（应用数学专业论文）有限群子群的性质对群结构的影响.pdf

2 0 0 9 年华中师范大学博十学位论文 v 摘要 本文研究有限群的某些子群的性质对有限群结构的影响，内容共分四 章。 第一章作为全文的引言，简述了本文取得的主要工作，并列出了与本 文密切相关的一些基本概念和定理。 设g 是一个有限群，当g 的所有极小子群在g 中处于良好状态时， 许多数学家研究了有限群的结构。例如，n i t 5 曾证明一个奇阶群是幂零 的，如果它的所有极小子群都在g 的中心中。i t 5 结果的改进形式是： 当p 足奇素数时，如果g 的所有p 阶子群都在g 的中心中，则g 足 p 幂零的；当g 的所有二阶元和四阶元都在g 的中心中，则g 是2 一幂 零的。 b u c k l e y 证明：如果一个奇阶群g 的每个极小子群都足g 的正 规子群，那么g 是超可解的。a y o k o y a m a 证明：如果孑是一个子群封 闭的饱和系，g 是一个可解群，它的s y l o w2 一子群与四元数群无关，那么 当g 的极小子群都在g 的苫超中心玩( g ) 中时，则g 孑。等等。然 而，以上所考虑的都足充分条件。为了寻求有关p 幂零、矿超可解、乃至 孑d 群的充要条件，在本文第二章中，我们在某些条件下研究了极小子群 对群结构的影响，得到了一些有益的结果( 见命题2 2 1 ，定理2 2 2 ，推 论2 2 3 ，定理2 2 1 2 ，2 2 1 3 ，2 ，2 1 7 ，2 2 ，1 8 ，2 2 2 1 ，推论2 2 2 2 ，定理2 2 2 7 ， 2 2 3 0 ，2 2 3 3 ，2 2 3 5 ，推论2 2 3 7 ) ，从而推广了一些数学工作者在这方面 的工作。 设g 是有限群，它的子群与k 叫做是可换的，如果好，k ) = 日k = k h 如果g 的一个子群日与g 的所有子群都可换，就说日在g 中是拟正规的( 或可换的) 。设7 r 是g 的阶的素因子的集合，如果对于每一 个p 丌，g 的子群日与g 的每一个s y l o wp - 子群可换，那么就说g 的 子群h 是g 的7 r 一拟正规子群( 或g 拟正规子群) 。拟正规子群和7 r 一拟正 规子群有许多有趣的性质。在本文第三章中，我们研究了有限群的s y l o w 子群的2 一极大子群的丌拟正规性对群结构的影响，获得了有限群的p 幂零 性、超可解性以及具有有序s y l o w 塔等性质的若干充分条件( 见定理3 2 2 ， 3 2 。5 ，3 2 8 ，3 2 1 0 ) 。 所谓群g 的n o r m ，就是由g 的j 下规化g 的每一个子群的元素组成的 集合，我们用n ( g ) 表示之。显然，n ( g ) 是g 的一个特征子群，并且g 有限群子群的性质对群结构的影响 是d e d e k i n d 群当且仅当g = ( g ) ；众所周知，g 的中心，记为z ( c ) ，包 含在g 的n o r mn ( g ) 中这一思想足由r b a e r 在1 9 3 5 年首先引入的，他 总结了n o r m 的基本性质。至今，已有许多作者研究过与群的n o r m 有关 的问题。在本文第四章中，我们决定了n o r m 商群是简单的有限群时的群的 表写( p r e s e n t a t i o n ) 定理4 2 1 及推论4 2 2 确定了n o r m 商群是任意循 环群的有限群的表写，定理4 2 3 和定理4 2 4 确定了n o r m 商群是阶无立 方呦因子的交换群时的有限群的表写，定理4 2 5 和推论4 2 8 分别确定了 n o r m 商群足具有循环的s y l o w 子群和阶足无平方因子数时的有限群的表 写。在4 3 中，我们定义了群g 的n o r m 一中心( n o r m c e n t e r ) 、n o r m 中 心嵌入子群( n o r m c e n t r a l i z e de m b e d d e ds u b g r o u p ) 和b a e r 子群等概念， 并讨论了它们的简单性质。例如，有限群的f i t t i n g 子群和超拟中心都是 b a e r 子群的子群。 关键词：p 幂零；p 超可解；有序s y l o w 塔；饱和群系；超中心；7 r 一 拟正规子群；n o r m ；群的表写；b a e r 子群 2 0 0 9 年华中师范大学博十学位论文 4b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eh a v es t u d i e dt h ei n f l u e n c eo ft h ep r o p e r t i e so fs o m e s u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s a sa ni n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，i nt h ec h a p t e r1 ，w eg i v eab r i e fa c c o u n to fo u rm a i nr e s u l t s w ea l