（固体力学专业论文）功能梯度材料结构的热弹性粘弹性弯曲问题.pdf

2 0 0 5 年 海大学颈i 。学位论文 一 。_ - _ - _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - _ - _ _ _ _ 一 摘要 本文主要研究功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，简称f g m ) 梁 和薄板的热弹性粘弹性弯曲问题，主要工作如下： 首先，研究了f g m 梁的热弹性粘弹性弯曲行为。l 、假设材料性能沿梁 的厚度方向按幂律形式连续变化，在平截面假设下，建立了f g m 弹性梁的数 学模型及其简化g u r t i n 型变分原理。借助问题的解析解和r i t z 解，讨论了f g m 梁在热机载荷作用下的弹性变形和应力分布。2 、假设粘弹性材料性质具有时 空可分离的形式，并且材料参数的空间部分沿厚度方向呈指数形式变化，在平 截面假设下，建立了f g m 粘弹性梁的数学模型其简化g u r t i n 型变分原理。研 究了f g m 梁在机械载荷和热载荷作用下的粘弹性弯曲行为。 其次，研究了f g m 薄板的热弹性粘弹性弯曲行为。1 、假设f g m 的粘弹 性性质具有时空可分离的形式，借助k i r c h h o f f 假设，分别在忽略和考虑f g m 非均匀性引起的中面应变影响的情况下，建立了f g m 薄板粘弹性的本构方程 和数学模型；采用近代卷积双线性形式，给出并证明了相应的简化g u r t i n 型变 分原理。2 、对于f g m 薄板的静态弹性响应，分别求出了机械载荷作用下薄板 响应的l e v y 解析解和热载荷作用下薄板响应的n a v i e r 解。3 、对于f g m 薄板 的准静态粘弹性响应，在空域上和时域上分别采用r i t z 法和l e g e n d r e 插值法， 求出了f g m 薄板的挠度响应。根据l e g e n d r e 级数的特点，提出了两种时域计 算方案，并讨论了忽略和考虑f g m 的非均匀性产生的中面应变对于f g m 薄板 的准静态粘弹性分析的影响。 关键词：功能梯度材料结构，热弹性粘弹性弯曲，变分原理，r i t z 法， l e g e n d r e 插值法 v 2 0 0 5 年卜海大学硕十学位论文 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，t h e r e t o e l a s t i c v i s c o e l a s t i cb e n d i n gb e h a v i o r so ff u n c t i o n a l l y g r a d e dm a t e r i a l s ( f g m ) b e a ma n dt h i np l a t ea r es t u d i e d t h em a i nr e s u l t sc o n t a i na s f o l l o w s ： f i r s t ，t h e r m o - e l a s t i c v i s c o e l a s t i cb e n d i n gb e h a v i o r so ff g mb e a m sa r es t u d i e d i t h em a t e r i a lp r o p e r t i e so ff g mb e a m sa r ea s s u m e dt ov a r yc o n t i n u o u s l yt h r o u g h t h et h i c k n e s so ft h eb e a ma c c o r d i n gt oa p o w e rl a wd i s t r i b u t i o n t h em a t h e m a t i c a l m o d e la n di t sc o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rf g me l a s t i cb e a m sa r es e tu p o i lt h eb a s i so ft h ea s s u m p t i o nt h a tp l a n es e c t i o nr e m a i n sp l a n ea n dn o r m a lt ot h e b e a ma x i s ，w i t ht h eh e l po ft h ea n a l y t i c a ls o l u t i o na n dt h er i t zs o l u t i o n ，t h e d e f l e c t i o na n dt h es t r e s sd i s t r i b u t i o na r ed i s c u s s e d ，i nw h i c ht h ep h e n o m e n ao f s t r