（岩土工程专业论文）分层地基中瑞利波弥散和衰减特性及其应用研究.pdf

摘要 摘要 瑞利波法是一种新兴的勘探及无损检测方法，已开始在许多领域得到大量的 研究和应用，但还存在一些待解决的问题。 在分层地基中应力波的传播是十分复杂的，因此在理论分析时作了很多的假 设，其中最主要的假设就是地基在水平方向分层。但当遇到介质不连续或有地下 障碍物时，这个假设就与实际情况有很大的出入，这种不连续性或障碍物影响了 表面波的传播。 在层状地基中存在多种形式的波，虽然不同的波在不同考察点所占的能量不 一样，但在层状地基表面无论介质受到的是各种动荷载，瑞利波总占能量的主要 部分。随距离的增加其衰减比其他波慢，因此瑞利波随深度的衰减特性是最值得 研究的。 本文关于瑞利面波在分层地基、障碍物分层地基中的频散特性及瑞利波位移 在分层地基中随深度的衰减特性的研究正是在这种背景下提出来的。 主要研究内容如下： 1 针对上软下硬、上硬下软、软夹层以及硬夹层等各类分层地基，讨论了解析 法和有限元一解析法计算瑞利波弥散曲线的适用性，对各种瑞利波的弥散曲线 进行了分析对比，探讨了其中存在的规律。 2 基于无源环境振动分析的需要，研究了各种频率下分层地基中瑞利波水平和垂 直位移随深度的衰减，并与现场深孔微振动测试结果进行了比较，得到了一些 有价值的结论。 3 本文利用动力有限元计算软件对地下埋有管道的分层地基中的瑞利波频散曲 线进行了模拟，着重探讨了粘一弹性人工边界和有限元网格的影响，并进一步 探讨不同传感器位置和间距对现场地下障碍物探测以及波速测试精度的影响， 得出了一些对工程实践有参考价值的成果。 关键词：瑞利波，分层地基，地下障碍物，弥散曲线，衰减曲线 a b s t r c t a b s t r a c t r a y l e i g hw a v em e t h o di san e ww a yi np r o s p e c t i n ga n dn o n d e s t r u c t i v e ，w h i c hi s r e s e a r c h e da n d a p p l i e db r o a d l y i nm a n yf i e l d s h o w e v e r , m a n yp r o b l e m so nr a y l e i g h w a v em e t h o dn e e dt ob es o l v e d al o to fs i m p l i f y i n ga s s u m p t i o n so ns t r e s sw a v ep r o p a g a t i o ni nl a y e r e ds o i l sa l e m a d eb e c a u s eo fi t sc o m p l e x i t y o n em a j o ra s s u m p t i o ni st h a tt h ee v a l u a t e ds y s t e m c o n s i s t so fi n f i n i t eh o m o g e n e o u sl a y e r so fac o n s t a n tt h i c k n e s s t h i sa s s u m p t i o ni s v i o l a t e dw h e n e v e rd i s c o n t i n u i t i e so ru n d e r g r o u n do b s t a c l ea r ep r e s e n t m a n yr e s e a r c h r e s u l t ss h o wt h a td i s c o n t i n u i t i e so ro b s t a c l e sa f f e c ts u r f a c ew a v ep r o p a g a t i o n t h e r ea r el o t so fw a v et y p e si nl a y e r e ds o i l s w a v ee n e r g yi sd i f f e r e n to nd i f f e r e n t l o c a t i o n , b u tr a y l e i g hw a v ee n e r g yi s d o m i n a n to nl a y e r e df o u n d a t i o ns u r f a c e ， m e a n w h i l e ，t h ea t t e n u a t i o no fr a y l e i g hw a v ei sl o w e rt h a no t h e rw a v et y p e s s ot h e a t t e n u a t i o no fr a y l e i g hw a v ew i t ld e p t hi sd e s e r v es t u d y i n g t h i st h e s i si s p