（控制理论与控制工程专业论文）基于现代控制理论的SARS疫情预测.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 研究传染病的传播和预测传染病的发展趋势，是研究传染病的一个重要的方面，它是 政府部门和卫生医疗机构制定相应控制措施的基础。在2 0 0 3 年爆发的非典型性肺炎 ( s a r s ) 席卷了大半个中国和世界上3 2 个国家和地区，给社会和人民带来了巨大的财 产和生命损失。虽然非典型性肺炎疫情已经过去，但是研究科学的、准确的疫情预测方 法，也能为将来预防其他突如其来的传染性疾病打下坚实的基础。 自s a r s 爆发咀来，国内外学者已经建立了许多s a r s 传播的数学模型来研究其传 播。建立数学模型研究s a r s 传播的主要目的之一就是预测s a r s 疫情，但是截至目前 为止，各类依据数学模型预测s a r s 疫情的做法，主要还只限于计算机数值模拟，不是真 正意义上的斟学预泓。本文骶研究魄s 衄s 瘦罹预姆! i 方法是基于硼尔控息l 理论中的状态 预测、状态滤波理论的最优预测方法，有坚实的理论基础，大大提高了疫情预测的准确度 和可靠性。 本文首先根据s a r s 传播的特点，建立了含有时滞项的微分方程模型。该模型在传 统的s i r 模型基础上新增加了自由带菌者，这类人是s a r s 得以传播的根源，可以通过 控制自由带菌者来控制s a r s 的传播。经过仿真证明了该模型的合理性。然后设计了函 数观测器进行疫情预测。本文利用具有内部延迟的函数观测器实现了状态的估计，并给 出了该观测器存在的充分必要条件，利用广义逆矩阵理论，将观测器的参数设计问题转 化为求一个参数矩阵的问题上来，同时利用线形矩阵不等式( l m i ) 技术，给出了不依 赖时间延迟的函数观测器的稳定条件。为了实现s a r s 疫情的在线估计，本文采用了基 本的k a l m a n 滤波器预测疫情，并根据k a l m a n 滤波稳定性判据分析了该滤波方法的稳 定性。分析结果表明，该滤波方法是稳定的。经仿真发现，应用这两种方法预测疫情的 预测结果和疫情实际数据吻合较好，且具有很高的预测精度，为s a p s 疫情预测提供了 新的思路。 关键词：非典型性肺炎( s a r s ) ：微分方程模型；函数观测器；卡尔曼滤波；l m i 大连理工大学硕士学位论文 t h ep r e d i c t i o no fs a r se p i d e m i cb a s e do nm o d e mc o n t r o lt h e o r y a b s t r a c t e x p l o r i n ge p i d e m i cs p r e a d i n ga n dp r e d i c t i n gi t sd e v e l o p m e n tt r e n da r ei m p o r t a n ta s p e c t s f o re p i d e m i cs t u d y ，a n dt h e ya r et h eb a s i so fc o n t r o lp o l i c ya d o p t e db yt h eg o v e r n m e n ta n d m e d i c a ld e p a r t m e n t s e v e ra c u t er e s p i r a t o r ys y n d r o m e ( s a r s ) ，w h i c he m e r g e di n2 0 0 3 s p r e a d e da b r o a dt h i r t y - t o wc o u n t r i e si nt h ew o r l d a l t h o u g hs a p sd o n tp r e v a i ln o w , t o r e s e a r c hs c i e n t i f i ca n de x a c tp r e d i c t i o nm e t h o di st h eb a s i so f p r e v e n t i n go t h e re p i d e m i cf r o m p r e v a i l i n g m a n ym a t h e m a t i c sm o d e l sh a v eb e e ns e tu dt or e s e a r c ht h es p r e a do fs a k ss i n c es a r s