e s s o v e r t u r ni sf o u n da n dp r o v e d 2 a s s u m i n gt h a tv i s c o e l a s t i cp r o p e r t i e sm a yb e s e p a r a t e d i n t o s p a t i a lp a r t s a n d t e m p o r a lp a r t s ，a n d t h e s p a t i a lp a r t sv a r y e x p o n e n t i a l l ya l o n gt h et h i c k n e s s ，am a t h e m a t i c a lm o d e la n di t sc o r r e s p o n d i n g v a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo ff g mv i s c o e l a s t i cb e a m sa r es e tu p t h ev i s c o e l a s t i cb e n d i n g b e h a v i o r so f f g mb e a ms u b j e c t e dt om e c h a n i c a lo rt h e r m a ll o a d sa r es t u d i e d s e c o n d ，t h e r m o e l a s t i c v i s c o e l a s t i cb e n d i n gb e h a v i o r so ff g mp l a t e sa r e s t u d i e d i a s s u m i n gt h a tv i s c o e l a s t i cp r o p e r t i e sh a v es e p a r a b l ek e r n e l si ns p a c ea n d t i m e i nt h ec a s eo f c o n s i d e r i n ga n di g n o r i n gt h ei n f l u e n c eo f t h em i d p l a n es t a i nd u e t ot h ei n h o m o g e n e o u sp r o p e r t yo f t h ef g m ，t h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o no f v i s c o e l a s t i c f g mt h i n p l a t e s i sr e d u c e do nt h eb a s i so ft h ek i r c h h o f fh y p o t h e s i s t h e c o r r e s p o n d i n gs i m p l i f i e dg u r t i n st y p ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo ff g mt h i np l a t e si s p r e s e n t e db ym e a n so fm o d e mc o n v o l u t i o nb i l i n e a rf o r m s 2 t h el e v ys o l u t i o ni s o b t a i n e dw h e nt h ep l a t ei su n d e rt h em e c h a n i c a ll o a d s ，a n dt h en a v i e rs o l u t i o ni s o b t a i n e dw h e nt h ep l a t ei ss u b j e c t e dt ot h et h e r m a ll o a d sf o rs t a t i ce l a s t i cr e s p o n s e s o ff g mt h i np l a t e s 3 b yc o m b i n i n gt h er i t zm e t h o di nt h es p a t i a ld o m a i na n dt h e 2 0 0 5 年j ：海人学 i l ；i 卜学位论义 l e g e n d r ei n t e r p o l a t i o nm e t h o di nt h et e m p o r a ld o m a i n ，t h eq u a s i s t a t i cv i s c o e l a s t i c r e s p o n s e so ff g mt h i np l a t e sa r es t u d i e d b a s i n go nt h ep r o p e r t i e so