s os e to u ts o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r e m s w h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e dt oo u rr e s u l t s l e tgb eaf i n i t eg r o u p an u m b e ro fa u t h o r sh a v ee x a m i n e dt h es t r u c - t u r eo faf i n i t eg r o u pg u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a ta l lm i n i m a ls u b g r o u p so f ga r ew e l l s i t u a t e di nt h eg r o u p n i t 5s h o w e dt h a tag r o u pgo fo d do r d e r i sn i l p o t e n tp r o v i d e dt h a ta l lm i n i m a ls u b g r o u p so fgl i ei nt h ec e n t e ro f t h eg r o u p as h a r p e n e df o r mo fi t 6 sr e s u l ti st h a tgi sp - n i l p o t e n ti fe v e r y s u b g r o u po fo r d e rp i sc o n t a i n e di nt h ec e n t e rz ( g ) o fga spi so d da n dgi s 2 - n i l p o t e n ti fe v e r ys u b g r o u po fo r d e r2o r4i sc o n t a i n e di nt h ec e n t e rz ( c ) o fga sp = 2 j b u c k l e ys h o w e dt h a ti fa l lm i n i m a ls u b g r o u p so fa no d do r d e rg r o u pa r en o r m a l ，t h e nt h eg r o u pi ss u p e r s o l v a b l e a y o k o y a m as h o w e d t h a t ：i fsi sas u b g r o u pc l o s e ds a t u r a t e df o r m a t i o n ，af i n i t es o l v a b l eg r o u p gw i t hq u a t e r n i o n f r e es y l o w2 - s u b g r o u p sb e l o n g st o 孑p r o v i d e dt h a te v e r y m i n i m a ls u b g r o u po fgi sc o n t a i n e di n 孑- h y p e r c e n t e ro fg a n ds oo n h o w e v e r ，a l lr e s u l t sb e i n gm e n t i o n e da b o v ea r et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs o m e p r o p e r t i e so ff i n i t eg r o u p s i no r d e rt oe x p l o r et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no fp - n i l p o t e n t ，p - s u p e r s o l v a b l ea sw e l la s 品一g r o u p ，w eh a v ei n v e s - t i g a t e dt h a tt h ei n f l u e n c eo fm i n i m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo faf i n i t e g r o u pu n d e rs o m ec o n d i t i o n si nc h a p t e r2 w ec o n s e q u e n t l yo b t a i n e ds o m e h e l p f u lr e s u l t s ( s e ep r o p o s i t i o n2 2 1 ，t h e o r e m2 2 2 ，c o r o l l a r y2 2 3 ，t h e - o r e m2 2 1 2 ，2 2 1 3 ，2 2 1 7 ，2 2 1 8 ，2 2 2 1 ，c o r o