（控制理论与控制工程专业论文）磁悬浮系统的非线性控制.pdf

摘要 y 2 5 5 口荽 本论文以多变量非线性系统实验室引进的磁悬浮系统设备m o d e 7 3 0 系统为研 究对象，研究了这一类非线性系统的控制方法。采用机理建模的方法建立系统的模 型和逆模型，在研究总结了线性单变量系统内模控制的结构、性质和设计方法的基 础上，提出了基于逆系统方法的多变量非线性内模控制，针对口阶干j 分逆系统和被 控对象复合成的伪线性系统，构造了内模控制器，实现了模型精确时的理想控制。 并且对模型欠配时的情况提出基于神经网络逆系统方法的内模控制，即用r b f 网络 逼近对象的逆系统后采用基于逆系统方法的内模控制，仿真研究表明这种方法对存 在建模误差时的情况具有较好的控制效果。 关键词： 多变量，非线性系统，逆系统方法，内模控制，模型失配，径向基函数，神经 网络，鲁棒性 a b s t r a c t t h ec o n t r 0 1m e t h o do f ac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e mw a sp r e s e n t e di nt h i s d i s s e r t a t i o nb yt h es t u d yo fm a g n e t i cl e v i t a t i o ns y s t e m m o d e l7 3 0s y s t e m ， w h i c hw a si n t r o d u c e di n t om u l t i v a r i a b l en o n l i n e a rs y s t e ml a b o r a t o r y t h e m o d e la n di n v e r s em o d e lo f t h ep l a n ta r ep r o v i d e db ym e a n so f m e c h a n i s m m o d e l i n g t h r o u 幽t h e r e s e a r c ha n dg e n e r a l i z a t i o no f t h es t r u c t u r e ，c h a r a c t e r , a n dd e s i 2 no fi n t e r n a l m o d e lc o n t r o lf o r l i n e a rs i n g l e 。v a r i a b l es y s t e m ，a s c h e m ef o rn o n l i n e a rm u l t i v a r i a b l ei n t e m a lm o d e lc o n t r o lw a s p u tf o r w a r d ， b a s e do nt h ed e s i g no f i n v e r s es y s t e m ；a n da ni n t e r - m o d e lc o n t r o l l e r ，w h i c h b r o u g h to u t ap e r f e c te f f e c tw h e nm a t h e m a t i cm o d e lw a sv e r a c i o u s ，w a s c o n s t m c t e df o rt h ec o m p o u n ds y s t e mc o m p r i s i n g t h ei n v e r s es y s t e ma n d t h e o r i g i n a ls y s t e m f u r t h e r m o r e ，b y t h e a d o p t i o n o fr b fn e u r a l n e t w o r k a p p m a c h i n gt h ei n v e r s em o d e l ，ag o o dp e r f o r m a n c eo f c l o s e l o o ps y s t e m c o u l db ea c h i e v e dd u r i n gt h em i s m a t c h o f o b j e c t m o d e l k e y w o r d s ： m u i t i v a r i a b l e ，n o n l i n e a rs y s t e m ，i n v e r s es y s t e m m e t h o d ，i n t e r n a l m o d e l c o n t r o l ， m o d e lm i s m a t c h i n g ， r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ， n e u r a l n e t w o r k ，r o b u s t n e s s 顺i ：论义做悬浮系统的m 线性挖制 1 绪论 1 1 课题背景 本课题的研究对象m o d e l7 3 0 系统是多变量非线性系统实验室2 1 1 工程引进的磁 悬浮系统设备。