（固体力学专业论文）振动系统响应序列复杂度分析及与动态特性参数关系研究.pdf

摘要 在对结构进行动力分析时，用新参量来反映振动系统的固有特 性是非常重要的，是目前模态参数识别，振动控制以及系统动力学等 方面的研究热点。传统的振动参量描述方法主要是从振动系统的不同 位置( 点与点) 之间，由激励与响应来获得频响函数来反映系统的动 态特性。该方法局限在系统的局部，不能从整体上描述系统的振动信 息，来反映系统整体的振动特性。 系统的响应是该系统动态特性的反映。本文从实际结构的计算 模型在瞬态激励下的响应序列入手，由系统上多个响应点的响应时间 序列构建了振动系统响应序列。以该反映系统整体随时间演化的序列 为研究对象，引入复杂性理论中的l e m p e l - z i v 复杂度的计算方法， 计算分析该响应序列的复杂度，从振动系统整体来反映振动系统的动 态特性。并以单边约束平板为例计算分析了不同系统响应( 位移、速 度和加速度) 序列的l z 复杂度与结构阻尼比之间的变化关系进行了 探索性的计算分析。 本文做的主要工作如下： 首先介绍了振动系统响应分析理论、响应序列的符号化、 l e m p e l z i v 复杂度的算法以及以l e m p e l - z i v 复杂度的主要性质。 其次，以简单的单边约束平板系统为例，构建了振动系统响应 序列。针对所提出的复杂度理论，验证了该响应复杂度的主要性质， 表明用该方法对振动系统的整体特性描述的合理性，可行性。 最后，针对不同的结构阻尼比的平板有限元模型，用l z 复杂 度计算质点系不同响应序列( 位移、速度和加速度) 的复杂度。得到 了单边约束平板在不同结构阻尼比值下的系统响应的3 种复杂度变 化关系。 分析结果表明，提取速度响应，采用系统响应序列复杂度分析 方法，可以反映振动系统的振动特征量，从而为工程中振动系统的参 数识别、振动控制和故障诊断等提供了新的方法。 本文提出的构建系统响应序列的方法是对系统序列复杂度分析 方法扩展为空间上的应用，同时也是复杂度理论与振动系统响应分析 相结合的一次初步尝试。 关键词： l e m p e l z i v 复杂度；响应复杂度；振动特性；响应序列；振动特征 量 a b s t r a c t w h e nw es t u d yo nt h ed y n a m i c so fs t r u c n 鹏i ti sv e r yi m p o r t a n tt ou s i n gn e w p a r a m e t e r sc a p a b l eo fr e f l e c t i n gt h es y s t e mi n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c s ，a n dn o w a d a y s t h a ti sh o t s p o ti nt h ed o m a i no fm o d a lp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n v i b r a t i o nc o n t r o l a n dd y n a m i c so fs t r u c t u r e t h et r a d i t i o n a lm e t h o d sg e tt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sb y f r e q u e n c yr e s p o n s ef u n c t i o n so fp o w e ra n dr e s p o n s e i tf o c u so nd i f f e r e n tp l a c e so f v i b r a t i o ns y s t e m ，j u s tl i k et h ev i b r a t i o ni n f o r m a t i o nb e t w e e ns p o t s i na n o t h e rw o r d ， t h a tw a ya l m o s tf o c u s0 1 1t h ep a r to fs y s t e mr a t h e rt h a nd e s c r i b i n gs y s t e mo nt h e w h o l e ，t h u sv e r yl i t t l ei n f o r m a t i o nv i b r a t i o no f s y s t e mc a r tb ek n o w n t h er e s p o n s eo f t h es y s t e mi sar e f l e c t i o no f d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sf o rs t r u c t u r e f r o mt h er e s p o n s es e q u e n c e sw h i c hi n s p i r e di nt