（固体力学专业论文）加筋板壳结构振动分析的若干问题研究.pdf

浙江大学硕士学位论文摘要 摘要 本文主要讨论加筋板壳结构的振动问题。通过比较加筋平板采用不同类型单元和不同 结点数单元时的计算结果与实验数据的误差，发现不同的单元类型适合于不同的振动模 型；另一方面，单元的结点数也会通过影响结构刚度来改变固有频率。梁单元是模拟加强 筋振动状况的最理想单元类型，但由于采用梁单元时忽略了加强筋的几何特征，因此需要 通过考虑平板壳单元结点上转动自由度对相应的梁单元结点位移自由度的影响来改善计 算精度。 通过对基于不同参数的模型的相互比较，来进一步研究加强筋的添置对原平板振动特 性的影响。对于加强筋横截面尺寸的影响，当固定横截面的宽度或厚度而单独改变另一横 截面参数时，对于不同模态振型会产生两种不同的结果。而当横截面宽度和厚度同比增长 时，各阶模态振型变化规律一致。更多地，当在平板上采用不同数量的加强筋，或将加强 筋安放在不同的位置时，固有频率都会产生相应的变化。 在对圆柱壳的研究中，通过对比基于不同类型单元，不同自由度单元和不同网格密度 模型时的计算结果与简单圆柱壳固有频率实验结果，得到了较为合理的有限元模型，并基 于此建立了加筋的圆柱壳模型以分析加强筋对圆柱壳固有频率的影响。进一步地，在引入 几何非线性的影响后，还分析了在不同内压，不同纵向加速度，不同绕轴心的角速度的情 况下，圆柱壳固有频率的变化规律。 关键词：加强筋，m p c ，平板壳，圆柱壳，固有频率，几何非线性 a b s t r a c t t h i st h e s i si sf o c u s e do nt h es t u d yo fv i b r a t i o nb e h a v i o r so fs t i f f e n e ds h e l l a n d p l a n es t r u c n l r e b yr e f e r r i n gt oa ne x p e r i m e n t a ld a t ao f as t i f f e n e dp l a n e ，m o d e l s i nt h es a m ec o n d i t i o n sh a v eb e e nb u i l tt os t u d yt h en u m e r i c a le r r o r sw h i l ec h a n g e d t h et y p e so fe l e m e n t so rc o u n t so fn o d e s a c c o r d i n gt ot h er e s t s ，i ti sb e t t e rt o c h o o s et h e mw i t ha t t r i b u t e so fv a r i o u sm o d e l s f o ro p t i m i z i n gt h es t i f f e n e dp l a n e m o d e l sw i t hb e a m - e l e m e n ts t i f f e n e r s ，t h ee f f e c tb e t w e e nr o t a t i o n a lf r e e d o mo fs h e l l e l e m e n t sa n dm o t i o n a lf r e e d o mo fb e a me l e m e n t sh a sb e e nc o n s i d e r e d t h em o d e l sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e df o rd i s c o v e r i n g t h ef u r t h e re f f c t so fs t i f f e n e r s t h e r ea r et w od i s t i n g u i s h e dr e s u l t sw h i l ef i x i n gt h e w i d t ho rt h i c k n e s so fs t i f f e n e rb u tc h a n g i n gt h el e n g t h so fo t h e re d g e s h o w e v e r , i t s h o w st h es a m et e n d e n c yw h i l ek e e p i n gac o n s t a n tr a t i oo fw i d t ho v e rt h i c k n e s s m o r e o v e r , t h ec o u