b r o k eo u t s of a r t h em e t h o d sb a s e do nm o d e l sa r en o ts c i e n t i f i ep r e d i c t i o n n e ya r eo n l y s i m u l a t i o n so fn u m b e r sw i t hc o m p u t e r w h a tt h i s p a p e rr e s e a r c hi s ar e a i l ys c i e n t i f i c p r e d i c t i o nm e t h o db a s e do nm o d e mc o n t r o lt h e o r y i th a ss t r o n ga c a d e m i cf o u n d a t i o n ，a n d m a k e st h er e s u l tm o r ee x a c t f i r s t l y ad i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e lw i t ht i m ed e l a yi ss e tu pb a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c o fs a r s b a s e do nt r a d i t i o n a is i rm o d e l an e wg r o u pn a m e df r e ei n f o c t i v ep e o p l ei sa d d e d t od i f f e r e n t i a le q u a t i o n f r e ei n f e c t i v ep e o p l ea r et h eo r i g i no ft h ee p i d e m i c ，s oc o n t r o l l i n g t h e mc a np r e v e n tt h et r a n s m i s s i o no fs a r s s i m u l a t i o nr e s u l tp r o v e st h i sm o d e li sr e a s o n a b l e t h e nak i n do f f u n c t i o n a lo b s e r v e r 谢t hi n t e r n a ld e l a yi sd e s i g n e dt op r e d i c te p i d e m i c ，a n dt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ef u n c t i o n a lo b s e r v e ri sg i v e n ，t o o t h e nt h ed e s i g no f t h eu n k n o w nm a t r i c e so f t h ef u n c t i o n a lo b s e r v e ri sc o n v e r t e dt ot h ed e s i g n o fap a r a m e t e rm a t r i xu s i n gt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s e m e a n w h i l e ，as u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h et i m e - d e l a yi n d e p e n d e n ts t a b i l i t yo ft h ef u n c t i o n a lo b s e r v e ri sd e r i v e du s i n g t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e t op r e d i c tt h ee p i d e m i co fs a r so nl i n e ，ab a s a l k a l m a nf i l t e ri sd e s i g n e d a n dt h es t a b i l i t yo ft h ef i l t e ri sa n a l y z e db a s e do nt h es