（基础数学专业论文）hahnbanach定理的简单应用和f★空间若干问题的讨论.pdf

福建师范大学刘和英硕士学位论文 中文摘要 本文共分为三章； 第一章主要研究了向量格中的h a h u - b a n a c h 定理，考虑了值域空间是b a n a c h 格 空间的情况，给出它在l a f f r a n g e 乘子存在性方面的简单应用 - 在第二章中，本人主要探讨了f 空间的若干问题，包括齐性范空间中m a z u r - u l a m 定理的证明以及赋口一范空间凸性的讨论，并且进一步研究了肛凸函数，得 到一些重要的结果 第三章是前面两章的再综合，本人对所研究课题的思路方法以及取得的成果做 了归纳和总结最后指出一些尚未解决的问题 关键词：b a n a c h 空间向量格序完备l a g r a n g e 乘子p 一凸函数f - 空间齐性范空间绝对值 福建师范大学刘和英硕士学位论文 中文文摘 本文主要研究向量格中h a h u - b a n a c h 定理和p 一空间中若干问题的讨论，文 章的结构安排如下： 第一章首先给出了文中需要的一些基本结果和预备知识，包括大部分概念以及 重要引理的简单证明过程本章是在s s i m o n s 文【1 】的基础上，主要考虑了值域 空间是b a n a c h 格空间的情况，通过应用向量格中的h a h n - b a n a c h 定理，得到了线 性算子扩张的一般结果- 设e 是个非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格， 且s ：e f 是个次线性算子则存在e 上的线性算子t ，使得t s 我们利 用这个性质得到了以下重要的结论 定理1 3 1 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e _ f 是次线性算子令a 是e 中的非空凸子集，g ：a _ e 是仿射算子，则存在e 上 的线性算子l ，使得l s 并且若存在q = i a f a s o g 】f ，则i a f a l0 9 存在， 并且有 i n f lo 夕】= 蛳p o g 】 注：在定理1 3 1 的条件下，若i n 厶po 夕1 不存在：对v f ，了q a ，使 得s ( 夕( n ) ) a 又有l ( 夕( 口) ) s ( 9 ( 口) ) o e 因此l ( g ( 口) ) 无下界，显然i n f a l o g 】 不存在下面我们只考虑下确界存在的情况 定理1 3 2 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e f 是次线性算子令月是e 中的非空凸子集，夕：a e 是凸的，且k ：a f 是凸的则存在e 上的线性算子厶使得l s ，并且有 掣【l og + 刚= i n f sog + k 】 下面我们将文 2 】的推论1 3 和推论1 4 推广到向量格中考虑，应用向量格中 的h a h n - b a n a c h 定理，得到了下面的结论t 推论1 3 2 设e 是个非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e f 是个次线性算子若k ：a f 是凸的，且一k s 则存在线性算子l ，使 得一k l s 福建师范大学刘和英硕士学位论文 推论1 3 3 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e _ f 是次线性算子a 是e 中的非空凸子集，则存在e 上的线性算子l 使得l s 且i n f al = i n f as 接着进一步给出了它在l a g r a n g e 乘子存在性方面的简单应用，我们得出了如 下结论： 定理1 3 3 若t ：e _ f 是关于k 与夕的个l a g - r a n g e 乘子，则 i n f u i t ( g ( x u ) l + ( z ) 王a 有下界反之，若? 