（应用数学专业论文）具有分布偏差变元的中立型微分方程的振动准则.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文具有分布偏差变元的中立型微分 方程的振动准则，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 储貅雾蛳魄少舨川口 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 具有分布偏差变元的中立型微分方程的振动准则系本人在曲阜师范 大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成 果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人 完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜 师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部 或部分内容 作者签名：旁| ! 乏丝b 日期：。i ，上、l 扩 导师签名： 蝴一孓 曲阜师范大学硕士学位论文 具有分布偏差变元的中立型微分方程的振动 准则 摘要 微分方程的振动性理论是微分方程理论中一个十分重要的分支，它具有非 常深刻的物理背景和数学模型近年来，这一理论在应用数学领域取得了迅速 的发展和广泛的重视有大批学者从事于这方面的理论研究，取得了一系列较 好的结果研究微分方程的振动性理论，有较好的发展前景，并且有较高的实 用价值微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一随着自然科学 与生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存 在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题特别是近几十年，微分方程 解的振动性的研究发展得相当迅速，其中以二阶非线性微分方程最受人们的关 注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方 法上均有长足的发展( 部分结果可参见文【1 】- 【3 6 】) 本文利用推广的r i c c a t i 变换，积分平均技巧及函数的单调性对几类二阶 非线性微分方程进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本论文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元高阶中立微分 方程的振动性 ，6 ( r ( t ) 妒( z 0 ) ) z n 一1 ( t ) ) 7 + p ( t ，毒) ，k 0 ( t ，专) ) d 盯睡) = 0 ，t t o ， ( 2 1 1 ) - ，n 主要利用了r i c c a t i 变换，基本不等式和积分平均方法将赵军华【3 7 】和王培光 f 3 8 】中的结论推广和改进，得到了一些新的振动性准则 第三章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元的二阶中立微 o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rac l a s so fn e u t r a l e q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e dd e v i a t i n g a r g u m e n t a b s t r a c t t h et h e o r yo fo s c i l l a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h eq u a l i t a t i v et h e o r y o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ef i e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s i th a s m a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r e so fi t s e m e r g e n c eh a v ed e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l s m a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n y g o o dr e s u l t s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e df r o ml o t s o fr e a la p p l i c a t i o n sa n dp r a c t i c e s u c ha sw h e t h