u t f o r w a r do nr a y l e i g hw a v ed i s p e r s i o na n da t t e n u a t i o n c h a r a c t e r i s t i c so fr a y l e i g hw a v ed i s p l a c e m e n tw i t hd e p t hi nl a y e r e ds o i l s m a i n c o n t e n t so ft h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ea p p l i c a b i l i t yo fa n a l y t i c a lm e t h o da n df m i t ee l e m e n t a n a l y t i c a lm e t h o di s d i s c u s s e do nc o m m o ns o i l s ，c o m p a r i n ga n da n a l y z i n gd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c so f e v e r yk i n do fc o m m o n s o i l s ( 2 ) t h ea t t e n u a t i o nw i t hd e p t ho fr a y l e i g hw a v eh o r i z o n t a la n d v e r t i c a ld i s p l a c e m e n t i sr e s e a r c h e d ，c o m p a r i n gt h ec o n c l u s i o nw i t hi n - s i t um i c r o v i b r a t i o nt e s tr e s u l t s ( 3 ) m o d e l i n gr a y l e i g hw a v ed i s p e r s i o nc u r v e o fo b s t a c l ee x i s t i n gb yd y n a m i c a lf i n i t e e l e m e m ，d i s c u s s i n gt h ee f f e c to f e l e m e n td i m e n s i o n sa n dv i s c o u s - e l a s t i cb o u n d a r y c o n d i t i o n so nd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c s t h ee f f e c to fs e n s o rl o c a t i o na n dd i s t a n c e a r ef u r t h e rd i s c u s s e da n dd r a ws o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n s k e yw o r d s ：r a y l e i g hw a v e s ，l a y e r e ds o i l s ，u n d e r g r o u n do b s t a c l ed i s p e r s i o n c u r v e ，a t t e n u a t i o nc u r v e u 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 繇刍产辛 签名：刃各7 芦年 月7 歹日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 刍l 盎宇 i 沙年7 月y 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年 月 目 第l 章绪论 1 。1 引言 第1 章绪论 土动力学作为岩土工程和地震工程的重要内容，最近得到了飞速发展，其中 在弹性地基的振动特性方面表现尤为突出。弹性地基的振动特性主要包括波动和 动力响应问题。弹性地基波动问题的重要方面是表面波的传播特性，从1 8 8 7 年 r a y l e i g h 发现了瑞利波( r 波) 开始，表面波的研究取得了长足的进步，取得了 一系列的实用成果。弹性地基的动力响应问题，从1 9 0 4 年l a m b 提出半空间受荷 载作用的动力响应开始，已取得了很大的发展，研究对象已经从简单的均匀介 质发展到成层的介质以及更为复杂的非均匀介质。 在弹性半空间中存在着体波( p 波、s 波) 和表面波( r 波、l o v e 波) ，由于该 类波的动力方程较为简单，容易求解且能反应弹性介质的性质，因而得到极大的 发展，在地基检测中发挥着重要作用瞳1 。p 波传播时，质点运动方向与波的传播 方向一致，介质中既有压缩区也有拉伸区；s 波传播时，介质不产生体积应变， 介质的运动方向与波的传播方向垂直。