ft h el e g e n d r e s e r i e s ，t w oa p p r o a c h e si nt h et e m p o r a ld o m a i n a r ei n t r o d u c e da n dc o m p a r e d t h e i n f l u e n c eo fc o n s i d e r i n ga n di g n o r i n gm i d - p l a n es t a i no nt h eq u a s i - s t a t i cr e s p o n s e s o ft h ef g mt h i np l a t ei si n v e s t i g a t e d k e y w o r d ：f g ms t r u c t u r e s ，t h e r m o e l a s t i c v i s c o e l a s t i cb e n d i n g ，v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e ，r i t zm e t h o d ，l e g e n d r ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d 2 0 0 5 年l 。海大学彤! l j 学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谓十意。 签名：趟缝日期巡主璺 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送 交论文复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：丝：导师签名：型盘墟 日期：9 _ 0 0 5 , 3 3 2 0 0 5 年l 海大学颇l 学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 在科学技术领域里，随着人们对结构综合质量的要求越来越高，新材料、新 工艺不断涌现，功能梯度材料以其独特的优势展示出目益广泛的应用前景。功能 梯度材料是最先由日本科学家于1 9 8 4 年运用陶瓷和金属复合而成种新型非均 匀材料。所谓功能梯度材料是根据使用要求，选择使用几种不同性能的材料， 采用先进的材料复合技术，使中间的组分和结构呈连续梯度变化，内部不存在明 显的界面，从而使材料的性质和功能沿厚度方向也呈梯度变化的一种新型复合材 料f 1 ”。 ( t j 均虞董奢树辩( b 鬟屡辩辩( c ) 功嚣捧曩材辩 图1 - 1 f g m 与均质复合材料以及复层材料的比较 显然f g m 是一种非均匀材料，其基本思想是：为了避免复合部件在使用 过程中，由于各组分之间不同的物理性能和力学性能上的巨大差异所造成的过 高界面应力丽引起层间开裂和剥落现象，就将其设计成不直接相连，而是在它 们之间形成个在组分及性能上均呈梯度变化的过渡区。典型的用作防热结构 的f g m ，通过控制过渡区的成分、微观结构和空隙率，使外层与内层的热膨胀 系数差得到补偿，使结合部位的宏观界面消失，从而得到具有热应力缓和功能 的高性能f g m 。这样，一方面避免了因为物理及力学性能上的巨大差异造成的 2 0 0 5 年上海大学硕l 学位论文 界面应力问题，另一方面又能充分缓解材料在使用过程中因为较高的温度梯度 落差而造成的热应力。与均质复合材料以及复层材料相比，f g m 有着明显的优 点，如图1 1 所示。 研究f g m 力学性能的目的在于建立f g m 和功能梯度结构的本构关系、 f g m 的宏观性能同其组分材料以及宏细观结构之间的定量关系。同时，根据 ： 程需要，选取合适的组分材料，设计最优化的f g m 结构，并综合分析以供 选择使用。 1 2 国内外研究概况 1 2 1f g m 的发展历程 f g m 的基本思想最早可以追溯到1 9 7 2 年 3 4 】，当时提出了使材料性质呈梯 度变化的些建议。然而，f g m 的设计、制造和评价直到2 0 世纪8 0 年代中期 才真正开始。 在1 9 8 4 年，为了提高可重复利用火箭发动杌中陶瓷涂层和金属基体的粘结 强度，并降低热应力，制造出了材料组织结构连续变化的耐热材料 5 1 。在此之 后，研究人员认识到通过控制材料性质的连续变化可以产生新的材料或新的功 能，于是，f g m 的概念就产生了。日本的科学技术厅航空宇宙研究所和东北大 学的材料研究者于1 9 8 7 年也提出了f g m 的概念m 。 为了成功地制造和应用f g m ，需要在理论模型、设计手段、成型过程以及 评价方法等方面进行广泛的研究。为此，日本的科学技术厅从1 9 8 7 年开始实施 “关于缓和热应力的f g m 的基础技术研究及开发”的五年研究计划【b 】。通过这 一研究计划，f g m 的设计、合成和评价方面进行了许多开创性工作。该计划于 1 9 9 1 年完成。从1 9 8 9 年开始，上述计划的许多研究成果都以论文、国际会议 和国际交流程序的形式公开。