（基础数学专业论文）ads4空间内类空曲线的光锥高斯映射及其奇点分类.pdf

摘要 本篇文章主要研究丁磁空间中a d s 4 空间中的类空曲线问题，利用a d s 4 空 间的特殊性，建立f r c n e t - s e r r e t 标架，然后定义光锥高斯映射及高度函数，揭示了 在l o r e n z i a n 群作用下的类空曲线的几何不变量同奇点之间的关系，并应用奇点理 论对类空曲线的光锥高斯映射的奇点进行分类 关键诲a d s 4 空间，类空曲线，研x 霹值光锥高斯映射，光锥高度函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e r e dt h ep r o b l e mo ft h et i m e l i k ec a r v e si na d s 4 ，t h e n w ed e f i n et h el i g h t c o n eg a u s sm a p ，a n dl i g h t c o n eh e i g h tf u n c t i o no fas p a c e l i k ec u r v e i na d s 4a n de s t a b l i s h e dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns i n g u l a r i t i e so ft h e s eo b j e c t sa n d g e o m e t r i ci n v a r i a n t so f c u r v e su n d e r t h ea c t i o nl o r e u t zg r o u p ，a n da sa na p p l i c a t i o n s o fs t a n d a r dt e c h n i q u e so fs i n g u l a r i t yt h e o r yc l a s s i f i e ds i n g u l a r i t i e so fas p a c e l i k e c u r v ei nt h i s8 p a c e k e yw o r d s ：a d s 4 s p a c e ，s p a c e h k ec u r v e1s ；x 踺一v a l u e dl i g h t c o n eg a u s s m a p ，h g h t c o n eh e i s h tf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 东北师范 大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或其它复制手段保存、 编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位， 通讯地址： 指导教师签名 日期 电话t 邮编； 引言 奇点理论是处在分析，微分拓扑，交换代数与李群及微分方程等数学学科交 汇处的新兴的数学分支，在诸多领域，如微分方程，动力系统，分歧理论，突变理 论等学科中都有广泛的应用 从1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表了关于平面到平面的映射奇点开始，奇点理论作 为一门独立的数学分支登上了数学舞台，经过几代数学家几十年的不懈努力，已经 使得奇点理论得到了蓬勃发展尤其是最近几年，有许多学者在不同的领域作出了 杰出的工作例如i z u m i y a ，裴东河，s a n o ，t a k e u c h i 等利用奇点理论对微分几何进 行一系列研究，见 1 1 1 2 1 ；孙伟志等关于奇点理论在物理光学及液晶显示方面的研 究，见【1 3 】；以及奇点理论在偏微方程中的应用的研究，见【14 】；李养成，邹建成 等人关于奇点理论在分歧理论中的应用，见f 1 5 】f 1 6 1 本文所研究的方向是奇点理论在微分几何中的应用，在古典微分几何中常通 过研究曲面的内蕴几何来研究蓝面的性质，曲面的内蕴几何即由曲面的第一基本形 式所决定，在曲面的内蕴几何中高斯曲率扮演了重要角色而高斯映射可以给出高斯 曲率的几何意义高斯映射定义如下；在曲面的各点作它的单位法向萤，然后把这 向量平移到坐标原点，那么它的端点就决定了单位球面上的一点，我们把建立的曲 面上的点与单位球面上点的对应称为高斯映射高斯映射与奇点理论联系密切，通 常我们会通过研究高斯映射的奇点来讨论曲线，曲面，子流形的奇点因此，我们 可以将奇点理论应用到微分几何中，研究它们的性质 文献【1 1 ，1 2 】是针对欧氏空间中的曲线以及曲面进行的有关奇点理论及其几 何不变量的研究；j w b r u c e ，s ，h u m i y a 等在文献1 1 7 - 19 中利用高度函数和距离平方 函数等作为工具研究了欧氏空间中曲线的切可展曲面，从切可展曲面和焦可展曲面 