（基础数学专业论文）en中n维单形几类几何不等式研究.pdf

摘要 摘要 本文利用凸几何与距离几何的理论和解析的方法，研究n 维欧氏空间百”中n 维单形的几何不等式问题，建立了单形一些新的几何不等式，改进推广了已有的一 些结果全文共分四章： 第一章简明的介绍了凸体几何的研究现状和发展历史，与凸体几何相关的新的 学科并且介绍了单形的基本概念和一些重要的结论 第二章重点研究了与单形内点有关的几何不等式，对一类几何不等式进行了若 干形式的推广。同时又建立了两个新的几何不等式 第三章的主要内容是研究n e u b e r g p e d o e 不等式，对已建立的一种n 维n e u b e r g p e d o e 不等式作了改进，建立了两种形式的n e u b e r g p e d o e 不等式 第四章的内容主要涉及了内接单形的相关知识，在单形与其内接单形之间建立 了几个几何不等式，并且对n 维e u l e r 不等式作了的分割 关键词：单形，体积，几何不等式，内接单形，外接球半径，内切球半径 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h ep r o b l e m so fg e o m e t r i ci n e q u a l i t yf o ra nn - d i m e n s i o n a l s i m p l e xi n 驴 a r ed i s c u s s e db yu s i n g n v e xg e o m e t r yt h e o r y ，m e t h o do fd i s t a n c eg e o m e t r ya n da n a l y t i c m e t h o d s o m ef l e wg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa l ee s t a b l i s h e da n ds o m ee x t e n s i o n sa r eg i v e n a l t o g e t h e rt h ef u l lt e x td i v i d e sf o u rc h a p e r s i nt h ef i r s tc h a p e r ，t h em a i nc o n t e n ti st h ec o n c i s oi n t r o d u c t i o na b o u tc o n v e xg e o m e t r y r e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o na n dd e v e l o p m e n th i s t o r y ，s o m en e ws c i e n c e sr e l a t e dt oc o i l = v e xg e o m e t r ya r ei n t r o d u c e d s o m eb a s i cc o n c e p t sa n ds o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa b o u t s i m p l e x8 r ei n t r o d u c e da sw e l l i nt h es e c o n dc h a p t e rs o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sc o n c e r n i n ga ni n t e r i o rp o i n to fa s i m p l e xa l es t u d i e d ，s i m u l t a n e o u s l yt w os e wg e o m e t r i e si n e q u i t i e sa r ee s t 姚h e d i nt h et h i r dc h a p t e rt h em a i nc o n t e n ti sn e u b e r g p e d o ei n e q u a l i t y , o n ek i n do f n - d i m e n s i o n a ln e u b e r g p e d o ei n e q u a l i t yi si m p r o v e da n dt w on e wi n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e d i nt h ef o u r t hc h a p t e rt h ec o n t e n ti sm a i n l yi n v o l v e dg e o m e t r i ci n e q u i t i e sa b o u t i n s c r i b e ds i m p l e x 。