（应用数学专业论文）非紧模糊数空间上的模糊随机变量.pdf

摘要摘要本文研究取非紧支集模糊数值的模糊随机变量，所谓非紧，即把传统模糊数要求的紧支撑条件去掉。作为理论基础，本文首先在非紧模糊数集上引入广义距离并证明了其完备 生与可分性；其次，本文比较了几种非紧模糊随机变量的定义，其结果表明文中提到的几种非紧模糊随机变量就可测性而言是相同的；再次，讨论了非紧模糊随机变量的方差、协方差及其性质；最后初步涉及非紧模糊随机过程的理论。第一章为模糊随机变量内容概述。内容包括模糊随机变量应用背景的介绍，模糊随机变量理论与应用发展的介绍和本文所研究问题的介绍。第二章是关于非紧模糊数空间的内容，介绍了非紧模糊数的基本概念和非紧模糊数的广义距离空间。与可分不完备具紧支集模糊数的距离空间相比较，这里定义的广义量巨离空问是完备可分的。第三章是本文的核心，研究了取非紧支集模糊数值的模糊随机变量，其内容为：首先就模糊随机变量的几种定义进行了比较，这里的结论推广了文“au n i f i e da p p r o a c ht of u z z yr a n d o mv a r i a b l e s ) ) ( v o l k e rk r l t t s c h m e r , f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，2 0 0 1 ，1 2 3 ，1 - 9 ) 的部分结果，其次介绍非紧矿阶模糊随机变量的有关内容。不难看出，非紧矿阶模糊随机变量的定义是对p - 阶r “值随机变量概念的延拓。然后用种新方法对一类非紧模糊随机变量定义了期望。第四章涉及非紧二阶模糊随机过程及其应用。这里主要就工程上易于应用的非紧二阶模糊随机变量和非紧二阶模糊随机过程及其一些初步应用作了介绍。文中的结果推广了 ( t h e v a r i a n c e a n dc o v a r i a n c e o ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ) ) ( f e r 培y u h u e ta l ，f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，2 0 0 1 ，1 2 0 ，4 8 7 - 4 9 7 ) 的部分结论。最后，我们讨论了右闭右连续模糊鞅选择表示。摘要关键词：非紧模糊数，广义距离，模糊随机变量，模糊随机过程，模糊鞅。a b s t r a c tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e so nn o n c o m p a c tf u z z yn u m b e rs p a c ea b s tr a c tt h ep a p e rm a i n l yd e a l sw i t hf u z z yr a n d o mv a r i a b l e st h a tt a k ev a l u e so nn o n c o m p a c tf u z z yn u m b e rs p a c e f i r s t l y , ag e n e r a lm e t r i ci sd e f i n e do nn o n c o m p a c tf u z z yn u m b e rs p a c ea n di t sc o m p l e t e n e s sa n ds e p a r a b i l i t ya r ep r o v e d s e c o n d l y , i tt u r n so u tt h a ts o m ed i f f e r e n tc o n c e p t so fn o n c o m p a c tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa r ea n i f i e da st h em e a s u r a b i l i t yi sc o n c e m e d f u r t h e r m o r e ，t h ev a r i a n c ea n dc o v a r i a n e eo fn o n c o m p a c t 血z z yr a n d o mv a r i a b l e sa r ei n 缸 o d u c e d ，a n dt h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y , t h ef u z z ys t o c h a s t i cp r o c e s s e sa r ea l s ot o u c h e du p o n t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：c h a p t e r1p r e s e n t sas u m m a r yo ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e s t o p i c si n c l u d eab r i e f i n t r o d u c t i o no f