r 波传播时，介质在波的传播方向垂直面 内振动，地表质点的运动轨迹为逆时针方向转动的椭圆：l o v e 波只限于在半无 限介质表面有一低速覆盖层时才存在，质点在波的传播方向水平面内振动。- 关于三种波辐射出去的能量，是半空间理论中一个重要的组成部分。m i l l e r 3 1 得到了三种弹性波向外辐射携带能量的百分比分别为：r 波占6 7 3 ；s 波占 2 5 8 ；p 波占6 9 。由于r 波携带能量所占比重大，并且随距离的增加其衰减 又比s 波和p 波慢，因此r 波在距离振源较远处占主导地位。三种波辐射出去的 能量密度随着离开波源距离的增大而减小，振动幅值也会减小，这种能量密度与 位移振幅的减小相当于半空间的振动受着某种阻尼作用，即使不计材料本身的阻 尼，也相当于存在某种等效的阻尼。由于这种阻尼作用是介质几何特性( 半无限 体) 所引起的，因此称为几何阻尼，从另一个角度讲，这种阻尼作用是波向外辐 射的结果，因此亦称为辐射阻尼， 在天然地震中瑞利波的能量最强，是危害最大的地震波，早期人们把瑞利波 当作一种强干扰波来处理，后来人们随着对瑞利波研究的不断深入，人们发现瑞 利波在层状介质中具有明显的频散性，并根据这一特性广泛的利用天然地震记录 的瑞利面波信号来研究地球内部结构 4 - 1 1 1 瑞利面波的地位也从干扰波变成了勘 探波。随着人们对瑞利面波理论研究以及应用研究的深入，瑞利面波法已开始在 地球物理勘探、人工地震勘探、无损检测等领域得到了大量的研究和应用 1 2 - 拍1 。 第1 章绪论 1 2 标准层状介质中的瑞利波 在均匀介质中，表面波速度是一个与频率无关的数值，而在成层介质中，表 面波具有频散特性，速度与频率有关。由于表面波法本身所固有的一些优势，表 面波的研究引起广大学者的极大的兴趣。 1 9 5 0 年t h o m o s o n 利用传递矩阵法建立了r 波的特征方程，由于在推导过 程中引入了土层之间位移不连续的假设，其结果是错误的。 1 9 5 3 年h a s k e l l 瑚1 在t h o m o s o n 研究的基础上，通过相邻两界面的传递矩阵 公式以及自由表面边界条件和无穷远处的辐射条件导出了层状介质中平面瑞利 面波的频散方程，人们把这种方法称为t h o m s o n - - h a s k e l l 法，h a s k e ll 将此方 法应用于美国大陆地震信号频散曲线的模拟，取得了一定的效果，但此方法在高 频率段容易出现数值溢出从而导致精度丢失。 1 9 6 4 年k n o p o f f 伪1 在h a s k e l l 的矩阵方法基础上，提出一种新的求取频散 曲线的方法，与h a s k e l l 不同的是k n o p o f f 得出4 n + 2 阶的频散方程行列式，此 行列式的求解使用了k n o p o f f 分解法，r a n d a l l 柏1 首次对k n o p o f f 分界进行了计 算，成功的避免了t h o m s o n m h a s k e l l 方法中存在的数值不稳定问题，但此方法 过于复杂，不利于广泛应用。接着s c h w a b 和k n o p o f f “h 2 1 对k n o p o f f 分解在数 值上进行了进一步的研究和改进，形成了完整的s c h w a b - - k n o p o f f 方法。 1 9 6 3 年p e s t e l 和l e c k i e 3 法介绍了6 矩阵方法，之后t h r o w e r 和d u n k i n 哪! 首次将6 矩阵方法应用于瑞利面波频散方程推导，避免了高频有效数字丢 失。 1 9 7 0 年，w a t s o n 1 应用简化的6 矩阵法求解瑞利面波频散问题，减小了计 算量。到了9 0 年代b u c h e n 和b e n - - h a r d o r “ 提出了快速6 矩阵方法，此方法 吸收了s c h w a b 的变换程序思想，并用6 矩阵理论的形势表达出来，具有快速稳 定的特点。 1 9 9 8 年，i v a s s o n 鹪1 用更简便的方法同样得到了快速6 矩阵算法。1 9 7 9 年， a b o z e n a m l 为解决频散方程的数据不稳定问题，通过一系列的4 阶反对称矩阵 的循环计算得到了瑞利面波的频散方程，这种反对称矩阵和6 矩阵很相似，与特 征函数的乘积有直接的关系，该法除避免了高频有效数字损失外，还具有计算速 度快的功能。同一年，m e n k em 1 解释了a b o - z e n a 提出的反对称矩阵的物理意义。 1 9 8 2 年，李幼铭等“n 在b 、p 、c 坐标下将a b o - z e n a 的算法采用h a s k e ll 矩阵特征值分解的6 矩阵运算用五个形式简单的矩阵连乘形式重新组织了 a b o - z e n a 算法，使运算步骤大量简化之后，张碧星等m 1 用b 、p 、c 坐标系进 一步研究了层状介质中瑞利波的弥散问题。 