（应用数学专业论文）一类双调和椭圆方程基态解的渐近行为.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o 璐i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h 撕o m o ft h eg r o l m ds t a t es o l u t i o n f o rt h ef o u a 而gb m 盯m o n j ce u i p t i ce q u a t i o n ： 辟嚣= 2 n w h e r eqi sau mb a uo f 衍，n 5 2 + 2 石= 五 ( 1 ) i st h ec r i t i c a ls o b o l e 、，e x p o n e n t s f o rt h e 锄b e d d i n g 瑶( q ) q 汐( q ) ，皤( q ) i ss t a n d a r ds o b o l e vs p a c e ，=三a 2 善獗 d e n o t e st h en d i m e n s i o n a ll a p l a c l a n i tp r o v e dt h a tf o r 尹c l o s et o2 + ，t h e 盯o u n ds t a t es o l u t i o n 坳c o n c e n t r a t e sn e a r t h eb o u i l d 缸yo fqa n du ph a sau n i q u em a x i m u mp o i n t a n dd i s ( 唧，a q ) _ 0 a sp _ 2 ，t h ea s 严p t o t i cb e h a v i o l l ro ft 正p i sa l s og i v e n ，w h i c hd e d u c e st h a tt h e g r o u n ds t a t es o l u t i o ni sn o n - r a d 议 t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da s s o c i a t c dw i t hb i h a r m o n i ce l l i p t i c e q u a t i o na n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i ns c c t i o n2 ，r eg i v es o m ep r e l i m i n a r i e so ft h i sp a p e r i ns e c t i o n3 ，w ep r o v et h cc o n c c n t r a t i o nb a h a v i o u ro ft h cg r o u n ds t a t es o l u t l o n u 口f o rp r o b l e m ( 1 ) b yt h e c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r l n c l p l e i ns e c t i o n4 ，伦s h o wt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fg r o u n ds t a t es o l u t i o n 唧b y t h eb l o - u pte c _ l m i q u e 缸dd e d u c e s 吻i sn o n - r a d i 赳 k e y w o r d s ：g r o u n ds t a t es o l u t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；c o n c c n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；b l o w u pt e c h n i q u e i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人承担 论文作者签名：；阀和日期：1 埔年j 1 毯一日 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解华中师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 保密论文在解密后遵守此规定 -1 厶 、一“ 屠王7 艺 论文作者签名：。