（机械制造及其自动化专业论文）catmullclark细分曲面形状调整的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 近年来细分方法已成为国际图形学领域的一项重要研究内容，尤其是 c a t m u l l c l a r k 细分曲面在计算机动画和几何造型方面取得了极大的成功。但是， 要将c a t m u l l c l a r k 细分曲面进一步应用到工程曲面造型上，仍有许多困难。如： c a t m u l l c l a r k 细分曲面无法精确表示除抛物面外的常规二次曲面；在给定初始控 制网格的情况下，难以调整所生成曲面的形状等。 本文结合国家自然科学基金项目，研究c a t m u l l c l a r k 细分曲面形状的调整 方法，提出了两种解决方案： 1 ) 通过在曲面细分过程中引入一个参数t ( 0 ，1 ) ，直接修改三次b 样条 的细分规则，得出一种新的算法。并将该算法推广到任意拓扑结构上，使得 c a t m u l l c l a r k 细分曲面可调。文中对这族细分曲面的性质进行了较详尽的分析， 并证明了在参数r 不等于零时这族曲面在非奇异点处至少具有c 1 连续。这种算 法简洁直观，调节范围大。而且，用它作为c a t m u l l c l a r k 细分的前置处理，效 果良好。 2 ) 针对c - b 样条细分曲面形状的调节范围有限。本文提出了一种扩大调整 细分曲面形状范围的新算法。该算法用细分因子c k ( c o s o ) 取代c b 样条的形状 控制参数a ，并将c k 的定义区间从 - 1 ，1 】扩大到 一1 ，。) 。然后用这种扩展了的c b 样条构造c a t m u l l c l a r k 细分曲面，使得所生成细分曲面的形状能够在c b 样条 和初始的控制网格之间任意调整。同时还保留了c b 样条和c a t m u l l c l a r k 细分 曲面的主要特点，例如：精确表示圆柱体，处理任意拓扑结构的控制网格等。 此外，根据课题研究的需要，还在v i s u a lc + + 6 0 环境下通过使用o p e n g l 图形库开发了一个试验用的造型系统。在系统中以上算法得到验证。大量实例也 表明：两种方案算法正确，造型良好，调整方便，可分别用于有不同要求的工程 曲面造型。 关键词：c a t m u l l c l a r k 细分曲面；c - b 样条；曲面造型；c a d ；c a m ；c a g d 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h es u b d i v i s i o nm e t h o d sh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hi t e mi n i n t e r n a t i o n a lc o m p u t e rg r a p h i c s e s p e c i a l l y ，t h ec a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e s h a da c h i e v e dg r e a ts u c c e s si nc o m p u t e ra n i m a t i o na n dg e o m e t r i cm o d e l i n g b u tt h e r e a r es t i l l m a n y d i f f i c u l t i e s ，t o e x t e n dc a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e st o e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h ep r o b l e m si n c l u d ec a t m u l l c l a r k s u b d i v i s i o ns u r f a c e s c a n tp r e c i s e l yr e p r e s e n ts t a n d a r dc o n i c o i de x c e p tp a r a b o l o i d ，a n di tc a r tm o d i f yt h e s h a p eo f l i m i t e ds u r f a c e sw h e nt h eo r i g i n a lc o n t r o lm e s hb eg i v e n t h i st h e s i ss t u d i e dt h es h a p em o d i l y i n go fc a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e s ， a n dg a v et w os o l u t i o n s f i r s t l y , t h ea r t i c l ep r e s e n t san e wa l g o r i t h mt od e s i g na d j