（运筹学与控制论专业论文）经济问题的动力模型理论综述.pdf

摘要 我们在这里考虑了经济学中收入分布情况，介绍了收入分布问题的背景、发展过程 以及现状我们还阐述了近几年一些人的工作，介绍了他们采用的数学方法以及得到的 主要结果然后我们建立了一个简单的二维市场经济动力模型，而且研究了长时间后经 济体的财富分布情况，并得到它的财富分布在取某种极限过程后恰好满足f o k k e r - p l a n c k 方程的弱形式之后我们分析了模型中存在的缺陷，并且指出了以后可能的研究方向 最后我们进一步讨论了数学方法对经济物理学的发展所作的贡献 关键词：经济物理学；b o l t z m a n n 方程；收入和财富分布；p a r e t o 分布 a b s t r a c t w ea r eh e r et oc o n s i d e rt h ei n c o m ed i s t r i b u t i o n si ne c o n o m i c s ，a n di n t r o d u c et h eb a c k - g r o u n do ft h ei n c o m ed i s t r i b u t i o n s t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s s 鹊w e l la 8t h ep r e s e n ts i t u a t i o n w e a l s oe l a b o r a t es o m ep e o p l e sw o r ka n dt h e i ru s eo fm a t h e m a t i c a lm e t h o d sa n dt h em a i nr e s u l t s i nr e c e n ty e a r s t h e nas i m p l et w o - d i m e n s i o n a ld y n a m i cm o d e lw a se s t a b l i s h e do nm a r k e te c o n o o m y ，a n dw es t u d yt h ei n c o m ed i s t r i b u t i o nb e t w e e na g e n t sa f t e ral o n gt i m e ，a tl a s tw eo b t a i n t h a tt h ew e a l t hd i s t r i b u t i o ns a t i s f i e se x a c t l yt h ew e a kf o r mo ff o k k e r - p l a n c ke q u a t i o na f t e r t a k e i n gs o m ek i n do fl i m i tp r o c e s s w ea l s oa n a l y z et h es h o r t c o m i n g se x i s t i n gi nt h em o d e l s ， a n dt h e nw ep o i n to u tt h ep o s s i b l er e s e a r c hd i r e c t i o n si nf u t u r e f i n a u yw ef u r t h e rd i s c u s st h e c o n t r i b u t i o n st h a tm a t h e m a t i c a lm e t h o d sd ot 0t h ed e v e l o p m e n to fe c o n o p h y s i c s k e yw o r d s ：e c o n o p h y s i c s ；b o l t z m a n ne q u a t i o n ；w e a l t ha n di n c o m ed i s t r i b u t i o n s ；p a r e t o d i s t r i b u t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名；魏。