的奇点分类同样奇点理论对伪欧氏空间和非欧空间的研究也同样有效在欧氏空 间中不存在模长等于零的非零向量，但在伪欧氏空间中却存在这种向量，这类向量 的集合构成一含光锥，这样会得到与欧氏空间完全不同的结果下面的文献就介绍 了奇点理论在伪欧氏空间及非欧空间中的应用，文献【1 1 【6 】【9 】研究了三维m i n k o w s k i 空间中光锥高斯映射及光锥可展曲面的奇点分类，四维m i n k o w s k i 空间中类光超曲 面及类空曲面的奇点分类；文献【4 】把维数推广到t l 维余维为2 的双曲曲面的奇点 分类；文献i l o 】主要对指标为2 的5 维伪欧氏空间中3 维l o r e a t z i a n 子流形进行奇 点分类，通过建立斟毋上的光型高斯映射作为工具但据我所查阅的文献中还没 有关于磺空间中a d s 4 空间的类空曲线奇点分类的研究，从物理学观点来说a d s 4 空间很重要，它是一种宇宙的数学模型，因此研究该空间的曲线是非常必要的 本文通过a d s 4 空间中h 7 ) = 一1 ，建立伪正交标架“1 ，n 1 ，“2 ，n 3 ) ，其中7 是类时向量，我们选择n 2 为类时向量，建立砺空间内类空曲线的光锥高度函数， 光锥垂足曲线，光锥高斯映射，寻找a d s 4 内类空曲线的l o r e n t z 不变量，并利用该 不变量刻画以上对象的一些简单几何性质，然后通过建立a d s 4 空间内类空曲线的 洛仑兹m o n g e - t a y l o r 映射，借此研究此空间内类空曲线的通有性质，最后利用单变 量函数的开折理论对a d s 4 空间内类空曲线的奇点初步进行分类 1 基本概念 设舻= ( z l ，譬2 ，x 3 , 3 7 4 ，卫5 ) i z l ，3 7 2 ，3 7 3 ，x 4 ，z 5 r ) 是5 维向量空间， 2 = ( z 1 ，2 ，船，3 7 4 ，5 ) 和y = ( 口1 ，y 2 ，y 4 y s ) 是鹂中两个向量，$ 和y 的伪数量积 定义为 缸，y ) = 一z 1 l 一3 7 2 y 2 + 3 7 3 y 3 + 3 7 4 y 4 + 2 ：5 y 6 ， 称( r 5 ，( ，) ) 为5 维伪欧氏空间，简记为硬 设 a d s 4 = z r 2 i ( 。，z ) = 一1 ) ， 称a d s 4 为4 维a n t i d es i t t e r 空间 现在我们定义 日( - 1 ) = z 只i l ( z ，。) = 一1 为4 维h y p e r b o l i c 空间向量z 趟的范数定义为1 1 3 7 1 i = v 1 瓦研我们称向量 磁 o 是类空的、类光的，类时的，若分别有伽，。0 ，红，z ) = 0 ，扛，番 0 ，则称曲线 7 为类空曲线类空曲线叮从7 ( t o ) ( ( o o ) j ) 起的弧长是 印) = o 他) l l d z ， 参数s 定义为，使得忻( s ) 0 = 1 成立的参数，其中1 ，( s ) = 嘶幽( s ) 若类空曲线满足 盯( s ) 0 = 1 ， 则称它是以弧长为参数的本文剩余部分我们假定，y 的参数是弧长参数记 t ( s ) = r ( s ) ，t ( 8 ) 为单位类空向量，称t ( 8 ) 为单位切向量 向量。的符号定义为 l 1 x ：类空， 5 ( 。) ：= s 协( ) = 0 x ：类光， l 一1x ：类时 铷，燧若协”) = 0 ，则称z 与 伪正交若z = ( z 1 ，z 2 ，z 3 ，瓤，奶) ， 扩= ( u l ，驰册，y 4 ，舶) ，z = ( z l ，忽，z 3 ，z 4 ，z s ) ， = ( w l ，忱， 3 ，坝，桃) 均属于磋，定义一 个向量 zaya z a = 这里e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 e 5 是啦的标准正交基底容易验证。a az a t l j 伪正交于 为鼽z ， 中的任何一个 类似于三维和四维空间中的混合积我们也可以定义鹂空间中的伪混合积， 其伪混合积的性质是否与欧氏空间中的混合积性质一样，我们通过具体计算来说明 这一点 口a b a c a d = 尉 = 汹l t 也 - - e i - - e 2e 3e 4e 5 a la 2 0 3a 4a 5 6 16 2b 沁6 5 c lc 2c 3c 4 岛 d 1 d 2d 3 幽d 5 3 叫2 。w 5 a l 口3 口4n 5 6 l 如kb c l c 3c 4c 5 c lc 3 c 4 c 5 口l 口2a 30 4 b l6 2bh c lc 2c 3 国 出如如出 口1n 2 口4a 5 6 l6 26 4 6 5 c 1 c 2c 4c 5 d l 如如如 奶蜘岛q 孔抛翘毗奶船勰 吨现抛砘忱 叶 矾虮乱虮 弼蛄佑掰似“办幽毗h甜盘如琊出抛彩硌坛。