e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sa o s c i l l a t i n gs o l u t i o no rn o t ，a n dw h e t h e ra l lo fi t ss o l u t i o n sa r eo s c i l l a t o r yo rn o t i nv e r yr e s e n ty e a r s ，g r e a tc h a n g e so ft h i sf i e l dh a v et a k e n p l a c e e s p e c i a l l y , t h e s e c o n do r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n s a n di n v e s t i g a t e di nv a r i o u sc l a s s e sb yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s ( s e e 1 】- 3 6 】) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n i n t e g r a l a v e r a g et e c h n i q u ea n dt h em o n o t o n eo ff u n c t i o n st oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o n c r i t e r i af o rs o m ec l a s so fn e u t r a le q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e dd e v i a t i n ga x g u - m e n t ，t h er e s u l t so fw h i c hg e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o n c r i t e r i a t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o re v e no r d e rn e u t r a le q u a - t i o n sw i t hd i s t r i b u t ed e v i a t i n ga r g u m e n t ， ，口 ( r ( 亡) 妒扛 ) ) z n 一1 ) ) 7 + v ( t ，f ) ，陋o ( ，) ) 】打 ) = 0 ，t t o ， ，n l ( 2 1 1 ) w em a i n l ye m p l o y e dag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n di n t e g r a la v e r a g e t e c h n i q u es h a l lf u r t h e rt h ei n v e s t i g a t i o na n di m p r o v et h em a i n r e s u l t so fz h a o 3 7 a n dw a n g 【3 8 ，w eo b t a i n e ds e v e r a ln e w o s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do f t h i ss e c t i o n i nc h a p t e r3 ，i nt h i sc h a p t e r ，u s i n gag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n a n dd e v e l o p i n gi d e a se x p l o i t e db yy u r iv r o g o v c h e n k oa n dt u n c a y 【4 2 】，w e e s t a b l i s hs o m en e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o re q ，o ( r ( t ) z 7 0 ) ) 7 + v ( t ，) ，k ( t ，f ) ) 】d 盯) = 0 ，t t o ， ( 3 1 1 ) ，口 w h i c hr e m o v ec o n d i t i o n ( c 2 ) i nt h e o r e maa n d ( 锯) i nt h e o r e mbi nw a n g 4 1 k e yw o r d s ： e v e no r d e r ；s e c o n d - o r d e r ；n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； o s c i l l a t i o n ；d i s t r i b u t e dd e v i a t i n ga