盈车i 望 日期： 迦 ：羔墨 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 趁v , r v 拉rs 皇r 靼罩。砼 指导教师签名塑肜 日 期；勉王上叼 电话 邮编 言 经济学无处不在，它不但紧密联系着每个人的日常生活，还攸关社会发展，人类进 步，人与自然的和谐众多优秀的学者一直致力于经济规律的深入探索，其中不乏数学 家和物理学家他们借鉴物理学中统计力学知识对经济体的财富，收入分布进行研究， 进而揭示金融资产价格涨落及相关变量概率分布尾部的幂律渐近行为，这性质引起了 人们广泛的兴趣 幂律出现在财富分布的研究中说来已有相当长的一段历史了，最早可以追溯到一个 多世纪以前意大利社会经济学家p a r e t o 研究西方国家个人收入的统计分布，他发现少数 人的收入要远远高于大多数人的收入，提出了著名的8 0 2 0 法则，即2 0 的人口占据了 8 0 的社会财富他在1 8 9 7 年第一次使用幂律分布【1 1 ， p ( x 茹) 一z 一9 上式即为p a r e t o 定律，个人收入x 不小于某个特定值x 的概率与x 的常数次幂存在简单 的反比关系，p 通常称为p a r e t o 指标还有其它形式的幂律分布，但它们在数学上是等 价的幂律分布其通式可写成： ! ，。一7 其中x 、y 是正的随机变量，c r 均为大予零的常数对上式两边取对数，可知l n y 与 i n x 满足线性关系i n y = l n c r l n z ，也即在双对数坐标下，幂律分布袭现为一条斜率为 幂指数的负数的直线，幂律表现了一种很强的不平等性，这种分布的共性是绝大多数事 件的规模很小，而只有少数事件的规模相当大 但是p a r e t o 当时错误地认为p 近似等予1 5 适合所有的分布，1 9 6 0 年bm a n d e l b r o t 提出了一个仅适合高收入的弱p a r e t o 律【2 】，首次发现指标在l 和3 之间取值最近十 年里对收入分布的研究发现p a r e t o 指标通常在1 和2 5 之间变动【3 - 5 1 ( 美国一1 6 ，日本 1 8 2 2 1 对美国1 9 8 3 年到2 0 0 1 年居民收入分布研究时发现全国总人口的3 占有着国家的大 部分财富，且呈现出简单的幂律模式，即经济学中的p a r e t o 曲线；其余9 7 人口的收入 分布曲线，与物理学中用来描述气体原子能量分布规律的曲线基本吻合人们还发现， 如果考虑通货膨胀的因素，那9 7 的弱势群体的总收入水平一直没有太大变化，但那3 人群的总财富在1 9 8 3 年到2 0 0 0 年间却上涨了5 倍一些来自其他国家的研究数据也印 证了这个发现 5 - 9 】，在【4 】中作者还借助计算机进行微观模拟， 在这里我们有必要指出，在开放的市场经济中，由于投资的作用，财富被不断地创 造出来，人类的财富总额是不断增加的但是富人会越来越富，穷人只会越来越穷，换 句话说，这拉大了贫富差距但是富裕阶层中的财富分配和增长规律至今仍未得到合理 的解释 对于以往封闭的，总财富守恒的经济体个数一定的经济系统模型，人们考虑到储 蓄因素带来的影响不能不说是一个进步人们对建立起的模型利用数值模拟和统计动力 学方法又得到财富分布服从幂律，例如g a u s s 分布，或b o l t z m a n n - g i b b s 分布，或f e r m i 分布这样现实经济体系得到了更好的描述 1 0 - - 5 , 1 7 】而近几年来类似理想气体的经济模 型和考虑开放经济中两个经济体之间财富交换模型开始吸引着人们极大的兴趣1 1 6 2 6 一 人们在随机的相互作用中交换金钱，就像气体原子在随机碰撞中交换能量，这种相 似性还表现在金钱就像能量一样能够储存但基于能量守恒定律。它们既不会无端出现， 也不会无故消失，只是被重新分配而已而在市场经济中。