（应用数学专业论文）关于几类捕食被捕食模型的定性分析与研究.pdf

关于几类捕食一被捕食模型的定性分析与研究 摘要 随着现代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如自动控制、生态 系统、遗传学、经济学、物理学、通讯理论等等，都涉及到泛函微分方程( 也即 时滞微分方程) ，而周期解、稳定性等等一直是泛函微分方程理论研究中的几个重 要分支，尤其是近三十几年来取得了实质和全面的发展，其研究成果相当丰富， 许多文献和著作都总结和收录了这方面的工作。 本篇硕士论文主要针对x u 和“等人提出的一些问题与猜想，考察几类具有 h o l l l n 窟型功能反应函数的捕食被捕食模型的正解和正平衡位置的性质，如有界持 久性、全局渐近稳定性、一致持久性等。这些工作或是部分回答了x u 和l i 等人 提出的问题，或是对问题的其他情形进行探讨。 全文共分四章。 第一章，简单回顾了生态数学发展的历史及已经开展了的一些研究工作，提 出了本文要讨论的一些问题，并给出了文中将要用到的一些基本概念和符号。 第二章，讨论了一类基于比率的非自治的三种群捕食与被捕食系统，通过使 用重合度理论建立了这类系统的正周期解的存在性结果。 第三章，主要研究了一类具有阶段结构和h o l l i n g 型功能反应的捕食一食饵系 统模型，利用已有文献的相关结论和分析的技巧，得出了系统的解持久和非持久 的一些充分条件。 第四章，讨论了具有阶段结构和h o l l 堍型功能反应的捕食- 食饵系统的稳定 性，通过建立适当的l y a p u n o v 函数，给出了系统的正平衡点全局稳定的充分条件。 关键词：捕食食饵系统；周期解；重合度理论；一致持久性；全局渐近稳定性； 正平衡位置 i i 硕+ 学位论文 a b s t r a c t 0 n g 晰1 1 1 1 et e c h l l i c a ld e v e l o p m e n to f m o d 锄s c i e n c e ，m e 贼船r c ho f m a n ys c i e n c e r e a l m s ，f o re x a i n p l ea u t o m a t i cc o n t r 0 1 ，e c o s y s t e ms y s t e m ，g e n e t i c s ，e c o n o m i c s ，p 1 1 y s i c s ， c o m m u 伍c a t i o nt l l e o r i e se t c ，i n v o l v et of i m c t i o n a ld i f f m n t i a le q u a t i o n ( 吐1 a ti sd i 虢r e n t i a l e q u a t i o nw j m 廿l l l ed e l a ”b u it l 憎p e 而o ds o l u d o n m i f b m lp e r i n a n e n c e ，9 1 0 b a la 札r a c t i v i t y a l w a y si saf e wi r n p o r t a n tb r a n c ho f t h er e s e a r c ho ff l c t i o n a ld i f 诧r e n t i a le q u a t i o n m e o r y p a n i c u l a d y ，i nt h el a s t3 0y e a r s ，“o b t a i no v e r a l ld e v e l o p m e n t sa n d 曲u n d a 玎t r e s u l t s t h i st 1 1 e s i sd i r e c t st o w a r d ss o m eo p e np r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sb yx ua n dl i w e c o n s i d e rs o m cp r o p 硎e so f p o s i v es o l u t i o n sa i l dp o s i v ee q 证l i b 订砌p o s i t i o no f s e v e r a l l d l l d s o f 珥e d 越0 r 删m o d d s 训幢h o i n g 母p e 矗l n 商o n a l s p o n ，f o r 。