（基础数学专业论文）banach空间中微分系统的正解.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：袁栏丰皂 导师签字：象陋f f j 艺 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 夔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：袁犁艳 签字日期：2 0 0 6 年- 月巧日 导师签字：亩j 彳才慰 签字日期：2 。f 年蜃月厶名 山东师范大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中微分系统的正解 袁艳艳 ( 电东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 奇异边值问题( 简称s b v p ) 起源于各种应用学科，例如：核物理、气体动力学、流 体力学、边界层理论以及非线性光学等，并且它一直是数学工作者和其它科技工作者 所关心的重要问题之本章主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究微分方程组 边值问题，其中包括奇异边值问题有关奇异微分方程边值问题解的存在性，正解的存 在性、唯一性近二十年来得到了广泛的研究( 9 】一 2 0 ) 在此基础上，本文将更进一步 深入研究微分方程组边值问题 第一章利用m b n c h 不动点理论，研究了b a n a c h 空间中一类二阶非线性积分一微 分方程组两点边值问题 一u ”= ，( t ，u ，v ，t “) ； 一可”= g ( t ，“， ，t u ) ； f 1 21 1 1 u ( o ) 一6 1 u 7 ( o ) = 口，c l u ( 1 ) + d l 札( 1 ) = 口； 、7 a 2 v ( o ) 一b 2 v ( o ) = 口，c 2 v ( 1 ) + d 2 v ，( 1 ) = 目 正解的存在性，其中t j = 0 ，1 ，a i ，晚，岛，d i r 十，g c v p x p x p ，p 】；t u ( t ) = k ( t ，s ) “( s ) d 5 ，k c d ，r + ，d = ( t ，s ) ：o s 冬t l ，r + = 0 ，+ 。) ，2 = 1 _ 2 我们给出了适当的条件( h 1 1 ) 一( h l3 ) ，见文- 8 页主要结论如下： 定理1 - 2 1 若( h 1 1 ) 一( h 13 ) 成立，则系统( 1 21 ) 至少存在一个正解( “，。) c 2 【ze xc 2 z 目l ；满足当t i 时，“( t ) 2u o ， ( t ) 2u o 最后给出无穷维空间中的例子说明我们的条件是合理的 为了获得系统( 1 21 ) 多个正解的存在性，我们在第二章利用了不动点指数理论， 并给出了适当的条件( h 2 。) 一( h 。5 ) ，见文1 5 1 6 页其主要结论如下： 定理2 2 1 若( h z 1 ) 一( h 2 4 ) 成立，则系统( 1 2 1 ) 至少存在两个正解( u l ，吼) ： ( u 2 ， 2 ) c 2 ze xc 2 z e ，满足当t 时，“l ( t ) 咖， l ( t ) v 0 定理2 2 2 若( h 21 ) 一( h 22 ) 及( h 2 5 ) 成立，则系统( 1 21 ) 至少存在一个正解 ( i t ，u ) g 2 ze xc 2 ze l 满足当t i 时，u ( t ) u o ，v ( t ) 2 咖 ，、k 坐查堡鳖堕主兰焦堡苎 最后给出有限维和无限维空间中的例子来说明所给出条件的合理性 第三章利用锥拉伸和锥压缩不动点定理研究了一类非线性奇异微分方程组边值 问题 f 乱( 4 ) = ，( t ，u ，w ) ； i ”= g ( t ，u ，口) ； 1u ( o ) = “( 1 ) ：。”