是个正算子，且满足【i n l l t ( g ( x ) 一u ) l + ( z ) ) e a 有下界，则存在个l a g r a n g e 乘子 推论1 3 4 若t ：e f 是关于与夕的个l a g r a n g e 乘子，则jp f ， 使得对vz g = 【z a ：k ( x ) p ) ，都有 0 p 一( z ) i n m t ( g ( x ) 一u ) i 在第二章中，我们也给出了文中需要的一些基本结果和预备知识，包括大部分 概念以及重要引理的简单证明过程本人主要探讨了，、空间的若干问题，包括齐 性范空间中m a z u r - u l a m 定理的证明以及赋p - 范空间凸性的讨论，并且进一步研 究了p 凸函数，得到一些重要的结果 下面首先给出了齐性范空间中的m a z u r - u l a m 定理，一方面它的证明是受到 王建教授文【6 7 】中对齐性范空间的特征研究的启发，另一方面它借鉴了、r o 蓟a 【1 8 ，t h e o r e m 3 1 】的证明思路 定理2 3 1 设( e ，d ) 与( f d ) 都是齐性范空间，t ：e 呻f 是满等距，若 存在亿n 一 l ，使得f ( n ) l ，则t 是仿射 显然，我们都知道范数的凸性保证了球的凸性，并且f + 空间中单位球凸性的 研究是非常复杂的问题，王建教授文【2 6 】的推论4 表明了p - 空间的单位球一般 都不是凸的，除非它们在赋范空间才成立，并且给出了两个弘空间中的例子因 此容易得出下面的推论 推论2 3 1 设e 是p 空间，若f - 范是凸的，则它的单位球b ( e ) 一定是 凸集 接着我们开始研究了伊凸函数的一些性质，得到如下结果z 定理2 3 2设目是实线性空间，耳是e 中的伊凸集，厂是k 上的伊凸 函数且f ( o ) = 0 若对任意的。，y k ，a ，p 【0 ，1 】，使得舻+ 旷s1 ，则有 ，( 入z + 弘f ) 入，( 。) + 芦，( 可) i i 福建师范大学刘和英硕士学位论文 推论2 3 2 设e 是实线性空间，是e 上的非负函数，若对任意的z ，y e ，va ，p ( 0 ，；) ，使得a 口+ p 卢1 ，都有，( a 。+ p ) sa ，( z ) + p ，( g ) 则f ( 0 ) = 0 定理3 2 3设e 是实线性空间，k 是e 中的有限子集若m 是e 中的伊 凸集，满足m = c o n v f k ，且，是e 上的伊凸函数，则有s u p f ( m ) = m a x f ( k ) 定理3 2 4设e 是实线性空间，是e 上的伊凸函数，令u 1 ，忱， 【0 ，1 j ，z l ，z 2 ，z t l e 贝有 ，嘉善岫) i = 1 ( 等w ? ) 这里= ：1 钟，其中0 。阶+ 抽( 口) ) + 舻m ) 一妒0 4 则t ：e r 是伊次线性的，t s ，且对v 口a 有- t ( - g ( a ) ) + ，( 口) 口。 第三章是前面两章的再综合，对所研究课题的思路方法以及取得的成果做了归 纳和总结最后指出一些尚未解决的同题 口 i i i 福建师范大学刘和英硕士学位论文 a b s t r a c t t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h ep a p e r c h a p t e ro n ew em a i u l y 。s t u d yt h eh a h n b a u s c ht h e o r e mo ft h ev e c t e rl a t t i c s ， a n dw ec o n s i d e rt h er a n g es p a c ew h i c hi st h eb a n a c h - l a t t i c ss p a c e i nt h ec a s eo f c o n d i t i o n ，w eo b t a i nas i m p l ea p p h c a t i o ni nl a g r a n g em u l t i p h e r s i nc h a p t e rt w o ，w em a j u l yi n v e s t i g s t es o m ep r o b l e m si nf * - s p a c e ，i n c l u d i n gt h e p r o o fo ft h em a z u r - u l a mt h e o r e mi nh o m o g e n e o u s - n o r m e ds p a c e s ，a n dt h es t u d y o ft h ec o n v e xi n ，- n o r m e ds p a c e s m o r o v e r ，w ed i s c u s st h ep - c o n v e x ，a n dg e tl o t s o fi m p o r t a n t er e s u l t sa b o u tt h ep - c o n v e xf u n c t i o n s c h a