删唧崦b o u n d e d n e s s a r l dp e r s i s t e n c e ，西o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i 哆，u i l i f o mp e n n a n e n c ee t c s o m ek n o 啪r e s u l t s a 坞i r r 巾m w d ，锄d s o r r 蛇o o 芏l i e c 懈b y x ua r l d l i a r e 掣删p 刁匝a y h e r e w ea l s 0 i n v e s t i g a t e 血em o r eg c n e r a ls i t 岫t i o no f 吐1 ep r o b l 锄sb yx u 姐d l i ，a i l dp i l s hf b n a r d 也es t u d yo f 廿l ep r o b l e m s t h ew h o l em e s i si sc o m p o s e do ff o l l rc l l a p t cr s i nc h a p t e r1 ，m eb a c k 伊o u n da n ds o m er e l a t e dr e s e a r c h i n gs i t u a t i o n so ft h e b i o l o g i c a ld y n a m i cs y 文锄a r eb r i e f l yr e v i e w e d s o m ep r o b l e m sa r er a i s e dw h i c hw i l l b ei n v e s t i g a t e da n ds o m ec o n c 印t sa n dn o t a t i o n sa r el i s t e d 、曲i c hw i l lb eu s e di no u r p 印e l i nc h 印t e i 2 ，b yu s i i l gm ec o m m u a t i o n 血e o r e mo fc o i n c i d e n c et 1 1 e o r y ，w ed i s c u s s t h ce 】( i s t e i l c eo fp o s 甜v ep e r i o d i cs 0 1 l 难o l l sf b rac l a s so fn c 嘣嘞n o m o u sr a 土i o d e p e n d e n t t h r e es p e c i e sp r e d a t o r - p r ys y s t 啪 i nc h a p t e r3 ，ap r e d a t o r - 衅ym o d e l 、 l ，i mh o l l i n g i i i t i o 砌r e s p o n s ea 芏1 ds 诅g e 曲肿船f o rp r e yi si n v e s 啦笋i l e d ，w ed e 打v es u 伍c i e n tc 0 删_ 【i o n sf b r t h el 】i b i i i lp e r s i g t c n c e a 1 1 di m p e n n a l l e n c eo f t l l em o d e l a tl a s t ，b yc o n s 打u c 岫ga p p r o 研a t el y a p l l l l o vf u n c t i o i l s ，as e to fe a s i l yv e r i f i 如l e s u 伍c i e n tc o 砌d o n s 黜d b t a i n e df o r 恤g l o b a la s y 呷枷cs 僦脚o f p o 豳v ee q u i l i b r i ao f t h ea b o v em o d e l k e yw o r d s ：p r e d a t o r p r e ym o d e l ；p e r i o d i cs 0 1 砸o n s ；c o i n c i d e n c ed e g r e et l l e o r y ； g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i 饥u i l i 内n np e m l a i l e n c e ；p o s 叶ee q u i l i b r i 哪p o s i t i o n i l j 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：蚕磷爻啦 日期：瓤年钥阁 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密叫 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：游娟，拥 