n t so rp o s i t i o n so fs t i f f e n e r s o nap l a n ec h a n g e ，t h en a t u r a l f r e q u e n c i e sc h a n g ea c c o r d i n g l y i nt h es t u d yo fac y l i n d r i c a ls h e l l ，ar e l a t i v ep r e c i s em o d e lh a sb e e nb u i l tb y a n a l y z i n gt h ee f f e c to fe l e m e n tt y p e s ，f r e e d o m s o nn o d e sa n dm e s hd e n s i t i e s f u r t h e r m o r e ，b yc o n s i d e r i n gt h ee f f e c to fn o n l i n e a rg e o m e t r y , t h ec y l i n d r i c a ls h e l l m o d e l ，i nd i f f e r e n ti n t e r n a lp r e s s u r e s ，a c c e l e r a t i o n sa n d r o t a t i o n a ls p e e d s ，h a v eb e e n a n a l y z e d k e y w o r d s ：s t i f f e n e r , m p c ，p l a t es h e l l ，c y l i n d r i c a l s h e l l ，n a t u r a lf r e q u e n c y , n o n l i n e a rg e o m e t r y 浙江大学硕士学位论文 图目录 图目录 图2 1 加筋平板几何尺寸一8 图2 2 单列m p c 绑定的网格模型9 图2 3 加筋平板模态振型的实验结果l o 图2 - 4 采用梁单元加强筋在简单m p c 下的加筋平板各阶模态振型1 2 图2 5 加强筋分别采用梁单元、壳单元和实体单元时在第7 ，1 5 ，2 3 阶时的模 态l5 图2 6 加强筋分别采用梁单元、壳单元和实体单元的误差变化曲线1 7 图2 7 加强筋分别采用4 结点、8 结点和9 结点壳单元产生的误差变化曲线1 9 图2 8 壳单元和梁单元多点约束2 0 图2 9 考虑加强筋厚度影响的固有频率误差变化曲线2 5 图3 1 在x z 平面内加强筋横截面示意图2 7 图3 - 2 在x 轴与y 轴上半波数以及振动方向示意图2 8 图3 - 3 加强筋横截面宽度与固有频率的关系( h = 1 2 r a m ) 3 0 图3 4 加筋平板前9 阶模态振型( 形= 6 r a m ，h = 1 2 r a m ) 一3 0 图3 - 5 比例因子与边长比a b 之间关系的拟合曲线3 l 图3 - 6 比例因子与横截面宽度之间的关系( h = 1 2 r a m ) 3 2 图3 7 加强筋横截面宽度形与刚度一质量比r w 间的关系一3 4 图3 8 加强筋横截面宽度为0 0 0 3 m 时厚度与固有频率关系一3 6 图3 9 加强筋横截面宽度日与比例系数，7 ：间的关系3 7 图3 1 0 加强筋厚度与宽度比值( h w ) 为0 5 时厚度与固有频率的关系3 9 图3 1 1 加强筋厚度与宽度比值( 日w ) 为1 时厚度与固有频率的关系4 0 图3 1 2 加强筋厚度与宽度比值( h ) 为2 时厚度与固有频率的关系4 1 图3 1 3 平板x 轴方向均布0 个、2 个、3 个与y 轴同向的加强筋时前5 阶振型 4 3 图3 1 4 平板x 轴方向均布5 个、7 个、1 1 个与y 轴同向的加强筋时前5 阶振 型4 4 图3 1 5x 轴方向上均布与y 轴同向加强筋的数量与固有频率的关系4 5 图3 1 6 加强筋在平板上位置示意图4 6 图3 1 7 加强筋位于距离平板中线1 2 l ，5 1 2 l ，1 3 l 时的振型4 7 图3 1 8 加强筋位于距离平板中线l 4 l ，1 6 l ，1 1 2 l 时的振型4 8 图3 1 9 加强筋位于距平板中线的距离与固有频度的关系4 9 图4 1 圆柱壳及其坐标系示意图5 2 图4 2 采用不同类型壳单元计算固有频率时的误差曲线5 7 图4 - 3 采用不同网格密度计算固有频率时的误差曲线( 线性减缩积分单元) 一6 1 i i i 浙江大学硕士学位论文 图目录 图4 - 4 采用不同网格密度计算固有频率时的误差曲线( 