专题勾股定理与全等三角形的综合运用（基础题＆提升题＆压轴题）（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》专题勾股定理与全等三角形的综合运用（基础题＆提升题＆压轴题）基础题基础题1．（2021秋•岱岳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ADC≌△ADE．（2）若CD＝3，BD＝5，求BE的长．2．如图，在△ABC和△DCE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝BC，DB＝BE，A，D，E三点在同一直线上．（1）求证：AD＝CE；（2）若DB＝22，AD＝5．求AC的长．3．（2022春•定远县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．（1）求证：△CEA≌△CDB；（2）求证：AE2+AD2＝DE2．4．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．（1）求证△ACD≌△BCE；（2）求AD的长．5．（2022秋•通川区校级期末）已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求证：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰长CD．6．（2021秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，AC＝DC，∠ACD＝90°，连接BD．求BD的长．8．（2022春•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连CE，求：（1）线段BE的长；（2）线段CE的长．9．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1cm和2cm．（1）求证：∠ABA′＝∠BCC′；（2）求BC′的长；（3）求正方形ABCD的边长和面积．10．（2022春•蚌山区校级期中）如图，△ABC与△DBE都是等边三角形，DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长．（1）求证：DE2+CE2＝CD2；（2）求∠ADB的度数．11．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC为F，（1）求证：BE＝CF；（2）若AE＝4，FC＝3，求EF的长．12．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED＝FD．（1）求证：FB⊥CB；（2）联结CD，若CD⊥EF，求CE的长．提升题提升题1．（2021秋•宛城区期末）如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．求证：（1）AE＝AD；（2）EF2＝BE2+CF2．2．（2022春•钦州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．3．如图，△AOB和△COD都为等腰直角三角形，且∠AOB＝∠COD＝90°．（1）如图①，当△COD的顶点D恰好在AB边上时，求证：2OD2＝AD2+BD2；（2）将△COD绕点O旋转至图②的位置，连接AD，BC交于点F，连接FO，求证：FO平分∠AFC．4．（2022春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于O，且OE＝OD，求AP的长．5．（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．6．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若BD2+CE2＝DE2，则∠BAC＝°．（2）若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线于点G．求证：BC﹣AB＝2AG．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，以AD始边作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）如图1，当α＝90°，且AE＝AD时，试说明CE和BD的位置关系和数量关系；（2）如图2，当α＝45°，且点E在边BC上时，求证：BD2+CE2＝DE2．8．（2021秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在Rt△ABD中，∠D＝90°，AD与BC交于点E，且∠DBE＝∠DAB．求证：（1）∠CAE＝∠DBC；（2）AC2+CE2＝4BD2．9．（2022•双台子区校级一模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的数量关系；（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；10．如图，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF（1）若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．压轴题压轴题1．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．2．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接DE．（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．①求证：CE＝AF；②试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝32，∠AED＝45°，求线段CE的长．3．（2021秋•海曙区校级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN．（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为．4．已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点A，B在第四象限．（1）如图1，若A（1，﹣3），则①OA＝；②求点B的坐标；（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB的中点，求证：DO+DA=2DM5．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A（如图2），连接P′P．由旋转的性质知△BP′P是三角形；P′A＝PC＝1，∠BP′P＝，P′P＝PB=3；在△AP′P中，∵P′P2+P′A2＝（3）2+12＝4＝PA2∴△AP′P是三角形；∴∠AP′P＝°；∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P+∠AP′P＝．问题得到解决．（1）将李明的思路补充完整；（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且PA＝1，PB＝3，PC=7，求∠CPA6．如图①，在凸四边形中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC．（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是三角形．你是根据哪个判定定理？答：．（请写出定理的具体内容）（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2＝AB2+BC2成立的理由．7．（2021秋•虎林市校级期末）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF＝EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2+DB2＝2DF2；（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．8．（2022秋•唐河县期末）（1）感知：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连结AD，BE，则可证△CBE≌△CAD，依据；进而得到线段BE＝AD，依据．（2）探究：如图2，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；②∠AMB的度数＝．（用含α的式子表示）（3）应用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，当α＝90°时，如图3，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如果PC=2，直接写出PQ9．问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：△ABD≌△ACE；探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长．10．（2022秋•锡山区期中）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD