（应用数学专业论文）矩阵微分方程的振动性理论研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 矩阵微分方程的振动性理论研究 摘要 矩阵微分方程的振动性理论起源于各种不同的应用数学和物理领域，是微 分方程理论中的一个重要分支在应用数学中得到了迅速发展 本文利用推广的黎卡提变换，积分平均技术及正线性泛函对线性矩阵h a m i ? t o n i a n 系统和含阻尼项的二阶矩阵微分方程进行了进一步的研究得到了一些新 的成果 根据内容本文分为以下三章： 第章概述了本文研究的主要问题的重要性 第二章在这一章中，我们分两节研究了线性矩阵h a m i l t o n i a n 系统 x 2 4 水) x 十口( 亡) y t 幻，( 2 11 ) ly = g ( ) x a 4 ( t ) y ， 的振动性判定准则其中x ，ka ( t ) ，b ( t ) ，g ( t ) 是实n n 矩阵值函数， b ( 巩g ( ) 为对称矩阵， b ( ) 为正定的即：b ( t ) = 口+ ( ) o ，g ( t ) = ( ) 这里用m + 表示m 的转置 本章中，我们建立了线性矩阵h a m i l t o n i a n 系统( 21 1 ) 振动的若干充分条 件。其中的非平凡解，预备解，系统的振动睦我们如下定义： 定义1 系统( 2 1 1 ) 的一个解伍( t ) ，l ，( t ) ) 称为非平凡解如果至少存在一 个t l 。) ，使得d e t x ( t 1 ) o 定义2 称系统( 2 1 1 ) 的一个非平凡解( x ( t ) ，y ( t ) ) 为预备解如果对任意 的t o 。) 都满足 x + ( t ) y ( t ) 一y + ( t ) x ( f ) = o 定义3 称系统( 2 1 1 ) 为振动的如果对系统( 2 1 1 ) 的每一个非平凡预备 解( x ( ) ，y ( ) ) ，对任意的t t o ，总存在t l t 使得d e t x ( t t ) = o 其主要结果如下： 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 1 1 设在o o ) 上存在实值光滑函数，( t ) 满足n ( t ) 打( b 一1 ( ) ) m ( m o 为常数) ，其中n ( ) = e x p ( 一2 ，( ? ) 出) 如果 涨籀巾珈s 灿卜一 ，紫搿a t + 蹦小。， ，舞刍f 聊，+ e 蹦s ) 卜= + o 。 ( 3 ) i 油a p p r o x s u p 九i d ( ”上。耶) 出= 佃， ( a ) i m a p 呻t n + 小 d ( t ) + ( 耶) d s 一。， 那么称系统( 2 1 1 ) 为振动的其中 邢) 一) b - 1 删一吣) 州s ) b - l ) d s 并且 e ( t ) = 一n ( t ) g ( t ) + ，( t ) ( b 一1 a + 4 + b 一1 ) ( t ) + ( ，口一1 ) ( t ) 一( ，2 ( t ) b 一1 ) ( t ) 1 定理2 1 2 如果 黜；小+ f 酬小o 。 并且 印弘嘲婶“。h 聊) + r 踯) a s j = 胁一矗， 则称系统( 2 ，1 ，1 ) 是振动的其中口( ) ，d ( ) ，e ( ) 与定理2 ，1 1 中相同 注2 1 1 定理2 1 1 和定理2 1 2 分别是文 3 】中定理2 1 和定理22 的推 广事实上，当a ( ) = 0 ，b ( z ) = j ，g ( t ) = 一q ( ) 时，我们令，( t ) = o ，o ( ) = 1 则本文的定理2 1 1 和定理2 1 2 就分别退化为文【3 中的定理2 1 和定理22 曲阜师范大学硕士学位论文 日_ 1 ( 岛n ) z 。 日。) 9 d ( 3 ) + ； ( s ，。) 9 旧f 1 ( s ) ) 五 + h - l c ) z 6 踯，咖【d 1 j + 担吣) 9 【b - 1 ( 枷卜 。 