p t e rt h r e ei sas e c o n di n d u c t i o no ft h ep r e v i o u st w oc h a p t e r s ，w eh a v es o m e c o n c l u s i o n sa n ds 姗a r y sa b o u tt h er e s e a r c hm e t h o d sa n dt h er e s u l t s f i n a l l y , w e p o i n to u ts o m ep r o b l e m sw h i c ha r en o tr e s o l v e d k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e ；v e c t o rl a t t i c s ；o r d e rc o m p l e t e ；l a g r a u g em u l t i p l i e r 8 - c o n v e xf u n c t i o n s ；p - s p a c e ；h o m o g e n e o u s - n o r m e ds p a c e s ；a b s o l u t ev a l u e i i 福建师范大学刘和英硕士学位论文 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人刘和英 学号： 2 0 0 6 0 6 5 5 专业：基础数学泛函分析 所呈交的论文 ( 论文题目th a h n - b a n a c h 定理的简单应用和乒空间若干问题的讨论) 是我 个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果对本 论文的研究工作做出贡献的个人或集体均在论文中作了明确的说明并表示谢意，由 此产生的切法律结果均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 福建师范大 学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅和借阅；本人授权福 建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文，并按国家有关规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、 中国科学技术信息研究所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名撇 签名日期掣 指导教师签名速 3 9 卅、占y p 福建师范大学刘和英硕士学位论文 绪论 等距与线性问题的探讨始于上个世纪，迄今为止，许多国内外数学家投身于这 个问题不同方面的研究，并取得了很多有价值的成果 1 9 3 2 年，s m a z u r 和s u l a m 在文【2 1 】中得出了著名的m a l z u r - u l a m 定理： 设e ，f 是实赋范线睦空间，：e _ f 是满等距，则，是仿射若满足f ( o ) = 0 ， 则称，是线性的他们研究的目的是回答下列问题： 设e ，f 是实赋范线性空间，：e _ f 是等距，则，一定是仿射吗? 1 9 5 3 年，c h a r z y n s k i 在文【3 5 】中证明了有限维n 空间的满等距是线性的 1 9 6 8 年，t f i g i e l 在文 3 4 】中将满射的条件减弱，仅考虑单射的情况，得到了以下 结果z 设e ，f 是b a n a c h 空间，若，：e f 是等距嵌入，并且满足f ( 0 ) = 0 ，则存在 个连续线性映射f ：暑歹瓦可( e ) _ e 使得f o 是恒等映射且i ifl 删 ，( 层) 川= 1 2 0 0 2 年，t f i g i e l 与p e t e rs 芑m e l 和j u s s i y 钡s 苞醴 4 0 l 中同样将满射这个条件被 个更弱的条件代替，利用f 中的每个单位元都可以被等距，值域的两个点之间的 值逼近，并且他们还给出近似值的个精确的范围，即要满足；0y - s ( f ( a ) - f ( b ) ) i f 0 ，使得o t f ( r ) = i n f e r2 1 幽，i f l ：1 只0 1 ，令t ：e _ f 是一个保持距离相等的映射当且仅当存在函 数多：r 手一时，使得 i it ( x ) 一t ( y ) l l = 妒0z 一夥 i ，v 互，y