（数量经济学专业论文）中国股市极值相关性的研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 近年来，我国的证券市场在逐步得到规范，股票市场也在越来越多的影响着人们的 日常生活。受市场信息的影响，股票价格可能产生巨幅波动，从而使投资者面临巨大损 失的风险。在这种情况下，如何合理预期所持有资产的收益和损失风险就成为投资者关 注的焦点。 金融资产价格巨幅波动可以归结为：相应的数据超越一定的界限值或者达到一定时 间范围内的最大，因而造成危害。经典的统计极值理论是关于随机变量序列最大小值 渐进分布的理论。因此利用统计极值理论方法能够有效地对随机序列的最大( 小值的概 率分布和数据序列的边际概率分布尾部进行建模，进而为建立有效的风险防范和预警系 统提供一定的理论基础。极值理论是对数据的尾部进行处理，考虑到了金融风险的厚尾 特性，能够更有效的度量出现巨幅波动情况下的金融风险问题。 在金融市场中，两个或两个以上的金融产品的极值相关性往往成为人们研究的重 点。在以往更多采用的是线性相关的测度方法，这在理论以及实证上存有一定的缺陷。 近年来，非线性相关测度方法逐渐得到人们的重视。一种全新的度量相关性的工具 c 0 p u l a 随之产生。运用c 0 p u l a 理论，由边缘分布和一个连接它们的( 却u l a 函数，可以得 到一个与实际数据更为接近的联合分布，从而可以建立起更为有效的风险管理模型，对 我们正确的认识金融市场并更为有效的规避风险，具有重要的参考价值。 本文主要利用极值理论和c o p u l a 理论尝试对中国股市进行建模分析。得到的主要 研究成果有：( 1 ) ，系统归纳了极值理论主要的两个分布模型，着重介绍了广义极值 分布模型，并结合上证综指的数据，在广义极值分布的基础上，做了较详细的数据分 布、参数估计、参数检验和实证结果分析，利用l o g i i l 给出的两个统计工具，给出了沪 市极值收益率的发生时间和发生概率； ( 2 ) ，系统总结了( 研) u l a 理论的定义、性质以 及常见c o p u l a 函数的分类，基于四类不同的c o p u l a 函数，结合沪深两市的日收益率， 分别给出了相应c 0 p u l a 函数的参数估计并判断出刻画中国股市极值相关性的最优 c o p u l a 函数；( 3 ) ，系统描述了二元极值c o p u l a 的三类c o p u l a 函数，基于i j d 西s t i c 模 型结合沪深两市数据，给出了相应的参数估计，通过计算l o 百s t i c 模型的条件分布函数 得到的结论是中国沪深两市在上尾极值处具有较大的相关性。 关键词：金融风险；极值理论；c o p u l a 函数；二元极值分布。 - 1 北方工业大学硕士学位论文 t h e s t u d yb a s e d o nt h ee x t r e m ev a l u ec o r r e l a t i o no fc h i n e s es t o c k m a r k e t h l 1 cr e c e m ) r e a r s ，w i t l lt l l er e g u l a t i o ni i lt 1 1 es 幻c km 獭0 f o l l r 伽l 仃y ，p i 。o p l e sd a i l y l i f ea r c 砌u e n c e dm o r e 卸dm o r cb yt l l es t o c km 破e t h l f l 咖c e db yt l l ei i l f b n n a t i o no fm 玳e t t l l es 妣k 皿c cm a y s u r g ch u g e l ya n dc o u 嫩h u g el o s td u 血gt l l ei i e s t o l l s 鼬e do nt h j s s i t u a t i o 玛h o wt 0c x p e c tt h e 咖t s 锄dl o s t0 f t l l eh o l d i i l g 硒s e t sb c 啪e st h ef b c 惦f o r t h e i n v e s l d r s n e h u g en l 炳i 撕o no ft l l e 删a 1a s t s u l db eg e n e r a l i z e d 弱：t l l e 盯c ：s p o n d 吨d a t a h a v e 驯【r p 弱s e dm e 丘】( e d t l l r e s h d do r b e e n t o t l l e m 越i m 岫d 响g t l l e c e r t a i l l 恤，锄d c 0 u r s e t l l ec r i s i s t h ed a s s i c a ls 眦i s t i c a le x 仃e m ev a l u et t i 锄e so d n o e ma _ b o u tt l 忙m a i 【i i n u m 如i i l i i n u m i l l t l l e m d 咖v 