1 9 9 0 年在日本仙台召开了第一届国际f g m 学术 会议。从此以后，每两年主办一次这样的会议。2 0 0 2 年1 0 月1 5 日至1 8 日在 北京召开了第七届f g m 国际会议。 1 9 9 4 年的第三届f g m 国际会议，为了从字面上和语法上更确切地反映 f g m 的概念，决定将f g m 的英文名称由最初的f u n c t i o n a l l yg r a d i e n tm a t e r i a l 2 2 0 0 5 年l 海人学硕十学位论文 改为f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，并在1 9 9 6 年的第四届f g m 国际会议开始正 式使用。现在，f g m 已经引起了世界范围内的关注。 1 2 2f g m 的材料参数 f g m 的材料性能参数取为何种形式，在很大程度上影响着模型建立和问题 求解的难易程度。由于f g m 是非均匀材料，所以其材料性能参数应该是空间坐 标t y ，z 的函数，而对于粘弹性材料来说，它还是时间t 的函数。虽然f g m 可以 是一维、二维甚至n 维，但是在实际的研究中，大都假设它是维的，即假设 f g m 的材料性能只沿某一个方向呈梯度变化。目前最常用的材料性能变化形式 有两种。一种为指数形式( 见k i m ( 2 0 0 2 ) 1 9 】，z h a n g ( 2 0 0 3 ) t 1 0 1 ) 心) = 驴州m ，占= 圭l 。g 噜) ( 1 - 1 ) 另一种为有w a k a s h i m a ( 1 9 9 0 ) 1 首先引入的幂律形式 p ( z ) = ( 只一只) ( + 去) “+ 只 ( i - 2 ) 力z 其中，p ( z ) 代表材料的性能参数，例如，弹性模量e 、线膨胀系数口、热传导 率五等。只和r 分别代表梁或板上下表面的材料性能参数值。n 的取值范围一般 为当3 ( ) l n a k a m u r a ( 2 0 0 0 ) t 1 | 2 1 ) 。 另外，j i n $ 口n o d a ( 1 9 9 3 ) i 13 1 、( 1 9 9 3 ) i 4 1 在求解稳态及瞬态温度场下弹性f g m 结 构的热应力强度因子的时候，他们假设材料参数沿厚度z 方向的变化规律具有如 下具体的形式 e = e 0 e 肛，v = v o ( 1 + 占z ) p 毋，口= a 0 8 “，k = k o e 5 2 ( 1 3 ) 式中，e o ，髓。，以及s ，r ，6 为材料常数。j i n 年l l p a u l i n o ( 2 0 0 1 ) m l w 、( 2 0 0 2 ) 在研究f g m 粘弹性热应力强度因子的时候，假设粘弹性材料参数具有时空可分 离的形式，其中空间部分也具有如( 1 3 ) 所示的形式t 而时间部分，( z ) 对于标准线 性固体和幂律材料分别为 厂( f ) = 瓦e + ( 1 一乜e o ) e 。“，厂( r ) = ( t t o ) 9 。 ( 1 _ 4 ) 2 0 0 5 年t 街人学顺? 【：学位论文 改为f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，并在1 9 9 6 年的第四届f g m 国际会议开始正 式使用。现在，f g m 已经引起了世界范围内的关注。 1 2 2f g m 的材料参数 f g m 的材料性能参数般为1 日种形式，在很大程度上影响看模型建立和问题 求解的难易程度。由于f g m 是非均匀材料，所以其材料性能参数应该是空间坐 标x ，y ，z 的函数，而对于粘弹性材料来说，它还是时间f 的函数。虽然f g m 可以 是一维、二维甚至n 维，但是在实际的研究中，大都假设它是一维的，即假设 f g m 的材料性能只沿某一个方向呈梯度变化。目前最常用的材料性能变化形式 有两种。一种为指数形式( 见k i m ( 2 0 0 2 ) i ”，z h a n g ( 2 0 0 3 ) ”1 ) 脾) = 妒”m ，6 = l o g 噜) m 1 ) 另一种为有w a k a s h i m a ( 1 9 9 0 ) 1 13 1 首先引入的幂律形式 聊) = ( p 一只) 暖+ ；) 、以( i - 2 ) 其中，j d ( z ) 代表材料的性能参数，例如，弹性模量e 、线膨胀系数口、热传导 率 等。只和只分别代表梁或板上下表面的材料性能参数值。h 的取值范围一般 为；3 ( 见, n a k a m u r a ( 2 0 0 0 ) ”2 1 ) 。 另外，j i n 和n o d a ( 1 9 9 3 ) 【1 3 、( 1 9 9 3 ) t 1 4 1 在求解稳态及瞬态温度场下弹性f g m 结 构的热应力强度因子的时候，他们假设材料参数沿厚度= 方向的变化规律具有如 f 具体的形式 e = 酲g 所，p = r e ( 1 + 占z ) e 出，甜= a o e 牲- k = k o e 如 ( 1 3 ) 式中，e o , v o , a o , k o 以及s ，卢，r ，占为材料常数。