m ci d e ao f a p p l y i n gf u z z yr a n d o mv a r i a b l e s a ni n t r o d u c t i o no fl i t e r a t u r eo l lf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h ep r o b l e m sc o n s i d e r e di nt h i st h e s i s n o n c o m p a c tf u z z yn u m b e rs p a c ei si n u _ 0 ( 1 u c e di nc h a p t e r2 ag e n e r a l i z e dm e t r i ci sd e f i n e do nt h en o n c o m p a c tf u z z yn u m b e rs e t s o m ep r o p e r t i e sa n dt h e o r e m sa b o u tn o n c o m p a c tf u z z yn u m b e r sa r ed i s c u s s e d c o m p a r e dw i t ht h es e p a r a b i l i t ya n di n c o m p l e t e n e s so fc o m p a c tf u z z yn u m b e rs p a c e ，t h eg e n e r a l i z e dm e t r i cd e f i n e dh e r ei sp r o v e dt ob ec o m p l e t ea n ds e p a r a b l e n o n c o m p a c tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r3 w eh a v ec o m p a r e ds o m ed i f f e r e n tc o n c e p t so fn o n c o m p a c tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e s a st h er e s u l t , i tw i l lb es h o w nm 越t h e s ec o n c e p t sa r eu n i f i e da st h em e a s u r a b i l i t yi sc o n c e r n e d t h es t u d ye x t e n d ss o m er e s u l t so f “au n i f i e da p p r o a c ht of u z z yr a n d o mv a r i a b l e sm l k e rk r i i t s c h m e r , f u z z ys e t sa n d垒! ! 塑璺一s y s t e m s ，2 0 0 1 ，1 2 3 ，1 - 9 ) ”t h ec o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so fn o n c o m p a c tp - o r d e rf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa l ep r e s e n t e da se x t e n s i o no ft h ep - o r d e rr a n d o mv e c t o r f i n a l l y w ed e f i n e dt h ee x p e c t a t i o no fn o n c o m p a c tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sb yan e wm e t h o d n o n c o m p a c tf u z z ys t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r ep u ti nc h a p t e r4 s o m ep r o p e r t i e so fn o n c o m p a c t2 - o r d e rf u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r ed i s c u s s e d t h er e s u l t se x t e n dt h es t u d yo f “t h ev a r i a n c ea n dc o v a r i a n c eo ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s( f e n gy u h u e ta 1 f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，2 0 0 1 ，1 2 0 ，4 8 7 4 9 7 ) ”i na d d i t i