a n di nt h i sc h a p t e rak i n do ff o r m sd i v i s i o 璐t ot h ee u l e ri n e q u a j i t y i sg i v e n k e yw o r d s ： s i m p l e x v o l u m e g e o m e t r i ci n e q u a l i t y i n s c r i b e ds i m p l e xc i r c u m - r a d i n si n r a d i a s m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：5 1 k 0 5 ；5 1 k 1 6 i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在搀师指挎1 ：进行的研究工作及取 譬的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已羟发表或撰霹过的研究成果，也不包含为获释掀交精其他教育机构 麓学位或谈书露使搏过懿嚣精。毒裁一圈王传鼗陵态砖奉研究瑟教魏任囊贾靛均 已农论文中律了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签辄7 尚、甚压签字日舭如7 年华月砌日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解受f 基泫雩 有关保留、使用学位论文的规定， 有权保整莠惫蓬家霉关部弱或橇耪送交论文瓣复停秘磁袭，竞谗1 文蔹套阕和 借阕。本人授权囊蜘以将学位论文的全都或部分内容缡入有关数据犀进行 检索，可以：采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适j 糟本授权书) 学镶论文髂孝挠修；季每鼢馘绷 签睾疆期：糊争车月如日签字日期：护，7 年中月知护日 学位论文作者毕业去向：夕芍盐 工作单位：电话：， 尹麦奠，口勿孝 通讯她址：姆鳊： f 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1单形研究的历史背景 几何不等式是一门魅力无穷的数学分支，它的产生与几何学本身都是同样的古 老例如e u e r 于1 7 6 5 年证明了三角形的外接圆半径r 与内切圆半径r 之间的著 名不等式 月2 r 但是在1 7 ，1 8 乃至1 9 世纪中，几何不等式的发展速度较慢到了2 0 世纪几何不等式 这门科学就有了快速的发展例如由b o t t e m a o 等著的g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s 。 以及m i t r i n o v i c d s 等著的tr e c e n ta d v a n c e si ng e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，特另q 是 在2 0 世纪5 0 年代b l u m e n t h a l l m 的专著t h e o r ya n da p p l i c a t i o no fd i s t a n c e g e o m e t r y 出版以后，几何不等式研究由2 维的欧氏空间转到n 维欧氏空间，这个 阶段几何不等式的发展有了质的飞跃 几何不等式在我国乃至世界飞速发展，原因在于它的应用越来越多，例如c e o 的 研究显示了它在化学中的作用，而且它在理论物理和概率论以及医学等方面都有广 泛的应用在平面几何中三角形占据着极为重要的地位，它是欧氏平面中基本图 形它具有很多优美的特殊性质，人们从中归结出一系列著名的定理，公式和不等 式，人们通过这些定理，公式，不等式来探求平面几何中的各类问题，将欧氏平面 中的三角形向高维欧氏空间推广，这就是高维单形，它是高维欧氏空间中的基本图 形，是研究的一种重要凸体 凸几何是现代新兴的一门学科，它是现代几何的个重要的分支，它把凸体作为 主要的研究对象它起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两 1 驴中n 维单形几类几何不等式研究 位杰出的奠基者2 0 世纪三十年代至五十年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r d v 做了很多的突破性的工作，极大的推动了凸几何的发展，随后凸几何经历了一段迅 速发展的时期，在解决了很多的经典的古老的问题的同时，又产生了很多新的富有 创新性的问题同时它又与其他的数学分支相结合。