撕a b l es e r i 鹪e x 呦e u e n e 0 巧a n d m e m o d sc a l ld e a j w 弛m c t a i l b e h a v i o r f o rr e t u m r i c s o d n c e n l i i 唔a b 叫tt h ef a tt a i li l lt l l e 丘i l 砌a lr i s l 【 i t u l dm e a s u t h e 丘1 1 卸d a lr i s k 咖d c r l ) 血gt h ei m g cn u c t u a t i o nm o r ee 由的i v e l y h lt l l e 丘i l 删a lm 破乩t l l ec x 臼锄ev a l u ec 0 仃c l a t i o n0 f t l l e 似r 00 rm o r et l l 柚t 、 ，o 丘i 坷f l d a l 签s e t s 撕y s b c c o m e t h e 删p o i i l t i i l m c 删t h e t r a d i t i 衄a l m e t h o d s o f h i l e a r c 0 仃e l a t i o nm e t l l o d sl l a v ec e r t a i l ld e f e c t si i lt l l et l l e o 巧a i l de m p i r i c a lr e s e 砌an e wt l l e o f y 卸d m e t h o dc o p u l ai i l 丘i 啪d a lf i e l dh a v em a d e 璐血dn e wd i 矧i o 璐u s i n g ( 坤u l at l l e 0 巧，的m t l l em a r g ：i i l a lf u i l c t i o 璐a n dc i ) p u l af u n c t i o nb e t w e c nt l l e m ，w ec a 皿g e tj o i i l t 击s t r i b u t i o nw l l i c hi s 1 0 r ed o s et om ep m c t 妣龇a i l db u i l dt l l er i s km 锄a g e m e n tm o d e lm o r ee c 融i v e l y n1 1 a s i m p o r t 觚t m e 疵g i l l t l l e t h e 0 叫t o r o c o 印i z e m e 血卸c i a l m 诎e t c 0 仃硎y 觚d a v e n t l l e f h l 锄c i a lr i s ke 侬州v e l y u s i l l gt l l ee x 仃e m e v a l u en e o 哆锄d c 0 p u l at h e o 哆，ih a v et r i e dt om o d e l 锄d 矾a l y z c 恤 s t o c i km 缸k e t si no l l rc o u n 仃y t h em a i l lr e s e 删lr e s u l t s 卸dc o n c l u s i o 璐a r c 弱f 0 u o w s ： ( 1 ) ，ng e n e r a l i z e dt l l e 觚om a i l ld i s t r i b u t i o i l si i lt t l ee x t r e m ev a l u et l l e o r y e s p e c i a l l yt h e g e n e r a l i z e de x 骶m ev a j u em o d e l w i mm ed a t a 劬ms h 趾曲a is t o c km 砌( e t ，b a s e d0 nt 1 1 e g e vm o d e l ，i td i dt l l ed a t a 锄a l y s i s ，p 猢e t e re s l 抽a t i o n s ，s t a t i s t i c a jt e s t 锄d 锄p i r i c a lr e s u l t s 锄a l l y s j s b a s e do nt l i e 艄蚴i s t i c a lt 0 0 l s 酉v e nb yl o n g 细，i tg a v et l l ep r o b a b i l i t yo f e x c e e d a i l c eo f 孤e x 仃e m e 两c em o v 锄e n t 锄di t sa s s o d a t e dw a i t i i l gt i l t l ep e r i o d ( 2 ) ，i tg e n e r a l i z e dt l l ed e 6 n i t i o i l ，c h 觚l c t e r 卸dc l a s s i 6 c a t i o no f ( 砷u l a b a s e do nt