r g u m e n g ；r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a l a v e r a g e l l ， 第一章绪论 自然科学中的许多一般规律，用常微分方程、差分方程的语言来表达最为 自然现在随着科学的发展，常微分方程应用的领域日益扩大不但对于理、 工各科应用逐渐增多，而且已经渗透到医学、经济学领域中例如计算培养细 菌问题、人口增长问题、市场经济、流行病的传染等实际问题中，都需要应用 常微分方程然而在十九世纪四十年代以前，人们一直致力于研究各种类型方 程的求解问题，在积累不少经验的同时，也遇到了越来越大的困难这是由于 常微分方程并不是都能求出函数解的，于是研究他们的定性理论如振动性就有 非常大的意义，也有很好的发展前景特别是近几十年，随着近代科学技术得 发展，尤其是伴随计算机的发展，微分方程的研究工作已有相当大的发展，它 从最一般的一阶齐次线性方程到1 1 阶非齐次线性方程，到研究滞后型、超前 型、中立型、混合型，都有非常丰富的成果振动性理论是微分方程定性理论 的个重要分支，1 8 3 6 年s m r m 1 1 关于二阶微分方程的零点分布理论奠定了 振动性理论的基础自那时以来，不同类型的线性或非线性常微分方程、泛函 微分方程、偏微分方程、离散微分方程的解的振动性开始引起众多研究者的注 意，尤其是近几十年来，二阶和高阶中立微分方程的解的振动性工作获得了一 系列优美而深刻结果 ( 部分结果可参见文【1 - 3 6 】) 目前人们常用的方法有r i c c a t i 技巧、变分原理及积分平均方法等，而积 分平均方法又广受研究者们的青睐，这是因为它巧妙地避免了对微分方程系数 函数的限制，从而大大推广了结果的应用范围 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元高阶中立微分 方程的振动性 ，6 ( ， ) 砂( z 0 ) ) z n 一1 ) ) + p ( ，) ，k ( 夕( 亡，) ) d 盯 ) = 0 ，t t o ， ( 2 1 1 ) ，口 主要利用了r i c c a t i 变换，基本不等式和积分平均方法将赵军华【3 7 】和王培光 3 8 】中的结论推广和改进，得到了一些新的振动性准则 1 第一章 绪论 第三章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元的二阶中立微 分方程的振动性 ，6 ( r ( ) z 7 ) ) + p ( t ，) ，k ，毒) ) 】d 盯 ) = o ，t t o ， ( 3 1 1 ) ，口 在这一章中，主要通过运用h ( t ，8 ) 、r i c c a t i 变换和不同的辅助函数，将王 培光 4 1 】中定理a 的条件( q ) 和定理b 的条件( g ) 去掉得到了新的振动准 则 2 ， 第二章具有分布偏差变元高阶中立微分方程的振动性 2 1 引言 本章研究具有分布偏差变元高阶中立微分方程 ，b ( ( r ) 妒( z ( t ) ) z n 一1 ( t ) ) 7 + p ( ，) ，k ( 9 ( t ，) ) d 仃嬉) = 0 ，t t o ， ( 2 1 1 ) ，口 的振动性，其中z ( t ) = x ( t ) + q ( t ) x ( t 一丁) ，t o 0 是一固定常数，1 1 为偶数 定义2 1 1 方程( 2 1 1 ) 的解，即函数z ：限，o o ) 一r ，疋t o ，使得x ( t ) 和r ( ) 矽0 ( t ) ) z 俅) 都是连续可微的，并且对t 已满足方程( 2 1 1 ) 我们主 要研究方程( 2 1 1 ) 的非平凡解z ( 亡) ，即解x ( t ) 满足s u p i x ( t ) i ：t t ) 0 对所有的t 瓦 定义2 1 2 方程( 2 1 1 ) 的一个非平凡解称为振动的，如果该解有任意大 的零点；否则称其为非振动的方程( 2 1 1 ) 称为振动的，如果它的每个解都 是振动的 引理2 1 3 如果a 0 ，6 0 ，则 - - a x 2 + 妇一x 2 - 4 - 菘5 2 引理2 1 4 ( k i g u r a d z e 3 9 ) 如果u ( ) 是r 上一个正的且n 次可微的 函数，如果u ( n ) ( ) 是常号且在任意区间i t ，+ o 。】( t l o ) ，则存在t t 和一 个整数z ( 0 z 几) ，当n + z 是偶数时u ( t ) u ( n ) ( ) 0 ，当几+ 2 是奇数时 u ( ) u ( n ) ) s0 ，并且对t 气，t 正 ) u ( 七 ) 0 ，0s f ；( - 1 ) k - 1 u ) u ) ( ) 0 ，l k n 引理2 1 5 ( p h i l o s 4 0 ) 假设引理2 1 4 的条件满足，且u ( n - 1 ) ( t ) u ( n ) ( 亡) 0 ，t t u ，则存在区间( 0 ，1 ) 中的一个常数口，使得对充分大的t ，存在一个常 数i o 0 满足 l u 7 ( t 2 ) i m e t n - 2i t i ( n - 1 ( 吼 其中= 南 3 第二章具有分布偏差变元高阶中立微分方程的振动性 我们称函数圣= 圣( ，s ，f ) 属于函数类y ，记西y 如果圣( e ，兄) ， e = ( ( t ，s ，f ) ：t o 2 8 t o 。) ，满足圣( ，t ，2 ) = 0 ，圣( t ，2 ，f ) = 0 ， 圣( ，s ，z ) 0 ，2 0 一。 