j i n $ 口f a u l i n o ( 2 0 0 1 ) 【“1 ”、( 2 0 0 2 ) 在研究f g m 粘弹性热应力强度因子的时候假设粘弹性材料参数具有时空可分 离的形式，其中空间部分也具有如( 1 3 ) 所示的形式，而时间部分，( f ) 对于标准线 性固体和幂律材料分别为 ，( f ) = e 。e o + ( 1 一e j e o ) e 。“，厂( f ) = ( t t 。) 9 。 ( 1 - 4 ) ，( f ) = e 昂+ ( 1 一丘，晶) e 。“，f ( o = ( t t 。) 9 - ( 1 - 4 ) 2 0 0 5 年 一海大学硕士学位论文 1 2 3 国9 1 步t , 研究概况 由于f g m 具有重要的应用前景和地位，所以其自诞生之日起就受到人们 的广泛关注，在力学性能的研究方面也取得了很大的成果。对于f g m 力学性 能的研究，其初期工作主要集中在热应力和热载荷作用下的裂纹问题。详细的 研究进展情况可查阅沈惠申( 2 0 0 4 ) 19 1 、t a n i g a w a ( 1 9 9 5 ) f 2 们，f u c h i y a m a 和 n o d a ( 1 9 9 5 ) 2 ”，王保林等( 1 9 9 9 ) 2 2 】和李永等( 2 0 0 1 ) 等综述性文章。 对于f g m 梁的研究工作目前还不是很多。李永和张志民等( 2 0 0 2 ) t 2 4 1 建立了 f g m 层台梁模型，采用分层剪切理论对f g m 弹性梁进行了分析。c h a k r a b o r t y 等但0 0 3 ) 2 5 】基于一阶剪切变形理论，利用有限元方法研究了f g m 弹性梁的稳 定、自由振动和波传播等力学行为。s a n k a r ( 2 0 0 1 ) t 2 6 1 和s a n k a r ( 2 0 0 2 ) t 2 7 3 假设材 料组分沿梁的厚度方向呈指数形式变化，给出了横向载荷以及热载荷下f g m 弹 性梁的二维解，并且在平截面假设下，对横向载荷以及热载荷下f g m e u l e r - b e m o u l l i 梁的应力进行了分析，计算结果表明，对于沿梁的长度方向接近 均匀的温度场，采用用二维理论和一维理论得到的应力分布曲线几乎重合在一 起。为了研究方便，在本文研究f g m 梁的弯曲行为时，也采用了f g m 梁的一 维理论。 对于f g m 板的弯曲问题的研究，目前比较常用的方法是用一阶或高阶剪 切变形理论、三维弹性理论以及传统板理论。r e d d y 等( 1 9 9 9 ) t 2 8 1 最先采用一阶 剪切变形板理论讨论了f g m 圆形和环形薄板的对称弯曲问题。刘进等( 2 0 0 3 ) 【2 9 】 采用一阶剪切变形板理论，借助于微分容积法求解了弹性f g m 四边简支和四 边固支方板的线性弯曲问题。r e d d y ( 1 9 8 4 ) t 3 0 】发展了一种简单的高阶剪切变形板 理论，r e d d y ( 2 0 0 0 ) t 3 1 1 将此方法推广到f g m 板的隋况，给出了f g m 四边筒支 弹性板在热机荷载下的n a v i e r 解以及相应的有限元算式。s h e n ( 2 0 0 2 ) 【3 2 】基于 r e d d v 高阶剪切变形板理论，导出了f g m 平板的广义k a r m a n 型大挠度方程， 用二次摄动技术求解了弹性f g m 四边简支板在热机荷载下 f g m 板的非线性弯 曲问题。然后杨杰和沈惠申在此基础上又作了大量关于f g m 弹性板的问题( 见 y a n g ( 2 0 0 3 ) t 3 3 , 3 “、杨杰( 2 0 0 3 ) t 邳。 r e d d y 和c h e n g ( 2 0 0 1 ) 1 3 6 ，c h e n g 和w a n g ( 1 9 9 9 ) 吼v e l 和b a t r a ( 2 0 0 3 ) 旧 毒 2 0 0 5 年一 ：海太学删：学位论文 一一一_ - - _ - _ - - _ _ _ _ ，一 基于三维弹性理论，分别给出了分别给出了f g m 矩形板或椭圆形板在热机荷 载下的线性弯曲问题的渐进解和级数解。v e l 和b a t r a ( 2 0 0 4 ) 3 9 】又用三维弹性理 论研究了f g m 弹性矩形板的振动问题。r e d d y 和c h e n g ( 2 0 0 1 ) 4 ”，吴瑞安和仲 政等( 2 0 0 2 ) 4 “，仲政和尚尔涛( 2 0 0 4 ) t 4 2 哿三维弹性理论用于带压电层f g m 复合 材料板在热载荷和机荷载下的线性弯曲问题。 j a v a h e r i ( 2 0 0 2 ) h 3 基于传统板理论推导了热载荷下f g m 弹性矩形板的平衡 和稳定性方程，应用变分原理建立了系统的偏微分方程，并且分析了四种热载 荷下的屈曲行为。