2 1 6 ) 那么，d e t x ( ) 在 。，6 上至少有一个零点 定理2 2 1 如果对任意的t 如，都存在n 一，c r ，g 1 。) 和 日，满足t o c 6 并且( 2 21 6 ) 成立那么，系统( 211 ) 为振动的 注2 2 1 在( 2 2 1 6 ) 式中选取不同的正线性泛函9 ，则由定理2 2 1 知会产 生对应于系统( 2 l 1 ) 的不同的振动性判据 推论2 2 1 设存在，g 。) ，打，对任意的r2o o 都有 恕s u p z 。( 耶，咖 d 1 】+ 扣s ，咖【b f ) ) d s 。， ( 2 z 1 7 j 和 规s u p z 。( 即，咖雕叫+ 担如) 。 b 铡) d s 。 ，s ) 哥口么，系统( 2 1 1 ) 是振动的 定理2 2 2 设对每一个t 如，都存在，伊h2 c o ，h 五及。c r 满足t 。 o 为常数) 则 ，t o oi 5ac o n s t a n ；) ，w h e r eo ( t ) ： ，嗍弓小+ 酬s d f 一。 - i 鬻p ；r 1 a - d + f ec s 灿 出= + 。， - ；鬻亭肿t ( 聊，+ ( 驯s ) 卜= 慨 ( 3 )l i m a p p r o x s u p r - + 。o a ld ( t ) + e ( s ) d sl = + ， ( 4 ) l i m a p p r o x i n r _ + o 。a 1ld ( ) + e 扣) d si = 一。， h o l d s ，w h e r ed ( t ) = 一o ( ) b 一1 ( t ) a 0 ) 一正：。( s ) 4 + ( s ) b 一1 ( s ) a ( s ) d s a n d e ( t ) = 一o ( f ) e ( ) + ，( t ) ( b 叫a + a + b 。) ( t ) + ( ，b - 1 ) ( ) 一( ，2 ( t ) b 一) ( f ) t h e n ( 2 1 1 ) i 8o s c i l l a t o r y t h e 。r e m 2 1 。2a s s u m el i m i n b _ + 。手打f d ( t ) + e ( s ) d 3 1 砒= 一o c t h e nf 2 1 ，1 ) i 5o s c i l l a t o r yi f ，t m 印郴s u 吣“陆) + 邵) d s 彳盼一。 曲阜师范大学硕士学位论文 f u n c t i o n a lo n 毗gi ss a i dt 。b e “p o s i t i v e ”i f9 ( a ) o 。w h e n e v e r4 护a n d a 0 w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t so fs y s t e h l ( 2 11 ) ： l e m m a 2 。2 。3a s s u m e 僻( ) ，y ( ) ) i sap r e p a f e ds o i u t i o no f ( 2 1 1 ) a n d x ( ) i sn o n s i n g u l a rf o rt c ，6 】t h e n f o ra n y ，c r l c ，6 a n dh ， z 6 ( 6 ，s ) 口p ( 圳+ ； l ( 6 ，s ) 口( b f l ( 圳) d s 一日( 6 ，c ) g 【p ( c ) 】( 2 2 1 1 ) l e m m a 2 2 4a s s u m e ( x ( ) ，y ( t ) ) i sap r e p a r e ds o i u t i o no f ( 21 1 ) a n d x ( ) i sn o n s i n g u l a rf o rt 【n ，c t h e n ，f o ra n y ，e 1 【盘，c 】a n dh ， z 。 