（基础数学专业论文）di代数的grobnershirshov基.pdf

t i t l e ：g r 6 b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rd i a l g e b r a s s u j e c t ：b a s i cm a t h e m a t i c a u t h o r ：c i h u al i u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r l q u nc h e n p r o f e s s o rl a b o k u t 2 吣6 眦2洲9哪7 6m 7iiiii洲y 摘要 本文建立了d i 代数的g r 6 b n e r - s l l i r s h o v 基理论，证明了其上的合成钻石引理利用 此理论，我们得到了如下结果：找到了莱布尼兹代数的包络代数即d i 代数的g r 6 b n e r - s h i r s h o v 基，得到了该d i 代数的正规形，从而证明了莱布尼兹代数可以嵌入对应的d i _ 代 数；证明了每一个d i - 代数都可以嵌入一个有杆幺元的d i 代数中；给出了两个d i - 代数 的自由积的g r 6 b n e r _ s h i r s h o v 基，并给出了该自由积的正规形；找到了c l i 助r dd i 代数 的g r 6 b n e 卜s h i r s h o v 基及其正规形 关键词：d i - 代数，g r 6 b n e r - s h i r s h o v 基，莱布尼兹代数，c l i 舫r dd i - 代数 a b s tr a c t w ee s t a b l i s ht h eg r 6 b n e r - s h i r s h o vb a s e st h e o 巧f o r d i a l g e b r a s t h ec o m p o s i t i o n - d i 锄o n d l e m m af o rd i a l g e b r a si s 西v e nt h e n a 8r e s u l t s ，w e 舀v eg r 6 b n e 卜s 1 1 i r s h o 、，b a s e sf o rt h e u n i v e r s a le n v e l o p i n gm g e b r ao fal e i b n i za l l g e b r a ，t h eb a u re x t e i l s i o no fa d i a l g e b r a ，t h e 矗e ep r o d u c to ft w od i a l g e b r a s ，a n dc i i 舫r dd i a l g e b r a w eo b t a j ns o m en o 咖a 1f o r 瑚f o r a l g e b r a sm e n t i o n e dt h ea b o 、r e k 9 ”m r d s ：d i a l g e b r a ；g r 6 b n e r - s h i r s h o vb a s i s ；l e i b n i za j g e b r a ；c l i 肋r dd i a l g e b r a 1 1 摘要( a b s t r a c t ) a b s t r a c t p r e f a c e c o n t e n t s l l 1 1 c o m p o s i t i o n - d i 锄o n dl e m m af o rd i a l g e b r 硇4 1 1 f r e ed i a l g e b r a 4 1 2 t h eo r d e r i n go nt h es e to fn o r m a ld i w o r d s 5 1 3s d i w o r da n dn o n n a l | s l d i w o r d 6 1 4 c o m p o s i t i o l l s 7 1 5 c o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m a 。 9 2 a p p l i c a t i o n s 2 1 g r 6 b n e r - s h i r s h o vb a s e sf o rt h eu n i v e r s a le n v e l o p i n gd i a l g e b r ao fal e i b n i z 缸g e b r a 2 2 g r 6 b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rb a re x t e 珊i o no fad i a l g e b r a 2 3 g r 6 b n e r - s h i r s h o vb a s e sf o rt h ef r e ep r o d u c to ft w od i a l g e b r a u s 。 2 4 g r 6 b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rt h ec l i 舫r dd i a l p r e b r a a c k n o 、l e d g e m e n t p u b l i c a t i o n s 1 4 1 4 2 1 2 4 2 7 3 5 3 6 p r e f a c e i n1 9 6 2 ，a i s h i r s h o v 【4 0 】( s e ea l s o 【14 】) i i l v e n t e da t h e o 巧t h a ti sn o wc a d l e dt h eg r 6 b n e r - s h i r s h o vb a 8 e st h e o 巧f o rl i ea 培e b r a s 己z e ( x i s ) p r e s e n t e db yg e n e r a t o r sa n dd e 丘i l i n g r e l a t i o n s t h em a i nt e c h n i c a ln o t i o no fs h i r s h o v st h e o 珂w a san o t i o no fc o m p o s i t i o n ( ，夕) 伽o ft w r ol i ep o l y n o m i a l s ，厂，夕丘e ( x ) r e l a t i v et os o m ea s s o c i a t i v ew o r d 叫b a u s e d o ni t h ed e 丘n e da ni n f i n i t ea l g o r i t h mo fa d d i n gt os o m es e tso f l i ep o l y n o 血a l so fa u n o n - t r i v i a lc o m p o s i t i o 璐u n t i lo n e 而ug e tas e t 酽t h a ti sc l o s e du n d e rc o m p o s i t i o 璐， i e ，a l i l yn o n - t r i v i a lc o m p o s i t i o no ft w op o l y n o m i a l s 行o ms 。