日期：山6 年耋月t 口日 崎 都、影 名名签签者师作导 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题产生的历史背景 随着现代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如自动控制、生态 系统、遗传学、经济学、物理学、通讯理论等等，都涉及刘泛函微分方程( 也即 时滞微分方程) ，而周期解、稳定性等问题一直是泛函微分方程理论研究中的几个 重要分支，受到了广大数学工作者的高度关注，尤其是近三十多年来这方面的研 究取得了实质和全面的发展，其研究成果相当丰富，许多文献和著作都总结和收 录了这方面的工作( 见i 】) 。 同时，由于数学生态学的迅速发展，研究捕食者与被捕食者之间的诸多动力 学性质已成为生物学家和数学家共同关注的一个重要课题。这一问题，自从二十 世纪初期由l o t k a 和、b l t e v a 开创以来，由于它广泛的应用性和重要的理论与实际 意义，一百多年来已经得到了长足的发展。特别是最近十几年，国内、外发表了 大量关于l o 墩a v o l 翻t a 系统豹文章，而这方匿的专著也在陆续出现。关于常微分 系统的专著，国内有陈兰荪州和马知恩【1o l 等，国外有h o f b a u e r 和s i g m i l n d f l l l 等；关 于l o t k a v o l t e r r a 偏微分系统有h 朗s 【1 2 】和l e 衄g 等的专著；关于l o t l ( a v o l t e m 时 滞系统有g o p a l s a m y 和k u a n g 等的专著。 l o t l 【a v o h e m 系统最初由美国种群学家l o 曲在1 9 2 1 年研究化学反应和意大 利数学家v o l 柳a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出来的。最早的枷( a v o l t e 仃a 模型可简单表示为 兰! = f 口一卯1 ， 警= p ( 批) - ( 1 1 ) 该l 0 出a - v o l t e m 模型主要是描述两个相互影响的生物种群的种群密度随着 时间的变化而变化的过程。尽管l o t | 洛v o l t e r r a 模型应用范围相当广泛，但由于该 模型并没有考虑到环境因素、种群内部的合作与竞争等诸多因素的影响，难免有 许多不合理之处。对于捕食者一食饵系统而言，为与实际更吻合，每一个捕食者除 了与食饵有关外，还与捕食者的捕食能力有关，这一功能性反应应该是一种包含 着饱和因素的关系。 后来的科学工作者和数学家们在最初l o t k a - v o l t e r r a 模型的基础上做了进一 关于几类捕食一被捕食模型的定生分析与研究 步的改进和完善，使之更切合实际，得到了许多有意义的捕食者一被捕食者模型。 一般来说，标准的捕食被捕食模型具有如下形式： x 印) 一( 卜警h 栅) ，f 1 2 1 y ( ) = y 0 ) ( 妒( x ) 一d ) ， 其中x ( f ) 表示被捕食者的种群密度，y ( r ) 表示捕食者的种群密度，k 表示承载能 力，d 表示捕食者的死亡率，妒( x ) 称为功能反应函数，它表示捕食者对被捕食者 的捕获能力。 近来，许多的生物学实验证明，在大多数情况下，特别是当捕食者必须去寻 找食物( 因此在这种情况下捕食者就必须分享甚至会为了食物而竞争) 时，一个更 般也更合理的捕食被捕食理论产生了，这个理论就是比率依赖型功能反应函数 理论。简单地说就是捕食者的自身增长率不仅仅取决于被捕食者，还应该取决于 捕食者自身，应该是捕食者和被捕食者的比例的函数。并且有越来越多的来自自 然界和实验室的证据验证了这一点。 基于这个原因，b e f e 恤和l 沁a n 9 1 曲ue ta p l 姗e t “1 哪以及 g 和b e r e t t a 【1 5 都研究了下面的基于比率的且具有m i c h 踮l i s m e n t e n 型功能反应的捕食食饵系 统： 并对系统( 1 3 ) 进行了全局性分析与研究，得到了许多很有价值的结论。另外， 考虑到生态环境的周期性变化对生物种群的影响，f a n 和w a n g 。5 1 考虑了下面的具 有时滞和周期系数的捕食一食饵模型： 他们讨论了系统( 1 4 ) 的周期正解的存在性，给出了系统的正周期解存在的一 些可验证条件。 在上述模型( 1 4 ) 中，其功能反应函数( “) = c “( 聊+ “) ，0 = x _ y ) ，通常称其 为h o l l i n gi i 型功能反应函数，在微生物动力学和化学动力学中，它们通常用于描 2 生 m而汀 生0 一”竺酬可n 1 _ “茹士 例 “ 觜鬻 一 一d f l ! 