o n ，w eg e tar e s u l ta b o u tt h ef i g h t - c l o s e d - r i g h t - c o n t i n u o u sf u z z ym a r t i n g a l e y a hy u n z h i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s )s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rf e n gy u h um yw o r d s ：n o n c o m p a c tf u z z yn u m b e r , g e n e r a lm e t r i c ，f u z z yr a n d o mv a r i a b l e ，f u z z ys t o c h a s t i cp r o c e s s ，f u z z ym a r t i n g a l e 附件二：东华大学学位论文版权使用授权书学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可以将本学何论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密口，在年解密后适用本版权书。本学位论文属于不保密龟召易嘲日期：力9 q 年多月f 汨日期弘，。中夥月，日附件一：东华大学学位论文原创性声明本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导f ，独立进行研究工作所取得的成果。除文中己明确注明和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：芜盈吞蓉，日期：矽矿纩年岁月ae t第一章前言第一章前言我们知道，质和量是客观事物的两个侧面客观世界中，事物在质的表现上具有确定性和不确定性，这种属性反映在量的方面即可使得研究量的数学科学有如下的划分：f 确定性的量( 经典数学的研究领域)量b 定性叫蓑篡麓鬣萋蒌器磊嚣黧概率统计与模糊数学均来自于客观实际，它们都摆脱了经典数学的确定性，反映出了物质世界具有不确定性的一面然而，这两门学科所反映的概念和性质是截然不同的，各自的出发点也不一样概率统计所研究的是涉及一个事物是否发生的量的规律，它摆脱了“一因一果”的因果决定性，反映出了事物“一因多果”的随机性；而模糊数学所研究的是涉及事物本身所固有的不精确状况，摆脱了“非此即彼”的精确性，反映了事物之间由于差异的中间过度性引起划分上的不确定性，使得概念外延具有不分明性，也就是“亦此亦彼”的模糊这样一种性质为了更清楚地区分随枫性与模糊性，我们来考虑下面三个事件：1 一枚硬币，记a = “硬币正面朝上”；2 4 = “张三是胖子”；3 雪= “明天天气会很冷”很明显，事件 可能发生，也可能不发生，同样的原因，其结果是不确定的，所以4 是个随机事件；对于j ，虽然事实摆在面前，但第一章前言“胖子”这一概念不好从身高与体重上来严格地加以区分而呈现出不确定性，j 是一个模糊事件；事件言的情形不同于a 与五，它含有两重不确定性，首先，“天气很冷”是一个模糊事件，其次是到明天这一模糊事件是否发生又是不确定的，这类事件称为随机模糊事件( 见文献 1 2 )1 2 非紧模糊随机变量的课题背景概率统计以其直观性和实用性越来越得到理论家和科学技术人员的青睐，其一系列理论方法也因此获得了长足的发展，它是应用数学中最重要和最活跃的学科之一然而经典的统计推断方法论建立在实值随机变量的基础上，这使得它对只能获得模糊数据的随机事件的处理无能为力。但它与模糊集合理论的结合能很好的把两种类型的不确定性实验结果的不确定性( 随机性) 和数据涵义的不确定( 模糊性) 协调在一起因此，按k r u s e 和m e y e r 的文 3 篇名，统计分析的这一分支不妨就称为模糊数据统计学若随机实验的结果不再是实值向量，而是实值向量空间尺”的模糊子集，此时把经典的统计推断的一系列方法延拓到这种情况，模糊集合论就融入到了统计分析学中如同经典方法论以随机变量概念为基础一样，模糊数据统计学应该建立起一个类似的概念经典的随机变量以可测性为特征，模糊随机变量概念与之不同之处在于改变了可测性条件k w a k e r n a a k 4 ，p u r i 和r a l e s c u 5 把重点放在一些模糊值映射的旷水平截映射上，模糊结果与模糊集映射各个旷水平集相联系k w a k e r n a a k 要求一水平截映射的边界函数可测，这就约束他只在实数集r 的模糊子集上讨论问题，p u r i 和r a l e s c u 4 2 限定一水平截映射可测，使模糊随机变量拓广到r ”上k l e m e n t 等 6 ，d i a m o m d 和k l o e d e n 7 8 把模糊随机变量定义为2第一章前言可测模糊值映射他们的可测性条件由他们在模糊样本空间上定义的距离诱导v o l k e rk r a t s c h m e r 找到了一个统一这些概念的方法他在 9 中证明了这些常见的模糊随机变量可以在所谓“乘积拓扑空间”f ，( r ”)中统一起来至此，模糊随机变量概念已比较成熟随着以n 维实向量空间f 