h ef o u r d i f f 色r e n tc o p u l af u n c t i o n s ，w i t ht l l ed a j l yr e t u m so fs h a n g h a ja n ds h e m 山e ns t o c km a r k e t ，i t 2 北方工业大学硕士学位论文 彤i v et h ep a 姗e t e re s t i i i l a t i o 璐o fr e l e v a n tc 1 ) p u l a 狮dt h eb e s tc i ) p u l af u n c t i o 璐、i t l lt h es 刚【 m 缸k e t i i l o l l r c 0 帅q ( 3 ) ，i ti n 仃1 ) d u o e dt l i em u l t i v a r i a t ee x 仃e m e v a l u ed i s t r i b u t i o n 锄dc o p u l a 劬d i o 璐o ft l l e e x 仃e m ev a l u ed i s t 曲u t i o 玛印p l i e dt l l ek 四s t i cm o d e lt 0 卸a l y z et h ec o r r e l a t i o no ft h es h 觚g i l a i a n ds h e n z h e ns t o c km a r l ( e t k e yw o r t l s ：f i i i a n c i a lr i s k ；e 、，t ；c o p u l af n j l c t i o n ；m u l t i v 撕a t ee ) 【仃e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j e 友王些太堂或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：骗签字日期： 耐年5 月，? 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 堡直王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权j e 友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：骗 签字日期：土略年占月j ) 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 篡 相铷 v 年 惠厂暗 ：山 名 期 签 日 师 字 导 签 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 近年来，随着我国金融市场的不断完善与成长，人们所面对的金融风险越来越大， 这就需要对金融市场风险进行管理。如何管理好金融风险，已成为金融机构的需要解决 的重要课题之一。随着金融工具及其衍生物趋向多元复杂化，风险管理呈现出专业化和 综合性的特点。我国在金融风险管理方面研究还处于初级阶段，借鉴国外先进的管理经 验与技术，结合我国金融市场实际情况，发展适合我国的金融风险管理模式，应对金融 风险带来的不良冲击，保障我国经济建设顺利进行。 1 1 论文的研究背景与意义 1 9 2 9 年美国股市出现史上没出现的大崩溃，不仅严重打击了当时的美国证券业， 也直接造成了此后3 0 年代的美国经济大萧条。自那以后，金融市场上不断出现的危机 就一直在困扰着各国政府与金融机构。从1 9 8 7 年重现的美国股票市场崩盘，亚洲金融 危机到巴林银行的倒闭中，国际金融市场一次次的经受着暴跌的冲击，同时也对金融市 场的风险管理提出了更高的要求。经过多年的努力，我国的证券市场正在逐步走上正 规，并初具规模的影响着人们方方面面的生活。在最近全民炒股的狂潮下，越来越多的 人们将资金注入进了股市，股价同时也在不断的攀升，股市的晴雨已经成为大众关注的 焦点之一。在这样的背景下，在还很不成熟的我国证券市场中，风险管理特别是对股票 市场的风险管理显得十分重要，同时保障我国金融市场的平稳运行与健康发展，建议完 善的风险控制与管理体制也是迫在眉睫。 在现在的经济活动中，对金融资产异常情况的考察主要是研究资产的收益率。特别 的，对于金融资产的价格波动尤其是股票价格的暴涨暴跌的研究，就需要考察股票收益 率的极值情况。资产收益率率的统计分布在金融模型中有着重要的地位。对于资产定价 模型，或管理和度量金融风险，对市场价格运动的假设都是十分有必要的。但是，无论 是经济学上还是统计学上，都没有对收益的分布做出准确的研究。在用到实证分析或进 行理论研究的时候，人们常常假设资产收益率服从正态分布。m a d 【o 、i 以1 9 5 2 ) 和 s h a 啾1 9 在研究投资组合问题的时候，假设资产收益服从正态分布；在1 9 7 0 年初， b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 与m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 在研究期权定价问题的时候也曾假设资产收益服 从正态分布；直到最近，随着银行和金融业在资产风险管理上的改变，在服从正态分布 的金融资产的基础上的v a r a j u e a t r i s k ) 也得到了发展与应用。