1 9 8 5 年k u n d u 和m a l 呻1 利用6 矩阵算法对体源在层状介质中产生的面波场 2 第1 章绪论 进行了研究。 1 9 8 9 年陈云敏啷1 利用解析法建立成层地基中瑞利波的特征方程，并分析其 求解方法，提出了一种能克服溢值的计算方法，将该法和6 矩阵型的算法结合起 来，得到的算法不仅具有6 矩阵型的算法的优点，还比a b o z e n a 法计算效率高。 但这些只能针对普通地基，而对于具有硬壳层地基( 如道路结构) ，尽管特征方 程仍适用，但求解方法却不适合，因为在这种情况下的特征方程是复函数，用一 般的数学方法难以求解，并且难度随深度的增加而增加。 v r e t t o s 汹删曾将解析法推广到剪切模量随深度增加的地基的瑞利面波的计 算，但适用性也不强。有限差分法和有限元法等数值方法是近年发展起来的克服 上述困难的一种有效的计算方法。 陈云敏和夏唐代5 7 删利用有限单元法和半无限法建立了地基中瑞利波弥散 特征方程，但仍含有选定参数r 需事先确定才能够求解。夏唐代等旧训将有限 元法和解析法结合起来建立了一种求解方法。在半无限层采用解析法，而在成层 部分采用有限元，这不但消除了半无限元中的参数r ，而且利用了矩阵特征值求 解方便这一特点，从而克服了解析法的求解困难，兼有有限元法和解析法之优点。 该方法能十分有效地分析复杂地基瑞利波特性。 另外，关于层状介质瑞利波的正演理论还有许多其他的研究成果，1 9 9 1 年 以及1 9 9 3 年，黄嘉正、关小平“2 1 以水平层状液体模型的瑞利面波和漏能面 波弥散解释了实测勘探信号中提取的弥散曲线。 1 9 9 8 年，张碧星、喻明等“3 删对瑞利面波的能量衰减进行了研究。 1 9 9 7 年，c o s t e 6 7 1 在假定各层弹性常数相近的情况，利用泰勒展开法导出 了两层介质中瑞利面波弥散的近似公式。 1 9 9 8 年，张恒山等旧1 在半波长理论的基础上进一步探讨了层状介质中瑞利 面波的勘探深度与其波长之间的对应关系。 所有这些对层状介质中瑞利面波的正演问题的研究不仅充实了瑞利面波的 理论，还促进了瑞利面波在工程当中的进一步应用，特别是对瑞利面波的频散研 究，使得越来越多的人们对瑞利面波法发生了兴趣。 1 3 非标准层状介质中的瑞利波 对非标准层状介质，如界面不连续、界面不平坦、倾斜界面、非弹性层状介 质等情况，瑞利面波的频散曲线的求取以及瑞利面波波场的正演研究比层状介质 更为复杂，有些研究以标准层状介质的正演理论为基础，有些则利用到了其他方 法。 1 9 7 1 年，s c h w a b 等瑚基于b i s w a s - - k o n p o f f 变换研究了非弹性层状介质中 第1 章绪论 面波的频散衰减规律，并应用于径向非均匀非弹性介质中的乐夫面波波场的频散 及衰减计算。 1 9 7 8 年，t i e r s t e n 和s i n h a m l 利用线性压电弹性体方程格林函数公式得到了 压电弹性体的扰动理论，由特征值的第一扰动方程的反复使用得到了想要精度的 面波衰减，以及大波长面波在含覆盖层介质表面传播的相速度频散。 1 9 8 6 年，s n i e d e r 7 用线性化散射理论对不规则表面的层状介质中的面波散射 进行了研究，并计算了周期为1 5 秒到3 0 秒之间的面波基础模相速度的扰动。 1 9 8 6 年，b h a t t a c h a r y a 7 2 1 在6 矩阵法及a b o - - z e n a 的方法的基础上，提出 了球形层状介质中瑞利面波的频散方程的求解方法，此方法对高频情况不会出现 数值精度丢失问题。 1 9 8 8 年，m a lm 1 对层状介质中含非完好连接界面时的面波场进行了研究， 用矩阵方法分别对两种非完好连接界面模型进行了面波频散方程的求解，此方法 也避免了高频数值不稳定性问题。 1 9 9 1 年，r i c c h a r d s 等m 1 提出了弹性波在有倾斜界面存在的层状介质中传播 的射线理论，对面波在有倾斜界面存在的层状介质中的传播规律有一定的指导作 用。 1 9 9 6 年，牛滨华、何继善n 沸1 从虚功变分原理出发，引入等效面波震源概 念，用有限元方法导出了含多个倾斜晃面的层状介质以及垂向各向异性和粘滞性 多层介质中瑞利面波的频散方程，并进行了数值计算。 1 9 9 7 年a r o r a 等订7 1 利用t h o m s o n - - h a s k e l l 矩阵法也导出了球形层状介质中 瑞利面波的频散方程，将各层的传递函数表述为一种简单明确的形式。 1 9 9 9 年，b e n h a d o r 和b u c h e n 7 8 1 基于w h i t t a m 的一阶扰动理论导出了存在 倾斜界面的层状介质中乐夫面波和瑞利面波频散方程，并数值计算了二层及三层 模型下面波的频率、波熟、幅度及相位的扰动。 非标准层状介质中的含倾斜界面的层状介质中的瑞利面波研究对于实际的 地球物理勘探具有较大的现实意义，在工程中它们比层状介质更贴近于实际地层 情况，在层状介质的瑞利面波日益完善之后，人们无疑应大力开展这两种介质中 的瑞利面波勘探研究。 