s t 0 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i )日三 ，s ) 0 ，且一 ，s ) 一日( ，s ) ( p ( s ) p ( s ) ) = h ( t ，s ) 、7 硐 且 o 0 ，厂南d s = o o ，i = t o ，o 。) ； ( a 2 ) 妒c 1 ( r ，r ) ，砂 ) 0 ，z o ； ( a 3 ) ，( r ，r ) ，z ，( z ) 0 ，z o ； 5 岛 p 攻 b z 妒 、l ， 9 如 一岛 硎 0 一叭一k一一冶r 薹l 南揣 喻 蕊 第二章具有分布偏差变元高阶中立微分方程的振动性 ( a 4 ) p c ( i a ，6 】，【0 ，o 。) ) p ( t ，) 在i t 缸，o o ) a ，6 ，t u t o 上不是 最终为零的； ( a 5 ) g c ( i 【a ，纠，【0 ，。) ) ，g ( t ，) st ，a ，6 】，g ( t ，) 关于第一个变 量t 有连续正的偏导数，关于第二个变量荨不增的且l i r ai n f t 。g ( t ，) = o o ，荨【a ，h i ； ( a 6 ) o r c ( 陋，6 ，r ) 不增，方程( 2 1 1 ) 的积分是黎曼一史蒂芬意义上 的积分； ( a 7 ) ，( z ) 存在，( z ) k l ，妒( z ) l 一1 ，z 0 另外，我们还需要下面的条件： ( 毋) 存在正实数m 使得l ，( 士札口) i m f ( u ) f ( v ) ，u u o ； 定理2 2 1 假设条件( s 1 ) ，1 ) 一( a 7 ) 成立对任意的l t o ，如果存在 函数圣y ，p ( 亡) c 1 ( 弛o ，。) ，r ) 使得 恕s u pa q 1 ( s ) 一砸毋记z 小。( 2 2 1 ) 其中 q 1 = m j f tb q v ( t ，【1 一q ( g ( t ) 】d 吣) 一厢者掣， ( t ) = m，) ，【1 一 ，) ) 】如( ) 一万而石羔岽苦厕， 一一一v j 、， ，、 ，-、， 算子a 由( 2 1 2 ) 定义，且函数= ( ，s ，1 ) 由( 2 1 3 ) 定义则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明假设z ( ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解不失一般性，我们可设 x ( t ) 0 对所有的t t 1 t o 0 ，由于类似的可讨论z ( ) 0 ，x ( t 一丁) o ，z b ，) 】 0 ，t t l ，专 a ，h i , t t l t o ( 2 2 2 ) 由方程( 2 1 1 ) ，我们可得z ( t ) 0 ，( r ( 亡) 砂 ( t ) ) 扩- 1 ( 亡) ) 7 0 ，t t 1 下证z 驴1 ( t ) 0 ，t t 1 如果存在五t 1 使得z ( t l 一1 ( 五) o ) ，( 2 2 3 ) 用r ( 亡) 妒( z ( 亡) ) 0 除上式两边，可得 ) ( t ) 高高 ( 2 2 4 ) 对( 2 1 9 ) 从矗到t 积分，可得 豕删叫删惭卜c l 石高瓠 令t o o ，由似1 ) ，我们可得h 弛z ( 驴2 ) ( 古) = 一o 。，可得对任意大的t ， z ( n - 1 ) 和z ( n - 2 ) 都是负的由引理2 1 4 可知，没有两个连续的导数始终为 负，由此可得矛盾，故咖一电) 0 ，t t 1 时成立又由z i j 5 ) z ( z ) ，可得 x ( t ) 【1 一口( ) 】z ( 亡) ，t t 1 ( 2 2 5 ) 现在由( a 1 ) ，( s 1 ) 和( 2 2 5 ) ，可得 f x ( g ( t ，荨) ) 】m f 1 二q ( g ( t ，) ) 】， z ( 9 ，) ) 】，t t l ，( 2 2 6 ) 因此，由方程( 2 1 1 ) ，我们得 0 = 【r ) 矽( z ( t ) ) z ( n 1 ) 】7 + p ( t ，) ，k ( g ，) ) d 盯 ) 【( r ) 砂( z ( ) ) z ( n 一1 ) 】7 p + m p ( t ，) ，f 1 一q ( g ( t ，毒) ) 】，【z o ，) ) 】d 矿 ) 进一步由g ( t ，) 关于不增且2 h 一咆) 0 ，t t 1 ，可得 、z ( 9 ，) ) z ( g ( t ，o ) ) ，t t l ，毒【a ，6 】( 2 2 7 ) 所以，f z ( g ( t ，) ) 】f z ( g ( t ，o ) ) 】，t t l ，专a ，6 】因此， ( 7 ( t ) 矽 ) ) z n 一1 ( t ) ) + m f z ( g ( t ，口) ) 】p ( t ，f ) ， 1 一q ( g ( t ，f ) ) 】d 盯 ) 0 ，t t 1 ( 2 2 8 ) 7 ) 一bpwo ( t ) m p(t，)，【1一q(g(t，)】d盯)+夏i云瓦石三垡要荟 ) 一，) ，【1 一，) ) 】d 盯 ) + i _ f 币f 未兰薹去乞i 考去而 f j、。