w o o 和m e g u i d ( 2 0 0 1 ) 4 4 】，m a 和w a n g ( 2 0 0 3 ) t 4 5 1 基于经典板壳 理论，分别用级数展开法求解了四边简支薄板和打靶法求解过周边简支和周边 固支薄板在热机荷载下的大挠度弯曲问题。陈伟球等( 2 0 0 2 ) t 4 6 】从三维弹性力学 的基本方程出发，采用层合近似模型，给出了任意厚度功能梯度板的热弹性分 析，将厚度较小时的挠度结果与传统薄板理论得到的结果比较表明，两者的结 果吻合得很好，因此，在本文研究f g m 薄板的弯曲行为的时候，也采用了传 统薄板理论。 由于f g m 多数在高温环境中工作，而材料在高温时易显示粘弹性性能，一 般来说，对于f g m 粘弹性行为的研究，对应原理不一定再适用。p a u l i n o 和j i n ( 2 0 0 1 ) 1 4 3 1 的研究表明对于松弛和蠕变函数具有时空可分离形式的f g m 粘弹性材 料来说，对应原理仍然是可用的，利用此方法，p a u l i n o 和j i n ( 2 0 0 1 ) 1 61 7 1 、( 2 0 0 2 ) 1 1 8 1 假设材料的粘弹性材料参数具有时空可分离的形式，研究t f g m 热载荷下的粘 弹性裂纹问题。另外，y a n g ( 2 0 0 2 ) t 4 7 1 假设f g m 的蠕变性能符合n o r c o n 定律，进而 求解了f g m 材料柱体粘弹性应力分析的渐进解。在国内外，还没看到关于f g m 粱和板热粘弹性弯曲问题研究的相关报道。 1 3 论文的主要研究内容 本论文的主要内容一共分为四大部分。 第一章中阐述了f g m 定义、发展历程、研究的目的、意义以及国内外研 究的现状。 第二章主要研究f g m 粱的热弹性粘弹性弯曲行为。1 、首先假设f g m 弹性梁的材料组分沿厚度方向呈幂律形式变化，在平截面假设下，建立了f g m 羔塑三兰土! 坚兰堡! ：兰竺堡兰 弹性梁的数学模型及其简化g u r t i n 型变分原理。借助问题的解析解和砌t z 解， 讨论了f g m 梁在热机载荷作用下的弹性变形和应力分布，发现并证明了热，机 载荷一ff g m 弹性梁的应力翻转现象。2 、假设f g m 粘弹性梁的材料参数具有 时空可分离的形式，并且材料组分沿厚度方向呈指数形式变化，在乎截面假设 下，建立了f g m 粘弹性梁的数学模型，并且给出了问题的变分公式，得到了 问题的解析解。 第三章重点讨f g m 薄板的热弹性粘弹性弯曲行为。1 、分别在忽略和考 虑f g m 非均匀性引起的中面应变影响的情况下，假设f g m 粘弹性薄板的材料 参数具有时空可分离的形式，借助k i r c h h o f f 假设，利用l a p l a c e 变换及其反变 换技术，将非均匀材料的粘弹性三维本构理论退化n - - 维f g m 薄板粘弹性分 析的本构方程；并且由此建立了其积分偏微分型本构方程，采用近代卷积双线 性形式，给出并证明了相应的简化g u r t i n 型变分原理。2 、对于f g m 薄板的静 态弹性响应。分别求出了机械载荷作用下薄板响应的l e v y 解析解和热载荷作用 下薄板响应的n a v i e r 解。讨论了忽略和考虑f g m 非均匀性引起的中面应变对 于f g m 薄板的静态弹性分析的影响。3 、通过引进无量纲变量和参数，将问题 的控制方程和变分公式进行了无量纲化。对于f g m 薄板的准静态粘弹性响应， 在空域上和时域上分别采用r i t z 法和l e g e n d r e 插值法求出了f g m 薄板的挠度 响应。根据l e g e n d r e 级数的特点，提出了两种时域计算方案，并且比较了其优 劣性；讨论了忽略和考虑f g m 的非均匀性产生的中面应变对于f g m 薄板的准 静态粘弹性分析的影响。 第四章总结全文，并且提出了几个需要进步研究得问题。 6 2 0 0 5 年l 海大学硕士学位论文 第二章f g m 梁的热弹性粘弹性弯曲 2 1f g m 梁的热弹性弯曲 2 1 1 问题的数学描述 q o m 耀 q l 圉2 1 功能梯度材料粱 考虑f g 形截面梁的对称弯曲问题，假设梁的长度为，、宽度为b ，厚度为h 。 令x 轴通过横截面形心，y ，z 轴为横截面的形心主轴。若材料性能只沿y 轴方向 呈梯度变化，而梁的上表面材料体积含量沿厚度方向按幂律= ( 圭+ ”变化， m i j f g m 弹性梁的物性参数j d ( 弹性模量e 、线膨胀系数口、热传导率五等) 与坐标 y 的函数关系为 p ( y ) = b + ( j ：一最) ( 圭+ i y ) ”( 2 - 1 )z仃 其中，p 、只分别为上下表面的材料参数。设f g m 弹性梁受到横向载荷9 ( x ) 和 热载荷t ( x ，y ) 的作用，在梁的两端受到弯矩蝇、m ，及剪力q 、q 的作用。 ( 1 ) 应变和应力假设 t 发c o ( x ) 和p ( x ) 分别为y = o 处梁的轴向应变和变形后的曲率半径，则根据 平截面假设可知，离z 轴距离为岁处的应变为 铲柏) 一斋，旷吒= 0 。( 2 - 2 ) 当吒 盯。时，根据胡克定律，离z 轴距离为y 处的应力为 2 0 0 5 年卜海人学倾l 。