e 且满足，2 t z 一2 t ( e ) ，vo ，y e 则t 是仿射 1 9 9 3 年，b e n z 在文【3 0 】中得到著名的w a l t e r - b e n z 定理，设e ，f 是实赋范 线性空间，d i m e 2 且f 是严格凸的若存在p r 且p 0 ，n n 且死 1 ( 其中p ，礼是固定的) ，存在映射，满足下列条件 ( n 1 ) 对任意的口e ，且0ai l 1 ，存在b e ，使得i ir t b0 = l = i i 口+ b0 ( 死2 ) j jz yi l = p = 争j i ，( z ) 一( y ) j | p ( 他3 ) l lz yl l = n p = 争i i ，( z ) 一l ( y ) i i n p 则是仿射 2 0 0 1 年，王建教授【2 6 】中探讨了p 空间的m a z u r - u l a m 定 理，通过进一步减弱局部有界这个条件，得出了下面重要的定理t 定理3 设e ，f 是实p - 空间，且刀是局部拟凸或萨中点有界的若算 子，：e _ f 是争局部刍- 满等距，其中对vi o un 则，是仿射。 2 0 0 7 年，h a h n g - y u nc h u 文【5 】研究了2 赋范线性空间的压等距问题，并 且证明了当e ，f 是2 赋范线性空间时，m a z u r - u l a m 定理仍然成立接着2 0 0 8 年，p e t e rs f f m e l 【3 8 】证明了对任意的两个实赋范线性空间，只要等距，：e _ f 是 可加的，即对于任意的z ，y e ，都有f ( t + s ) = l ( t ) + ，( s ) 那么，是线性的目 前m a z u r - u l a m 定理对于所有的距离线性空阄是否成立仍然是个公开的同题，本 文主要考虑齐性范空间的m a z u r u l a m 定理，借助于v o g t a 1 8 】中的思路和王建 教授文【6 7 】中对齐性范空间的特征研究的启发，得到了下面的主要结果： 定理2 3 1 设( e ，d ) 与( f ，d ) 都是齐性范空同，t ：e 啼f 是满等距，若 存在n n 一【1 ，使得，( n ) 1 ，则t 是仿射 显然，我们都知道范数的凸性保证了球的凸性，并且f - 空间中单位球凸性的 研究是非常复杂的问题，王建教授文 2 6 】的推论4 表明了p 空间的单位球一般 都不是凸的，除非它们在赋范空间才成立，并且给出了两个只空间中的例子因 此容易得出下面的推论 2 福建师范大学刘和英硕士学位论文 推论2 3 1设e 是f + 空间，若f 范是凸的，则它的单位球b ( e ) 一定是 凸集 接着我们构造出了一般赋伊范空间中两个例子，说明上面的结论反之未必成 立 例1 设e = ( r ，l l - l l 口) 对vz r ，其中0 p 1 定义范数0o 胪= lzi 显然e 是赋伊范空间，并且它的单位球b ( e ) 是凸 集，易证伊范f | 胪不是凸的 例2 设e = ( r 2 ，0 胪) 对v 。= ( 。1 ，z 2 ) r 2 ，其中0 p 1 定义范数i iz 胪= i f ( z 。，勋) 胪= ( 正丽) 卢显然e 是赋伊范空间，并且 它的单位球b ( e ) 是凸集，易证争范”妒不是凸的。 众所周知，h a h n 。b a n a c h 定理奠定了整个泛函分析的基础，它与逆算子定理和 共鸣定理并称为泛函分析中的三大定理，在理论上和应用上都是十分重要的。它提供 了某些学科或学科分支的理论基础，特别是处理某些逼近问题的经典方法的基础 e s c h m i d t 在1 9 0 8 年考察h i l b e r t 空间z 2 中无穷维线性方程组( z ) = 岛，死= 1 ，2 ，其中这里的 q 。】器l 是f 2 中任意的一串线性无关的向量，而 c 7 1 ) 甚1 则 是一串复数后来f ，k i e s z 研究扩( ，) 上无穷维线性方程组： z m ) 稚) 如= 勺 其中1 ：a 七口知0 vm 0 ，n z + 七= 1k - - i 则得到上述无穷维线性方程组( z ) = c r i ，n = 1 ，2 ，有唯解从而产可以扩 张成整个驴( f ) 上的有界线性泛函此时e i e l l y 还是就一般赋范的序列空间考 虑，而不只是对特殊的扩，2 ，或者c 【口，6 j 来研究的直到1 9 2 7 年，h a h n 使用超 穷归纳法解决了一般b a n a c h 空间上有界线性泛函的扩张问题，并得到了许多重要 的推论。