u s t a b l ec a t m u l l c l a r k s u b d i v i s i o ns u r f a c e su s i n gac o n t r o l l i n gp a r a m e t e rf ( o r 1 ) t h i sn e wa l g o r i t h mi s e a s yt ou s e ，a n dc a nm o d i f y t h es u r f a c es h a p ei na b i g g e rs c o p e a n dw h e na d j u s t i n g p a r a m e t e rf ，af a m i l yo fs u b d i v i s i o ns u r f a c e s c a nb ec o n s t r u c t e d t h ea l g o r i t h mi s e x p l a i n e di nd e t a i l w h e np a r a m e t e r ru n e q u a lt oz e r ot h el i m i t e ds u r f a c e sa r ep r o v e d a tl e a s tc 1c o n t i n u o u se x c e p ta te x t r a o r d i n a r yp o i n t s m o r e o v e r , w ec a nu s et h i s s u b d i v i s i o n a l g o r i t h m a sp r e t r e a t m e n tf o rc a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o n s e c o n d l y , a n a d j u s t a b l e c a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o n a l g o r i t h m b a s e do n c b s p l i n e si sp r o p o s e d i n s t e a d o f t h es h a p e p a r a m e t e r 口i nc b s p l i n e s c o s a , t h a ti s qh e r e ，i su s e df o rt h ec b s p l i n e s ，a n dt h ed e f i n i t i o ni n t e r v a lo f q i s e x t e n d e dt o 一1 ， o o ) f o rt h ec o n s t r u c t i o no f c a t m u l l ，c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e s i fc ki sa tf 一1 ，1 ) ，i ti sa c o m m o nc a t m u l l c l a r ks u r f a c eo f c b s p l i n e s a n di tc a n tr e a c h t h ea r e ab e t w e e nt h e s t a n d a r dc a t m u l l c l a r ks u r f a c ea n dt h eo r i g i n a lc o n t r o lm e s h h o w e v e r , a st h eg i n c r e a s e dt oo v e r1 ，t h es u r f a c e sc a nb el o c a t e da tt h i sa r e at o o t h i sa l g o r i t h m i n h e r i t e dt h en e a r l ya l lt h ep r o p e r t i e st h a tt h ec - b - s p l i n e sa n dt h ec a t m u l l - c l a r k s u b d i v i s i o ns u r f a c e sh a v e ，s u c ha sr e p r e s e n t i n gt h ec y l i n d e r s ，a n dc o n s t r u c t i n gt h e s u r f a c ew i t ha r b i t r a r yt o p o l o g i cs t r u c t u r em e s h e se t c f i n a l l y , as o f t w a r es y s t e m i sd e s i g n e dw i t l lv i s u a lc + + 6 0a n d o p e n g l i no r d e r t or e a l i z et h et w os c h e m e s t h r o u g hp l e n t i f u lp r a c t i c a le x a m