t a b i l i t y c r i t e r i o n t h ef i l t e ri sp r o v e ds t e a d y n es i r e d a t e dr e s u l ta g r e e sw e l lw i t ht h er e p o r t e d e p i d e m i cd a t a ，w h i c hs h o w st h a tt h et o wm e t h o d sh a v eh i 曲e rp r e c i s i o n t h e y a r en e w m e t h o d sf o rs a r se p i d e m i cp r e d i c t i o n k e yw o r d s ：s e v e ra c u t er e s p i r a t o r ys y n d r o m e ( s a r s ) ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l ； f u n c t i o n a lo b s e r v e r ；k a i m a nf i l t e r ；l m i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 廛鲴呈日期：丝丛：! i ：丝 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 鏖盟空 渔壹也 丝堕年月生日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 在人类的发展进程中，曾经遭遇过很多大规模的传染病，人们从许多角度对传染病 的机理进行了深入的研究，如从医学，生物学，环境学和系统工程学等科学领域出发， 探明了大多数传染病的产生原因，发病原理，疾病发展过程中的变化，传播机制及其对 人们的影响。令人遗憾的是，目前的条件下人类不可能完全消灭传染病，生物治病源本 身就在与人类分享自然生态环境，并相互竞争。旧的传染病消灭了，新的传染病又不断 出现。 2 0 0 3 年，一种名为非典型性肺炎的传染疾病在中国广东省首先爆发，随后袭击了世 界上3 2 个国家和地区，其中中国受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党 和政府的领导下，迅速展开了抗击非典型性肺炎的顽强斗争，经过不懈的努力，终于完 全控制了非典型性肺炎的传播。尽管它作为一种时疫已经过去，但是还有很多东西是值 得我们思考的。一直以来，描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报 传染病高潮的到来等等都是各国政府有关部门和专家研究的课题。 如果在传染病发生的早期就能预测它的发展规律，并根据它制定相应的控制措施， 将大大有利于作好传染病的预防与控制工作。对传染病的传播规律做出科学的预测，可 以帮助医生做出正确的判断。反过来，医生又可以提供更可靠的数据来改进预测方法， 最终达到完全掌握传染病规律的目的，消灭传染病。更完善的预测方法还能预测分析传 染病对国民经济各方面的影响，这有助于党和政府做出宏观调控措施，稳定社会局面， 保持经济的正常运行。 1 1 非典型性肺炎及其介绍 2 0 0 3 年，在我国广东省发现了一种急性呼吸道传染疾病，主要症状为发热，千咳， 呼吸急促或者呼吸困难，胸部x 光检查可发现肺部病变。这种临床表现为肺炎的疾病， 不同于由细菌引起的所谓典型肺炎，国内医学界称之为“非典型性肺炎”。由于之前人 们对这种新型疾病的病因，传播规律，诊断和治疗的方法知之甚少，在很短时间内就扩 散到香港，北京，加拿大，新加坡，泰国，越南等很多国家和地区，引起了世界各国的 高度重视。 2 0 0 3 年3 月1 5l ：q 世界卫生组织( w h o ) 将这种传染性疾病命名为严重急性呼吸道综 合症( s e v e r e a c u t e r e s p i r a t o r ys y n d r o m e s ，简称s a r s ) t ”。经过各国研究人员紧张 的工作，认定s a r s 病原体是一种新型的冠状病毒( c o r o n a v i r u s e ) 。这种病毒不同于以往 唐娜：基于现代控制理论的s a r s 疫情预测 发现的任何病毒，也不是以往发现的冠状病毒的变体。这种病毒具有比较强的传染能力， 主要通过近距离接触、飞沫、体液( 分泌物、呕吐物或尿液) 及被污染物进行传播。 