线性全积分单元) 6 l 图4 - 5 采用不同网格密度时各阶固有频率的误差平均值6 2 图4 6 采用不同网格密度时各阶固有频率的误差偏差值6 3 图 圆柱壳固有频率随加强筋横截面尺寸的变化曲线6 5 图4 8 由于加强筋的影响造成的纵向波的分离6 5 图4 9 固有频率随加速度的变化曲线7 0 图4 1 0 圆柱壳以恒定绕中心轴转动的角速度与固有频率有关系一7 2 i v 浙江大学硕士学位论文表目录 表目录 表2 1 铝合金6 5 s t 6 材料参数一8 表2 2 四边固支加筋平板固有频率1 3 表2 - 3 加强筋采用梁单元、壳单元和实体单元时的固有频率比较1 6 表2 4 采用不同结点数壳单元得到的固有频率1 8 表2 - 5 考虑加强筋厚度影响的固有频率比较一2 4 表3 1 铝合金6 5 s t 6 材料参数2 7 表3 2 不同加强筋横截面宽度下的前5 阶固有频率( h z ) ：h = 1 2 m m 2 9 表3 - 3 比例因子与a b 值的关系3 1 表3 _ 4 拟合曲线中的参数3 2 表3 5 不同加强筋横截面厚度下的截面参数( w = 6 m m _ ) 3 5 表3 - 6 加强筋横截面在不同厚度下的前7 阶固有频率( h z ) ：w = 6 m m 3 6 表3 7 加强筋厚度与宽度比值( h ) 为0 5 时前5 阶固有频率( h z ) 3 8 表3 8 加强筋厚度与宽度比值( 日形) 为1 时前5 阶固有频率( h z ) 3 9 表3 9 加强筋厚度与宽度比值( 矽) 为2 时前5 阶固有频率( h z ) 4 0 表3 1 0 在y 一轴方向上均布不同数量加强筋时的固有频率( h z ) 4 2 表3 1 1 加强筋位于距平板中线不同距离时的固有频率( h z ) 4 6 表4 1 钢材料材料参数5 6 表4 2 采用不同类型壳单元计算得到的固有频率( h z ) 5 6 表4 - 3 采用不同壳单元时计算成本5 8 表4 - 4 不同网格密度下采用线性减缩积分单元得到的固有频率( h z ) 5 9 表4 - 5 不同网格密度下采用线性全积分单元得到的固有频率( h z ) 6 0 表4 6 加强筋对圆柱壳固有频率的影响6 4 表4 7 壳体受均布内压时的固有频率6 7 表4 8 加速过程中固有频率的变化6 8 表4 9 减速过程中固有频率的变化6 9 表4 1 0 圆柱壳以恒定角速度绕中心轴转动时的固有频率( h z ) 7 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名： 艄 签字日期脯年 多 月参 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大整有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名：纭 导师签名： 司枢 签字日期：九内j 年么月日 签字日期：力d 8 年月r de l 浙江大学硕士学位论文绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 加筋结构在工业方面有着极其广泛的应用，尤其是近些年来，航空、宇航和 船舶等产业的发展对加筋结构又有了更高的要求。加筋结构以其重量轻和刚度大 的优点，成为薄板和舱体结构中重要的组成部分。在很早以前各国的力学工作者 和结构设计师就开始研究其相关的静力学和动力学特性。 由于振动问题的复杂性，最初人们只是研究在不同边界条件下的长方形板的 振动特性及相应的振型的基本方程，并只能通过r a y l e i g h r i t z 等方法近似地给出 平板前几阶固有频率的上下限范围。此后，研究者们开始对曲面壳体进行研究， 特别是对圆柱曲面壳体的研究更为深入。人们基于不同的假设，得到了关于圆柱 壳纵向模态振型与环向模态振型的方程。不久，对于圆锥壳以及曲面板的研究也 获得了重要的突破。与此同时，还进行了大量的基于不同边界条件，材料属性和 板壳结构的实验，从而人们可以更好的对照检验已有的理论方程，以确定其误差 大小与适用范围。 随着计算科学的迅速发展，研究者们开始用有限元的方法来解决板壳结构的 振动问题。这使得研究工作可以深入到一些结构属性复杂的模型中去，例如加筋 结构或挖孔结构。从而，大量的数值模拟结果得出，人们从中总结出了一系列的 具有实用价值的变化规律。特别是在航天科技迅速发展之后，加筋板壳结构的研 究更为深入而具体。 1 2 研究现状 加强筋对于任何结构都可以最大化其强度与重量的比率，因此其成为航天器 构架的首选结构。几十年来研究者们致力于分析平板和壳体在不同边界条件下， 不同加筋情况，不同材料属性时的静力学和动力学特性，以期得到较为深入的对 浙江大学硕士学位论文绪论 于加筋板壳结构的了解以支持其在工程上的应用。 