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青岛科技大学研究生学位论文 归纳学习理论在故障诊断中的应用 摘要 电力电子电路故障诊断是在故障信息检测和故障特征分析的基础上对 电力电子电路发生故障的种类、原因和部位做出判断或推断。目前，电力电 子电路的故障诊断方法总体可分为基于被诊断电路数学模型的方法和不依 赖于被诊断电路数学模型的方法两大类。本论文以大型整流器为研究对象， 以发展和完善电力电子电路故障自动诊断方法为目的，针对故障诊断系统中 的几个关键技术问题进行了深入研究和分析。 首先，本文结合实际工业背景对大型整流设备各类故障情况进行分析， 以晶闸管故障为主要研究对象，根据整流电路的信号特点，运用具有良好时 一频局部化分析能力的小波分析理论进行整流输出电压和整流输出电流故障 信号的多尺度小波变换，提取各尺度小波变换系数计算各尺度能量值，建立 起各类故障模式的能量特征空间，有效提取了各类故障模式的特征：研究了 多元统计理论中的主元分析方法在能量特征量降维中的应用，以简化分类器 的构造。 其次，在对目前兴起的归纳学习理论一决策树分类理论进行充分研究的 基础上，首次将决策树分类方法应用到电力电子电路这样的强非线性系统的 故障诊断中，充分发挥了决策树分类器所具有的处理非线性和分类速度快以 及决策树方法所具有的表示方法可解释性强、简洁明了的优点，并借鉴已有 的电力电子电路故障诊断方法对整流电路各类故障模式做出分析诊断。 最后，本文应用强大的m a t l a b 中p o w e r s y s t e m 电力系统仿真工具箱、 w a v e l e t 小波分析工具箱以及统计工具箱并结合应用电力系统仿真软件 p s c a d e m t d c 对所提出方法进行了详细的仿真试验，给出了试验仿真结果。 并且针对泛化理论，本文进行了较为细致的研究和验证。仿真和测试结果表 明本文所提出的方法是有效的。 关键词：故障诊断时频分析小波变换多分辨率分析特征提取归纳学 习 归纳学习理论在故障诊断中的应用 t h ea p p l i c a t i o no fi n d u c t i o n b a s e d l e a r n i n gt h e o r yi nf a u i j d i a g n o s i s a b s t r a c t f a u l td i a g n o s i si st od i s c r i m i n a t et h ef a u l tt y p e s r e a s o n sa n dp o s i t i o n si n p o w e re l e c t r o n i cc i r c u i t sb a s eo nf a u l ti n f o r m a t i o nd e t e c t i o na n da n a l y s i so f c h a r a c t e r i s t i c a tp r e s e n t ，t h em e t h o d so ff a u l td i a g n o s i si np o w e re l e c t r o n i c c i r c u i t sc a nb ed i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s n a m e l yt l l em e t h o dd e p e n d i n go n m a t h e m a t i cm o d e lo ft h ec i r c u i tt ob ed i a g n o s e da n di n d e p e n d e n to ft h e m a t h e m a t i cm o d e l i nt h i sp a p e r , t h es t u d yo b j e c ti sal a r g e s c a l er e c t i f i e r , w h i l e t h ep u r p o s ei st od e v e l o pa n dp e r f e c ta u t o m a t i cf a u l td i a g n o s i sm e t h o d s s e v e r a l k e yt e c h n i c a lp r o b l e m si nf a u l td i a g n o s i ss y s t e ma r es t u d i e dt h o r o u g h l y f i r s