数字信号处理习题答案及matlab实验详解.pdf

1 第一章 参考答案： 1 （1） 0 2214 3 3 7 ，有理数，所以周期为 14 （2） 0 22 12 16 ，无理数，非周期 2 （1） 1 2 3 3 2 1 (2) 当0n时 1 1 y( )0.522 3 n mmn m n 当1 n时 4 y( )0.522 3 n n mmn m n 3 线性，时变 4 （1）因果，不稳定 （2）非因果，稳定 5 单位抽样响应： 1 1 ( )(1)( ) 2 n h nu nn 2 1 2 (n m) 1 y( )( )* ( ) 1 12 (n 1)e( ) 1 2 2 n j n m jj nj n j m nx nh n e eeuu n e 第二章 1 求下列序列的 Z 变换并画出零、极点图。 （1）x( ) n na （2） 0 x( )sin()0nnnn 2 分别用乘除法、留数定理和部分分式法求下列 X(Z)的反变换。 1 X(z) 1 za z aza 答案： 111 x( )( )(a)(n 1) n nnu aaa 3 4 3 有一信号 y(n)，它与另两个信号 x1(n)和 x2(n)的关系是： 12 ( )(n 3)*x (1) y nxn 其中， 12 11 x ( )( ),x ( )( ) 23 nn nu nnu n 利用 Z 变换性质求 y(n)的 Z 变换 Y(Z)。 实验 2-1 离散系统的分析的基本理论 实验 2-1 离散系统的分析的基本理论 实验目的：加深对离散系统基本理论和方法的理解 1 一线性移不变离散时间系统的单位抽样响应为 ( )(1 0.30.6 ) ( ) nn h nu n (1) 求该系统的转移函数( )H z，并画出其零-极点图； (2) 写出该系统的差分方程。 5 解： （1）系统的转移函数是是其单位抽样响应的 Z 变换，因此 12 111111 12 123 11133.81.08 ( ) 11 0.31 0.6(1)(1 0.3)(1 0.6) 33.81.08 1 1 1.91.080.18 zz H z zzzzzz zz Z zzz 系统的零极点图如下图所示： B=3,-3.8,1.08; A=1,-1.9,1.08,-0.18; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A) Z = 0,0.8361,0.4306 P =1.0000, 0.6000,0.3000 (2) 由于 12 123 ( )3 3.81.08 ( ) ( )1 1.91.080.18 Y zzz H z X zzzz 所以系统的差分方程： ( )1.9 (1)1.08 (2)0.18 (3)3 ( )3.8 (1)1.08 (2)y ny ny ny nx nx nx n 2 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 ( )(1)(2)(1)y ny ny nx n 6 （a） 求这个系统的系统函数 ( ) ( ) ( ) Y z H z X z ，画出( )H z的零-极点图并指出其 收敛区域； （b） 求此系统的单位抽样响应； 解：(a) 1 12 ( ) ( ) ( )1 Y zz H z X zzz |Z|1.618 B=0,1; A=1,-1,-1; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A); Z =0 P = -0.6180,1.6180 (b) B=0,1; A=1,-1,-1; h,t=impz(B,A,50); Stem(t,h,.); 7 3 一个离散时间系统的一对共轭极点： 4 1 0.8 j pe ， 4 2 0.8 j pe ，在原点有二 阶重零点。 （1） 写出该系统的转移函数( )H z，画出零-极点图； （2） 试用零-极点分析的方大致画出其幅频响应（02） ； （3） 若输入信号( )( )x nu n，并且系统有初始条件( 2)( 1)1yy,求该系统 的输出( )y n 解： （1）依题意： 2 12 11 12 44 11 ( )0.8 ()()1 1.130.64 (1 0.8)(1 0.8) jj z H zz zpzpzz ezez B=1; A=1,-1.13,0.64; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A); 8 (2) 由 H(z)的表达式，不难求出， 当 w=0 时， 0 ()1/0.512; j H e 当 w=时，()1/2.770.36; j H e 当 w=/4 时， 4 ()1/0.2564 j H e ，峰值。 B=1; A=1,-1.13,0.64; H,w=freqz(B,A,256,whole,1); figure(1); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H) subplot(2,1,2); plot(w,angle(H) 9 (3)此处给出的系统初始条件不为零，因此系统的输出由两部分组成，一是零输 入解，二是零状态解。 