1 2 1 关于平板振动问题的研究现状 最早的对于四边形平板的精确解是由s e z a w a 1 于1 9 6 3 年提出。他采用精确 满足微分方程的方程组和在所有边上偏斜均为零并要求在各边中点斜率为零的 边界条件。其后t o m o t i k a 2 】对四边形平板固有频率的求解则更加精确。他与 s e z a w a 一样采用了精确满足平板振动的经典微分方程的函数，并通过r a y l e i g h 和w e i n s t e i n 方法得到关于正方形平板的频率范围。y o u n g 3 基于两端固支梁的振 动方程，通过r a y l e i g h - r i t z 法给出了其频率范围的精确上限。b o l o t i n 4 采用变级 数法得到了关于正方形平板的近似解。b a z l e y , f o x 和s t a d t e 5 计算得到了典型的 对称平板的前1 5 阶频率的下限。在他们所计算的模型中将四边形平板置于x y 坐 标系的原点位置，且其四条边均与坐标轴平行。其模态假设与x 轴和y 轴都对称， 并且不随x 和y 的值而改变。他们还应用r a y l e i g h r i t z 方法得出了两端固支的梁 振动方程在前5 0 阶的相对精确的频率上限。a r o n s z a j n 6 】采用w e i n s t e i n 方法得到 了正方形平板前1 0 阶固有频率的精确下限，并采用r a y l e i g h r i t z 方法得到了其 上限。3 d m a n 7 采用一种基于g a l e r k i n 方法的变形形式将模态振型假设为两个关 于x 和y 相互独立的函数的积的方程，并从中计算出了前3 6 阶频率。 k i r k 8 】同样采用r a y l e i g h - r i t z 法研究简支和固支平板的固有频率。他在文中 分析了不同形式加强筋的情况，并通过改变加强筋的横截面尺寸来控制整体结构 的质量恒定。b h a t 9 迸一步通过r a y l e i g h r i t z 法分析了四边均为简支约束下的正 方形板固有频率受加强筋放置位置的影响。他发现当加强筋靠近平板边界放置时 会显著地增加固有频率。w i u 和l i m 1 0 采用r a y l e i g h r i t z 法分析了中间加筋且 约束边界的长方形板的自由振动问题，并量化了加强筋相对尺寸对弹性约束加筋 平板的频率的影响关系。l i u 和c h e n 11 】用有限元方法研究了倾斜加筋悬臂平板 的自由振动参数，并分析了加强筋长度，深度和位置的影响。他们提出倾斜板相 对长方形板来讲会增加板的弯曲刚度，并且加强筋的长度对固有频率的影响很 小。c h e n g 和d a d e 1 2 采用g a u s s 样条配置法对加筋板壳进行动态分析。p a l a n i 2 浙江大学硕士学位论文绪论 等人【1 3 】借由两个分离的等参模型q s 8 5 1 和q s 9 5 1 分别研究了偏心加筋平板和曲 板的静态和自由振动特性。k o k o 和o l s o n 1 4 采用了共有5 5 个自由度的板单元和 共有1 8 个自由度的梁单元结合起来建立了长方形悬臂板的模型，用来分析加筋 平板的静态和自由振动特性，并得出了较为理想的结果。他们还分析了长宽比为 2 的悬臂长方形平板放置不同横截面尺寸的加强筋时的振动情况。r a o 等人1 1 5 】 采用三角形薄壳单元研究加筋板壳结构的固有频率。c h e n 1 6 采用曲线分量带法 探索了不同加筋平板的自由振动问题。其中包括了四边简支，三边固定一边简支 以及三边简支一边固定的情况。h o l o p a n i e n 1 7 采用基于r e i s s n e r - m i n d l i n 厚板理 论板单元结合刚体梁单元分析了在一个或两个方向上放置加强筋的固支板的振 动。x i a n g 和w a n g 1 8 基于k i r c h h o f f 经典薄壳理论采用l e v y 方法给出了不同边 界条件下的关于多阶变截面厚度长方形平板振动方程的精确解。 1 2 2 关于柱壳振动问题的研究现状 s e w a l l 和n a u m a n n 1 9 研究了在内部或外部问隔很小距离纵向放置加强筋的 壳体的自由振动特性。他们通过实验和理论的方法分析了不同的边界条件，并采 用r a y l e i g h r i t z 过程的能量法得出了解析解。在他们给出的解中纵向的模态分布 是从近似满足边界条件的梁的振动方程中推导出来的，而环向的模态分布则由三 角方程表示出。r i n e h a r t 和w a n g 2 0 采用能量法研究了两端简支的纵向加筋封闭 圆柱壳的振动问题。