；嵌i 列和导师签名：6 日期：b 晴年j 月屹日日期_ c ) 。g 午，月赵日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按章程” 中规定享受相关权益同意论文提交后滞后：口半年；口年；口二年发布 论文作者签名：考长i 面幕 日期：1 矾年_ i 一月哆一日 导师签名巷一刍 日期；列f 暂月2 厂日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文考虑以下双调和方程； 第一章引言 ( 1 1 ) 其中q 是舻( n 5 ) 中以原点为圆心的单位球，q o ，2 p o ，2 o ，p 靠近2 时，( 1 2 ) 有唯一基态解且是径向的，当p 靠近i 时， ( 1 2 ) 的基态解一定是非径向的 1 瓦竺矿嘎 十一 l l 舭 气 i i 让 2 0 0 3 年d c a 0 和s p e n g 在文献【2 】中证明了当p = 垒时( 1 2 ) 的基态解不 存在，且当p _ 各时，( 1 2 ) 的基态解集中在边界q 的附近，当然它是非径向 的同时还给出了此时基态解的形状 当p = 墨，竹4 ，q 充分大时，e s e r r a 在文献【1 5 】中证明了( 1 2 ) 至少存在 个非径向解我们知道此时当口= 0 时，( 1 2 ) 是无解的，作者指出之所以q 充 分大，p = 刍时( 1 2 ) 有解，是因为此时h 。很小，对( 1 。2 ) 解的影响相当于在q 中挖了一个“洞”，才导致了解的存在性 对2 p 0 ，使得对任意 的e ( 0 ，e o ) ，( 1 3 ) 存在唯一基态解u 。对于( 1 3 ) 的j v e u m 口仡n 边值问题，文献 【5 】，【2 8 】，【2 9 】，【3 0 】中给出了解的存在性和集中性态 2 0 0 7 年，人们开始关注日饥叽方程的e u m o n n 边值问题 竺：- u = l z i q p 一1 札；耋a 式q ( 1 4 ) 容易验证当p 墨时，( 1 4 ) 至少存在一个解进一步，m g a z z i n i ，和e s c r r a 在 文献【2 3 1 中利用变分法，把n i 在 1 3 】中的结果推广到了( 1 4 ) ，证明了对于h 翻o n 临界指数= 墨+ 墨，当2 p 阢时，( 1 4 ) 至少存在一个径向解 q 充 2 分大，2 。 0 ，( 1 4 ) 都存在一个严格单增的径向解他们还通过数值计算猜测：适当选择参数 p 2 ，q 0 ，n 3 后，( 1 4 ) 可能存在无限多个径向解，但是只有一个这样的解 是严格单增的 在文献【3 1 】中，h e b e y 研究了如下问题 卜舭训小鲁卜5 一 0 ，跃g ( 1 f 5 ) 、u = o ， z a q ， u 。7 这里，( z ) 是一个正函数，且关于单减作者证明了对任意的e o ，( 1 5 ) 都有 一个解u 。且当e _ o + 时，u 。集中在，( z ) 的极大值点处 对于低维空间的情况，在文献【1 6 】中，p e s p o s i t o ，a p i s t o i a ，j c w 西在r 2 中研究了如下问题 竺邛j 2 n 以u 篇叽 ( 1 6 ) 他们证明了存在充分大的册，使得对任意的1 七k 口= m o z 七：七 o ，n 5 ，是方程( 1 1 ) 的基态解，则存在z o 拼2 满足在子列意义下当p _ 2 + 时， ( i ) 在测度意义下l 让p 1 2 - 肛， ( i i ) 在测度意义下i 越p 1 2 _ 扩艮。 这里p ，y 0 ，满足p 之s 乒，瓦是z 点的眈r n c 测度 定理1 2 设u p 如定理1 1 所述，q 使得l 如= u p ( 唧) = m 螫扎p ( z ) ，= 筇一， z sz 则当p _ 2 时，有鸩_ ，且 ( i ) 当p 靠近2 + 时昂是唯一的，而且当p _ 2 + 时，垅s ( ，锄) _ 0 ， d i s t ( z p ，a q ) 入p o 。， ( i i ) 磐上i ( 邯一d 1 2 = 。 1 4 本文的研究方法和难点 在本文中，我们只关注n i e 7 边值问题一问题( 1 1 ) 当q 取定时其基态 解u ，的渐近行为由上面的分析知道( 1 1 ) 的解空间为s d 6 d f e u 空间h ( q ) ：= 础( q ) nh 2 ( q ) ，它的等价范数是1 1 u i l l ：( n ) ，证明见文献【6 】2 + = 笔是嵌入 硼( q ) q 扩( q ) 的临界s d 6 0 f e u 指数，它同时也是嵌入h ( q ) q ( q ) 的临界 s d 6 d f e u 指数，s 是此嵌入的最佳s d 6 0 2 e 嵌入常数，即 肚。