产生了新的数学分支与凸几 何密切联系的新的研究方向主要有以下几个方面t ( 1 ) b a n a c h 空间的局部理论它是凸几何与泛函分析相结合的最引人注目的 产物，它被认为是现代国际数学研究的主要方向之一此研究方向起源于2 0 世纪 a d o l f h u r w i t z 的工作，h u w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后面的论文中运用球面调和分析对3 维工件的凸体证明了类似 的不等式，随后，日m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 维常宽凸体的 有趣特征，由此开辟了运用分析和球面调和研究几何的方法j e a n b o u r g a i n 和 v i t a l i m i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸渐进理论的研究，在凸体逼近研 究中获得了大量有意义的结果f 1 】，【2 】特别是j e a n b o u r g a i n 运用几何分析的局部 研究理论彻底解决了凸几何的一些经典难题并因此获得了1 9 9 0 年的f i e l d s 奖 ( 2 ) b r u n n m i n k o w s k i 理论，它起源于1 8 8 7 年h e r m a n n b r u n n 的论文和 h e r m a n n m i n k o w s k i 开创性的工作实质部分，在此需要指出的是b r u n n m i n k o w s k i 理论中最核心的是b r u n n m i n k o w s k i 不等式 设a 和口是r n 的凸体，则 矿( ( 1 一x ) a + a b ) # ( 1 一a ) y ( a ) ：+ a y ( b ) i 由于它的基本几何内涵，它被认为是b r u n n m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类 涉及体积，表面积，宽度等度量关系难题的强有力的工具 ( 3 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 凸体几何与医学c t 及体现学、几何刺 探等的交叉学科，它研究如何从几何对象的低维信息( 如投影信息截面信息、x 射 线信息等) 重构该几何对象或者对该对象的性质作出判断在1 9 6 1 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上提出了如下问题；平面上的一个凸体最少能被几张射线图 片确定? 后来经过大批数学家的研究，才得出确切的结果【3 】 ( 4 ) 积分几何方法在凸几何与几何概率中的应用，积分几何起源与几何概率， 2 第一章预备知识 经过w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的不歇努力，在2 0 世纪3 0 年代积分 几何正式成为独立的数学分支积分几何的研究与几何概率紧密相连，从这个意义 上说积分几何的方法在凸几何与几何概率中的研究中有非常重要的作用 ( 5 ) 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究产生于距离几何中的构形问题 几何体的度量性质、嵌入问题及几何极值问题始终是凸几何研究一个非常重要的方 面我国著名数学家在2 0 世纪5 0 年代成功的解决了复合形在欧氏几何嵌入问题 著名数学家杨路和张景中在2 0 世纪8 0 年代在单形的诸多方面作出了奠基性的工 作，对凸体几何的理论基础进行了开创性的工作 在国内，自1 9 7 9 年中国科学技术大学常庚哲教授把n e u b e r g p e d o e 不等式首 先介绍到我国之后，促使几何不等式在我国蓬勃发展，经过我国学者几十年对单形 的详尽的研究，可以说成果斐然8 0 年代初，杨路和张景中将n e u b e r g p e d o e 不 等式推广到1 1 维空间，随后我国涌现出了一批知名学者，毛其吉，左铨如，冷岗松、 苏化明，杨世国、张晗方，尹景尧、周加农等对单形进行了大量的研究工作，取得 了令人注目的结果，丰富发展了高维凸体几何不等式理论 3 驴中n 维单形几类几何不等式研究 1 2单形的概述与重要结论 定义1 2 1 【4 l设尸1 ，尼，岛+ 1 是n 维欧氏空间五n 中无关的点( 即向量p = 忍一p l ，o = 2 ，3 ，仲+ 1 ) ) 是线性无关的，则点集 n t l n + l = x l x = a ，丸= 1 ，丸o 州n + 1 ) i = 2i = 2 称为以只，尼，r + 1 为顶点( 或以向量耽，鼢，鲰+ 1 为支撑棱) 的n 维单形， 记为咖+ 1 ) ，其中p ( n + 1 ) 表示集( p 1 ，马，r + 1 ) 本篇论文为了行文方便，统 一记n 维单形为p ( 计1 ) = 日，恳，昂+ 1 由定义可知，当某一个 为0 时， p ( 。