l l a r y2 2 2 2 ，t h e o r e m2 2 2 7 ， 2 2 3 0 ，2 2 3 3 ，2 2 3 5 ，c o r o l l a r y2 2 3 7 ) ，a n di m p r o v e da n de x t e n d e dt h ew o r k s o fo t h e ra u t h o r si nt h i sf i e l d l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，i t ss u b g r o u p sha n dka r ec a l l e dp e r m u t a b l ei f ( 日，k ) = h k = k h as u b g r o u pho ft h eg r o u pg i sc a l l e dq u a s i n o r m a l ( o rp e r m u t a b l e ) i ng i fhp e r m u t e sw i t ha l ls u b g r o u p so fg l e t7 1 b et h es e t o fp r i m ed i v i s o r so ft h eo r d e ro fg ，as u b g r o u pho fgi sc a l l e d7 1 一q u a s i n o r m a l ( o rs - q u a s i n o r m a l ) i ng i fi tp e r m u t e sw i t he v e r ys y l o wp - s u b g r o u po fgf o r v u l有限群子群的性质对群结构的影响 e a c hpi n7 r q u a s i n o r m a la n d 丌一q u a s i n o r m a ls u b g r o u p sh a v em a n yi n t e r - e s t i n gp r o p e r t i e s i nc h a p t e r3o ft h i sp a p e r ，w eh a v ed i s c u s s e dt h a tt h e i n f l u e n c eo f7 r q u a s i n o r m a l i t yo f2 - m a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so n t h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r af i n i t eg r o u pb e i n gp - n i l p o t e n to rt oh a v ea no r d e r e ds y l o wt o w e rp r o p e r t y o rs u p e r s o l v a b l e ( s e et h e o r e m3 2 2 ，3 2 5 ，3 2 8 ，3 2 1 0 ) l e tgb eag r o u p ，t h en o r mo fg ，d e n o t e db y ( g ) ，c o n s i s t so fa l lt h o s e e l e m e n t so fgw h i c hn o r m a l i z ee v e r ys u b g r o u po ft h eg r o u p c l e a r l y n ( g ) i sac h a r a c t e r i s t i cs u b i g r o u po fga n dgi sad e d e k i n dg r o u pi fa n do n l yi f g = ( g ) ；a n di ti sw e l l - k n o w nt h a tt h ec e n t e r ，d e n o t e db yz ( g ) ，o fg i sc o n t a i n e di nt h en o r m ( g ) ，t h i si d e aw a si n t r o d u c e da tf i r s ti n1 9 3 5 b vr b a e r ，w h od e l i n e a t e dt h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h en o r m u pt on o w ， m a n ya u t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e di n t e r m i t t e n t l yt h ep r o p e r t yo fn ( g ) a n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nn ( g ) a n dt h es t r u c t u r eo fg i nc h a p t e r4o ft h