所有想要人为地重新分配的 做法可能都违背了自然规律 目前越来越多的数学统计方法被应用到金融和市场领域，从历史上看，现在所知的第 一次分析可从1 9 0 0 年法国数学家l b a c h e l i e r 的博士论文【2 7 l 中略见端倪，他把布朗运动 理论应用到了股票市场中评估股票期权的价值特别值得一提的是1 9 7 3 年数学家f b l a c k 和经济学家m s c h o l e s 从现代股票市场分析建立了人们称之为b l a c k s c h o l e s 方程的公式， 它同统计物理中的f o k k e r p l a n c k 方程密切相关这个公式从提出至今通行三十年，是金融 学的一块基石从此越来越多的人开始关注如何通过数学手段应用理论物理学的结果来 解决经济学领域中的问题，第二节我们介绍的几篇文章中的一些结果就和f o k k e r - p l a u c k 方程紧密相连 本文我们考虑了经济学中财富或收入的分布情况，分四节叙述问题第一节即本节 是引言部分，在这节我们主要介绍了收入分布闯题的背景、发展过程以及现状然后我 们介绍了本文的结构框架和内容安排 第二节我们主要阐述了最近几年里a c h a t t e u e e ，b c h a k r a b a r t i 和g t o s c a n i 等人 在研究收入分布时所利用的数学方法以及得到的一些结果首先我们简单介绍了一些需 要用到的基本知识，然后介绍了人们建立的各种各样描述经济交易的模型，罗列一些假 设条件，最后介绍了人们得到的定理及其用到的数学证明方法 基本介绍清楚近些年来人们关于研究社会经济所引用的一些主要数学方法及主要结 论后，在第三节将介绍作者本人受所叙述的文献启发建立的一个简单的二维开放经济模 型作者研究了长时间后经济体的财富分布情况，乖j 用b o l t z m a n n 方程描述收入分布， 然后对收入分布函数作时间伸缩变换，再对方程的弱形式取极限，最后得到变换后的收 入分布满足f o k k e r p l a n c k 方程的弱形式 第四节是讨论部分。首先总结了近几年人们研究财富分布或是收入分布得到的结果 及引用的数学方法，然后我们分析了迄今为止建立起来的模型中存在的不足，以及可改 进的地方比如模型对称性还是很强，还不能精确的模拟实际情况，在推导结论时许多 假设的条件还太过理想等等并且我们还指出了今后可能的发展方向 之后我们进一步讨论了数学方法对经济物理学的发展所作的贡献最近十几年利用 数学方法手段移用物理学中的结果来研究经济学取得了显著成果，但是经济物理学并没 有解释经济学具有某样特征的缘由而创新的数学工具和方法恰好弥补了经济物理学的 不足在这之前，数学工作者需要做的是引入新的数学工具和方法，这样人们才能更好 的观察和揭示经济规律 2 2 主要方法和结论 近些年理论物理学的一些结果经常被移用蓟社会经济学中，解决了许多问题当然 这个过程离不开数学方法，我们把目光放在最近几年人们解决问题时所用到的数学方法 及其得到的结论上在本节中我们将主要介绍g t o s c a n i ，a c h a t t e r j 畿和b c h a k r a b a r t i 等人的工作此前我们先对本节叙述中涉及到的一些基本概念作如下说明： d l ：本节提到的 皆代表数学期望 d 2 ：形如 。 羞= q ( ，) ( 2 1 ) 的b o l t z m a n n 方程，我们定义它的弱形式及它的弱解它的弱形式为， 爰厶m ) 她) d r = 厶叫，川啦扣) d r ， ( 2 2 ) 其中试验函数( 口) 属于一个恰当的试验函数空间，q ( ，) 代表一个含有，( ”) ，( ”) 的 积分式，比如； 弘卢；，( ，州( 饥) 一酬州( 圳) 如砌 方程中的字符在具体模型中将有具体含义，满足弱形式( 2 2 ) 的解，( 口) 称为( 2 1 ) 式的弱 解 d 3 ：我们定义f o k k e r p l a n c k 方程 万o g = 【( ( - + ；) ”一m ) + ；如未( 】 ( z ，3 ) 的弱形式及它的弱解，其中a 与m 为常数方程( 2 3 ) 的弱形式为： 导咖) 舭) d w = 几( 1 + ；) ”一m ) 4 - ；”未( 删m ”) d w ， ( 2 4 ) 其中试验函数妒( ”) 属于一个恰当的试验函数空间满足上述弱形式的解9 ) 称为f o k k e r - p l a n c k 方程( 2 3 ) 的弱解 d 4 ：令m o ( a ) 代表所有取值在a r 中的概率测度空间，定义 a 知( a ) = 8 且如：少l 埘| p d 秽( 铆) + ，p o ) d 5 ：令 代表所有取值在兄+ 中的概率测度空间，定义 w p = p m o ：i 叩1 9 口( q ) d r 1 ，我们再介绍几个基本概念； d f ： m s = 矿，o ( v ) d v ， m = h ，( u ) 咖 d s ： e ( 5 ) = ； - 1 d 9 = 瓣( s ) = i 1 d l o ： ， 仆k ；一。