+ 1 ) 就成为n 一1 维单形，它称为顶点只所对的侧( 界) 面连结两个顶点的 线段称为单形的棱，t l 维单形有仃+ 1 个顶点和n + 1 个侧面，有c 备1 = n m + 1 ) 条棱，所有棱长都相等的单形称为正则单形 在以马，局，r + 1 为顶点的n 维单形中。 ( j ) 从某个顶点出发的两条棱a ，乃( 2s isjs n + 1 ) 所构成的角为这两条棱 的内夹角 ( 2 ) 以只，恳，r + 1 中n 个点为顶点的n 一1 维单形称为n 维单形的侧面；并 且以p 1 ，b 一1 ，b + 1 ，r ( 1 s i t l + 1 ) 为顶点的单形称为b ( 1 i ，l + 1 ) 所对的侧面，记为 ( 1 i s ，l + 1 ) 两侧面 ，f j ( 1 i j s n + 1 ) 所成的角 为n 维单形的内二面角 定义1 2 2 f 4 】已知点c 和实数r 0 , e n 中的子集铲一1 = 贾| | 贾一d i = r ) 叫做 球心为g ，半径为r 的n 一1 维超球面n 维单形。+ 1 ) 的顶点均在某n 一1 维 超球面的超球面称为单形的外接超球面，其半径记为r ，在n 维单形的内部与单形 的所有侧面都相切的超球面称为单形的内切超球面其半径记为r ，它们之间具 有重要的不等式关系，即e u e r 不等式 定理1 2 3 【4 l 设以1 5 ，p 2 ，p 竹+ 1 为顶点的n 维单形p ( 。+ 1 ) 的体积为y ( e p ( 。+ 1 ) ) 由顶点集p l ，尼，晶+ 1 中任意取n 个不同的点只，只“只+ 1 ，晶+ 1 为顶点 4 第一章预备知识 的t l 一1 维单形的体积记为最，则 w 。蚤，、) = 扣。k p ( n + 1 ) 一 其中乜为顶点只到侧面( 即n 一1 维单形) 五= p 1 ，只一1 ，只+ 1 ，r + 1 ) ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) 的距离称为n 维单形的高 定义1 2 4 4 】 设驴中以p 1 ，岛，r + 1 为顶点的”维单形已( 。+ 1 ) ，点p 为 酽中的任意一点，记单形 p 1 ，最一1 ，p p 件l ，r + 1 ) 的n 维带号体积为k “= 1 ，2 ，n + 1 ) ，则n + 1 个单形的带号体积的比 v x ：k + l = p 1 ：坳：h + 1 称为点p 的重心坐标( 或者称为点p 的体积坐标) ，单形，( 。+ 1 ) 称为坐标单形令 = # ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，则称( a 1 ，屯，k + 1 ) 为点p 的规范重心坐标 2 - , 似 定义1 2 5 1 5 1设才，窃 ，菇霸依次是顶点p 1 ，昂，r + 1 所对应的n + 1 个 侧面上的单位法向量，任意取其中1 ( 1 z s n + 1 ) 个向量留，留，磊，则称角 为由顶点只。，毋2 ，只。所确定的i 级顶点角 其中d e t 如= l 面 匾a a 西1 2 = 匠匠匠眨瞄西 匾匾磊嚷匾暖 匠西匾j 矗瞄 定理1 2 6 【6 j 以p 1 ，岛，l n + 1 为顶点的n 维单形p 1 ) 的体积为y ( p ( 。+ 1 ) ) ， 由顶点集 p 1 ，b ，晶+ l 中任意取n 个不同的点为顶点的竹一1 维单形的体积记 为毋( 1 i s n + 1 ) ，记这n 个顶点所确定的缺第i 个顶点毋的n 级顶点角为 则 y ( ) = ：【一1 ”f 1 e 一1 r + 1 f n + l s i n o i 。1 ；占 5 驴中n 维单形几类几何不等式研究 定理1 2 7 m 设n 维单形p 加+ 1 ) 的任意维子单形只。只的女维体 积为k 。“，盹 0 ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，记 慨= 碱1 挑曙t 2 4 ( 1 k s 竹) l _ i z i 2 - 竺掣2 二， 等号成立当且仅当n 维单形p ( 。