1 4 存在空洞、障碍物等复杂层状介质中的瑞利波 在分层地基中应力波的传播是十分复杂的，因此在理论分析时作了很多的假 设，其中最主要的假设就是地基在水平方分层，每层介质都是均质各向同性的。 但当遇到介质不连续( 断层、节理、溶洞等) 或有地下障碍物( 城市中的地铁、 管道、地下构筑物等) 时，这个假设就与实际情况有很大的出入，这种不连续性 或障碍物影响了表面波的传播，这时我们在地表所测的位移实际上是入射的瑞利 4 第1 章绪论 波和从不连续面或障碍物反射回来的瑞利波的叠加。 在简单介质的情况下，地基的动力响应可以用解析的方法求解，当介质的情 况较为复杂时，如瑞利面波在存在裂缝、缺陷、拐角、阶梯、障碍物、空洞、沉 积盆地等复杂结构的介质中传播时，解析的方法就束手无策，有时即使能得出积 分解，但积分计算很复杂。目前研究这类问题的方法形形色色，而求解的问题已 远离简单的频散和衰减，大多数研究均以求解面波散射场为主要目标，求解的方 法大多用到了数值近似方法，如边界元方法、有限元方法、有限差分方法、b o r n 近似法、波函数展开法、扰动法等7 9 堋，这些研究对充实瑞利面波理论及弹性波 理论有不可估量的作用，但离实际应用还有一段距离。 在利用有限元方法计算时，对无限域进行边界的处理是事关成败的关键。边 界处理的方法多种多样，目前的处理方法主要有以下几种： ( 1 ) 人工边界删：对无限域人为的选取有限域进行处理，而计算边界加上一 定的人工处理以近似地反应远场效应。如非反射边界、透射边界。一般这种方法 在课题研究中取得了较好的效果，是应用较多的一种方法。 ( 2 ) 边界元法9 h 朝：这类方法也是应用较多的一种方法。边界元法的不足之处 是难以得到通用的基本解，对非均匀、不连续、非线性问题的适应性差，在实际 应用中存在一定困难。 ( 3 ) 无限单元法嗍q 1 ：目前，应用较多的是将无限单元法与有限单元法结合起 来，它能较好的解决无限域的模拟问题。 目前关于地下不连续界面或地下障碍物( 包括地下空洞) 对瑞利波弥散曲线 影响方面的文献有限。 1 9 8 8 年，s h e ue ta l 哪分析了道路结构垂直边界的反射对瑞利波弥散曲线 的影响，由于道路垂直边界反射使得在检测时瑞利波的弥散曲线产生较大的波 动，并指出在实际应用中如何调整传感器的布置方案来减小这种反射的影响。 1 9 9 4 年，a 1 - - s h a y e ae ta ln 嘲做了一个模型试验，利用s a s w 法研究砂箱中 由于预先设置的空洞对瑞利波弥散曲线的影响。并指出由于空洞的存在使得检测 的剪切波速度小于均匀砂介质中的剪切波速度。在实际s a s w 法应用中，当传感 器的位置位于不连续面或障碍物附近时，所得的弥散曲线会产生剧烈震荡“州们1 。 面波法的最终目的是想获得地基的剪切波速，由于现场所测的弥散曲线的震 荡从而影响了剪切波速的反演甚至会产生错误的结果。从另一个角度，当障碍物 的位置已知，我们应采取什么样的措施来减少障碍物的存在对测试结果的影响是 我们重点要解决的问题，本文正是从这个方面入手，力争能找到一些有益的建议。 1 5 标准层状介质中瑞利波的衰减 5 第1 章绪论 随着现代工业的迅速发展和城市规模的日益扩大，振动对大都市生活环境和 工作环境的影响引起了人的普遍注意，国际上已将振动列为七大环境公害之一。 除工厂，企业和建筑工程外，交通系统引起的环境振动问题已成为关注的重点， 随着城市建设的迅猛发展，高架道路，地下铁路，轻轨交通以及周围地面交通正 日益形成一个立体空间交通体系，交通车辆引起的结构振动通过周围土层向外传 播进一步引起周围建筑物的二次振动，对周围建筑物特别是高科技产业，如i t 行业的精密仪器的生产带来很大影响。城市化的进程使得大城市周围地区的场地 微振动水平大大提高，对拟建的对环境振动要求很高的科研基地，比如上海光源 工程同步辐射工程( s s r f ) 造成很大的影响。与地震所产生的巨大损失相比， 人工振动所产生的破坏很少引起人们的注意，并且振动问题错综复杂，常被诸多 其它因素掩盖。值得注意的是与地震的突发性和巨大破坏性不同，虽然人工振动 产生的影响其损坏进度慢，但却是大量而持续的产生，并与人民的日常生活息息 相关。因此如何合理预测和有效控制环境微振动对拟建设施的影响将是十分重要 的。从分析的角度来看，这类问题往往都属于无源振动，其中的关键问题之一就 是需要合理描述场地环境振动随深度的衰减规律。 在层状弹性半空间中存在多种形式的波，虽然不同的波在不同考察点所占的 能量不一样，但在弹性半空间表面无论介质受到的是稳态荷载还是瞬态荷载，瑞 利波总占能量的主要部分。并且随距离的增加其衰减又比其他波慢，因此瑞利波 随深度的衰减特性是最值得研究的。 1 6 课题的背景和意义 关于瑞利波的正演理论，目前大多数研究集中在对于层状介质中瑞利面波频散 曲线的计算n 州埔1 ，而对于比层状介质更加复杂的介质，如界面不连续、存在裂 缝、缺陷、障碍物和空洞等复杂结构的介质，在这些介质中瑞利面波的传播规律 显得更加复杂，主要研究集中在瑞利面波散射等问题上，研究成果还无法满足瑞 利面波法的进一步应用。