7 一，j 、。一，一、， 一i 1 k 1 l m e g 丽n - 2 丽( t , a ) g 一 ( t , a ) 础) = 一p ( ) q 。 ) 一互1 k 1 l m o i g n 函- 万2 ( 币t , 丁a ) g ( t , a 一) 如2 ) ( 2 2 1 1 ) 对( 2 2 1 1 ) 运用a 【；t l ，t 】( t t 1 ) ，可以得到 a m s m 川一a ) 洲s m 删一a 【- k 1 l m e 眦g n - 2 ) r ( ( t , s a ) ) g ( t , a ) 。( s ) ；亡 ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 即 a q l ( s ) ；圳a m s ) ；州 - a 【_ _ r k i l m e 和g n ( - s 2 ) ( r t ( , s a ) ) g ( t , a ) 砌2 ( s ) ；州】 = a 2 伽( s ) ( s ) 一k 1 l m e 百g 虱n - 萄2 i ( t 耳, a _ ) g 一 ( t , a ) 叫2 ( s ) ；t ，t 】 ( 2 2 1 2 ) 运用( 2 1 3 ) 和上面的不等式，对于t t l ，可以得到 a必(s)q，(s)；芒，亡】a灭i麦苦2一u,vk1l_m莓e石gn万-矿29(s,a)叫(s)一 妒心问纠南以圮巩 熙s 即a q 1 ( s ) 一砸毋舳，t 姐 这与( 2 2 1 ) 矛盾，即方程( 2 1 1 ) 不可能存在非平凡正解，所以方程( 2 1 1 ) 的 每个解都是振动的定理2 2 1 证毕 如果我们选取垂( t ，s ，1 ) = ( t s ) 口( s f ) pq ，p 1 2 ，则有 她，s ，f ) - 等群 运用定理2 2 1 ，我们会得到下面的结论： 定理2 2 2 假设条件( s 1 ) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的1 t o ，如 果存在个函数p ( t ) c 1 ( 陋o ，) ，( 0 ，。) ) 和两个常数q ，p t 2 ，使得 恕s u p 。( 亡_ s ) 孙( s _ 2 严 i p ( s ) q 。( s ) 一j 瓦1 j 讶主等坚( 垒生乏 崭) 2l d s 。 9 ( 2 2 1 3 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 在定理2 2 2 中取r ( t ) 三1 ，p 1 ，p ( s ) = 1 ，我们会得到下面的结论： 推论2 2 1 在方程( 2 1 1 ) 中取p = 1 ，r ( t ) 三1 ，v ( t ) 三1 ，那么对于任意 的z t o ，如果存在一个常数口 1 2 ，使得 恕s 印南。( 删嗨_ f ) 2k 1l m e g 沪2 ( 亡，a ) g 他，a ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明 4 q l ( s ) d s ( 2 q 一1 ) ( 2 q + 1 ) ( 2 2 1 4 ) ( t 一8 ) 2 a - 2 雎一( q + 1 ) s + a 2 】2d s = ( t 一8 ) 2 a - 2 一s ) 一q ( s z ) 】2d s = f t ( 亡一s ) 2 dd s - 2 a 。 一s ) 她一1 ( s z ) d s + a 2 2 一s ) 缸一2 ( s z ) 2 d s = 。 一s 2 a d 8 - 2 0 s ) 缸d s + 2 a 1f t ( t s ) 纽d s = 2 a 1。( h 灿s ( 2 q 一1 ) ( 2 a + 1 ) ( t 一2 ) 2 时1 从( 2 2 1 5 ) 我们可得 恕s 婶两1 。卜s 附2 ) 2 业学 = 。1 i m s u p 压i f 2 ( t s ) 驰( s 一2 ) ( 2 2 1 5 ) 删一( 书舞等) 2k i l m o g 2 ( 亡，a ) g 俅，a ) 4 “t - - m o o 土t 2 a + l ，。( t - - 8 严2 州q + 1 ) m 2 】2 d s = 熙呻南( h 咒s - f )2 恶8 1 1 p 丽z 婶叫门s 叫) ( 2 a 一1 ) ( 2 a + 1 ) 2k 1 l m o g 舻2 ( 厶a ) g 俅，a ) 1 0 4 q l ( s ) d s q 1 ( 8 ) d s - ( 2 2 1 6 ) 2 ，7 曲阜师范大学硕士学位论文 从( 2 2 1 4 ) $ 1 1 ( 2 2 1 6 ) ，我们很容易得到 恕s u p 南。( 埘吣_ f ) 2 删一面丽( 常群) 2 】幻。 