如 甜n 掰棚 m n 以m 酗如踟如“抛“也毗如啦如 m n 订出 llrl 0li，_=i蛞岛k铝如 胁k踟厶酗加伢出 m船m“!耄船。办 似k 甜也 b 彩出 嘟船毋抛露如 彬撕搿出舭的凹珈 m 以“ 町以以出 阮彩出毗h以m t c ，1t 屹 0 1口2 6 l厶2 c 1c 2 d l 如 其中d = 国l ，8 2 ，铂，吼，a s ) ，6 = ( b l ，6 2 ，b ，k ，如) ，c = ( c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，c 5 ) ，d = 口“如，如，由，南， = ( w l ， 2 ，如，w 4 w s ) 对于磁中的任意五个向量a ，玩c ，d ，t c 。我们定义其混合积为 ( 口，b ，c d ，) = 扣ab a c a d ， ) 经验算有以下结论，当定义了避空间中的伪数量积与向量积后，其混合积 的结果性质与欧氏空间中的完全相同。 若1 ：，一a d s 4 是单位速度类空曲线，且有( s ) o o = l ，2 ，3 ) ，我们能构 造a d s 4 内沿曲线丁的关于伪数量积( ，) 的伪正交标架 7 ( s ) ，t ( s ) ，n 1 ( s ) ，n 2 ( 3 ) ，铂( s ) ， 满足下列f r e n e t s e r r e t 公式： 丫( s ) = ( 占) = n i ( s ) = 礼；( s ) = 竹i ( s ) = t ( s ) ， 女1 ( 8 ) n l 如) + 7 ( s ) ， 一j l 南l ( s ) t ( s ) + 知2 ( 8 ) n 2 ( 5 ) ， 一j 1 屯如( 5 m 1 ( s ) + 0 ) 珊( s ) 一如6 3 k 3 ( 8 ) n 2 ( 8 ) ， 其中竹，1 ) = 一1 ，魂= 6 ( n t ) 0 = 1 ，2 ，3 ) 证明 r 为单位类空向量，故t ( s ) = 1 ，( s ) 为单位切向量，因为 ( 1 ( s ) ，1 ，( s ) ) = 0 ， 则 h 和) ，丫( s ) ) + h ( s ) ，r ( s ) ) = 0 ， 即 ( 1 ，( 8 ) ，r ( s ) ) = 一( 7 ( s ) ，7 “0 ) ) ， 因此( 7 ( s ) ，r ( s ) ) = 一1 也就是( 1 ( s ) ，t ( s ) ) = - 1 ，则 ，( s ) = hc s ) n l ( 8 ) + 7 ( s ) ，k 1 o ，k l ( 8 ) = i i t ( s ) 一1 ( s ) 0 叉因为 ( t ( s ) ，t ( s ) ) = ( 1 ，0 ) ，r ( s ) ) = 6 ( t ) = i ，( t ，t ) = 0 ， 故“l 与t 伪正交 4 邮酗如凸出叭似“幽曲椰b 船幽 因为 则 ( ，t ) = 一，t ) ( t ，) = ( 1 ( s ) n l ( s ) - i - 7 扣) ，k x ( s ) ，l l ( 5 ) + ，y ( s ) ) = ( s ) 6 1 1 ， ( ，t ) = ( ( k 1 ( 8 ) n l c 8 ) + 1 ( s ) ) ，t c s ) ) = ( i ( s ) n l ( s ) + 女1 ( s ) n i ( 曲+ 1 ，( s ) ，t ( s ) ) = h ( 8 ) ( 硝( 8 ) ，t ( s ) ) - i - 1 = 一砖6 1 ( s ) + 1 于是似( s ) ，( s ) ) = 一a l k l ( s ) ，因此 n i ( s ) = - - a l k l ( a ) t ( s ) - i - 如( 8 ) ( s ) ，乜( 8 ) = i i n i ( 8 ) + a l ( s ) k l ( s ) t ( s ) l i 0 ， 则n 2 ( s ) 与( s ) ，n l ( s ) 伪正交令 酬= 蒜揣， 由机1 ( s ) ，n l ( s ) ) = 6 l ，( s ) ，”1 ( s ) ) = 0 ，则有 ( 硝( 5 ) ，n l ( s ) ) = 一( n t l ( s ) ，啦( 8 ) ) 又因为 ( n 1 ( 8 ) ， z ( s ) ) = ( n l ( s ) ，( - 6 1 k l ( s ) t ( s ) + b ( s ) n 2 ( s ) ) = ( h i ( s ) ，一6 1 女i ( s h ( s ) 一a l k l ( s ) t ( s ) + 聪( s ) n 2 ( s ) + b ( s ) 畦( s ) ) = ( h i ( s ) ，a l h ( s ) e ( s ) ) + 伽1 ( s ) 一b ( s ) n ：( s ) ) = j 1 l ( s ) ( n 1 ( s ) ，l ( s ) l ( s ) + 7 ) 一( m c s ) ，b ( s ) n ；( s ) ) = ( s ) 一k 3 ( 8 ) n 1 ( 8 ) ，啦( s ) ) = ( s ) + 而磙( s ) ， ( 啦( s ) ，n i ( s ) ) = ( - a l k l ( s ) t ( s ) + k 2 ( s ) n 2 ( 8 ) ，- a l k l ( s ) t ( s ) - t - 如( s ) n 2 ( s ) ) = ( s ) - i - 如砖( s ) ， 则伽；( s ) ，”l ( s ) ) = 一6 z k 3 因此，n ( 8 ) = - a 1 5 2 k 2 ( a ) n l ( 8 ) - i - k 3 ( s ) n 3 ( 8 ) 令 州垆嵩篇端 且k 3 ( s ) = i i 啦( s ) + a l a 2 k 2 ( a ) n l ( s ) l i 0 ，此时t ，r , 1 ，r , 2 ，n 3 彼此伪正交，我们不妨设 5 则 n 3 。7 a t a n ia n 2 磁= n a t n l a 锄) = r a t a 仃1a n 2 + ，y a ，a n la n 2 + ，y a t a 啦a n 2 + 1 a t a 礼la n ： = 1 a t a n la ( 一也6 1 如n l + n 3 ) = 1 a t a n l ak 4 n 3 = 一屯5 3 k 3 ( s ) n 2 ( 8 ) 因有( 一a t a n l a n 2 ，哟) = ( 7 a t a n l a n 3 ，2 ，一西= 如，= 一翰b 故磁= 一a 2 a 3 k 3 ( s ) 砚( 8 ) 定义1 1 1 设p r 2 ，p = ( p l 。p 2 ，p 3 ，p 4 ，p 5 ) l o p = z = ( z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 ) r i l 一( z l p 1 ) 2 一( z 2 一p 2 ) 2 + ( z 3 一p 3 ) 2 + ( 茹4 一p 4 ) 2 ( z 5 一p 5 ) 2 = o ) 称为磺中以点p 为顶点的光锥。且l e ；= l p 定义1 1 2 研= 0 = ( x l ，x 2 ，弧z 4 ，x 5 ) 硝iz i + z ；= 1 称为磁中的类时单 位圆 定义1 1 3 霹；缸= ( z 1 ，z 2 ，奶，, t 4 ，x s ) 碰lz i + z i + z i = 1 ) 称为磁中的类 空单位球 由上述定义，若z 斟毋则z l c o ，从而，研研l c o 反之，对任 意的非零向量l c o ，令r = ( 。i + z ；) = ( z ；+ i + x s ) ，则存在唯一的向量 蠹研霹与z 对应，其中童= t 茹1 r z 2 r ，x 3 r ，z 4 r z 5 r ) 6 2 光锥高斯映射 若，：j 硪( 一1 ) o ) 为磁中单位速度类空曲线，令 工砖l ：卜- + 研霹，工喏l ( s ) = ( n 2 7 洲s ) ，s ， l g 麦3 ：j _ + 研s ： ， 三g 女3 ( s ) = ( ，1 2 n 3 ) ( s ) ，s j 若令曲线在s 点处的伪正交标架中地为类时向量，则n 1 和n 3 为类空向量， 1 2 士1 1 , n 24 - n 3 为类光向量，上面的四个映射都将曲线上的点映到光锥伪球上，我 们把它们中的每一个称为曲线的光锥高斯映射 定义曲线 l f 磊：，+ l 四 ( 7 ( s ) - y = o ) ， l 呓( 5 ) = t ( ( n 2 j 唧) ( s ) ) ， 称二砖0 = 1 ，3 ) 为7 的光锥垂足曲线 我们这样定义的光锥高斯映射使得类空曲线局部上每一点都与其光锥上的一 个光向量相对应它有着非常良好的性质，而且它的奇点分类与下面我们将要定义 的光锥高度函数有着非常密切的联系 对于毋( - 1 ) 中的类空曲线，r 来说，我们定义这样一个函数 日：j s x 霹，r ，h ( s ， ) = ( 7 ( s ) ， ) ， 其中”母霹，$ j ，我们把日叫做毋( 一1 ) 中类空曲线7 上的光锥高度函数对 任意给定的v o 碰x 砖，s j ，定义h v o ( s ) = h ( s ，如) ，我们可以得到下面这个命题。 