2 0 0 3 年6 月末，中国和其他染病国家在正确的措施下已经控制了s a r s 的传播。截 止到2 0 0 3 年6 月2 7 日，全世界已经有3 2 个国家和地区发现了非典型性肺炎共8 4 5 0 例， 死亡8 l o 例，病愈出院7 4 1 0 例，死亡率已达9 5 9 t 2 】。在我国，报告有疫情的省份为 2 6 个，累计报告非典型性肺炎临床诊断病例5 3 2 7 例，累计治愈出院4 9 2 1 例，死亡3 4 8 例，死亡率为6 5 3 。我国s a p s 病例占世界总数的6 3 。 由于s a r s 具有全球流行的特性，人们更深切地忧虑s a r s 是否卷土重来。因此， 预防和治疗s a r s 药物的研制引起了全球的关注。在预防方面，针对s a r s 病毒的疫苗 研制已取得突破性进展，我国第一个接种疫苗的人在接种7 个月后情况良好，实现了 s a r s 疫苗从动物实验到临床实验的科学性、安全性。在治疗方面，欧盟和中国的科学 家已经从投入使用的药物中，发现了可以直接应对s a r s 的药物。这意味着，当有一天 s a r s 病毒卷土重来时，人类可以直接将此药物用于s a r s 的防治口】。 虽然s a r s 的规模性爆发已经基本平息，治疗药物的研究也取得了突破性成功，但 是由于该病原体是从未在人体发现过的，这种病原体究竟来源于何处? 其首发流行为何 出现在中国大陆南方? s a r s 病毒是否是一种变异的病毒? 变异的频率是否与流感病毒 相似，能否获得终身性免疫? 病毒代谢的模式与抗体动力学等等都值得深入的研究。 s a r s 这种新出现的传染性疾病，从开始到灭亡不仅夺去了很多生命，也给世界各 国，尤其是中国的社会经济造成了严重的影响，严重干扰了社会的正常秩序。值得庆幸 的是，在世界各国政府和人民的齐心协力下，迅速的扑灭的s a r s 疫情，没有让它在蔓 延下去。在这次s a r s 疫情中，有很多宝贵的东西是值得保留和学习的。 1 2 传染病疫情的预测方法 一直以来，都用建立适当的数学模型的方法来研究其传播规律。历史上曾经发生过 很多大规模的传染病，尽管每种传染病的病理都存在一定的差异，但是随着人们对传染 病的病理及其传播规律认识的深入和相关知识的积累，就不难发现它们的共性，在这些 共性的基础上建立适当的数学模型来研究其传播规律，从而提高人类认识自然，改造自 然的能力。具体说来，传染病的数学模型可以用来预测某个国家和地区在某一时刻可能 会出现多少病例或者说明当前情况，它能够展示出该传染病的传播规律，对疫情的预测 以及与相关因素的因果关系及影响程度，使政府有关部1 7 及时有效地对关键性因素进行 控制。 对于建立传染病传播模型并对传染病的发展进行预测，国内外的传染病学家做了很 大连理工大学硕士学位论文 多有关的研究工作。f 面主要介绍一下微分方程模型。 k e r m a c k 等在1 9 2 7 年提出了一个简单的传染病模型( 简称为s i r 模型) ，并对其 传播规律和流行趋势进行了研究，提出了阈值理论，若种群中易感者的数量高于闽值， 传染病将维持；低于阈值，疾病将趋向灭绝 4 1 。这个模型得到了历史上发生过的大规模 的传染病数据的有力支持。 设丑砂，s ( o ，r 甜分别表示传染者，易受感染者和排除在外者( 包括治愈者和死亡者) 在 t 时刻的数量。假设传染病服从以下的法则：( 1 ) 人口总数保持在个固定水平上，因此 上述3 类人的总和为常数n ；( 2 ) 易感人群人数的变化率( 应当是负值) 的绝对值与r ( o 和s ( o 成正比；( 3 ) 排除在外者的人数变化率与z ( o 成正比。于是，k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 给出以下的模型( 简称s i r 模型) 。d s = 一栅( 1 1 ) 粤：一0 7 r b l 0 1 ( 1 2 一)一= 一 l 1 j 罂：日( 1 3 ) 一= 田 【1 ) 其中，r 表示一个易受感染者以均匀几率r 被任一个病人感染，j 表示一个病人以 一个常数比例占退出患者人群。，占都为正数。 由该模型可得出以下结论： 排除的人数变化率近似地等于 辈。a s e c h ：( 肛一妒) ( 1 4 ) 以 其中函数 8 8 c “2 i ( 15 a ，p 都是正常数，分别都是r 和占的确定函数： a = 墨 ( 1 6 ) 2 r2 5 0 卢= 妻口占 ( 1 7 ) 唐娜：基于现代控制理论的s a p s 疫情预测 伊：t a n h 一1 ( r s = - o 一土) a 0a 这里s o 为疫情开始时的易受感染者人数。 