弹性力学期末考试卷及答案.pdf

共 6 页 第 页 1 名词解释名词解释（共共 10 分分，每小题每小题 5 分分） 1. 弹性力学弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移应变和位移。 2. 圣维南原理圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同对于同一点的主矩也相同） ，） ，那么近处的应力分布将有显著的改变那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计但是远处所受的影响可以不计。 一一 填空填空（共共 20 分分，每空每空 1 分分） 1. 边界条件表示在边界上边界条件表示在边界上 位移位移 与与 约束约束 ，或或 应力应力 与与 面力面力 之间的关系式之间的关系式，它可以它可以 分为分为 位移位移 边界条件边界条件、 应力应力 边界条件和边界条件和 混合混合 边边界条件界条件。 2. 体力是作用于物体体积内的力体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量以单位体积力来度量，体力分量的量纲为体力分量的量纲为 L-2MT-2 ；面力是面力是 作用于物体表面上力作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号体力和面力符号 的规定为以的规定为以 沿坐标轴正向沿坐标轴正向 为正为正，属属 外外 力力；应力是作用于截面单位面积的力应力是作用于截面单位面积的力，属属 内内 力力，应应 力的量纲为力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为应力符号的规定为： 正面正向正面正向、负面负向为正负面负向为正，反之为负反之为负 。 3. 小孔口应力集中现象中有两个特点小孔口应力集中现象中有两个特点： 一是一是 孔附近的应力高度集中孔附近的应力高度集中 ， 即孔附近即孔附近的应力远大于的应力远大于 远处的应力远处的应力，或远大于无孔时的应力或远大于无孔时的应力。二是二是 应力集中的局部性应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起由于孔口存在而引起 的应力扰动范围主要集中在距孔边的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内倍孔口尺寸的范围内。 4. 弹性力学中弹性力学中，正面是指正面是指 外法向方向沿坐标轴正向外法向方向沿坐标轴正向 的面的面，负面是指负面是指 外法向方向沿坐标轴负向外法向方向沿坐标轴负向 的面的面 。 5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含简单来说包含 结构离散化结构离散化 、 单元分析单元分析 、 整体分析整体分析 三个主要步骤三个主要步骤。 二二 绘图题绘图题（共共 10 分分，每小题每小题 5 分分） 分别绘出图分别绘出图 3-1 六面体六面体上下左右上下左右四个面的正的应四个面的正的应力分量和图力分量和图 3-2 极坐标下扇面正的应力分量极坐标下扇面正的应力分量。 图图 3-1 共 6 页 第 页 2 图图 3-2 三三 简答题简答题（24 分分） 1. （8 分分）弹性力学中引用了哪五个基本假定弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为： （： （答出标注的内容即可给满分答出标注的内容即可给满分） 1）连续性假定连续性假定：引用这一假定后引用这一假定后，物体中的应力物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此因此， 建立弹性力学的基本方程时就可以建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示用坐标的连续函数来表示他们的变化规律他们的变化规律。 2）完全弹性假定完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系亦即二者呈线性关系，复合胡克定律复合胡克定律， 从而从而使物理方程成为线性的方程使物理方程成为线性的方程。 3）均匀性假定均匀性假定：在该假定下在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此因此，反应这些反应这些 物理性质的物理性质的弹性常数弹性常数（如弹性模量如弹性模量 E 和泊松比和泊松比等等）就不随位置坐标而变化就不随位置坐标而变化。 4）各向同性假定各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说也就是说，物体的物体的弹性弹性 常数也不随方向变化常数也不随方向变化。 5）小变形假定小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸而仍然按照原来的尺寸 和形状进行计算和形状进行计算。同时同时，在研究物体的变形和位移时在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使使得弹性力得弹性力 学的微分方程都简化为线性微分方程学的微分方程都简化为线性微分方程。 2. （8 分分）弹性力学平面问题包括哪两类问题弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征两类平面问题各有哪些特征？ 答答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分两类问题分别对应的弹性体和特征分 别为别为： 平面应力问题平面应力问题：所对应的弹性体主要为所对应的弹性体主要为等厚薄板等厚薄板，其特征是其特征是：面力面力、体力的作用面平行于体力的作用面平行于 xy 平面平面，外外 力沿板厚均匀分布力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量只有平面应力分量 x , y , xy 存在存在，且仅为且仅为 x,y 的函数的函数。 平面应变问题平面应变问题：所对所对应的弹性体主要为长截面柱体应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为其特征为：面力面力、体力的作用面平行于体力的作用面平行于 xy 平面平面， 外力沿外力沿 z 轴无变化轴无变化，只有平面应变分量只有平面应变分量 x , y , xy 存在存在，且仅为且仅为 x,y 的函数的函数。 3. （8 分分）常体力情况下常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解求解，应力函数应力函数必须满必须满 足哪些条件足哪些条件？ 