日( s ，n ) g d t ( s ) + ： ；( s ，n ) g b i l ( s ) ) d 3 芝( c 1 。) 9 p ( c ) ( 2 214 1 l e m m a 2 2 5a s s u m e ( x ( ) ，y ( t ) ) i sap r e p a r e ds o l u t i o no f ( 2 1 1 ) s u p p o s ea l s ot h a tf o rs o m ec ( o ，6 ) ，t h e r ee x i s t ，g 1 。，卅a n d 日，s u c h t h a t 日一1 ( c ，。) z 。 日( s ，) 9 。t ( s ) j + ；矗 ( s ，n ) 9 f 8 f 1 ( s ) j ) d s 堕熊蠢堂亟主堂丝迨塞 w ek n o wt h a tf o ra n yn 几s y m h l e e r i em a t r i xm i t se i g e n v a l u e s a r er e a l ”1 ”b 。r sw e a l w a y sd e n o t eb ya l m 】a 2 f m j 三a 。f m l ，a n da su s ua j m l = 竺，a 。 m 1 _ w es t a t et h e 埘a i dr e s u l t sa s 蚴i o w s ： l e m m a 3 1 2a s 8 u m e 帆( 3l 1 ) i sn o n 删c a t o r yo n 亡0 ) 。) ：a n dn ( ) 茎 m 。( m ui sac o n s t a n t ) ，f o rf o c ) t h e n o o i sac o n 8 t a n t1 ，t h e n p t o _ 。， 则下列条件 ，i 嬲p 事f 州t = 椭 1 i 鬻9 孛。俨( 州扛悃， 1 i m a p p r o x s u p - 。v ( t ) = + 。， l i m a p p r o x i n 。v ( ) = 一。， 其中之一成立时，由定理2 1l 知系统( 2 1 3 3 ) 为振动的 情形2 如果 一嘞喀r 喇一。， 并且 - t m a p p r 。x s u p 。a 。p e t ，+ ：e c s ，d s 一。c ， 则由定理2 1 2 知系统( 2 1 3 3 ) 为振动的 注2 1 3 由于连续函数6 1 ( o ) ，6 2 ( t ) o ，g l ( t ) ，c 2 ( ) 及( ) 为任意的，因 而v = a ( t ) 矿的基解矩阵很难求出故定理a 和定理b 很难应用于( 2 1 3 3 ) 2 2线性矩阵h 姗i l t o n i a n 系统的振动性的区间判据 对于系统( 2 1 1 ) 及系统( 2 1 3 ) ，关于它们的振动性及非振动性结果已出 现很多( 见文 1 1 4 ，6 ，1 0 ，1 l ，1 5 一1 6 ，2 2 2 3 】) 但其中大多数都借助于系数矩阵 q ( t ) 的积分，需要考虑系数矩阵q ( t ) 在整个半轴o o ) 上的性质因而，这 些振动性判据很难适用于当系数矩阵q ( t ) 在整个半轴，o 。) 上有一些特殊 曲阜师范大学硕士学位论文 情形尤其是a 。 f 0q ( s ) d s = 一。的情形在文 2 3 中，作者所得到的振动性 判据可适用于上述特殊情形但判据主要依靠系统( 2 1 1 ) 的系数矩阵以及线 性方程组= a ( t ) y 的基解矩阵圣( ) 然而，对于一般的n n 矩阵a ( t ) ， 并无有效的方法可以求出线性方程组y = a ( ) v 的基解矩阵西( ) 。因此，文 r 2 3 i 所得到的结果就很难应用于系统( 2 11 ) 的一般情形 本文受文2 3 1 的启发，给出了系统( 2 11 ) 的振动性判据它摒弃了对线 性方程组v = a ( t ) y 的基解矩阵垂( t ) 的使用，仅依赖于系数矩阵在l t o ，。) 