本文在分析了工程中常见的分层地基瑞利波频散曲线的 规律的基础上进一步分析了复杂介质条件下瑞利波的频散特性。 由于瑞利波在竖向呈指数衰减，因此在地基道路等无损检测中其检测的深度有 限。基于这种特点。瑞利波传播在竖向衰减规律的研究对瑞利波法的进一步研究 具有重要意义，目前从查阅的文献来看，瑞利面波的衰减的研究主要集中在均匀 半空间，对分层地基以及更为复杂的介质其衰减规律研究较少，因此分层地基瑞 利波衰减规律的研究具有一定的工程意义。 总之，瑞利波法是一种新兴的勘探及无损检测方法，已开始在许多领域得到大 6 第1 章绪论 量的研究和应用，但还存在一些待解决的问题。本文关于瑞利面波在复杂地基中 的频散特性和衰减特性的研究正是在这种背景下提出来的。 1 7 本文的主要研究内容 1 本文将在m a t l a b 的平台上，讨论了解析法和有限元一解析法计算瑞利波弥散 曲线的适用性。对工程中常见地基中瑞利波的弥散曲线进行了计算和分析，并绘 制r a y l e i g h 波的波速在波长变化下的频散曲线。探讨其中可能存在的规律 2 对于分层地基中的瑞利波随深度衰减规律做了探讨，编制了分层地基的瑞利波 衰减程序，并且将程序的计算结果和工程实例进行了对比，得到了一些有价值的 结论。 3 本文利用有限元计算软件对地下埋有管道的复杂介质中的瑞利波频散曲线进 行了模拟。对有限元模拟过程中的网格尺寸和人工边界条件处理进行了探讨，在 此基础上对现场波速测试中影响测试精度的因素进行了分析，以期能得到一些有 价值的成果，并能在今后的实际测试中得到应用。 7 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 2 1 引言 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 第l 章曾指出，在匀质半空间中存在着瑞利波，且瑞利波波速与振动频率 厂( 或缈) 无关，即具有非弥散性。成层半空间中，由于各层的弹性性质不一样， 波在分界层多次反射及干涉也将产生一种广义瑞利波，但不同于半空间中的普通 瑞利波，这种广义瑞利波是频散的，即相速度c 大小与振动频率厂有关瑞利波 的弥散特性的工程价值早为人们所注意，利用其弥散特性能初步地反分析地基的 剪切波速度。近年来这一方法的研究和应用又有了新的发展，即已发展成一种面 波法( s a s w 法) 。当然，在s a s w 法中，瑞利波的理论弥散曲线只有在能够精确 地计算时，反分析才能够进行。另一方面，在地震工程中，必须要知道瑞利波的 弥散特性。此外，在基础动力响应计算和隔振等方面，也要对瑞利波的弥散特性 和位移分布规律作全面了解，并利用面波的特殊性质来分析计算基础的动力响 应。由于天然土体一般为非均质的，因此研究成层地基瑞利波特性对浅层地基勘 测等都具有重要意义。要了解土中瑞利波特性，必须首先建立和求解瑞利波特性 方程，本章将介绍瑞利波特性方程的建立和求解。 对瑞利波弥散曲线的计算，传统的方法是解析法( h a s k e l l ，1 9 5 3 黯1 ；d u n k i n ， 1 9 6 5 1 ) 。其原理是根据土层之间力和位移连续性关系来建立特征方程。这一方 法仅适用于上软下硬的情况，对于上硬下软地基和有夹层地基等上述方法可能并 不适用，原因在这类体系的特征方程难以建立，且有时为复数方程。 有限差分法和有限元法等数值方法是近年发展起来的能处理复杂体系动力 计算的一种有效的方法。陈云敏等( 1 9 9 1 ) 脚1 和夏唐代等( 1 9 9 0 ) 旧1 根据波的能量辐 射条件，利用有限元一半无限元相结合的方法建立了多层体系瑞利波弥散特征方 程，可适用于上硬下软和非匀质多层体系，但该方法中半无限元的位移函数仍含 有一个特定的参数r ，需根据试算近似确定。并且该方法需假定对于同一体系， ，项是定值，而实际上，也将随着频率而变化。因此该方法在计算速度上和精 度上都受到限制。为此，夏唐代等( 1 9 9 2 ，1 9 9 3 ) 一1 提出了另一种计算方法，即 有限元一解析法。这一方法将成层部分( - - i 为非匀质等) 采用有限单元离散，而 半无限空间( 最下层) 则采用解析法。这不但消除了半无限中的待定参数，而且 具有限元法求解方便和解析法精确的优点。 鉴于整篇论文讨论的问题都在地层竖向切面的两个维度上展开，所以文后涉 及到的公式都只取五y 两个方向，x 向右为正，y 向下为正。 8 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 2 2 平面波的波动方程 由文献 1 0 9 可知，平面波的波动方程可表示为( 不考虑体力) ： 旧址_ 事 亿。， 旧2 v 一户鲁l 式中：五为拉梅常数，g 为剪切模量，“和v 分别为x , y 方向的位移。 引入势函数 却a 少 0 = o + 二 耋! ( 2 2 ) a 沙a 9 归百一面印 也 将势幽数代八( 2 1 ) 式化嗣后得： 孝卅咖 ( 2 3 ) 警= 咿9 式中：圪为剪切波速，为压缩波速。 将( 2 2 ) 代入几何方程e 。