的模糊子集为基础的模糊随机变量概念的日趋成熟，以模糊随机变量概念为基础的一系列理论得到了长足发展如，类似经典统计学理论，人们定义了模糊随机变量的期望与方差 1 0 1 1 、条件期望 1 2 、高斯模糊随机变量 1 3 ，讨论了模糊随机变量序列的收敛性 1 4 - 1 6 、大数定律 1 6 1 7 ，定义了模糊随机过程，讨论了模糊随机过程的积分与微分 1 8 2 0 ，模糊微分方程 2 卜2 7 ，模糊鞅 2 8 3 2 、模糊半序鞅 3 2 ，模糊随机动力系统一些初步的研究 3 3 3 9 最近有人在尝试着把经典随机积分与微分的理论引入模糊随机动力系统中 4 0 至今，这些理论绝大部分是建立在取值为具有紧支集模糊数的模糊随机变量基础上，模糊数对紧支集的要求使得这一理论的成果具有一定的局限性例如，许多工程上常见的如正态型隶属函数、柯西型隶属函数的模糊数并不具有紧支集条件，因此，具有紧支集的模糊随机变量理论就不能处理这类问题，本文在对非紧模糊随机变量的定义中去掉了模糊数紧支集条件的限制，以期能把更多的模糊数纳入我们的研究范围内1 3 本文的内容安排本文主要针对具有非紧支集模糊数的模糊随机变量进行讨论首先，作为基础部分，本文证明了在非紧模糊数集上引入的广义距离的完备性与可分性其次，本文比较了几种非紧模糊随机变量的定义，讨论了非紧模糊随机变量的性质，并初步涉及工程上易于应用的非紧二阶模糊随机过程的理论第一章前言第二章是关于非紧模糊数空间的内容：第一节为非紧模糊数的基本概念；第二节为非紧模糊数的广义距离空间与可分不完备具紧支集模糊数的距离空间想比较，这里的广义距离空间是完备可分的第三章是本文的核心，研究了具非紧支集模糊数的模糊随机变量，其内容为：第一节就非紧模糊随机变量的几种定义进行了比较，这里的结论推广了文 9 的部分结果；第二节为非紧p 一阶模糊随机变量的有关内容不难看出，芦阶矗”值随机向量是其特例第三节，有别于传统，这里用另一种方法对一类非紧模糊随机变量定义了期望第四章初步涉及非紧二阶模糊随机过程及其应用：第一节为非紧二阶模糊随机变量的一些性质，它是本章第二节的基础；第二节为非紧二阶模糊随机过程及其一些初步应用这里的结果推广了 1 0 】的部分结论第三节是右闭右连续模糊鞅的鞅选择的一个结果，方法依赖于集值随机过程的有关理论本文的基本思路是，针对比较几种非紧模糊随机变量定义时遇到的困难，猜想并证明了非紧模糊数广义距离空间( f ，d 。) 是完备可分的在此基础上，借助相对成熟的具有紧支集的模糊随机变量理论，讨论了非紧模糊随机变量和非紧模糊随机过程的有关性质与应用第二章非紧模糊数空间第二章非紧模糊数空间模糊数是模糊集与模糊系统理论最基本的概念之一作为后文的一个必要准备，本章第一节介绍了r ”上模糊数及与之相关的些概念第二节引入非紧模糊数空间上的广义距离，以对非紧模糊数空间进行一个较细致的刻画，并证明了它的完备性与可分性，为第三、四章的研究建立了重要的理论基础2 1 非紧支集模糊数集合设r ”为n 维欧几里德空间，r ”的非空紧子集族记为咒但”) ，r ”的非空凸紧子集族记为瞳。( r “) ，月”上模糊子集全体记为孑( 彤) 若5 孑( r “) ， a 】7 = 缸r ”i a ( 砷，) ，0 0 ) 是厅的支撑r “上，一水平集为非空紧集的模糊子集簇记为挠( r ”) ，r ”上r 一水平集为非空凸紧集( 0 k 0 ，且下列h 差存在，则有以下各式成立：( 1 ) “一v = ( “+ w ) - ( v + w ) ，咒( “一v ) = 2 u 一兄v ，f 兄一k ) u = 2 u - k u ；( 2 ) ( “一v ) + ( v w ) = “一w ，“一( v 一呐= ( “一v ) + w = ( “+ w ) 一v ；( 3 ) ( w v ) 一( w 一“) = u v ；( 4 ) ( “，吖) = 一v 。i = ll = ll = l在兵( 胄”) 上赋予h a u s d o f f - 距离d h ：d n ：且( r “) 且( r ”) r ，( 4 ，b ) 卜m a ) 【 吼1 p ，。i 。占i l x - y l l ，s u p ，。b 协0 。i i x - y 1 1 )其中l 为欧几里德范数( 其。似”) ，如) 是一个完备可分的距离空间【2 定义2 1 5 设“分，定义“的支撑函数“ 为h i * ( r ，x ) 时s u p 。 ，( r ，x ) ( o ，1 】其中s ”1 是月”中单位球面， 是只”中的内积由于上非空凸紧集的支撑函数与该集合相互唯一确定【1 2 】，因此对于“，v 量”，“= v 当且仅当矿= v 特别有而( m ，i v ) = s u p 。一i “( ，工) 一v + ( ，x ) j 支撑函数有如下性质 8 】( 1 ) ”v ) + o ，垆“+ ( ，砷+ v + ( r 却，( a 岫+ ( 曲= 五材+ ( ，曲，五 o ；( 2 ) 矿( ，卅 矿( ，曲+ 矿( ，力；( 次可加性)( 3 ) b t ( r ，2 x ) = 2 矿o ，功，五 o ；( 正齐性)6第二章非紧模糊数空间( 4 ) u + p ，) 依x 李普西兹连续，厂、陋( 力一v + 妒力i is u p 口l x yj ；。