训篱丽 ，j f r 6一二p一一 一 、一卜 、， 一，、 r ，一y ( 一f- 篙咖一 r二一p，。l 硕士学位论文 述微生物对于基质的摄取与吸收。 除了h 0 1 l i n g i i 型功能反应函数之外，我们特别介绍另外一种功能反应函数， 称之为s i 舯o i d a l 功能反应函数 p ( x ) = 焉- ( 1 5 ) “十w 十 为了方便起见，h o l l i n g 给出了下面的s i g m o i d a l 功能反应函数的简单形式： p ( 工) = 熹 ( 1 6 ) “卞 我们将( 1 6 ) 式称为h o l l i n g i 型功能反应函数。关于具有h o l l i n g 型功能反应函 数的捕食系统的研究有很多，比如，王和李在文f 2 明中研究了如下的具有h o l l i n g i i i 型功能反应的基于比率的捕食食饵系统： x 呼一p 娑c _ m 洳寸篝端， ， y o ) = y ( f ) i 歹； 端一d ( f ) ， 。叫 通过利用重合度理论研究了系统( 1 7 ) 的正一周期解存在的充分条件。 1 2 本文的主要工作 鉴于上述已经开展的工作，在本文中我们主要开展如下几方面的工作： 首先，在第二章中，我们研究了一类具有时滞和基于比率的非自治三种群捕 食与被捕食系统： 卅刊卅坼) k 坼_ 小) 弧) 一渊 c r ，= t o ， 一啦o ，+ ：i ：i 若糕一端 c s ， 卅叫删+ 蒜 ， 其中t ( f - l ，2 ) ，慨( f - 1 ，2 ) 是非负常数，五，屯，墨分别表示捕食者和被捕食者 的密魔其中x 2 以毛为食，恐以工2 为食它们共同形成一个食物链q ( ，) ( f = 1 ，2 ，3 ) ，6 ( f ) ， q ：( r ) ，d ：。( ，) ，a ：，( f ) ，吩：( r ) 是周期为的正周期连续函数，( s ) ：r + 寸r + 是一个 可积的一周期函数，且满足j _ 七( s ) 西= 1 。 令 工。o ) = e x p t y 。o ) ) ，x ：( f ) = e x p 扣：( f ) ，e ) = e x p y ，o ) 则( 1 8 ) 瓦转化为： 刮小砸心( f _ 咖卜意踹鬻 “( r ) = 一q o ) + ：i i ；i ； ；! i i 6 一：i i 三；i 筹糯， 一卅丽赫豸 ( 1 9 ) 利用重合度理论的m a w h j n 延拓定理，我们建立了系统( 1 8 ) 的周期正解存在的 充分条件。 在第三章中，我们讨论了一类阶段结构的基于比率且具有h o l l i n g i i i 功能反应 爿( t ) = ( t ) 一_ ( r ) 一呐( f ) ， o ) = a 畸( r ) 一岛( r ) 一湍 娟一卜焉 ， ( 1 1 0 ) 其中工，o ) ( f = l ，2 ) ，y ( ) 分别表示食饵种群和捕食种群在t 时刻的种群密度，口，巩， 吼，6 ，6 ，埘都是正常数。并且系统( 1 2 ) 满足初始条件五( o ) o ，屯( o ) o ，y ( o ) o 我们通过建立下面的辅助系统： 卅o ) = 口“：( f ) 一_ m ( f ) 一6 “。o ) ， “；( f ) ：6 。( f ) 一岛近( f ) 一3 。：( f ) ， 1 1 1 和下面l y 印l l i l o v 函数。 k ( f ) ；qi “。一”卜“：觑等i + c 2l 甜：一“：一“：砌等l l “lj l甜2j 并且利用标准比较定理和b a r b a l a t 引理，分别给出了系统( 1 1 0 ) 的解一致持久的充 分条件和不持久的充分条件。 在第四章中，继续讨论上述的基于比率且具有h o l l i n g i 功能反应函数的捕食 与被捕食系统( 1 1 0 ) ，通过建立适当的l y a p u n o v 函数 硕士学位论文 呻) = 纠“铲im 掣h 儿h + 加钟 利用b a r b a l a t 引理和分析技巧得到了系统( 1 1 0 ) 的正平衡点在满足下面的两个条 件： ( q ) 口2 r ； h ：) 口6 ( 6 + ) 2 q m 的情况下是全局渐近稳定的结论。 1 3 基本概念和符号 f 面给出我们在本文中要用到的一些重要概念和记号。 我们记 茸= ( _ ，屯，屯) 螂= x 霞毛 o ，f = 1 ，2 ，3 定义l - 3 1 我们称如( ，) ，而( ，) 。矗( ，) ) 是一个模型的解，是指b ( f ) ，屯( ，) ， ，矗( ，) ) 满足此模型。 定义1 3 2 方程的一个解( 而( f ) ，而( r ) ，( r ) ) 称为彩一周期解，是指对任意 时刻r 月，都有( 而( f + ) ，乇o + m ) ，o + ) ) = “( f ) ，屯( f ) ，屯( f ) ) 成立。 