r a n s i e n tf o r c e s ，w eb r i n gi nt h e c o m p l e x i t ya l g o r i t h mp r o p o s e db yl e m p e la n dz i vo fc o m p l e x i t yt h e o r y ，t h e na r r a y r e s p o n s et i m es e q u e n c e so fr e s p o n s es p o t so ns y s t e mi nt e | r m so f t i m et of o r maw h o l e s e q u e n c eo fv i b r a t i o ns y s t e m ，a n dt a k et h a tw h o l es e q u e n c ea ss t u d yo b j e c t w e a n a l y s i st h ec o r r e l a t i v i t yb e t w e e ns t r u c t u r ed a m p i n g ，o n ed y n a m i cp a r a m e t e r so f u n i l a t e r a l r e s t r i c t e d p l a tb o a r d i n p r a c t i c e a n dd i f f e r e n tm o v e m e n t so fv i b r a t i o n s y s t e m n 佗m a j o rp r o c e s s e sm e n t i o n e di nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , i t i n t r o d u c e st h e r e s p o n s ea n a l y s i st h e o r y o fv i b r a t i o n s y s t e m ， s y m b o l i z a t i o no fr e s p o n s es e q u e n c e sa n da r i t h m e t i co fl e m p e l - z i vc o m p l e x i t y 勰 w e l la si t sm a i nc h a r a c t e r s e c o n d l y , t h em e t h o do fc o m p l e x i t yt h e o r yi sv a l i d a t e db yau n i l a t e r a l r e s t r i c t e d p l a tb o a r d w ec o n s t r u c tt h ew h o l es e q u e n c eo fv i b r a t i o ns y s t e m ，a n dd e a lw i t h r e s p o n s e sb yc o m p l e x i t ya n a l y s i s a n dt h er e s u l ti sc o n s i s t e n tw i t ht h er e s u l to f c o m p l e x i t yt h e o r y l a s t l y , w eo b t a i nag r o u po f f i n i t ee l e m e n tm o d a l so f t h eu n i l a t e r a l r e s t r i c t e dp l a t b o a r do nd i f f e r e n ts t r u c t u r ed a m p i n g a f t e rd e a l i n gw i t hr e s p o n s e so ft h o s em o d a l sb y e o m p l e x i 哆a n a l y s i s ，t h ec o r r e l a t i v i t yb e t w e e ns t r u c t u r ed a m p i n ga n dd i f f e r e n t m o v e m e n t so f v i b r a t i o ns y s t e mc a nb ea s c e r t a i n e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o do fc o m p l e x i t yt h e o r yb a s e do nd i s t i l l i n g v e l o c i t yr e s p o n s ec a nn o to n l y r e f l e c tt h ei n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c so fv i b