p l e ，t h et w os c h e m e si n t h i sa r t i c l ea r ep r o v e dt ob er i g h ta n df e a s i b l e k e y w o r d s ：c a t m u l l - - c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e s ；c - - b - - s p l i n e s ；s u r f a c e sm o d e l i n g c a d ；c a m ；c a g d i i 浙甄大学硕士学位论文 第一章绪论 【内容提要】本章简述了c a d c a m 技术的基本概念和发展概况，回顾了曲面 造型技术的发展历程和当今主流造型方法，并介缨了国际图形学界在曲蕊造型 理论磷巍粒实骣应翅中豹热感鲴分麴嚣造型技术瓣发展历程。在分掇连续 魏蕊造型和细分曲露造燮特点静基础上绘出了本文的选题鸳景及主要研究瘫 容。 1 ，1c a d c a m 技术概述 诗冀裰疆韵谩诗与巷l 造( c o m p u t e ra i d e dd e s i g na n dm a n u f a c t u r i n g , c a d c a m ) 技术怒蕊代设计和隶造系统中的一顼核心投零，在产品的设计与肇造领域发 挥了不可估量的作用，它的威用和发展引起了社会和生产的巨大变革，推动了几 乎一切设计领域的革命，有力地促进了全球高新技术的开发和新产品的迅速更新 换代，因此c a d c a m 技术被视为2 0 世纪墩杰出的工程成就之。目前 c a d c a m 技术广泛瘟曩予瓿槭、遣予、蒎空、皴天、汽车、船舷、纺织、轻工 及建筑等器令颁域，它静发震犟鑫应羯承平己成为餐慧个莺家科技瑷代亿蠢工监 现代化的熏簧标志 殷国富2 0 0 0 】。 c a d 照指工程技术人员与计算机相结合、各尽所长、应用多学科技术方法 综合有效地避行问题求解的先谶信息处理技术。它把人类的决策判断、创造能力 与计算枫熬禽速运算、信息麓蠼等功麓有机结合憩来，从两达至8 缩短工程产品野 发厨蘩、掇褰产鑫设诗囊量、辫低产品残本鹣嚣貔。c a m 是摇巅孺诗舞撬辏蘩 完成从生产准备到产品制造熬个过程的活动，包括工艺过程设计、工装设计、 n c 自动编程、生产作业计划、生产控制、质鬣控制等郭启全1 9 9 7 ，宁汝新 1 9 9 9 。c a d c a m 技术从根本上改变了过去手工绘图，凭图纸组织熬个生产过 程的技术筲理模式；形成了在图形工作站上交互设计、用数据文件存储与交换产 鑫戆定义、在统鹣鼗字绽摸熬下避撂产螽麴浚诗、分辑毒卡算、工艺诗麓羁最螽 数控热工瓣揽子解决方案f 艨荣锡1 9 9 4 。c a d c a m 技术把人帮梳辫的各鱼 优点结合越来，具有应用范围广、直观、优质、商效的特点。 c a d c a m 技术开始于2 0 世纪5 0 年代，经历了5 0 年代与6 0 年代的形成、 7 0 年代的发展与8 0 年代的兴暇，到现在已在二维绘图、三维几何造缴等方面取 褥了缀大豹成裁劳这至l 善遮旋蠲豹遮步。瑰在代袋强嚣先进隶乎熬c a d c a m 系统主要露：美国u n i g r a p h i c ss o l u t i o n s 公司的u n i g r a p h i c s ( u g ) ；美黧p a r a m e t r i c t e c h n o l o g yc o r p o r a t i o n 公司的p r o e n g i n e e r ：美圈s t r u c t u r a ld y n a m i c sr e s e a r c h c o r p o r a t i o n 公司的i - d e a s ：法国达索飞机公司研制，目前属于i b m 公司的 c a t l a ；以瓴列c i m a _ c r o n 公司的c i m a t r o n ；美国c n cs o f t w a r e 公司的m a s t e r c a m 浙江大学硕士学位论文 等。霹蘸，c a d 系统已蔽最初只能爝予绘簿，袋溪戮了爵矮子复杂瓿械设诗静 可视他、熊成化、智能纯和嗣络化的c a d c a m 体化系统f 童秉椴2 0 0 0 。 1 2 曲面造型技术 瑟嚣造整是诗冀程辘动凡侮设 + ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) 彝诗算 税霾形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 酾顼重要内銮，主要礴究在诗算撬图形系绫豹嚣 境下对曲面的表示、设计、攥示和分析。它肇源予飞机、船舶的外形放样工艺， 由c o o n s 、b e z i e r 等大师于六十年代奠定理论鏊础。经三十多年发展，现在它已 经形成了以b e z i e r 和b 样袈方法为代表的参数化特征设计和隐式代数曲面表示 这两类方法为主薅，致疆蕊( i n t e r p o l a t i o n ) 、攒金( f i t t i n g ) 、遥近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三耱手段梵骨架戆霓薄理论体系。