这些结果对整个泛函分析的发展起到极其重要的作用2 0 0 1 年，杨长森 与左红亮【6 2 利用h a h n b a 丑a c h 定理得到了凸性摸定义中若干等式的证明。并且 指出了对维数不小于2 的实赋范线性空间e ，有下面类似的等式成立t 3 福建师范大学刘和英硕士学位论文 蹬( ) = 蹬1 ( e ) = 蹬2 ( ) 其中 声寄( ) = i n f 1 - i iq 石+ ( 1 一n ) 0 ：z ，y e ，0zl i = 1 iy0 = l ，0z 一可0 = e ) 蹬1 传) = 缸( 1 一ua z + ( 1 一q ) 鲈 l ：z ，y e ，i | zf i = 1 fy0 = l ，f i 。一分f f g ) 蹬芦( ) = i n f 1 - i iq z + ( 1 - a ) y0 ：z ，y e ，0z0 1 ，0y0 1 ，0z yi l e ) 且0 2 ，0 q 1 与此同时，m i o s t r o v s k i i 文 6 8 】给出了h a h n - b a n a c h 算子的定义和算子扩 张的h a h n b a n a c h 定理并由此得到了有限维赋范线性空间中h a h n - b a n a c h 算子若 干重要的几何性质2 0 0 3 年，s s i m o n s 文1 2 】中介绍了h a h n - b a n a c h 定理的一种 新版本：设e 是非平凡的线性空间，s ：e _ r 是次线性的，则存在e 上的线性泛 函厶使得l s 显然这个结论可以看作是经典h a h n - b a n a c h 定理的个推论 利用这一结论进一步给出了它在线性或者非线性分析，凸分析以及单调多值函数等 方面的若干应用 2 0 0 5 年，s s i m o n s 1 继续研究h a h n - b a n a c h 定理，取得了一 系列有意义的研究成果，被称为h a h n - b a n a c h - l a g r a n g e 定理同时也给出了它在 泛函分析，凸分析和单调算子理论等方面的若干结果同年，j m f c a s t i l l o 【7 0 】 探讨了b a n a c h 一空间中二线性泛函的扩张问题，被称为非线性的h a h n - b a n a c h 定 理本文主要应用向量格中的h a h n - b a n a c h 定理，在s s i m o n s 文【1 】的基础上， 主要考虑了值域空间是b a n a c h 格空间的情况，得到了线性算子扩张的一般结果 设e 是个非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格，且s ：e f 是个次线 性算子则存在e 上的线性算子t ，使得t s 。我们利用这个性质得到了以下结 论： 定理1 3 1 设e 是非平凡的向量空间。f 是序完备的向量格且s ：e f 是次线i 生算子令a 是e 中的非空凸子集，g ：a _ e 是仿射算子，则存在e 上 的线性算子厶使得l s 并且若存在口= i n f a i so 引f ，则m f a l og 】存在， 并且有 i n f lo 口1 = i n f 旧o 口1 注；在定理1 3 1 的条件下，若i n f a so9 1 不存在，对vq f ，刍n a ，使 得s ( 夕( 口) ) 口又有l ( 夕( 口) ) s ( 夕( 口) ) 蚝a 有下界反之，若? 是个正算子，且满足 i n f 。l 丁( 9 ( z ) 一u ) i + k ( z ) ) 有下界，则存在个l a g r a n g e 乘子 推论1 3 4 若t ：e f 是关于k 与夕的个l a g r a n g e 乘子，则刍p f ， 使得对vz g = z a ：x ( 。) 卢) ，都有 0 p 一( o ) si n l t ( 9 ( z ) 一u ) i 另一方面，我们知道经典的h a h n - b a n a c h 定理中的控制函数推广为凸函数时结 论仍然成立，具体证明可以参照定光桂教授文 6 9 】，因此各种凸性的研究引起了广 大学者的注意，并取得的很多有意义的成果1 9 7 8 年，w w b r e c k o n e r 4 9 】中给出 了5 1 - 凸函数的概念：设s 是个实数且s ( 0 ，1 】，非负函数，：【0 ，o o ) _ 【0 ，o o ) 称 为g 凸的如果对任意的为y 【0 ，o o ) ，口【0 ，1 】，都有 ，( 口z + ( 1 一a ) y ) sq 。i ( x ) + ( 1 一口) 。