+ 1 ) 为正则单形 定理1 2 1 0 1 0 1 设点p 为驴中的n 维单形勖i + 1 ) 内部任意一点，啦为以 p 为顶点且对应于最的内顶角，又脾为正数0 = 1 ，2 ，n - i - 1 ) ，则有 其中等号成立的充分必要条件是下列各式均成立 卷l = 砾丽c o 。s o i 酊j 丽玎“，j ，七= 1 ，2 ，n + 1 ) ，i ，j ，女两两不等这里为 厶“ 向量寇与嘲之间的夹角 6 n 曲 州汹 一f 驴 一 ns 州n 鬻 州甜 第一章 预备知识 定理1 2 1 1 1 1 1 】五严中的n 维单形吕( 。+ 1 ) 的n 维体积为v ，其外接球半径为r 则成立下面的不等式关系 y 蛑舻 一 n ! n 蓄 等号成立当且仅当住维单形岛( 。+ 1 ) 为正则单形 7 j 中n 维单形几类几何不等式研究 第二章涉及单形内点的若干几何不等式 2 1关于单形内点的几何不等式研究情况 本章专门研究在个单形中与内点相关的不等式这个问题有它的低维背景。比 如在平面中点p 是a a b c 内部一点，若a p 引d ，c p 的延长线分别与边b c ，c a ，a b 交于点d ，e ，f 设a a b c 与a e f g 的面积分别为s 与，则有 ；s 当且仅当点p 为a a b c 的重心时等号成立 诸如诸多二维和三维的情况下结论，越来越多的考虑是能否将低维情形下的研 究结果推广到l r l , 维欧氏空间驴，很多专家在这方面进行了大量的研究 定理2 1 1 f 5 l 设点p 为n 维欧氏空间口中n 维单形p 加+ 1 ) 内部任意一点， 点p 到侧面 的距离为d f “= 1 ，2 ，n + 1 ) ，l 维单形e h 。+ 1 ) 的体积为v ， 则 y 刍前( n + 1 ) 半苜庐 ( 2 1 1 ) i = 1 等号成立当且仅当n 维单形k 肿1 ) 为正则单形 冷岗松教授得到了下面的结论： 定理2 1 2 1 1 2 1 设点p 为n 维欧氏空间驴中n 维单形勖。+ 1 ) 内部任意一点， 点p 到侧面 的距离为也( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，内切球半径为r ，外接球半径为 8 第二章涉及单形内点的若干几何不等式 冗，则成立如下的几何不等式 ( 2 1 2 ) 等号成立当且仅当单形n + 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 文献【1 3 对不等式( 2 1 1 ) 作了加强推广，得到下面更强的不等式 定理2 1 3 1 3 设点p 为n 维欧氏空间e ”中n 维单形。+ 1 ) 内部任意一点， 点p 到侧面 的距离为d i ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，则 y 竽n 驴+ 1 嘞。 偿， 等号成立当且仅当单形。+ 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 定理2 1 4 【1 4 1 设p ( 。+ 1 ) 是 维欧氏空问扩中的n 维单形，内切球半径为 r ，外接球半径为r ，点p 为单形“。+ 1 ) 内部任意一点，点p 到侧面 的距离为 d ( i = i ，2 ，n + 1 ) ，则 ( n 厶+ l 虿1 ，n 孙+ 1 ) n n 2 ( n + 1 ) 面；赢(21i=1 4 ) ( 厶磊，2 m + 1 ) _ = _ 鬲e i ( 2 4 ( j 铲一l o g l ) 忡+ l j 喜面瓦忑b 羽孙+ 1 ) n 2 ( n 2 - 1 ) 鬲丽r 2 ( n - 1 ) ( 2 ) 当单形p ( 。+ 1 ) 为正则单形且点p 为其内心时等号成立其中o ，g 分别为单形 的外心和重心 定理2 1 5 1 1 5 1 设p _ + 1 ) 是 维欧氏空间e n 中的n 维单形，点p 为单形 岛( 。+ 1 ) 内部任意一点，点p 到侧面 的距离为d “= 1 ，2 ，l + 1 ) ，顶点最所 对的侧面五的面积为晟a = l ，2 ，竹+ 1 ) ，单形岛( 。+ 1 ) 的第i 个旁切球半径为 n ( i = 1 ，2 ， + 1 ) ，任意一个实数口( 0 ，1 】，成立不等式 妻孝老案矗扣丙耐尝丽啪(2)i厶= 1 ( f 1 最一l 毋+ 1 r + 1 ) 2 9 1 。( 礼+ 1 ) 一1 ) ( 1 一口) n n ( 2 9 1 ) 、”7 喜r lr 立i - l r i + l 熹r n + l 鼎n n ( n 蔫 偿力 箸 一 + 1 ) 孚( 州) n ( n 一1 ) 、 掣j v南 南 州甜 驴中，l 维单形几类几何不等式研究 石( n + 1 ) 矿+ 1 南 ( 2 1 8 ) 等号成立当且仅当单形p ( 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 定理2 1 6 【1 6 1 设舀( 1 ) 是n 维欧氏空间王严中的n 维单形，点p 为单形 p ( 。