i sp a p e r ， w eh a v ed e t e r m i n e dt h ep r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u p sw i t hu n c o m p l i c a t e d n o r mq u o t i e n t i nt h e o r e m4 2 1a n dc o r o l l a r y4 2 2 ，w eh a v ed e t e r m i n e d t h a tt h ep r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u pw i t hc y c l i cn o r mq u o t i e n t ；i nt h e o r e m 4 2 3a n dt h e o r e m4 2 4 w eh a v ed e t e r m i n e dt h a tt h ep r e s e n t a t i o no ff i n i t e g r o u pw i t ha b e l i a nn o r mq u o t i e n to fc u b e - f r e eo r d e r ；i nt h e o r e m 4 2 5a n d c o r o l l a r y4 2 8 ，w eh a v ed e t e r m i n e dt h a tt h ep r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u p w h o s en o r mq u o t i e n ta r ef i n i t eg r o u p sw i t hc y c l i cs y l o ws u b g r o u p sa n dt h e f i n i t eg r o u p sw i t hs q u a r e - f r e eo r d e r ，r e s p e c t i v e l y i n 4 。3 ，w eh a v ed e f i n e d t h en o r m c e n t e r ，n o r m - c e n t r a l i z e de m b e d d e ds u b g r o u p ，b a e rs u b g r o u po fa f i n i t eg r o u pg t h e n ，w eh a v ea r g u e dt h a tt h es i m p l ep r o p e r t i e so ft h e s e s u b g r o u p s f o re x a m p l e ，w eh a v ep r o v e dt h a tt h ef i t t i n gs u b g r o u pf ( g ) a n dt h eh y p e r q u a s i c e n t e rq ( g ) a r ec o n t a i n e di nt h eb a e rs u b g r o u pb ( c ) f o re v e r yf i n i t eg r o u pg k e y w o r d s ：p - n i l p o t e n t ；p - s u p e r s o l v a b l e ；o r d e r e ds y l o wt o w e r ；s a t u r a t e d f o r m a t i o n ；h y p e r c e n t e r ；7 r q u a s i n o r m a l ；n o r m ；p r e s e n t a t i o no fg r o u p ；b a e r s t 幻r o u p 2 0 0 9 年华中师范大学博士学位论文 符号表 l v l ，l x i 分别为群g 的阶，元素x 的阶 p 一个素数 7 r ( g ) l g i 的所有素因子的集合 e x p ( g ) 群g 的幂指数 护映射口作用于元z 的象 z 掣y - x x y z ，可】，【z ，y ，z 】分另u 足z 一1 y 一1 x y ，【 ：j ：， ：z 】 ( z ) 元素z 生成的群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 x ，y 】( 【x ，y 】iz x ：y y ) g 7 群g 的换位子群【g ，g 】 日g 是g 的子群 h 4k ，其中k 忠实地不可约地作用 在y 上，而且q v 是一个补为q 而核为y 的f r o b e n i u s 群 我们说群g 是纬无关的如果g 没有任何截段属于纺令9 = u ，其中p 是所有 pep 素数组成的集合本文在第二章利用有限群的超中心的性质，得到了如下 2 有限群子群的性质对群结构的影响 一些结果： 命题2 2 1 记号同上，设h 纬，则存在正整数知使得素数q 1 1 尸k 一1 ， 且存在p 元域f p 上的p k 次不可约多项式f ( a ) 