( o ) ：“”( 1 ) ：o ； 1 3 z 17 【 ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 正解存在的充分必要条件，其中t ( o ，1 ) ：i 厂，g g ( o ，1 ) 0 1 。) o ，。) ： o ，。) 1 ，并 给出了适当的条件( h 3 1 7 一( h 35 ) ，见文2 5 2 6 页其主要结论如下： 。 定理3 2 1 设( h 33 ) 一( h a5 7 成立，则s b v p ( 32 1 ) 存在g 2 【o ，1 c o ，1 正解( ，口) 当且仅当( h 3 1 ) 成立 定理3 2 2 设( h 3 3 ) 一( h 3 5 ) 成立，则s b v p ( 32 1 ) 存在c a o ，1 jxc ， o ，1 t 正解口) 当且仅当( h 32 ) 成立 一 最后一章利用不动点指数理论，研究了p 1 a p l a c i a n 算子型奇异微分方程组边值 问题 f ( 仰( “，) ) 协) + 地( ) ，( t ，( t ) ，t ，( t ) ) = o ； j ( ( ，) ) 俅) + 舶( t ) 9 ( t ，u ( t ) ，口( t ) ) = o ；， 1u ( o ) 一n o ( u 7 ( o ) ) ：u ( 1 ) + b o ( u ，( 1 ) ) ：o ； ( 4 1 _ 1 ) 【w ( o ) 一b 1 ( ”，( 0 ) ) = u ( 1 ) + b 。( ”，( 1 ) ) ：0 正解的存在性，其中t ( o ，1 ) ，吻( z ) = 9 2 z ，( z ) = i x i 。一2 z ，p ，g l ，a o ，。，b g 【( o ，1 ) ，( o ，+ 。) 】，g e 【( o ，1 ) f o ，0 6 ) f 0 ，o 。) ，( o ，。) ，并给出了适当的 条件( h 4 1 ) 一( h 45 ) ，见文3 9 页其主要结论如下： 定理4 2 1 设( h 4 1 ) 一( i - 45 ) 成立，则对任意的r 0 ，存在j = j ( r ) 0 使得当 1 ( o ，a ( r ) ) 时：s b v p ( 4 11 ) 至少有两个正解( u l ， 1 ) 和( u 2 ， 2 7 且满足0 1 1 ( 。，吼) 1 1 0 ，。，6 g ( o ；1 ) ，( o ：十o 。) ，9 g ( o ，1 ) 0 ，o o ) 0 ，o o ) ，( o ，o 。) l a n dw eh a v ep r o d u c e dt h es u i t a b l ec o n d i t i o n s ( h ) 一( h 45 ) ，w h i c hc a nb es e e np a g e3 9i nt h ea r t i c l e t h em a i nr e s u l ti sg i v e n i nf o l l o w ： t h e o r e m4 2 1 s u p p o s e ( h 41 ) 一( h 4 5 ) h o l d t h e nf o ra n yr 0 ，t h e r ee x i s t sa2 x 0s u c ht h a ts b v p ( 4 1 1 ) h a sa t l e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s ( u 1 ，w 1 ) a n d ( u 2 ，u 2 ) s a t i s f y i n g0 | | ( 1 ，u 1 ) i r 0 ，i = 1 ，2 g c j p pxp ；p ，t u ( t ) = 0ss t 1 ) ，r + = 0 ，+ 。)记 a t 岛o ； 啦2o ： c t = 0 ， 我们在g 2 z e 】c 2 u 司上考虑b v p ( 1 2 1 ) 对v ( 。，y ) g z 捌c p , e 】， 令l l ( z ，y ) 1 1 。= m a x 删誓忆l y l i 。) ，l i x t l 。= 罂擎。