嚣揣等 由文献【3 】知道s 不可能被印中的有界区域q 达到，当q = r n 时，s 被 ) = 丽南 达到 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为了研究( 1 1 ) ，在第二章我们首先定义 蜘。嚣器 对瓯p 用取极小化序列的方法，我们证明了& p 是极小可达的且经过伸缩变换之 后可达元就是( 1 1 ) 的基态解吻，由此说明( 1 1 ) 的基态解是存在的 和【2 1 的方法类似，我们证明了p 一2 时， 龋岫z ，( 矗 吲p ) 2 伽仉r 于是2 = 岛，2 ，= s ，所以u p 是s 的极小化序列且可证p = 2 时( 1 1 ) 无基态 解然后我们在第三章中用集中紧原理给出了的集中性态，证明了定理1 1 在本文第四章，我们利用6 f d 一叩技巧对( 1 1 ) 通过一个非奇异的c 1 坐标变 换得到方程 2 u = 1 8 l ( 2 4 ) u 2 - 1 其中l ( 2 + ) = l i m p 2 a 步卅) ( 2 l p ) 2 ，如定理1 2 所述接着我们证明了l ( 2 ) = l ，z o 砸2 ，然后得到钍p 的极大值点昂一z o ，( p 一2 ) 随后我们用文献【5 】的方 法证明了当p 靠近2 时，u p 的极大值点邱是唯一的并指出p 靠近2 + 时( 1 1 ) 的 基态解不是径向的最终完成定理1 2 的证明 和f 2 】不同的是，我们无法直接估计u p 经过坐标变换变成t 后相应的g 2 模 的一致界，我们将( 1 1 ) 化为方程组 j 竺：= z ! ：三二，z q 利用6 d d t s t r 印技巧解决了这个问题同时和【2 l 相比，我们的计算更加复杂和繁琐 1 5 本文的结构和记号 本文结构如下： 第一部分为引言，介绍了本文的研究背景，方法，难点和本文的主要讨论内容， 并叙述了本文的主要结果 第二部分，我们首先证明了方程( 1 1 ) 基态解u p 的存在性，然后给出了一些预 备知识和结果 6 跏 器 q 弛 o z ， = ， u 0 = 一 u ，ilj(1【 第三部分，我们用文献【1 0 】中的集中紧原理的方法证明了定理1 1 ，并指出嘶 确实是s 的极小化序列 第四部分，我们用文献【4 】中的爆破技巧证明了定理1 2 ，并指出基态解唧不 是径向对称的最后给出了方程( 1 1 ) 无解的条件 通篇文章中，我们用c 表示任意的正常数，代表正整数集z = ( z ，z 2 ，) 表示舻中的点n 0 ( ) ，d ( t ) 分别表示当t _ o 时1 0 ( 圳优，l d ( ) l t _ o ， d t ( 1 ) 表示当一。时的小量对v1 o ，2 p o ， 则 卵k ，上u 卜1 所以由& ，p 的定义可知 良护上i 训2 = zi ( 沈) 1 2 = c 2 上i u 1 2 = 揣 于是，p ，p ，从而有。p = & ，p 于是取极小化序列 u 。 日，且厶8 f u 。f p = l ，使得 u 。1 2 叶乳，p ，( n 一。) 于是 u 。 在h 中有界所以存在u o h 使得u 。一u o 弱收敛在h 中 8 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 龋 h时帕 1 o = p& 又2 p l ，使得2 0 ，使得7 2 一p ，p = 1 ，令铂= ，y t z o ， 则有 2 u o = h 。u g ， 即咖= 7 u o 就是方程( 1 1 ) 的解 9 命题2 3 咖是原方程( 1 1 ) 的基态解 证明：对( 1 1 ) 的任何解u 日，它相应的能量泛函为 j r ( u ) = 三上i u i 2 一三z l z i n l u i p 下证 j f ( ) = i n f ，( u ) ：，7 ( u ) = o ，o u 日 因为u 是( 1 1 ) 的解，所以对v h 有 。