磁悬浮技术的研究源于德国，早在1 9 2 2 年h e r m a n nk e m p e r 先生就 提出了电磁悬浮原理，近年来兴起的磁悬浮列车技术正是基于这个原理。m o d e l7 3 0 磁悬浮系统是以两个永磁体为悬挂体，以上下激磁线圈的电流作为控制量来控制磁 体的悬浮，永磁材料的固有磁特性能够部分降低可控电磁铁的激磁电流，减小功耗。 本系统是一个具有耦合作用的两输入两输出的非线性系统，其中非线性因素包括传 感器非线性和激磁非线性。 1 2 逆系统方法和内模控制方法简介 传统的非线性控制方法是将过程模型线性化，然后再利用线性控制的方法来进 行控制。然而“线性化”的方法用于非线性对象并不总能得到满意的结果，尤其是 对高度非线性和经历大范围变化的非线性系统，问题更为严重。在本课题的研究中， 考虑采用逆系统方法将模型线性化，再用内模控制方法进行控制。 1 2 1 逆系统方法 目前，关于反馈线性化问题的研究有多种方法，并得到大量结果。总的看来， 这些方法可分为两大类：一类是较早得到发展的微分几何方法，这种方法在非线性 控制方面已经产生了较大的影响：另一类是普通的直接分析方法，如近年来发展起 来的逆系统方法就属于后一类。 逆系统方法是通过动态系统的“逆”的概念来研究一般非线性控制系统反馈线 性化设计的一种方法。所谓“反馈线性化”，就是通过非线性反馈或动态补偿的方法 将非线性系统变换为线性系统，然后再用线性理论完成系统的各种控制目标的理论 与方法。 逆系统方法概念上清晰直观，理论上易于理解、适用性强，应用上简便易行， 因此被认为是很具有工程应用价值的一种方法，在飞行器控制、机器人控制、化工 过程控制等方面获得了应用。 颇 ：论文磁悬浮系统的非线性挖制 逆系统方法理论和已有的非线性理论相比，总的说来具有以下一些特点： 首先，山于作为逆系统方法基础的可逆性概念并不局限于系统方程的特定形式 而具有普遍的研究意义，从而使逆系统方法可以以一般形式的非线性系统作为考察 的范田，并建立设计理论：而且在更大的范围上，逆系统方法的设计思想对离散系 统、分布参数系统这样的不同系统类型也同样适用。 其次，由于逆系统方法不需要象微分几何方法将问题变换到“几何域”那样将 问题进行某种变换丽直接进行研究，因而既直观又易于理解。 再者，由于逆系统方法成功避免了对微分几何或其他抽象的专门性数学理论的 引入，从而形成了一种非常简明的非线性控制理论，这也给理论的使用带来了极大 方便。 目前这一理论的发展，已在一般形式的非线性系统上建立了比较完整的设计理 论，其中包括逆系统方法原理，可逆性理论，解耦与线性化理论，系统镇定及非线 性状态估计等一系列重要的结果，为应用问题中大量出现的各类复杂非线性系统的 控制问题的解决建立了理论基础。 1 2 2 内模控制方法 一个过程控制器应当具有如下四个特点： ( 1 )良好的调节性能。若过程中存在不可测扰动，输出应维持在它的设 定值。 ( 2 )良好的伺服性能。输出应能迅速平滑地跟踪设定点的变化。 ( 3 )鲁棒性。在系统结构、参数发生变化时应能维持稳定性及一定的性 能。这也相当于利用最少的对象信息来设计控制器。 ( 4 )能处理对输入和输出的制约。 现在人们已认识到，过程控制中最大的效益来自运行条件的优化，而最优工作 点往往在各种制约的交界处。 利用最优控制确实可以改善系统的伺服和调节性能，但不能直接解决鲁棒性问 题。相反，有一些控制方法，尽管它们不涉及新的、深奥的理论，却具有很好的的 鲁棒性，内模控制就是这样一利t 方法。它能提供一种比较合理的设计步骤，并清楚 地表明调整参数和闭环响应及鲁棒性的关系。 内模控制( i m c ) 方法是g a r c i a 和m o r a r i 于1 9 8 2 年首先正式提出，以其简单、 跟踪调节性能好、鲁棒性强、能消除不可测干扰等优点，为控制理论界和工程界所 顺上论文磁悬浮系统的非线性控制 重视。1 9 8 9 年m o r a r i 透彻研究了内模控制的鲁棒性和稳定性，并且幽其他学者推广 到非线性系统，蓬勃发展中的神经网络也引入到内模控制中。内模控制还和许多其 它控制方式相结合，如内模控制与模糊控制、内模控制和自适应控制、内模控制和 最优控制、预测控制的结合使内模控制不断得到改进并广泛应用于工程实践中，取 得了良好的效果。 1 3 神经网络简介 在近代科学技术的发展过程中，人们通过仿生学的方法取得了很大的成就，像 模仿蝙蝠的声纳定位方法研制出分辨率很高的雷达探测系统就是一个例子。从这个 角度讲，向生物神经网络学习的人工神经网络与其学习对象有相似之处，但它并非 ( 实际上也不可能) 在全面指标功能上达到或超过它的学习对象，而是在了解和分 析生物神经网络的结构、机理和功能的基础上，学习和实现那些人们所需要的智能， 平常所称的神经网络指的是人工神经网络。 神经网络是- i q 活跃的边缘性交叉学科，其理论是巨量信息并行处理和大规模 平行计算的基础。