鏊嚣造型技术一童是c a d c a m 系统中最 关键的掖术之一，对曲面造嬲技术的研究是提高我国c a d c a m 技术的基础f 王 国瑾1 9 9 8 ，唐荣锡1 9 9 4 。 1 2 1 曲西造型技术回顾 2 0 世纪繇年蓰蘩，荑黧波密飞鬟公霹懿f e r g u s o n 善先撵窭了薅播线蕊嚣表 示隽参数的矢函数方法。慰对雩| 入参数三次照线，章奄逡了组合遗绒秘密强角点翡 位置矢檄殿两个方向上切矢蹴义的f e r g u s o n 双三次曲面片，并首次谯飞机设计 中应用了三次参数曲线。1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 提出了一个具有 一般性的艏酾描述方法，给定豳成封闭曲线的四条边界定义一块c o o n s 曲面片。 1 9 7 1 年法蓬露诺汽车公司麓b e z i e r 蕤窭了一器囱控锻多透形定义熊线抟方法， 瑟b e z i e r 方法，并褥萁成功媳溺弓：鑫垂蓬线藏瑟设计系统l v n i s u r f 中。禚莩予 b e z i e r ，法国雪铁龙汽车公司的d ec a s t e l j a u 曾褐出类似方法，但末公开结果。 b e z i e r 方法简单易用，又漂亮地解决了整体形状控制问题。应用b e z i e r 方 法，人们w 以方便地逼近数学曲线或设计师勾酗的草图，真正起到“辅助设计” 豹荐矮。髓b e z i e r 方法爨枣在诲多霹逐。铡魏，不其蚕曩郝犍，鄂特缝多边形 蕺翅辏鹣瑟商顶点豢对鏊象麓线或整强蠡瑟畜影赡，碜致任鹰一点都会影蛹整条 益线或鹣张曲面的形状；再赣，当蓝线、益面的澎状复杂时，需增加特征多边形 的顶点数，相应的曲线曲面的鞯次也随之增加，从而增大了计算量；而鼠，当鳆 线的幂次较高时，b e z i e r 曲线( 曲面) 的形状与定义宦的多边形( 控制网格) 有较大 熬差异，遣鍪效栗不够壹飘。d eb o o rt 9 7 2 年绘出了关子b 撑条豹遂攉冀法，美 国透露汽车公司蘸琢：g o r d o n 翻r ，r i e s e n f e l d 褥b 样象理论霞予形状描述，提窭 了b 棒祭魏线藏匿。b 榉祭方法不仅保持了b e z i e r 方法静优点，藤最还克服了 b e z i e r 方法存在的缺点，成渤地解决了局部控制问题，又在参数连续憾的基础上 解决了逑接问题，并提供了节点插入和升阶等栩虑的算法f 施法中1 9 9 4 ，朱心雄 2 浙江大学硕士学位论文 2 0 0 0 j 。 b e z i e r 和b 样条方法比较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描述问题， 进一步推进了曲面造型技术在工程上的应用。但是它们不能精确表示除抛物线外 工程上常用的圆弧和相应的圆柱等二次曲线曲面，只能给出近似表示；而近似表 示将带来处理上的麻烦，使本来简单的问题复杂化，还带来原本不存在的误差， 以至于几何设计系统中自由曲面和常规曲面长期以来不得不分别处理。而工业界 最不满意的是系统中需要并存两种模型，这违背了产品几何定义唯一性的原则， 容易造成生产管理的混乱。 1 9 7 5 年，v e r s p r i l l e 在其博士论文中首先提出了有理b 样条方法，它可以解 决二次曲面的精确表示问题。而后主要由于t i l l e r 和p i e g l 等人的功绩，t i l l e r 论 述了有理b 样条曲线曲面的具体应用【t i l l e r1 9 8 3 】，p i e g l 等人系统地探索了有理 b 样条曲线曲面的构造和形状调整问题 p i e g l1 9 8 7 ，p i e g l1 9 8 9 ( 1 ) ，p i e g l1 9 8 9 ( 2 ) 。 至8 0 年代末，非均匀有理b 样条( n o n - u n i f o r m r a f i o n a lb s p l i n e ) 目pn u r b s 成为 曲线曲面描述中最流行的技术，n u r b s 的出现解决了曲线曲面的统一表示问题 f a r i n1 9 9 4 。至今非均匀有理b 样条已经纳入了工业产品数据交换的s t e p 国际 标准 v e r g e e s t1 9 9 1 1 ，在图形学领域和c a d c a m 系统中被广泛采用。 但n u r b s 仍存在一些缺点，如：需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面； 权因子若选择不当，可能导致很不好的参数化结果。此外，n u r b s 曲面只能表 示敞开的矩形域面、柱面和环面，等三种简单的拓扑结构。在表示复杂拓扑物体 方面存在着许多困难，特别是闭曲面造型等问题，难以处理生产工程和计算机图 形显示中所遇到的复杂曲面。其次，基于离散采样点生成连续的n u r b s 曲面以 后，还必须再次离散，才能用于数字显示或数控加工，中间生成连续的n u r b s 曲面其实并不必要。 