= ( ) 寿 凇) ( 去一扣庐 她( 去一耖_ ，( 砌 即铷就是原方程的基态解，并记此基态解为姊 1 0 印 在 以而所扶 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为了证明定理1 1 ，我们首先试图从唧中找到岛，2 的极小化序列，为此我们有 弓l 理2 4 揣躲+ d ( 2 呻) ( 1 ) ，( p _ 2 ) 证明：由日6 f d e r 不等式( 厶i i p ) 1 p ( 矗i u p l 2 + ) 1 2 ( m e n s q ) 哿，知引理2 4 成 立 令e o 充分小， 伽2 ( 1 一南，o ，o ) q ，以2 石i 扣，妒是一光 妒( z ) = 1 ，z b ( z o ，高) ， 妒( z ) = o ，z 胛b ( 铂，南) ， 0 妒( z ) 1 ，v z r ”， v p ( z ) l c ll n f ，比舻， i 妒( z ) i c il n 1 2 ，v z r ” 这里c 与无关，令= 妒以，则钍。日( q ) 满足。 引理2 5 刁器= s + k ( e ) ，当p _ 2 ，其中k ( ) 一。，( e _ 。) 证明：我们首先证明 珏。l ；= 喏“加一”一4 + g k l ( 5 ) iu ；一”一4 p 2 一”7 2 + 7 。加一7 4 ( 2 。4 ) u 。i ；= e ( 2 一号l u 睦+ c ih l 1 5 + c il n 1 41 n ( 2 il n e i ) ，n = 5 ， c ll n 1 4 + c il n s l 2 l i l ( 2 il i l i ) ，n = 6 ， c il n e l 4 + c il n 1 31 n ( 2 il n 1 ) ，n = 7 ， ( 2 5 ) c il n e l 4 + c il n 1 4l n ( 2 il n e l ) ，n = 8 ， c il n l “一4 + 0 ( il n e l ”4 ) ， 礼9 ， n 卟冲一南) n 上两者蒜丽 ( 2 6 ) ( 2 6 ) 式其实就是 上川u e i p ( 1 一南) 制多 先证明( 2 4 ) 式，令z z o = y 则d z = e 暑咖，于是当p 靠近2 。时，有 所以 哪= 厶川k 厶 i l u e 瞄一l 以吲= 即 这等价于 ( + i z 一跏1 2 ) ( n 一4 ) p 2 1 ：e 一学+ 詈m 0 = f 2 2 ，l ， e 一学+ 鸶m ： e 2 。2l ui ： 厶 f e +f z 一：1 2 ) ( ”一4 ) p 2 p + l z 一勋1 2 ) ( “一4 ) p 2 + 1 ( e + l z z 一铂l ( 一4 ) p z o l 2 ) ( ”一4 ) p 2 = = c l l ng l “一4 ) p 一”：= k 1 ( ) ， l ( + r n 一1 一( n 一4 ) p d 7 l z 一铂1 2 ) ( ”一4 ) p 2 e 一一4 p 2 + n 2 i u 喀一k 1 ( e ) l u 。曙一一4 p 7 2 + ”7 2 l u 曙+ k 1 ( ) 1 一k 1 0 ) s _ 一4 p 7 2 一n 7 2 l u e p i t 。l 引u e p ”一4 p 7 2 一n 7 21 + k 1 ( e ) e n 一4 ) p 2 一”2 i 【厂i ；p ( 2 ，7 ) 当p 靠近2 + 时，可保证； 1 ，同时若s 充分小，还有k l ( e ) n 一4 p 7 2 “7 2 l u i 芦 1 由此( 2 7 ) 变成 1 一k l ( ) e ( n 一4 ) p 2 一n 2 i u i ；p ( 1 一k l ( ) 似一4 ) p 2 一n 2 i u l ；p ) ； l u 。吲u i i 2 e ”一4 一”p ( 1 + k l ( e ) m 一4 ) p 2 一n 2 i u i ；p ) ； 1 + k 1 ( e ) e ( 4 4 p 7 2 一”2 i u e p 1 2 所以 i u l ；e “p m 一4 ) 一硷( ) i u l ；一p e 加一4 ) p 2 一“7 2 + n p 一n 一4 sl t k 曙l u 曙e ”p n 一4 + k l ) i u 曙一p 一4 ) p 7 2 一n 7 2 + ”p 一一4 、， 这就推出了( 2 4 ) 式，下证( 2 5 ) 式 由的定义，我们有 仳。l = l 击u ( v ( 妒u 。) ) i = i 妒以+ 2 v 妒v 以+ 妒以 由以的定义计算得 于是有： v 以= 一( n 一4 ) z z o f e +l z z o l 2 ) ( “一2 ) 2 以叫，等搿， u = 一( n 一4 ) 蚶= 万等+ + + 一( n 一2 ) z 2 ( 1 + z 2 ) “2 ( n 一4 ) 2 妒2 【e 一( n 一2 ) l z z o l 2 】2 ( e + i z z o l 2 ) ” 4 ( n 一4 ) 2 ( v 妒) 2 l z z o l 2 4 ( n 一4 ) v 妒垆( z z o ) ( e + l z z o l 2 ) ”一2( e + l z z o l 2 ) ”一3 4 ( n 一4 ) 2 妒v 妒( z z o ) 【e 一( n 一2 ) l z z o l 2 1 ( e +l 茁一z o l 2 ) ”一1 将上式右端第二项的一部分积分，令。