的某些子区间上的性质采用正线性泛函，积分平均术及黎卡提变换建立了新 的区间振动性判据这些判据也能有效的适用于二阶自伴微分系统( 2 13 ) 及 一些特殊情形如a - u 孑q ( s ) d s l = o 。 为方便起见，现将本文中所用到的文献中的定义列举如下： 定义2 2 1 f 2 3 】令d = s ) ：f s t o 如果函数h g ( d ，r + j 并 且满足 日( t ，t ) = o ，h ( ，s ) o ，# 三s2f o ，( 2 ，21 ) 而且有连续偏导数日日税和a 日挑在d 上满足 警呐似s ) 归两，警= 榔，s ) 侮两， ( 2 2 2 ) 其中 1 ， 2 g ( d ，兄) 那么，称函数日= 日( t ，s ) 属于亟数类，记作h ， 定义2 2 2 f l o 】设蹰为实值n n 矩阵函数全体，护c 跄为礼x 扎对称 矩阵全体，9 为定义在蹰上的一个线性泛函如果对任意的a 舻及a 0 都有9 ( a ) 0 ，则 x 篁三要 垡丝堑堕坚! 翌! ! ! ! 呈! 塑墨笙盟堡型堕型塞堡型 一 的非平凡预备解并且当t n ，卅时，x ( ) 为非奇异矩阵令 ( ) = o ( ) y ( f ) x _ 1 ( t ) + 厂( f ) b - 1 ( ；) ， t n ，6 ( 223 ) 由于皤( t ) ，y ( t ) ) 为预备解，故( t ) 为对称矩阵且( ) 满足下列方程： w 讹) = e l ( ) 一a + ( t ) w ( t ) 一( t ) 4 ( ) 一彤( t ) b 1 ( ) ( ) ，t k6 】，( 2 2 4 ) 其中 b l ( 归赤即) ， ( 2 2 5 ) q 0 ) = n 0 ) e ( ) + ，( t ) b 。( t ) a ( t ) + a 。( t ) b - 1 ( ) + ，( t ) b 一1 ( t ) 7 一，2 ( t ) b 一1 ( t ) ) f 2 2 6 1 令 - p ( t ) = 计7 ( t ) + ( 日i 1 a ) ( ) ( 22 7 ) 则由( 2 2 4 ) 式知 p 。( t ) = ( b f l a ) ( ) + g 。( ) 十( _ + b _ 。a ) ( t ) 一( p + b l p ) ( t ) ， ( 22 8 ) 或 d l ( t ) = p ( t ) + ( p + b 1 p ) ( t ) ( 2 29 ) 其中d 1 “) = ( 尽f 1 a ) ( t ) + g l ( t ) + ( a + b i l a ) ( t ) 引理2 2 1 1 0 设g 为虢上正线性泛函那么，对任意的a ，b 霉都有 g ( a + b ) | 2 曼9 ( a a ) 9 ( 日4 b )( 2 21 0 ) 引理2 2 2 设9 为靴上正线性泛函则对任意的p 鸵及_ b 护且 b 0 有 g 【p 钟3 南9 2 【薹 曲阜师范大学硕士学位论文 证明：由引理2 2 1 知 引理2 2 3 设( x ( t ) ，y n ) ) 为系统( 2 1 1 ) 的非平凡预备解并且对任意的 c ，6 】，x ( t ) 为非奇异矩阵则对任意的，e 1 c ，6 】及日f 都有 z 6 h ( 6 ，s ) g 【。- ( 驯+ ；燧( 6 s ) 9 b i l ( s ) ) d s 一日( 6 ，c ) g p ( c ) ( 2 2 1 1 ) 证明：用h ( 6 ，s ) 乘以( 2 29 ) 式两端并将( 2 2 9 ) 式中的用s 代替，然 后对s 从c 到6 积分，则由( 2 2 ，1 ) 和( 2 22 ) 可碍 z 6 f ( 6 ，s ) i ) t ( s ) d s = = z 6 上，( 6 ，s ) p ( s ) d s + ，6 正f ( 6 ，s ) ( 尸+ 日。