学位论文 o x = e ( y ) s ，一a ( y ) r ( x ，y ) 】 = e ( y ) 【岛( x ) 一一a ( y ) t ( x ，y ) 】 p 【x ) ( 2 3 ) 其中，未知量s 。( x ) 和p ( x ) 可由梁的面内力和弯曲力矩的平衡条件求出，即 l g ；( y ) d a = 0 ，豇( y ) y d a = 一m ： 所以，将( 2 。3 ) 代入( 2 4 ) ，不难求得 其中 = c 2 m ，( 工) + q n 7 一c 2 m 7 ( c l c 3 一q ) 而1 = c l m ：( x ) + c 2 7 一c , m 7 ( q q g ) h e = b j h e ( y ) y “d y ( f = l ，2 ，3 n t ( x ) = 6 丘e ( y ) 口( y ) r ( x ，y ) d y 2 h m ( x ) = 岖加( y ) a ( y ) r ( x ，y ) d y ( 2 4 ) ( 2 - 5 曲 ( 2 一s b ) ( 2 6 ) 这旱，n 7 ( z ) 和m 7 ( 工) 是由于温度变化引起的梁的附加轴力和弯矩。 ( 2 ) 几何方程 设f g m 梁的挠度为w = 以x ) ，则由高等数学的知识，曲线w = “x ) 上任一 点的曲率可表示为 去p ( x2 而静 ( 2 - 7 a ) ) 1 + ( w ，) 2 r “ 在小变形情况下，梁的转角一般都很小，因此，( w ，) 2 1 ，f i f i 以( 2 7 a ) 简化为 1 ：w ，。 ( 2 7 b ) 丽2 q u 将( 2 7 b ) 代入( 2 2 ) ，便得几何方程 ( 3 ) 平衡方程 q = ( x ) 一y w ，。 ( 2 8 ) 2 0 0 5 年e 拇大学顺二b 学位论文 一 将( 2 - 5 b ) 代入( 2 7 b ) ，可队得到二阶的挠曲线近似微分方程 ( g g g ) w ，。= c , m ：+ 巴7 一c , m f 2 9 a ) 由( 2 9 a ) 变形，可得 m ：= g 1 ( g c s q ) w ，。一g 1 c 2 n 7 + m 7( 2 9 b ) 在小变形假设下，弯矩 t 、剪力q 。和横向载荷g o ) 有如下关系 m 。= g ，m 。= g ( 石)( 2 1 0 a ) 因此，由( 2 9 a ) 和( 2 i o ) ，不难得到 g = ( g c 1 9 ) w ，。+ m ：( x ) ，。g g n ：( 2 1 0 b ) 叮( z ) = ( c 3 一c 1 q 2 ) w ，+ m ：( z ) ，。一c 1 c ：屹( 2 1 0 c ) 另外，由( 2 4 ) 和( 2 1 0 a ) ，不难得到三阶和四阶的挠曲线近似微分方程 g = c 3 c 3 w ，。一c 2 岛，+ m ，r ； ( 2 l l a ) g ( 工) = c 3 w 一一c 2 岛，。+ m 二 ( 2 - l i b ) 将( 2 5 a ) 代入( 2 1 1 a ) 、( 2 - l l b ) ，得 q y = c 3 w - ，c 一2r c q 二1 2 ：- 1 ：f ：( x ) , , - q q ( q g 一日) 1 n r ( 2 - 1 1 c ) + 1 十q ( q g 霹) “】肼： g ( x ) 2c 3w ，一一g ( c l c 3 一g 2 j - 1 肘：o ) ，“一g g ( g g 一譬) n l( 2 1 1 m + 1 + c ；( g g q ) 1 m ： 。7 下面来证明( 2 1 0 b ) 、( 2 1 0 c ) 分别与( 2 一l l c ) 、( 2 一l l d ) 的等价性。 将( 2 9 a ) 代入( 2 - 1 l c ) 、( 2 1 1 d ) ，得 q 。= c 3 w , 。一q ( g g q ) 。1 【c 1 ( g g q ) w ，。一c c ：啦+ m ：】 g g ( c , g c ：) n r 。+ 【1 + q ( g g c ：) 。】 e = ( c 3 一g q ) w ，。+ m ：( x ) ，一g c ：杉 口( x ) ：c 3w ，一鼋( c ，g 一四) 1 c 1 ( g g q ) w ，一一g 1 c ：二+ m 二】 g g ( g g 一暖) “峨+ 1 + q ( c ，g q ) 。 吖二 = ( c 3 一c , - 1 q ) w ：。+ m ；( 工) ，。一c 1 c 2 二 所以，( 2 1 0 b ) 、( 2 1 0 c ) 分别与( 2 一l l c ) 、( 2 一l l d ) 等价。显然，( 2 一l l c ) 、( 2 - l i d ) 9 2 0 0 5 年上海大学硕十学位论文 不是最终形式，而( 2 - 1 0 b ) 、( 2 1 0 c ) 形式简洁，因此在下面的计算中采用( 2 。1 0 b ) 、 f 2 - l o c ) 形式。 