t l y , i nt h ep a p e rk i n d so ff a u l tc a s e si nl a r g e - s c a l er e c t i f i c a t i o ne q u i p m e n ta r e a n a l y z e dc o m b i n i n gr e a li n d u s t r yb a c k g r o u n d t h em a i nr e s e a r c ht a r g e t i s t h y r i s t o r a c c o r d i n gt o c h a r a c t e r so fs i g n a l si np o w e re l e c t r o n i cc i r c u i t s ，t h e w a v e l e tm u l t i - r e s o l u t i o n 仃a n s f o r mt h e o r yi sa p p l i e dt oa n a l y z et h eo u t p u td c v o l t a g ea n do u t p u td cc u r r e n t n l es q u a r e dw a v e l e tt o e 珩c i e n t sa r eu s e dt of i n d au n i q u ef e a t u r ev e c t o rf o re a c hf a u l t e n e r g yf e a t u r es d a c ef o rd i f f e r e n tf a u l t p a t t e r n si st h u sc o n s t r u c t e de f f e c t i v e l y b a s e do nm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a l 血e o r y , p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i sm e t h o di su s e dt or e d u c ed i m e n s i o n so fe n e r g y f e a t u r ev e c t o r s s e c o n d l y , o nt h eb a s i so fa b u n d a n ts t u d yo ft h ep r o s p e r o u si n d u c t i o n b a s e d l e a r n i n gt h e o r y - d e c i s i o nt r e el e a m i n gt h e o r y , d e c i s i o nt r e ec l a s s i f i c a t i o nm e t h o d i s a p p l i e d i nf a u l t d i a g n o s i so fs t r o n gn o n - l i n e a rs y s t e m s ，s u c ha sp o w e r e l e c t r o n i cc i r c u i t s v i r t u e so fd e c i s i o nt r e em e t h o d ，n a m e l yt h ep o w e r f u la b i l i t y o fd e a l i n gw i t hn o n - l i n e a rp r o b l e m ，h i g hc l a s s i f i c a t i o ns p e e d ，e x p l a i n a b l e p e r f o r m a n c ea n di t ss i m p l e n e s s h a sb e e ne x e a e d 矗m v t h ee x i s t i n gf a u l t d i a g n o s i sm e t h o d sa r ea l s os t u d i e da n du s e df o rr e f e r e n c e a tl a s t ，t h ep o w e r f u ls i m u l a t i o nt o o lm a t l a b ，e s p e c i a l l yp o w e rs y s t e m t o o l b o xa n dw a v e l