虽然正态分布在金融 模型中得到了广泛应用，也仍有几点值得我们考虑。一个最重要的原因是，越来越多的 1 北方工业大学硕士学位论文 研究发现，在估计分布尾部的极值收益的时候，正态分布有低估风险的趋向。例如，发 生在1 9 2 9 年和1 9 8 7 年的美国证券市场的崩盘，超过1 0 甚至2 0 的大跌，这用正态分 布来描述是根本不可能的。于是其他的一些分布假设便被提了出来，并且取得了一定的 成功。例如：臆t i l r c g a u s s i 锄分布，咖d e n t t 分布和a r c h 模型。同时人们也将极值 理论( 】巳x t r e m ev a l u en e o r y ) 引入了进来。 考虑到金融市场间的关系更是变得日趋复杂，更多的呈现出非线性、非对称和厚尾 的特性，如何合理预期所持有资产的收益和损失风险成为投资者和国家金融监管机构关 注的热点，如何有效地度量和管理市场风险成为竞争取胜甚至生存的一个关键性因素。 对于持有多种相异金融资产的风险管理者来说，资产之间的相关性十分重要，有必要对整 体的风险做出评价。几种风险互相影响的结果可能导致其聚合风险小于或大于这几种风 险作为互相独立的风险简单相加之和。此外，不同类型风险的分布形状又大相径庭，这就 要求一种方法来考虑所有资产的相依结构，并整合不同风险类型。 以往人们对金融市场中两( 多) 个资产的相关性研究主要使用经典的p e a r s 0 n 线性相 关系数来刻画，近年来人们渐渐认识到它的不足。第一，经典的相关系数是从线性的角 度去刻画两( 多) 个资产之间的关系，而实际中的数据表明金融资产之间的相依结构往 往是非线性关系的。第二，经典的相关系数从平均的角度来度量资产之间的关联程度， 而在现实生活中我们更关心资产的极端值，即金融资产出现剧烈波动的过程。最后，大 多数风险管理模型都假设多个资产收益序列或风险因子的联合分布服从多元正态分布， 但大量实证表明，这种假设经常与客观事实相违背，特别是当极端事件发生时，因此在 正态分布假设下进行的资产组合风险分析及其v 根计算与实际情况偏差较大。基于这三 个方面原因，一种全新的度量相关性的工具c 0 p u l a 随之产生。运用c i o p u l a 理论，由边缘 分布和一个连接它们的c o p u l a 函数，可以得到一个与实际数据更为接近的联合分布，从 而可以建立起更为有效的风险管理模型。而且通过c 0 p u l a 函数，可以将风险分解为两部 分：单个金融资产和由投资组合产生的风险。其中单个金融资产的风险完全可以由它们 各自的边缘分布来描述，而由投资组合产生的风险则完全由连接它们的c 0 p u l a 函数来描 述，这使建模问题大大简化，同时也有助于我们对很多金融问题的分析和理解。另外， 从c 0 p u l a 出发衍生出来的一系列相关性指标，例如k e n d a l l r ，s p e 锄a i li | d ，以及尾部相关 性指标等，都简单而精确的刻画了金融市场中资产之间的相依性度量，这些理论的发展 使我们对金融市场中资产的相依关系的认识有了重要的理论依据，对我们刻画、分析市 场上的这些联合或相依风险，是一个很重要的理论基础，对我们正确的认识金融市场而 更为有效的规避风险，具有重要的理论意义。 2 北方工业大学硕士学位论文 我国的市场经济刚刚建立，金融市场正处在转型过程中，金融市场没有完全放开， 市场风险的作用并不明显。但是随着我国加入、们的，金融业是首先面临挑战的行业， 改革和调整势在必行。利率的市场化、资本项目的开放、证券市场的地乘数以及衍生工 具的发展等都将逐步成为现实，市场风险会日益显现和复杂。在金融市场一体化、自由 化的趋势下，我国金融业必将与国际惯例接轨，执行国际风险管理的标准，所以要求我 们建立完整有效的市场风险计量管理系统。金融风险的分析技术的一个重要的方面，就 是将风险进行分解，列入抑制股票的风险可以分解为市场风险、板块风险、个股风险与 随机扰动风险。市场风险是由在股市上交易的全部股票价格形成的，因此它是由联合分 布来决定的。两( 多) 只股票的联合( 相依) 风险度量也是股市里经常遇到的问题，例 如，我们购买几支股票( 指数) 的投资组合，我们用常用的风险度量工具v 水来度 量，则这几支股票( 指数) 的联合风险( 或相依风险) 如何来度量，要回答这些问题就 必须首先研究这几只股票的相关程度，因此，我们需要寻找一种新的度量股市相关程度 的工具o ) p u l a 。c 0 p u l a 的出现对于我们精确的认识股票( 指数) 相依关系，具有最 直接的现实意义。 1 2 内容安排 本文的内容结构主要分为三部分：引言、正文与结论。引言部分主要论述了选题的 研究背景与研究意义以及文章所要解决的问题。