他们在分析中采用了基于d o n n e l l 近似理论和f l u g g e 精确理 论的壳体，以及由v l a s o v 薄壁梁理论描述的梁，从而得到纵向的正弦波形式能量 方程和用傅利叶级数表示的环向能量方程。m e a d 和b a r d e l l 2 l 】，【2 2 】采用波传导 法分别分析了轴向加筋和环向加筋的封闭圆柱壳的自由振动问题。m u s t a f a 和 a l i 2 3 通过实验给出了加筋圆柱壳以及正交加筋圆柱曲面的自由振动结果，并进 一步应用8 结点正交加筋超参壳单元进行了有限元模拟与实验结果做了对照。此 后，m u s t a f a 和a l i 2 4 又采用结构对称方法在封闭圆柱壳的部分边界上设置了更 为合理的边界约束条件，从而计算出加筋壳体的固有频率和模态振型。b a r d e l l 和 m e a d 2 5 运用分级有限元方法确定了长方形圆柱曲面的刚度矩阵和质量矩阵。并 3 浙江大学硕士学位论文绪论 且，他们又将得到的刚度矩阵和质量矩阵与周期结构理论结合起来分析了简支条 件下正交加筋圆柱壳的振动问题。此后，他们还将波传导法与有限元法结合来研 究纵向和环向加筋圆柱的振动 2 6 】。a c c r o r s i 和b e n n e t t 2 7 】同样采用波传导法建立 正交加筋圆柱壳的单周期模型以确定其弹性波传导参数。m e c i t o g l u 和d o k m e c i 2 8 】 在经典薄壁正交扁壳理论的基础上采用排列法分析了薄壁加筋扁壳的自由振动 问题。l a n g l e y 2 9 基于恒定曲率半径且沿曲线边界上简支的正交加筋壳单元发展 出动态刚度法。这个方法被应用于一系列的环形加筋圆柱壳。s i n h a 和 m u k h o p a d h y a y 3 0 采用了曲线分量带法研究偏心板和薄壳结构的自由振动问题。 他们使用在加强筋方向上可以离散化的高精度三角形扁壳单元，并通过n o v z h i l o v 扁壳理论用三次多项式来表示横向位移并用五次多项式来表示法向位移，从而进 一步研究了装有渐变截面加强筋的任意非均匀壳结构在静态力作用下的自由振 动1 3 1 。j i a n g 和o l s o n 3 2 采用一种c 1 型的超参壳单元和曲线梁单元来分析柱壳 的自由振动。s t a n l e y 和g a n e s a n 3 3 采用半解析有限元方法分析了长短两种环形 圆柱壳的固有频率。s i v a s u b r a m o n i a n 等人 3 4 】通过有限元方法分析了有对称正方 形孔的纵向加筋正方形圆柱曲面的自由振动参数。 4 浙江大学硕士学位论文 加筋平板有限元分析 第2 章加筋平板有限元分析 平板作为最简单的薄壁结构，研究者们很早就开始了对其理论和实验的研 究，特别是对圆形板和方形板的研究已经得到了较为成熟的理论。近些年来，由 有数值模拟方法的飞速发展，使人们开始涉足于更加复杂的板结构研究。本章将 集中讨论分析加筋四边形平板计算精度的影响因素。 2 1 加筋平板有限元理论 2 1 1 平板壳单元有限元理论 l e e 和l e e 3 5 给出了更为通用的各向异性平板有限元模型的理论方程。他们 假设平板的单元各结点只有5 个自由度，并且剪切可变形板的位移方程有如下形 式： u ( x ，y ，z ，f ) = u o ( x ，y ，f ) + z 矽( x ，y ，f ) v ( x ，y ，z ，) = v o ( x ，y ，) + z 5 u ( x ，y ，f )( 2 1 ) w ( x ，y ，z ，f ) = w o ( x ，y ，f ) 式中：甜，v ，w x ，y ，z 方向上的位移； ，v 0 ，相应的中面位移； ，缈在砂和弦平面内年转角； f 时间。 应变与位移关系如下： 抛加加锄 乞2 瓦02 瓦2 瓦+ 面 挑加 。 却锄。 ( 2 2 ) 2 瓦+ 瓦，2 瓦+ 瓦 应力应变本构关系如下： 浙江大学硕士学位论文加筋平板有限元分析 r g ，g ： = iq ：q 2 ： l _ q 。q 。 s l y y q ( 2 3 ) 忖医赛心 这里q ，为转换刚度矩阵。应变能和动能可以写成如下形式： u = 导笼l 毛幽出 ( 2 4 ) 丁= 丢l 厶 ( 詈) 2 + ( 害) 2 + ( 詈) 2 + 厶 ( 署) 2 + ( 詈) 2 ) 矗z c 2 5 ， 这里l 为惯性矩，定义为： ( ，厶) = 巴p ( 1 ，z 2 ) 龙 ( 2 回 将方程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 代a ：h - g ：( 2 4 ) 可以得到应变能的三个分量。