+ 1 ) 内部任意一点，点p 到侧面五的距离为函a = l ，2 ，竹+ 1 ) ，由顶点集 p 1 ，b 一1 ，p , p i + l ，r + 1 所支撑的单形的n 维体积为ka = 1 ，2 ，n + 1 ) ，若 p ( 。+ 1 ) 的n 维体积为v ，则当卢0 时，有 ( 2 1 9 ) 等号成立当且仅当单形岛( 。+ 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 定理2 1 7 1 1 7 1 设点p 是驴中凡维单形p 加+ 1 ) 内部任意一点，扩中n 维单形 p ( 。+ 1 ) = p 1 ，马，r + 1 的侧面记为五( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，若点p 到顶点最的距 离p b 记为如，点p 到侧面，i 的距离为d ，侧面 的体积记为最( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 则 n + 1 n + l 最f 之n 最噍 ( 2 1 1 0 ) - = - 1i = 1 其中等号成立当且仅当点p 是单形，( 。+ 1 ) 的重心( 存在) 时成立 定理2 1 8 1 1 8 1 设点p 为n 维欧氏空间驴中n 维单形夤。+ 1 ) 内部任意一 点，点p 夫于坐标单形1 ) 的重心规范坐标为( a 1 ，a 2 ，k ) 则对任意一组正 数以( i = 1 ，2 ，l + 1 ) ，则有 + l k 与1 ( n 鬲+ l 捌“矿 ( 2 u 1 ) 等号成立当且仅当质点组只( m ) ；( i = 1 ，2 ，t l + 1 ) 的密集椭球为一球其中帆： 矗忑a = l ，2 ，n + 1 ) ，0 = 1 ，2 ，n + 1 ) 为单形p ( 。+ 1 ) 的第i 个侧面 上 的高 涉及单形内点的几何不等式，现在已经建立了很多重要的结果，此不赘述 1 0 | ： 一西 州：i ，一衫 州谢 孙上卅 一 k 一露州：i h 眈以 趣 叭：l 第二章涉及单形内点的若干几何不等式 2 2关于单形内点一些几何不等式的改进 在本节研究了关于单形内点的几何不等式问题，对定理2 1 4 中的两个几何不等 式进行加强推广，得到了更强的几个结果 定理2 2 1 设幺。+ 1 ) 是n 维欧氏空间驴中的n 维单形，点p 为h 。+ 1 ) 内 部任意一点，单形的外接球半径为r ，内切球半径为r ，点p 到单形侧面 的距离 为也a = 1 ，2 ，一，n + 1 ) ，则 ( n 些+ l 虿1 ) 南( 黑) 南州画去( 2 2 1 ) 等号成立当且仅当n 维单形岛( 。+ 1 ) 为正则单形，其中o 、g 分另是单形的外心 和重心 定理2 2 2 设& 。+ 1 ) 是n 维欧氏空间驴中的n 维单形，点p 为鼢。+ 1 ) 内 部任意一点。单形的外接球半径为r ，内切球半径为r ，点p 到侧面五的距离为 也0 = 1 ，2 ，n + 1 ) ，单形州。+ 1 ) 不过同一顶点的两条棱称为一对对棱，单形 。+ 1 ) 的各对对棱的算术平均值记为口，则 c 亘壶，肃卯蝉n - n 2 ( n + 1 面南c z 2 动 等号成立当且仅当n 维单形，似+ 1 ) 为正则单形，其中o ，g 分别是单形的外心 和重心 由于o s cp 1 ，并结合算术几何平均不等式可知不等式( 2 2 2 ) 对不等式( 2 1 4 ) 进行了改进 定理2 2 3 设p ( 1 ) 是n 维欧氏空间驴中的竹维单形，点p 为p ( 。+ 1 ) 内 部任意一点，单形的外接球半径为r ，内切球半径为r ，点p 到侧面，i 的距离为 1 1 j 严中n 维单形几类几何不等式研究 也( i = 1 ，2 ，礼+ 1 ) ，记f = m a x f o ，= m 如 晟) ，则 c 斡南孙+ 器脚”瓦备而仁。渤 等号成立当且仅当n 维单形“计1 ) 为正则单形，其中o ，g 分别是单形的外心 和重心 由于i + 币f - - 资2 i ，由算术几何平均不等式知不等式( 2 2 3 ) 对不等式( 2 1 4 ) 作了改进 定理2 2 4 条件同定理2 2 1 。则有 n 备+ l 再面1 再石( 尝) 南( 州面去醑仁2 4 ) 等号成立当且仅当n 维单形p ( 。+ 1 ) 为正则单形，其中o g 分别是单形的外心 和重心 定理2 2 5条件同定理2 2 2 ，则有 n 备+ l 矿面1 再面( 酬南( n + 1 ) n n + l 面条( 2 2 5 ) 等号成立当且仅当n 维单形蠢。