；妻群 d 1 1 ： f s ( 3 3 ) 6 0 = 2 5 1 ( 2 5 3 ) 【0 ( 1 2 ，y 的p 阶矩存在 结论：模型俾，纠的财富均值至少随着时间指数型增长，即 厶州州) d w _ e x p 鲁t ) 厶伽1 0 ( ”) d w ， ( 2 _ 8 ) 4 并且还有 厶协f ( w , t ) a w 唧 南t 厶埘f o ( ) d w j 正i 一7 j j 丑 类似也得到了高阶矩的估计 4 ，( ，t ) c z w e x p ；p ( p 1 ) 勺如( 玛，y ) 十 j 置 z 苦杀t ) 厶w q f o ( 叫) d w ， 当q p 时 证明；利用积分微分型的b o l t z m a n n 方程 筹= 上：厶( 州叫扣圳 一反。m ) _ + 1 这说明方程的平衡态服从指标大于1 的p a r e t o 分布，见文献【2 5 】 证明：对b o l t z m a n n 方程( 2 1 1 ) 的弱形式( 2 1 2 ) 作时间伸缩变换f = 7 t ，考虑玑( 埘，r ) 满 足的方程 导丘+ 咖) 咖如= ；厶厶轧。m 州) g ( 咖( 训 ( ( ) 一( ) ) c 。d w d 口d 仉( 2 1 6 ) 然后令7 - + 0 ，t 7 _ 0 ，使得t 7 2 = 7 a ，最终得到9 ( ，t ) 满足f o k k e r - p l a n c k 方程( 2 1 3 ) 的弱形式( 2 1 4 ) 注意f o k k e r p l a n c k 方程( 2 1 3 ) 与方程( 2 3 ) 等价 我们上面提到的方法技巧还可以借鉴来处理社会领域其他一些类似的问题，当我们 把社会活动的系统看成大数目，可变自由度系统时，同样我们可以移用理想气体中统计 力学方法来研究如g ，t o s c a n i 在2 0 0 6 年研究社会观念形成过程f 2 9 】，建立模型： j ”72t ，一“p ( 1 w 1 ) ( ”一 ) + w d ( 1 w 1 ) ( 2 1 7 ) i 以= 。一 p ( i 。f ) ( 。一) + 7 d ( 1 w 。f ) ， 、 7 其中，= 一1 ，1 】代表可能观念区间， 、w i ，( w ，”) 代表两个人交换前的看法， ( w 7 ，w ：) 代表两个人交换后的看法，p ( ) ，d ( ) 代表某种相关性 g t o s c a n i 给出： 定理2 3 假设下列条件成立； a l ：系数1 ( o ， ) a z ：q ，仉为均值零方差口2 的随机变量，并假定口( q ) 肘j + 6 是从一已知的零均值标准 方差的随机变量y 处获得，y 具有对称密度o ( r ) m 2 + 。，o 6 ，仍有俾，刀式成立 令初始概率密度o m o ( i ) ，作变换r = 7 ，考虑如( w ，7 r ) 代换概率密度，细，c ) ， 令1 叶0 ，c r _ + 0 ，使得口2 = y x 结论；极限概率密度夕，r ) 满足的方程恰是f o k k e r - p l a n c k 方程 万o g = ；万( 9 孑2 ( d ( 1 i ) 2 9 ) + 未( ( 叫一m ) 9 ) ( 2 1 8 ) 的弱形式 导( 加) g ( ”胁= 唁昙( d ( ) 2 毋) + 嘉( 一m ) 删9 ( ) 如， ( 2 1 9 ) 其中( w ) 是试验函数，( ，) 为d 4 所述 证明：g t o s c a n i 利用，( 口，t ) 满足的b o l t z m a n n 方程 甏= 厶：( p ；州”) ，( ，”。) 一z f ( ”) ，( 加) ) 如。却机 ( 2 2 0 ) 的弱形式 爰z ：( ) ，( 枷，t ) d ”= z 。厶。反。) ( 一，试) ，( ”) ，( 伽。) 6 ( ( ) 一毋c w ) ) d w d w d 叩却。 ( 2 2 1 ) 来考虑问题，其中转移率由如下形式表示， 反。