b e l o n g st os 。( a n dl e a d i n g a u s s o c i a t i v ew o r d s 吾o fp 0 1 y n o m i a l ss s 。d on o tc o l l t a i ne a c ho t h e r 嬲s u h ，o r d s ) i n a d d i t i o n ，sa n d s 。g e n e r a t et h es 锄ei d e 蛆，i e ，d ( s ) = ，d ( s 。) s 。i sn o wc a l l e da g r 6 b n e r - s h i r s h o b a s i so fl z e ( xs ) t od e f i n et h el i ec o m p o s i t i o n ( 厂，夕) 叫o ft w o ，s a y ，m o i l i cl i ep 0 1 y n o m i 也，w h e r e ，= o c ，雪= 西，c 1 ，o ，6 ，ca r ea s s o c i a t i v ew o r d s ，a n d 叫= o 西，a i s l l i r s h o vd e f i n e sf i r s t t h ea u s s o c i a t i v ec o m p o s i t i o n ，6 一叼t h e nh ep u t so n 厂6a n d0 夕s p e c i a lb r a c k e t 8 【州， 叼】 i na c c o r d a n c ew i t hh i sp a p e r 【3 8 】t h er e s u l ti s ( 厂，9 ) t l ，= ，c 】一【( 笞】f b l l c r i n g 【4 0 】，o n e c a ne a s i l yg e tt h es a m el e m m af o ra 在e ea s s o c i a t i v ea l g e b r a ：l e tsc 尼( x ) a i l ds 。b ea s b e f o r e i f 厂，d ( s ) ，t h e n ，= o 茆f o rs o m es s 。，o ，6 x 。i tw a s f o r m u l a t e dl a t e rb y l a b o k u t 【4 】a sa na n a l o g u eo fs h i r s h o v sl i ec o i n p o s i t i o nl e n l m a ，a n db yg b e r g m a n 【17 】u n d e rt h en 锄e “d i a m o n d l e m m a ，a 托e rt h ec e l e b r a t e dn e w m a n sd i a m o n dl e m m a f o r 铲印h s 37 】 s h i r s h a v sl e m m ai sn o wc a u e dt h ec o m p o s i t i o n - d i 锄o n dl e m m af o rl i ea n da u s s o c i a - t i v ea l g e b r a s t h i sk i n do fi d e a sw r e r ei n d e p e n d e n t l yd i s c c i v e r e db yh h i r o n a k a 2 5 】f o rp o 、) 1 7 r e rs e r i e s a l g e b r a sa n db yb b u 吐l b e r g e r 【1 8 ，1 9 】f o rp o l y n o m i a la l g e b r a s b u c h b e r g e rs u g g e s t e d t h en a m e g r 6 b n e rb a s e s ”a p p l i c a t i o i l so fg r 6 b n e rb a s e si nm a t h e m a t i c s ( p a r t i c u l 缸l y i na l g e b r a i cg e o m e t r y ) a n di nc o m p u t e rs c i e n c ea r en o ww e l le s t a b l i s h e d a tp r e s e n t ，t h e r ea r eq u i t eaf e wc o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m a s ( c d 一1 e m m af o rs h o r t ) f o rd i 丑 e r e 卫i tc l a s s e so fn o n - c o m m _ u t a t i v ea j l dn o n - 嬲s o c i a t i v ea l g e b r a s l i e tu sm e n t i o n 苎u 1 儿廿 a i s h i r s h o vf 3 9 】p r a v e dac d 1 e m m af o rc o m m u t a t i v e ( a n t i c o m m u t a t i v e ) n o n - a s s o c l a t l v e a l g e b r a s ( a b os e e 【1 1 】) ，a n dm e n t i o i l e dt h a tt h i sl e m m a i sa l s ov