神经网络既是高度非线性动力学系统，又是自适应自组织系统， 可用来描述认知、决策及控制的智能行为，它的中心问题是智能的认知和模拟。神 经网络最初的结构虽然是模拟人的大脑神经系统提出的，然而，随着神经网络研究 的发展，已有多种面向应用问题的神经网络产生，在这篇论文中采用径向基神经网 络( r b f n n ) 来解决模型失配时的控制问题。 1 4 论文内容安排 本文以m o d e l7 3 0 磁悬浮系统为控制对象，研究了磁悬浮仪的非线性特性，在此 基础上提出了基于逆系统方法的内模控制方案采用机理建模的方法建立系统的 数学模型，以此求出非线性系统的逆系统将其与控制对象串联使其解耦并完全线性 化，然后对原系统和逆系统组成的伪线性系统以多变量系统的内模控制方法来解决 控制问题，并且对模型失配时的情况提出基于逆系统的神经网络内模控制方案。最 后在m a t l a b 环境下进行系统仿真，并在磁悬浮设备上完成实际系统的调试。 论文整体结构如下 坝i ：论文抛悬浮系统的拈线性控制 i 绪沦。介2 “课题背景；简单介绍逆系统方法、内模控制方法和人工神经网络； 概括介绍本文所做的工作及其内容安排。 2 系统建模。介绍悬浮磁体受力结构；用解析方法建立系统的数学模型。 3 基于逆系统方法的非线性内模控制。提出非线性系统的逆系统方法和内模控 制方法相结合的方案。根据第二章所建立的数学模型求出系统的逆模型，将 其作为控制器一部分来补偿原系统的非线性，使非线性系统解耦并完全线性 化成一个两输入两输出的伪线性系统；指出构建滤波器结构的必要性，分析 了对系统的鲁棒稳定性和稳态性能的影响。给出了控制器的构造方法，并设 计改进的内模控制结构，对模型精确时的情况进行仿真，仿真结果表明将逆 系统方法和内模控制相结合可以取得较好效果。 4 模型失配及其解决方法。考虑模型失配对控制效果的影响，提出基于逆系统 方法的神经网络内模控制，选用r b f 神经网络逼近系统模型的逆，再应用 基于逆系统的内模控制方法，并给出仿真结果。 5 磁悬浮系统调试。介绍系统调试软、硬件，给出系统参数的辨识过程及结果， 在此基础上采用第3 章的控制方法，给出结果分析。 最后，对本文所做的工作进行总结并指出尚需完善的地方。 硕士论文磁悬浮系统的非线性控制 2 系统建模 2 1 磁悬浮仪简介 m o d e l7 3 0 磁悬浮系统由三个子系统构成：电动机械设备，即磁悬浮装置；实 时控制器；系统软件界面。这一章仅对与建模相关的磁悬浮装置作简单介绍，系统 介绍见第五章系统调试。 如图2 1 所示，磁悬浮设备包括上方和下方两个线圈，在直流电流下产生磁场： 两个由稀土金属制成的磁体，以玻璃杆为轴，处于磁场中，玻璃杆与磁体间由于有 润滑剂，故摩擦力很小。激磁线圈是两个高密电流线圈，可以产生磁场，使磁体产 生运动，稀土金属制造的磁体使得磁体和磁场之间的作用力很大，可以使磁体产生 较为明显的磁悬浮位移，有利于看出试验的效果；两个用来测量位置的激光传感器， 上方的传感器测量上方的磁体位移，下方的传感器测量下方的磁体位置，它不需接 触就可以产生位置反馈信号，和别的设备协同可以抑制噪声和光干扰。如果由一个 线圈悬浮个磁体，可以构成一个单入单出的s i s o 系统，如果由两个线圈悬浮两个 磁体，就可以构成一个多入多出的m i m o 系统。同样的可以有m i s o ，s i m o 系统。 在本文中主要考虑两输入两输出的m i m o 系统的控制情况。 2 2 系统描述 7 3 0 系统的两个磁体受力情况如图2 2 所示。可见磁体的受力有这样几种：由线 圈电流产生的磁力( 包括自己的线圈产生的磁力f 。l l 和f 。2 2 及对方线圈产生的磁力 f u | 2 和f u ：n ) 、对方磁体产生的磁力f m l 2 、重力m g 、摩擦力c l y i 和。l y 2 。 两个磁体的受力方程如下： ，醪l + c l y l + ，k 1 2 = f , , l t f , a l m g ( 2 1 ) 其中 ，砂2 + 。l _ i 2 一f 2 = r 2 2 一v 1 2 - m g ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 守一 一 = 舱 凡 些垫型墅丝些型 1 22 瓦石1 1 可 眨s ， 以( y 。+ y 2 + 6 ) “ ( 2 5 ) 这里 f 2 l = a 。一y l + 6 ) ” f m l 2 = 丽c( y 】2 + d ) ，v y j 22 y c + 娩一y l 图2 1 磁悬浮装置示意图 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 6 倾1 ：论文磁悬浮系统的背线：控制 线圈2 磁体2 磁体1 线圈1 s n 图2 2 磁悬浮系统受力图 运动距离 运动距离 式中的n 取4 ，这样已经可以近似表示出力与距离之间的关系。其中，、i 2 分别为 线圈电流( 可以通过算法设定) ， y l 、y 2 是上下方磁体的输出位移， g 是重力加速 度，c l 是摩擦系数。