t n l ，( 5 ) v x s ”，矿( ，功在( 0 ，1 上依r 左连续定理2 1 6 如果“壹“，那么( 1 ) 对v r ( 0 ，1 ，“4 ( r ，) 是上正齐性下半连续凸函数；( 2 ) u + ( ，x ) 在( 0 ，1 上依r 非增左连续；( 3 ) i t + ( ，) 在矿1 上有界反之，如果定义在( 0 ，1 】r “上的函数厂满足以上3 条，那么存在u 宣”，使得“+ ( r ，x ) = f ( r ，x ) 下面的表示定理可见【8 】 4 1 定理2 1 7 ( 表示定理) 设“雪“，那么( 1 ) ( “】冀。( r ”) ，v r ( o ，l 】；( 2 ) 【“】c “r ，v 0 r 2 1 ；( 3 ) m = n 晶【“r ，v 唯个r ( o ，1 反之，若 4 ：，d ) ，d 是( 0 ，1 】的一个稠子集，满足( 1 x 2 ) ，那么可唯一确定一个非紧模糊数“雪”：m 】7 = n 。，4 ，r d ，m 】0 = u 。【“卜由模糊集理论的表示定理，任意模糊子集石由它的卜水平集( 0 r 1 ) 唯一确定而石的，一水平集依赖r 单调递减、左连续( 【9 】引理3 3 引理3 4 ) ：引理2 1 8 4 。 ，h 是嶷。( f ) 的一个序列( 1 ) 如果 4 k 单调递减，那么l i m 如( 4 ，n 2 。4 ) = 0 ；( 2 ) 如果 彳：b 单调递增，c ，( u 4 ，) 是紧集，那么 i m ，。d ( 4 ，c ，( u ：i a j ) ) = 0 引理2 1 9 设玩i f a r ”) ，对它们r 一水平集的h a u s d o 磐距离有以下连续性特征：( 1 ) v r ( 0 ，1 】，l i m ，。，一d 。( 【a 】。， 6 】) = d n ( 【厅】7 ，【6 】) ；( 2 ) v r ( o ，1 】，l i m 。，+ d 。( 同，两j = 幽( c f ( u 。( 叫】【甜) ，z ( u 。( 】【卯) ) ；7第二章非紧模糊数空间( 3 ) 如果万，i 的支撑有界，那么l i m ，+ 。+ d h ( 【刎， 6 r ) = d 。( 【j 0 j 6 】。)2 2 非紧模糊数的广义距离空间本节将具有紧支撑的模糊数空间上的可分不完备距离延拓到非紧模糊数空间上得到一广义距离，并证明在此“距离一下空间是完备可分的与此对应的是f e n g 4 1 在非紧模糊数空间引入了一种完备可分距离，而二者最终都归结为一种有界距离对此，我们先对 4 1 简单地作一下介绍文献【4 l 】在童“上先作如下定义：若“，v 童”，对l 蔓p ，k = 1 2 ，定义d p i ：e ”_ 【0 ，0 0 ) ，v ) _ ( 肌州，【v 】，) 毋) l ，l p o o ,珑i ( “，v ) = s u pd ( 【h 】7 ，【v 】7 )r e 【k 1 】在此基础上引入了立”上的距离d e ：对1 p s0 0 ，定义西。：富“童”一【o ，) ，或咖喜专老篙文献 4 1 】证明了距离空间( 驴，d p ) ，1 p m ，完备可分，( 旁，d 。)是( ，d 。) 的完备化，( 旁，西：) 完备不可分本节在雪”上定义可取值m 的广义距离屯( o p o 。) ，证明了( 旁，d p ) 完备可分，记彰= 扣分i d p ( u ，6 ) 。) ，( ，以) 的完备化为( 髟，d ，) ，而非( 伊，以) 另外，文献 4 2 】对在e ”上定义的工。距离、l p , 。- 距离( 1 曼p o o ) 完备化( 其完备化空间即本节将要介绍的( 卑，d ，) ，( 宝，) ) ，并证明了如下定理及推论：定理2 2 1 距离略，l p 。，在髟上诱导相同的拓扑第二章非紧模糊数空间定理2 2 2 可分距离空间( 句，d ：) 是空间( e ”，d ，) 的完备化推论2 2 3 可分距离空间( 髟，d p ) 是空间( f ，d 。) 的完备化因为v “，v e ，d 。( “ ，i v ) 关于r ( o ，1 左连续右极限存在( 引理2 1 8 、2 1 9 ) ，因此，对0 p o o ，可在( o ，1 上对蝴( “ ， v 7 ) 定义l e b e s g u e 积分定义2 2 4d p ( ，) ：( ) 叶r = o ，叫，d 。( “，v ) =( f 珈删吖) 咖卜孔f 程( 州，) d r ，0 p 1易证d 。( - ，) 满足距离的三个条件，但可能取值o 。，因此称它是童”上的一个广义距离汜怕忆= d v ( u ，6 ) 令e ：= “e ”m “l i p o o ) 若“，v e 句，贝1 d p ( u ，v ) 纠i 圳b + l l v l l v o o ，因此d ，( ，) 是卑上的距离我们先证明一个引理引理2 2 5 设0 p ， “。，m 1 ) c 驴若当m ，”一o 。时，d p 。，“。) _ + 0 则存在( 0 ，1 】上的l e b e s g u e - 零测集n ， “。) 的予列 k = l 2 一 和“伊，使得v r ( o ，1 】n ，d h ( 【“。】，【“】7 ) 一0 ，k 证明：先证0 p 1 时命题成立由于d ，( u r n ，u n ) = f 簖( 【】，【】) 一o ，卅，n 一。令佩= i i l f ”_ j ，s u p 。