t a n n = 筹 吲粤1 ) 2 + 掣 i ，2 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 。1 0 ) 定义五= 之为“有效传播率”来描述传播倾向的强弱，它决定于病源的性质，行政 o 控制措施，人群的警惕性和卫生习惯以及医疗条件等许多因素。 后来，在s i r 模型考虑3 个个体基础上，增加了1 类：已感染但处于潜伏期为发病 者e 阳。上述4 类个体及其描述其相互关系的常微分方程构成了新的传染病动力学模型 s e i r 模型。 无论是s i r 模型还是s e i r 模型，都只是反映传染病本身的自然发展过程，没有考 虑人类社会可能的干预措施对传染病发展过程的影响。 1 3s a r s 疫情预测的研究现状 自s a r s 爆发以来，国内外有关专家学者一直致力于通过建立s a r s 传播模型对疫 情进行预测的研究。 l i p s i t c h 等人在( ( s c i e n c e ) ) 杂志上发表了名为“t r a n s m i s s i o nd y n a m i c sa n dc o n t r o lo f s e v e r ea c u t er e s p i r a t o r ys y n d r o m e ”的文章【”。他在该文中依据传染病的微分方程理论 建立了s a r s 传播的s e 取模型，分析了在易感人群中引进一个病例后s a r s 爆发的可 能性，同时得出了控制措施对s a r s 传播有何影响的初步结论。他指出，如果s a r s 在 全是易感者的人群中传播，并且在s a r s 传播过程中没有采取任何控制措施的话，基本 再生指数在2 1 2 到3 6 之间。控制s a p s 传播有两种手段：一种是隔离有s a p s 症状的 病例以阻止进一步传播；另一种是严密观察和已经确诊为s a r s 患者有接触的入，只要 一发现他们有s a r s 的基本症状，就把他们进行隔离。经过他们的研究，证明正是这两 种控制措施抑制了s a r s 的继续传播。 随后，g c h o w e l l 等人对加拿大的o n t a r i o ，香港和新加坡三个城市的s a r s 传播情 况做了研究 1 0 l 。他们也是依据传染病的微分方程理论建立了s a p s 传播的s e i j r 模型， 其中j 代表确诊感染者。他们发现香港和新加坡的情况与加拿大的o n t a r i o 有些不同， 大连理工大学硕士学位论文 加拿大的o n t a r i o 在2 0 0 3 年3 月3 1 目到4 月6 日之闯s a p s 病例大幅度增加，但是与 此同时新增病例却大幅度减少。他们解释为这种情况的出现，是在3 月2 6 日后确诊率 和隔离率增加的结果。他们对模型施加控制后得到的仿真结果与实际数据相一致。 在这之后，还有很多人建立了s a r s 传播的微分方程模型【l t - t 2 。虽然建立的方程在 某些地方有所不同，但是实验得到的结果都大同小异，在这里就不详细的叙述了。 在上述专家学者根据传统的微分方程理论建立s a r s 传播模型的同时，研究复杂网 络的学者们也开始了s a r s 在复杂网络上传播的研究。m e y o r s 和n e w m a n 等人写出 “n e t w o r kt h e o r ya n ds a i l s ：p r e d i c t i n go u t b r e a kd i v e r s i t y ”文。在该文章中，首先说明 了用传统的微分方程模型得到的结论与实际隋况的不符合之处，然后根据实际城市数据 的分析，在计算机上建立了一个接触复杂网络模型。他指出，在复杂网络上传染病的爆 发和流行的定义是不相同的，一个传染病的爆发并不意味着它可以无条件的流行。他研 究了从爆发发展到流行存在的阈值，并从最初的几个病例来预测s a r s 爆发的程度。他 得到的结论可以很好的解释为什么有的城市s a r s 流行，有的城市则仅有几个病例出现。 关于s a i l s 的传播模型，国内方面也作了很多的研究工作。中国科学院在这期间根 据收集到的数据资料建立了s a r s 传播规律，预测了在不同条件下s a r s 以后的发展趋 势。其后，一些依据传染病微分方程理论的模型纷纷被提出来，得到的结论和国外研究 成果相一致 1 3 - t 5 。而在复杂网络这个领域，国内的研究还相对较少，只有北京大学的林 国基等做了用小世界网络模型研究s a r s 病毒的传播 1 6 1 。 