y l 、y 2 通过传感器测量而得，传感器输出特性是非线性的，以 如下等式来表示： y 删2 景+ 彘+ 曩，i = 啦 ， 其中y i c a 是传感器线性化以后的输出，即经过非线性补偿以后的输出，y i 。是原始输 出。传感器非线性特性参数e ，、，、g ，、 ，可以由实验而得。通过上下移动磁体， 读出b a c k g r o u n ds c r e e n 上传感器的输出值，再读出磁体高度值，可以找出表达式( 2 9 ) 中的一组系数e 。、，：、g ，、h ，。 同样，参数a 、b 、c 、d 和参数e l 也可以实验而得，具体步骤可见第5 章( 磁悬 浮系统调试) 。 7 碘i 。论文 磁悬浮系统的1 i 线性控制 2 3 系统建模及分析 相当广泛的一类非线性可用n 阶微分方程来表示： 或写成 f ( y ，j ， ”，y ，“1 ：0 初值 f 甜o 。) = 甜。， ? 【y ( o ( f 0 ) = ) ，? ，江0 1 一，”一1 其中u ( t ) 为输入，y ( t ) 为输出。 若定义： 一( f ) = y ( f ) ，x ( f ) 2 = 夕( ，) ， _ ( ，) = _ d - 2 y ( t ) ， 且定义： x ( f ) = k ( r ) ，k ( f ) 7 ， f ( t ，工，“) = x 2 ，工。，h ( t ，x l ，工。，“) 】， 则一般的非线性系统可表示为： x q = f ( t x ( t ) u ( t ) 3 t 207 ( 2 1 0 ) 对前面描述的磁悬浮系统，将( 2 3 ) ( 2 8 ) 式代入( 2 1 ) 、( 2 2 ) 式，可以得 到： c 1 c = 一l m y 1 + y 2 - y ld)4ylm ( y c y 2yg = u 上 磊瓦可一m a ( y , - y i + b ) 4 “： 玢一i c i 儿+ 而忑赫一g l 一m a ( y c + y 2 + b ) 4 “1 + 1 m a ( - y 2 + b ) 4 “2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 一 - 8 坝士论史 磁悬浮系统的非线性拄制 如果取 2x 22 y j q x 2 均 x 4 m m y 2 此 戈：”一釉一瓦万一g 南3x 4 2 y 2 ：一：旦mx4y 2 兜+ m ( y c i 南y 2y l g 一 2 5 +一十们 系统可以表示为一般非线性系统的形式为。 卜= f f ，x ( r ) ，“( f ) 】，f 0 【y = ( x ) 则 ( 2 1 3 ) 进一步可以将输入u ( t ) 从f ( t ，x ，u ) 中分离出来( 或者从i 的表达式中分离出来) 而 恐 而 矗 a c 一荡 丽i 丽g y = x lx 3 7 可以表示成 的形式，其中 + 睦 t = a ( t ，x ) + b ( t ，x ) “( f ) y = c x 势1 1,t10 1 m g ( x 3 i 小呶一而+ 6 ) 4l f l 认i j + 4i f 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 一 9 一 硕f 论文 磁悬浮系统的非线性控制 a ( t ，x ) = b ( t ，x ) = c 2 c - c ii屯m(yc+x3-xi+d)a g 肌 。 托 一y m ! x 4 + 卅眈+ 屯二丽一g 或者表示成 文= f ( x ) + g l ( x ) u l + 9 2 ( x ) 甜2 y l = h l ( x ) y 2 = h 2 ( x ) 其中， f ( x ) = o 1 m 0 0 , 。一五+ 6 ) 4 o 研d 弓+ 6 ) 4 而 一鲁而一面i 丢而一g聊打疋坎+ 而一五+ 田。 x 4 q c 一茜矿丽i i 而了一g g 。( x ) = o l m a ( x 1 + 6 ) 4 0 l m a ( y 。+ x 3 + 6 ) 4 ( 2 1 6 ) 一 10 了 再习 丽 一j ”o 。 杀 而o 。 似o _n旧一 兰些塑窒三：，：一 丝量堡至篁竺垫竺些堡型 9 2 q ) = 0 1 一m a ( y 。一x i + 6 ) 4 0 1 m 口( - x 3 + 6 ) 4 h l ( x ) = x j ，h 2 ( x ) = x 3 这样的系统称之为仿射非线性系统。正因为本系统可以表示成仿射非线性的形式， 在系统的可逆性成立时，控制器的设计中才可以求出式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 所示系统的 逆系统的显式表达式。 l i 些些些型些些型 3 基于逆系统方法的非线性内模控制 逆系统方法是对于给定的系统，首先用对象的模型生成一种可用反馈方法实现 的原系统的“。阶积分逆系统”，将对象补偿成为具有线性传递关系且已解耦的一种 规范化系统( 伪线性系统) ；然后，再用线性系统的各种设计理论来完成伪线性系统 的综合。这样就可以实现在线性系统中能够实现的诸如极点配置、鲁棒伺服跟踪等 目标。 所渭系统的逆系统j i ，是指能实现从系统的输出到输入逆映射关系的系统。 