e tt o o l b o x t o g e t h e rw i t hp s c a d ，e m t d cs o f t w a r ea r e a p p l i e d n l ei n t e r f a c eb e t w e e np s c a d e m t d ca n dm a t l a bi sa l s os t u d i e da n d u s e d a c c o r d i n gt ot h ep r o p o s e dm e t h o d ，d e t a i l e ds i m u l a t i o na n dt e s ta r ec a r r i e d o u t t h er e s u l t sv a l i d a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o d k e yw o r d s ：f a u l td i a g n o s i st i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sw a v e l e tt r a n s f o l n m u l t i - - r e s o l u t i o n a n a l y s i s f e a t u r ee x t r a c ti n d u c t i o n - b a s e d l e a r n i n g i i 课题来源：河南许昌继电器集团承担的国家“十五”科技攻关项 目“超高压直流输电系统设备国产化项目”。本文得到该 项目的资助，负责h v d c 系统的仿真研究工作。 项目编号：j 2 0 0 1 1 8 4 4 - x j 青岛科技人学研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 故障诊断( f d ，f a u l td i a g n o s i s ) 始于机械设备故障诊断。现代设备技术 水平和复杂度不断提高，设备故障对生产的影响也显著增加，因此要保证设 备可靠、有效地运行，充分发挥其效益，必须发展故障诊断技术。 故障诊断技术借助于现代测试、监控和计算机分析等手段，研究设备在 运行中或相对静止条件下的状态信息，分析设备的技术状态，诊断其故障的 性质和起因，并预测故障趋势，进而确定必要的对策。利用故障渗断技术可 以早发现故障征兆和原因，有利于及早排除故障和安全隐患，避免不必要的 损失，因而具有很高的经济和社会效益。 诊断理论作为状态识别方法的基础，在工程与技术、生物与医学以及经 济与社会领域内都得到了广泛的应用。从诊断技术的各分支技术来看，美国 占有领先地位。美国许多权威机构，如美国机械工程师协会( a s m e ) ，美国 宇航局( n a s a ) 等都参与了这一领域的研究，投入了大量的资金。不少的高 校和企业也都设立了诊断技术研究中- 1 1 , 。美国的一些公司研制的监测产品， 不仅具有完善的监测功能，而且具有较强的诊断功能，在宇航、军事、化工 等方面具有广泛的应用。其他的一些国家，诊断技术的发展也各有特色，如 英国在摩擦诊断方面，丹麦在振声诊断方面，同本在诊断技术应用方面都各 具有优势。 我国渗断技术的发展始于7 0 年代末，虽起步较晚，但经过追赶，特别是 近几年的努力，己基本跟上了国外在此方面的步伐，在某些理论研究方面己 和国外不相上下。目前，我国在一些特定设各的诊断研究方面很有特色，形 成了一批自己的监测诊断产品。如西安交通大学的“大型旋转机械计算机状 态监测与故障诊断系统”，哈尔滨工业大学的“机组振动微机监测和故障诊断 系统”等。纵观我国的设备诊断技术现状，其应用范围集中在化工、电力、 冶会等行业，科研则主要集中在高校进行，许多高校都成立了颇具实力的诊 断工程中心。目前，全国性的设备诊断会议仅中国振动工程学会故障诊断学 会已举办过多次，各国国际会议也举办过数次。这对我国诊断技术的发展起 到巨大的推动作用。 归纳学习理论在故障诊断中的麻删 1 2 电力电子电路故障诊断的意义 由于电力电子技术的迅猛发展，各种新型的电力半导体器件的问世，电 力电子技术与自动控制、计算机技术的紧密结合，使得各种高性能的电力电 子产品不断涌现，目前电力电子技术己广泛应用于电力、机械、冶会、交通、 矿山、航空、化工、商业和军事等部门。随着电力电子装置应用的同益广泛， 性能要求的不断提高，其中，对设备的可维护性要求愈来愈突出。 以镇海炼化总厂液氧泵控制系统和9 m w 发电机系统为例，其中，液氧 泵控制系统是一台晶闸管直流调速系统，9 m w 发电机系统由发电机、旋转硅 整流、励磁机、a v r 励磁装置控制电路、同期回路、继电保护等构成。