f 硝( 】，【】，) 1 咖曼2 “) ，k = 1 ，2 3 ，( a a b = m i n a ，6 ) 则仇必有限，且有下面不等式成立l 。( 如( ，【“j ) 1 pf 。( 甜( 】， “。】) 1 涉9第二章非紧模糊数空间兰。f ( 】r ， 吆。】7 ) l d r墨。2 = 1 0 0 ( 1 )上式第一个不等号的成立是由函数矿( 0 口1 ) 在( o ，i 】上的单调性得出，第二个不等号是因为f a t o u 引理，第三个不等号由仇的定义得到。由( 1 ) 可知；略( 匝、】r 【。】7 ) o o 在( o ，1 】上几乎处处成立，所以存在( o ，l 】上的l e b e s g u e 一零钡0 集，对v r ( 0 ，i 】、，( 【“】：k 1 ) 是最。【舻) 中的c a u c h y 列由( 其。( 彤) ，幽) 的完备性知存在a 且。( 彤) ，使得当呻* 时，如( f 】r ，a ) 辛0 。由于对，r 2 ( o ，1 】、，o t i 1 时，由于不等式一( ，v ) d 。( “，v ) 对v “，v e 伊成立，因此由d p 妇。，v 。) 叶0 j 矗1 ( “。，v 。) 呻0 可知此时引理仍成立社为叙述方便，我们引入下面记号v t 0 ，整数岛，如，以，令b ( d = x = ( ，恐，) r ”j t z 0 ，使得v m ，n m ，有吨( “。，蚝) m 时，u a r ，一“：( ，) 掣；固定m 0 m ， “二( 分) 一“：( ，) 。是缪中的c a u c h y 列，由f 的完备性，存在g ( r ，) f ，使“二( ，- ) 一( ，t ) ! 兰斗g ( r ，) ，即f l l u 乏( ，) 一以( ”) 一g ( r ，) i 芒( p ) 毋斗o ， 一o o ( 2 )由上式知存在 n ) 。的子序列 飞) 和( o ，1 】 - l e b e s g u e 一零测集l ，使得v ，( o ，l 】l ，i i q ( r ，) 一“：。( r ，。) 一g ( r ，) 岐s “) 斗o ，k 斗o o ( 3 )又由引理2 , 2 5 存在“童“， 仇) 的子序列 和( 0 ，l 】上l e b e s g u e -零测集2 ，使得( o ，1 】2 ，当如_ m 时，蟊( ，】， “ ) 爿i 吒( ，) 一甜( r ，) b “) 斗o ，( 4 )因此由( 3 ) 、( 4 ) 知对于v r ( o ，1 ( n ju 2 ) ，i t u ( r ，) 一”p ，) 一g ( r ，) l l ，。一、- 0 ) 由于如( “n 【v 】) 关于r e ( o ，1 】左连续，故对任意自然数m 当k 。一时有如( 吒， “】7 ) 呻o ，v r ( 矗，上 又由于对v r ( 丽1 ，击 ，0 如( 吒，m 7 )s 如( 吃，【6 】) + 如( m 7 ，t g 7 )2 如( 【“产，【6 】上) 0 ，毫如( 【订，吃) 卉 f 2 0 ，显然( ，= 0 ，1 ，2 ，3 ) 为有理数于是，v 1 满足：【v l 】k “p ，v ，( 1 + 1f f ，= o ，1 ，2 3 令v i ( 9 = x r ”：d ( x ，【吖) s 3 ，v ，( o ，1 】y e p d ( x ，m 7 ) = i n f 。【q r1 x y l 则由w ( ) 可定义非紧模糊数v ：，使【v 2 7 = v i 皤) 由于如( 【v ： 7 ， v 1 】7 ) = c 3 ，v r ( 0 ，1 ，所以f 如( 附，【v 2 】) d r = 占3l o j3 。由于【v 2 】的内点集( 作为r ”的子集) 非空，故存在s o ，整数南，也，k ，当s s 时，厶。bk ( 寺) c 【v 2 】1c v 2 】7 ，v r ( o ，1 取定自然数吼 s ，使l h ( 古) 的对角线长簧 s 3 对，= 1 ，2 3 - 设= u k ( 却i 。, k 2 k ( 古) 时= 一c o a ，其中劢。表示的闭凸包则由此可定义模糊数w 童”，使f w r = w ，r ( “l ， ，= 0 ，1 ，2 3 第二章非紧模糊数空间因此由w 的定义知d ( w 】r ，i v ：】) = d ( m 。， 蚶) = d ( v ，n c o a 。)驯恍蟛。 ( f f + 1 ，f f 】) f 弧2 ，3bd ( 叱r ， w 1 7 ) 击 e 3由( 5 ) 、( 6 ) 、( 7 ) 式有f d ( 时，时) 毋f d ( 时，【v 1 】) d r + f d ( v 1 ，【v 2 】) d r + f d ( v ：w 】) d r| s4j + j + j = s 注意到所有的这类w 是可数的，p = 1 时可分性获证当p 1 时，空间( 伊，d 。) 的可分性类似可证捍对于广义距离空间( 壹”，d ，) ，我们定义以( “。雪”) 为中心，r ( o r ) 为半径的开球为b ( ，r ) = 协；d p ( ，“) r ，“分 ，以此为基础类似距离空间定义拓扑的方法可定义内点集、开集，这样就得到了( 童“，d ，) 上的一个拓扑我们把由此生成的拓扑称为由广义距离d 。诱导的拓扑如无特别说明，本文以后提到( 啻“，d 。) 的拓扑都是指广义距离d 。