求零输入解： 1 1 1 12 0 ( )( ) 0.490.64 ( ), 1 1.130.64 ( ) N km kmk oiN k k a k zy m z z Yz zz a k z /4/4 ( )(0.2450.3206)0.8( )(0.2450.3206)0.8( ) njnnjn oi ynjeu njeu n 求零状态解： 由( )( )x nu n可知， 1 1 ( ) 1 X z z 12 1 ( ) 1 1.130.64 H z zz 1 11 44 1/41/41 11 ( )( )( ) 1 (1 0.8)(1 0.8) 1.96080.48040.62860.48040.6286 11 0.81 0.8 jj jj Y zH z X z z ezez jj zezez 10 /4/4 0 ( )1.9608 ( )( 0.48040.6286)0.8( )( 0.48040.6286)0.8( ) njnnjn s ynu njeu njeu n 系统输出： 0 /4/4 ( )( )( ) 1.9608 ( )(0.23540.308)0.8( )(0.23540.308)0.8( ) osi njnnjn y nynyn u njeu njeu n y0=1 1; xic=filtic(b,a,y0); N=100;n=0:N-1;xn=ones(1,N); yn=filter(b,a,xn,xic); plot(n,yn); 实验 2-2 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析 实验 2-2 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析 实验内容：编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图 形。 12125. 0 175. 0nxnxnynyny 432 125. 0nxnxnxnxny 实验要求：给出理论计算结果和程序计算结果并讨论。 11 解：(1) 12125. 0 175. 0nxnxnynyny 转移函数为： 1 12 1 ( ),0.5 1 0.750.125 z H zz zz 利用r,p,k=residuez(num,den),则 11 65 ( ) 10.510.25 H z zz ， 单位抽样响应（冲激响应）为： ( )6( 0.5)( )5( 0.25)( ) nn h nu nu n 即 (0)1, (1)1.75, (2)1.1875, (3)0.6719, (4)0.3555,.hhhhh 阶跃响应为： 0 (),0 mm y nx nh nx m h nmh nm nm m 即 (0)1, (1)0.75, (2)0.4375, (3)0.2344, (4)0.1211,.yyyyy 利用函数 h=impz(b,a,N)和 y=filter(b,a,x)分别绘出冲激和阶跃响应： b=1,-1; a=1,0.75,0.125; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100); y1=filter(b,a,x); figure(1) subplot(2,1,1); plot(h); subplot(2,1,2); plot(y1); 12 (2) 432 125. 0nxnxnxnxny 转移函数为： 1234 ( )0.25()H zzzzz 冲激响应为：( )0.25( (1)(2)(3)(4)h nnnnn 即 (0)0, (1)0.25, (2)0.25, (3)0.25, (4)0.25,( )0,(4)hhhhhh nn其余 阶跃响应为： 0 (),0 mm y nx nh nx m h nmh nm nm m 即 (0)0, (1)0.25, (2)0.5, (3)0.75,( )1,(3)yyyyy nn其余 利用函数 h=impz(b,a,N)和 y=filter(b,a,x)分别绘出冲激和阶跃响应 b=0,0.25,0.25,0.25,0.25; a=1; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100);y=filter(b,a,x) figure(1) subplot(2,1,1); stem(h,.); subplot(2,1,2); plot(y,.); 13 实验 2-3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 实验 2-3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 在 MATLAB 中，可以用函数z，p，K=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的 系统转移函数的零、极点，用函数 zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以 用函数 zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分 布图。 