尸) ( s ) d s = 一日( 6 ，c ) p ( c ) + 2 ( 6 ，s ) 、前面习p ( s ) 出 产 + h ( 6 ，5 ) ( 尸4 b l 尸) ( s ) d s ( 22 1 2 ) 将正线性泛函9 作用于( 2 2 1 2 ) 式两端得 ，d柏 日( 6 ，s ) 9 【d z ( s ) j d s = 一日( 6 ，c ) 9 【p ( c ) j + 危：( 6 ，s ) 万巧i 而 p ( s ) ) d s j cj o + z 6 甘( 6 ，s ) 9 【( p + b 。p ) ( s ) d s - 、 ( 221 3 ) 、l p日 ， * 厂，p 汩 旷 b = ，i 2 rl、， 9 1lj p 1 2 旷切 ￥ 一 。 矿 k r “9 | f 一 尸日p 9 b 9 第二章线性矩阵h a m i l t o - l i a l l 系统的振动性判定准则 则由引理22 2 及上式可知 h ( 6 ，s ) g d 1 ( s ) 】d s 一h ( 6 ，c ) g p ( c ) + 2 ( 6 ，s ) 打( 6 + s ) 9 口( s ) d 8 + 曰( 6 ，s ) g p ( s ) ) 2 9 曰f 1 ( s ) j ) 一1 d s = 一h ( 6 ，c ) g 尸( c ) _ i 弛s ) 9 陌1 ( s ) d s + z 6 篇，瞅州咖小，丽卜 一日( 6 ，c ) g p ( c ) j _ ；镌( 6 ，s ) 9 巧1 ( s ) b 从而 z 6 日( 6 1s ) 9 。( s ) 】+ ； ；( 6 ，s ) g b f l ( s ) ) d s 芝一h ( 6 ，c ) 9 p ( c ) j ， 即( 2 2 1 1 ) 成立 引理2 2 4 设( x ( t ) ，y ( f ) ) 为系统( 2 1 1 ) 的非平凡预备解并且对t f o ，c 1 有x ( t ) 为非奇异矩阵那么，对任意的，g 1 k 司和胃户都有 z 。 日( s ，。) 9 。t ( s ) + ：危；( s ，。) 9 b f l ( s ) ) d s 日( c ，n ) 9 p ( c ) 】( 22 ，1 4 ) 证明：与引理2 2 3 证明过程类似用h ( s ，o ) 乘以( 2 2 9 ) 式两端，将 ( 2 2 9 ) 中的t 用s 代替，然后对s 从。到c 积分并利用( 2 2 1 ) 和( 22 2 ) 得 z 。甘( s ，a ) _ d ，( s ) d s = ，。日( s ，n ) p ，( s ) d s + z 。日( s ，。) ( p 4 b p ) ( s ) d s = h ( c ，o ) p ( c ) 。( s ，。) 川币万p ( s ) d s + 日( s ，o ) ( p b l p ) ( s ) d s ( 2 2 1 5 ) 2 4 曲阜师范大学硕士学位论文 将正线性泛函g 作用于( 2 21 5 ) 式两端并利用引理2 2 2 得 h ( s ，n ) g d l ( s ) 】d s = 日( c ：。) 9 瞅c 肛如t ( 8 ，叭可i 西限s ) d s + 日( s ，o ) 9 ( p + b l p ) ( s ) d 5 h ( 郇) 夕f p ( c ) 一 ，( 邶) 棚币河9p ( 8 ) 汕 + h ( s ，。) 9 b i l ( s ) ) 一1 9 【p ( s ) ) 2d s = 耶舻( c ) 】- ；：。咖 b f l ( s ) d s + z 。 篇舻吩b 。，删2 a s 球舻( c ) _ ；z 。) 擘阿沁 则 z 6 口( s ，。冶f d ，( s ) + ；研( s ，。油陋f ，( 钏 d 。日( c ) 。) 夕f p ( 。m 即( 2 21 4 ) 成立 弓f 理2 2 5 设( x ( 舌) ，y ) 为系统( 2 ，i j ) 的菲平凡贺备解，且对某个c ( o ，6 ) 存在，g 1 d ，乩日，满足 ( c 。) z c 耶妒小) + 扣叫) 邸 s ) 】卜 r 一1 ( b ，c ) z 6 z f ( 6 ，s ) 9 【j 、。