实际上就是这样一类系统，它使我们可以根据某些预期的的输出儿( f ) ，通过使其 作为系统j 1 的输入来产生需要加到系统输入端的控制“d ，以驱动原来的系统产 生事先所希望的输出y ( f ) = 儿( ，) 。 虽然逆系统方法具有简便、直观、易于理解的优点，但由于不可避免地存在建 模误差，逆系统方法对建模误差的鲁棒性是不尽人意的，这也成为逆系统方法应用 于工程的瓶颈。 而内模控制方法优良的鲁棒性是由其控制结构确定的，其滤波器的引入不仅可 以增加控制器的物理可实现性更可以通过对其适当设计，使系统对模型误差的鲁 棒性满足要求。 所以，对m o d e l7 3 0 系统，考虑采用基于逆系统的内模控制方案。 3 1 逆系统和伪线性系统 这里，为叙述方便，先以单变量系统为例阐述逆系统基本设计原理。 定义3 1 1 3 】 设为原系统，具有传递关系的算子为口：一y 。，j i 为另一个系统，具有传 递关系的算子为占：y d 寸u d ，其中y d ( f ) 为取值于某个域中的任给的n 阶可微函数( n 为系统阶数) 。如果算子满足曰砂。= 乳。= y 。，那么将系统j 1 称为系统的单位 逆系统。 定义3 1 2 t 3 1 根据a 阶积分逆系统的定义，有晚( d 8 y d ) = y 。从而可知，由复合算子臼良所表 示的系统是具有线性传递关系的系统。它相当于口个积分器的串联，满足： 硕i 论文 磁悬浮系统的非线性控制 口吃：d 。y = 妒 ( 3 1 ) 其中，p 为口口。的输入，y 为输出。 出a 阶积分逆系统与原系统一起构成的满足方程( 3 1 ) 的复合系统n 。，称 为伪线性系统。 ( a ) 上等匿圈叫弘日上邻 ( b ) 图3 1 伪线性系统的线性映射关系 ( a ) 基于单位逆系统 ( b ) 基于a 阶积分逆系统 之所以称为伪线性系统，是因为一方面这个系统的输入输出关系是线性的，如 图3 1 所示，而另一方面系统的内部结构却可能仍然是非线性关系。伪线性系统j i 。可用图3 2 中虚线框所表示的结构表示，其中的啡为线性控制器部分。显然， 将系统变换为伪线性系统后便可按熟知的线性控制理论来完成闭环控制系统的设 计。 伪线陛系统 ? ? f - ：矿 1 2 , ：y 3 2 可逆性讨论 定义3 2 1 f 3 】 图3 2逆系统方法基本原理示意图 坝 论义磁悬浮系统的啦线仕挣制 y ( ，u 。) y ( ，u ：，) ，则称系统在x 。点可逆。 剥于给定系统，如果存在定义3 1 1 和定义3 1 2 所定义的逆系统j 丁、j 1 一， 则称系统为可逆系统。在非线性情况下，系统的可逆性一般和状态x 的位置有关。 因此，当系统在点x ，存在逆系统j 1 时，则系统在点x 。是可逆的。进一步，如果存在 某个域m r ”，使得系统在每个点m 是可逆的，那么，则称系统在域m 上是可 逆的。如果系统在某个域上是可逆的，则一般都将它们称为可逆系统。 定义3 2 2 t 3 系统如下： i y 三h ( x 耄u 等工7 。2 x r ”甜y 月r ： c 。z ， 【=，) 一 对上式表示的系统：u y ，若存在个相应的系统j 1 ：v w ，使得当系统j 1 的输入v ( t ) 为初值满足于( 3 2 ) 式的初值条件的某种约束的任意给定的光滑函数， 并当u ( t ) = w ( t ) 时，有等式y ( t ) - - v ( t ) 成立，则称系统y i 为系统的右逆系统， 并称系统为右可逆的。 系统的右可逆性研究的是输出控制问题，因此右可逆性又称函数可控性。 对系统：u y ，如果存在一个相应的系统j i ：v w ，使得当v ( t ) = y ( t ) 时， 有等式w ( t ) = u ( t ) 成立，则称系统j t 为系统的左逆系统，并称系统是左可 逆的。 系统的左可逆性是根据系统当前及以前时刻的输出来判断系统当前的输入，研 究的是对输入的观测问题，因此左可逆性又称函数可观性。 3 3 多变量系统的逆 多变量系统和单变量系统的设计问题，在逆系统方法中并没有本质的差别。用 逆系统方法设计单变量控制系统的基本原理，对于多变量系统也同样适用。 设一系统有m 个输入，r 个输出，如图3 3 所示。 记 u = ( 甜l ，甜2 ，甜。，) 7 y = ( y 】，y 2 ，y ，) 兰坠兰堇兰：。：一：丝量堡垂篁塑苎竺兰塞型 uo u 2 图3 3 多变量系统示意图 y l n y r 可将系统用算子表示为 】，= 9 u 对于如上多变量系统同样可以定义可逆性和逆系统的概念，它们可以分别从 定义3 1 1 和定义3 1 2 中将相应的函数理解为函数向量后即可。如相应的口阶积 分逆系统和伪线性系统，在多变量系统中可用如下定义叙述。 定义3 3 1 川 对于由方程给定的多变量系统，其口= ( a ，口：，口，) 阶积分逆系统允：巧哼u d 为满 足关系式 伊巳匕= d 。 d 。2 d 砟 匕= o u d = 兄 的具有r 个输入乃，m 个输出的系统。其中，上式对于所有的巧x 成立，x 为 r 维向量函数的某一集合。 