它们 的故障跳车情况及其导致的损失情况分别如表1 1 和表1 2 所示。可见故障所 导致的经济损失是重大的。 表卜1 液氧泵控制系统故障统计 t a b l e1 - lf a u l ts t a t i s t i c so f t h eo x y g e np u m pc o n t r o ls y s t e m 序号跳车日期尿素产最损失( 吨)价值( 万元) l 8 4 年2 月l o 日5 0 0 2 5 28 4 年2 月2 2 日5 0 02 5 38 4 年5 月1 0 日1 0 0 05 0 48 4 年8 月3 1 日1 0 0 05 0 58 4 年9 月5 日5 0 02 5 6 8 4 年9 月1 0 日 1 0 0 05 0 78 9 年1 月1 4 日2 0 0 0 1 0 0 8 8 4 年1 月1 6 曰 5 0 0 02 5 0 合计 1 1 5 0 05 7 5 表卜29 m w 发电机系统故障统计 t a b l el 2f a u l ts t a t i s t i c so f t h e9 m w g e n e r a t o rs y s t e m 序号跳车日期尿素产艟损失( 吨)价值( 万元) 19 0 年1 1 月2 2 日1 0 0 0 5 0 29 1 年7 月1 3 目1 0 0 05 0 39 1 年8 月3 1 日1 0 0 05 0 4 9 2 年1 月2 1 日5 0 02 5 59 2 年5 月2 日1 0 0 05 0 6 9 3 年2 月1 日 1 0 0 05 0 青岛科技大学研究生学位论文 【7 9 3 年5 月1 0 日 2 0 0 05 0 8 9 3 年5 爿2 0 曰 1 0 0 05 0 合计7 5 0 03 7 5 为了减少故障的发生及提高设备的利用率，每年用在电力电子装置维修 上的费用是很大的。如此大的设备维修费用，既存在很大的浪费，又不能完 全杜绝恶性事故的发生。并且，一旦发生故障，若仅由人工查找故障，由于 缺少详细的故障状态信息，以及依赖于维修人员的经验，要准确而迅速地诊 断故障是比较困难的。 故障自动诊断技术是提高设备可维护性的有效手段之一。所谓故障自动 诊断技术就是动态监视电力电子装置的工作状态，检查它是否发生故障；发 生故障后，诊断系统立即分析确定故障的部位和性质，并通过外部设备向用 户提供故障的部位和性质的有关信息，或者进行故障隔离，启动备用系统等 重构工作。 根据需要，故障自动诊断技术主要有下面几类应用： 第一类应用是通过故障自动诊断系统提供的准确和详细的故障信息，有 利于快速分析并确定故障的部位和性质，操作人员可以根据所发生故障的轻 重缓急采取合理的措施，从而可以大大缩短电力电子装置的运行停机时间。 第二类应用是在冗余系统中，故障自动诊断是为高可靠性设计的冗余系 统的必要环节。珍断的结果作为重构控制环节的输入，由重构控制环节发布 控制命令，切断故障部分，投入备份，同时向用户报警。用于根据诊断结果， 可顺利地进行维修工作，经过完善后的环节可进入备份待命状态。停机时间 的缩短，实际上等于提高了系统的可利用率和可靠性。 第三类应用是作为保护系统的一部分。故障自动渗断系统诊断出故障时， 立即发出相应的保护控制信号，以防止故障的扩大。 第四类应用是为预知维修( 或状态维修) 创造条件。所谓预知维修，就 是根据装置的状态监测和故障诊断所预知的装置状态来确定维修工作的内容 和时间，从而制定出维修方案。这种方法可提高装置运行的可靠性，减少不 必要的过剩维修，以减少维修成本。 电力电子装置是出一些相关部分有机构成的一个系统，如电力电子电路、 电动机、发电机、继电部分等。其中每一部分的故障都会不同程度地影响整 个装置的正常运行，只有具备了对各部分故障的自动诊断，才有可能实现对 整个电力电子装置故障的及时诊断和准确定位。电力电子电路作为电力电子 装置中能量变换的主体，其故障率较高，有故障所产生的后果也比较严重。 因此，电力电子电路的故障自动诊断是实现电力电子装嚣故障自动诊断的重 要环节之一，因而具有极为重要的意义。 归纳学习理论在故障诊断中的戍h ；i 1 3 电力电子电路故障诊断的研究现状 电力电子电路故障诊断技术所涉及的范围较为广泛，其中的主要研究内 容包含以下两个方面：电力电子电路故障分析、电力电子电路故障诊断方法 的研究。前者是已知故障点或故障原因，分析电力电子电路中各种变化信息； 后者是已知电力电子电路运行过程中的各种信息，判断此电路是否发生了故 障，对于故障情况通过分析得出故障原因或故障点，从推理的角度来说是前 者的逆过程。下面简单介绍一下上述两方面目前的研究情况。 