所以在r ( t ) 兰1 时，根据定理2 2 2 ，方程( 2 1 1 ) 是振动的推论2 2 1 证毕 取r ( t ) 三1 ，q = 1 ，p ( s ) = 1 ，与推论2 2 1 的证明类似，我们可以得到下 面的结论： 推论2 2 2 在方程( 2 1 1 ) 中取r ( t ) 兰1 ，那么对于任意的l t o ，如果 存在一个常数p l 2 ，使得 恕s 即击。( 删( s - f ) 2 p 型笙掣型删幻两焉丽 ( 2 2 1 7 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 我们称函数h = h ( t ，s ) 属于函数类x ，如果h ( d ，r + ) ，d = ( ，s ) ： t o s t 0 ，t 8 ，且在d 上有偏导 数a 日况和o h a s ，使得 等呐s ) 厕，筹“：s ) 河硒， 其中h 1 ( 亡，s ) ，h 2 ( t ，s ) 在d 上分别对t ，s 局部可微 选取圣( ，s ，1 ) = 日l ( s ，2 ) 飓( 厶s ) ，其中皿，凰x ，运用( 2 1 3 ) ，我 们得到 俳，s ，驴妖貂一貂) 其中九p s ，z ) ，九孑( ，s ) 由下面式子定义： 等= 热，1 ) v 一h 。( s , 1 ) ，百o h 2 = 一热，s ) v 一h d t , s ) ( 2 2 1 8 ) 1 1 第二章具有分布偏差变元高阶中立微分方程的振动性 定理2 2 3 假设条件( s 1 ) ，( a 1 ) 一7 ) 成立，那么对于任意的f t o ，如 果存在两个函数日1 ，凰x ，使得 熙s u p ，。研( s z ) 凰s ) 卜水，一丽辫( 端一貂) 2 幻。， ( 2 2 1 9 ) 成立，其中九p ( s ，2 ) ， 乎( t ，s ) 由( 2 2 1 8 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 定理2 2 4 假设条件( s 1 ) ，( a 1 ) - ( a 7 ) 成立如果存在函数p ( t ) c 1 ( 陋o ，o o ) ，r ) 使得 t i m 呻志( m 俐一高等端一( 2 2 2 0 ， 其中 ) = 础) m z 6 p 甜 1 _ 口( 卵删州沪k 1 l m e g 一2 ( t ，a ) g 他，a ) p ( t ) ( 2 2 2 1 ) 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明假设x ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解不失一般性，我们可设 z ( t ) 0 对所有的t t 1 t o 0 ，由于类似的可讨论x ( t ) 0 ，x ( t 一下) 0 ，z b ，) 0 ，t t l ，荨f a ，6 】，t t l t o ( 2 2 2 2 ) 由方程( 2 1 1 ) ，我们可得z ( t ) 0 ，( r ( 亡) 妒 ( t ) ) z n - 1 ( ) ) 0 ，t t 1 下证z n - 1 ( 亡) 0 ，t t 1 如果存在磊t 1 使得z ( n - 1 ) ( 矗) o ) ，( 2 2 2 3 ) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 用r ( ) 矽 ( ) ) 0 除上式两边，可得 加叫( t ) 志高 ( 2 2 以j 对( 2 2 2 4 ) 从到t 积分，可得 加叫剑棚炳) 一c l 高d s 令t o o ，由( a 1 ) ，我们可得l i r a t z ( n - 2 ) ( 亡) = 一。，可得对任意大的t ， z ( n - 1 ) 和z ( n 一2 ) 都是负的由引理2 1 4 可知，没有两个连续的导数始终为 负，由此可得矛盾，故z 铲1 ( 亡) 0 ，t t l 时成立又由x ( t ) z ( 1 ) ，可得 x ( t ) 2 【1 一口 ) 】z ) ，t t 1 ( 2 2 2 5 ) 现在由( a 1 ) ，( s 1 ) 和( 2 2 2 5 ) ，可得 ，陆( 9 ( t ，) ) 】m f 1 一q ( g ( t ，) ) ， z 0 ( ，专) ) 】，t t l ， ( 2 2 2 6 ) 因此，由方程( 2 1 1 ) ，我们得 o ：【r ) 妒( z ) ) z n 一 ) 】7 + 厂6 p ，) ，p ( 9 ，) ) 】d 口 ) 【( r ) 妒( z o ) ) z ( n 一( t ) 】7 ，d + m p ( t ，) ，【1 一q ( g ( t ，) ) ，【z ( 夕0 ，) ) 】d 盯 ) 进一步由g ( t ，) 关于 不增且z n - 1 ( ) 0 ，t t l ，可得 z ( g ( t ，f ) ) z ( g ( t ，n ) ) ，t t l ，陋，6 1 ( 2 2 2 7 ) 所以，f z ( g ( t ，荨) ) 】i z ( g ( t ，n ) ) 】，t t l ，a ，b 】因此， p ( t ) 咖( z ( t ) ) z n 一1 ) ) ，+ m ，【z ( 9 ，口) ) 】厂6 p ( ，) ，【1 一g o ，) ) 】d 盯 ) o ，t t 。 ，口 ( 2 2 2 8 ) 1 3 第二章具有分布偏差变元高阶中立微乏查翟笪堡塾丝 定义函数 邮h 器m “( 2 2 2 9 ) 当t t 1 时，对( 2 2 2 9 ) 求导并利用方程( 2 1 i ) 和引理2 1 3 、引理2 1 4 ，可 以得到 即 州= 鬻泖m ，哕臀 一p(t)二鱼多：；器，7【z(夕(t，口)2)】z7(夕(，n)2)互1夕7(t，口) 鬻邢) 叫棚厶城) ，【1 _ g ( 鲍) ) 一三坐篇型以如 ( 2 2 瑚) 加7 ) 一p ) m z 6p ，) ， 1 一口 ，) ) 】如 ) + 夏i 云瓦石歹錾兰美薹 一三型等笋 = 一q ) 一三墨l 堡丝丝苦舌掣加2 ) ( 2 2 3 1 ) 故 删- - w t ( t ) 一k 1 l _ m e g 硒 1 - 2 丽( t , a _ ) g ( t 一, a ) 叫2 ( t ) 1 4 ( 2 2 3 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 对( 2 2 3 2 ) 从t 到t 积分，由i , i i 可得 rm d s _ - - i t 2 哪肌一r 啪) 型笔掰趔2 ( s ) u ( t ，t ) w ( t ) + v ( t ，t ) w ( t ) v ( t ，t ) w ( t ) v ( t ，t ) w ( t ) r 吣) 掣扣f 酬型篆鬻型如 r 刊掣如r 酬型喙槲趔d s r ) 镢西( s ) + u ( t ，s ) 型练鬻趔 阻( t ，s ) 、气丽( s ) + ，s ) 竺! 二兰竺筹了未尝掌掣叫2 ( s ) 】d s - ，t1 尸。，。， ( 8 ) + u ( t ，8 ) + 上m e k i lj 厂t 嵩9 n - 2 端a ) g 鹊an 学 。 ( s ，( s ，) 一 卵 可得 r m 删一茄警糕赫 】d s u ( t ，s ) g n - 2 ( s ，a ) g ，( s ，a ) 毗跏( 耻学f 业糕错型d s w ( s ) + h ( t ，8 ) 由( 1 2 ) ，u ，8 ) 0 ，t l t o ，u ( t ，t 1 ) u ( t ，t o ) 3 3 ) 2 w 2 ( s ) d s r m 删一茄貉耥】d s s 啪m ) 兰嘶) ， 1 5 2 d s ) 2 s ( ，l r 、， s ，i p 第二章具有分布偏差变元高阶中立微分方程的振动性 即 志( m 删一茄警端冲 圳+ 志口州，一矗券 1 叫( 1 ) + q ( s ) d s t om 0 ) ， ( 2 2 3 7 ) 其中q ( t ) 如( 2 2 2 1 ) 定义，则方程( 2 i 1 ) 是振动的 证明假设( 亡) 是方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解不失一般性，我们可设 z ( t ) 0 对所有的亡t i t o 0 ，由于类似的可讨论x ( t ) 口t 1 t o 可得 南加铀删一茄豢端 嘶) _ 南学。盟辩型如 令t _ o 。且取上确界，可得 恕s u p 南肛如删一茄繁糕邮 岫一t 蝌i m 甜南学z 盟磊等型2 ( s ) 幽 因此，由( 2 2 3 6 ) 我们得到 吣m + t i mt 甜南学z 坠嚼者型如 故w ( v ) 妒( ) 且 恕时南z 。盟等崭型揪志( 吣h ) o o ( 2 2 3 8 ) - f 证 f 紫州奴州to t - - o o ut o p 。， ( 艺，) 。 即 怒斌揣。， ( 2 2 4 1 ) 且存在t 2 t 1 使得堕u ( t 皿, t o ) p ，f o ra l l 亡死另一方面，由( 2 2 3 8 ) ，对任意 q 0 ，存在正t 1 ，使得对所有的t 1 1 g n - 2 ( s ，a ) g ，( s ，c l ) p ( s ) r ( s ) 由分部积分我们可得，对t t t 1 ， v ( t ，1 ) 1 州幻号 f 坠磊错型d s 以， p ( s ) r ( s ) “r 尸 职气t 1 ) 1 u ( t ，亡1 )r 州d c r 帮州剐( r 蓦亲裔型以s 胁) ( _ 丽o u ) d s 一a u ( t , t ) q 一pu ( t ，1 ) 一 因为q 为任意正数，故 h mi n f t o o u ( t ，t 1 )厂亟掣凳掣伽2(s)ds：。，jt ，p ( s ) r ( s ) “、。7 。 与( 2 2 3 8 ) 矛盾，所以( 2 2 3 9 ) 成立，且由u ( ) 妒( 口) 口1 t o ， ( 2 2 4 2 ) 熙s 卸帮靠岫恕s 叩r 臀如 2 ，不难看出条件( 2 2 3 5 ) 成立，故有定理2 2 5 可得到如下推论： 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 推论2 2 4 在若存在函数j d ( t ) c 7 ( i t o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) 和妒( ) c ( t o ，o o ) ，跄) 满足