定义3 3 2 ( 3 j 由定义3 3 1 中算子观对应的系统称为伪线性系统，它满足方程 一 l5 硕f 论文 磁悬浮系统的非线性控制 睨= d 1 i d 一啦 d 。0 r 它是口= ( 口l ，口2 ，口，) 阶伪线性系统。 用逆系统方法综合多变量系统的原理和步骤，与单变量系统的情况也相同。首 先是要构成多变量系统的逆，然后，按照逆系统方法的各个步骤，完成控制系统的 设计。 3 4 磁悬浮系统的逆系统设计 3 4 1 7 3 0 系统可逆性判断 定理3 4 1 【3 1 对( 3 2 ) 式表示的系统z ，如果输入输出相等，下述两个命题是等价的 是函数可控的。 对于i = i ，2 ，r ，设q ，是满足下列两式 羔i f h ， _ 0 k = 0 , i ，g ，一1 a “ 一 i u i f h j 】0 k = q ， d “ 的最小正整数，其中乃，：l 是生i 厂：厂曩：f ( f 扛- ) ，则必有 a e t l 未c 叫。 其中，f 9 h = i f “h ，厂“h ：，f n h ，r 式 将式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 或式( 2 1 4 ) 表示的磁悬浮系统表示成式( 2 1 6 ) 的形 量= f ( x ) + g l ( x ) u l + 9 2 ( x ) u 2 y l = h 1 ( x ) y 2 = h 2 ( x ) l6 f i x ) = 心 ac o 五p m 2 m o c + 恐一五+ 力4 6 知 巴c 一未知+ m ( y 。+ x 3 - x e + d ) 4 一g m g ) = 9 2 ( 工) = 0 l m a ( x i + 6 ) 4 0 l m a ( y 。+ z 3 + 6 ) 4 o 1 一m a ( y 。一z l + 6 ) 4 o 1 m a ( - x 3 十6 ) 4 乃i ( x ) = x 1 ，h 2 ( 工) = x 3 k = 0 f 。h t ( x ) = h i ( x ) = x f 。h 2 ( x ) = 厅2 ( x ) = x ， 未h ( x ) 】；o 七= 1 砒 呶 l 0 o 0 乃。= ( 告) q 兰阶， ；o k = 2 厂h ，= f ( f h ，) o h ， 僦 o o 1 o 乃：= ( 鲁) 1 厂毡 17 ! ! 耋鎏兰 璧量堡垂丝竺! ! 丝堡堡型 f 2 h l 。a 7 x 。1 厂= 一景x ：一i 趸歹= _ j i 南一g + 型! 一 些2 m a ( x l + 6 ) 4m a ( y 。一x l + b ) 4 办：2 封卜鲁面丽c一面去可+ 而赫 鲁h 】= m c t ( x l + 6 ) 4 1 1 m r ( y 。一x l + 6 ) 4 l m a ( y 。+ x 3 + 6 ) 4m a ( - x 3 + 6 ) 4 这其中参数b 和y 。可由实验分别测得为6 2 c m 和1 4 c m ，而x ，和x 3 分别为系统 的输出y 和y 2 ，其输出范围为0 c m 1 4 c m 和一1 4 c f i l o c m ，再根据( 2 3 ) ( 2 8 ) 等式的关系，可以保证： m a ( x ，+ 6 ) 4 面瓦丽 义的。 一m a ( y 南，m a 南( 是有意。+ 屯+ 6 ) 4 一+ 6 ) 4 疋闩思 蹴杀h o 。 下面判别a e t 陆 ，2 托】 。是否成立。先求出d e t f 亳h 和即 ( 石i + 6 ) 4 ( - x 3 + 6 ) 4 - ( y 。+ x 3 + 6 ) 4 ( y 。一一+ 6 ) 4 = o 的解，共有四个： 解l ：铲一型_ 2 螋，( 3 3 ) 解2 ：屯= 一- y 。，( 3 4 ) 解3 ：铲主( 却c 6 2 2 y ，3 6 y c 2 6 + 4 y 。2 p 2 y c _ 2 + 8 y 。巾地1 6 2 + 2 ( 嘿 2 + y c 2 一一2 x f 2 b + 2 y ，而6 + 儿2 b + 3 y 。b 2 + 2 b 3 ) ) ( 儿2 + 2 x 1 2 2 儿x l + 2 y 。b + 2 b 2 ) ， 解4 ：z 3 = j 1 ( 一6 y c 6 2 2 y 。3 6 y c 2 6 + 4 苁2 而一2 m 2 + 8 脯6 + 8 x 1 6 2 2 i ( j ，。x l 2 + y 。2 x l 一2 x i 2 b + 2 y 。x i b + y , 2 b + 3 y 。b 2 + 2 b 3 ) ) ，( j ，。2 + 2 五2 2 y 。一十2 y 。6 + 2 b 2 ) 对于解1 ，在x ，和x a 的取值范围内( 3 3 ) 式不能成立。 对于解2 ，在x 和x 。的取值范围内，如果x t 和x 。满足( 3 4 ) 式，则系统 此时不可逆，在采用逆系统方法控制时应对输出加以限制，使两个输出的关 系为也工，一y c ，在此前提下才能采用基于逆系统的内模控制；但上述问题 只是在仿真中需要考虑，而在磁悬浮系统的实际调试中会对系统加限幅，会 保证上下磁体的间距大于一定值，不可能出现( 3 4 ) 式的情况。 