( t ) ，则c z e xg f z e 为一b a n a c h 空间以下谈到问题b v p ( 1 21 ) 的解( u ，u ) ，是指( 让， j ) c 2 正e c 2 z e 】且满足 b v p ( 1 21 ) 若还有当t n1 1 时，扎( t ) 20 ，v ( t ) 0 且札( t ) 0 ，v ( t ) 0 ，则称( u ，u ) 为b v p ( 1 2 1 ) 的正解 为方便起见，先给出下列假设： 7 ( h 11 ) 对任意有界集d l ，d 2 ，d 3cc r me ，存在常数f ；三0 ，啦0 ，i = 1 ，2 ，3 ，使 得 口( ，( c ，dl ( t ) ，d 2 ( t ) ，d 3 ( t ) ) 曼e 1 ( d 1 ( t ) ) + c 2 口( d 2 ( t ) ) + f 3 ( d 3 ( t ) ) ， ( 9 ( t ，d 1 ( t ) ，d 2 ( t ) ，d 3 ( t ) ) ) 5 咒l 。( d 1 ( t ) ) + n 2 a ( d 2 ( t ) ) + n a c z ( d 3 ( t ) ) ： 11 其中m “1 + f 2 + 2 k o f 3 ) 去，叩2 l + n 2 + 2 k o n a ) 毋jm c i ，r 十】，n c i ，r + ，= t l ，t 2 ，0 l c 且c j o ，使得对 v t z 当u ，u ：叫p 且i l u i + i l ”i l 十i f w | j 7 1 时，有 i f ( t ，u ，v ，w ) l | 所以对v t 五u ：w p ，有l l f ( t ，u ，u ，”) l c ( 1 l u i l + f l ”| | + | ”fj ) + 蛆。 9 山东师范大学硕士学& 论文 因此 d 且一 山查堕蔓尘兰堕：! 兰笪笙苎一 一一一 设可数集kcf ，满足蟊c 可 ( 札，w ) u a ( k ) ) ，其中心，”) f 下证k 为相对紧 集设耳l d 1 , k 2cd 2 为在d 1 ，d 2 上的投影，则kc 耳l k 2 ：故由引理1 23 知( k ( s ) ) = 。( ( k - 尬) ( s ) ) ，s j 由( h t z ) ，( h ，。) 可得 q l ( k l 2 ) ) ( t ) = 0 1 g ，( ，s ) ，( s ，u ( s ) ，”( s ) ，t 珏( s ) ) d s ：u k ，”扔) 忡 ：1 ，( s ，u ( s ) ，。( s ) ：t u ( s ) ) d s ：u 甄；”k z ) 墨2 叩。( f 。：1 。( 甄( s ) ) 4 1 + l zz 1 “( 硷。) ) d s + 1 3 ：1q ( t ( 甄) ( s ) ) d s ) 墨2 以：0 4 k 删d s 十f 。上1d ( 尬。) ) d s + 2 l a k o ：1 ( ( s ) ) d s ) s 2 m ( ，+ 2 + 2 1 3 ) 上1 a ( ( 甄码) ( s ) ) d s 同理可得 乜( 4 。( k 。k ：) ( t ) ) s2 啦( n ，十n 2 + 2 n 3 ) z 1n ( ( k 1 娲) ( s ) ) d 3 由【3 3 知丽c 茄 ( u ， ) ( t ) u 4 ( 耳) ( t ) ) 因此 ( a ( k 1 k 2 ) ( t ) ) m a x 2 q l ( 2 l4 - 2 2 十2 1 3 k o ) 墨m a x 2 7 ) l ( f l + f 2 + 2 2 3 k o ) m a x 2 7 7 1 ( 1 l + f 2 + 2 a k o ) 2 卵2 ( n l + n 2 + 2 矗3 ) ) 0 。( ( a ，玛) ( s ) ) “8 r l 2 q 。( h i + n 2 + 2 n 3 k 。) ) 上1 “( k ( s ) ) d s 2 印：。+ 札。+ 2 n 。) ) 上1 ( a 【k ) ( s ) ) d s 2 q ：( 礼l + n 。+ 2 n 。) 