命题2 1 设1 ：，一a d s 4 是一条单位速度类空曲线，且 l ( s ) o ， h ：jx 霹+ 矗是7 上的光锥高度函数，h ( s ) = 甄( 8 ) = h ( s ，v o ) ，则以下结论 成立； ( 1 ) h ( s o ) = 0 当且仅当w ( t ，”1 ，n 2 ，n 3 ) r ， ( 2 ) h ( s o ) = ( 5 0 ) = 0 当且仅当v e ( ”l ，n 2 ，n s ) s ， ( 3 ) h ( s o ) = ) = ( 如) = 0 当且仅当口= r t 2 靠3 ， ( 4 ) ( 5 ) = ( s o ) = h p , ( 8 0 ) = h i t , ( s o ) = 0 当且仅当口= n 2 j n 3 且= 0 ， ( 5 ) h ( s o ) = h ( s o ) = h , t ( 8 0 ) = ”( 8 0 ) = ( 4 】( s o ) = 0 当且仅当 = n 2 ：e 3 且乜= 砭= 0 ， 7 ( 6 ) h ( s o ) ：( s o ) ：矿( s o ) = 矿( 知) = h ( 4 ) ( s o ) = ( 5 ( 印) = 0 当且仅当口= n 2 ”3 且也= 如= = 0 证明( 1 ) 由定义可知 h ( s o ) = 0 当且仅当( 1 ，v o ) = 0 当且仅当v o e ( t ，n l ，n 2 ，n s ) n ( 2 ) 由定义可知 h ( 8 0 ) = ( s 0 ) = 0 当且仅当( 1 ( s ) ，= ( t ( s ) ， ) = 0 当且仅当u ( n l ，n 2 ，n 3 ) n ( 3 ) 设= a z n l + a 2 n 2 + a 3 “3 ，h ( s o ) = ( s o ) = h “( s o ) = 0 当且仅当 ( 1 ( s ) ，口) = ( “( s ) ， ) = 0 当且仅当 h ( s o ) = ( t 7 ( j ) ，v o ) = k z n l + v o ) ；( k z n z + 7 ，a z n z + ) t 2 a 2 + a 3 住3 ) = h a l = 0 因为k 1 0 ，则a 1 ：0 ，因 母霹，则( 口， ) = 一a ；+ ；= 0 ，于是口= n 2 - n 3 ( 4 ) 因 h m ( s o ) = ( i n l + k l k 2 n 2 + ( 1 一 6 1 ) t ，u ) = ( k l - l ， ) + 忙1 k 2 n 2 ) + ( ( 1 一k h ) t ，t ，) = 1 2 ( n 2 ， 2 一n 3 ) = 1 如6 2 = 0 因l 0 ，则；0 ( 5 ) 因 ( 4 ( s o ) = ( ( 1 一瑶6 1 ) 7 + ( 硝一七1 碹6 1 屯+ h k a 1 ) 1 + ( 2 k l k 2 + k l k 6 ) n 2 + k l k 2 k a n z 一3 k l k ；_ s i t ， ) = ( 2 k l k 2 + k z 琏) 2 + k l k 2 k a n 3 ， = ( k l k 2 n 2 ， ) = h 磁如= 0 因h 0 ，则磁= 0 ，由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 4 ) ，得到h ( s o ) = ( s 0 ) = ”( 8 0 ) = = ( 4 ) ( s o ) = 0 当且仅当 = n 2 j 至3 ，且k 2 = 如= 0 ， ( 6 ) 因 h ( 5 ( 舶) = 一5 七l q 6 6 1 叮+ ( - 4 k l k f a l + 后 砖巩如一2 惫，1 3 ( 七i ) 2 6 占l 十k 4 a x + 1 ) + ( 蟛一3 k l 磕6 l 如一3 k l b 忌：以如+ 七i 一3 砰七i 以) n 1 8 + ( 皑k 2 一七l 碇j l 如+ k l 乜一后 七l + 凫l 如瑶+ 2 硝乜+ 3 h 砖+ 七1 醒) 丁1 2 + ( 3 以l k 2 k 3 十2 h ：b + l 乜磁) n 3 ， ) = ( 1 蟛n 2 ， ) = l g 如= 0 因1 0 ，则础= 0 ，由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 和( 5 ) ，知h ( s o ) = h ( e o ) = h ( s o ) = = 五( 5 ( 翮) = 0 当且仅当f = n , 2 t n 3 ，且勃= 磁= 噬= 0 设类空曲线7 上任一点p ，1 在p 点处的切空间为耳7 ，法空间7 是 a d s 4 中的洛仑兹空间设 t ( s ) ) 是切空间研的标架，n ( s ) ， 1 ( 8 ) ，n 2 ( s ) ，n 3 ( s ) 是 法空间1 的伪正交标架，其中7 ( s ) 是时间型向量，设n 2 ( s ) 也为时间型向量， 则7 1 1 ( s ) ，啦( s ) t ( 8 ) 是类空向量在此规定下，由f r e n e t - s e r r e t 公式，我们还可建立 a d s 4 中类空随线7 的以下基本公式， 由 d “3 1，03 ( s ) 如 n 2 n l 1 t b ( s ) d s 0 0 乜( s ) d s 00 00 0 ( s ) d s 0 0 一l ( s ) 幽 00001 00 l 1 0堆 d ( n 2 十n 3 ) = d n 2 + 