( s ) + ；危；( 6 ，s ) 9 b i t ( s ) d s 。 ( 2 ，2 1 6j 那么，d e t x ( 印在k6 】上至少有一个零点 证明：用反证法假设d e t x ( t ) 在 a 山 上无零点则对任意的t ，吐 d e t x ( t ) o 故由引理2 2 3 和引理2 24 知( 2 21 1 ) 和( 2 2 1 4 ) 均成立因 第二章线性矩阵h a m i l t o n i 姐系统的振动性判定准则 此，分别用日。( 6 ，c ) 和日“( c ，口) 乘以( 22 1 1 ) 和( 22 1 4 ) 式两端，然后将他 们相加得 h - 1 ( c 。) z 。 郦，a m d l ( s ) + ；，咖防) 】) d s + ，一1 ( 6 ，c ) ，6 f ，( 6 ，s ) 9 z ) ，( s ) 】+ ； ；( 6 ，s ) 9 i ? i 1 ( s ) ) d s 。， 此与( 2 2 1 6 ) 矛盾故假设不成立因此，结论成立 定理2 2 1 如果对任意的t t o ，都存在口，6 ，c 兄，c 1 f f 0 1 。) 和 ，满足t 茎o c 6 并且c 2 2 1 6 ) 成立那么，系统( 2 1 1 ) 为振动的 证明：设( x ( f ) ，y ( ) ) 为系统( 2 1 1 ) 的非平凡预备解选取序列f 五 c 。) 使当i _ o 。时，正- 。则由条件知对每一个i ，都存在 o 。，6 。，c 。r 满足五n 。 c 。 b ：，并且( 2 2 1 6 ) 成立( 其中。，6 ，c 分别用 o ：，6 。臼代替) 由引理2 25 知d e t x ( t ) 在 n f ，6 j 上至少有一个零点设为“ 则缸。互_ 。o ( i 斗。) 可见，d e t x ( f ) 有任意大的零点因此，系统 ( 2 1 1 ) 为振动的 注2 2 1 在( 221 6 ) 式中选取不同的正线性泛函9 ，则由定理2 2l 知会 产生对应于系统( 2 1 1 ) 的不同的振动性判据 推论2 2 1 设存在，g 1 。o ) ，h ，对任意的r 芝o 都有 怒s u 。z 。( 耶，咖吼( 驯+ 知”) 。 即( s ) ) d s 。， ( 22 ， 和 恕s u p ，。( 即，咖f d l 两 + 知如) ， 掣 ) d s n 满足 z 。( 耶，咖【d 1 】+ 扭s ，咖陌) 1 ) d s c 满足 f 6 ( h ( 6 ，s ) 9 。( s ) 】+ ； ；( b ，s ) 9 b i l ( s ) 】) d s 。 ( 222 。) 则由( 2 21 9 1 和( 2 、2 2 0 ) 可知( 2 ，21 6 ) 成立故由定理2 ，2 1 知系统( 211 ) 为 振动的 当h ：= h ( 一s ) ，时， ( t s ) = 2 ( 一s ) 记为 ( f s ) 将函数类 厂中包含( t s ) 的子类记为月，将定理2 2 1 应用于月上，我们得到下面 的定理 定理2 。2 2 设对每一个t 芝t o ，都存在，e 1 o ，2 c 一8 j ，h 及 o ，c r 满足丁n 1 4 ，都存在o 1 满足( 一1 ) 0 2 4 ( n 一1 ) ( 2 2 2 3 ) 可知( 2 2 1 7 ) 成立同样，我们可以证明存在。 1 使得 立则由推论2 2 1 可知当卢 1 4 对，系统( 2 2 2 2 ) 是振动的 例2 2 2 考虑线性矩阵h a m i l t o n i a n 系统 x = a ( 。) x + b ( 。) r o ， 【r 7 = g o ) 一a + ( t ) 一 其中 f 2 2 2 3 ) 因此，由 ( 2 2 1 8 ) 成 ( 2 ，2 2 4 ) a c t ，= p c 。，：一宅。 ，b o ，= 弋。尝，。， ， c = 愕。