= 孚o x ，- 宴o y ，= 塞+ 宴o y ， c ! r 和应力应变方程 o l = 2 0 + 2 g e l ， o y = 2 0 + 2 g s y ，f 碲= g y 砖 得 吁确+ 2 g ( 窘+ 割 q 删；瑚睁割 瑙岛+ g ( 等一害 ( 2 4 ) 因为各种地层可近似看作是自由边界的半无限体，所以通常的边界条件为 9 执一坳如一鲫 + + “一2 v 一2 铲一苏矿一砂 ，卜，。卜l 、j、j g g + + 力 元 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 y = 0 ，叮，= f 矽= 0 按照简谐波列的性质，在一般情况下方程( 2 3 ) 的解为： 9 = a i 仍+ a 2 仍 沙= 且y l + b 2 y 2 式中： 9 l = e x p i k ( x p i y - c t ) 】 9 2 = e x p i k ( x + p l y - c t ) 】 = e x p i k ( x - p l y - c o 】 缈2 = e x p i k ( x + p l y 一甜) ( 2 5 ) ( 2 6 ) p z = 币，p z = 硒，c 为平面波沿x 轴方向传播的速度，利用模拟的 9 ，妙方程代入( 2 2 ) ，( 2 4 ) 进行求导计算得到各项位移和应力的表达式： = 请【彳l 纯+ a 2 仍一p 2 ( b i v l b 2 9 2 ) 】 ( 2 7 ) | ，= 一i k p i ( 么i 张一a 2 矽2 ) + ( b i g l + b 2 2 ) 】 ( 2 8 ) o r ，= g k 2 【( 2 p ? - p ；- d ( a l 仍+ a 2 l p 2 ) + 2 p 2 ( 蜀缈l b 2 杪2 ) 】 ( 2 9 ) 仃，= g k 2 【( 1 一p ；) ( 彳l 缈i + 彳2 驴2 ) - 2 p 2 ( b t l p l - b 2 2 ) 】 ( 2 1 0 ) = 蕊2 2 p l ( a l 仍- a 2 仍) + ( 1 一z ) ( 墨吵l + 岛吵2 ) 】 ( 2 i i ) 为了满足边界条件y = 0 时，( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式为零，即： 0 - p ；) ( 彳l + 彳2 ) 一2 p 2 ( b i b 2 ) = o ( 2 1 2 ) 2 p l ( a i a 2 ) + ( 1 一p g ) ( b l4 - b 2 ) = 0 j 2 3 弹性半空间中的瑞利波 由以上讨论可知，作为平面波的特殊形式，瑞利波的位移解同样可以用( 2 5 ) 式来表达。但此时需注意在相同介质中瑞利波速小于剪切波速，为方便表达，取 a = 勿l ，6 = 勿2 ，则( 2 6 ) 式可表达为： 仍= e x p a k y + i k ( x - c t ) l 仍2 e x p 【- 。由+ 七( x 卅q ( 2 1 3 ) 。 y i = e x p b k y + i k ( x - c t ) 】l 吵2 = e x p - b k yq - i k ( x - c t ) j 此时再观察( 2 7 ) ( 2 8 ) 两式的位移表达式，因为瑞利波沿深度方向位移 1 0 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 幅值成指数衰减，且口，b 值为正实数，通过此性质可以推断出4 伊。，b 。y 。为零。由 边界条件y = 0 ，c r y = f 。= 0 ，条件方程简化为： ( 1 + b 2 ) 彳2 + 2 仿曰2 - 0 ( 2 1 4 ) 一2 i a a 2 + ( 1 + b 2 ) b 2 = 0 j 要使上式对a 2 ，b ：有解，系数行列式为零，即： ( 1 + b 2 ) 2 4 a b = 0 ( 2 1 5 ) 将a 和b 的表达式代入可得一个六次方程式： ( 瓦cj 6 - o 。百c ) ( 2 4 - 1 6 苦) 嚼) 2 _ 1 6 ( 卜苦) ：o ( 2 1 6 ) 式中：c 为瑞利波相速度。 这个方程的解法多种文献中均有介绍，这里不做赘述。本篇论文中需要应用 此处结果的均取近似值： c ：0 8 6 2( 2 c = k 2 4 分层地基瑞利波特征方程的解析法 本章将首先利用解析法建立成层地基中瑞利波的特征方程，并分析其求解方 法。如2 1 所示的多层土体。图中，几和d 。分别代表f 层介质的剪切波速、 压缩波速、密度和厚度。 圪l ，圪l ，n ，d i v a 2 ，v p 2 ，p 2 ，d 2 liliij ) )o 仉。抚 石 何 o o i i = 毗毗“ + + 蜘 ” “ 1 吩 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 内的分层厚度可以根据需要选择。这里为方便理论阐述和公式推导，成层土层中 不做分层。 