r a t i o n s y s t e m ，b u ta l s op r o v i d ean e ww a yf o rd a m p i n gi d e n t i f i c a t i o no fv i b r a t i o ns y s t e m a n dv i b r a t i o nc o n t r o la sw e l l 鹊f a u l td i a g n o s i s n l em e t h o do fr e s p o n s es e q u e n c e so fv i b r a t i o nw h i c ht h i sp a p e rp u t s f o r w a r d i st h ee x t e n s i o no fs y s t e ms e q u e n c e sa p p l i e dt o s p a c e b e s i d e si t i st h ep r i m a r y a t t e m p to fc o m b i n a t i o no fc o m p l e x i t yt h e o r ya n dr e s p o n s ea n a l y s i so fv i b r a t i o n s y s t e m k e y w o r d s ：l e m p e l z i vc o m p l e x i t y ，r e s p o n s ec o m p l e x i t y v i b r a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s ，r e s p o n s es e q u e n c e s v i b r a t i o nf e a n 眦p a r a m e t e r i l i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囱。 学位论文作者签名：钟 2 0 0 6 年1 2 月3 0 日 艚挪躲襻漾 2 0 0 6 年1 2 月3 0 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 靴敝储戤：错 日期：2 0 0 6 年1 2 月3 0 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 结构动态分析方法概述 结构设计是随着科学技术的进步、社会的发展而不断发展的。它由早期的凭人 们的经验进行设计，发展到设计与力学分析相结合，直到现代的结构优化设计。但就 强度而言，仍是基于静力准则的结构设计。古典工程中的结构设计大多是按静力准则 进行的。然后，再采取抑制振动水平的措施，甚至当产品在使用中出现严重的振动问 题后，才采取措施抑制产品的振动水平。实践证明，这种办法耗资巨大，效果并不理 想。因而根据传统的基于静力准则的机械结构分析方法是无法满足现代产品的设计要 求的。对承受动载荷的结构，采用结构动态分析方法是满足现代产品设计要求的有效 方法。通过动态分析达到控制机械结构的振动水平，改善产品的质量，提高它的安全 可靠性等目的【l 】。这符合国际，国内机械结构设计技术发展发向。 1 1 1 传统的结构动态分析方法概述 目前工程结构中对大型机械结构进行动力分析的方法很多，从研究方法来说主 要有两种数值计算和试验研究1 2 圳。与这两种方法对应，工程实际中普遍采用的 是有限元分析方法和试验模态分析技术。通过这些方法来识别、控制工程结构中的动 态特性物理参数，从而设计出满足静、动态要求的合格产品。 有限元分析方法是将弹性体结构离散化为有限数量的具有质量、刚度特性的单 元后在计算机上进行数学运算的理论数值近似计算方法，主要用于动力分析中正问题 的求解。目前已有多种大型商业化的有限元分析程序投入了实际应用，并已经成功解 决了一大批具有重大意义的问题卜5 1 。模态分析是结构动力学中的一种“逆j 口j 题”分 析方法，它与传统的“正问题”方法( 主要是指有限元方法) 不同，是建立在实验( 或 实测) 的基础上，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。它是一种 经济、有效地了解和寻求结构最佳的动态性能的方法【鲫l 。 从研究的参数来说，结构动态分析方法目前主要有：振幅减缩率和位移传递率( 或 力的传递率) 以及识别模态参数等【9 】。振幅减缩率属于时域分析方法，它只要观察响 应序列幅值大小即可，直观性强，分析简单。但反映的结构信息也较少，其时域中单 点振幅的大小，不能反映系统整体的振动性质。所以对结构动态设计的实际指导意义 江苏大学硕士学位论丈 相应也就不大。位移传递率( 或力的传递率) 及模态分析属于频域分析方法，其物理 意义较明确，能较好地反映系统局部点与点问传递特性，但计算分析过程较繁复。 上述的方法与理论对于线性系统较成熟。但实际工程应用中，所分析的对象和 研究的问题是复杂的。目前一般用线性化理论所得到的结果虽然在科学的发展中起到 一定的作用，并且其中有些方法被借鉴。