，。) + ( t l ， 以) = 口( 目) 日( m ) x ( i ls1 ) x ( 1 以l 曼1 ) ， 这里x ( 4 ) 是集合a 的示性函数，口( ) 是对称的概率密度作时间伸缩变换r = 7 t 。用 外( t ，r ) 代换f ( w ，t ) 满足的方程( 2 2 1 ) ，得到 导：。毋( 埘) 9 ( w , t ) d w = ；：厶：反”，。卜以) 9 ) ，( ”+ ) ( ( ”) 一( ) ) d 执如砌d 仉 ( 2 2 2 ) 然后令1 _ 0 ，盯- 0 ，使得0 - 2 = ，最终同样得到f o k k e r p l a n c k 方程的弱形式( 2 1 9 ) 这样同1 2 5 】中的方法g t o s c a n i 得到了社会观念分布服从f o k k e r - p l a n c k 方程 2 0 0 6 年八月d m a t t h e s 和g t o s c a n i 在考虑守恒经济时对以往的模型进行了归纳总 结f 2 6 j ，建立了一般的动力模型： 矿_ p 州+ q l 伽( 2 2 3 ) 【坩。p 2 v + q 2 w ， 其中( 弘”) 代表两个个体交易以前拥有的钱数，( 矿，矿) 代表交易以后拥有的钱数他们 俩得到： 定理2 4 假设下列条件成立； a 1 ：方程偿，别中的交换系数p 。，q l 满足 = 1 和 = 1 ，这里 代表数学期望 a 2 ：用b o l t z m a n n 方程偿纠 瓦o f = q ( ，) 来描述方程俾别的财富分布密度，令，l ( 砖，2 ( t ) 是b o l t z m a n n 方程偿j ，的两个解， 分别对应初始值f l ，0 和丘0 ，满足条件 ，i ，o 扣) d r 。l ， ，儿 其中m = ”，( ”) 幽为常数 a s ：也( 0 ，2 0 ) 对某些正常数s 有界 结论：对于所有的t20 ，有； u o 扣) d r ：m ， j r + d s ( f l ( t ) ，丘( t ) ) e x p ( ； 一1 ) 玎如( ，o ，2 ，o ) ( 2 - 2 4 ) t = l 特别的，如果，0 非负，那么对于模型偿霉剐方程停，j ，存在唯一的一个弱解，( t ) ，并有 i ( o ) = o 而且，当 ( ； - 1 ) 0 ( 2 2 5 ) l = i 7 时，有 和，2 的距离d o 随时间指数衰减 证明：d m a t t h e s 和g t o s c a u i 利用b o l t z m a n n 方程( 2 1 ) 和其弱解形式( 2 2 ) 来处理同 题。这种动力方程类似于描述m a x w e l l 分子的b o l t z m a n n 方程f 3 3 - 删随后d m a t t h e s 和 g t o s c a n i 引入了数学中强有力的工具- f o u r i e r 变换来处理方程( 2 1 ) ，得到 皇掣：国( 彻( ( 2 2 6 ) 优 ”“。” 、” 然后利用a 知空间中距离d 。的定义对d a ( f l ( t ) ，2 ( t ) ) 作估计 之后二人得到： 定理2 , 5 假设下列条件成立： a 1 ：( s ) 有限且不为零 a 2 ： m ，= | 矿知( v ) d v 0 ，那么当t - 0 0 时，有 慨+ 等埘+ d ( 1 ) s 销曼耐+ 紫删( 1 ) ( 2 z ，) 2 如果( ( 5 ) 0 ，那么对于所有的t ，s 阶矩有界，且当t _ + 时，有 帮m ( 1 ) o 俐v , t 幽s ( 黼卜m ( 1 ) ( 2 2 8 ) 余项o ( 1 ) 按指数快速收敛到零，见文献p 皇胆银 证明：由( ( s ) ，鸵( s ) ，d 。，0 。的定义，易知 辩( s ) = ； ； ( ( ( s ) + 1 ) ， 然后对兰矿，( u ，t ) d v 进行放缩可得定理2 5 ，r 他们又有： 定理2 6 假设下列条件成立： a 1 ：存在8 使得e ( s ) 0 a 2 ：令，( 口，t ) 是b o l t z m a n n 方程俾砂的弱解，若初始密度，o 满足 f 伊f o ( ) 幽 元时，逐点守恒的交易模型( 2 2 3 ) 满足 sl ，i = l ，2 ， ( 2 ，3 2 ) 那么对于ks 元一1 ，可以找到正常数a ，有 “sk ! a i ， 然后再定义a = a ( 煎) 为n 的最小值二位作者给出了： 定理2 7 假设条件成立： 相应于逐点守恒交易 p l + p 2 = 1 ，g l 十q 2 = 1 的模型俾2 纠满足偿删式令，o 。