论文的主要工作集中在正文部分，主要 分为三个章节，第一个章节主要论述了极值理论包括g e v 模型与g p d 模型，并在 g e v 模型的基础上对上证综指进行实证研究，结合i j d n g i i l 给出的两个基于g e v 模型 的统计工具给出在给定概率或等待时间下的极值、在给定极值下的概率或等待时间、最 近两年来上证涨幅最大的十个数据的概率与等待时间；第二个章节主要介绍c 0 p u l a 理 论及其在金融风险管理中的应用，讨论了c o p u l a 函数的定义、性质与有关的定理，并 对c 0 p u l a 函数的参数估计方法进行分析比较；第三个章节是在极值c 0 p a l a 函数的基础 上，对沪、深两市极值收率的相关性进行研究分析，并给出相关结论。 3 北方工业大学硕士学位论文 2 极值理论方法与实证研究 随着科学技术的发展和经济水平的增长，人们的日常生活越来越多的暴露在各种各 样的风险之中。在规避与转移风险的基础上，人们更多的思考：如果事情会变糟，那么 会糟到多严重。这里的糟糕是针对人类的利益而言，既可能会是一件事情发生的极小情 况，如某国货币汇率的大幅下跌；也可以是一个随机事件的极大值，如自然灾害中的洪 水与台风。 极值理论( e 、厂r ) 就是研究这类极值现象分布的理论，它提供了一个正式的框架来 研究厚尾分布的尾部行为。极值理论是概率论的一个重要分支，主要研究随机样本以及 随机过程中极值的概率值与统计推断。本章主要介绍了极值理论并给出了基于极值理论 模型的上证综指的实证研究，讨论沪市在极值理论的模型下有怎样的特性，极值理论如 何告诉我们资产价格发生巨幅波动的概率。 国外的许多学者在统计极值的理论方面进行了深入研究，其中较著名的有 g a l 觚1 1 ) 0 s 【1 l 【2 j 、k a d b e n e i l 3 1 、r c s n i d 【4 】等，他们分别对极值理论进行了系统的研究。 k a d b e t t e r 等在独立同分布的假设下，证明了最大顺序统计量标准化的渐进分布分别是 g 哪b e l 、f r e c h e t 、w e i b u u 三种极值分布的充分必要条件是：随机序列边际分布的尾分 别是指数衰减、幂衰减和有界尾；他们还研究了平稳时间序列的最大顺序统计量的渐进 分布问题，证明了序列在满足一定相依条件下，最大顺序统计量的标准化极限分布仍然 是极值分布。r e s i l i c k 利用概率论的正则变化理论对极值理论方法进行了深入研究分 析。他将广义极值分布的最大吸引范围和正则变化对应起来，说明了g u m b e l 、f r e c h e t 和w e i b u 分布的各自的最大吸引范围概率分布的尾部特征，得到了和g a l 锄b o s 以及 l e a d b e 讹r 等一致的结论。 国内极值理论研究方面的文献较少，主要有p 锄j i a z l l u 和c h e ns 1 1 i h o n g 给出了极值分 布形状参数的矩估计( 标准化) 收敛到正态分布的精确速度，即矩估计分布函数的渐进 展开式【5 】。史道济等研究了多元极值分布参数的最大似然估计问题【6 】。 在金融市场中，投资者和金融机构面临着国家经济调控政策、国际经济形势等诸多 因素对市场影响所带来的资产价格异常波动的风险，因此建立有效的风险管理和控制系 统至关重要。今年极值理论方法逐渐引入到了保险和金融等领域的实践研究中。r e i s s 和1 1 1 0 m a s 对统计极值分析在水文、金融和保险中的应用作了详尽介绍，其中主要探讨 了正态混合分布等厚尾分布i 丌。 4 北方工业大学硕士学位论文 e i n b r a c h t s 、r e 砖和c o l e s 均以不同的形式给出了返回水平( r e t 哪l c v e l ) 和返回期 ( r e t u mp r t i o ( 1 ) 这两个重要概念的解释，即通过资产极端收益率发生的概率度量价格巨幅 波动的频率，而相应的极端收益率就是返回水平。l o n g i i l 【8 】【9 】【1 0 】【1 1 j 提出了极值理论的两 种统计工具：超过一定极值水平的概率( p r o b a b i l i t yo fe x c e e d 柚c ct h cl e v e l ) 和等待时间 删a i t i n gt i i i l e ) 。即对一定极值水平发生的概率和发生时间给出了量化的定义，并对美国 标准普尔5 0 0 指数做了实证研究。p 0 0 n 1 1 2 1 等基于多元极值理论建立了美国、英国、法 国、德国和日本国际股票市场的指数收益率的极值相关数学模型。他们使用了两种简单 的测度识别和量化股票收益率的尾相关。结果表明美国和日本股票市场渐进独立，利用 这一结果计算出投资组合风险，分析证实了在渐进相关的错误假设下，投资组合风险显 然被高估。 2 1 极值理论 2 1 1 次序统计量 设五，x 2 ，以是来自总体的一个样本，该样本的第i 个次序统计量，记为墨， 它是如下的样本函数，每当该样本得到一组观测值，而，时，将它们从小到大排 列为 x ( 1 ) st 2 ) s st 厅) 其中第i 个值t f ) 就是x ( f ) 观测值。称x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，石( 开) 为该样本的次序统计量。 z ( 。) 