性。 1 9 师：好，请坐通过刚才阅读增函数的减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定 义方法和我们刚才所讨论的函数值y 随自变量x 的增大而增大或减小是否一致? 如果一 致，定义中是怎样描述的? 生：我认为是一致的定义中的“当x 。 x ：时，都有f ( x 。) f ( x ，) ”描述了y 随x 的增大 而增大；“当 x 。 f ( x ，) ”描述了y 随x 的增大而减少 师：说得非常正确定义中用了两个简单的不等关系“x 。 x ：”和f ( x 。) f ( x j ”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质这就是数学的魅力! ( 通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣) 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y = f 。( x ) 和y = f 2 ( x ) 的图象， 体会这种魅力 q 图说明) 磊数)矸产磊蚀 矗舔 -l i ? l 黛0瓤 髫l 套 霉 誊 帆 轰c 魏 o，一磊纭) l 卜 一一菇 锯箍妇 ：誊 臻裁玲瓤 ； 、 圈3 师：图中y = f 】( x ) 对于区间【a ，b 】上的任意x ，x ：，当x ， x ：时，都有f 。( x ，) ( x ：) ，因此y = f ：( x ) 在间ca b 】上是单调递减的，区间【a ，b 】是函数y = f ：( x ) 的单调减区间 ( 教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知 识融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法) 师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应 ( 不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师) 生：较大的函数值的函数 师：那么减函数呢? 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数 ( 学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整) 师：好我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在 定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义? ( 学生思索) 2 2 学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念( 或定义) ，能否抓住定义中的 关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各 学科的重要一环因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题， 认识问题的能力 ( 教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语 气在学生感到无从下手时，给以适当的提示) 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习 几个相近的概念时还要注意区别它们之问的不同增函数和减函数都是对相应的区间而 言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性请大家思考一个问题，我们能否 说一个函数在x = 5 时是递增或递减的? 为什么? 生：不能因为此时函数值是一个数 师：对函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数( 注意这四个字“唯一确 定”) ，因而没有增减的变化那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数 或是减函数呢? 你能否举一个我们学过的例子? 生：不能比如二次函数y ；x 2 ，在y 轴左侧它是减函数，在y 轴右侧它是增数因而我们 不能说y = x 2 是增函数或是减函数( 在学生回答问题时，教师板演函数y = x 2 的图像，从 “形”上感知) 师：好他( 她) 举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”这说明函数的 单调性是函数在某一个区问上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或 减函数因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间 师：还有没有其他的关键词语? 生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语 师：你答的很对能解释一下为什么吗： ( 学生不一定能答全，教师应给予必要的提示) 师：“属于”是什么意思? 生：就是说两个自变量x ，x ：必须取自给定的区间，不能从其他区间上取 师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点? 生：可以 师：那么“任意”和“都有”又如何解释? 生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x ， f ( x 2 ) ；当x t = 1 ，x z = 2 时，有 f ( x 。) f ( x ：) ，这时就不能说y = x ：，在【一2 ，2 】上是增函数或减函数 师：好极了! 通过分析定义乖举反例，我们知道要判断函数y = f ( x ) 在某个区间内是增函 数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任 取两个自变量x 。