1 3 1 电力电子电路故障分析研究情况 故障分析是对电力电子电路进行故障珍断的基础，主要是研究电路正常 运行时和发生故障后产生的各种症状和可能性。目前采用的方法有理论分析、 p s p i c e 电路仿真、软件程序仿真、实验等。 文献 5 提出了一种电力电子电路的通用仿真方法，此方法采用电力电子 丌关的理想断丌模型，即将断丌的开关从电路中移去。这种方法克服了有限 电阻模型b i 起的小时间常数问题，也避免了r - l 模型引起状态方程阶数升高 的问题。 文献 2 0 通过应用皮特取网络，介绍了一种可用于电力电子装置主回路 各种故障运行方式进行仿真的高效编程方法。应用此方法，可以在较短时间 内编写出满足各自要求的仿真程序，所编写的程序可用于对所仿真装置的各 种故障或非正常运行方式进行分析，并且程序具有很好的快速性和结构性。 文献 5 对电感性负载的三相全控整流电路的故障情况进行了分析，给出 了电路中分别有一只、二只、三只晶闸管开路故障时的整流输出端电压波形 和b 相输入电流波形。在文献 8 中对此电路的故障情况作了迸一步分析，通 过离散傅罩叶变换得到各类故障时的特征参数值( 整流输出端电压直流分量： l 、2 、3 次谐波幅值：l 、2 次谐波相位角) ，并通过分析得出各类故障时上述 特征参数值的范围。 文献 1 1 对于用于感应电机驱动的电压型p w m 逆变器系统的各种故障模 式进行了理论分析与仿真研究。故障模式包括：电源输入端单线接地故障、 整流二级管短路、逆变晶体管基极开路、逆变晶体管短路。该研究成果可应 用于更好的设计保护系统和故障诊断，也有利于采用容错控制技术提高系统 可靠性。 文献 1 2 对于变频调压工作的三相感应电机由于逆变器故障( 如基极驱 动丌路和器件短路等) 导致的单相工作情况进行了分析，着重分析了故障时 电流的谐波成分，并通过在电机端加入合适的奇次谐波电压来补偿低频脉冲 青岛科技大学研究生学位论文 矩，从而达到容错驱动，使运行平滑。采用数字信号处理器进行了实验研究。 文献 1 3 研究了三相桥自动顺序换流电流型逆变器在感性反电势负载时 的正常和故障模式的混合计算机仿真。采用详细的逆变器模型和简化的电机 模型进行仿真，侧重于逆变器部分的故障仿真。对于二极管开路、晶闸管短 路、晶闸管f 向电压阻断失败、晶闸管误触发、丢触发脉冲等故障进行了仿 真研究。 1 3 2 电力电子电路故障诊断方法的研究情况 电力电子电路故障诊断是在故障信息检测和故障特征分析的基础上对电 力电子电路发生故障的种类、原因和部位做出判断或推断。目前，电力电子 电路的故障诊断方法可分为基于被诊断电路数学模型的方法和不依赖于被诊 断电路数学模型的方法两大类。基于电力电子电路数学模型的故障诊断方法 主要有参数估计法和残差法等。 参数估计诊断法的基本思想是，许多电路的故障可以看作是电路参数的 变动，相电阻、电容、电感等。这些电路参数可以隐含在电路模型的参数中。 电路参数在电路模型中可以是定常的，也可以是时变的，通常电路模型是动 态模型。基于参数估计方法的故障检测与诊断要求电路参数可由模型参数唯 一得到，该方法的优点是实时跟踪参数的变化，诊断的实时性强，由于存在 参数辨识的收敛性问题，用在在线诊断中存在一定的困难。 文献 5 中通过分析发现，由理想开关和线性电阻、电感、电容、恒定的 电压源( 电流源) 构成的电力电子电路可以用双线性方程来描述，而这些双 线性方程中系数矩阵具有稀疏性的特点，提出了减维的参数辨识方法，将其 应用于电力电子电路的参数性故障的诊断，可以加快诊断速度。并将其推广 到电力电子电路结构性故障的诊断中，提出了两种结构性故障诊断方法：直 接法和递级法。 文献 1 0 提出了一种新的电力电子电路在线参数和状态辨识法。该方法 是在块脉冲参数辨识法的基础上，根据电力电子电路的特点，结合辨识结果 异常判定法建立的，具有收敛速度快、辨识精度高和在线辨识的能力。有效 地解决了一般参数辨识法无法壹接用于丌关拓扑状念不断变化的电力电子电 路中的困难。 文献 5 将残差法引入电力电子电路的故障诊断，为双线性系统构造一个 状态观测器，当系统发生故障时，状态观测器不能很好地跟踪系统的状态， 致使输出残差增加，通过判别残差的大小来监测系统的故障。该方法实现起 来容易，检测速度快，适合于系统参数变化所引起的残差相对于故障引起的 残差较小的场合。 归纳学习理论在故障诊断中的应用 不依赖于被诊断电路数学模型的方法主要有：直接检测功率器件两端电 压或桥臂电流方法、直接测量电路的输入输出的方法、基于因果关系的信号 处理方法、字典库诊断方法、状态次序法、基于专家系统的渗断方法、基于 人工神经网络的诊断方法等。 ( 1 ) 直接检测功率器件两端电压或桥臂电流方法 通过检测各功率器件两端的电压，或检测各桥臂电流，得到功率器件的 工作状态，再与触发脉冲进行时序逻辑比较，从而判断被诊断对象是否故障。 此方法需要检测每个被诊断器件的电压或电流，所需测点较多，需要专门的 检测电路。 文献 1 介绍了三相桥式半控带续流二极管的整流电路的故障诊断。采用 光耦合器测量所有桥臂晶闸管和二极管两端的电压，以及控制晶闸管导通的 触发脉冲信号，通过微机分析，最终获得渗断结果。 文献 2 介绍了三相桥式全控整流电路的故障诊断方法。采用电流分流器 检测出6 个桥臂中的电流，再辅助于整流触发脉冲，通过简单的分析，可以 诊断出品闸管直通、丌路等故障，采用了微机技术，同时兼有过压、过流报 警的功能。 文献 3 研究了中频电源系统故障诊断方法。用霍尔传感器测量所有桥臂 中的电流，用光耦合器检测所有触发脉冲。利用微机实时检测触发脉冲、桥 臂电流，对整流桥与逆变桥采用两种不同的方法进行诊断以适应两种不同的 工作频率，同时还具有水温、电抗器故障的报警、过流过压报警。该装置在 1 0 0 千瓦中频电源上经过现场试验。 文献 4 介绍了两桥并联晶闸管变流器的电流监视装置。在每个桥的六个 桥臂上均串联一个电流互感器，其二次侧并联一个小阻值电阻，二次电压送 入一个专门设计的电流监视模块。若有任一桥臂的电流不f 常，监视装置都 会发出故障信号，而且能记忆并显示故障的原因，以及指示故障桥臂。 文献 1 6 介绍了电阻炉微机测控系统的故障诊断与处理电路，并分析了 热电偶、晶闸管、电阻丝、软件等的失效情况，提出了一些故障保护措施。 其中对于晶闸管烧断、晶闸管烧通的检测，是通过一个失效检测电路检测出 晶闸管两端的电压，并与该晶闸管的触发信号相比较而得出的。 文献 1 7 介绍了一种利用单片机对晶闸管触发信号由微机产生的晶闸管 装置进行实时故障监视和自动诊断的技术。它利用晶闸管触发信号和晶闸管 导通之间的时序对应关系，实时检测晶闸管通断状况，从而判断晶闸管装置 是否存在故障。此方法应用于晶闸管串级调速( 晶闸管装置处于逆变状态) 中，有效地抑制了逆变失败的发生。 文献 1 8 提出了一种无刷励磁同步发电机旋转整流器故障检测的方法。 利用装设在转子上的单片机系统对旋转整流器的各特征点的电压进行检测， 青岛科技大学研究生学位论文 并对它们之间的关系进行逻辑判断，若符合逻辑关系，则旋转整流器各桥臂 二极管均处于正常状念，否则可判断那个管子出了故障。 ( 2 ) 直接测量电路的输入输出方法 在f 常情况下，电路的输入输出在正常范围内变动， 。， 只。n ( r ) ，( ) 。聊。当此范围被突破时，可认为故障已经发生或将要发生，另外 还可以通过测量输出输入的变化率是否满足：p m n ( f ) 加) c 儿。， 女。( r ) 0 即小波变换的基函数韦y 譬) 是窗函数妒( f ) 的时间平移b 和尺度伸缩a 的 结果。小波变换的基函数由于引进尺度参数a 而具有柔性小波变换因此而 具有多分辨特性，这一点正是小波变换不同于s t f t 的根源所在。 小波变换形式根据其尺度参数a 的取值规律分为连续变换和离散变换两 类。若a 按二进规律取值则称为二进小波变换，若小波是正交( 或双正交) 的，则可以采用m a l l a t 快速算法。这种算法可以多级地按二分规律划分信号 频带，实现对信号的多分辨分解。它对细节分量不做进一步分解，这一点有 时限制了其对信号的适用性。因而又发展了小波包变换。它可以对信号进行 更细的频带划分，可以根据信号特点更灵活地选择频带划分方式。 青岛科技大学研究生学位论文 小波变换中的尺度参数a 不同于短时傅旱叶变换中的频移( 频率调制) ， 它对应的是频带。从波形匹配的观点来看，短时傅罩叶变换是在时移位置用 某一频率正弦波与信号进行形状匹配比较，从而得到信号在这一时刻相应频 率的能量幅值；而小波变换则是在时移位置用相应尺度的小波形状与信号进 行相似性比较，从而得到信号在这一时刻含有相应尺度小波信号的能量大小。 从这罩可以看出，小波变换更适合于分形分析。例如脑电信号中纺锤波检测， 可以采用与之形状相似的d m e y 小波进行小波变换，以判断纺锤波的存在性。 另外，由于小波零均值和振荡性的作用，小尺度小波对大尺度信号分量有均 化为零的作用。因此小波变换很适合于瞬态信号的探测，可以对信号进行尺 度划分。小波变换本质上是一种时间尺度分析方法，通常也被列入时频分析 的范畴。 2 3 小波变换的概念。司 小波变换是一种具有时频定位特性的变换形式小波级数就是函数f ( t ) 在小波函数系上的展开，而小波变换就相当于小波级数的系数。 