，( y ) h h u d z i k 和l m a l i g r a u d a 【5 2 】中得出了g 凸函数的若干重要性质显然，当s = 1 时，s - 凸函数就是我们通常的凸函数 1 9 8 5 年，g o d u n o v a 和l e v i n 【5 1 】首先 给出了g o d u n o v a - l e v i n 函数的定义：如果函数，：，_ r 是非负的。并且对任意 5 福建师范大学刘和英硕士学位论文 的z ，芗f ，q ( 0 ，1 ) ，都有 m 州1 刊邮掣+ 拦 这里的，表示r 上的任意区间g o d u n o v a - l e v i a 函数的重要性质和结果可以参考 文献 5 0 】 5 5 1 【5 8 ，我们容易知道非负单调函数和非负凸函数都是它的一种特殊情 况1 9 9 5 年，s s d r a g o m i r 【5 0 定燃讨了尸函数。如果函数，：，_ r 是 非负的，并且对任意的z ，y j ，0 f 【0 ，l 】，都有 ，( 口z + ( 1 一q ) 可) ，( z ) + ，白) 关于p 函数的一些结论可以参考c e m p e a r c e 【5 6 】和k l t s e n g 【5 7 通过对以 上g 凸函数，g o d u n o v a - l e v i n 函数，p - 函数等这些函数的研究，2 0 0 7 年，s a n j a o 否a n e c 5 9 】发现它们不等式的右边都可以表示成h ( a ) f ( x ) + h ( 1 一a ) f ( y ) 的形 式，因此他得到了一种统一的新函数类，称为k 凸函数：如果函数j f ：，_ r 是非 负的，并且对任意的z ，i ，口( 0 ，1 ) ，都有 ，( 们+ ( 1 一口) y ) 5h ( a ) f ( x ) + h ( 1 一口) ，( 3 ，) 其中这里的h 也是个非负函数显然，肛凸函数是以上函数的个推广从而 探讨了肛凸函数的许多重要性质，并且进一步给出了缸凸函数的s c h u r - 型不等 式和j e n s e n - 型不等式受到【5 9 1 的启发，我们主要研究了般实线性空间中伊凸 集，以及在它上面定义的伊凸函数，显然从定义可以看出伊凸函数是与缸凸函 数不同的一种凸函数，但是我们可以将缸凸函数的一些性质推广到芦凸函数，得 到本文的一些主要结果 定理2 3 2设e 是实线性空间，k 是e 中的伊凸集，是k 上的伊凸 函数且f ( o ) = 0 若对任意的z ，可k ，入，弘【0 ，1 】，使得妒+ 矿l ，则有 ，( a z + 删) a f ( x ) + 弘，白) 推论2 3 2 设e 是实线性空间，厂是e 上的非负函数，若对任意的z ，掣 e ，va ，灿( 0 ， ) ，使得妒+ l ，都有，( 妇+ 埘) 入，( z ) + p ，( 掣) 则f ( o ) - 0 定理2 3 3设e 是实线性空间，k 是e 中的有限子集若m 是e 中的伊 凸集，满足m = c a n v 卢k ，且，是e 上的伊凸函数，则有s u p f ( m ) = m a x f ( k ) 6 一 一。堡塞堡董盔兰型塑叁堡主兰垒丝圣一一一。 定理2 3 4设e 是实线性空间，是e 上的伊凸函数，令0 ) 1 ，忱， 【0 ，1 】，x l ，z 2 ，z n e 贝有 八去善w i x i ) 若c 嚣。钉 这里= 銎1 钟，其中0 0 且让l + 坳= 1 号g ( u l x l + u a x 2 ) 。u l g ( x 1 ) + 坳g ( x 2 ) 即对vz e ，都有 s ( z + g ( u i x l + u 2 x 2 ) ) s ( 。+ u l g ( x 1 ) + u 2 9 ( x 2 ) ) 我们称夕是s 一凸的特别地，显然仿射算子一定是s 凸的，反之不成立 8 第1 章h a h n - b a n a c h 定理与l a g r a n g e 乘子 l - - _ 盈_ l - 目_ _ i = = 鼍_ 喀d w - - - = = 盲_ 皇i 曙e 墨_ _ - _ - _ _ - 一 定义i 1 4 【国设e ，f 是向量空间，若r ：e f 满足t 耳cf + ，则称t 是一个正算子记作t l + ( e ，f ) 定义1 1 5 t ：e _ 尹是关于与g 的一个l a g r a n g e 乘子的充要条件 是t l + ( e ，f ) 且满足 t ( 夕( z ) ) + k ( 茁) 霉e a 有下界 口 1 2 一些引理及其证明 引理1 1 2 1 3 tt h e o r e m s - 