一m a 】【 墨，x ：，x 。) 和x ( ，) 一面n 【墨，x ：，】分别为该样本的极大值和极小 值，统称样本极值。它们的分布成为极值分布。由极值构成的数据具有独立同分布的特 性。 设目 ) 为总体的分布函数，为e ) 极小值分布函数，为e o ) 极大值分布函 数，则分别可以得到： 互 ) = p ( x ( 1 ) sx ) = 1 一p ( x ( 1 ) 乏x ) ；1 一p ( x ( 1 ) 之石，x ( 2 ) 之z ，x ( 一) z ) ( 2 1 ) = 1 一【1 一f ) 】“ e g ) = p ( x ( 刀) s 石) 5 北方工业大学硕士学位论文 = p ( sx ，五2 ) s ，s 别 ( 2 2 ) = 露 ) 可以从( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式得到其极值分布，但是总体分布往往是未知的。因而 就需要根据渐进理论，得到其极值分布。 2 1 2 广义极值分布 g n e d e i l l ( o ( 1 9 4 3 ) 【1 3 1 证明了在独立同分布的情况下，标准化的三二，有以下三种 可能的分布。 g 眦l b e l 分布： b ( y ) 一e x p ( 一p 一，) f c i ry r ( 2 3 ) m e t 分布： e c y ，一匕x p 。! ) ，一。，；三三 c 2 4 ， 和w e i b u u 分布： b ( y ) 一 e x p 一 y 一：三： ( 2 5 ) j e n k i n s o n ( 1 9 5 5 ) 对g n e d e n k 0 的三种不同形式的函数分布提出了一个统一的形式： b ( y ) - e x p ( 一( 1 一f y ) 珈) ：二：二： ( 2 6 ) v u 极限分布函数分布q 即广义极值分布( g e v ) 便为： 吒；e x “一( 1 + f ( 生监) ) ) 一( 珈 ( 2 7 ) 其中百成为尾部指数，描述了极值分布的尾部特征。f 0 时，是厚尾分布，即 f r e c h e t 分布。且r 越大，尾部越厚，对于金融资产收益率的分布函数来说，尾部越厚表 明金融资产价格巨幅波动的可能性越大：f = o 时，即对应于g u m b e l 分布：f 0 ，称o 。，) ，。) ，0 ：，y ：) 为正相关，若 ，一石：) ( y 。一y 2 ) 0 】表示它们的和谐概率，p r 【( x 。一石：) 瓴一匕) 0 卜p r 【僻。一x ：) 瓴一匕) o s 话印o ) ， o ， x o ， 【一1 工 0 ) - p r ( ( x 。一x ：) ( k e ) - e 一 ) ix 最一t ) ) ；1 1 罂! 二挈掣 ( 4 1 ) _ 1“1 l 一比 ；1 1 翌p 】厂 五一- ) ix 一 日一- ) ) ；1 1 婴皇幽 ( 4 2 ) h u。u ，j 其中a 称为尾部相关系数，是j o e ( 1 9 9 7 ) 为测度两个随机变量的尾部相关性构建 的。尾部相关系数是一个广泛应用于极值理论的测度，用来表示当一个观测变量的实现 值为极值时，另一个变量也出现极值的概率。如果a 存在并在处于区间( o ，1 ) 内，则 认为两个随机变量是尾部相关的：如果a 为零，则两个随机变量是独立的。可见运用 c 0 p u l a 理论能够方便有效的度量金融变量之间的极值相关性，如沪市的大涨是否会引起 深市的大涨等。 4 1 2 几类c o p u i a 函数的尾部相关系数 根据式( 4 1 )( 4 2 ) 以及椭圆c 0 p u l 瘌a r c l l j m c d e 锄c o p u l a 的特性，现将正态 c i o p u l a 、s t u d e n t tc 0 p u l a 、g u m b e lc 0 p u l a 和f h n kc 却u l a 这四类主要c c i p u l a 函数的尾部 相关系数的计算结果给出如下： 【1 】正态c i o p u l a 九= a = o ，p ( 0 ，1 ) ( 4 3 ) 【2 】s t u d e n t tc o p u l a 九： ：力。+ 。( 旦掣) ，p ( o ，1 ) ( 4 4 ) l + p 【3 】g u m b e lc 0 p u l a 2 6 北方工业大学硕士学位论文 ! 九；2 2 一， 昌0 【4 】f r a n k c 叩u l a 九= 凡= o 4 2 c o p u ia 函数的选取以及相关性特征 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 本章主要对沪深两市的极值相关性进行研究，数据分别选取上证综指自1 9 9 6 年1 月2 日至2 0 0 5 年1 月4 日的所有对数日收益率和深证成综指自1 9 9 6 年1 月2 日至 2 0 0 5 年1 月4 日的所有对数日收益率共计2 1 7 6 对数据，其定义见式( 2 1 3 ) 。 