所谓小波函数系是如下定义的一族函数：( f ) f ) n d ) ，且它的傅 星叶变换满足：妒( o ) - - o ，则由矿的伸缩和平移所形成的函数族妒柏 ： 妒神= i 口i f ，一6 、 l 了j b r ，ae r 一 0 ( 2 8 ) 称为小波函数，叫作分析小波或连续小波，y o ) 叫作基本小波或母小波。小 波函数虬。o ) 可以看作是一个双参数滤波器，其中参数a 称为尺度因子，b 称 为平移因子。 如果( f ) 满足以下允许条件： 铲擀虮m 沼 则( r ) 称为允许小波。 一个能量有限信号厂( ，) 豫) 的小波变换可以表示为它和小波函数族 ，。 口，b r ，口o 的内积： w r ( a ，6 ) 坩；i 几妒( 等p = ( 几帆( f ) ) ( 2 - 1 0 ) 此式称为连续小波变换。 小波变换的逆变换公式为： ，( f ) = 巧1 f ，如，6 h 蛙d a d ：b - ( 2 - 1 1 ) 1 7 归纳学习理论在故障诊断中的应i j 2 3 1 小波变换的时一频局部化特性 基本小波p o ) 从本质上看是一个带通滤波器。图2 一l 是一个m e y e r 小波 的图形。 连续小波变换提供的局部化格式是变换着的，表现在高频处时间分辨率 高，频率分辨率低，低频处频率分辨率高，时问分辨率低，这特性决定了 它在突变信号处理上的特殊地位及功能。如图2 2 所示。 图2 - 1m e y e r 小波函数 f i g2 - 1m e y e rw a v e l e tf u n c t i o n 图2 - 2 小波时一频特性 f i g2 - 2w a v e l e tt i m e f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c 小波变换的另一种定义形式为，设y o ) 是满足允许条件的基本小波，定 义厂o ) 的小波变换为： 重墨型垫叁堂堕塞尘堂生丝苎 吼o ) = 厂o ) 虮( f ) = 【s ( t ) e ，( f r m ( 2 1 2 ) 其中，小波函数族为： y ，( ，) ：! 少f 三1 ( 2 1 3 ) s s 称( 2 1 2 ) 式为小波变换的卷积形式，它与( 2 1 0 ) 式定义的小波变换在本质上是 一样的，不同的是：( 1 ) 伸缩系数不同；( 2 ) 用卷积代替了内积。 由式( 2 1 2 ) ，纵可以看作是脉冲响应为变尺度滤波器的系统，因此，0 ) 的小波变换可以看成是当输入为，o ) 时，在系统g ，下的响应，而虮o ) 是系统 对占函数的响应。尺度因子s 不仅反映频域上的位置，还改变频率通带的大小。 当l s j 值小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分辨率较 高的分析，即用高频小波作细致观察。当l s l 值较大时，时轴上考察范围大， 而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。 2 3 2 离散二进小波变换 连续小波变换中的参数a ，b 是连续变量，主要是应用于理论分析，不便 于计算，在实际处理中，为了便于计算机的实现，需要将连续小波变换进行 离散处理，也就是对参数a ，b 进行离散化处理。 令口= 口j ，b = k b o 口i ， 1 b 0 ，k z ) ，这时( ( 2 _ 8 ) 式即可写成： 舢。o ) = 口l ；c ，时卜k b 。) ( 2 - 1 4 ) 由此得到的小波变换为： 形，k b 。) = p ( f 弦( ，如，j = o ，l ，2 ，k z ( 2 1 5 ) 称为离散参数( 栅格) a ，b 下的小波变换。这是因为此时待分析信号，( ，) 和分析 小波妒叱。o ) 中的时间变量t 并没有被离散化，所以不是完全意义上的离散小 波变换。 在用计算机实际处理时，还需要对时间变量t 进行离散化，有： 暇。( ”) = 口e s ( 一p 弦胛一k b 。) ( 2 1 6 ) 称为离散时间小波变换。 令上式中的a 。= 2 ，b o = 1 ，则有离散二进小波变换； 眠。0 ) = 2 一；，0 ) 妒( 2 7 ”一i ) ( 2 1 7 ) 它是小波分析中最方便、最有用的一种形式。 在整流电路检测信号的分析中，我们要分析的是经过数字化的信号，也 1 9 塑塑堂翌堡笙垒垫壁堡堑! 盟堕型 就是经过采样的离散的有限长度的信号。假设，( f ) 是一个连续的模拟量，通 过采样我们得到一个离散信号，用记号l ；。表示。是一个离散序列，假 定采样间隔为，那么它在 处的值与厂o ) 在t = n t 处的值相等，即 = f ( n t ) 。如果把厂( r ) 经过7 倍伸缩记为；o ) = 厂) ，那么= 石0 ) ， 即离散序列必然是某个函数以1 为间隔的采样结果。