但有些并不令人满意。若分析研究复杂结构 以及在解决实际具体问题，尤其从系统整体上来描述系统的动态特性时，遇到了很大 的困难。目l ； 还没有统一、公认的方法。 1 1 2 基于非线性理论的动态分析方法概述 近年来，国内外对非线性系统研究正在蓬勃兴起，将非线性理论应用于系统分 析是目前科学研究的趋势。非线性科学揭示系统运动各种新的现象，同时产生了许多 分析处理问题的新方法和新手段1 9 1 2 1 。如研究系统的复杂性、相空l 日j 重构等方法。 相空自j 重构在非线性系统的分析研究中具有非常重要的作用，其基本概念是利 用已知的一维时间序列在低维空间重构原来的高维系统，重构的非线性动力系统与原 来的系统在拓扑意义上等价。通过状态空间重构得到的系统模型，可用于对系统的性 质作进一步的分析，如：在相空间中绘制相轨迹图，计算定点的特征值，计算吸引予 的分维数和轨迹的李雅普诺夫指数。状态空间重构最早由t a k e n s 、p a c k a r d 等人引入 动力学系统，通过理论分析和数值计算，证明了状态空间重构能够保持原非线性动力 系统的几何不变性，它奠定了用实验方法研究高阶非线性动力系统的基础。其中李雅 普诺夫指数可以表征系统运动特征，是定量表示系统运动稳定性的良好指标1 3 - 4 1 。 基于相空删重构的一些特征量( 如李雅普诺夫指数、关联维数等) 在非线性系统 的特征标志和分析诊断中具有很大的用途。但是相空间重构过程中的时问延迟和嵌入 维数的正确选择对分析结果的影响很大，以及李雅普诺夫指数、关联维数的计算分析 手段通常需要大量的数据并且对噪声极为敏感，所以在实际使用中受到限制。由于复 杂度的物理意义明确及其简单易行的算法，它已成为种定量分析时域信号结构的方 法，进而为振动特征提取提供了有效的工具。 上述非线性理论的动态分析方法，在工程上的应用目前还处于起步阶段。 在工程结构动态分析的研究中，目前国内外主要限于对振动系统的一个响应点的 响应序列适用，无法解决系统整体的响应信号的复杂度问题。各个不同学科根掘自身 学科的特点无论是对复杂性的定义、计算、计算序列的构建，都没有统一地给出严格 2 江苏大学硕士学位论文 定义方法。一个序列或系统的复杂度对于系统不同物理参数的关系目前还没深入的研 究，还有许多问题也尚待探索。由于可信的系统响应序列的构建方法是进行有效结构 动态分析的前提，而计算复杂度时，选择合理可靠的响应运动量影响着实际响应对系 统的识别。因此，构建系统的整体响应序列，选择合理的响应运动量，是对系统进行 动力学分析的一个重要问题。 近年来，本课题组人员从振动系统整体的多个响应时间序列入手，引入符号动力 学中的符号空间概念，把振动响应时间序列通过符号化处理，将其看作是动力系统的 轨道，提出利用l e m p e l z i v 复杂度方法分析该振动系统的整体响应，即在系统整体 响应张成的符号空间里，分析结构随时自j 演变的动力学行为。本篇论文即通过复杂度 分析方法，构建系统整体的振动响应符号序列，展露系统的整体振动信息，探索不同 响应复杂度与系统模态参数之间的关系。 1 2 课题研究的目的和意义 1 2 1 课题研究的目的： 文献研究表明，振动系统响应的时间序列，反映了系统在外部激励干扰下的运 动的演变过程，其中蕴藏着与振动系统响应相关联的系统变量的变化痕迹，包含着系 统的整体固有特性1 ”1 。振动系统响应的时间序列本身也是一个非线性复杂系统，它具 有广泛的非线性动力学特型1 8 1 。以前，人们习惯于对非线性振动响应做线性化处 理，但随着科学的发展，人们逐渐认识到，这样的简化难以保持系统的本质不变，而 非线性是系统产生复杂行为的来源。复杂度正是在这种背景下提出的，它可以将“简 单”、“复杂”等一些定性、模糊的概念定量化，给出定量描述指标。根据复杂度理论 的内容，可以用来提取振动响应中的特征量，达到反映系统振动特征的目的。 为了得到反映系统整体的响应，本课题能在传统的响应复杂度分析的基础上， 对原有的响应提取方法进行改造，拟构建一个更好的反映系统整体振动特性的响应序 列的方法。同时，分别计算取不同的系统模态参数( 结构阻尼比) 值的情况下，系统 的3 种整体响应运动量( 位移、速度和加速的响应) 的复杂度值，并获得3 组变化关 系，用以选择合理的响应运动量，来对系统进行动力学分析。 1 2 2 课题研究的意义 实际工程中对系统的动态分析时，所选取的描述系统振动特性的响应特征量， 江苏大学硕士学位论文 能够尽可能多地反映系统整体特性是分析的首要前提：且所确定的运动量的响应特征 值对系统模态参数的敏感度较好，是进行动力分析的重要保证。本课题从提出从振动 系统整体的多个响应时间序列入手，克服了以往仅对振动系统单点的响应信号进行分 析的缺点，利用符号动力学及复杂度分析方法为手段，提出一种有理论依据的系统整 体振动特性描述方法，为结构动态分析、系统参数识别及故障诊断提供依据伸 2 0 1 ， 同时这也是对非线性理论应用与研究的一种有益探索。 1 3 课题研究的可行性及思路 本课题的可行性论证： 课题研究中利用有限元通用软件进行计算模型的模拟分析，采用瞬念激励所产生 的所有响应点的响应为研究对象，其中响应点将布满模型的表面，构建系统整体响应 序列。