上1a ( a ( ，x 弱) ( s ) ) d s 令m ( ) = a ( a ( k l 耳2 ) ( t ) ) ，则 m ( t ) m a 蕊 2 卵。( 2 ，+ 2 a + 2 f 3 ) ，2 卵2 ，+ 礼。+ 2 札3 ) ) z 1m ( t ) 出 所以 f 1m ( t ) d tsm a x ：2 卵l ( 2 l + f 2 + 2 2 3 盘。) ：2 叩2 ( n l + 礼2 + 2 n 3 南。) ) 0 m ( ) 出 j 0 。 山东师范大学硕士学位论文 由( h u ) 得j 0 0 t m ( t ) 出= 。易证4 ( 蜀，) 在j 上为有界等度连续函数族，故由b 理11 4 可得，对耽z 有m ( t ) = 0 从而 。c x c ( ) a c x c ( a ( 耳) ) so r c x c ( a ( 日尥) ) 2 絮a l x a ( a ( k 凰) ( t ) ) = 0 因此为g up 】xg zp 中的相对紧集 利用引理1 13 和引理12 1 即知结论成立证毕 1 2 山东师范火学硕十学位论文 1 3 应用 作为定理1 21 的应用，下面给出一个例子 倒考虑定理1 2 1 在无限维方程组的应用 设e = f = 茁= ( 。1 ，茁2 ，。，) ：s u p l z 。l + 。：z 。r ) ；对。e ，令 n 。| j = s u pj x n l l ，则( e ， l | ) 是实b a n a c h 空间在e 中考虑如下方程组： n 筹( 6 4 t 瓶 “。( 1 ) = 0 u ：( 1 ) = 0 ，礼= 1 ，2 将( 1 3 1 ) 看成s v p o2 1 ) 的形式，相当于 + 五2 2 v al 十口”2 n 札= ( u 1 ，) ，u = ( v 2 ，) ，u ( o ) = u ( 1 ) = ( 0 ，0 ，) ，u ( o ) = v4 ( 1 ) = ( 0 ，0 ，) f ( t ， ，w ) = ( 1 【t ，u ，u ，2 0 j ，2 ( t ，口，w j ，) ； g ( t ，u ，口，) = b l ( t ：u ，u ，训) ，9 2 ( t ，u ，u ，) ，) ； 厶( t ，u ，“，”) = 罢( 1 + t ) 哲瓦+ 豢舸觚i + 箬蕊河： “，啦罴而+ 警瓶+ 警渐； 。1 = 1 ，6 l = 0 ，c l = 1 ，d l = 0 ，d l = 1 ，叩1 = 五1 ； n ，：1 b ，= 0 ，c ) = 0 d = 1 ，如= 1 叼2 = 1 下证( h 1 ，) 一( h ，s ) 成立由 i i a ( 枷，删i 筹厕+ 警俪+ 学俪 怕小，刚，蚓| s 蔫汀而+ 筹俪+ 芸俪 、，b 66 知，对任意的有界集_ 日，ccf o o ：利用文 5 中例2 22 的方法可得 。( ，砖，b ，c | ，t b ) ) = 0 ，( 夕( t ，b ，g ，t c ) ) = 0 ， | | i i 卜卜 1 1 山东师范大学硕士学位论文 此时取2 。= 0 ，他= 0 ，。= 1 ，2 ，3 所以( h 11 ) 成立 易证( h l2 ) 成立此时取c = d = 0 取呦= 1 ，刁1 ) ，咖= 击，去，) ，邮) = 2 2 ( 1 刊，雌) ：6 4 t t 。：；，t 。= ；，= 肛“。】，则 f ( t ，札， ，叫) 三2 2 ( i + t ) u o ，夕( t ，札；掣，叫) 26 4 t 可o ，v o ，“u o ， 三 o ，叫2 口 ；( ，一；) 丘。z ( ，+ 句出，；( 一；) 2 s 。t d t l - 所以( h 13 ) 成立 综上说明( 1 1 1 1 ) 一( h ，3 ) 成立由定理1 2 1 知，问题( 131 ) 至少存在一个正解( ，u ) 满足u 。( t ) ：，”。