咖3 = 乜几l + k 3 n 3 十k 3 n 2 = k 2 n x + k 3 ( n 2 + 几3 ) d ( n 2 一n 3 ) = d n 2 一砒3 = k 2 n x + k 3 n 3 一k 3 n 2 2k 2 n l k 3 ( n 2 一n 3 ) 咖- = 一女z t + b t t 2 一- - - - - i t + 虿k ( n 2 - n s ) + 警( n 2 + ”3 ) ， 直接计算得出下面方程 d 他+ n 3 r t , 2 一n 3 n l 7 t 如( s ) d s 乜( 8 ) 幽 0 0 h 0o 00 0 - l ( s ) d s 01 10 几2 一n 3 n 2 十n 3 n l ， t 设n 2 = ( o l ，n 2 ，0 3 ，n 4 ，口5 ) ，n 3 = ( 6 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，b s ) ，r = 【如l 士b 1 ) 2 + ( a 24 - 如) 2 】j ， 考虑t 1 2 士n 3 = r n 2 。j 南3 ，d ( n 24 - 竹3 ) = d r n 2 n z 十r d n 2 王3 r d n 2 h 3 =d ( n 2 士”3 ) 一d r n 2 一兔3 场( 5 ) ( 现+ n n ) n l4 - b ( s ) ( 他士m ) 一d r ”2 3 如几l 士r k 3 0 ) n 2 j 3 一d r n 2 。确 乜礼1 + ( 一d r 士r k 3 ) n 2 j 竹3 9 量i 一。半。 d ! 。攀。 则有 类似有 最终有下列基本公式 d 眈2 而3 - k 竺rn 1 + ( k 3 - 了d r ) n 2 而3 d n z 而s = 譬n t 一+ 譬) n 而；。 ：爹 = ( 一b 争譬b 等宰至 命题2 2在命题2 1 的假设下，下列条件等价 ( 1 ) p 丁( j ) 是光锥高度函数甄m 的一个退化奇点 ( 2 ) 存在斟霹使得，) 是光锥高斯映射l g 麦3 的一个奇点 证明设1 ，o ( 日) = b ，如) ，y ( d 研霹i 筹o ) = 貉) = o ) e 1 ，1 ，o ( 汀) = ，v o ) 7 ( ，) 研砖i 石o h ( p ) = 貉( p ) = 碧( p ) = o ) ， 由命题2 1 。有 e 1 ，o ( 日) = p ，v o ) 7 ( ，) 母霹i v o = n 2 ( s ) 土珊( s ) ) ， e m , o ( 日) = d ，) 7 ( j ) 霹霹l = n 2 ( s ) 士n 3 ( s ) ，k 2 ( s ) = o ) 现在考虑标准投影”：，y ( j ) 斟毋+ 研霹，则”b a ( ) 可等同于光锥高斯映 射l g ；：3 ，在这种等同下可以证明条件( 1 ) 等价于( 2 ) 下面我们研究类空曲线的光锥高斯映射、光锥垂足曲线的几何性质。从而我 们能清楚地认识到函数k 2 ( 8 ) 的特殊意义，首先我们有下列结果： 命题2 3设1 ：j a d s 4 是一条单位速度类空曲线，且k l ( s ) 0 若 k ( s ) ；0 ，则，y 的光锥垂足曲线工暖j 是光锥l 四上的类光曲线 证明 显然l 珐位于光锥l 四上若证l 瑶j 为l g 上的类光曲线，只须 1 0 ，m 7 。 2 2 n 仲 ，。、， ) s ( 0 0 h l o o o o 0 l 证( ( l 磋拼( l 磅j ) 7 ) = 0 ，若k 2 ( 8 ) ；0 ，则由微分公式 d 而3 ) = ( k 3 一譬) n 而3 = a n 2 n 3 ( a = 乜一譬) ， d ( n 2 - n 3 ) = ( 一一譬) n 2 ：h 3 = p n 2 ：k 3 一b 一了d r ) ， 先考虑r t 2 彳n 3 ，则 ( l 哦) = ( 7 ( 8 ) ，( n 2 i ；前3 ) ( s ) ) ，1 2 了h 3 ( s ) = ( 1 ，( 8 ) ，( - 2 t ”3 ( s ) ) ) + 竹( 8 ) ，( ”2 f 珊) ( s ) ) ) 啦了n 3 ( 8 ) + ( 7 ( s ) ，( n 2 了他3 ( s ) ) ) ( n 2 下n 3 ) b ) = ( t ( 8 ) ，m 2 ：h 3 ) ( s ) ) + ( ，( s ) ，a ( n 2 下h 3 ) ( 8 ) ) ( 啦：h 3 ) ( 8 ) + 秆( s ) ， 国2 彳“3 ) ( s ) a ( n 2 葺3 ) ( s ) = 7 ( 8 ) ，a ( 耽了m ) ) ( n 2 ：h 3 ) ( 8 ) + ( 7 ( s ) ，( n 2 + n 3 ) ( s ) ) a ( 几2 了n 3 ) ( 3 ) 由于( n 2 而3 ) ( 5 ) 为光向量，则( ( l 磁) 7 ，( 工珐) ) = 