定义1 3 3 系统( 1 1 0 ) 的解称为是最终有界的，如果存在常数肘 o ，使得对 ( 1 1 0 ) 的每一解( ( f ) ，屹( f ) ，j ，( ，) ) ，存在r o 使得 b ( f ) ，而( f ) ，y ( 洲肘 对一切f “+ r 成立，其中肘与解无关而r 可与解有关。 定义1 3 4 系统( 1 1 0 ) 的解称为是一致持久的，如果存在一个紧集d c 如暖：， 使得对( 1 1 0 ) 的一切满足_ ( o ) o ，屯( o ) o ，y ( o ) o 的解( 五( f ) ，屯( f ) ，y ( r ) ) 都 最终进入并保留在d 中。 定义1 3 5 系统( 1 1 0 ) 的解称为是非持久的，如果存在系统( 1 1 0 ) 的正解 ( 五( f ) ，而( f ) ，y ( f ) ) 使得 埘胁 熙蚵( f ) ，熙阿屯( f ) ，熙蚵y ( f ) _ o 定义1 3 6 系统的正平衡位置( ，墨，j ，t ) 是全局稳定的均是指第一象限而 言，即从第象限内的任伺； 9 啮( o ) ) o ，t ( o ) ，o ，y ( o ) ，o 出发| 勺解( ( f ) ，屯( f ) ，y ( ) ) 当卜0 。时都有i i m ，+ ( f ) = i ，l i m ，。屯( f ) = 砭，l j m ，+ 。_ y ( r ) = y ，则我们称系统 的正平衡位置( 耳，墨，y 。) 是全局( 渐近) 稳定的。 关于儿英捕食被捕食模硝的定性分析与研究 为了方便起见，我们引入记号： 7 = 去r 巾) 出 其中，( f ) 是连续的正一周期函数。 6 硕士学位论文 第2 章具有链式结构的三种群捕食食饵系统 的周期解的存在性 2 1 引言 众所周知，周期现象普遍存在于自然界中，而这些周期现象通常导致人们去 研究泛函微分方程周期解的存在性，特别是在一些生态模型中，由于实际生态意 义( 如阶段结构、时滞、扩散项等) 的需要，往往还要求人们讨论周期正解的存在 性。 般来说，为了得到周期系统( 如人口模型、捕食模型) 的周期解的存在性结 论往往有下面三种方法：第一，运用收缩原理或波动原理得到具有时滞的周期系 统的周期解的存在性的结论。第二，如果当系统没有时滞时周期解存在，并且当 系统具有时滞且时滞是周期函数的周期倍数时周期解也存在，那么就可以得到周 期解存在的结论。第三，运用h o m 渐近不动点原理得到周期解存在的结论。然 而，我们发现运用度理论来研究具有时滞或不具有时滞的的周期模型的周期解的 存在性仅仅需要一些很容易验证的条件。度理论是研究非线性算子定性理论的重 要工具，由它可推出许多著名的不动点原理，从而解决人口模型的周期解存在性 方面的问题。 关于解决生态系统中人口模型的周期解存在性方面的问题，目前已有许多有 代表憔的论文( 见文【”q 8 1 及相关文献) 。如文【2 7 】研究了一类较广泛的具有多个时滞 的周期l o g i s t i c 型方程： y ( f ) = 口( r ) f ( f ，y ( 卜1 ( ，) ) ，y ( f - ( r ) ) ) ， 周期正解的存在性，显然，许多生态模型都可看成上述模型的一些特殊形式，如 单种群模型： y ( r ) = 口( r ) y ( r ) l ，一! ! ；云； 尘1i， y ( ，) = y ( f ) i 口( f ) 一6 l o ) y o f l ( f ) ) 1 考虑实际生态环境的周期性变化对生物种群的影响，王和范口5 1 研究了下面的 基于比率且带周期系数的时滞型两种群捕食食饵系统； x o ) = t 。) ( q o ) 一a o ) j 二七。一s ) x ( s ) 西) 一三 箩毒；2 鬻， 7 关于几类捕静被捕食模型的定性分 ! f j _ 与研究 川归巾) 端叫r ) ， 给出了系统的正周期解全局存在的一些可验证条件。在上述模型中，功能反应函数 妒( “) = c “( 聊+ “) ， = z y ) ，通常称为h o l l i n g i i 型功能反应函数，在微生物动力 学中，它们通常用于描述微生物对于基质的摄取与吸收。 关于生态系统的周期正解存在性的研究还有很多，如徐和c h 印l a i n 及d a v i d s o n 【1 6 郴】， 王和李口l j 及相关文献( 详见文【4 7 5 7 】) 等等。 在本章中，我们主要考虑一类具有时滞和基于比率的非自治三种群捕食与被 捕食系统： 爿( f ) = 而( r ) ( q ( ，) 一6 ( f ) j 二l j o s ) 葺( s ) 西) 一j 然， o ，= 恐( ，) ( 一呜t r ) + ：i i i ；糕一揣 x；(r)=b(r)一口，(t)+：；=：；i糕， ( 2 1 ) 其中( f = l ，2 ) ，砚( f = 1 ，2 ) 是非负常数，五，恐，b 分别表示捕食者种群的密度和 被捕食者的密度，其中心以t 为食，毛以如为食，它们共同形成个食物链。 