广义位移分量 ( 甜，v ，嵋矽，吵) 根据9 结点单元的几何方程表示： ( “，v ，w ，矽，沙) = 二( ，一，嵋，谚，”) m ( 2 7 ) 这里m 为形函数。 采用关于l a g r a n g i a n 方程( l = t u ) 的第一变分形式( 万= 0 ) ，原有限 元方程- 7 以改写为代数形式。从而可以得到平板的质量和刚度矩阵。分析不同向 性的材料的属性，可以进一步简化本构关系方程。 正交各项异性弹性体：9 。= q 2 。= q 5 。= 0 ，式( 2 3 ) 可写为： 吒= g l 吱+ q 1 2 q q = q 2 毛+ q 2 2 勺= 瓯 ( 2 8 ) = q 5 s t 。= q 6 6 ，。z 横观各向同性弹性体：进一步有g 。= q ：，纵= q ，2 瓯= g 。一鲂：，于是 6 浙江大学硕士学位论文 式( 2 4 ) 可以写为： 加筋平板有限元分析 吒= q l q + q 2 勺 q = q 1 2 + q l 勺 叮2 q 4 y 碍 k = q = 0 5 ( q 1 一q 2 ) 各向同性弹性体：进一步有瓯= 0 5 ( q 1 。- o , ：) ，式( 2 4 ) 7 以写为： 2 1 2 一维梁单元有限元理论 ( 2 9 ) 吒= q 1 q + q 2 巳 q = 9 2 0 + q q = o 5 ( q l 。一q 1 2 ) ( 2 l o ) l y z = 0 5 ( q 1 一q 1 2 ) 吒= o 5 ( q 1 一9 2 ) 为了保证壳单元和梁单元的相容性将采用t i m o s h e n k o 梁单元，即挠度w 和 截面转动0 各自独立插值。对于3 结点梁单元有如下形式： w = j w ，0 = 乏f 谚 ( 2 1 1 ) j 二l，= l 其中m 是l a g r a n g i a n 插值函数。 在考虑剪切变形以后，梁弯曲问题的最小位能原理的泛函可以表示为： l - l p = 1 e h c 2 d x 十( 丢半y 2 & 一( q w d x 一手e + 摹鸠吼 ( 2 1 2 ) 式中k 是截面剪切校正因子。 将式( 2 1 1 ) 代入式( 2 1 2 ) ，从万兀。= 0 可以得到有限元求解方程： k a = p( 2 1 3 ) 其中 k ：yk 。， 一 1 t l ：y a 。， 一 7 p = y p 。 j ，一 浙江大学硕士学位论文 加筋平板有限元分析 2 2 加筋平板有限元模型 通过对照前人的相关实验结果，建立标准的模型以便在后面章节中基于不同 的条件来分析模型精度。 2 2 1 正交单列加筋平板模型 参照o l s o n 和h a z e l l 3 6 的实验条件建立四边固支的平板模型，并在中央纵向 放置加强筋。正方形平板边长三= 0 2 0 3 2 m ，厚度t = 0 0 0 1 3 7 1 6 m ；加强筋的宽度 w = 0 0 0 6 3 5 m ，厚度h = 0 0 1 2 7 m ，如图( 2 1 ) 所示。 p 噜 n ao 一 o 旱= ；= = 彳亍= = = 2 。；0 0 0 1 3 7 1 6 m 0 0127m l 0 0 ) 6 3 5 m “ a s e c t i o n a a 图2 - 1 加筋平板几何尺寸 将平板划分为6 4 x 6 4 网格，采用4 结点壳单元；加强筋划分为6 4 个单元， 采用2 结点梁单元。平板和加强筋均为6 5 s t 6 铝合金，材料属性如表( 2 1 ) 。 表2 - 1 铝合金6 5 s t 6 材料参数 为了能更好地研究分析壳单元和梁单元之间的耦合关系，本文中将采用在 n a s t r a n 中的多点约束( m p c - - m u l t i p l ep o m t c o n s t r a i n ) 功能。如图( 2 2 ) 为6 4 8 堑兰查兰蔓主兰垡笙奎塑苎! 立竺 6 4 单元格的平板，其纵向中线处绑定划分为6 4 个梁单元的加强筋。绑定采用 显式线性方程，即梁单元上某结点上的某个广义位移可以由壳单元上一系列结点 上不同自由度的线性组合来决定。 图2 - 2 单列m p c 绑定的网格模型 首先，为了简单起见，将梁单元各结点与板单元各结点绑定采用的显式方程方写 为如下形式： “ 1 ， 广 或 e ： 8 ： = 0 o 1o 01 o o 0 0 o o o o oo 0o l 0 o l 0o ( 2 1 4 ) 其中：z f ，w 壳单元在x ，y ，z 方向上的位移； 或，口，晓壳单元沿x ，y ，z 轴的转角； ”v ，w 梁单元在x ，y ，z 方向上的位移； 色，包梁单元沿x ，y ，z 轴的转角。 