( 口) 是方程偿纠唯一的稳态解 结论，存在一个正常数b = 6 ( 面) ，使得，。( ) 当口_ 0 0 时快速指数衰减，即 e x p ( b 口) ，磊( 口，t ) d v ，( 2 3 3 ) j n 且稳态解最后收敛到一个g i b b s 分布 9 ( 口) = 面1 e x p 一口伽m ) ( 2 ，3 4 ) 证明定理2 7 利用到资本量m ；( t ) 满足的方程( 2 3 1 ) ，还有条件( 2 3 2 ) 式 d m a t t h e s 和g t o s c a n i 又把方程( 2 2 3 ) 写为； ；= 二麓骞， 协。s ， 和，伽) = ( 1 一a ) 【( e 一1 扣+ c w ， 这里0s s1 是一个随机分数，或者简化取s = ；，这相当于， ：篡15 ：) 驾甚m 1 嚣1 劣， 偿a 。， ip 2 = ( 一 ) ( 1 一e ) ，9 2 = 一( 一a ) e ， 其中a 【0 ，1 】为给定的储蓄系数，易见系数关系式( 2 , 3 6 ) 是逐点守恒的二位作者接着 得到： 推论2 8 假设相应于逐点守恒的交易偿? 印的方程偿刎满足定理2 7 的条件 偿删，令，。o ( ) 是方程俾，纠唯一的稳态解 结论：存在一个正常数h ，使得( 口) 当口叶o 。时快速指数衰减，即 a + e x p ( b v ) k ( ”，t ) 幽 。， ( 2 3 7 ) 进一步还有，h 与储蓄系数a 成比例 证明方法同定理2 7 方程( 2 2 3 ) 还被d m a t t h e s 和g t o s c a n i 写成： ：+二(11”-+)k)v1一+w1 , k w 2 ”- t + - 0 1 w ”， ( 2 3 8 ) l= (， 其中a 是一个常值储蓄率，q 和日是相互独立的随机变量，它们的均值都为零，方差都 是口2 对比方程( 2 2 3 ) ，有： ；暑i 暑意 但是此时交易只是在均值的意义下守恒了，因为此时p l + p 2 = 1 - i - q 1 者d m a t t h e s 和g t o s c a n i 又得到了： 推论2 9 假设下列条件成立； ( 23 9 ) 类似推论2 8 作 a 1 ：平均意义下守恒模型馏，s s ) 的系数关系式偿3 9 ) 满足条件俾删，令k ( u ) 是方 程偿纠唯一的稳态解 a 2 ：随机变量矸与亓在区间【一p ，+ p j 内取值，这里0 p 入，p - i - 1 结论：存在一个正常数纸，。，使得，o 。( 口) 当 - 0 0 时快速指数衰减，即 be x p ( b x ，p 口) 氏( ，t ) d v o 。 ( 2 4 0 ) 具体证明过程详见 2 6 】 对于模型( 2 3 6 ) ，d m a t t h e s 和g t o s c a n i 还提出了储蓄系数随经济体的不同而异的 模型，如 ：耋。1二乏裂轰-e：),qt一=1q 21 。0 1 薯 亿t ， lp 2 = ( 一a 。) ( 1 一e ) ，= 一( 一 。) e ， ”。 这里储蓄系数k 和k 分别依赖口和u ，且皆随时间发展而改变对于方程( 2 4 1 ) 的问 题还有待进一步的研究 1 0 无论对于市场经济还是金融市场，还有一些作者研究n 个经济体，总财富守恒的经 济模型a c h a t t e d ，b c h a k r a b a r t i 等人在研究封闭经济中收入分布时，建立起类似 理想气体的交易市场模型他们把每个经济体看作一个理想气体分子，每次交换看成是 气体分子间一次弹性碰撞，封闭市场中钱的总数一定，好比理想气体中能量守恒但是 和理想气体相区别的是，经济体有储蓄的性质，a c h a t t e r j e e ，b c h a k r a b a r t i ，s m a n n a 在2 0 0 4 年初引入了储蓄系数0 1 ，建立模型； m i ( t + 1 ) 。