利用可计算的l e m p e l - - z i v 复杂度算法对整体响应序列分析。本文研究的可行 性基于以下几点： l 、用于描述系统整体振动特性的响应特征量必须是一个稳定值，不随所取响应 点的个数的变化而变化。由复杂度有限性性质推知，当系统的响应点的个数足够大， 足够反映系统振动状态时，反映系统整体振动特性的响应序列复杂度为一稳定值。 2 、在将各个响应点的单个序列构建成整体响应时，响应点的先后顺序是不加限 制的。这样，构建整体响应序列计算其复杂度时，不会因为单点的排列顺序问题造成 计算结果的不一致性。 基于以上的依据，本文的研究思路是： l 、在文献研究和理论分析基础上，提出基于响应时间序列复杂度分析方法，及 其与模态参数关系的研究。 2 、利用现代非线性科学研究方法( 符号动力学、l e m p a l - - z i v 复杂度算法) 构建 系统整体响应符号序列与计算响应序列的复杂度方法。 3 、利用通用计算软件m m l a b 对该方法进行编程，程序可完成对响应数据的复杂 度计算。 4 、利用a n s y s 大型商用有限元软件对不同模态参数下的计算模型( 平板) 进行 动态分析，获得整体响应数据。保存为m a t l a b 的空间变量，利用编制的程序进行分 析。 5 、对平板在某模态参数下的整体响应，进行复杂度计算与分析，验证所提出的 4 江苏大学硕士学位论文 响应复杂度理论。 6 、通过分别计算取不同的系统模态参数( 结构阻尼比) 值的情况下，系统的3 种整体响应运动量( 位移、速度和加速的响应) 的复杂度值，获得3 组变化关系，用 以选择合理的响应运动量，来对系统进行动力学分析。 江苏大学硕士学位论文 第二章响应分析及响应序列符号化方法 振动系统的响应是该系统真实动态特性的外在表现，能够反映系统的固有特性。 本章引入由符号动力学理论、混沌时间序列分析和信息理论发展起来的符号时间序列 分析方法，将振动响应时间序列通过符号化处理后，转化为符号串。同时建立相应的 符号空间，使以后构建系统符号序列的分析建立在可靠的数理逻辑基础上。 2 1 振动系统晌应分析理论 。 2 1 1 响应分析的意义 振动系统的响应问题是结构动力学的重要研究课题，其三个主要研究方向，即响 应分析、系统固有振动特性研究( 系统识别) 和载荷识别在国民经济的各方面都得到 了广泛的应用并不断发展。响应分析技术已广泛用于结构的振动设计。系统的可靠性 预估，特别是在航空、航天产品的研制、生产过程中；特性研究的成果大量地用于结 构的优化设计，通过动态设计达到控制结构的振动水平，改善产品的质量，提高它的 安全可靠性等目的，以及设备的故障诊断等领域；载荷识别技术则可应用于难以获得 激励条件下通过响应的测量反演得到激励载荷等。 响应分析是振动、冲击研究中最基本也是最活跃的研究领域，动态响应直接关系 到工程结构的强度、刚度、运动形态和振动能量水平。传统的响应分析方法主要有采 用理论分析即解析法；也可采用数值计算方法如有限元方法；也可以采用试验方法， 如振动、冲击试验方法，模态试验方法等。 2 1 2 晌应分析的方法 根据结构的形式，可以采用连续系统模型和离散系统模型进行结构的振动、冲击 响应计算。对于简单结构如梁、板，杆等可以方便地采用连续系统模型求得解析解。 但是，工程复杂结构的响应计算通常采用离散系统的分析方法如有限元方法等。工程 中的冲击可以理解为瞬态振动，因此，以下对振动响应的求解做一简要分析。 工程结构可以离散为n 自由度的系统，其动力学运动方程为f 】5 】： 【m 1 譬 + 【c 】 叠 + 【后】 x = 厂 ( 2 1 ) 上式中【叫，【c 】，i 】分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵， f ) 是作 用在结构上的激励力列阵， j ， j ) ， x 分别为结构的响应加速度、速度和位移列 6 江苏大学硕士学位论文 阵。一旦结构的质量矩阵【州、阻尼矩阵 c 】和刚度矩阵【女】确定了，那么在特定的激 励力列阵 厂 作用下的响应也就唯一确定了，也即该微分方程的解向量唯一。问题归 结为已知系统和激励，求响应的正问题。 响应计算便是求解方程( 2 1 ) 。响应计算的种种方法中，工程研究中振动、冲击 响应分析更广泛应用的是振型叠加法。 振型叠加法是利用振型的正交性，将物理坐标下的响应化为模态坐标下的响应， 再利用杜哈美( d u h a m e l ) 积分通过耦合各单自由度解，将其转化为实际物理空间中 的解。即： 而( ) = 仍l q j ( o ) + 仍2 q 2 ( o ) + + o t n q ( c o ) 上 = 锡毋( ) ，i j 其中： 为第，个响应点、第，阶模态的振型系数；吼( ) 为第r 阶模态坐标。 这样，通过坐标变换将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程，从而可以用各个振型 单独响应的和来表示结构的总响应。由于振型叠加法有较好的理论基础，物理意义明 确，工程复杂结构的响应计算通常采用振型叠加法【6 】。 根据振型叠加法求解结构的动力响应时，需要计及结构的所有模态的贡献，这 在工程中是很困难的，因为工程结构的大规模使得计算量太大。