诱导的拓扑定理2 2 7 ( e ：，d ，) ，0 p a o ，是一个完备可分距离空间证明：完备性若 ) 是( 啻：，d ，) 中的c a u c h y 列，则同时它也是( 童”，d 。) 中的c a u c h y 列由定理3 ，3 u 童”，使d 。( ，掰) _ o ，r a _ o o f f “1 0 嘭( “，u r n ) + 吒( ，0 ) - 占+ l l u 。忆 o o 所以“廖完备性获证可分性1 p o oi f j ( e n , d 。) 的可分性证明见文 8 ，与文【8 】证明类似可证0 p 1 的情形1 4第二章非紧模糊数空间因此仅需证明e ”是( 卑，吒) 的一个稠子集v u 彰，坍1 ，令则有“。e ”，且有【“。 =“( x ) ，若“0 ) 一1mo ，若u ( x ) 二m ” ，若上，兰l ；m【。寸，若o r 一1，竹幽( ，【“】7 ) =o ，若上r 1m如( 阻】，【“】，) ，若o r 一1mb 硝( 【】7 ，m ) 咖= 培镅( 【“ 上，m ) d r2j j 睇( 【o 】， “ ) d r - - - 0 ，m 斗。r p n l i m d p ( u 。，“) = 0 所以，e ”是( 卑，砟) 的一个稠子集#注：定理2 2 7 可分性证明也可用定理2 2 6 可分性证明的方法，但由于广义距离空间( 童”，d 。) 中的元并不总能由具紧支撵的模糊数所逼近( 如下例) ，因此( 童“，a p ) 的可分性证明不能用如文献【4 1 定理1 4及本文定理2 2 7 可分性的证明方法例2 2 8 定义f 1 , x w = o ，1 】；“( z ) = 士，x ( 1 ，) ；l o ，其他因为d n ( “ ， o ) ) = 士，( o r 1 ) ，忡炉见古咖盛豢i 是。时“( x ) 盛茸，但“( x ) e ：( o p 1 ) 从而当p = 1 时，不可能存在f 中序列 u n 月1 ，使得d t ( u 。，u ) _ 0 ，n _ 推论2 2 9 ( 卑，d ，) 是( 童“，以) 的一个闭子空间证明：由定理2 2 7 即可得第二章非紧模糊数空间利用广义距离d 。，我们可以在童”上定义一完备可分距离：定义缈，= 黜芸掣锄，则几( ，) 是童”上的一个距离，仅证三角不等式，即证辟( “，v ) 砟( “，w ) + 砟( w ，v ) ，v u ，v ，w 雪”当w = “或v 时，三角不等式显然成立否则若d r 啦一，( “，w ) + a r c t g d ，( w ，v ) 盯2 ，三角不等式显然成立：若a r c t g d p ( u ，w ) + a r c t g d p ( w ，v ) 石2 ，要证岛( “，v ) 岛( ”，w ) + b ( w ，v ) ，只需证喀d r c 增以( “，v ) t g ( a r c t g d p ，们+ a r c t g d p ( w ，v ) ) ，即证d p ( u , v ) f d p 玎( u , 丽w ) + 河d p 万( w , v 万) ，由于丸满足三角不等式，因此要证上式成立，只需证d p ( “，w ) 以( w ，v ) 1 成立因为0 ( a r c t g d p ( “，w ) + a r c t g d p ( w ，v ) 厅2 ，a r c t g d p ( “，计+ 舢留面妨。石2所以a r c t g d p ( w ，v ) 口嗽百如即有吒( w ，v ) 瓦矗而，d p ( w ，v ) 1 吒( “，w ) i 由于户j 意义下的c m 劬y 列与d p 意义下的q m c h y 列是一致的( 即d 意义下的c a u e h y 列是d p 意义下的c a u e h y 列，反之亦成立) ，可知( ，p 。) 完备可分因此我们得到以下定理定理2 2 1 0 距离空间( 童”，成) 完备可分显然，距离n 与广义距离d ，在言“上诱导相同的拓扑x c a ，b 其。( 欠”) ，令吒( a ，b ) = ( 玎s 州1 4 + ( x ) 一b ( x ) l d x ) 石，0是a 。( r “) 上的距离定义第二章非紧模糊数空间d ：( “，v ) = ( h e f 。i “驴，x ) - v p ，x ) f 9 4 d x ) d r ) 片，其中“，v 分，为单位球面。上的l e b e s g u e 测度那么d ；是伊上的一广义距离另外，类似的我们可在童”上定义一致广义距离屯：丸( “，v ) = s u p 州o 1 1 如( “ 7 ， v 1 7 )记i l 圳l = g ( u ，6 ) ，我们有色= 扣童”舭1 乙 。) = e ”第二章非紧模糊数空问第三章非紧模糊随机变量模糊随机理论在数理统计、系统分析、随机控制等许多领域有着一泛的应用前景，同时又是经典统计理论的一般化，是“模糊数据统计学”，因此对它的研究无论是实际应用方面还是理论研究方面都有着重要的价值本章首先将非紧模糊数空间上几种模糊随机变量的可测性统一起来，然后借助于文 1 0 的做法对应于争阶实值随机变量引入非紧p 阶模糊随机变量的概念并讨论了它们的一些性质这是对文 10 】部分结论到伽维情形的推广最后用一种不同于传统的方法对一类非紧模糊随机变量的期望重新进行了定义3 1 非紧模糊随机变量的可测性本节对k r a t s o l x n e r 文【9 】中的方法稍加改进，把该文在上得到的若干结论推广到群上此外，文 9 】在理论上较易于推广到更一般的情形，但我们的证明更简洁设置为一集合，( 五，f ：) 为某拓扑空间，设有映射，：置斗x 2 ，) x 1 ) - = d c x 2 ，由于厂1 ( 毛l d ) = 厂1 ( 吒l _ ，) = f 。