3 l 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格 且s ：e f 是次线性算子则对任意的线性算子t o ：e o f 满足z o s x o ， 对vx o 岛且马ce ，则存在蜀的扩张t ：e 叶f ，使得，( z ) ss ( z ) 对vz e 引理1 2 2 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e _ f 是次线性算子令以是e 中的非空凸子集，g ：a 叶e 是仿射算予，且存在口= i n f a s o g l f 对vz e ，令t ( x ) = i n f 。e a ， o 【s ( z + a 夕( 口) ) 一a q 】更l it ：e + f 是一个次线性算子，使得t s 且对v 口a 有- t ( - g ( a ) ) q 证明：显然? 满足正齐性，下面只需证t 是次可加的令z l ，z 2 e ，8 1 ，a 2 a 且a 1 a 2 0 记o = x l + 3 7 2 ，a = a l + a 2 ，= 警且口= t 1 ( 2 1 + u 2 a 2 由定义1 1 2 和定义l ，1 3 ，可得 【s ( x l4 - a l g ( a 1 ) ) 一a 1 0 j + f 8 ( z z + 入2 夕( 口2 ) ) 一入2 口】 2s ( x l + 久l g ( a 1 ) + 霉2 + 砖夕( 口2 ) ) 一( 1 i a + 入2 q ) = s ( z + a l g ( a 1 ) + a 2 夕( 口2 ) ) 一a a = a s ( + u i g ( a i ) + 也9 ( n 2 ) ) 一a 口 = s ( x + 幻( a ) ) 一a q t ( x ) = t ( x l + z 2 ) 对口1 ，a 2 a 且爻l ，a 2 0 我们将上式两边同时取下确界，可得 t ( x 1 ) + t ( x 2 ) t ( x l + 。2 ) 因此t 是次可加的，从而t ：e f 是个次线性算子 固定a a ，对vz e ，入 0 ，由于 ? ( z ) s ( z ) + a 【s ( 夕( 口) ) 一a 】 9 福建师范大学刘和英硕士学位论文 我们令a _ 0 则有? ( o ) s ( o ) ，即t svz e 若对va a ，取a = 1 ，z = 一( 夕( 口) ) 因此有t ( 一夕( 口) ) 一口，从而 有一t ( - g ( a ) ) q 下面仍采用文【1 】中的一些记号和定义，并给出我们的结论所需要的重要引理 及其简要的证明过程设( e ，0 i i ) 是非平凡的赋范空间，c 是线性空间中的一 个非空的凸子集，k ：c r 是凸函数。定义映射歹：c e 并且在e 上定义 了个序”5 ”，令= 掣e ：可三o 若j 关于序”! 是凸的，则等价于对 z 1 ，x 2 c ，p l ：p 2 o ，且p 1 + p 2 = l ，都有j ( m x l + p , 2 x 2 ) 5 肛d ( x 1 ) + ，正2 j ( z 2 ) 并且有 i n ，f 。k = i n f k ( x ) ：。qj i ( z ) 5o ) = p r j 如果汐驴满足下面的条件t ( 1 ) s u p j 矛0 ( 2 ) i 1 1 f 霉c f ( z ) ，j 矿) + k ( z ) ) = p 则称汐是一个l a g r a n g e 乘子显然0 就是个l a g r a n g e 乘子，为了避免讨论这 种情况，下面引理中将假设i n 乞e ck 肛，令a = 【z c ：k ( 。) p ) 引理1 2 3 1 1 ，胁帆1 0 1 jl a g r a n g e 乘子存在的充要条件是存在m 0 ，使 得i n f = e 。 m d i s t ( j ( x ) ，n ) + ( z ) 】p 证明： 兮”若名+ 是个l a g r a n g e 乘子，令z a ，v 仳n ，则有 i lj ( z ) - u j 矿0 之u ( z ) ，矿) 一( u ，矿) u ( 2 ) ，矿) 弘一k ( z ) 对v 让n 将上式两边同时取下确界，可得 d i s t ( j ( x ) ，n ) i i 矿i f + k ( z ) 卢 由于k 弘d a ，则对vz c ，取m = i l 矿，因此可得 i n f m d i s t ( j ( x ) ，n ) - t - k ( z ) 】p z e c 。 ”若存在m 0 ，使得i n f z 。 