( t ) 2 丽1 ：v t 夏1 ：夏3 ，其中u = ( 乱，乱：，) ，”= ( 钆) 山东师范大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 空间中类二阶非线性积分一微分方程组 两点边值问题多个正解的存在性 2 1 引言及预备知识 在第一章，我们利用m s n c h 不动点定理得到了b v p ( 1 2 1 ) 正解的存在性而本章 我们将利用不动点指数理论，继续讨论b a n a c h 空间中二阶非线性积分一微分方程组 两点边值问题f 121 ) 多个正解的存在性 下面列出第二节要使用的三个引理 引理2 1 1 5 】 ( a s c o l i a r z e l a 定理) 设hcg z 矧，则日相对紧当且仅当h 等度 连续，且对耽zh ( t ) 是e 的相对紧集 引理2 1 2 5 】h ( g 以e 有界且等度连续，9 1 , 0 ( 日) = q ( 日( j ) ) = 觋野。( 日( t ) ) ， 其中h ( f ，) = 。( ) ：z h ，tej ) ，h ( t ) = z ( t ) ：z 日) ，t ， 引理2 1 3 1 7 1 设x 是实b a n a c h 空间e 的非空凸闭集，x 1 是x 的一个有界凸闭 集，u 是x 的非空开集且ucx 1 ：又设a ：x ljx 为严格集压缩算子：a ( x 1 ) cx l 且a 在x ，u 没有不动点，则o f a ，u ，x ) = 1 2 2 正解的存在性 为方便起见，先给出下列假设： ( h 2 1 ) 对任意有界集b l ，b 2 ，b 3cf ，存在常数h ；三0 ，k20 ，i = 1 ：2 ，3 ，使得 血( ，( zb 1 ，b 2 ，b 3 ) ) h l a ( b 1 ) + h 2 a ( b 2 ) + h a c k ( b 3 ) ， ( g ( j ，b l ，b 2 ，b 3 ) ) 墨l l a ( b i ) 十z 2 a ( b 2 ) + 1 3 a ( b 3 ) ， 其中r h ( l + h 2 + 乜) 妄，q 2 ( f l + f 2 + f 3 ) 言； 【h z 。) 设当u ，”，”p ) 1 j + 1 1 + 1 1 w o _ o o 时，业皇生稀寄掣 葫掣_ 0 ，关于t ，一致成立； ( 酬设凯邺只i i u l 州悱嘁世褊糯剑劬 关于t j 一致成立； 1 5 山东师范大学硕士学位论文 ( h 24 )设尸为正规体锥，且存在咖0 ，u o 日：m c i ，r + ，n c i ，r 7 j ：= o i ，赴 ，o t 1 l ( f 1 2s )存在u o 0 ，w o 0 ，m c f ，r + 1 ，佗g v ，r + 1 ，= b l ，t 2 】：0 t l t 2 l ，满足 ，( t ，札， ，叫) r n ( t ) u o ，9 ( t ，札， ， u 3 ) n ( t ) 甜o ，v t ，让u o ，u 0 0 ， u j20 且 +， 厂d i l ( 0 1 t l + 6 1 ) ( c 1 ( 1 一屯) + d 1 ) m ( s ) d s21 ， j n 厂2 叵1 ( 0 2 如+ b 2 ) ( c 2 ( 1 一t 2 ) + d 2 ) n ( s ) d 8 1 d c l 有了以上准备，下面给出本章的主要结果 定理2 2 1 若( h 2 ，) 一( h “) 成立，则系统( 1 2 1 ) 至少存在两个正解( 1 , 1 ，吼) ， ( u 2 ，u 2 ) c 2 f z f c 2 z e ，满足当t ，时，u 1 ( 印“o ，v l ( t ) 7 j 0 - 定理2 2 2 若( h 21 ) 一( h 22 ) 及( h 25 ) 成立，则系统( 1 21 ) 至少存在一个正解 ( u ，u ) c 2 【z 目j g 2 ze j ，满足当t _ 时，0 ) u o ， ( 7 2 咖 为了证明该定理，我们先给出下面几个引理 引理2 2 1 设( h 2 1 ) 成立，则算子a ：g 限p e f z p 】- - + c _ z p e zp 】连续 有界 证明参见引理l22 的证明 引理2 2 2 设( h 2 。) 