1 4 课题的背景以及作者所做的工作 1 4 1 课题提出的目的和意义 s a r s 疫情自爆发到结束，侵袭了大半个中国，对人民，社会、经济发展产生了巨 大的影响。在s a r s 病毒流行期间，由于这种病毒在人类发展史上从未出现过，所以整 个世界可以说对它无所知，因而一度引起了人们心理上的恐慌。假设当s a r s 疫情爆 发时，如果能实时模拟、预测其疫情的发展趋势，能定量分析接触率、隔离率与发病率 的关系，对于控制疫情、维护社会稳定、保证经济发展是非常有意义的，对政府及有 关部门科学决策也是至关重要的。 在自2 0 0 3 年以来，国内外不乏学者、有识之士开展了建立动态模型，模拟、预测 s a r s 疫情蔓延传播的研究工作。截止目前，各类依据数学模型预测s a r s 疫情流行的 做法，主要还只限于计算机数值模拟，不是真正意义上的科学预测。所以有必要研究科 学的预测方法，得到科学的、准确的s a r s 疫情预测。 虽然现在s a r s 疫情已经过去有一段时间了，但是对它的疫情预测进行研究，能对 唐娜：基于现代控制理论的s a r s 疫隋预测 将来可能出现的类似的传染病的预防和控制打好坚实的基础， 1 4 2 作者所完成的工作 作者在国内外专家学者对s a r s 传播模型研究的基础上， 了以下的工作： i 建立s a r s 疫情的微分方程模型 2 应用观测器理论对s a r s 发展进行预测 3 应用k a l m a n 滤波理论对s a r s 发展进行预测 具有一定的借鉴意义， 并参阅了大量的文献。做 大连理工大学硕士学位论文 2s a r s 微分方程模型建立与分析 在研究流行病的传播动力学方面，最常用的就是用一组确定性的微分方程。虽然每 种流行病的传播特点不尽相同，但是描述其传播行为的微分方程组的基础都是1 2 节介绍 过的s i r 模型。本章就从建立s a r s 的微分方程模型出发，研究分析其传播趋势以及及时 采取相应的措施对快速消灭s a r s 的影响。 2 1 分析与假设 流行病的传播大致可分为爆发，流行和灭亡3 个阶段，流行时间的长短除了和流行 病本身的病毒性质有关，还和流行期间政府和民众的行为密切相连。在s a r s 爆发的初 期，由于潜伏期的存在，已经感染s a r s 病毒的人并没有表现出感染者的临床症状，社会 对病s a r s 毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众并不以为然。当人们发 现被感染者不断增加时，政府开始采取多种措施以控制s a r s 的进一步蔓延所以s a r s 的传播规律可以分为三个阶段： 1 控制前：接近于自然传播时的传播模式。 2 过渡期：在公众开始意识到s a r s 的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内 的传播模式。 3 ，控制后：在介入人为控制因素之后的传播模式。 由资料显示，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在s a i l s 刚刚大肆传播 就采取了很强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香 港的情况虽然有一些不同，但是也可以用两个阶段即“控制前( 包括控制力度不大的阶 段) ”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区的s a r s 传播规律分为“控制前”和“控制后”两个阶段。 由于控制以前公众和政府对s a r s 疫情不太重视，所以这一阶段的数据资料很难收 集得到；而且对于流行病的传播不可能任其以自然传播的方式流行下去，所以人为控制 以前的模型和实际情况不符，对分析和预测将来的疫情走向趋势并没有太大的实际意 义，实际在这里讲不讨论s a r s 传播控之前的模型。 影响流行病传播的因素有很多，所以建立的模型不可能包括所有的因素。在此做如 下的模型假设： 1 国家卫生部提供的s a r s 疫情统计数据资料真实可信。 2 将s a r s 所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。 3 在s a r s 传播期内所考察的地区的总人数n 视为常数，即认为本地区流入的人口 唐娜：基于现代控制理论的s a r s 疫情预测 与流入的人口数相等，时间以天为计量单位。 4 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的s a r s 病人不具有传染性。 