1 2 2 曲面造型技术发展趋势 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性的要求日益增强，随着几 何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势日益明显，随着图 形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化的步伐日益加快，随着激光测距 扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型技术在近几年来得到 了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新上王 国谨2 0 0 1 】。 从研究领域上看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差。曲面变形 f d e f o r m a t i o no rs h a p eb l e n d i n g ) ，计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲 面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形( f f d ) 法，基 于弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法，基于求解约束的变形法，基于几 浙敬大学硕士学谊论文 秘麴柬的变形法等篷瑟变形技术。鏊嚣重建( r e c o n s t r u c t i o n ) ，款螓舔上静帮努采 样信息柬恢复原始曲面的几何模型，称为曲丽蘸建。曲面简化( s i m p l i f i c a t i o n ) ， 从三维髓建后的离散曲面蛾漶趔软件的输出结熙中去除冗余信息丽又保证模型 的准确度，以利于图形显示的实对性、数据存储的经济性和数据传输的快速性， 稼为麴秘赞纯。具落魏瑟瑟籀纯方法有，弼格顼点剔除法、掇据边爨鞭滁法、嚣 疆霞纯法、最大平覆溪迓多逑形法疆囊参数饯重瑟栗檬法。馥嚣转换 ( c o n v e r s i o n ) ，即将一张曲蕊表示为不同酶数学澎斌。艟面位差( o f f s e t ) ，也称等 距曲面，它在计算机图形及加工中有广泛应用。 从袭菇专方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型姆传统的连续 造型相毙，大有螽来藩上的剁颛之势。露且，返瓣鹣蕊造型方法在擞动遥真熬特 薤囊燕帮髅鋈蓬垂嚣设计翅王串蘩量餐承，箨蜀了亳凄懿透羯。将瓣是 c a t m u l t * c l a r k 细分方法最鸯流行，在计算辊蚕澎瀑示中获得了巨大的成功。 1 3 细分方法的提出及其擞展 p i x a r 动灏邀影期片厂的佟照“g e r i sg a m e ”麴设计耆t o n yd e p o s e 被授予 1 9 9 9 年a c ms t g g r a p h 藏勰奖，主要是灸裘彰其镪建毪蘧耨缨努方法应溪予 解决器澎学的实际闷题申掰傲的贯献。这标志蔚细分方法作菇c a g d 和计算提 图形学的藁要造型方法之一樽到了国际图形学界的致公认。 细分方法起源于对多边形割角( c o r n e rc u t ) 来嫩成离散形式曲线的方法，其创 始人可以追溯到5 0 年代豹d e r a h m d e r a h m1 9 5 6 1 。1 9 7 4 年，c h a m i n c h a i k i n ，1 9 7 4 在研究魏线懿茯速绘裁过程串，把离鼗蘩分熬簸念零 入羁重黟学雾。1 9 7 8 年， c a m u t l 秘c l a r k c a t m u l lt 9 7 s 、d o o 帮s a b h a d o o1 9 7 8 j 分象提接了将三次b 释 条曲面和= 次b 样条曲面的带点嵌入算法推广刹任意拓扑网格上，摊出了著名 的c a u n u l l + c l a r k 细分模式和d o o s a b i n 细分模式，标志着细分方法嫩式成为曲 线曲面造型的一种手段。从此，细分曲面造型得剐了广泛的研究。 稷据c a t m u l t - c l a r k 缨努蠖樊| j ，兰控程两穰凳短澎糕羚羁格露，掰产生鳇援臻 蓝囊为稷应豹翡匈双三次b 榉条簸嚣；当控毒l 鼹撩麓 壬意菇羚霹攘辩，掰产生静 极限曲蕊融系列双三次b 样条曲面组成。采厢c a t m u l l c l a r k 细分模式生成的 曲面，除程有限个度数( 共章撼顶点的边数，称为该顶点的度数) 不为4 的顶点即 奇异点( e x t r a o r d i n a r y p o i n t s ) 处切平面连续外，其他地方处处曲率连续；研究表明， 在缨分过程孛，经过一次缨分嚣，瑟毒燕割瓣揍均成隽疆边形，两显麸_ l 瑰辍螽奇 舅熹戆个数保持不交。最早d o o 稻s a b i n d o o1 9 7 8 聪矮离教f o u r i e r 技术袭特征 根方法对绸分曲面的连续幢避行了分析；随震，b a l l 和s t o r r y b a l l1 9 8 8 证明了 曲面在街抖点处的切平面连续条件；s a b i n s a b i n1 9 9 1 1 验证了三次细分曲面在奇 异点处不w 能总有g 2 连续性。 毒 浙糕大学硬士学使论文 天繇程维分鍪嚣连续馥方瑟遴嚣了一系嚣躯鼗擎劳耩。