成立，则算子a ：g z p 】叫zp _ g z p c j ：p 】为严 格集压缩算子 证明 容易看出0 曼g 。( t ，s ) 墨酊1 ( 吼t + 玩) ( c ( 1 一t ) + 或) 哺，v t ，s zz = 1 ，2 t 对任意的有界集vcc _ z p 】xg 【zp ，由引理1 2 3 知存在b ：c cc 只p 1 ，满足 vcb c 且。( y 1 兰。( b g ) ，则 1 6 山东师范大学颐十学位论文 。f ( a l ( 。，) ( t ) ) 血( a l ( b g ) ( t ) ) = 。 ：1g t ( t ，s ) ，( 5 ，u ( s ) ，”( s ) ，t 扎( s ) ) d s ：“日：”g 卵1 d 1 ，( s ，u ( s ) ，u ( s ) ，t u ( s ) ) d s ：“b ；u c ) j o s卵1 a ，( s ，u ( s ) ，u ( s ) ，t 钆( s ) ) d s ：u 口， c ，s j ) 令d l = u ( s ) ：u b ，s t ，) ，d 2 = 刮( s ) ：甜c ，s ，) ，d 3 = t 可( s ) ：“ b ，8 ， 由( h ) 可得 ( a ，( b c ) o ) ) s 即。( 忽。( d 。) + h 2 a ( d 2 ) + 。( _ d s ) ) ( d 1 ) 2 d 。( b ) ，( d 2 ) 茎2 。c ( g ) ( 2 21 ) ( 2 2 2 ) 因为( t u ( s ) ) s 面 k ( s ，曹) ( g ) ：y 【o ，s ) ，所以d acs 丽 k ( 5 ，) ( ) ：可 0 ，s 1 ，s u b ，且 0 ：( d 3 )s s k ( s ，g ) u ( g ) ：y 【o ，5 ，5 j ，u b sk o n u ( y ) ：y 。工u b ) = 。( d 1 ) 2 o a 。( b ) 从而有 。( az ( b c ) ( t ) ) 2 卵lh l a 。( _ 日) 十 2 血。( c ) + k o h 3 a 。( b ) ) 2 叼1 ( 凡1 十h 2 + k o l a ) a 。c ( b a ) 故出引理2 1 2 得 ( a 1 ( b g ) ) 2 r 1 ( h 1 十h 2 + k o h a ) o e 。( b c ) s2 町l ( h 1 + h 2 + k o h a ) o i ! c 。( v ) 同理可证a 。( a 2 ( b g ) ) 2 t 2 ( f l + f 2 + f 3 ) 。( b c ) 由引理2 1 2 得 o c xc ( a ( _ b c ) ) 墨矗a x 2 m ( l + 2 + 3 ) ，2 r h ( + c 2 十七。如) ) ( i = c c ( 矿) ( 2 23 ) 1 7 山东师范大学硕士学位论文 故由引理222 ：( h 2 ，) 及( 2 23 ) 知算子a 为严格集压缩算子证毕 定理2 2 1 的证明 取o m a ：x 2 7 7 l 螈，2 0 2 尬。，2 1 1 u o l l ，2 1 1 0 1 1 令 u 1 = ( u ，u ) g m p c z p j ：| i ( u ，日) 。 r ) ， 则巩为g _ 【正p 3xv i a ，p 中的开集、由冠的选取可知，当( 强 ) 仃1 时， a 1 ( 札，u ) 忆 r ，f | a 2 ( u ，u ) l i 。- r ，故 j l a ( u ，”) 吐。= m a x l l a , ，w ) j 。，l | a 2 ( u ：v ) l l 。 r ， 因此 一 a ( u z ) c 叽( 2 2 4 ) 取o e 3 o ：使得对耽工当乱，u ，叫p 且 “l l + l ”l i + 叫l l r 3 时，有 i ，( z ，u ，v ，”) | | 旬( 1 l u l 十l l 口 l - t - 叫l i ) 取o 4 o ，使得对v 。