川 “小一小h 獬以归卜t 拦囊馘； 2 9 第二章线性矩阵h a m i i t o n i a n 系统的振动性判定准则 i叩2 ( 一3 k ) 3 k 曼t 3 + 1 ， 叮2 ( t ) ：= 一c 2 ( f ) 一p 2 6 1 ( t ) 6 ；( ) = 叩2 ( 一十3 南+ 2 ) 3 七+ l t 3 后+ 2 ， i一惫ls i n 2 丌t i3 惫+ 2 t 8 m 那么，由定理2 2 2 知此系统是振动的事实上，任意的t 0 都存在女炳使得3 兰丁令n = 3 女，c = 3 + 1 ，日( t ，s ) = ( t s ) 2 并且当 t 三。时，( t ) = o 那么n ( ) = ：1 ，c l ( t ) = c ( t ) ，b l ( t ) = b ( t ) ，从而 d ，( ) ：j 。l ( 。) + “2 ( 。) 堵( 。) 6 2 ( 。) 一 ( p 6 】幻) ( 。) 7l l ( p 6 1 6 2 ) ( 】7c 2 ( ) + 且2 ( f ) b 【( t ) 鹾( ) i l g l ( t )一 ( b t 6 7 ) ( t ) j l ( 弘6 幻) ( f ) 】7 一叮2 )j 令9 【p 】= 打【p 】其中p = ( p 。j ) 那么，在定理2 22 中有 h ( s 一口) 扫( d 1 ( s ) ) + g ( d 1 ( 2 c s ) ) j + 囟( b f l ( s ) ) + g ( b f l ( 2 c s ) ) ) d s = ( s 一3 ) 2 【一g z ( s ) 一驰( s ) 一口1 ( 2 c s ) 啦( 2 c s ) 】 + 6 1 一) + 6 2 ( s ) + 6 l ( 2 c 一5 ) + 6 2 ( 2 c s ) l d s s 一( q 1 + ”2 ) ( s 一3 ) 3 一( s 一3 ) 2 ( q l ( 2 c s ) + 眈( 2 c s ) ) + 4 m ) d s 一知+ 叩2 ) 一z 川( 3 2 _ s ) 2 ( q 1 ( s ) + 口2 ( s ) ) 如+ 4 m = 一言( q 1 + 叩2 ) + 4 m o 是一个常数) 那么 o ；骢z 。( s ) 2 ( s ) d s 一 ( 3 1 9 ) 证明：先证必要性设( 3 。1 8 ) 式成立那么， o o 使得当t2 1 时，m ( ) o ( 丁乃) 可知 志 1 0 s 丁山倒高 当丁_ o 。时，此为矛盾因此，假设不成立可见，l i m n 。o 一1 ( s ) 打 w 2 ( s ) d ： 为有限数进而，l i m t _ + o 。e 口_ 1 ( s ) w 2 ( s ) 山存在事实上，设l a l 表示矩阵a 的 3 7 第三章带矩阵阻尼项的二阶线性矩阵微分方程的振动性判定准则 ( 算子) 范数对如ss 茎t ，定义4 ( s ，t ) 为4 ( s ，t ) = r n 。( w 2 ( 盯) d 口那么， 1 4 ( s ，t ) 为非负定矩阵且定义l a ( s ，f ) l = a ( a ( s ，t ) ) 则i a ( s ，f ) l r 4 ( s ，) 】= f 。- 1 ( 盯) 亡r ( w 2 ( 口) d d 当s ，一o 。时，r n 。( 盯) r w 2 ( 口) 】d 口 o 因此， 我们知当s ，t o 。时，f a ) _ o 即当s ，f o 。时，f 旷1 ( 口) 2 ( 口) d 口 趋于o 从而l i m 。_ + 。正o 。( s ) w 2 ( s ) d s 存在充分性证毕至此引理3l2 证 明完毕 定理3 1 1 设存在，( ) 为 t o ，o 。) 上光滑实值函数满足o ( t ) m + ( m 8 o 为常数) 其中o ( t ) = e x p ( 一2 ，( s ) d s ) 并且 1 黜哼f 川邵) 冲 一。 那么，下列条件 ，戮p ；f 州酬拈慨 ，i 嬲- ；f 】) 2 虮佃 1 i m8 p p 。x 8 u p t _ + o 。al z ( t ) = + o 。 l i ma p p r o x i n r - + o 。a 1 【z ( t