实际上，通常使用结 构的前若干阶模态来估算响应，这便是模态截断。常见的模态截断方法有位移振型截 断、加速度振型截断、动应力的加速度振型截断和包括刚体模态的振型截断等等。截 断的振型模态阶数要根据激励力的频率结构、系统的自由度数及固有频率的大小及实 际的研究对象对精度的要求等做出工程判断。用振型叠加法计算出振动系统的响应 后，该响应序列是系统真实动态特性的外在表现，它几乎包含着该结构所有的动力信 息。对响应序列进行处理分析，以获得与系统特性相关的信息。常用的响应序列处理 方法有f f t ，谱分析及符号化。其中响应序列符号化最为有效，在响应时脚序列分析 中得到了广泛的应用。 上述分析表明振动系统的响应( 位移、速度和加速度) 包含着振动系统的特性 参数。将振动系统的响应从频域中展开，其振动系统特性参数的信息表现出来了。本 文试图对振动系统的响应序列进行复杂度分析来描述系统的整体特性的依据就在此。 7 江苏大学硕士学位论文 2 2 响应时间序列符号化 用符号时间序列分析方法对该序列进行符号化处理，在几个可能值上对时j - 日j 序 列进行离散化，把许多可能值的数据序列变换为仅有几个互不相同值的符号序列。由 此能够捕获大尺度的特征，从而降低动力学噪声和测量噪声的影响f 2 2 1 。为对振动系统 响应进行整体复杂度分析，将所得的响应进行二值化处理是一个行之有效的方法。二 值化处理本质上是将响应时间序列转化为符号空间。转化为符号序列后，我们讨论和 分析的对象就成为一个符号串了。为了对振动系统响应序列符号串进行深入地分析， 使分析建立在可靠的数理逻辑基础上，下面先简单介绍符号动力系统基础上的符号空 间。 2 2 1 符号空l 司简介 符号空间是形式上最简单的一种动力学系统，它是实际动力学系统的一种高度 概括和抽象f 。考虑某种相空间x 中的完全确定性论的动力学系统，它把x 映射 到自身： f ：x 寸x 只要x 是紧致流型，它就具备有限的开覆盖。以不同的字母束命名各片覆盖只 需要用到有限的字母集合，用这个字母集合可以通过动力学生成种种符号序列。把这 样的符号序列当作点，可以支起符号序列空间。定义移位算符f 如下： f ( s o s , s 2 8 n ) = s o s l j 2 晶 移位七次记为f ，则移位操作f 定义了从到自身的动力学 f ：寸 数学上称为的移位自同构，不管x 中点x 的精确位置，只看它落在那片覆盖 中，而代之相应的字母，这就实现了“租粒化”，并且建立起对应关系： ：x 寸字母 这种对应是相当般的，甚至没有要求各片覆盖互不重叠，因而不仅允许x 中的 运动轨迹与中轨道有多一对应，而且一个点x 也可能对应不止一个字母，对应关 系必然很松弛，因为空间x 和空间的性质颇不相同。对于z 的开覆盖，也可 以提出进一步限制，例如要求不同的覆盖片除边界点外不能重叠，可以进一步使这种 覆盖成为对x 的“马尔可夫分割”，建立起x 上确定论动力学厂与上马尔可夫链 的概率论对应。 8 江苏大学硕士学位论文 按照上述抽象方向发展的符号动力学，即适用于连续空间上的动力学，也适用 于离散的动力学系统。一方面，基于传统的无穷小分析的微分理论难以施展时，基于 粗粒化的符号动力学仍能发挥作用。另一方面，一般数值方法行不通的时候，它仍提 供了定性分析的手段。 2 2 2 响应时间序列的符号空间 从以上对符号动力学的简单介绍，我们受到提示：可以将振动系统的响戍看作 是某种动力系统的符号空间，对其进行符号化，得到该轨道的符号序列。其中，最常 用且简单的符号空间只有0 和l 两个字符组成，简称o l 符号空间。 引入：= j ls 气s o s 2 ) ，s j o ，1 ，j = 1 ，2 ， ，其中，：称为关于两个 符号0 和1 的响应符号空间。该符号空间能作为度量空间，需要满足度量空白j 的必要 条件。 设：中的两个序列s = ( s o s s 2 ) 和( ，= f 0 ，l ，2 ) 定义它们之间的距离为：d ( s ，r ) = 妻监掣。由于b 一1 只能是0 或l ，该无穷 级数被几何级数砉= 2 所控制，所以它收敛。 _ 0 设s ，r 2 ，如置= ，( 江o ，1 ，2 ，栉) ， 贝| j ： d ( 蹦) = 窆也笋+ 窆皂掣童吾：砉。 tzot-n+li l 如0 0 ，对某一j - n ，则必有 a ( s , o 专古， 因此，如d ( s ，f ) 砉，则蜀= ( f h ) 。 这个结果可以很快地判定两个序列是否相互接近，直观上该结果说明了：中两 个序列是相互接近的，只要它们前面相当多项是一致的，即说明该空间能作为度量空 间【2 3 1 。 由此，在0 - - 1 符号空间为连续曲线的系统的轨迹将被转换为符号序列。这些符 号标记了被轨迹所访问的单元。这一符号模型以最简单的可能方式完全地描述了系统 9 江苏大学硕士学位论文 的动力学特征，它提供了一种研究复杂动系统运行状态的手段 1 羽。 最简单、具体的响应序列符号化的方法是通过一个阀值函数，响应时| 日j 序列 = x ( t 。) 转换为： x 。 = ( x ，屯，x 。) s 。 = ( s ，s ：，s ，) 1 0 00 1 卜 x o ) f l|。