x ：，根据它们的函数值f ( x ，) 和f ( x ：) 的大小来判定函数的增减性： ( 教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的 反衬，使学生加深对定义的理解在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念， 锻炼学生的发散思维能力) 师：反过来，如果我们已知f ( x ) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以 通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小， 即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立这恰是辩证法中一般和特 殊的关系 ( 用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析， 有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力) 三、概念的应用 例1 图4 所示的是定义在闲区间【一5 ，5 】上的函数f ( x ) 的图象，根据图象说出f ( x ) 的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f ( x ) 是增函数还是减函数? 生甲：函数y = f ( x ) 在区间 一5 ，2 】，【1 ，3 】上是减函数，因此【一5 ，一2 】，【1 ， 3 】是函数y _ f ( x ) 的单调减区间；在区间【一2 ，1 】， 3 ，5 】上是函数y = f ( x ) 的单调 增区间 生乙：我有一个问题，【一5 ，一2 】是函数f ( x ) 的单调减区间，那么，是否可认为( 一5 ， 一2 ) 也是f ( x ) 的单调减区间呢? 师：问得好，这说明你想的很仔细，思考问题很严谨，容易证明：若f ( x ) 在 a ，b 】上 单调( 增或减) ，则f ( x ) 在( a ，b ) 上单调( 增或减) 反之不然，你能举出反例吗? 一般来说， 若f ( x ) 在 a ，b 】上单调( 增或减) ，且【a 1 ，b 1 】 a ，b 】则f ( x ) 在【a 1 ，b 1 上 单调( 增或减) 反之不然 例2证明函数f ( x ) = 3 x + 2 在( 一o 。，+ 。) 上是增函数 师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数 不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函 数单调性的基本途径 ( 指出用定义证明的必要性) 师：怎样用定义证明呢? 请同学们思考后在笔记本上写出证明过程 ( 教师巡视，并指定一名中等水平的学生在板上黑板演学生可能会对如何比较f ( x ，) 和 f ( x ，) 的大小关系感到无从入手，教师应给以启发) 师：对于f ( x 。) 和f ( x ：) 我们如何比较它们的大小呢? 我们知道对两个实数a ，b ，如果a b ， 那么它们的差a - b 就大于零；如果a - b 那么它们的差a - b 就等于零；如果a b 那么它 们的差a - b 就小于零，反之也成立因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系 生：( 板演) 设x ，x ：是( 一。o ，+ 。) 上任意两个自变量，当x 。 x ：时， f ( x ，) 一f ( x ：) = ( 3 x ，+ 2 ) 一( 3 x 2 + 2 ) = 3 x ，一3 x ，；3 ( x 。一x ：) 0 ，所以f ( x ) 是增函数 师：他的证明思路是清楚的，一开始设x ，x ：是( 一一，+ 。) 内任意两个自变量，并设 x 。 x ：( 边说边用彩色粉色粉笔在相应的语句下划线，并标注“一设”) 然后看f ( x ，) 一 f ( x ：) ，这一步证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的 形式，这一步可概括为“作差，变形”( 同上，划线并标注”一作差，变形”) 但 美中不足的是他没能说明为什么f ( x ，) 一f ( x 2 ) o ，没有用到开始的假设“x 。 x z ”，不要 以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号，应写明“因为x 。 x ：”， 所以x 广x ： o ，从而f ( x 。) 一f ( x ：) 0 ) 的定义域是什么? 生：f ( x ) ；1 x ( k 0 的定义域是( 一一，0 ) u ( o ，+ 一) 师：你的结论是什么呢? 生甲：我认为f ( x ) = 1 x ( k o ) 在( 一一，0 ) 以及( 0 + o o ) 上都是减函数，因此我觉得它在 定义域( 一o 。，0 ) u ( o ，。o ) 。上是减函数。 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减 函数的定义。比如取x ，( 一。，0 ) 取x 2 ( o + o 。) ，x l 0 ) 是定义域内的增函数呢? 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在( 一一，0 ) 和( 0 + 。o ) 上都是减函数。 师：经过刚才的讨论，我们知识f ( x ) = 1 x ( k 0 ) 即不是定义域内的增函数，也不是定 义域内的减函数，它在( 一o 。，o ) 和( o + 。) 每一个单调区间内都是减函数。因此在函数的 几个单调增( 减) 区间之间不要用符号“u ”连接，另外，x = o 不是定义域中的元素，此 时不要写成闭区间。 师：下面请左边三行同学证明函数f ( x ) = 1 x ( k 0 ) 在( 一o 。，o ) 上是减函数，右边三 行同学证明f ( x ) = 1 x ( k 0 ) 在( 0 ，+ 一) 上是减函数。 ( 教师巡视，对学生证明中出现的问题给予点拔，可依据学生的问题，给出下面的提示： ( 1 ) 分式问题化简方法一般是通分。 ( 2 ) 要说明三个代数式的符号：k ，x 。x ：，x ：一x ( 3 ) 如果用作商的方法，应注意说清楚f ( x ：) f ( x ，) 与1 的大小关系。还要注意在不等式 两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。 ( 对学生的解答时行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体 学生的重视。) 四、课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的? ( 请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予揭示。) 生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、 “任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不经轻易用并集的符号连结；最 后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤。 五、作业 1 课本p 5 3 年练习第1 者，2 ，3 ，4 题。 2 ，证明函数f ( x ) = a x 2 + b x + c ( a o ) 在( 一一，+ 。】上是增函数。 ( 证明：任取x 。，x 2 ( 一o 。，- b 2 a 】且x 。 x ： f ( x 1 ) = a x 2 1 + b x l + c ，f ( x 2 ) = a x 2 2 + b x 2 + c ， f ( x i ) 一f ( x 2 ) = a ( x 2 1 一x 2 2 ) + b ( x 1 一x 2 ) = a ( x l x 2 ) ( x l + x 2 ) + b ( x l x 2 )( ) = ( x l x 2 ) a ( x 1 + x 2 ) + b 】 由x l x 2 得，x 广x 2 0 而x 1 _ b 2 a ，x 2 - b 2 a 所以x l + x 2 0 。由此可知( + ) 式小于0 ，即f ( x ，) f ( x 2 ) 。 故f ( x ) = a x 2 + b x + c ( a o ) 在( 一o 。，+ 一) 上是增函数。) 课堂教学分析 函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性 扶甯羖篓。泼膨 氢薹瑚牛罐妻到霹二# 驯 识的综合 应用上都有广泛的应 用。对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触 过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生 也会觉得是已经学过的知识，感觉常见乏味。因此，在设计教案时，加强了对概念的分 析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中 甚至包含着辩证法的原理。另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对 概念深入正确的理解往往是学生认识过程中的难点。因此在本教案的设计过程中突出对 概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对 概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用。还有，使用函数单调性定义证明是 一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概 念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的 不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。 简评 本教学案例运用了图形观察法，说教法等传统的教学方法，这些策略和手段适合这 部分的数学教学，使学生学习新知识的线索更加清晰明了。教师在教学策略中没有只是 就知识讲知识，而涉及到对学生的元认知策略的渗透。比如让学生自我提问，“这是为 什么”“我应该用什么办法”，优化了整个教学。并且注意到了对学生运用“合作学习” 的组织形式，而且真正实现了“合作学习”的教学目的，没有流于形式，而且合作学习 之后，教师予以学生展示成果的机会。如果能运用现代化的多媒体教学手段就更好了。 第四部分、课程变革下高中数学教学策略的改革建议 一、组织教学策略的理念 ( 一) 重新理解数学教学过程：数学教学过程是师生之间互动的过程 教学本质从”特殊的认识过程”到”围绕着教材的平等的对话” 教学过程从”强调知识和技能的传递”到”教师价值引导，学生自主建构 教师角色从讲授者”到”组织者、引导者和合作者“ 教学方式从”权威的封闭的模式”到”激励的开放的模式” 组织者：组织学生发现、寻找、收集和利用学习资源，组织学生营造和保持教室中 和学习过程中积极的心理氛围。 引导者：设计恰当的学习活动，引导学生激活进一步探究所需的先前经验，引导学 生实现课程资源价值的超水平发挥。 合作者：建立人道的、和谐的、民主的、平等的师生关系，让学生在平等、尊重、 信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，得到指导和建议。 数学教学过程是引导学生进行数学活动的过程，数学活动是学生经历”数学化”的过 程“问题情境数学模型解释、应用和拓展”，生活经验、数学思考、反思与再 创造是数学活动的基本要素。“” ( 二) 数学教学的建议 满足学生的情感、动机需求，创造积极的课堂环境，让学生在现实的情境和已有的 知识经验中体验和理解数学，引导学生动手实践、自主探索和合作交流 重视估算，鼓励解决问题策略的多样化，估算( 估测) 的价值( 生活需要、器算需要、 培养数感) ，尊重学生思维方式的多样性，鼓励他们主动地、富有个性化的学习，“5 培 养和发展创新意识，鼓励算法策略的多样化，并通过比较各种算法的特点，选择适合自 己的算法，培养学生应用数学的意识和解决问题的能力。 ( 三) 评价教学策略优劣的