整除a q 一1 因而h 的阶为 矿七+ 1 q 定理2 2 2 设g 是一有限群，p 是其阶i g 的一个素因子，户是它的 一个s y l o wp 子群假定g 是纬一无关的那么g 是p 幂零的当且仅当 f l ( p ) s 瓦( ( 尸) ) 推论2 2 3 设g 是一有限群，p 是其阶i g l 的一个素区l - f - ，p 是它的 一个s y l o wp - 子群如果- f 歹, j 条件之一成立： ( i ) l g i 没有素因子g 模p 余1 且整除矿一l ，ke n 且七 l pl o g p ( i c l p ) ； ( i i ) p 是l g i 的最大素因子 那么g 是p 幂零的当且仅当f l ( p ) z o o ( n a ( p ) ) 定理2 2 1 2 设g 是有限群，7 r = 丌( g ) 是l g i 的素因子的集合，那么 下列说法是等价的： ( i ) g 是幂零的 ( i i ) u 瓦( g ( ，) ) 对g 的每个非单位的p 子群c 厂和每个p 7 r 成立 ( i i i ) q ( u ) 瓦( g ( u ) ) 对g 的每个非单位的少子群u 和每个p 丌成 立 ( i v ) q ( p ) z 。c ( n a ( p ) ) 对于p s y t , ( c ) 和每个p 丌成立 ( v ) n a ( p ) 是少幂零的，对于p s y l p ( g ) 和每个p 7 r 成立 定理2 2 1 3 设p 是群阶l g l 的最小素因子，p 是g 的s y l o wp 子群 假定g 是纬一无关的那么，g 是p 幂零的当且仅当q ( p ) _ g e n z ( g ( p ) ) 定理2 2 1 7设g 是一有限群假定g 是易一无关的那么g 是超可 解的，当且仅当f l ( p ) _ n 2 a ) 定理4 2 4如果尸n ( p ) 是一个p 2 阶初等a b e l p - 群且z ( p ) 1 ，m l 1 ，特别地，m 3 当p = 2 时) ( i i ) t = ( z ，y ，g l 扩= 矿= = 1 ，ky = z p m ，i x ，g 】_ z 矿，【可，g 卜 旷一1 ，m l 1 ，特别地，m 3 当p = 2 时) ( i i i ) t = ( z ，y ，g ，z lx p m = 矿严= = 矿= 1 = 【z ，z 】= 【z ，可】= 【名，9 】= b ，纠，p ，y 】= 2 ，k ，胡= 妒“，m 砧1 ，m l 1 ，特别地，m 3 当p = 2 时) ( i v ) t = z ，y ，g ，z i 矿= 妙= = 扩= 1 = k ，z 】= k ，y 】= 【z ，9 】，ky 】= z ，陋，g 】= 妒一1 ，阿，g 】= 旷一1 ，m l 1 ，特别地， m 3 当p = 2 时) ( v ) t = ( z ，y ，g i 乃p m = ! ，矿= 矿9 = 1 = 【可，9 】，【z ，y 】：= g ，【z ，g 】= 扩，m n 1 ，特别地，m 3 当p = 3 时，而m 4 当p = 2 时) ( u ) 丁= ( z ，y ，g i 矿= 旷”= 广= 1 ，ky 】= g ，【z ，g 】- 扩，9 】_ 旷一1 ，m 1 ，特别地，m 3 当p = 3 时，而m 4 当p = 2 时) 8 有限群子群的性质对群结构的影响 定理4 2 5 设是一个有限群，而7 r 是其阶j 日i 的素因子的集合令 i 耳i = i n l n ( n ) i = f 如果h 的n o r m 商群h n ( h ) 同构于一个s y l o w 子 群皆循环的7 r 一群，那么7 r 一定可以分拆成四个不交子集7 r 1 ，7 1 2 ，7 r 3 ， 1 4 之 并，使得2 7 r 1 ，并且满足下列条件： ( i )如果l ，1 2 2 ，那么 h = a b ( ( n ) 4 ( ( 6 ) l ) ) m( 4 2 1 ) 其中a ，b ：l ，m 分别是d e d e k i n d7 1 1 - 群，d e d e k i n d7 r 2 一群，非一a b e l 7 r 3 群，非一a b e l 丌4 一群；a ，b 分别是7 r l - 元和7 r 2 一元；l n ( l ) ，m n ( m ) 分别是循环7 f 3 群和循环丌4 一群而且， n i = 1 - i f b ，兀p l l n ( l ) l 兀l f l p ，i m n ( m ) i = 兀f ，i p ， p e 7 r lp e n * 3p e r 3p 6 4 而由( b ) 和诱导的( a ) 的自同构的阶分别是： ni s i p ， l c l ( a ) l = i l lnn ( i i ) l = 1 1l f l p p e n 2p e t r a ( i i ) 如果i y l 2 = 2 并且2 7 1 3u 丌4 ，那么( 4 2 1 ) 仍然成立如果i ，1 2 = 2 而2 7 r 2 ，那么只要何的s y l o w2 一子群岛是a b e l 群，则( 4 2 1 ) 仍然 成立如果i ，1 2 = 2 ，而2 丌2 且岛是非a b e l 群，那么，或者( 4 2 1 ) 成立但其中b 是非一a b e l 的d e d e k i n d7 1 2 一群，或者下式成立 h = a b ( a ) 4 ( ( 6 ) q 8 l ) ) m( 4 2 2 ) 其中b 的s y l o w2 一子群是初等a b e l 群，q 8 是八阶四元数群，且 q s c q s ( a ) 是2 阶群，而其中。