1弋，门 jv 个 7 v l j = 0 1 1 1 0 0 1 0 l o l l l o l o l 图2 - 1 时间序列与其符号化序列 f i g u r e2 - 1t i m es e r i e sa n di t ss y m b o l i z e ds e q u e n c e s 如图，响应时间序列被转换为0 1 序列。本课题采用二值化方法，也就是对系统的响 应进行二值化分析，化为o l 序列。 2 3 振动系统响应序列的二值化方法 为了在计算机上对有限长位移响应的复杂度进行计算，需要先将位移响应离散 化：而且，计算中需要做大量的比较。在计算机程序中。比较语句较费时，因此在实 际运用l z 算法对响应迸行复杂度计算时，人们为了减少计算量，提高其实时性， 一般都将待分析序列进行粗粒化处理，而且通常采用二值化处理1 2 4 1 。 二值化的一般方法是先求出该段时白】序列的平均值，再以该均值为界，把所有小 于或等于该均值的s ( f ) 都置为0 ，而把所有大于该均值的s ( i ) 都霄为1 。从而把原来 待分析的时间序列转换成只含0 和1 这两个字符的0 1 序列。 从原理上讲，数据经二值化处理后，信息有所丢失。新得到的二值化o l 序列主 要反映了原信号以均值为中心的交变特性。细节上的变化情况在新序列中得不到反 映。但若忽略信号的细节部分而从总体上考察信号的交变特性，也能在一定程度上衡 量该系统的动念特性。对大量的试验数据分别进行二值化、四值化和八值化处理计 算其相关性，发现三者的总体变化趋势基本一样。o 一1 序列二值化处理这种思路自 1 0 江苏大学硕士学位论文 然又简单，容易被人们采用。以下列举了些进行二值化处理时常用的方法。 l 、以零值为界的二值化 只要稍加分析就可简化上述二值化过程。该0 、1 序列以0 为分界线，若信号大 于或等于0 则自动取0 ，若信号小于0 则自动取为l ，从而构成o 一1 序列，简便地实 现二值化。这里的o 和1 不代表数值，仅仅是一种符号而已，也可以记做l 和0 。从 本质上，这不影响计算结果。 2 、以均值为界的二值化 这种方法实质上以均值为分界线，但利用平移后的信号穿越水平线的变化将原信 号进行二值化处理。这意味着新构成的0 、1 序列所包含的信息反映的是原来信号来 回穿越均值的变化情况。 从物理意义上讲，以零值为界和以均值为分界是有区别的。从概率分布的角度来 看，以均值为界对信号进行划分相对于以零为界应该更合理些。 3 、以拟合曲线为界的二值化 上述二值化处理虽然在许多情况下能从总体上粗略反映原信号的动态特性，但对 有些信号，这种处理则会出现较大误差，丢失原时间序列中所包含的许多有效信息，甚 至从根本上不能客观反映原信号的动力学性质。 图2 - 2 莱采样信号曲线与拟合曲线 f i g u r e2 - i s a m p l i n gs i g n a lc u r v ea n di t sa d a p t e dc u r v e 在图2 2 中，如果以零或均值为界进行二值化，则前面部分二值化的结果将全部 是0 ，后面部分全部是1 ，二值化后的结果成为很规则的o - l 序列 o ，o o ，o ，l ，l ，l ，l 。 然而从原信号的实际波形可看出，该信号的形状还是比较复杂的。显然。这样的二值化 序列不能客观表征原信号的动力学特征。这种现象可以看作是过分粗粒化，为了克服 这种过分粗粒化，有人提出数据拟合的方法。 江苏大学硕士学位论文 图2 - 3 经过曲线拟台处理屙的信号曲线与二值化序列 f i g u r e2 - 3s a m p l e ds i g n a lc u r v ea n di t sb i n a r ys e q u e n c e 图2 3 为用该方法对前例中的数据进行二值化处理的结果，图2 3 中上半部分为 原信号减去拟合曲线后的得到的信号曲线，下半部分为对应的二值化处理结果。通过 分析后可以看出，以零值或均值为分界线对原信号进行二值化处理实质上是把零或原 信号的均值作为信号的基线来看待的，因此只适用于原信号的基线在某段时间内稳定 不变的情况。对于类似于上例的一些信号，若仍然以均值为界进行二值化，就会使复杂 度的计算结果出现较大误差。按此分析，只要寻找出原信号漂移弯曲的基线，并以此 为界对信号二值化，便可有效克服上述问题。 二值化方法只是在对信号做相关分析前进行的粗粒化处理中的一种手段。只有快 速、准确、不丢失有效信息地进行二值化处理才能简化运算而又能客观真实地表征原 信号的动态特征。一般情况下，以第三种计算方法进行二值化较为妥当。这一实现方 法对一般的二值化方法从意义上进行了改进，更能反映信号的客观实际。当然，对于 需要考虑细节变化的特殊信号，可考虑使用多值化处理方法。 由于本文所分析的时域下振动响应信号为自由振动衰减信号并且以零值为界呈 对称分布，因此可直接使用以零值为界的二值化或以均值为界的二值化。为了简化计 算和方便编程，本文全部使用以零值为界的二值化方法对响应数据进行处理。 2 4 本章总结 1 、本章介绍了振动系统响应分析理论，分析了计算响应的模态叠加法。用该方法 计算出的振动系统的响应，是该系统真实动态特性的外在表现，几乎包含着该结构所 有的动力信息。 