烦j 论文 磁悬浮系绕的非线性控制 因此，要使d e t l 亳 ，2 ，】 o 成立，必须有 z 3 x 1 一y 。 ( 3 5 ) 当条件( 3 5 ) 满足时，d e t l 导陟2 乃，】l o 成立，即定理3 4 2 中的第 ld 甜一f 三个命题成立，相应有第二个命题成立，即： 当b x ，一y 。时，有( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 表示的系统函数可控，此时磁悬浮 系统的逆系统存在，同时在此条件下系统是状态反馈可解耦的。 对于解3 和解4 ，计算表明在x 。的取值范围内其虚部不为零，即解3 和解4 为复数解，显然对于本系统不成立。 由上面的判断过程可知，只要( 3 5 ) 式表示的关系满足，贝, p d e t 嘉【厂2 ，】 0 成立，即定理3 4 2 中的第二个命题成立，由此判断第一个命题成立，所以7 3 0 系统是函数可控的，即磁悬浮系统的右逆系统存在。 3 4 2 逆系统方法设计步骤 逆系统方法是基于( 单位、a 阶积分) 逆系统将原系统线性化后，再设计附加闭 环控制器，基本步骤为： ( 1 ) 根据原系统求出相应的逆系统，同时确定逆系统的初值。 ( 2 ) 按输入重定义的方法，求出相应的d 阶积分逆系统的方程，并用反馈替代 的方法进步实现为具有反馈结构的等价形式。 ( 3 ) 将逆系统与原系统复合成伪线性系统，实现原系统的线性化与解耦。 ( 4 ) 将上述具有反馈结构的伪线性系统作为被控对象，根据设计目标，按线 性系统的控制方法设计出所要求的控制系统的闭环控制器，从而实现对 原系统的控制。 3 4 3 7 3 0 系统逆系统方法的算法步骤 由前面的分析可知，逆系统方法设计的关键是( a 阶积分) 逆系统的设计。下 面给出磁悬浮系统的逆系统的具体设计。为了叙述上的方便，以单变量系统情况下 的微分方程为对象来表示逆系统的设计过程，具体陈述逆系统及a 阶积分逆的求法 硕：卜论文磁悬泞系统的非线性拄制 及设计，对于两输入两输出的磁悬浮系统，求逆过程相同。并且，为理解方便，仍 在叙述过程中使用原系统中表示输入、输出和状态的符号u 、y 、x 。 算法第一步： 微分方程的n 阶积分逆表述如( 3 6 ) ，设系统由方程 ：y = f l y ，y ，y “，“，“，“”，f ( 3 6 ) 描述，且具有初始条件： k = y ( f 。) ，y ( f o ) ，一，_ y “( f 0 ) 】，u o = 【u ( t 。) ，“( f o ) u ( m - z ) ( f o ) 】 设u cr 是以原点为内点的集合，又设对于任意y c u ，将( 3 6 ) 作为代数方 程看，若该方程在区域x 内存在连续有界解，求出“押的显式表示： - j 1 ：“”= g y ，j ，“，“，一，“”，f ， ( 3 7 ) 其中，【y ，y ，- - ，y ( n - 1 ) “，“，一，“一1 】xc r 川， 由前面判断可见，本系统可逆。并且，由第二章的系统模型可见，本系统是仿 射非线性系统，因此可以用解析的方法求出其逆系统的显式表达式。按第一步中 ( 3 7 ) 式的方法，对式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 表示的磁悬浮系统求取u ，和u ：的显式表达 式如下： f h q + 矽饥+ m + 6 ) 4 ( y 。- y l + b ) 4 j l $ + a q ( y l + 6 ) 4 ( 咒+ 计+ 儿+ 6 ) 4 见$ + & ll ( 3 8 ) l b j - q h + 6 ) 4 + 硝魄一h + 矿矗$ + 明( - y z + b ) 4 一y l + 6 ) 4 + 儿+ 6 ) 4 史$ + 则 其中，$ = ( y 。+ y 。+ b ) 1 ( y 。一y + b ) l ( y ，+ b ) ( 一y b ) 4 & = m s a ( x + v ：+ u ) 4 ( ，+ 。) 4 【( - v ：+ n ) 4 + ( ，。一v + e ) 4 】+ ! 垡；i ：；辫【o 。一y - + 。) 4 一( - y 2 + 6 ) 4 】+ m a ( y l + b ) 4 ( y 。+ y 2 + b ) 4 ( y 。一y i + b ) 4 y l + m a ( z 十b ) 4 ( 一m + b ) ( y 。+ y 2 + b ) 4 y 2 t $ 2 = m g a c - m + b ，4c y 。- y t + b ，4 t c y 。+ y ：+ b ，4 + c y - + b ，4 ，+ a c ( 一y 2 + b ) 4 ( y 。- y l + b ) 4 o + y 2 一y l + d 4 。+ 4 一( y 。十y 2 + 6 ) 4 j + m a ( y 2 十b ) 4 ( y l + b ) 4 ( y 。- y i + b ) 4 y l + m a ( x - y l + b ) 。