+ 1 ) 为正则单形，其中o 、g 分别是单形的外心 和重心 定理2 2 6 条件同定理2 2 3 ，则有 薹而彘冲+ 器，南( n + 1 ) n n + l 赤仁z 脚 等号成立当且仅当付维单形k 。+ 1 ) 为正则单形，其中o 、g 分别是单形的外心 和重心 为了证明上述几个定理，先介绍下面几个引理 引理2 2 1 1 1 9 】 设p ( 1 ) 是住维欧氏空间驴中的n 维单形，点p 为已( 1 ) 内部任意一点，单形的外接球半径为r ，内切球半径为r ，点p 到侧面 的距离 1 2 第二幸 涉及单形内点的若干几何不等式 为画( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，则 y 磊r ) 南面1 n 詈m + 1 ) 孚n 些+ l 矿n 1 ( 2 2 7 ) 等号成立当且仅当，( 。+ 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 引理2 2 2 【2 0 】 设p ( 卧1 ) 是n 维欧氏空间酽中的t l 维单形，点p 为p m + 1 ) 内部任意一点，则 y 口) 渤刍硝( n + 1 ) 华n h + l 矿 ( 2 2 8 ) 等号成立当且仅当单形，_ + 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 引理2 2 3 p ( 1 ) 是，l 维欧氏空间驴中的，i 维单形，点p 为蠢。+ 1 ) 内部 任意一点，则 叫l + 器】扣( 州廖n 型+ l 矿 ( 2 2 9 ) 等号成立当且仅当单形p ( 。+ 1 ) 为正则单形且点p 为其内心 引理2 2 3 的证明：由于点p 在单形州。+ 1 ) 的内部，所以 d f 冠= n v 由算术几何平均不等式和上式，得 即 n + ld i _ 等d i 竺二雨广 2 1 ( n + 1 ) “+ 1i i 最 结合上式与( 2 1 】中的结果 萤驯+ 器，胖n 。兰2 ，簪y 奢 南 = 塑彬 州甜 击 一 堕 州：i 驴中n 维单形几类几何不等式研究 则可得不等式( 2 2 9 ) ，易证等号成立的条件是单形岛加+ 1 ) 为正则单形且点p 为其 r q , c , 引理2 2 4 l 设n 维单形p ( 。+ 1 ) 的诸棱长为助= 1 只弓i ( 1 i n + 1 一 n ! n n + l 晟 = 1 n + 1n + l n + 1 兀婶- 1 ( h 九乃) i = 1i = 1 j = l ! 量! n + 1 ( h 冠) “+ 1 ) “一1 ( h 凡) ”一1 ( h 九乃) 缸1 毒 扛1 扛1 荔 。芝晕n + lr ，警乒。州h 桫挲n + l n + l c 喜簪r 1 盟乒c 抄斋 ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 由重心坐标的性质知 丸= 老 ( 2 3 1 5 ) 由式( 2 3 1 4 ) 和式( 2 3 1 5 ) 得 c t 监# 黔薹志 协s 朋， ；荔 将式( 2 3 1 6 ) 进行化简，可得定理2 3 2 由证明过程可知，等号成立当且仅当p ( 1 ) 为正则单形且点p 为其重心 推论2 3 1条件同定理2 3 1 ，有 ( 2 3 1 7 ) 暑、 rb 州n 嚣 州：珏 盟：孚 ” + 州甜 哩 掣扣 州甜 第二章涉及单形内点的若干几何不等式 等号成立当且仅当p ( 。+ 1 ) 为正则单形，且点p 为其重心 证明；由式( 2 2 1 3 ) 和式( 2 3 4 ) 得 结合式( 2 3 8 ) 和式( 2 3 1 8 ) 可知推论2 3 1 成立 推论2 3 2 条件同定理2 3 1 ，有下面的不等式 ( 2 3 1 8 ) 。+ 。，( 2 。) 孚协+ 1 ) 掣育妒 蚤扩2 i 亨 。3 1 9 1 兰 j n + 1 。 等号成立当且仅当；( t 件1 ) 为正则单形，且点p 为其重心 证明：在定理1 2 8 中取z = ，l l ，七= 1 ，有 亘1 - i 砰s 两篙丽( 蟛i i 乃) 掣 砰s 而三而而( 乃) 掣 t = 1 。 