另外，在 MATLAB 中，可以用函数 r，p，k=residuez（num，den）完成 部分分式展开计算；可以用函数 sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为 2 阶系统的串联。 实验内容：求系统 12345 12345 0.05280.7970.12950.12950.7970.0528 ( ) 1 1.81072.49471.88010.95370.2336 zzzzz H z zzzzz 的零、极点和幅度频率响应。 实验要求：编程实现系统参数输入，绘出幅度频率响应曲线和零、极点分布图。 解：利用函数z，p，k=tf2zp（b，a）求出零极点： b=0.0528,0.797,0.1295,0.1295,0.797,0.0528; 14 a=1,-1.8107,2.4947,-1.8801,0.9537,-0.2336; z,p,k=tf2zp(b,a); zplane(b,a) h,w=freqz(b,a,256,whole,1); figure(2) subplot(1,2,1);plot(w,abs(h); subplot(1,2,2);plot(w,unwrap(angle(h) z= -14.9370 p= 0.2788 + 0.8973i k= 0.0528 0.4546 + 0.8907i 0.2788 - 0.8973i 0.4546 - 0.8907i 0.3811 + 0.6274i -1.0000 0.3811 - 0.6274i -0.0669 0.4910 15 第三章 习题部分： 习题部分： 1 设信号 x(n0=1,2,3,4,通过系统 h(n)=4,3,2,1, n=0,1,2,3; (1)求系统的输出 y(n)=x(n)*h(n); (2)试用循环卷积计算 y(n); (3)简述通过 DFT 来计算 y(n)的思路。 解 （1）y(n)=4,11,20,30,20,11,4 (2)通过圆卷积（DFT 算法）求系统的输出过程如下： 取取87144121NNL 令令 74 ,0 30),( )( n nnx nx, 74 ,0 30),( )( n nnh nh ),()(, ),()(LhFFTkHLxFFTkX )()()(kHkXkY 16 )()(YIFFTny 2 设有两个序列为： ( ),05 ( ) 0, x nn x n 其他 , ( ),014 ( ) 0, y nn y n 其他 ，各 作 15 点的 DFT， 然后将两个 DFT 相乘， 再求乘积的 IDFT， 设所得结果为 f(n)， 问 f(n)的哪些点对应于 x(n)*y(n)应该得到的点。 答：5-14 3. 有一频谱分析仪用的 FFT 处理器，其抽样点数必须是 2 的整数幂。假定没有 采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： （1）频率分辨力10Hz (2)抽样时间间隔为 0.1ms，试确定以下参量： （1）最小记录长度 Tp； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数 N。 解： 频率分辨率 11 10 s sp f fHz NNTt ，所以0.1 p ts 设采样频率为 s f，则根据采样定理，有 max 11 1 5 22 s s ffKHz T 一个记录中的最少点数 10000 1000 10 s f N f 考虑使用 FFT 算法，取 N=1024 4 已知 x(n)是长为 N 的有限长序列，( ) ( )X kDFT x n, 现将长度扩大 r 倍，得 长度为 rN 的有限长序列 ( ),01 ( ) 0,1 x nnN y n NnrN ， 求： ( )DFT y n与( )X k的关系。 已知 x(n)是长为 N 的有限长序列,X(K)=DFTx(n),现将 x(n)的每两点之间补进 r-1个 零 点 , 得 到 一 长 为rN的 有 限 长 序 列y(n) ， 17 n Niirnrnx ny 其他, 0 1, 0,),/( )( 求：DFTy(n)与 X(k)的关系。 解： 1 0 11 00 ( )( ) ( )( )( )( ) N kn N n k rNN n kn r rNN nn X kx n W k Y ky n Wx n WX r )()()()( )()( 1 0 1 0 1 0 kXWixWnykY WnxkX N i ki N rN n kn rN N n kn N 5 试画出 N=16 点基 2-按时间抽取的 FFT 运算流图，说明共有多少级，每级有 多少个蝶形单元，并写出每一级的旋转因子。 50,5.512 ( ), 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需每次复加用它来计算点 的问直接计算需要多少时间，用运算需要多少时间。 