m d i s t ( j ( x ) ，n ) + k ( z ) 】p 我们不妨令； s ：e 呻【0 ，o o ) ，定义s ( 掣) = m d i s t g ( x ) ，) ，vy e 容易验证s 是次线性 的，因此有 f lsl | m ，y n 今s ( y ) = 0 1 0 第l 章h a h n - b a n a c h 定理与l a g r a n g e 乘子 从而根据定义，可得i n f 正。【s j ( 互) + ( ) 】2p 而且有 暑，1 冬陇寺兮y l 一沈n 净s ( 仇一v 2 ) = 0 兮y l 。y 2 因此，j 是g 凸的，并且存在e 上的线性泛函l ，使得s ，并且有i n f 王。陋 j i ( z ) + 七( 正) 】p 综上我们得到：l 矽，i i j i m ，且有s u p l 0 从而有 z j - 1 ( ) 辛j ( z ) n 兮l 歹( z ) 0 因此由定义可得 # - - i n f k 蒜阿荆+ 】驯l 州+ 荆】 因此可得 i n f s 歹( z ) + 七( z ) 】= p 由定义易知l 是个l a g r a n g e 乘子 引理1 2 4 p ，地啊m 9 3 】假设b d ，则存在一个l a g r a n g e 乘子矿，使得 5 魅盛济南 1 3 主要结果 下面我们利用以上引理给出向量格中h a m - b a n a d l 定理的推广以及它在l 小 g r a n g e 乘子方面的简单应用 首先，由引理1 2 1 【3 ，2 晰哪5 3 l 向量格中的h a h n - b s n a e h 定理，可以直接得到 以下重要结果，从而推广了s s i m o n s 文f 2 】中的若干结论 推论1 3 1 设e 是个非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ： e _ f 是一个次线性算子则存在e 上的线性算子t ，使得t s 定理1 3 1 设e 是非平凡的向量空间，f 是序完备的向量格且s ：e 叶f 是次线性算子令a 是e 中的非空凸子集，g ：a e 是仿射算子，则存在e 上 的线性算子厶使得三s 并且若存在a = m f a s og 】f ，则i n f a lo 引存在， 并且有 i n f 【lo9 1 = i i l f f so9 1 1 1 福建师范大学刘和英硕士学位论文 证明：根据引理1 2 2 ，若a ：= i n f a s o g 】f 存在，则不妨令 t ( z ) = a 叭i n 脚f 【s ( z + 入9 ( n ) ) 一埘vz e 由定义1 1 2 ，可知t ：e f 是个次线性算子，使得t s 再根据推论1 3 1 ， 存在线性算子厶使得l t 因此l s 且一l 一t 从而对a a ，我们有 三( 夕( 口) ) = - l ( - g ( a ) ) 一t ( 一夕( 口) ) - t ( - g ( a ) ) q 由f 是序完备的向量格，可知i n f a lo 夕】存在对a a 将上式两边同时取下确 界，可得 甜【lo9 0 0 f = i n f so 夕】al 一 。 另方面，由l s ，显然i n f a lo g 】冬m f a t so 夕】所以 事阶9 i2 警【s 。9 j 注：在定理1 3 1 的条件下，若i n f a so 们不存在：对v 口f ，jo a ，使 得s ( 9 ( o ) ) 乜。又有l ( 9 ( 口) ) s ( 9 ( 口) ) 0 且钍1 + 钍2 = 1 ，我们有 g ( u l x l + u 2 。2 ) u l g ( z i ) + u 2 9 ( z 2 ) 号g ( u l z l + 缸2 2 2 ) 。u l g ( z 1 ) + u ：g ( x 2 ) 因此g ：a _ e 是s 一凸的，由定理1 3 2 ，则存在l l + ( e ，f ) ，使得lss 在e 上，并且有 i n f l 。g + 吲= i n f s 。g + 卅 因此_ 【l ( 9 ( z ) ) + k ( z ) ) 写 有下界，由定义1 1 5 ，显然l 就是一个l a g r a n g e 乘子 推论1 3 2 若t ：e _ f 是关于与g 的一个l a g r a n g e 乘子，更i ljp f ， 使得对vz c = z a ：k ( z ) p ) ，都有o 肛一k ( z ) si n 九n l t ( g ( x ) 一u ) i 证明；由上面的定义1 1 5 和定理1 3