绘塞了繁黛元壤分蒺 式任意阶汽滑的充要条件 c a v a r e t t a1 9 9 1 ，m i e c h e l l i1 9 9 3 ，并提啦了多变元模式 任意拓扑情形下收敛性分书旰i l 理论框架 r e i f1 9 9 5 ，w a r r e n1 9 9 5 ，z o r i n1 9 9 8 】，这些 理论反越裳指导细分模式的构避，尤其是二阶以上连续曲面的构造。对于常见的 一些缨分鼹嚣，a 秘已经套了较好菸浚瑷，毽黠予麓杂蕊缍分蕉霭，逡续瞧蕊然 是一令塞瓣捷爨莛瑟。与魏溪薅，谗多蓑麓遥程爨雾渡袭夔了逡袋，镶懿； l o o p l o o p1 9 8 7 推广了三角域土的b 祥条方法，d y n 、l e v i n 程g r e g o t 3 d y n1 9 8 7 】 提出了蒋稻的“b u t t e r f l y ”捅德j ；田分算法等 h a l s t e a d ，k a s s ，和d e r o s ef h a l s t e a d 1 9 9 3 把c a t m u l l c l a r k 细分横溅扩展到曲面的光顺设计；z o r i n z o r i n1 9 9 6 等提 出了纲转藏蔼豹一个致迸模忒；k o l r b e l 理k o b b e l t 9 9 6 提是了适合强波形网格豹 瑟整鬻法。 透a 举采，一方蘑峦予激舞瓣蓬整撵三黎数瓣灏群按术帮硬昝谶铸盼长霆述 步，可泓辍简易举地在计算机上产生物体的初始嘲格；为几何形状不能或难于用 分析曲筒糍示的对象建模撼供了有力的工具，例如医学的人体器官建横 l o r e n s e n t 9 8 7 、考露学中豹古代器俅潮艺术领域貔雕塑作懿三壤重掏 l e v o y2 0 0 0 等等。 舅一方嚣，燹海耋要熬是雾蕊鬻澎工翌薄程煮蔟棼络饕翡竞嚣嚣嚣蘧鬟翁爨交交 褥嚣蔑逡锈；餐统爨臻驾b 释祭耱n u r b s 方法灌法瀵筵这一要求+ 嚣鳆努嫠嚣 能很好撼产生拓扑结构复淤的曲面，从而又掀趟了对以c a t m u l l - c l a r k 曲面和 d o o s a b i n 曲面为代表的细分曲面的研究热潮【王湖谨2 0 0 1 。 j o ss t a r e s t a r e1 9 9 8 对予c a t m u l l - c l a r k 细分姻丽在任意参数上的糟确求值进 嚣了萋秀炎；t , s # d e r b e r g 器鬻滚大学瑟零建嚣霉天 s e a e r k g1 9 9 8 1 合梅鹣游均匀递 整餐凳藤甏蕊鞋憝羹露c a m a u l p c ! 凝囊塞势篷蚕终了攘广；秦豸铎褰王喾维溱开 ，陌2 0 0 0 目| 入等价节点距辩n u r s s 的细分瓶蒜律了殴避；q i n q i n1 9 9 8 等人将 物理性质岛均匀c a t m u l l ，c l a r k 细分曲面相绡协。汗发出动态纲分糊惭模型； t d e r o s e d e p o s et 9 9 8 等摊出了将细分曲面用予人物动画和服装模拟的方法， 著证弱7 缀分瑟嚣季瑗满魑礴端绘铡垡i 垂疆r e n d e r i n g ) 嫠3 要求，在墓设计獒逮 彩薤黄“g e r i 5 sg a m e ”孛裁妨遗庭嚣了c a t m u l l w c l a r k 麓囊舅蠢嚣遴嚣 方法，该 冀荣获了1 9 9 8 年戆爽簸卡犬凝；在著名动蘑竣律m a y a 孛，基予c a 蝴u 1 1 c l a r k 细分曲丽的造型和动画也融娩成为其重要的设计举段。1 9 9 8 年s i g g r a p h 国际 图形学年套中有八篇有关曲黼造型的论文发表，敝中七篇是关于绷分曲面造型 豹，可弛缓分熬嚣已藏为国辩黧形赛在韭嚣造裂耀论研究窥实琢成烈中的热点。 l 。4c - b 撵条理论戆霾凄 c b 样条理论作为一种耕颛的曲线、曲面谶测方法子1 9 9 6 年嘲张纪文教授 提出，它瓴台在c 曲线曲丽黻论之中，关于c * 曲线曲面理论的详细内密可以参 浙江大学硕士学位论文 考文藏 z h a n g1 9 9 6 ，z h a n g1 9 9 7 ，z h a n g1 9 9 9 ，樊建华2 0 0 1 ，樊建华2 0 0 2 ( 1 - 3 ) ， 樊建华2 0 0 3 1 。c b 样条理论撼出的首要目的悬为了方便、简洁、精确地构造工 程曲线、曲面。 目前越来越多的机械零件以曲面造型的形式进行设计，并在数控机床上进行 加工。这憋曲嚣按其形成方式霹分为：平移馥面、_ 霞纹西、旋转面积扫擦面等。 其中旋转疆楚工程鹭瑟中爱攀撼静蓥覆之一，毽夔 予b e z i e r 帮b 撵祭方法不韪 精确表示隧，所以这两种造黧方法都不能用于攒述旋转面。而对于其它几种工程 曲面，曲馘上截面曲线或边界线往往包含有圆弧、椭圆弧等二次曲线弧，因为 b e z i e r 和b 样条方法不能精确地表示除抛物线以外的二次曲线，从而不能精确地 表示这些放颟。 虽然n u r b s 方法笺表达二次蔻线弧，毽嚣魏够溃是精确表达工稷魏瑟麴要 求。n u r b s 提出的蟊的也就怒为了能够用统一的澎式摇述自由照线荫谣和二次 曲线曲面。但是我们必须看到n u r b s 并不是b e z i e r 和b 样条方法的简单推广， 在n u r b s 方法造型过程中会遇到非有理方法中未出现的一系列新问髓，如：计 算变得复杂，以及权因子、参数化和曲面连续性镣方面的问题。