上式表示梁中性轴上一点的各自由度与其对应的壳中性面上的一点的相应自由 度保持一致。 女) r 大学顸学电x 筋 有m i 舟* 2 2 2 模拟结果与比较 由于数值模拟得到的固有频率是从小到大排列的，因此我有必要通过对照 o l s o n 和h a z e l l 3 6 的实验结果( 图2 - 4 ) 中晷阶的模态振型，来分析出计算结果对应 的实际模态阶数从而得到7 如图f 2 3 ) 的各阶模态振型结果。 醑，豳 酮圈 藤“圈i 鳓痢“厦国蝠誓 蕊鬣i 嘲。图 图圈 隅n 圈 圈翻 露一圉 翮m 翻 藤翻 藤m 圈 圈a 穗 藤翻 翮翻 鞫圈 囤2 - 3 加舫平板模恋振型的实验结果1 3 6 圈囵圈圈霞圈图瞬阐黪圈露囵图网嘲 * 4 目学n * 女 加筋 板有m i 舟析 瓦c p 丁i 矗q ：7 】i _ s t e p ：9f r e q ：19 9 5s t e p ：17f r e q ：2 7 4 3 j s 删 删 删 删 叫 州 珊 腮 删 c a x 胁 协 啦 祁畔 鼾 鱼 乩 浙大学硕学位* 女 加赫十板有限i 舟析 s t e p ：5f r e q ：1 3 9 8 s t e p ：1 3f r e q ：2 2 2 8 s t e p ：21f r c q ：3 6 6 3 【- d 叽懂 i i 】 【i l 豳啊】 l _ 】 【j 蛆 【圃 e i 】 【_ - 阻 s t e p ：6f r e q ：1 4 0 3s t e p ：1 4f r e q ：2 5 8 7 s t e p ：2 2f r e q ：3 6 6 4 豳嘲嘲【腿斓 【i 】 l - _ 口 【i 】 0 1 0 l 鱿 【i 】 l t l 翻i 嘲 【皿蹙 【i 】 一i 1 s t e p ：15f r e q ：2 5 8 9s t e p ：2 3f r e q ：3 3 6 8 【圃】 【嘲】 m 翊 圃0 1 0 圃 【硎嘲】凰口 s t e p ：16f r e q ：2 7 z2s t e p ：2 4f r e q ：3 8 6 5 k 0 1 蝴融 o e l il 吼域】 【啊囤 啊疆磁】 【e l 卫口 墨疆l m r e 田2 4 采用粱单元加强筋在简单m p c 下的加筋平板各阶横态掘型 浙江大学硕士学位论文 加筋平板有限元分析 将得到的固有频率值与其它实验及理论结果比较如表( 2 2 ) ，可以看出第7 阶 和第2 3 阶频率误差较大。 表2 - 2 四边固支加筋平板固有频率 模 u 1 a l ：。 3 n 6 ；m u k h e r j e eb h i m a r a d d i s i v a s u b r 锄。n i a n 当前模型 楔 1 is i v a s u b r 锄o n i a n 一“、一 童嘉誉1e t 卷e ；誉1 百i 2 43 9 1 34 0 4 5 9 一一一 3 8 6 4 5 91 2 4 回到图( 2 4 ) 7 以看出第7 阶和第2 3 阶固有频率在频率序列中明显偏小，同 样的情况还出现在第1 3 阶。这些偏差较大的固有频率均出现在加强筋处于振动 1 3 浙江大学硕士学位论文 加筋平板有限元分析 的波峰或波谷处。另一方面，还可以从这些阶振动的振型图中发现其振幅均偏小。 根据广义坐标系下无阻尼自由振动的方程m i + k x = 0 可知： 一播 ( 2 1 5 ) 式中： 频率向量； k 广义刚度矩阵； m 广义质量矩阵。 因此，可以估计第7 ，1 3 ，2 3 阶频率偏小，是由于刚度偏小造成的。进一步 的分析将在以后章节进行。 2 3 单元类型对计算精度的影响 为了分析加强筋采用不同单元类型对固有频率的影响，尝试对比三种不同的 单元类型：梁单元，壳单元和实体单元。在下面的不同模型中，模型的尺寸均不 变以便于相互对比。网格划分如下： 梁单元：1 6 4 l ； 壳单元：1 6 4 4 ； 实体单元：2 6 4 4 。 在图( 2 5 ) 中分别显示了加强筋采用梁单元、壳单元和实体单元时第7 ，1 5 和2 3 阶模态。从图中可以看到使用实体单元时的振型与实验符合很好，主要是 因为在采用梁单元没有考虑加强筋的厚度，从而使平板与加强筋之间的约束条件 减少。 1 4 * 学碗学x 自筋 植音r i 舟* s t e p7 s t e p l 5 s h e l le l e m e n t s o l i de l e m e n t 勿勿勿 镑镑镑 锄锄勿 圈1 - 5 加强箭分别采用粱单元、竞单元和实体单元时在第7 ，1 5 ，2 3 阶时的模志 表佗- 3 ) 中列出了采用粱单元、壳单元和实休单元加强筋建立模型计算得到 的前2 4 阶固有频率。