5 潜伏期为一常数。 6 根据医学调查资料显示，s a r s 康复者尚未复发情况，因为对于一个s a r s 康 复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离s a r s 传染源；从社会心理学 的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个s a r s 康复者二度感染 s a r s 的概率为0 ，这些人既不是健康者，也不是病人，他们已经退出传染系统。 7 不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率。 8 被隔离的人群完全断绝与外界的接触，不再具有传染性。 2 2 建立s a r s 微分方程模型 2 2 1 人群分类 我们将整个人群分为四类： 健康者：用删来表示健康者数量。 确诊病人：已被发现并隔离的s a r s 病人，他们虽已受到s a r s 病毒感染，成为 s a r s 病人，但已被严格隔离，不能进行病毒传播，用m j 来表示确诊病人数量。 自由带菌者：尚未被发现、尚未被隔离的s a r s 病人，他们在社会上仍处于自由状 态，他们是s a r s 病毒的主要传播根源，用f c t ) 来表示自由带菌者数量。 退出者：包括治愈者和死亡者，用r 俐表示退出者数量。 在s a r s 流行期间，新闻媒体上经常出现“疑似患者”这样一个名词。但是在我们 建立的模型中，人群分类里并没有出现“疑似患者”这类人群。原因是，因为“疑似患 者”是被隔离在医院之中，不管他们是不是能传染s a r s 病毒的人群，他们都已经没有 机会去传染外界的健康人了，所以我们没有把“疑似患者”作为一类人群单独列出来。 2 2 2 参数说明 s 有效传染率； l ( t ) 确诊病人治愈率； d ( t ) 确诊病人死亡率； q 自由带菌者隔离率； t 潜伏期； 其中0 - l ( t ) s 1 ，0 - 0 4 1 5 时的s a r s 传播仿真 唐娜：基于现代控制理论的s a n s 疫隋预测 假设除了q 之外的其他参数都不发生变化，初值也不变化。取q = 0 5 ，q = 0 8 和q = l 三个数值来观察f 的变化情况( 见图2 5 ) 。 图25 自由带菌者人数随着q = 05 ，e l = 08 和q = l 变化的情况 f i g 2 5c o m p a r i s o no f t h ef r e ei n f e c t i v ep e o p l ew h e nq = 0 5 ，q = 0 8a n dq = l 从图2 5 可以看出，q 值越大，f 值下降得越快，s a r s 疫情时间就越短：当q = 0 5 时，意味着一半的自由带菌者被控制隔离变成确诊病人。在t = 4 2 时f 值等于0 ；当q = 0 8 时，意味百分之八十的自由带菌者被隔离，在t = l o 时f 为0 ；q 等于1 是最理想的状态， 自由带菌者完全被隔离，社会上已经没有传染源。在t = 6 5 时，f 下降为0 。经过以上分 析，可知尽最大努力隔离自由带菌者是控制s a r s 疫情的最好办法。 ( 2 ) q 0 4 1 5 时s a r s 传播仿真 和( 1 ) 中一样，假设其它参数和初值不发生变化。q 值分别取为0 1 ，0 2 和03 。f 的变化( 见图2 6 ) 。 如图2 6 所示，当q 0 ( 3 6 ) 如x ? , i 是m 个实数变量，称为决策线性矩阵不等式( 3 6 ) 的决策变量， z = ( ，x m ) 。r “是由决策变量构成的向量，称为决策向量，弓( i = 0 , 1 ，) 是给 大连理工大学硕士学位论文 定的实对称阵，( 3 。6 ) 式中的不等号“ ”指的是矩阵f 是负定的，即对所有非零 的向量v r ”，v 1f ( x ) v 0 或者f ( z ) 的最大特征值小于零。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例如l y a p u n o v - 矩阵 不等式 ，( = a x + x a o + q 0 ( 3 7 ) 其中么，q r 似”是给定的常数矩阵，且q 是对称的，工r “”是对称的未知矩阵 变量。因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设x ；是n n 的对称矩阵的基，则对任 意对称矩阵x a r “”，存在x l ，使得x = x i x l + 屯x 2 + + x 。x 。，因此 ，( x )