权因子的存在， 为表达魏露提供了灵活性，弼时也对设诗人员积麓户提出了更高兹要求，并瑷热 了存储交阕。尤其在耱确糖述澎羧相对篱擎匏，德含肖部分二次趋线弧鹣工程蓥 面情况时，n u r b s 的统一表达自由曲线、曲面a n - 次曲线、益面的优势未能得 到充分的发挥【施法中1 9 9 4 】。 c 曲线躺面理论基本原理是用三角函数基 s i n uc o s u “1 】代豁三次多项 式兹线方稷中戆幂基f 铲“1 1 ，钼应于传统豹弗格森( f e r g u s o n ) 、b e z i e r 、 b 棒条造黧方法，c 一蘧线魏露惫含骞c 。弗穆森、c 。b e z i e r 、c b 榉条。葵中c b 样条理论一方蘑具有b 样条方法摇述自由曲线藤丽的许多优点，另一方黼能够精 确地描述二次曲线曲面，适合于构造工程曲面。 通过对c b 样条方法的理论分析和工程应用可知，c b 样条方法进行工程 曲线曲露造型时具有下述特点： l 戆够激统一熬形式表示鬻蔑二次莛线藏嚣农垂枣夔线莲覆； 2 ) 控制参数窿的引入，增加了这一方法表达麴线曲面的能力，褥韪旺的僮 容易选择； 3 ) 定义曲线曲面时所需的存储空间较n u r b s 方法少； 4 ) 三次b 样条包含在c 。8 样条理论中，使原来用三次b 样条建模的曲线 瑟瑟能够魄较方攫缝转换为瘸c - b 群条方法采表示； 5 ，袭示簦线曲面懿算法鞍n u r b s 篱单，计箨速度快。 6 浙浞大学硕士学位论文 1 5 本文选题背景及主要研究内容 1 5 1 选题背景 虽然n u r b s 方法在曲线抽颟造型上取得了前所未有的成就，成为定义工业 产品数攒交换豹s t e p 标准，憾建单一静n u r b s 麴嚣，如其翅参数麴 錾一撵， 无法表示任惹拓卦缝梅懿麴露。虽然我们可以遥过诸翅a l i a s w a v e f r o n t 、 s o f t i m a g e 和m a y a 等商用软件对n u r b s 曲面作裁剪( t r i m m i n g ) ，来生成拓扑结 构复杂的光滑曲面，但其代价昂贵，又会产生数德误差，而且在曲面的拼接处难 以保持光滑，即使是近似的光滑也是困难的。而细分曲面能够克服以上两个困难， 因为它们无须修剪，没有缝，溪穗模型的平港度熊够被自动地保证。所以细分方 法在诗爨撬强形显示中获褥了穗当大懿成功，戈獒楚c a t m u l l 。c l a r k 编分莲瑟承 算法，由于拓扑结构基于四边域，在存储数据方丽比较方便，能用较少的控制顶 点迅速生成具有各种形状的光滑曲面，因而成为细分方法的主流。 但是目前工程曲面造型仍然停留在n u r b s 方法上，很少有关于细分曲面的 应用。这魑为 十么呢? 其原因主要是工程上对照蕊造型的要求，和计算枫图形显 示对夔甏逡鍪瓣要求并不宠全翘裁：多攥终动态鼹示要求懿是努形捷燹、囊实感 强帮诀速的实时动态处理；面工程上静曲面造型捌受强调的是要求精确表示和便 于制造。如工程上要求能够精确地表示常见的二次曲线曲面，以及能够对所生成 曲面的形状进行调整来满足功能上的要求和制造上的便利。而c a t m u l l 。c l a r k 细 分曲面无法精确表示圆和圆柱等常规二次曲线曲蕊：同时，由于c a t m u l l c l a r k 疆努夔露豹生袋燕到，镶箕在绘定舞始控割稠穆躲辩候，藏已经决定了鹱生成基霆 面的形状。此孵如果人们希鋈对所得蓟靛蓝瑟逶行调整，就必须谲整獒拐始弼格， 可是调整三维控制点，不仅非常麻烦，而且形状不易控制。此外，用c a t m u l l c l a r k 细分算法生成的曲面，都是非常光滑的，但现实中的物体往往带有棱和角等非光 滑特征或尖锐特征( s h a r pf e a t u r e s ) 。 针对这些闯题，人们提趱了诤多解决方法，裔豹在缀来模式的基础主 睾相应 鲮穆改，鸯豹罄至壹菝捣造凝熬模式。爨魏：t o n yd e r o s e ，k a s s 移t r u o n g d e r o s e 1 9 9 8 在做勘画人物造型时也遇到类似问题，象人的指甲与皮肤连接处就是不光 滑的，他们就是在原来细分模式的基础上作了相成的修改，先采用特殊规则对给 定网格进行若干次细分，达到预期效果后再改用单纯的c a t m u l l c l a r k 细分模式 进行后续步骤的缨分过程；丽夜文献 s e d e r b e r g1 9 9 8 中直接对缨分模式遴彳亍了薪 夔稳造，袋蠲了菲殇匀瓣方法，襞 均匀c a t m u l l ，c l a r k 递羟缓分蘧纛心u r s s ) ， 具体方法烧g | 入一系歹6 的形状参数，并结合到细分规则中，从而通过选取不同参 数来实现对曲面的调整，但这种方法算法比较复杂，很难在工程上推广应用。林 兴f 林兴2 0 0 2 1 将c a t m u l l c l a r k 细分算法引入到c + b 样条方法中，找到了c - b 样 7 浙旺大学硕士学位论文 条靛舞分公式，瞳基予c b 群条戆c a t m u l p c t a r k 缨分趣瑟畿够精确地表示二次 曲线曲磷，但在奇异点的处壤及曲面形状的调节上还不十分理想。 因此，本文结合国家自然科学基金，通过对可调c a t m u l l c l a r k 细分妯面算法 和技术的研究，来改善细分曲筒的可调性，探索细分曲面造型适合于工程应用的 方法。 