从表中可以看出粱单元在某些值比较精确，但在另一些模 态阶数是会有较大的误差，这王要来自一维的粱单元和二维的壳单元连接时产生 的问题：壳单元的误差最大，主要是由于这里加强筋的长宽比为2 ：1 ，而模拟中 采用的是薄壳单元会产生较大的误差；实体单元由于能够较好地模拟了加强筋厚 度方向上与平板壳单元之问的连接，所以振动阶数上基本没有跃迁。 浙江大学硕士学位论文加筋平板有限元分析 表2 3 加强筋采用梁单元、壳单元和实体单元时的固有频率比较 图( 2 - 6 ) 中显示了当加强筋分别采用梁单元、壳单元和实体单元时所计算求得 的固有频率相对于实验结果的误差。从中可以看出采用梁单元和壳单元时的变化 规律相似，但梁单元的计算精度明显好过壳单元。另一方面，实体单元的误差变 化最为稳定，但采用梁单元时除少数失稳点外，计算精度要好于实体单元，本文 将在后面处理这一问题。 1 6 盟譬 姗丛 饼吉瑟 态数漠介 浙江大学硕士学位论文加筋平板有限元分析 装 、 k o e 1 0 0 1 0 一2 0 + 梁攀元 图2 - 6 加强筋分别采用梁单元、壳单元和实体单元的误差变化曲线 2 4 单元结点数对计算精度的影响 壳单元 实体单元 同样建立四边固支的平板模型，并在中央纵向放置加强筋。正方形平板边长 l = 0 2 0 3 2 m ，厚度t = 0 0 0 1 3 7 1 6 m ；加强筋的宽度形= 0 0 0 6 3 5 m ，厚度 h = 0 0 1 2 7 m 。将平板划分为6 4 6 4 网格，分别采用4 结点、8 结点和9 结点壳 单元；加强筋划分为6 4 个单元，采用2 结点梁单元。平板和加强筋均为6 5 s t 6 铝合金，材料属性同上。表( 2 4 ) 中列出了平板采用不同结点数建立模型计算得到 的前2 4 阶固有频率。可以看到采用不同结点数壳单元得到的结果差别并不显著。 1 7 浙江大学硕士学位论文加筋平板有限元分析 表2 - 4 采用不同结点数壳单元得到的固有频率 o l s o n n a y a k 模 e te ta 1 4 0 】 当前模型 态!：!二i：!：一 阶 实验 n 8n 9 n 4 n 8n 9 数 数据f e mf e mf e m 误差f e m误差f e m误差 ( h z ) ( i - i z )( h z )( h z ) ( )( h z )( )( h z )( ) 1 6 8 9 7 2 5 27 2 5 1 7 1 0 8 9 3 1 86 9 8 4 71 3 77 0 5 4 12 3 8 2 7 2 5 7 4 5 37 4 5 27 0 4 2 62 8 67 0 4 0 22 8 97 1 2 1 4- 1 7 7 39 6 】9 8 7 69 8 7 19 8 1 6 22 1 59 6 4 ，6 70 3 89 8 3 9 72 3 9 49 8 6 9 9 4 49 9 3 9 9 8 8 2 50 2 3 9 8 8 6 00 2 69 9 0 6 50 4 7 51 3 7 61 4 0 1 91 4 0 0 41 3 9 7 8 71 5 91 3 8 1 7 10 4 21 4 0 2 1 l1 9 0 61 4 1 3一 一 1 4 0 2 8 8o 7 21 4 0 3 1 50 7 01 4 0 7 1 4 0 4 1 7 1 5 1 2 一一 1 2 6 4 4 0 一1 6 3 81 2 6 3 1 0 1 6 4 61 2 6 5 7 8 。1 6 2 8 81 7 7 0 一一1 8 6 1 5 25 1 71 8 3 1 8 03 4 91 8 6 8 1 85 5 5 9 1 9 9 5 一一1 9 8 5 5 9 0 4 7 1 9 6 8 9 2 1 3 11 9 9 3 1 9 0 0 9 1 02 0 6 9 一一 1 9 8 7 0 43 9 6 1 9 8 5 1 9 4 0 5 1 9 9 4 6 7 3 5 9 1 l2 1 5 8 一一 2 1 8 0 6 51 0 52 1 3 0 7 7 1 2 6 2 1 4 9 9 2 0 3 7 1 22 2 0 0 一一 2 1 4 0 。8 92 6 92 1 3 7 4 52 8 42 1 9 0 。3 9 0 4 4 132 3 4 7一 一 2 2 2 7 5 75 0 92 2l9 7 65 4 22 2 3 5 9 24 7 3 142 5 9 7 一 一 2 5 8 7 0 30 3 82 5 3 5 3 62 3 72 6 0 0 6 50 14 1 52 6 1 4 一一2 5 8 8 7 80 9 62 5 8 7 6 51 0 12 6 0 2 4 10 4 4 1 62 7 8 4 一一 2 7 4 1 8 21 5 2 2 7 2 1 0 0 2 2 62 7 5 5 0 3 1 0 4 1 72 7 8