一z o = e y ，得t p ( n 一4 ) 2 v 一( n 一2 ) i z z o l 2 】2 g + i z z o l 2 ) ” ：。一号( n 一4 ) 。厂 j 即 所以 如：( n 一4 ) 2 厂 j r n 氅婴d z 彰一引 ( 1 + z 2 ) ”。 1 3 ，层 e 2 【一( n 一2 ) ! ，2 】2 n 一2 ( 1 + 可2 ) ” e 暑咖 盟 磐 器嗜 _ u 。偿一2 一号i 【，层 厂_ 一，n ( + ( 垆) 2 z z o l 2 ) 一4 + c il ne i c i l n 印丘卢惭 ，2 r 4 一“d r + c 南 ，3 一n d r 1 4 + c l 其中b 是原点在圆 k 1 3 厶产嗬 + + + + + + 蟾 l 三 l i l 1 i l l n l n l t l 1 5 + c 1 4 + c 1 4 + c 1 4 + c 1 8 4 + l n 1 4 l n ( 2 ih l l n e l 21 n ( 2 il n 1 n 1 3l n ( 2 il i l l i l e l 4 l i l ( 2 i l n d ( fl n i ”4 ) ， 竹= 5 n = 6 n = 7 ， n = 8 扎9 ， 因此( 2 5 ) 式得证，同理可证明( 2 6 ) 式也成立 u 瞪2 一”2 + c il n e i ”一4 + d ( il n e l ”一4 ) i u 曙e ”p 一( n 一4 ) + c 所g ) i 层一p e ( n 一4 ) 2 一吖2 + n 加一加一4 ) 1 i u i 瑟一似一4 ) 2 + c ll i l i n 一4 + d ( 11 ne r l 一4 ) ( 1 一丌备) 2 n 2 l u 偿。e m 一4 ) 2 + c e ll ne i ” 另一方面： 同理我们有： 篇雩蔫熙：孵+ ( ) ( 2 8 ) 川；+ ( 1 2 il n e i ) ”4川刍一u 叫 、7 矗l u 。1 2 ( 矗h 。p ) 2 加群器 蟪之锵+ k ( e ) ( 2 9 ) ( 厶 m 一) 2 p 二川刍u 叫 r 7 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 知，此定理对于n 9 成立，其余情形类似证明 引理2 6 当p _ 2 时， 砑赫_ 岛，器_ & c 2 。， 证明：由t | p 的定义和引理2 5 ，注意到h l ，当p _ 2 + 时，我们有 1 5 有 万 竺舻 二 n q 击 另一方面，对坳，2 p o ，存在兄= r ( ) o ，使得对任何七有厶、b ( r ) l u k l 2 出 e 则我们有 ( i ) 存在一个至多可数集，不同的点( 巧) j jc 舻， 如) c ( o ，+ 。) ， ) c ( 0 ，+ ) 使得 = i u l 2 + 吩p i u 1 2 + 心屯 ，jj 3 这里如i 是z ，点的d i r n c 测度 ( i i ) s 尹p ，这里s 是引言中所述的最佳s 0 6 0 f e u 常数 证明：本引理的证明与 1 0 】中的相应结果l e m m o ，1 类似，这里省略 引理2 1 0 如果j 可数， 1 一哼 ( 1 一吩) 。 j j，3 证明：这是经典的证明，此处略， 1 7 1 ，0 a 1 ，则 第三章定理1 1 的证明 下面证明定理1 1 定理1 1 的证明：选择任意序列m 使得当七一o 。时，孤一2 ，且有陬 2 由推论2 7 可知，当七足够大时，我们有 i u m l 2 d z s 付4 + d ( 1 ) ( 3 1 ) l ，n 显然脚。在( q ) 中是有界的，从而存在一个牡日( q ) 使得当七_ o 。时 乱m t l 于h ( q ) 中 u p 。t 正于( q ) ( 2 s 2 + ) 中 乱p 辛让a e 于q 将仳附u 向q 外作零延拓，并且设p k ( e ) = 厶l u p 。1 2 出，( e ) = 止l u p 。1 2 如，e 是舻中的k b e s 9 桃可测集，则很容易得出p k ，是r n ( c o n 测度，s u p p p kcq ， s u p p cq 并且有对于任意岛和某个不依赖于角常数c 使得，z ( 胛) c + 。