a ) = q sn ( ) 此外，( b ) 是奇 阶7 r 2 一群，并且它诱导( n ) 的一个阶为nl ，l p 的自同构，式中其 _ p t 丌2 他符号的意义与( i ) 相同 反之，如果一个有限群的表写满足上述条件之一，那么它的n o r m 商 群的所有s y l o w 子群都是循环群 在4 3 中，我们定义了群g 的n o r m 一中心( n o r m - c e n t e r ) ，n o r m - 中 心嵌入子群( n o r m - c e n t r a l i z e de m b e d d e ds u b g r o u p ) 和b a e r 子群等概念， 2 0 0 9 年华中师范大学博十学位论文 9 并讨论了它们的简单性质 定义4 3 2称群g 的子群，为g 的n o r m 一中心嵌入子群( n o r m c e n t r a l i z e de m b e d d e d ) ，简称为n c e - 子群，如果，翼c 且，稳定，中 的每一个g 一主因子的每个子群 引理4 3 3有限群g 的两个n c e - 子群之积仍然是g 的n c e - 子群 因此，对任何有限群g ，必存在一个最大的n c e - 子群，我们称之为g 的 b a e r 子群，记为b ( g ) 命题4 3 4有限群g 的b a e r 子群b ( g ) 由n o r m 一中心化g 的每个主 因子( 即稳定每个主因子的每个子群) 的全体元素所组成 定义4 3 6设g 是有限群，p 7 r ( g ) 如果g 的正规子群h 稳定g 在h 中的每个p - 主医l 子的每个p 子群，则称h 为g 的p - n o r m 一中心嵌入 子群，简称为p n c e - 子群 引理4 3 7 有限群g 的两个矿n c d 子群之积仍然是g 的p - n c e 一子 群特别地，存在g 的唯一一个最大p n c b 子群，记为屏( g ) 定理4 3 9设g 是有限群，则成立 ( i ) b ( g ) b p ( g ) ； ( i i ) f ( g ) b ( g ) 定理4 3 1 0 有限群g 的超拟中心q o o ( g ) 包含在g 的b a e r 子群b ( g ) 中，即q ( g ) b ( g ) 理。 1 2基本知识 作为本文的准备，本节介绍与本文密切相关的一些基本概念和主要定 定义1 2 1( 1 ) 设g 是群，q 是一个集合对任一q q ，指定群g 的自同态：夕hg a ，g ，则称g 为具有算子集q 的算子群，或称g 为 1 0 有限群子群的性质对群结构的影响 一个q 群 ( 2 ) g 的子群日叫做可容许的( 或q 子群) ，如果h q h ，v a q ( 3 ) 设是g 的可容许的正规子群( 或正规似子群) ，则在商群 g n 中规定 ( g n ) a = 夕口n ，g g ， o l q ， 可使g n 成一q 一群 ( 4 ) 给定两个q 一群g l ，g 2 ，称同态映射g ：g 1 _ g 2 为算子同态( 或 q 一同态) ，如果 g 傩= g 阳，v n q ，g g i 类似地，可定义算子同构( 或q 同构) ( 5 ) 称q 一群g 为不可约的，如果g 没有非平凡的正规q 一子群 定义1 2 2设g 是q 群称群列 g = g o g 1 g 2 g ，= 1 ( 1 2 1 ) 为g 的一个次正规q 一群列，如果对于i = 1 ，2 ，r ，g i 是g 的正规q 一子 群，且g 塑g 一1 我们又称g 的次正规q 一群列( 1 2 。1 ) 为g 的一个合成q - 群列，如果对 于 = l ，2 ，r ，g t 是g i 一1 的真子群，并且g i l g 是不可约q 一群 若取q = 毋，上述定义就给出了抽象群的次正规群列和合成群列的 概念而若取q = i n n ( g ) ，则称q 群g 的次正规q 群列为抽象群g 的 正规群列或不变群列，商群g i - 1 c i ，i = 1 ，2 ，r 称为g 的j 下规 因子或不变因子，而q 一群g 的合成q 。