usus DFT x nFFT 答：共有 4 级，每级都有 8 个蝶形单元 18 2 2 2 *5013.11( ) 1)*51.308( ) 51214.418( ) log *50256*9*500.1152( ) 2 log *5512*9*50.02304( ) 直接计算需要复乘次数 直接计算需要复加次数（ 直接计算点共需要时间 用运算需要复乘次数 用运算需要复加次数 N N DFTNs DFTN Ns DFTs N FFTs FFTNs 5120.13824( ) 用来计算点共需时间FFTs 实验内容与指导实验内容与指导 实验 1 抽样定理的实验体会 实验 1 抽样定理的实验体会 实验目的：加深对抽样定理的理解 实验内容：任选一个下述五个连续时间信号( )x t转换成离散时间信号 () s x nT，在 计算机上绘出 () s x nT的图形。1/ ss fT为抽样频率。自行依次选取不同的抽样频 率，如 0000 0.5,2,5 s fffff等，以体会对不同的信号，或者同一信号采用多大的 抽样频率较为合适。 （1） 工频信号： 10 ( )sin(2)x tAf t，220A， 0 50fHz （2） 衰减正弦信号： 20 ( )sin(2) t x tAef t ，2A ，0.5， 0 2fHz （3） 谐波信号： 3 20 1 ( )sin(2) i i x tAf it ， 1 1A ， 2 0.5A ， 3 0.2A ， 0 5fHz （4） Hamming（哈明）窗： 40 ( )0.540.46cos(2)x tf t， 0 f 由同学自选给定。 (5) sinc 函数： 5 sin() ( ) t x t t ，2f ，10fHz 实验 2 离散信号的 DTFT 和 DFT实验 2 离散信号的 DTFT 和 DFT 实验目的： 实验目的：加深对离散信号的 DTFT 和 DFT 的及其相互关系的理解。 实验内容：实验内容： 分别计算 16 点序列 150 , 16 5 cos)(nnnx 的 16 点和 32 点 DFT， 绘出幅度谱图形，并绘出该序列的 DTFT 图形。 19 实验要求实验要求：讨论 DTFT 和 DFT 之间的相互关系。说明实验产生的现象的原因。 实验 3 实验 3 正弦信号抽样的实验正弦信号抽样的实验 给定信号 00 ( )sin(2),50 x tf tfHz，现对 x(t)抽样，设抽样点数 N=16. 我们 知道正弦信号的频谱是在 0 f处的函数，将 x(t)抽样变成 x(n)后，若抽样率及 数据长度 N 取得合适， 那么 x(n)的 DFT 也应是在50Hz处的函数， 由 Parseval 定理，有 1 2 2 50 0 2 ( ) N tf n Ex nXE N 50 X表示 x(n)的 DFT 在 50Hz 处的谱线，若上式不等，说明 X(k)在频域有泄 露。给定以下抽样频率（a）100 s fHz， （a）150 s fHz， （c）200 s fHz， （1）分别得到 x(n)及计算其 X(k)，并用 Parseval 定理研究其泄露情况； （2）当取200 s fHz，N=16 时，在抽样点后面再补 N 个零，得到 ( ) x n，这时 ( ) x n是 32 点序列，求 ( ) x n的 DFT ( ) X k，观察正弦信号补零的影响。 （3）观察抽样得到 x(n)及 X(k)，总结对正弦信号抽样应掌握的原则； 实验 4实验 4 快速 Fourier 变换(FFT)及其应用快速 Fourier 变换(FFT)及其应用 一、实验目的一、实验目的 1 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对 FFT 的理解，熟悉 FFT 子程序。 2 熟悉应用 FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 3 了解应用 FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用 FFT。 4 熟悉应用 FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。 三、实验内容及步骤三、实验内容及步骤 实验中用到的信号序列： a) Gaussian 序列 20 b) 衰减正弦序列 c) 三角波序列 d) 反三角波序列 上机实验内容： (1)、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数 p=8，改变 q 的值，使 q 分别 等于 2，4，8，观察它们的时域和幅频特性，了解当 q 取不同值时，对信号序列的时域幅频 特性的影响；固定 q=8，改变 p，使 p 分别等于 8，13，14，观察参数 p 变化对信号序列的 时域及幅频特性的影响，观察 p 等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出 现？记录实验中观察