q ( f ) ( f = 1 ，2 ，3 ) ，6 ( r ) 炳：( t ) ，吒。( t ) ，q ，( t ) ，q ：( f ) 是周期为国的正周期连续函数， | j ( s 1 ：r ，+ j r + 是一个可积的m 周期函数，且满足i 七( s 1 出= l 。 、 j u 、 由于捕食被捕食系统在生态学中具有十分重要的意义，因此备受生物数学界 关注，但以往的文献大都局限于对解的稳定性、吸引性的研究，关于周期正解的 全局存在性的研究则不多。本章旨在利用m a w b j n 延拓定理来研究系统( 2 1 ) 的正 国一周期解的存在性，通过利用不等式技巧和对周期解的先验估计，建立系统f 2 1 ) 的正国一周期解的存在性结果。 2 2 几个引理 为了得到系统( 2 1 ) 的正周期解的存在性结果，本节我们先要介绍几个要用到 的重要定义和引理。 定义2 2 1 设q 是彤中某有界开集，：磊斗月”，是c 2 映氦即，= ( 石，工) ， f ( 五，_ ) 在西上具有连续各二阶偏导数，f = 1 ，”) ，p 彤，( a q ) 则称整值函 数d 培( ，q ，p ) 为映像厂关于区域q 对应p 点的拓扑度。定义拓扑度幽g ( ，q ，p ) 如下： 8 硕士学位论文 咖( ，q ，p ) = s g n 以) ， 其中x o ( f - 1 ，2 ，聆) 表示方程，( x ) = p 在q 内的解， ) 表示，在点z 的j a c o b i 行列式 ，= 畿筹锄 性质2 2 1 咖只与，在q 上的值有关，更明确的说，若x a q 时， ，( x ) = g ( z ) p ，则d 堙( ，n ，p ) = 咖( g ，o ，p ) 。 性质2 2 2 设厂，g ：磊_ x 连续，当x m 时，p 不在， ) 与g ( x ) 所连的线段 上，则咖( ，q ，p ) = d 培( g ，q ，p ) 。 性质2 2 _ 3 同伦不变性：设h ：【o ，1 】西一r “连续，令 ( x ) = 日( f ，z ) 。若 p 隗( 施) ，v o f 1 ，则咖( 吩，q ，p ) 保持常数( 对于o r 1 ) 。 性质2 2 4 可解性：若d 堙( 厂，q ，p ) o ，则方程，( x ) = p 在q 内必有解。 下面是我们要用到的重要定理。 设x 、z 是两个b a n a c h 空间，考虑算子方程厶= 服，a 【o ，1 】，这里 三：d 口枇n x 斗z 是线性算子定义两个投影算子分别为p ：x n d o 砒_ 爿，q ： z _ z i i n 上，i n l p = 缸儿，h i l 三= 缸r q ，首先我们给出重合度理论中的m a w h i n 延拓定理： 定理a ( g a m e sa n dm g w h i l l ) 设) ( ，z 是两个b a i l a c h 空间，三是指标为o 的 f r e d h o l m 算子，i _ 一z 在五上是l 紧的，其中q 是x 中的有界开集，且满足 ( a ) 厶a 他，垤船n d o 枇，五( o ，1 ) ； ( b ) 辨o ，坛砌n 儿； ( c ) 搬 q 脓，q n 殷厄，o o 则方程上= 脓在孬中至少存在一个解。 下面引入两个重要引理： 引理2 2 1 设，( f ) ，g ( f ) 是定义在k ，别上的两个非负连续函数，则存在 宇k ，纠使得 r ，( f ) g ( f ) 班= ，( f ) e g ( f ) 疵 引理2 2 2 如果系统( 2 1 ) 有一个正一周期解，那么瓦 瓦3 和瓦 弓2 成立。 证明假设( _ ( r ) ，而( f ) ，毛( r ) ) 是系统( 2 1 ) 的一个正- 周期解，那么由系统 ( 2 1 ) 的第二个方程可得 9 茎! ：! 耋蛰兰：竺塑塞堡型墼塞塞坌丝兰竺垫 盟：鸭m 坐脚生一上尘世生 x ：( f ) “7 m 。z ：( f f 1 ) + 五( f r ，) 屯( r ) + 屯( f ) 将上式左右两边在 o ，】上积分并且整理可得 匾= f 瓦甚揣一f 端讲 瓦。 因此可以得到乏 - 2 1 同理，由系统( 2 1 ) 的第三个方程可得 死= r i i 支至竺赫出 瓦+ = 堡： ( 马) 瓦 瓦： 则系统( 2 1 ) 至少有一个正国周期解。 证明由于 卅柏) 唧* 叫昵坪瑚眯鹏一揣h 卅绷，唧懈“小意龋一揣h 卅娟，印* 娟卜焉端等与h 所以，当f 0 时，系统( 2 1 ) 的具有正初值条件的解均为正解。 