由文献 1 0 9 可知瑞利波的位移( 只考虑位移分量的实部) ： 一1 ，u # = f l ( y ) c x p - i k ( x - c t ) ( y ) e x p - i k ( x - c t ) ( 2 3 2 ) 1 ，# j 7 其中z ( ”，厶( y ) 为y 的函数。 ( a ) 图2 2 分层地基单元划分 2 3 ， n 1 n y 将不同的z 值代入式( 2 3 2 ) 可得，图2 2 ( a ) 中表达出来的左、中、右三 排节点的位移分别表示为： 4 _ 上- - z ( y ) e x p i k ( l + c f ) 】l v 一上= ( y ) e x p i k ( l + c f ) 】j 材o = 石( y ) e x p i k c t l v o = f 2 ( y ) e x p i k c t j 叱= a ( y ) e x p i k ( c t - l ) 1 v 工= 厶( y ) e x p i 七( a - t ) lj 将( 2 3 3 ) ，( 2 3 5 ) 式分解得： ”一工= f l ( y ) e x p i k c t e x p i k l 】= o c x p i k l 1 ，一l = ( y ) c x p i k c t c x p v k l = v o e x p i k l j u l = f l ( y ) e x p i k c t e x p - i k l 】= e x p 一魁】1 屹= 五( y ) e x p i k c t e x p - i k l = v o e x p 一魁】j 1 4 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 由单元长度，可以任意取值可知： “，= a c y ) e x p i k c 】e x p 卜溉】= “。e x p 卜溉】l( 2 3 8 ) 以= ( y ) e x p i k c t 】e x p - i a ：】= v 0 e x p - i k x j 由上述推导可知，同一平面上任意一点的位移在中间点位移已知的情况下均 可通过( 2 3 8 ) 式求值。所以图2 2 ( 8 ) 的划分单元形式可以逐步简化为图2 2 ( b ) 的矩形单元和图2 2 ( c ) 的杆件单元。 2 5 1 1 有限单元的刚度推导 图2 3 矩形单元及其聚集 现在讨论按上图2 3 所示的将矩形单元聚集为杆形单元后得到单刚。两个矩 形单元的刚度矩阵分别为晖】和隧2 】，按照有限元的方法将单元和单元的单 刚叠加起来形成总刚 k 。节点l 处x 向所受的力： 式中k ：和k ；分别代表单元和单元的单刚中的各个元素。因为在单元的划分 条件和土体性质相同所以两者的单刚也相同，且单刚矩阵是对称阵，利用式 ( 2 3 8 ) 的性质，令，趋近于零，将各个系数项代入式( 2 3 9 ) 可以简化为： e ，= k l l “l + k 1 2 i v l + k 1 3 “2 + k 1 4 i v 2 ( 2 4 0 ) 式中f 2 = - 1 。同理可得互y ，e 誓，e ，等各项关于毡，：，1 ，：的表达式，最后写成矩 阵表达式： = 【目。 ( 2 4 1 ) 州m砧叱一砖 。时 ， 舳嘲 j 蚺 水嘲踟”一如 + 雕纵 一聩 + k 如”鹄 k 蚝 l k曩+ 凡如，i-zlll 式 i见 l k r - - _ l 阵矩度刚中式 医l = 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 z _k2h2y2+2v,23 p ( 嘭一3 砰) 枘 昙砌：曙一2 曙 3 p 1 ( 呼一哆) 触 ( 嘭一3 曙) 胁 2 v ) + 2 _ 3k 2 2 曙 ( 嘭一呼) 肋 吾k 2 h z 砖一2 哆 3 。 ， 丢k2 h ：嘭一2 曙 3 p 5 ( 哆一呼) 砌 三七2办2矿2+2曙3 p j o r ? 一啄) 砌 式( 2 4 2 ) 即为图2 3 ( b ) 所示的杆形单元矩阵。 仿( 2 4 1 ) 式，惯性力为： 一致质量矩阵为： 集中质量矩阵为： 2 5 1 2 半无限单元 卧吮斟 m 。= 压 r l l 10 瞰】r = k i l o 砌 二一 6 0 1 0l 砌 l l 0l2 l j ( 曙一巧) 砌 !k2h：口一2yz3 p j ( 3 口- v ；) k h 2 毋+ 扣2 吁 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 下面将根据瑞利波的运动特性来讨论半无限平面单元( 见图2 4 ( a ) 所示) 的位移函数的选取。 1 6 肛 2 h 0 l 0 2 l o 2 o 0 2 o l o 0 l o o l o o 第2 章分层地基中的瑞利波特征方程 ( a ) 图2 。4 半无限单元及其聚集 见文献 1 0 9 ，瑞利波在弹性半空间中的位移势函数可以表述成： 矿。彳e x p 卜咖+ 绒( x c f ) 】i( 2 4 6 ) 沙= b e x p - b k y + i k ( x - 甜) 】j 式中口=；b =；a ，b 为常数，c 为瑞利波相速