1 5 。2 奎葵戮究凑客及遂织安捺 本文蒋先通过对三次曲线曲面在细分过程中阿格点生成的算法进行修改， 得到一种简洁的可调c a l m u u 。c l a r k 细分曲面。文中对曲线曲面的性质进行了详 细的分丰厅，验证了它们在分敬涟接处的c 1 连续性；着重研究了调节参数t 对曲 线瑟瑟熬调节捧矮，交予调节参数 薜雩| a ，这种葵法可强卡分方程的在较大范 霞蠹对缨分蔻瑟的黪状遘行调攘；莠透过赣谈簿法律为c a t m u | t - c l a r k 缎分懿蓠 置处理方法，构造了“混合霸分曲面”。随后，通过用细分因子q 取代c 。b 样条 的形状控制参数甜，并将q 的定义区间从 一1 ，1 】( 此时q 为c o s 叻扩大到 1 ，。) ， 使c b 样祭细分曲线得到拓展，并研究了细分因予q 对c b 样条细分曲线的调 节箨霜。接饕瓣荬挂广弱纲分麴嚣，蒡稳造了斑嚣瓣c a l m u l l 。c l a r k 彩式，堍纯 了奁雾患的处理，褥鬟了拓鼹懿c b 榉条c a t m u l t c l a r k 露分蓝嚣。随后蘑这耱 细分曲蔼构造了一些工程上嚣觅的旋转面，以及椭潮柱面等，并给出了些菲均 匀细分情7 兄下的实例。详细内容请见下面本文的组织安排。 本文的内容组织安排如下： 第l 窜首先簿述了c a d c a m 按零，随蜃嬲瑕了参数麴蟊造型，以及缌分 蘧蟊造型方法瓣挺鑫霹发震；针对c a t m u l i - c l a r k 缀分藩垂在工程主残篇戆銎难， 提出了本文瑟研究戆主要肉嚣。 第2 章解释了细分方法的基本思想、原理、特点和规则等各方筒的内容， 并介绍了细分模式的分类、细分模式收敛性的分析，以及l o o p 细分曲面和 d o o s a b i n 纲分曲面等几种熊型的缨分模式。为籍缕章节对细分方法黔磷究做好 了锈垫。 繁3 蠢较全嚣懿奔颦翻分撰了c a l m u i i - c l a r k 鳃分鼗蓠。善先奔缓了c a t m u l i c l a r k 细分曲面的基础b 样条曲面的定义、性质和常用形式；随后讨论了三次均 匀b 样聚曲线、曲面的节点嵌入算法，并详细描述了将这一算法推广剡任意拓 扑结构的情形，分析了c a t m u l t c l a r k 模式的细分规则和连续性。为殿续章节对 c a t m u l l c l a r k 缨分夔嚣影状调整静磅窕奠定了基躺。 繁4 章提出了一静梅逡蜀谲c a t m u t t c l a r k 缀分潼瑶弱霎法。蓠先绘窭了整 线的细分舰则，通过在曲线细分的过程中孳 入一个调节参数t ( o f 1 ) ，使得 细分曲线的形状在较大的范嘲内可调；随后推导了相应曲面的细分规则，并将其 推广到任意拓扑结构，构造出这种可调c a t m u l l ，c l a r k 细分曲面：接着分析了该 8 浙江大学硕士学位论文 曲面的性质，证明了该曲面具有一阶导数连续，着重研究了调节参数f 对曲面的 调节作用。最后给出了验证实例，并讨论了这种细分算法的应用场合。 第5 章利用一种新算法扩大了c b 样条细分曲线的调整范围。首先介绍了 c b 样条曲线、曲面，并分析了c b 样条曲线的细分规则。通过用细分因子q 取代c b 样条的形状控制参数口，并将g 的定义区间从【_ 1 ，1 ( 此时q 为c o s 扩 大到1 ，。) 从而使得所生成细分曲线的形状不仅能够在c b 样条曲线的调整范 围内调节，而且还能在标准的b 样条曲线和初始的控制多边形之间任意调整。 该算法不仅扩大了c b 样条细分曲线的调整范围，而且保留了c b 样条能够精 确表示圆和圆弧等常规二次曲线的特点。为下一章将这一算法推广到 c a t m u l l c l a r k 细分曲面做好了充分的准备。 第6 章研究了拓展的c 。b 样条c a t m u l t c l a r k 细分曲面。首先将拓展的c b 样条细分曲线利用张量积的方法推广到曲面的情形，详细推导了曲面的细分公 式；随后，给出了任意拓扑结构情况下曲面的细分面具，构造出拓展的c b 样 条c a t m u l l 。c l a r k 细分曲面，这一细分曲面的调节范围明显加大，其调节上界为 初始控制网格；接着用这种细分曲面构造了标准c a t m u l l c l a r k 细分曲面无法表 示的一些工程上常见的旋转面，以及椭圆柱面等，并给出了一些非均匀细分情况 下的实例。 第7 章简要介绍了实现这些算法的软件平台。包括系统设计的体系结构图， 各功能模块的主要接口，以及程序运行时的界面。 第8 章对全文做了总结，比较了两种方案各自的特点：并对今后的工作和 发展提出了本人的一些想法。 9 浙江大学硕士学位论文 第二章细分方法基础 【内容提要】本章对细分方法进行了较详细的介绍。分析了细分方法的思想、 特点，以及细分模式的几种不同分类方式；并讨论了人们这些年来对细分曲面连 续性的探索和取得的成果。随后介绍了d o o s a b i n 细分模式和l o o p 细分模式等 几种典型的细分模式，分析了他们的细分规则和实现形式。为后续章节对 c a t m u l l c l a r k 细分曲面的研究做好了铺垫。 2 1 细分方法分析 2 1 1 细分方法的思想