， ( 舻) c + 。所以存在舻上的正的r o d d n 测度p 和使得在测度意义 下， 舻k = i 札p k l 2 一弘， = i u p k l 2 + 一l ， 即，对于任意妒q ( 肜) ，有 峨。睁k = o o b 缸 显然，从q 有界知，j j 2 是紧的，由引理2 9 知，存在一个至多可数集j ，使得 = 旷+ 屹屯 ，j 肛i 乱1 2 + p j 6 j j s 吨弦，j j ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 这里奶舻，屯是在巧点的d 打o c 测度，心和吩是正数 由测度弱收敛的判别准则得，对于任何b d _ r e l 集b ，若p ( a b ) = o ，i ，( a b ) = o 则 1 i mp 七( b ) = p ( b ) ，。l i m ( b ) = p ( b ) k + 。o 1 8 因为8 u p p p kc 壳，s u p p cq ，取任何开集u 使得qc cu ，我们有 。l i m “ k 。jr p仳胛如= 熙上阻一2 如= 熙上 i u m l 2 d z = 墨恐p 七( u ) 2 p ( 2j t ( 形) ( 3 5 ) 熙厶m 2 出2 熙上n 2 2 熙二m 2 如2 恕终( 叫u i i 我们断言j 是非空的事实上，如果j = 圣，则由( 3 6 ) 和( 3 2 ) 可得 恕上i 坳，如= ( 形) = 厶2 如= 上川2 如 此时如果有u 0 ，则由( 3 5 ) ，( 3 7 ) 和推论2 8 可得 s = 熙揣= 器器揖 ( 3 7 ) 也就是说s 可以被u h ( q ) 达到但q 有界，故此不可能所以如果l ，= 西 必须有札三o 但是由( 3 7 ) 可得 由( 2 1 0 ) ，我们可以得到 熙厶m 2 协= 。 矗i t p 。1 2 如 ( 上：l 1 2 + 如) 2 2 o 矛盾 我们已经证明了j d 接下来，我们证明t t 兰0 和，是一个单点集 事实上，假设u o ，由( 3 3 ) ，( 3 5 ) 和( 3 6 ) 可得 所以有 上i u 1 2 d z 鲥上n 2 + 吻) 2 j j s c 2 7 2 ( 卜c ) 2 7 矿= j ， 阻1 2 d z + 川s 亏7 2 1 9 i 砰如+ j ，吻 s 哼7 r = s c 2 2 ( 卜( 吻c ) 2 7 2 ) j ， u 1 2 如) 2 2 z 万描 此处用到引理2 1 0 ，这里c = 矗i 仳p 。1 2 如+ j - ，吩但上式与s 的定义相矛盾 所以u 三0 接下来证明，是一个单点集当t | 三。时，由( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 5 ) 和( 3 6 ) 得 s = 熙器邑等= 驴弦。 这里q ，= f 生i 如果，不是一个单点集，则o q j 1 ，注意到o s j ，口j = s 这是不可能的所以j 是一个单点集，从而有当后_ 。时，存在z o q ，使得 u p k l 2 _ p 6 l 仳p 1 2 _ 最后，我们证明跏a q 事实上，如果 d i s ( z o ，a q ) c o ，当七一。时，l u p 。1 2 一 从而我们有 z o q ，则存在c ( 0 ，1 ) 使得 以o ， ( 。 i 削z ) z 饥( 。坩蒹i m z ) 2 lq 1 1 一 ，n ，q 厶f t p 。1 2 如 ( 1 一c ) 2 。p t ( 厶i 儿p kl p k d z ) 2 p k 当七一o 。时，由引理2 6 可得s s ，矛盾这样就完成定理1 。l 的证明。 第四章定理1 2 的证明 这一节我们研究基态解的渐近行为并证明定理1 。2 令坞= t 扫( z p ) = r 1 1 警( z ) ，唧q 命题4 1当p 一2 时，峰一+ o o 证明：当后一+ 。，取m _ 2 + ，只需对 m ) 证明该结论即可 用反证法，设存在正常数c ，使得对任意的后， 轨己由命题1 1 的证明可得， 1 1 秕p 。i l c ，u 孤一。于日( q ) 中，t | m o 于( q ) ( 2 s 0 ， ( & 枞) 卷= 。反q 1 p i u 一三* 【n ) 上i 唧斤。9 冬，正1 u 一掣却一0 - _ 。