0 同理( ( l ) 7 ，( 工) ) = 0 ， 于是当k 2 ( 8 ) = 0 时，光锥垂足曲线l 磕是光锥l 哪上的类光曲线 命题2 4设7 ：1 + a d s 4 是一条单位速度类空曲线，则下面结论成立s ( 1 ) 光锥高斯映射l g 麦3 ( 或l g i 3 ) 是常值的当且仅当存在唯一类光超平面 l h p ( v + ，c + ) ( 或l h p ( v 一，c 一) ) ，使得，ycl h p ( v + ，c + ) ( 或1cl h p ( v 一，c 一) ) ( 2 ) l g 杰3 和l g i 3 都是常值的当且仅当1 是一类空曲线，此时类光超平面的交 l h p ( n 2 f 珊，c + ) n l h p ( n 2 一矗3 ，c - ) 是类空平面上的一条类空曲线7 证明( 1 ) 在l g 圭3 ( 5 ) ；n 2 ( s ) h 3 ( s ) 是常值的假设下进行证明，其它情形 类似可证此时有 d h ，n 2 ：f k 3 = ( d 7 ，心：f 前3 ) + ( 7 ，d ( 馆2 。干麓3 ) ) = 0 ， 因此秆，n 而。3 = c + ，这说明1cl 日p p + ，c + ) ，其中矿= 砚( s ) + n 3 ( 8 ) 相反， 假设存在类光向量”和一实数c ，使得，y ( 8 ) cl h p ( v ，c ) ，因为( 7 ( s ) ，”) = c 有 d ( 7 ( 8 ) ，口) = 0 ，这说明口是7 的类光法向量，因此有 = n 2 ( 8 ) + - 3 ( 8 ) ( 2 ) 因矿# l h p ( v 一，c - ) 且口一硭l h p ( v + ，c + ) ，l h p ( v 一，c 一) 和l h p ( v + , c + ) 相交 横截，由( 1 ) 光锥高斯映射l g + 3 和三g e 3 都是常值的当且仅当，ycl h p ( v + , c + ) n 三日p 扣一，c 一) ，因为交集必定是类空平面上的类空曲线7 ，则( 2 ) 得证 定义2 ，2 设f ：a d s 4 r 是淹没，且，y ：j + a d s 4 是类空曲线，称，y 与f 一1 ( o ) 在o o 处有一点切触，若函数o ( o = f0 7 ( # ) 满足9 ( t o ) ；9 ( t o ) = = 矿一1 ( o ) = o ，矿( t o ) 0 作为命题2 1 的结论，下面命题成立z 命题2 5设7 ：j a d s 4 是单位速度类空曲线，且k 1 ( 8 ) 0 ，则7 的光 锥垂足曲线l 砖和光锥工瑞在l 墙( 8 0 ) 有3 点切触当且仅当2 = k ；= o ，0 3 单变量函数的开折 本节我们将用到函数芽奇点理论的一般结果，详细内容参考文章【1 8 1 定义3 1 设f ：僻形，( 8 0 ，跏) ) + r 是一函数芽，我们称f 为，的r 参 数开折，其中，( s ) = 最。( s ，。o ) 若对所有1 p k ，f 0 ) ( 8 0 ) = 0 ，且，( + 1 ) ( 印) 0 ， 我们称f c s ) 在点8 0 处有m 类奇点若对所有1 p k ，都有f ( p ) ( s o ) = 0 ，则称 ，具有a 牡类奇点设f 为，的单参数开折且，( s ) 在点8 0 处有a k ( k 1 ) 类奇点 定义3 2 我们记点8 0 处的偏导数罄的( 一1 ) 导网为j ( 一1 ( 罄( s ，知) ) ( s o ) = 蔓q i 一，i = l ，r ，若一1 ) r 阶系数矩阵( 嘞) 的秩为七一l ( 七一ls ，) ， 则f 叫做，的( p ) 通有开折若k r 阶系数矩阵( a 嘶，t ) 的秩为k ( k r ) ，其中 = 丽o f ( s o ，z o ) ，则f 叫做，的通有开折 我们现在介绍f 的几个重要集合 定义3 3f 的奇点集定义为： s f = ( s ，z ) r r i 筹( s ，z ) = o ) ， f 的判别式集定义为： d f = 扣形i 存在s ，使在( s ，。) 有f c 8 ，z ) = 罄= o ) ， f 的分歧集b f 是标准投影，r ：r r r ，r 在跏上的限制的临界值集合 b f = 伽彤i 存在s ，使在( s ，z ) 有丽o f = 貉= o ， 则下面结果成立t 定理3 1 设f ：僻r r ，( 8 0 ，z o ) ) + r 是，( s ) 的r 参数开折，且，( 5 ) 在点 5 0 处有m 类奇点 ( 1 ) 假设f 是，的( p ) 通用开折 ( a ) 若k = 2 ，则( 8 0 ，。