做变量代换，令 而( f ) = 唧协( f ) ) ， ( f ) = 唧 北( f ) ) ， ( f ) = 唧 ( f ) ) 1 0 则系统( 2 1 ) 可化为 州沪“旷坼心卜咖 删西一焉觜拦 “( f ) = 一日：( r ) + 叫( f ) = 一口3 ( r ) + 口：。o ) 唧 mo f 1 ) 吃，( f ) 唧 虬( f ) 竹唧 儿( 卜f 1 ) ) + 唧 m ( 卜t ) ) m ：印沸( f ) + 唧协( f ) 吩：( f ) 唧 y 2 ( f f 2 ) ，。q 、 ，他部妒 儿( f f 2 ) ) + 由妒 虬( f f 2 ) ) 显然，如果系统( 2 3 ) 有一个脚周期解( 订( r ) ，以( f ) ，以( f ) ) 1 ，那么 ( io ) ，zo ) ，( f ) ) 7 = ( 唧 舅( r ) ，唧 以o ) ，唧 一( r ) ) ) 1 ， 就是系统( 2 1 ) 的一个正周期解，故只须证明系统( 2 3 ) 有一个一周期解存在 即可。 我们先令 = z = y = ( h ，m ，儿) 7 c ( 尼舻) 巩( f + ) = 咒( f ) ，f = 1 ，2 ，3 j ， 并且定义 = ( f ) ，m ( r ) ，儿( r ) ) 7 。搦) i + 桶) | + 糊) 1 在| | i i 下，x 与z 成为b 髓a c h 空间。 其中 m 时 三y ( r ) = y ( f ) ， q ( f ) 一6 ( f ) j = 。七”s ) e 舻 m ( s ) 幽一1 ( f ) 心+ 磊裟嚣， 删+ 磊裂焉糕 盟蛳逊帅盟咖薹l 啡础一肛酬一卅一一咖一小脚一撕一她 q一印 口一唧上酬上唧 茎三! ! 耋塑墼堡堡塞堡篓塑垂堡坌丝皇丝耋 且令 p y - 之羹y y 呱 妒去r z ( r ) 斫，砌 很清楚，& 龙= 震3 ，如= z z ，f z ( f ) 班= o 是x 的闭子空间。 又因为 d i m k e r l = c o d i m i m l = 3 因此，三是一个指数为零的肌踟砌映射。 通过计算，0 的逆j 具有形式： k i i m l + k e r p n d o m l 酗= z ( s ) 凼一去r f z ( s ) 拗 为方便起见，我们令 一焉黼麓， 删1f 芳p 儿( j ) + p 五p y i ( j ) 以加纛蒜鬻 埘28 印 乃【s ) + e 印 y 2 【j j 则 k p o i 一n y = k p n y k p q n y 兰耐 珥= 鸩= m 1 = m j m j m ；， j ：( q ( s ) 一6 ( s ) i ( s 一掌) e 印“( 喜) 鸳一p 1 ( s ) 卜 f 卜，+ 而嚣蒜唱卜 j ：卜，+ 丽嚣豸卜 三rj ：( q ( s ) 一6 ( s ) 七( 州) e 够 咒( 善) 涉州s ) ) 出疵 挪卜，+ 丽意案唱卜 圭r 玎 捌 一 吖然 糍垒ki 一 硕士学位论文 嵋= 三f 如( s ) 一6 ( s ) ( 叫) e 印 m ( 善) 沁州s ) ) 出出 孤小丽裂嚣 栅 去rj ：卜，+ 丽嚣豸 蝴 利用l e b e s g u e 定理易证得q 和j 0 ( ，一q ) 是连续的，再由时z c l a _ a s c o l i 定 理可以证得对x 中的任何开的有界子集q ，q ( q ) 以及砟( ，一q ) ( q ) 是相 对紧的，因此，对x 的任何开的有界子集q ，在五里是三紧的。 下面，为了应用定理彳，我们构造一个合适的有界开子集q 。 对应算子方程缈= 朋咿，旯( o ，1 ) ，即 纠( f ) = a ( q ( f ) 一6 ( f ) 七( 卜- s ) 唧 咒( s ) 凼一l ( f ) j ， 以cr，=a一a：cr，+：i：；i舌葚；竺i考一：cr，门，、 以( r ) = 兄( 一qc r ，+ ：i ：i i i ；罢! ；i i 6 。 设y ( f ) = ( m ( f ) ，儿( r ) ，乃( f ) ) 1 x 是系统( 2 4 ) 相应于某一五( o ，1 ) 的解，将 ( 2 4 ) 式左右两边在【o ，国】上积分，得到 因此 i 以= o f ( 6 ( r ) j ：! 。七( f s ) e 印 m ( s ) ) 凼) 出+ r l ( r ) 册= _ l 国 r 呸( f ) 击+ f 2 ( f ) 西= f 吃。( r ) 唧 月( f 一1 ) ，码a 印 弘( ，一f j ) + e 矽 m o f 1 ) ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 丽崇案卜国 b ， 如l 埘：蹦p 弘( 卜- ) ) + e 印 儿( 卜f ：) j 3。7 1 3 o j j d 仉、 i l 0 p 也 、j n 玎出竹一一兰涉 o ! 印巾= 鲨盏怫 一一一一一一一 岍堂姒皇如 小。面 面 川磊 i 皂_如rb皂是 关于儿类捕食被捕簧模型的定性分析与研究 f l 叫( r ) i 以f ( a ( ，) l t ( r s ) e 印 y ( s ) 幽) 巩 + f 鬲 差若篇班+ f 日。( r ) 出c z 固 = 2 f 1 ( f ) 出= 2 弛 f 1 “( r ) 印r q ( t ) 以+ f = 菩高龋出 = 2 r + 冀 吒。( f ) e 印 m ( f f 1 ) e 印 m ( r1 ) + e 印 m f ( f ) e 印 m ( 卜_ ) e 印 儿o q ) + p 印 m 2 死l 眦舻r r 丽蒜葛等麓r + e 吩( f ) 以 2 瓦 又( m ( f ) ，扔( f ) ，乃( f ) ) 1 x ，因此存在螽确【o ，国】，使得 乃( 磊) = m i 觋( r ) ， q o m 乃( 矾) = m a 矾( f ) 由( 2 “) 和( 2 5 ) 式并结合条件e 。| i ( s ) 幽= 1 ， 我们得到 珥国f ( 6 0 ) j ：! 。i ( r s ) e 印 m ( s ) 凼) d f e 印 m ( 点) ) r ( 6 ( r ) f 。七( 灿) 疵 弘e 印 y 。( 磊) 即有m ( 石) 觑_ 1 一觑石再和不等式( 2 8 ) 联立 1 4 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 n ) 咒( f ) 硝( 卣) + e 川( s ) 幽 肠石l 一砌石+ f k ( s ) l 幽 ( 2 1 2 ) j ol 。1 7 l z n 云l 一，挖石+ 2 _ l ：= 局 又由( 2 4 ) 和( 2 8 ) 及条件f 。七( s ) 出= 1 可得 萄一r ( 6 ( r ) j = 。七( r s ) e 印 m ( s ) 凼p ：r 三盟罢照学一出堑国 如m 烈p 儿( f ) ) + e 印 m ( r ) ) 一确一 进而 互国一詈国r ( 6 ( r ) 队h ) e 印m ) ) 幽p r 如e 印 m ( 刁。) ) ， 由( q ) ，我们得到 唧 m ( 仇) ) ( m 。瓯一珥：) ( 云) 根据( 2 8 ) 式，有 y 。( f ) y ，( 口。) 一r i y j ( r ) 陋 孙i 型! 墼f 一2 鬲国：= b ： 1 聊l6 j 选取曰= m 口z i 旦i ，l 岛1 ) ，则有 l ( f ) l 占 ( 2 1 3 ) 由( 2 6 ) 式，有 r 丽揲赘舞如瓦曲 岣 与啊唧k ( f f 1 ) ) + 唧 m ( f 1 ) _ “2 “ 毕+ ” 由( 2 1 4 ) 式及引理2 2 1 知，存在岛( o ，m ) ，使得 于是 1 5 疵 口2 缈 童主! ! 叁堡垒：堡垫塞篓型璺塞丝坌丝皇堑圣 唧 坎( 乞) 0 使得 儿( 岛) 1 1 l g ( 2 1 6 ) 同理，由( 2 1 5 ) 式及引理2 2 1 知，存在玎：( o ，) ，使得 丽焘弛 唔鼎唧h ( 2 1 7 ) 由( 2 9 ) ，( 2 1 6 卜( 2 1 7 ) 式，对v f 【o ，国】有 咒o ) 儿( 岛) + r m o ) l 出胁g + 2 嘎。脚：= c 1 咒o ) 虬( 吼) 一i 。i 以o ) i 西加p 一2 瓦t 珊：2c 2 ， 因此，对v f 【o ，】，令c = 小饿 i c l l ，b i ，则有 i 咒( f ) i c ( 2 1 8 ) 另外，由( 2 7 ) 式和引理2 2 1 ，我们知道，存在南o ，卯】，使得 妒丽纛附归叩2 面砚碡雨荔丽可舻3 2 【l 2 2 面铡和印 乃( 乞) + 唧 耽( 岛) “3 2 将上式整理可得 ，、 唧 咒( 点) = 镊掣唧 咒( 与) ) 抽 譬卜比，譬 + cl q 。 lm z q ， 再由( 2 1 0 ) 式，得到 乃( ，) 咒( 蠡) + r l 以( f ) i 西 妯f 壁型 + c + 2 砌：d l l m 2 “3 1 6 摊比h 悱胁( 譬 _ c _ z 酗咄 令d = 聊麟 ld l l ，l d 2 i ，那么 i 咒( f ) l d ( 2 1 9 ) 显然置，c l ，p ( f _ 1 ，2 ) 与a 无关，因此占，c ，d 也与旯无关。 记日= 曰+ c + d + g ，这里g 取充分大，使得系统 和吲小磊龋= 。 一嘎+ ；i i ：一；i ：i 揣= 。c + ， 却蒜= 。 的每一个解( 西，以，e ) 满足l ( 五，正，蠢) 7 护iy ：i + 1 正i + i 西i 日。 现在，令q = y x ：yl o ， 、 这里，z 和，分