t ( 。) + m( 2 4 2 ) 、i j l 嘶o + 1 ) = 嘶( t ) 一a m ， 、 其中a m = ( 1 一a ) 陋( m t ( t ) + m j ( t ) ) 一m ( t ) 】，佻( t ) 为第i 个个体在时刻t 所拥有的钱 数。e 是一个随机分数 用p ( m ，t ) 表示钱数m 在时刻t 的分布，利用数值模拟方法a c h a t t e r j e e 等人得到结 论：p ( m ) 一m 一( 1 1 ，其中口= 1 ，同时三位作者还分析了p a r e t o 分布和g i b b s 分布的 稳健性【1 4 】 一年后，a c h a t t e r j e e ，b c h a k r a b a r t i ，r s t i n c h c o m b e 又改进了模型( 2 4 2 ) ，建立了： m忙i(t+i)a翥1慧讲q-ai胁“。)+(1-ajm3(t 11 e i j ) ( 1a i ) r n i ( t1 嬲k ( 2 4 3 ) l+ ) = 1 j m ，0 ) + ( 一 一 ) + ( 一) ”j ( t ) 】 、 与模型( 2 4 2 ) 比较，显然有 a m = 8 巧( 1 一a j ) 一( 1 一九) ( 1 一e o ) m i ( t ) ， 其中是随机分数。储蓄系数k 随机分布，且因交换个体不同而不同， 了实际情况a c h a t t e r j e e ，b c h a k r a b a r t i ，r s t i n c h c o m b e 得到2 定理2 1 0 假设下列条件成立： a 1 ：对于= i a m i 的平衡态概率分布d ，满足 d ( a ) = d a d ( a ) = 2 ， 这里 代表a 分布平均意义下，6 函数为广义函数 a 2 ：d ( a 1 一一【h 州 a a ：8 具褒对称务毒， 这样更加符合 ( 2 4 1 1 a 4 ：取一致的储蓄系数a ，对于0 1 ，概率密度函数p ( a ) = 1 结论；市场中钱的分布p ( m ) 服从m 一( 1 + w ，并且 = 1 证明：a c h a t t e r j e e ，b c h a k r a b a r t i ，r s t i n c h c o m b e 考虑不同经济体之间的财富差异 ( a r a i j ) t + l ；f m i 一”巧) 件i ：( 生芸) ( a m i j ) 。+ ( 生 立) ( m i + 叻) 。+ ( 2 e 0 1 ) ( 1 一九) m ( t ) + ( 1 一) ”j ( t ) 1 ，( 2 4 5 ) 其中( a m i j ) 代表第i 个交换个体和第j 个交换个体在时刻1 时的钱数差当钱的 总量一定，即( m i + ”巧) 为常数，考虑= 的情况，重写了( m 巧) 件1 满足的方程为 ( a r r k j ) t + l = a i j ( a r n i j ) t + 助( 佻+ 嘶) f ，( 2 4 6 ) 这里a 玎= ；( + ) ，岛= ( 丸一) ，并且0 口 1 ，一； 卢 利用假设条件及( 2 4 4 ) 式，a c h a t t e r j e e ，b c h a k r a b a r t i ，r s t i n c h c o m b e 得到 1 = 2 d a a 7 = 2 ( 1 + ，r ) 一， 即 = 1 这表明市场中钱的分布尸( m ) 服从m 一( 1 + ，并且 = ，y a c h a t t e r j e e 三位作者又用b o l t z m a n n 型方程考虑了随时间发展的分布p ( r n ，t ) ，仍 取= ，重写方程( 2 4 3 ) 为 h1 ：a 卜1 叻r n i 。 这里a = ( ：；荨) ，p 士= ；c 士 接着他们把带有p ( m ，t ) 的方程写作b o l t z m a n n 型 ( 2 4 7 ) ：! + p ( m ，t ) = ( 2 4 8 ) v b j， 与【1 4 】一样，得到u = 1 ，具体数值模拟过程见【1 6 。