、，+ 1 j n + 1 式( 2 3 2 ) 的右边运用算术几何不等式可得 ( n 苔+ l 忑1 广，2 塑学( 冀龛) 击备忑广1 2 墅半( 里翥) 赤 结合式( 2 3 2 0 ) 和式( 2 3 2 1 ) 可知推论2 3 2 成立 辈矿 陛昔旦 焉蒜苫 1 一 州斟 扩中竹维单形几类几何不等式研究 第三章关于n 维n e u b e r g p e d o e 不等式的加强 3 1引言与主要结果 二维n e u b e r g p e d o e 不等式是涉及平面上两个三角形的边长与面积的一个极 其重要的不等式，此不等式为； 设a a b c 和a 口7 的边长分别为a ，6 ，c 和一，6 ，c ，它们的面积分别为和 ，则 矿( 一d ，2 + 2 十j 2 ) + 铲( n ，2 一b ，2 + j 2 ) + 孑( n ，2 + 2 一j 2 ) 1 6 a x ( 3 1 ，1 ) 当且仅当a a b c 一b 7 时等号成立 这个问题首先是由德国数学家j n e u b e r g 于1 8 9 1 年提出的，到1 9 4 2 年美国著名 的几何学家d p e d o e 重新发现并证明了这个不等式，故该不等式也常简称为p e d o e 不等式 1 9 7 9 年中国科学技术大学常庚哲教授把n e u b e r 9 一p e d o e 首先介绍到我国，促使 几何不等式的研究工作在我国得到了蓬勃发展，杨路与张景中于1 9 8 1 年在【2 3 】中 首先将n e u b e r g p e d o e 不等式推广到高维空间，建立了t l 维的n e u b e r g p e d o e 不等式，随后苏化明教授建立了涉及两个n 维单形的体积与棱长的另一种形式的n 维n e u b e r g p e d o e 不等式 设n 维单形p ( 。+ 1 ) 的体积为v 。单形p ( 。+ 1 ) 的顶点只所对的n 一1 维侧面 ，t 的体积为最( i = 1 ，2 ，l + 1 ) ，诸棱长为以“= 1 ，2 ，扣+ 1 ) ) ，各对对棱 2 2 第三章 关于n 维n e u b e r g p e d o e 不等式的加强 所成角的算术平均值记为0 ，设a = m m ) ，a = 呼n 协) ，记如= f 1 + 黼】牛， 对俨中的另个竹维单形，( 。+ 1 ) ，它们有类似的记号，如，0 ，矗等，对任意3 个实数口，p ( 0 ，1 ) ，a f 2 ，n 】，记 定理3 1 1 【2 4 i 设岛( 。+ 1 ) 为伊中的n 维单形，有 s ，1 = 5 警1 1 苁5 善1 1 萨址吣+ 1 ) 协4 ) ( 而n 1 2 崩岬( 3 1 2 ) 蹬1 = 五2 ( 丹2 2 j 孝) n ( n + 1 ) ( n 2 + n 一4 ) ( = _ i ) ；( y y ) ： ( 3 2 ) l = 1 j = j 。一 5 薹正( 5 詈”丹刮习1 ”删2 叫、而n 1 2 。删： ( 3 1 3 ) 正( 丹一2 “) 2 石，q ，。1 - - 八n1 - ，。一- 八= j “) ( y 矿) ： ( 3 3 ) i , = - 1，= j 。一 当n 维单形。+ 1 ) 和p + 1 ) 7 都为正则单形时式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 3 ) 中的等号成 立 毛其青研究了类似的问题，得到了下面两种更一般形式的不等式 定理3 1 2 【2 5 】设砌与肋( 1 j n + 1 ) 分别是驴伽3 ) 中两个体维 单形岛( 。+ 1 ) 和p ( 。+ 1 ) 的棱长，v 与分别是它们的体积，则对满足2 卢馆 的实数p ，有 乃2 ( 以一卢砖) 2 n + 1 ) ( 舻+ n - 帮) ( 窘缶) ；( y y ) ；( 3 - 1 4 ) 萋。，屯( 薹，m 一翰) i l n m + 1 ) ( n 2 + n - - 帮) ( 熹) ( y n ( 3 1 5 ) 1 茎 j n + 11 l 2 2 a - 2 n + 1 ) ( 舻+ n 一4 ) ( 害苦) 簪( y 矿) 警 ( 3 1 6 ) 等号成立当且仅当n 维单形蠢。+ 1 ) 和乏；( 。+ 1 ) 都为正则单形 孙明保给出了式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 6 ) 的加强推广。得到了下面的结论 定理3 1 4 1 2 7 1 对驴中的两个仃维单形勖1 ) 与p ( 1 ) 。有 观，p n m + 1 ) ( 舻+ t l 一2 砷即( 熹) 掣( 伊v ) ；+ 日b 毗口o ( 3 1 7 ) 当n 维单形，( 。+ 1 ) 和。+ 1 ) 都为正则单形时等号成立关于磁，口的表达式可 参见文【2 7 】 杨世国教授给出了式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 6 ) 的另外两种加强推广 定理3 1 5 1 2 8 e ”中的两个n 维单形p ( 1 ) 和。+ 1 ) ，有 醴，p 【( c s c ) 。( c s c p ) 1 i 击严n m + 1 ) ( n 2 + ，l 一2 a ) 2 口+