( 毛) ，因此，若厂进一步为单射，则由拓扑学知识知，：( 置，厂1 ( f ：) ) 斗( d ，t b ) 为同胚映射令乃。为d 。在r ( r ”) 上诱导的拓扑( 本节符号见第二章第一节) 记( r ( 彤) o 1 1 ，f ，) 为( r ( r “) ，。) 的乘积拓扑空间现在定义映射厅：覆( r ) ( 兵( 月”) ) 1 “。，西h ( 五】。o ，口( o ，1 n o 由它可确定挽( r ”) 上的一个拓扑：t = 协。1 ( g ) igef ，) ，文【9 】称7 为长( 彤) 上的乘积拓扑显然1 - 为单射因此1 8第三章非紧模糊随机变量万：( 挽( b ) ，t ) 寸( 牙挠( r 。) ，印i 。最。心，)为同胚映射又因为( 瓜( 月”) 1 n 。，印) 是一个p o l i s h 空间【9 ，p 3 】命题2 1 ) ，所以( 挠( 彤) ，靠) 可分可距离化记为t 在童”上的相对拓扑( 定义见【4 3 ) ，f 出为f t 在彰上的相对拓扑通过类似的讨论，我们可以证明引理3 1 1 ( 伊，f 争) 可分可距离化以下声明：若( z ，p ) 是一距离空间，我们记由距离p 诱导的拓扑为f 。；若( z ，f ) 是拓扑空间，我们记由f 生成的最小b o r e l 一集为b o r e l ( r ) 定义3 1 2 如果是b o r e l 空间( 置，置) 到b o r e l 空间( 五，岛) 的个一一的满射，且庐与矿。都可测，则称庐是( 置，骂) 到( 五，岛) 的一个可测同构映射如果b o m l 空间( 墨，毪) 与b o r e l 空间( x 2 ，岛) 之间存在一个可测同构映射，则称( 蜀，强) 与( 五，琶) 可测同构下面只在我们感兴趣的非紧模糊数空间壹”上讨论问题引理3 1 3( 1 ) i d l ：( 应“，b o r e ，( 珞) ) 斗( 童“，b 。r e ，( _ ) ) ，“斗“是一可测同构映射( 2 ) 就是( 童”，b o r e l ( v k , ) 的b o r e l ( 3 ) z 4 ：( 耷，肋旭，( 飞) ) 斗( 卑，b o r e l ( r a , ) ) ，甜h “是一可测同构映射证明：1 。先证腻是可测的对v “，v 童”，r ( o ，1 】，令煳锻黧黩赭由于如( 【“】7 ，i v ) 关于r ( o ，1 】右连续，则有! i r a 魂譬( ，) = 如( “n m 7 )1 9第三章非紧模糊随机变量于是由控制收敛定理葡l 睇( 时， v ) d r= l i m f ( 媚( 时， v 人n d r= l i m f 溉( 础( ，) ) 9a d r= l i r a l i m 。f ( 础( ，) ) 9a n d r= l i m l i r a 。k - 1l “。p ( 衙，时) 】人n固定“，如( 阻】 ， 】。) 显然是( 台“，b o r p ，( 。) ) 上的可测函数，再由上式知d ，( ”) 仍是( 童n ，b 。r 口f ( f 伊) ) 上的可测函数，所以对“在壹”中的占一奄b 域n ( u ，s ) = v 言”1 d ；扣，v ) s b o r e l ( r 伊)由于( 言”，d ，) 可分，因此有b o ，p f ( q ) c b o r e l ( r 伊) 所以耐是可测的2 0 由定理2 2 6 知( 童”，d 。) 是一个完备可分广义距离空间，由定理2 2 1 0 知，( 童“，d 。) 可分可距离化及引理3 1 1 ，由文献 4 4 ，p 2 2 】推论3知，( 1 ) 结论成立特别的，当取“= 6 ，s 取o o 时有e “p = u 量”i d a ( 6 ，u ) o q b d r e ，( 强) ，这样就证明了( 2 ) 注意到( 句，以) 是( 宫”，如) 的一个闭子空问，( 3 ) 显然成立#注：这里由于用到了( 伊，d 。) 的完备可分性从而大大简化了定理的证明实际上，由引理3 1 3 及文献【9 】定理6 1 的证明容易得到如下关系式：( 矾f p1 伊) 4 塑旦鸱( 如驴) 幽( 矾，)( 句，pl 船) 卜亘型啦( 句，r 卑) + 一旦塑啦( 卑t r i p )下面我们就依据不同的可测性概念来引入几种模糊随机变量定第三章非紧模糊随机变量义定义3 1 4 在概率空间( r 2 ，户，p ) 上的，一b o r e l ( r ) 可测映射x ：q - - + 挠( 彤) 称为这个空间上的模糊随机变量定义3 1 5 ( p u r i r a l e s c u ) 在概率空间( q ，zp ) 上的映射x ：q 斗铙( 彤) ( 雪“) 称为这个空间上的在p u r i , r a l e s c u 意义下的( 雪”值)模糊随机变量，如果x 的所有，- 水平映射瞵】：q 一其( 月”) ( ，( o ，1 )是，一b o r e l ( g 。) 随机紧