z 当“， ，训p 且1 1 “i i + 1 1 u t l + i | | r 4 时，有、 1 1 9 ( t ，口：w ) t l ( i u | f + l i v l f + 1 1 1 t ) 1 8 山东师范大学硕士学位论文 取o r m i n 一1 ( i 0 ，v o ) i c c ；瓯7 3 ，2 k o ：其中为正规常数 = ( u ：。) g z 尸 e z p ：i l ( u ，u ) 忆。 r ) ， 显然巩为e 。工p 1 g p 中的开集当( u ，w ) 可z 时， l j a t ，w ) 肚= 哩j 乎1 i a - 似，d ) ( t ) | 茎m e 3 ( 2 + k o ) l i ( = ；”) 忆c ； i i a 。( u ，”) l l c2 罨箩l i a z ，w ) 0 ) j | 曼q z 缸( 2 + 。) l l ( u ，。u ) 忆c ， 所以l a ( u ，”) l 。 r ，从而 a f _ 2 ) c 令巩= ( ( u ，u ) g zp g mp ：i l ( “，u ) l | 。 兄，u ( t ) 1 _ 0 ， ( t ) 伽，v t ，) 由 6 】可知u 3 为非空的开集容易看出当( u ，u ) _ 3 时，有j 1 4 ( u ，w ) i l 。 r 由( h 2 t ) 可得 a ( 叩) ( t ) 2 0g i ( 。，s ) 邝，“( 3 ) ，”( 5 ) ，r “( 8 ) ) 如 “g ( ，s ) ，( s ，u ( s ) ，”( s ) ，t g l t u ( s ) ) d s ( ，s ) ，( s ，u ( s ) ，”( s ) ，u ( s ) ) d s 町1 ( 。血枷1 ) ( c l ( 1 一t 2 ) + d 1 ) z ，m ( s ) d s u 。t 7 a 2 ( u ，”) ( t ) 2 0g 2 ( t ，s ) 9 ( 刚( s ) ，”( s ) ，t ”( 8 ) ) 出 ，“g ，s ) g ( s ，u ( s ) ，”( s ) ，t g 2 ( t ”( s j ) d s ，s ) g ( s ，u ( s ) ， ( s ) ， ”( s ) ) d 3 ，1 2巧亍1 ( a a t l + 6 2 ) ( c 2 ( 1 一t 2 ) + d 2 ) n ( s ) d s 。1 2 0 ? 2 0 ，t ， j 1 所以4 ( u ，口) ( t ) ( u o ，咖) ，v t ，从而 a ( u 3 ) c 巩 ( 22 6 ) 又因为，巩是g zp c _ z p 】中的非空有界凸开集且4 ( 可；) c 阢，i 1 ，2 ，3 ，所以由引理2 1 3 知 i ( a ，巩，g z p 】c 【z p ) = l ，i = 1 ，2 、3 ( 227 ) 由r 及r 的取法知7 1 理+ jl ；) j i 39 4 ( 川胁 - 所以( h t ) 成立 综上说明( h 2 1 ) 一( h 24 ) 成立由定理2 2 1 知，问题( 2 31 ) 至少存套驴个正解1 ( w 1 ) ，( 扎t ， 2 ) 其中u l ( t 毗( t 让。= 如= ( 1 ，1 ，1 ) ，v t 五， 例2 考虑定理2 2 2 在无限维方程组的应用 设e = p = 扛= ( z 1 ，z 2 z m ) ：s u p l z 。i o ，u ”( t ) 曼o ：u ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 若( 扎，u ) 是s b v t ( 3 2 1 ) 的g 2 1 0 ，1 c o ，1 的正解，且l c y t ( o + ) ，“”) ，, d i ( o + ) 和, u t ( 1 一) 都存在，则称( u ，口) 为s t 3 v p ( 32 1 ) 的c 3 o ，1 c 1 ( o ，1 的正解 为方便起见，先给出下列假设： ( h 3 。) f ：9 c l ( o ：1 ) xh 。) 【o ，c 。) ， o ，o 。) 且满足 ，1一l nt ( 1 一