1 7 ，19 】 2 0 0 6 年a c h a t t e r j e e 等人又进一步考虑了储蓄系数a 随时间改变的情况，发现当a 在k1 ) 里随机变动时，收入分布的p a r e t o 指标为l 【1 8 ，2 0 1 但是他们主要还是利用数值模 拟去分析财富分布的性质，本文略去具体过程 到此，近些年来人们关于研究社会经济所引用的一些主要数学方法及主要结论我们 基本上已经介绍清楚了下一节将介绍作者本人受所叙述的文献启发做的一点工作，我 f 】关心开放经济中两个经济体闯交换两种相互影响的商品对总的财富分布情况，建立了 一个简单的二维模型然后假设财富分布满足一个b o l t z m a n n 方程，作者得到了分布函 数的一些类似的结果，并且给出了详细的证明过程 1 2 3 一个二维模型 3 1 预备知识 建立模型前我们首先给出一些定义。 定义3 1 1m ：是所有概率测度在r 中的空间， 磊= 8 m o ：j r t , ，1 8 ( 碍) 却 2 ，y 的p 阶矩存在 x = ( 枷j r w 2 f ( w 舳, t ) d w ) ， a = 7 p 细) 妒( ，7 o ) d 7 ，a 。= r p ( 7 。) 妒( q 。o ) d ，“， j rj r 1 4 b = ( 一车a _ 挈a ) ， x e m x o ( 3 6 ) y = ( 缓篡) ， j = ( 5 p 扫j 。矿五善) ， y e t i 。 ( 3 7 ) 证明取初始概率密度，o ( w ) 砩，p 1 任何概率密度，g 1 ( 兄+ ，) 皆满足弱形式 差厶。咖( ) ，( ”，t ) 幽= 丘。上。( 反饥) + ( 。) ；，( ，”) ”。) 一段”，”) _ + ( ，”：) ，( ) ，( ) ) 妒( ) d ”d t ，d q d 仉 = 厶。厶( 轧胁h 伽) 伽) ( 咖，) - 咖( w ) ) d w d w 。d q d r l ， 对t 0 ，所有庐昂( r 2 ) ，并且 髑厶：咖) f ( w , t ) d w2 厶( ”) ，o ( ”) 幽- ( 3 8 ) 令( ”) = 1 ，有 上。f ( w , t ) 如= 1 我们分别取妒) = 幻l 和w 2 ，则 d f rw l f ( ”，t ) d ”= f 。f a , b 细，。) + ( t l ，。：) ，( ”) ，( ”。) ( 仰i 一叫1 ) d w d w 。d 目d r l ( 3 9 ) 再由积分的对称性可知，上式右端等价于 厶：j r f ( w ) f ( w ( m o l 一目。蚴) 口( q ) p ( m ) 妒( t l i + 以o ) 妒( 加：l + ：2 o ) 不妨令留i 蛾，鼓缩上式，我们得到 上式厶：厶，( ) ，( t ，町( 叫1 一n 2 ) 口( q ) 巾( 12 o ) 妒( 仉o ) 等厶。，( ) ( t l ，1 - a 2 ) 鼬， ( 3 - l o ) 其中上；p ( 啦) 妒“o ) 鲰= 互1 ，f a 。r o ( ”) 妒幻o ) 砌_ a 旦d t 厶。撕，( ”，t ) 如鲁厶，( 训一( 1 一。) 加+ w 。) d w ， ( 3 1 1 ) 1 5 其中厶仉p ( 叩) 妒( 叩o ) d 叩，：= 故我们有文b x ，定理3 1 中( 3 6 ) 式得证 下面取妒( ”) = 嵋和) = 进去证( 3 7 ) 式，有 丢厶嵋，( 叫，t ) 如= 厶厶卢，( ”) ，( ( m l 一r ) d w d w + 却妣 厶丘。p ( q ) p ( 仉) ，( t j ) ，( w ) ( 一1 w l l 9 ) d w d w 砌机 + 厶厶口( _ ) 口) ( 1 一妒( i + 以 o ) 妒( ：l + 以2 o ) ) 嵋。 f ( w ) f ( w ) d w d w + 却d , 7 。( 3 1 2 ) 我们把右端第一项记为( + ) 式，第二顼记为( ”) 式易证 ( + ) ：厶。u r f 1 f ( w ) d w ( 3 1 3 ) 为了估计( + ) 式，对l ”i p 作泰勒展开， i ：1 9 = 川+ p 研一1 ( 加i 一 1 ) + ；p 一1 ) l t g l p 一2 ( ：一 1 ) 2 面1 = o w i + ( 1 一o ) w l ，( 3 1 4 ) 那么 ， ( + ) 。r 。厶。口( q ) 8 ( 仉) ，( 伽) ，( ) ( p 嵋一( 一7 1 + ，y l + q ( 虮一d 2 ) ) + 互1 p ( p 一1 ) 1 w l 一一