2 、介绍了响应时间序列符号化以及二值化方法，将二值化处理后的响应看作是振 动系统符号序列，研究响应的复杂度，从而将问题转化为研究此符号空间内序列的复 杂度。为以后用响应复杂度方法分析系统响应作了准备。 o 江苏大学硕士学位论文 3 、分析表明振动系统的响应( 位移、速度和加速度) 包含着振动系统的特性参 数。将振动系统的响应从频域中展开后，其振动系统统特性参数的信息表现出来了。 本文试图对振动系统的响应序列进行复杂度分析，来描述系统的整体特性的依据就在 此。 江苏大学硕士学位论丈 第三章复杂度理论与性质 “复杂”这一词在日常用语中，是指多而杂；具有各种不同的，而且常是数量众 多的部分、因素、概念、方面或影响的相互联系的，而这种相互联系又是难于分析、 解答或理解。但是对于复杂性没有什么统一明确的理解，对于复杂性的度量就更没有 什么统一的科学定义。现在复杂系统、复杂性是科学研究中经常出现的两个概念，对 两者的研究已成为当前跨学科的研究热点。复杂性理论与非线性研究密切相关，以静， 人们习惯于对非线性系统做线性化处理，但随着科学的发展，人们逐渐认识到，这样 的简化难以保持系统的本质不变，而非线性是系统产生复杂行为的来源。复杂度正是 在这种背景下提出的，复杂度分析提供了一种时域信号结构的定量分析方法，可以将 “简单”、“复杂”等一些定性、模糊的概念定量化，给出定量描述指标。复杂度在随 机共振特征描述、生物信号处理、电力电子系统故障预测、齿轮振动信号处理等领域 已有诸多应用。 在复杂性研究中，有许多种刻画系统复杂性的指标，比较有代表性的有柯尔摩戈 若夫( k o l m o g o r o v ) 的算法复杂度、拓扑熵、分形维数d 和形式语占与自动机等。而 理论分析与应用效果表明，k o l m o g o r o v 复杂度是序列复杂性的一种很好度量，但这 种定义很难建立一般的算法。直到兰帕尔( a l e m p l e ) 和齐夫( j z i v ) 给出了复杂度 算法，序列复杂度的应用才有了较实质性的发展。 本章从k o l m o g o r o v 复杂度( 简称k c 复杂度) 的基本概念入手，介绍了l e m p e l - - z i v 复杂度的定义算法，以便为后面对响应符号序列进行相关的复杂度分析，提供 基本根据。 传统的k c 复杂度是由k o l m o g r o v 在1 9 6 5 年提出的 2 6 - 2 8 1 ，也称为算法复杂度， 之后由柴廷( c h a i t i n ) 做了进一步发展【2 9 啦! 。一个模式的k c 复杂度定义为能产生 此模式的最短的算法长度。 设给定的符号串为x ，将产生x 的程序记为p 。对一个计算机来说，p 是输入， x 是输出。关于一个符号串工的k c 复杂度就是产生x 的最短程序p 的长度。它反映了 对符号串x 的最经济的描述所需要的符号个数。可以i 己有关的计算机为r ，而将上述 定义写为 巧( x ) = m i n l j 口为产生珀q 程序 1 4 江苏大学硕士学位论文 然而k o l m o g r o v 复杂度没有一般的算法，目前较少使用，比较常用的是l e m p e l 和z i v 于1 9 7 6 年依据k o l m o g r o v 复杂度的思想而提出的有限序列复杂度的定义和算 法1 3 4 1 。 3 1l e m p e l - - z i v 复杂度的算法介绍 l e m p e l - - z i v 复杂度是目前实际中分析时间序列的一种度量方法。下文将对此做 出具体描述。 先做如下假设：4 表示字母表( a l p h a b e t ) ，即字符的集合，口= i a i 表示字母表中 的字母的个数。4 。表示以有限字母表4 中的元素组成的所有的有限长序列集， a ”= # 4 l ，o ) = 胛j 刀2 0 ，表示长度为甩的由字母表一中的元素构成的所有的序列， ，( s ) 表示序列s 的长度。人表示空序列，指序列的长度为0 ，且a a 。如果序列 s a ”，那么序列可以表示为： s = s i s 2 s h s ( j ，_ ，) 表示s 中以j 位置开始，以，位置结束的序列， 跗) = 黪纠 ，川 q a ”和r a ”连接成个新序列为： s = q r = q , q 2 q m ，2 a ”+ ” 其中o = s o ，m ) ，r = s ( m + l ，m + 阼) 。q 称为s 的前缀( p r e f i x ) ，s 叫做q 的扩张 ( e x t e n s i o n ) ，如果a = s o ，i ) 成立，当，( q ) ，( s ) ，称q 和a 是正常的( p r o p e r ) 。定 义算子石，断= 义i ，l ( s ) 一，) 。特别地，s r t o = s ，断= 人，i 2 t ( s ) 。 序列s 的字符串集( v o c a b u l a r y ) ，记为y ( j ) = 毋( f ，州1 f ，( s ) a 。字符串 q y ( s ) 称s 的本征字符串( e i g e n w o r d ) ，如果q 不属于s 的其