( - y 2 + b ) 4 ( y 。+ y 2 十b ) 4 y 2 $ 式( 3 8 ) 所表示的是式( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 所表示的原系统的逆映射关系，当系 统满足条件( 3 5 ) 时，根据以上的设计步骤及定义3 2 2 求得系统( 2 1 4 ) 的右逆 系统，这里以v 一、。和z i = l ，2 ，3 ，4 分别表示逆系统兀的输入、输出和状 态变量，列( 3 8 ) 式作变换，即得： 乞ll 一气+ 矽龟$ + ( 嵋( 弓+ 6 ) 4 ( + 6 ) 4 ( 眨+ 弓+ 6 旷z 4 $ + & 1 + 6 ) 4 乏$ + 口q ( - 弓+ 矽魄弓+ 6 ) 4 魄+ 乞+ 分毛$ + 跎i ，= ac y 。+ z ，+ b ，4c z + b ，1c c z ，+ b ，4 + c y 。一z + b ， c 瓦五i 了矛+ 愕 2 ： ac z ，+ b ，1c y 。一z + b ，c c y 。+ z ，+ b ，4 + c z ，+ b ， $ ( 3 9 ) c ( y 。+ z 3 - z i + d ) 4 + 7 增 ( 3 9 ) 式表示的是原系统的单位逆系统。 $ 第二步：在方程( 3 7 ) 中，记y ( f ) = 妒则可得到系统的n 阶积分逆系统 j i 。：p 一甜的方程如下： 玎。：“。“= g y ，y 一”，妒，“，矿，“一“，r 】( 3 1 0 ) 其中，相应有少”1 = d 1 仍y “= d 一2 妒，y = d ”妒，其中d 为微分算子 d d z ，并且，式( 3 1 0 ) 和( 3 6 ) 有相同的初始条件，根据式( 3 1 0 ) 构造的逆系 图3 4 n 阶积分逆系统j i 。的结构图 一一 2l 恐 协耐呐鼹r = jf 峰 一， 习一 瓣二e 舭t l 一型 。 颂l ：论文 磁悬浮系统的非线性控制 相应地，将( 3 8 ) 式中的y l ( j = 1 ，2 ) 及工( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 改换成纯( ，) ( k = 1 ，2 ) 的 i 分形式，就可以得到磁悬浮系统的”= 口= ( 2 ，2 ) 阶的逆系统j 1 。如( 3 1 1 ) 式( 仍 以v 一、( o 。和z i = l ，2 ，3 ，4 分别表示逆系统】的输入、输出和状态变量) ： 摊 i l a q 如+ 矽魄+ 弓+ 6 ) 4 饥一2 i + 矽乏$ + 凹如+ 矽( 一+ 矽瓴+ 弓+ 6 ) 4 2 4 $ + & li j - q ( 喝+ 6 ) 4 编+ 6 ) 4 魄弓+ 6 ) 4 乏$ + 口q ( _ 弓+ 6 ) 4 也气+ 6 ) 4 也+ 弓+ 6 ) 4 五$ + 毖l l = a ( y 。+ z 3 + b ) 一( 。+ b ) 一 ( 一。3 + b ) 一+ ( y o - z , + b ) 一 c 瓦i j 了可g 。+ z 3 + b ) ( y 。一z 。+ b ) 一v + m a ( z ，+ b ) a ( 一z 3 + b ) t ( y 。+ z 3 + b ) v ： $ 2 ： 。( 一：3 + b ) t ( y 。一z ，+ b ) 。 ( y 。+ 。3 + b ) + ( 。+ b ) ， l c 瓦忑丽+ 愕 b ) ( z 十b ) 一( y 。一z ，+ b ) 4 v t + m i b ( y 。一z + b ) 一( 一z 3 + b ) ( y 。+ z 3 + b ) v ：) $ ( 3 1 1 ) i + m a ( 一z 3 + 第三步：将图3 4 表示的系统串联到原系统之前，即可得到伪线性系统，满足 y ( = 妒 碧一i “q i土 图3 5伪线性系统的结构图 丝；! 篁冬璧量堡童篁竺童竺堡堡墅 然后，将n 阶积分逆系统的变量y ，y ，y 抽。由原系统中的相应变量的反馈替 代，即可进一步构成具有反馈结构的伪线性系统如图3 5 。 对于( 3 1 1 ) 式表示的系统，是( 2 1 4 ) 式或( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 两式所示系统 的( 2 ，2 ) 阶积分逆系统，将逆系统j 1 。与原系统串联可得到( 2 ，2 ) 阶的伪线性 系统，它满足： n 。：d _ 2 d 为微分算子。 在确定了伪线性系统结构形式的基础上，可以用线性理论中许多常见的设计准 则，设计出满足多种要求的控制系统。如，可以将常见的极点配置法、线性二次型 最优控制器、鲁棒伺服调节器等设计原则和方法引入控制系统的设计中，使我们能 够比较容易得到所需要的控制系统。 3 5 系统的解耦算法 由第二章中的系统模型表达式可以看出，系统输入输出之间存在着非线性耦合， 输入信号的变化会使多个输出量发生变化，每个输出也不只受一个输入的影响，显 然这不利于系统的控制。因此有必要实现这样一种控制，每个控