以下均认为t = 1 。 定义一个由尺度函数舻平移所张成的空间v o ： k = s p a n ，劬o n 蜕。 由妒的性质可以推出对于任何c ，f 2 ，有： 删b l ! c ，伊( f 一删一 b i i c i i ，：c e ( c k 忻z帖 说明扫( f n 蛾。：是v o 的r i e s z 基。 在此基础上，可以得到一个重要结论：对于任何离散序列l 。：，2 ， 存在f l 2 ，使得： = 厂+ 伊o ) ( 2 1 8 ) 同时可以证明： 厂+ 妒( h ) = ，i 厂+ - z ，( ，) ( 2 1 9 ) 其中收，o ) = 硐，根据此式，我们可以从信号的小波变换慨，曩来恢复 原始的离散信号。 对小波变换，厂取离散值，记为吲厂，叫作上；：的离散二进小波变 换： ，= 慨，f ( n ) l 吐川，+ 。 ( 2 2 0 ) 同时记： s ，o ) = f + 吼，o )( 2 2 1 ) 其中( ，) = 2 - j 伊( 2 7 t ) ，( 2 2 1 ) 式的离散形式记为： s ；，= c 厂+ 妒z ，如峨。 ( 2 2 2 ) 则有群，= ，+ p 0 ) = 。 可以得到离散小波变换的迭代公式为： f s ；厂0 ) = 魂s ；，厂0 2 k ) 1 吲确) ：莹蚪d 川) 也3 从原始信号的离散采样值= ，+ 妒如) = 醉厂出发反复迭代，即可求出全部 青岛科技大学研究生学位论文 离散二进小波变换的值 吲厂 ，。 。 式中，h 和g 被称为一对共轭滤波器( h 和g ) 的脉冲响应函数。共轭滤波 器与小波之蚓有十分密切的关系，它们在多分辨率分析和数值计算中起着十 分重要的作用。可以通过构造一对共轭滤波器直接对信号进行小波分解，而 不必知道具体的小波函数，这样就可通过信号的离散序列与共轭滤波器的卷 积来达到对信号的小波分解的目的。 2 4 小波分析的工程理解 从工程应用的角度来分析小波变换的基本原理，能够更好地理解小波变 换。我们从滤波器组的角度出发，对小波变换进行分析。 2 4 1 小波变换与滤波器组 小波变换是通过变尺度的小波函数与信号的时域卷积得到的，小波函数 相当于个带通滤波器，尺度函数相当于一个低通滤波器，小波函数系相当 于一组滤波器，小波变换就相当于用这样一组滤波器对信号进行逐级滤波。 ( 2 2 3 ) 式表示了信号的递推分解过程。式中的压缩因子2 r 1 ，使得离散卷积 的过程包含二抽一采样，因而卷积结果在时域上压缩了一倍，在频域上展宽 了一倍。分解过程中每次仅对上一次分解得到的s ，进行变换，实际上就是用 一对共轭滤波器h 和g ( h 和譬是它们的脉冲响应函数) 对信号进行逐级分 解。 我们假定日与g 是理想低通与理想带通滤波器，当信号的采样率满足 n y q u i s t 要求时，归一频带必将限制在一7 - + 万之| 白j 。用h 和g 将它分解成( 对 正频率部分而言) 频带在0 鲁的低频部分和频带在鲁厅的高频部分，分别反 2z 映了信号的概貌和细节，如图2 3 。处理后的两路输出必定正交( 因为频带不 重叠) ，而且由于两种输出的带宽均减半，因而采样率可以减半而不致引起信 息的丢失。这就是图上在滤波后引入二抽取坏节( 用符号表示) 的原因。所 谓二抽取就是将输入序列每隔一个输出一次( 例如只取偶数) ，组成长度缩短一 半的新序列。 类似的过程对每次分解后的低频部分可再重复进行下去，如图2 - 4 ，即每 一级分解把该级输入信号分解成一个低频的粗略逼近( 概貌) 和一个高频的细 节部分。而且每级输出采样率都可以再减半。这样就将原始厂( n ) 进行了多分 辨率分解( 见第三章论述) 。 门纳学习理论在故障诊断中的应_ l 0 1 2 图2 3 频带的理想剖分 f i 9 2 - 3 i d e a ls u b d i v i s i o n o f t h e f r e q u e n c y b m d 抽取采样 图2 - 4 频带的遂级剖分 f i 9 2 - 4s u b d i v i s i o n 蜘b ys t e p o f t h e f r e q u e n c yb a n d 2 4 2 多分辨率分析和小波正交基 多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 是小波分析的重要概念， 是由s m a l l a t 在1 9 8 9 年首先用于小波分析的，他把小波变换与多分辨率分析 建立起了联系。在这之前，多分辨率分析的概念己经被提出，也被称为多尺 度分析或多频道分解，主要用于图像分析和人类视觉系统的研究。 在此之前，许多数学家在自