令e ( y ) = e o ，t ( x ，y ) = 0 ，则( 2 - 1 0 b ) 和( 2 1 i b ) 便可退化为均匀梁的挠曲线 近似微分方程 w 矿弩 陋竭 其中，为横截面对y 轴的惯性矩。 ( 4 ) 边界条件 w = 也w 。= 哆。， z = 0 或z = ，处，( 2 一1 3 a ) m = 庸，o = 亘， x = 0 或z = l 处，( 2 一t 3 b ) 其中，_ f ，等为边界上的已知函数。而弯矩m 和剪力q 的定义为 m = c 3 w ，。一c 2 一m 7 ( 2 1 4 a ) q = c 3 w ，。一c 2 ，+ 彳： ( 2 - 1 4 b ) 2 1 2 相应的变分原理 n q n ( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 b ) 的解等价于在所有满足边界条件( 2 1 3 a ) 的一切可能位移 中，求解泛函n 的驻值，其中泛函兀为 兀= 丢们2 - 2 c 2 6 0 w , = + c 3 ( w 一2 】出一j 1 胁肭 ( 2 1 1 5 ) 一f ( n r s o - m 7 w ，。) d x + m 。w ，( o ) 一g w ( o ) 一m f w ，( f ) + q f 以z ) 以w ( x ) 为变分宗量，对泛函丌作变分计算，并利用分部积分，不难得到 j 兀= f ( c 3 w , , - c 2 s 啊) 万w 出+ ( c 3 w , 。- g e o ) a w , ，卜( g w ，。一c 2 岛，) 酬： 巧n ：= f m j ：f i w d x + m 7 机，l + m ，i w k l 占n ，= 一f q ( x ) s w d x ( 2 - 1 6 ) j 兀。= m 。6 w ，( o ) 一g a w ( o ) 一m f 8 w , ，( 0 + q , a w q ) 1 0 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 所以， 巧兀= 占兀1 + 8 1 q ：+ 6 1 - i3 + a f i 。 = f c 3w ，一一c 2 岛，。+ m 二一g ( z ) j 。出 + c 3 w , x x - c 2 s 。+ m 7 一。村】t 5 w , x l 一 c 3 w ，。一c 2 s 。，；+ 4 ：q 6 w l 2 1 7 根据w 的任意性，由8 1 - i = 0 可得挠曲线近似微分方程( 2 一l l b ) 2 i 3f g m 弹性简支梁的解析解法和r i t z 解法 考虑两端简支的f g m 弹性梁受到横向载荷g ( x ) 以及热载荷的作用。此时 问题的控制方程( 2 - 9 ) 和泛函( 2 1 5 ) 分别为 ( c ，g q ) w ，。= c 】m ，+ c 2 7 + c i m 7 f 2 i s ) 肚圭g 瞩屯c 2 k o 她协一础( 2 _ 1 9 ) c ( 旷岛m 油 ( 1 ) f g m 简支梁的解析解 对于两端简支的f g m 弹性梁的情况，问题的边界条件为 w = 0 ， g w , 。= c 2 岛- m 7 ，x = 0 和x = ，处， ( 2 2 0 ) 因此，不难求出控制方程( 2 2 1 ) 鲋j 解 w = ( c lc 3 一暖) “盯( c i 肼：+ c 2 7 + c l m 7 ) d z + a 上+ 4 ( 2 - 2 1 ) 其中，a i ( i = 1 ，2 ) 为积分常数，由边界条件( 2 2 3 ) 可以求出。 ( 2 ) f g m 简支梁的r i t z 解 取满足位移边界条件的w ( x ) 试函数为 w ( z ) ：羔 i n ( - 衙7 1 - ) ，( 2 - 2 2 ) 将( 2 。2 3 ) 代入( 2 1 9 ) ，根据泛函驻值条件粤：o ，不难求得 2 0 0 5 年上海犬学硕l ：学位论文 驴啬 - i 2 z 2 c 2 m 孚) d x + i 2 2 2 m r s i n ( 写f - ) 圳2 s t 辱，叫 ( 2 - 2 3 ) 其中，s 。可由公式( 2 5 ) 求得，m 7 可由热传导方程和公式( 2 6 ) 求得。所以，将 ( 2 - 2 3 ) 4 - k ( 2 2 2 ) 便可得到问题的r i t z 解。 2 1 4 算例分析 在下面的计算中，设f g m 弹性梁的几何参数为k o 5 m ，h = o 0 5 m 。上层 材料为a i ：0 ，下层材料为低碳钢。根据文献c h a k r a b o r t y a 【2 5 】和w o o 4 4 ，a l = o , 的杨氏模量为e = 3 9 0 g p a ，线膨胀系数为口= 7 4 x 1 0 “。c ，热传导系数为 z = i o 4 w ( m 。c ) ，低碳钢的杨氏模量为e = 2 1 0 g p a ，线膨胀系数为 d = 1 4 0 x 1 0 “。c ，热传导系数为丑= 4 5 0 w ( m o c l 。 ( i ) f g m 弹性梁受机械载荷作用的情况 当温