答答： （： （1）相容方程相容方程：0 4 （2）应力边界条件应力边界条件（假定全部为应力边界条件假定全部为应力边界条件， ss ） ：） ： 上在 ss flm fml y s xyy x s yxx 共 6 页 第 页 3 （3）若为多连体若为多连体，还须满足位移单值条件还须满足位移单值条件。 四四 问答题问答题(36) 1. （12 分分）试列出图试列出图 5-1 的全部边界条件的全部边界条件，在其端部边界上在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界应用圣维南原理列出三个积分的应力边界 条件条件。 （。 （板厚板厚1） 图图 5-1 解解：在主要边界在主要边界2hy上上，应精确满足下列边界条件应精确满足下列边界条件： lqx hy y 2 ，0 2 hy yx ； 0 2 hy y ， 1 2 q hy yx 在次要边界在次要边界0x上上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚当板厚1时时， 2 2 0 h h Nxx Fdy， 2 2 0 h h xx Mydy， 2 2 0 h h S x xy Fdy 在次要边界lx 上，有位移边界条件： 0 lx u， 0 lx v。这两个位移边界条件可以改用三 个积分的应力边界条件代替： lqFdy h h Nxx 2 2 10 ， 26 2 2 2 0 qlhql lFMydy S h h x x ， 2 2 2 0 ql Fdy h h S x xy 2. （10 分分）试考察应力函数试考察应力函数 3 cxy，0c，能满足相容方程能满足相容方程，并求出应力分量并求出应力分量（不计体力不计体力） ，） ，画出画出 图图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。 图图 5-2 解解： （： （1）相容条件相容条件：将将 3 cxy代入相容方程代入相容方程02 4 4 22 4 4 4 yyxx ，显然满足显然满足。 （2）应力分量表达式应力分量表达式：cxy y x 6 2 2 ，0 y ， 2 3cy xy （3）边界条件边界条件：在主要边界在主要边界 2 h y上上，即上下边即上下边，面力为面力为chx hy y 3 2 ， 2 2 4 3 ch hy xy 共 6 页 第 页 4 在次要边界lxx , 0上，面力的主失和主矩为 2 2 32 2 2 0 2 2 0 2 2 0 4 3 0 0 h h h h x xy h h x x h h x x h c dycydy dyy dy 2 2 32 2 2 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 6 06 h h h h x xy h h h h lx x h h h h lx x h c dycydy clh dyclydyy dyclydy 弹性体边界上的面力分布及在次要边界弹性体边界上的面力分布及在次要边界lxx , 0上面力的主失量和主矩如解图所示。 3. （14 分分）设有矩形截面的长竖柱设有矩形截面的长竖柱，密度为密度为，在一边侧面上受均布剪力在一边侧面上受均布剪力 q, 如图如图 5-3 所示所示，试求应力试求应力 分量分量。 （。 （提示提示：采用半逆解法采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律假设材料符合简单的胡克定律，故故 可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量即可设应力分量0 x ） 图图 5-3 解解：采用半逆解法采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩故可认为矩 形截面竖柱的纵向纤维间无挤压形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量即可设应力分量0 x ， (1) 假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式。0 x (2) 推求应力函数的形式推求应力函数的形式。 此时此时， 体力分量为体力分量为gff yx , 0。 将将0 x 代入应力公式代入应力公式 2 2 y x 有有0 2 2 y x 对对x积分积分，得得 xf y ， （a） xfxyf 1 。 （b） 其中其中 xf， xf1都是x的待定函数的待定函数。 (3)由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数。将式将式（b）代入相容方程代入相容方程0 4 ，得得 0 4 1 4 4 4 dx xfd dx xfd y 这是这是 y 的一次方程的一次方程，相容方程要求它有无数多的根相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的全部竖柱内的 y 值都应该满足值都应该满足） ，） ，可见它的可见它的 共 6 页 第 页 5 系数和自由项都必须等于零系数和自由项都必须等于零。 0 4 4 dx xfd ， 0 4 1 4 dx xfd ，两个方程要求两个方程要求 CxBxAxxf 23 ， 23 1 ExDxxf (c) xf中的常数项中的常数项， xf1中的一次和常数项已被略去中的一次和常数项已被略去，因为这三项在因为这三项在的表达式中成为的表达式中成为 y 的一的一 次和常数项次和常数项，不影响应力分量不影响应力分量。得应力函数得应力函数 2323 ExDxCxBxAxy (d) （4）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量。 0 2 2 xx xf y ， (e) gyEDxByAxyyf x yy 2626 2 2 ， (f) CBxAx yx xy 23 2 2 . (g) (5) 考察边界条件考察边界条件。利用边界条件确定待定系数利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边先来考虑左右两边2bx的主要边界条件的主要边界条件： 0 2 bx x ，0 2 bx xy ，q bx xy 2 。 将应力分量式将应力分量式(e)和和(g)代入代入，这些边界条件要求这些边界条件要求： 0 2 bx x ，自然满足自然满足； 0 4 3 2 2 CBbAb bx xy (h) qCBbAb bx xy 2 2 4 3 (i) 由由（h） （） （i） 得得 b q B 2 （j） 考察次要边界考察次要边界0y的边界条件的边界条件，应用圣维南原理应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为三个积分的应力边界条件为 0226 2 2 0 2 2 EbdxE