o ) 是7 r i 却的折叠点，则毋局部微分同胚予 o ) xr r ( b ) 若k ；3 ，则b f 局部微分同胚于cx 彤 ( 2 ) 假设f 是，的通用开折 ( a ) 若；1 ，则d f 局部微分同胚于 o ) r r 一 ( b ) 若k ；2 ，则d f 局部微分同胚于c 彤一 ( c ) 若k = 3 ，则d p 局部微分同胚于s w 胛 ( d ) 若k = 4 ，则d f 局部微分同胚于b u r ”4 这里c = ( ( 轧x ：) l x = ；) 是普通尖点，s w = ( z 3 ) 1 5 f f l = 3 十 ，x 22 4 u a + 2 u v ，3 = ) 是燕尾，b u = ( 茁1 ，x 2 ，x 3 ，茁4 ) k l = 士2 4 u 5 + 3 w u 2 + 8 z u 3 ，9 9 2 = t 1 5 7 4 3 w u 一6 u 2 z ，z 3 = 【) ，茁4 = 秽) 是蝴蝶 若存在微分同胚芽_ p ：( 彤，x 0 ) + ( r ，0 ) 和母：( r r ，( 跏) ) + ( r ，0 ) 使得妒。妒( z l ，z ，) = ( 轧，$ r - - 1 ，z i ) ，我们称点：c o 形是映射芽，：( 酽，x o ) + ( r r ，f ( x o ) ) 的一个折叠点 对单位速度类空曲线，y ：j a d s 4 ，我们定义一个函数 膏：j 研砖r 叫r ，舀( s ，u ，t ) = g ( s ，口) 一u = ( 7 ( s ) ，口) 一“ 这里h 是7 的光锥高度函数，则有下列基本定理 命题3 2 设7 ：，一a d s 4 是单位速度类空曲线，h 0 ， 且日：i 母霹一r 是7 上的光锥高度函数则 ( 1 ) 若h ( s ) = 巩。( s ) 在8 0 有a k ；2 ，3 ) 类奇点，则日是h 的( p ) 通用开折 ( 2 ) 若 ( s ) = f i ( v o ，h o ) ( 8 ) 在8 0 有a k ( k = 1 ，2 ) 类奇点，则膏是 ( s ) = 豆，u o ) ( 8 ) 的通用开折 证明设，y ( s ) = ( z l ( 8 ) ，z 2 ( s ) ，x 3 ( s ) ，钆( s ) ，z 5 ( s ) ) 是一类空曲线， w = ( ”l ，抛， u 3 ，v 4 ，”5 ) l q ，故( ，口) = 0 ，且口1 ， p 2 ，v 3 ，呲，v 5 不金为零，不妨设 0 2 0 贝岫 一” 一 ；+ ”；+ ”i + ；= 0 ， 有 地= 士厂再虿面丽 因此我们有 h ( s ， ) = 一v l z l ( 8 ) 一口2 x 2 ( 8 ) + v 3 x 3 ( s ) + v 4 2 4 ( 8 ) + 岛( s ) = 川z 。( s ) 士乒再百而z 2 0 ) + v s x a ( s ) + v 4 x 4 ( s ) + z 5 ( s ) 豆i s 。s t = 日，因此 筹小) + ( ( s ) ，差硇( s ) 一( 差一( s ) 一( ，票铂一( ， ( 因”是类光向量，故啦，v 3 ，v 4 不全为零，不妨令啦o ，) 1 4 鬻在知的3 一j e 是一( s i + s 2 z ：+ s 3 z ，) + ( 器) ( s z ：+ s 2 + s 3 z 箸) 瑟在即的3 一j e t 是( s z ；+ s 。m ”3 + s 3 ) 一( 薏) ( 一：+ ；s 2 + s 3 z ；) ， 貉在即的3 一j e t 是( w + ；s 2 z ：+ ；s 3 ) 一( 嚣) ( s z ：+ s 2 z ；十 s s z ；：) ， 筹在8 0 的3 一j e t( 瑶+ ；s 2 + s 3 ) 一( 薏) ( ”：+ s 2 。；+ s 翔。 ( 1 ) 由命题2 1 ， ( 8 ) = 日t ，o ( s ) 在5 0 有如类奇点当且仅当口) = n 2 ( s o 厂n 3 ( s o ) ， 且k 2 ( s o ) 0 当h 在岛有也类奇点时，我们需要1 4 矩阵的秩为1 ，这显然是 成立的事实上，下面的4 4 矩刚e 奇异， 础巨器 = 靠l l i l 一且1 1 2 啦i j 又因为 故 如一( 薏) z 2 z ；一( 葛) 近 猫一( 舞) z ； 3 一( 箍) z l 1 2 j - 监1 2 v 2 0 1霉3；9 4 - t i z 3 t 4 t 1 z 3 ；r 4 x 1$ 3 第4 z 4 一( 卷胁 五一( 卷) z ； z ：一( 茏) z ： 一( 畿) z ； 2 ：1嚣2茹3 z 1z 2 o i 奶知 x l2 ：2z 3 + 彘 a 7 a 1 ” 1 胛= 一y a t a ( h n l + 1 ) a ( 一膏 + 路l n 2 + t + 七i 竹1 ) = k k 2 n 3 = 砖耽( n 3 1 ，n 3 2 ，竹3 3 ，竹3 4 ，竹3 5 ) ， 七 知2 n 3 1 = 一k k 2 n 船= 2 2 j ，p ”沈现蝣磁 鲥剐茏蔷 (iv( 弼磊譬譬 如畦碟蟛瓤，。瓤胛 现，唧。耽卅sl 观，q。q肿吼船喀蟛彤 瓤硝 船碍彤钆，。删弛 ，。w 勉，毪。胛吃 以蟛蟛嬲，铂，卅魏现，吒。吃凯，吼。删吼 奶、； 硝彤 钆，。吼