o ) j q ，q ，s t 这不可能 下证定理1 2 ： 我们主要运用a 如s 和s 矽托旅在文献f 4 j 中的爆破技巧来证明 设对于p 的某个趋向于2 + 的序列，且却一z o q ，令入如下定义： 入芦 名：l ，：罕兰入厂 名= l ， = 产 n p 再定义伸缩函数如下： 一4 吻( 箩) = a p 2 u p ( z ) 和区域 q ；：= 爹冠n i 箩+ 勺q 因为当p _ 2 + 时，坞一。o ，所以一0 ，由咋的定义知， 印( 竿) = a 尹，扫( z ) 7 、p 号；吻( 掣) k 4 = 矿( ：仳p ( z ) ， 号z ( 可) ：入芦( 畔一，( z ) ) = a 产( ( 可) a 芦) 2 l ( 4 1 ) ( 4 。2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 即吻( ! ) 满足如下方程t i 2 = i y + 唧l a a 妒_ 4 2 l 纠2 哆，可q p ， 咋= o ，唧= o ，s ，纰， ( 4 3 ) io 1 ，使得川aj n i p 一1 l g t ( q ) ，由口估计 和( 4 7 ) 的第二式知 u w 2 ，q 1 ( q ) 2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由s d 6 d f e u 嵌入， ”l 煮旨( q ) ：汐( q ) 再由( 4 7 ) 式的第一式知，牡彤2 肌( q ) ，由s d 碱e 秽嵌入，珏l 啬( q ) ，回到第 二式，由 i z i 。矿一1 l 茅了；希( q ) ：= l q 2 ( q ) 1住口1 知， u w 2 ，( q ) 由s d 6 0 f e t ，嵌入， u l 赣( q ) ：泸( q ) 再由第一式，u 2 ，p 2 ( q ) ，由s d 6 d f e ”嵌入，u l 尝象( q ) ，回到第二式，由 i z l o u p 一1 l 石了石乏笼( q ) ：= l 叮3 ( q ) 1n ” 知， u w 2 ，口3 ( q ) 如此一直进行下去，得到 口w 2 ，玑( q ) 且可证 饥) 单增且一十。o 于是由( 3 7 ) 第一式知， u w 4 ，q 。( q ) 与此类似，我们可以得到( 4 3 ) 式中的i h | | 彬如( b ( o ，2 z ) ) ( ，7 ， 4 ) 的一致界，选 取p 充分靠近2 + ，由m 0 7 r e y 定理，我们也可得到l i 唧i i c 。，一( b ( o ，1 ) ) ( o 竹4 ) 中，因此由( 4 3 ) 式知，在舻中， ( ) 是如下方程的解， 2 u = i z o l a l ( 2 + ) u 2 一( 4 8 ) 2 3 如果l ( 2 ) = o 或者z o = o ，则2 = 0 ，于是u 兰。在舻中，这是不可能的 因为u ( 0 ) = 1 如果l ( 2 + ) ( o ，1 】，则由( 4 8 ) 式知，( 4 3 ) 式就是t 庠茉己， 他9 ， io u 1 ，u ( o ) = 1 因为l 知i ( o ，1 ) ，所以这里o e ：= l 如 。( 2 。) 1 令= 南u ，则 l 2 埘= 叫2 ， s ，舻， t 孑= 笺。浆： ( 4 1 0 ) 因此圳( y ) = 警u ( 詈) ，其中由c 决定由推论2 7 和f 以o 引理知：当p 一2 4 = 上。i 卵= c 南厶m 1 2 一而k ) 有定义且满足( 4 3 ) ，且有s u p ( y ) = ( o ) = 1 2 4 下面我们断言 ( i ) 彩_ + o 。，( p _ 2 ) ， ( i i ) l ( 2 + ) = 1 先证断言( i ) ：假设南有一致的上界，且通过必要的取子列后_ s o ， 重复上述a q 的证明过程，注意到i 知i = l ，我们的到咋的一个子列收敛到 掣( y ) 且满足； l 2 = l ( 2 + ) u 2 一1 ，剪霹：= ! ，= ( ! ，1 ，一1 ，鼽) i y 。一s ) ， t ，= o ，u = o ， 可a 冗? ， lo o ) ， iu ( y ) = o ，u ( 可) = o ，可a j f 缉 ( 4 。1 2 ) ( 4 1 3 ) 事实上， ( 4 1 3 ) 有唯一解 兰o ，这是因为：类似于文献【4 1 】和文献 4 2 】中的证明 方法，通过适当的伸缩变换可知，t ，满足如下p d 口z 口e t ，恒等式 字厶，扣厶c z 彬z = 一z 咸c z ，警挚 其中z o = ( o ，o ，1 ) ，为a r ：上的单位外法向，经分部积分计算得上式左端为 o ，于是右端也为0 但是由( 4 1 3 ) ，若u 三o 不成立，则由h 。p _ 厂引理和极大值原理 可知，警 o ，是 o ，