4 2 1 几类c o p u i a 函数的参数估计 根据上一章对c c p u l a 函数参数估计的论述，本章采取分步似然估计方法对以下四类 c 却u l a 函数：正态c 叩u l a 、s t i l d e n t tc i o p u l a 、g l 蚰b e lc o p u l 棚r u 墩c o p i l l a 进行参数估 计，详细步骤见式( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 。参数估计结果分别由表( 4 1 ) 和表( 4 2 ) 给出。 表( 4 2 ) 正态c o p i l i a 、s t u d e n t - tc o p u l a 的参数估计值 c g “ c t p 0 9 0 2 70 7 2 3 6 表( 4 3 ) g n m b e ic o p u l a 和l h n kc o p l l l a 函数的参数估计 g u m b e lf 】阻i l l ( c i o p u l a c i o p u l a e 3 8 3 2 93 2 1 2 1 将以上四类c o p u l a 函数代入至尾部相关系数，见式( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 分别得到尾部相关系数如表( 4 3 ) 。 2 7 北方工业大学硕士学位论文 表( 4 3 ) 四类c 0 p l i l a 函数的尾部相关系数 正态s t u d e n t tg u m b e lf 】i 龃k ( 砷u l a c i o p u l ac 0 p u l ac 却u l a 0 0 4 9 2 8o 8 0 1 20 九 九 o0 4 9 2 80o 通过对尾部相关系数的计算，可以看到正态c 却u l a 函数的主要特征是尾部不相关 的，即正态c b p i l l a 函数无法反映一个二元随机变量间的尾部相关性，或者说极值相关 性。s t u d e n t - tc 0 p u l a 能够反映出尾部相关性，但是尾部相关性是对称的，这在对我国股 市进行实证分析是，就意味着只有在上尾变化与下尾变化相同时才可以采用s t u d e n t - t c 0 p u l a 。g l 蛐b e lc 0 p u l a 反映的是较强的上尾相关性，可以捕捉到上尾处的变化。而 f r a i l l 【c 0 p u l a 的上下尾出均不相关。因此采用g 岫慨lc 0 p u l a 和s t u d e m tc o p u l a 来对沪 深股市极值相关性进行研究是有较大意义的。 4 2 2 g u m b e ic o p u i a 禾口s t u d e n t tc o p u l a 的择优 根据上文给出的两类c o p u l a 函数：g u i i 慨l ( 却u l a 和s t i l d e n t tc 0 p u l a 函数的参数 估计，通过对两类c 1 0 p u l a 函数与经验c 舢l a 函数的欧氏距离与切比雪夫距离来选择最 优的c i o p u l a 函数。经验c o p u l a 函数最早由d e h e u v e k ( 1 9 7 9 ) 给出，定义其分布函数 如下： 设饥，y 七k 。为连续联合分布中的大小为n 的样本，则经验c o p u l a 函数e 由下式 给出： e ( 三，上) ； 样本x x ( i ) ，y _ y ( j ) 中( x ，y ) 的个数 ( 4 7 ) ，ln，l 其中一f ) 和y ( ，) ，1 f ，_ ，l 表示为样本中的j l 顷序统计量。 利用欧氏距离与切比雪夫距离给出的经验c o p u l a 函数分别与g u m b e lc 0 p u l a 和 s t l l d e n t tc o p u l a 函数的结果如表( 4 4 ) 所示。 2 8 北方工业大学硕士学位论文 表( 4 4 ) 经验c o p i i i a 函数分别与g n m b e ic o p i l i a 和s 伽e n t - tc o 舢i l a 函数的欧氏距离 与切比雪夫距离 s t u d e n t t g u m b e l c i o p u l a c 0 p u l a 欧氏距离2 7 8 9 12 钙1 0 2 切比雪夫 o 0 8 8 90 0 7 9 8 距离 通过比较，可见采用g 哪b e lc i o p u l a 对我国沪深两市上尾处的极值相关性进行处理 时比较合适的。 4 3 二元极值分布 二元极值的讨论主要集中在极值的相关结构上。对于任意随机变量( x ，y ) ，在连 续的条件下，根据第三章的介绍，其联合分布可以唯一确定的表达为 f 0 ，y ) = c ( 瓦 ) ，最( y ) ) ( 4 8 ) 其中曩，e 分别是x ，y 的边际分布函数，且假设变量x ，y 服从广义极值分 布，记为凹y ( ，仃，亭) ，臼( ，d ，亭) ，艮，& 分别为x ，y 的g e v 参数，对二元极 值分布有 c ) 皇p ( 最小峨( y 即) - e x p l o g p ( 器) ) ( 4 9 ) os “，vs1 ，称c ，矿) 为c o p u l a ，函数a 定义在 0 ，1 】上，满足 m a x 0 ，1 一f ) s 彳o ) s1 ，0sfs1 为相关函数，对应不同的函数形式有着不同的二元 极值模型。