群列称为群g 的主群列，商群 g i 一1 v ，t = 1 ，2 ，r ，则称为g 的主因子显然，每个主因子g i l a i 都是特征单群 定义1 2 3设g 是有限群若它有主群列：g = g o g l g 2 g r = l ，使得该列的每个主因子g i 一1 i v l 都是中心主因子，即 g i 一1 g z ( v l e d ，对i = 1 ，2 ，r ，都成立，则称g 是幂零群 定义1 2 4 设g 是有限群若它有主群列：g = g o g 1 g 2 g r = 1 ，使得该列的每个主因子g i l g 都是素数阶循环群，则称g 2 0 0 9 年华中师范大学博七学位论文1 1 是超可解群 定义1 2 5 g ，= 1 ， 解群 设g 是有限群若它有主群列：g = g o g l g 2 使得该列的每个主因子g l c i 都是交换群，则称g 是可 定义1 2 ，6 设g 是有限群，p 是一个素数若它有主群列：g = g o g 1 g 2 g ，= 1 ，使得对任一i ，或者升i g t 一1 g i i ，或者 g t 一1 g i z ( a c , ) ，则称g 是p 幂零群 定义1 2 7设g 是有限群，p 是一个素数若它有主群列：g = g o g 1 g 2 g ，= l ，使得对任一i ，或者升i g i 一, c , i ，或者 i g i l c i i = p ，则称g 是p 超可解群 定义1 2 8设g 是有限群p 是一个素数若它有主群列：g = g o g 1 g 22 q = 1 ，使得对任一i ，或者升l q l q l ，或者q 一1 是 驴群，则称g 是矿可解群 定义1 2 9 设g 是有限群，7 r ( g ) = 和1 ，p 2 ，p r ) ，其中， p l p 2 2 时，设q 固定p 中的一切p 阶元 ( 2 ) 当p = 2 时，设q 固定p 中的一切2 阶元和4 阶元 那么，o = 1 引理1 2 2 9 ( 5 0 】之定理v 7 6 ，即f r o b e n i u s 定理)设1 2 时则e x p ( p ) = p ，当p = 2 时则e x p ( p ) = 4 引理1 2 3 6 ( 【7 7 】之定理4 4 1 6 ( i i ) )任何非交换特殊p 群, ：4 - e 构于下 列类型的群g 的直积的一个子群：g 是一个超特殊少群e 与一个交换群a 的中心积如果a 不是初等交换群，则ena = z ( e ) = u i ( a ) 引理1 2 3 7 ( 7 7 l 之定理4 4 1 8 ( i i i ) )设g 是超特殊2 一群，则i g f = 2 2 n + 1 对某个自然数n ，并且g 或者是n 个8 阶二面体群的中心积，或者是 ( n 一1 ) 个8 阶二面体群与一个8 阶四元数群的中心积 引理1 2 3 8 ( 【8 1 】之定理1 1 2 )设g 有一个正规循环子群h 使商群 c h 是超可解的，则g 自身必是超可解的 引理1 2 3 9 ( 【7 7 】之定义5 4 3 与定理5 4 4 ) 对于任何素数p ，设q d ( p ) 是所有下列形式的矩阵的集合： a0 t il 其中，a s l ( 2 ，p ) ，u = ( 口，p ) ( q ，p c f ( p ) ) ，而0 表示2 维列向量 1 6 有限群子群的性质对群结构的影响 0 称q d ( p ) 为二次群此外，我t r j 斥1l 表示q d ( p ) 的满足u = 0 的矩阵的 集合，用y 表示q d ( p ) 的满足a = ，的矩阵的集合，其中i 是单4 i 击p _ - 阵 令g = q d ( p ) ，显然，g ，l ，y 在通常的矩阵乘法下都是群，且l g ， v g 并成立： ( 1 ) v = d p ( g ) ，c ：v 竺l 竺s l ( 2 ，p ) ，c c ( v ) = y ( 2 ) g 不是少稳定的 引理1 2 4 0 ( 3 6 之定理a 1 2 3 或【8 4 之推论v i i 3 7 ) 设g 是 群，h a u t ( g ) 我们称h 固定g 的子群列 g = g o ( j 1 g 。= l ， ( 1 2 2 ) 如果对i = 0 ，1 ，s 一1 ，有 g ，h 】g i + 1 设7 r 7 群日作用在7 r 一群g 上， 如果日固定g 的子群列( 1 2 2 ) ，则在g 上的作用平凡 引理1 2 4 1 ( 见【1 8 】) 称群g 的正规子群k 为g 的超可解嵌入子 群，如果对于g 的每一个同态盯使得k 1 ，总存在g 盯的循环正规子群 a 1 且a k 盯显然，如果g 的子群s 包含g 的超可解嵌入子群k ， 而且酬k 是超可解的，那么s 必是g 的超可解子群由此有： ( 1 ) g 的所有正规超可解嵌入子群之积是g 的超可解嵌入特征子群 ( 2 ) g 的每个极大超可解子群包含g 的每一个正规超可解嵌入子群 引理1 2 4 2 ( 见【5 0 】之定理i i i 4 5 )设g 是有限群，则f ( g ) o ( g ) = f ( g 圣( g ) ) 是a 垂( a ) 的a b e l 极小正规子群的直积 引理1 2 4 3 ( 见【8 1 】之定理1 1 6 或【8 9 】之定理1 0 1 5 )超可解群的 换位子群是幂零群 引理1 2 4 4 ( 见【5 0 】之定理v i 9 9 )设g 可解若有正规群列 圣( g ) = n o 司g lq q = f ( g ) 其中批翼g ，且商群肚+ l u , 之阶均为素数则g 为超可解群 2 0 0 9 年华中师范大学博十学位论文 1 7 引理1 2 4 5 ( 见【3 6 】之定理v i i 6 1 8 )设孑是一个饱和系，而g 是一 个可解群使得g 萑苫但g 的每个真子群均属于孑那么g 有一个正规p 子 群p 满足