以下列举几种主要的极值c 叩u l a 模型，用c ， ，6 ) 表示，其中6 为相关参 数。 混合模型：对于0s6s1 ， c ，v ，6 ) ：e x p l o g “+ l o g y 一6 罂掣黑) ( 4 1 0 ) l o g “十l u g y l 0 西s t i c 模型：对于os6s 1 ， 2 9 北方工业大学硕士学位论文 c ( 比，l ，6 ) = e x p 一 ( 一1 0 9 “) 1 7 6 + ( 一l o g v ) 1 7 6 6 ) ( 4 1 1 ) h u s l e 卜r e i s s 模型：设“= 一l o g 比， ，= 一l o g v ，西是标准正态分布，对于 6 之0 ， c ( “，v ，6 ) = e x p 一“( 6 1 + 6l o g “l ，】2 一y 西( 6 1 + 6l o g 【，“】2 ) ) ( 4 1 2 ) 二元极值分布只是在最近几年才得到人们的重视，t a 姗ja ( 1 9 8 8 ) 总结了前人的 工作，研究了二元极值的各种参数模型，其中g u n 慨l ( 1 9 6 0 ) 提出的l o 西s t i c 模型是 最有用的。 本文利用在第二章中提到并着重研究的广义极值分布即g e v 模型，结合i j 0 西s t i c 模型对沪深两市的极值收益率进行实证分析。假定边缘分布服从广义极值分布，二元随 机变量为 ，y ) 。二元l 0 百s t i c 模型刻画了 ，y ) 之间的相关性，结合式( 2 7 ) 和式 ( 4 1 1 ) 可以得到o ，) ，) 的联合分布为： f ，y ) ；e x p ( _ 【 1 + t 竺鸟一古+ 【1 + l 生鱼) 一嘉】6 ) ( 4 1 3 ) q i q v 考虑其条件分布为： b 旷 ，y ) 2 厂 ，y ) 厂y ) 幽 ( 4 1 4 ) 即为l d 舀s t i c 条件分布。 同样的选取上证综指自1 9 9 6 年1 月2 日至2 0 0 5 年1 月4 日的所有对数日收益率和 深证成指自1 9 9 6 年1 月2 日至2 0 0 5 年1 月4 日的所有对数日收益率共计2 1 7 6 对数据 作为实证研究数据，其定义见式( 2 1 3 ) 。本文假定其边缘分布函数为广义极值分布函 数，利用第二章给出的极大似然估计方法，采用以月为时间段的最刘顿序统计量，得到 参数估计值如表( 4 5 ) 所示： 3 0 北方工业大学硕士学位论文 表( 4 5 ) 广义极值分布的参数估计值 l o cs c a l e s h a p e 沪市o 0 11 0 5 6 o 0 0 6 4 3 5o 4 6 0 0 9 7 深市 o 0 11 8 6 3o 0 0 7 0 8 9o 4 7 7 8 4 1 将以上参数估计值代入至式( 4 1 4 ) ，可以得到i j d 西s t i c 条件分布。即深市出现极 值收益率的时候，沪市也出现极值收益率的概率。也即沪市在深市出现极值收益率的情 况下的k 西s t i c 条件分布。经计算得到深市出现极大收益率时，沪市出现极大收益率的 概率为0 8 1 2 3 。因此，上海和深圳股市日收盘对数收益在极值处有很强的相关性，即当 一个股市出现极值时，另一个股市也出现极值的趋势，由此可以知道上海和深圳股市波 动的总体趋势基本相同。 3 1 北方工业大学硕士学位论文 结论= 口- 匕 本文主要利用极值理论和c 0 p u l a 理论尝试对中国股市进行建模分析，并进行了相 关的实证分析，得到的主要结论如下： ( 1 ) 系统归纳了极值理论主要的两个分布模型，着重介绍了广义极值分布模型， 并结合上证综指的数据，在广义极值分布的基础上，做了较详细的数据分布、参数估 计、参数检验和实证结果分析，利用l 0 9 i i l 给出的两个统计工具，给出了沪市极值收益 率的发生时间和发生概率； ( 2 ) 系统总结了c 0 p u l a 理论的定义、性质以及常见c 0 p u l a 函数的分类，基于四 类不同的c 0 p m a 函数，结合沪深两市的日收益率，分别给出了相应c o p u l a 函数的参数 估计并判断出刻画中国股市极值相关性的最优c o p u l a 函数； ( 3 ) 系统描述了二元极值c 0 p u l a 的三类c o p u l a 函数，基于l 0 百s t i c 模型结合沪深 两市数据，给出了相应的参数估计，通过计算l o 舀s t i c 模型的条件分布函数得到的结论 是中国沪深两市在上尾极值处具有较大的相关性。 从上述分析可以看到：仅从极值理论和c o p u l a 理论出发，基于特定时间段的沪深 两市收益率的数据，沪市在2 0 0 5 年1 月至2 0 0 7 年6 月间频繁的出现大涨是无法解释 的；在股票收益率的上尾极值处，沪深两市具有较大的相关性。 在金融市场中，各种股票、债券及其他金融产品经常存在价格极端变化趋同的现象 ( 尤其在金融危机时) ，如何应用多变量极值理论和多元c o p u l a 解释金融市场的极值相依 现象仍在探索阶