a h df o rn o n - a s s o c i a t i v e a l g e b r a s i tw a u sl l s e dt os o l v et h ew o r dp r o b l e mf o rt h e s ec 1 嬲s e s0 fa l g e b r a s f o r n o n - a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，t 妇( b u tn o tt h ec d 1 e m m a ) w 矗sl ( n o w n ，s e ea i z h u k o v 4 2 1 a a m i k h a l l e vf 3 4 】p r o 、，e dac d l e 加- m af o rl i es u p e r - a l g e b r a s t s t o k e s 【4 1 1p r o v e da c d - l e m m af o rl e f ti d e a l s0 f a na l g e b r a 七冈。段( y ) ，t h et e 璐o r p r o d u c to fa ne ) 【t e r i e r ( g r a s s m a n ) a l g e b r aa n d ap o l y n o m i a la l g e b r a a a m i k h a l e va n de a v 拈i l i e v a 【3 5 】p r o v e da c d l e m m af o rt h ef r e es u p e r c o m n l u t a t i v ep o b m o m i a la l g e b r a s a a m i k h a l l e va 肌da a z o l o t y k h 3 6 】p r o v e da c d - l e m m af o r 引x 】o 庇( y ) ，t h et e i l s o r p r o d u c to fap o l y n o m i a la l g e b r aa n d af r e ea l g e b r a l a b o k u t ，y f b n ga n dw f k e 1 3 】p r o v e dac 【) - l e m m af o ra s s o c i a t i v ec o n f o r m a l a l g e b r a s l h e l l s t r 砸【2 4 】p r o 、，e dac d l e n 皿af o ra n o n c o 皿u t a t i v ep o w e rs e r i e s 甜g e b r a s j k a n ga n dk h l e e 【2 6 ，2 7 】a n de s c m r i k o v 【2 2 】p r o v e dac d 一1 锄m af o ra m o d u l eo v e r 锄a l g e b r a ( s e ea l s o 【2 0 】) d r f a r k a s ，c d f e u s t e la n de l g r e e n 【2 3 】p r o v e dac d 一1 e m m af 研p a t h a l g e b r a s l a b o k u ta n dk p s h u m 【1 6 】p r o 、村ac d l e m m af o rr - a l g e b r a s y k o b a y a s h i 2 8 1p r o v e dac d l 咖m a f o ra l g e b r a u sb a u s e do nw e u - o r d e r e ds e m i 酎o u p s l a b o k u t ，y u q 咖c h e n 啦dy 0 n g s h a nc h e n 【7 p r o v e d ac d 一1 e m m af o rt e 璐o rp r o d _ u c to ff e ea l g e b r a u s l a b o k u t ，y u q u nc h e na n dj i a n j u nq i u 【1 2 】p r o v e dac d l e m m a f o ra s 8 0 c i a t i v e a k e b r a sw i t hm u l t i p l el i n e a ro p e r a t o r s l a b o k u t ，y 均u nc h e na n dx u e m i n gd e n g 【9 】p r o v e d ac d l e m m af o rr o t a b 疵e r a l g e b r a s l a b o k u t ，y 1 l q u nc h e na n dy 。n g s h a nc h e n 【8 】p r o v e dac d l e m m af o rl i ea l g e b r a u s o v e rac o m 舢t a t i v ea l g e b r a l a b o k u t ，y u q u nc h e na n dj i a p e n gh u a n g 1 0 】p r d v e da c d l e m m af o rl - a l g e b r a s y u q u nc h e n ，j i n gl ia n dm i n 舀u nz e n g 【2 1 】p r o v e dac d l e i 啪af o rn o n _ a s s o c i a t l v e a l g e b r a so v e rac o m m u t a t i v ea l g e b r a j 一l l o d a y ( 1 9 9 5 ， 3 l 】) g a v et h e d e f i n i t i o no fan e wc l a s so fa l g e b r a s ，d i a l g e b r a u s ，w h i c h 2 i sc l o s e l yc o n n e c t e dt oh i sn o t i o no fl e i b n i za l g e b r a s ( 1 9 9 3 ，【3 0 】) i nt h es 锄ew a y 弱 a u s s o c i a t i v ea l g e b r a sc o i l i l e c t e dt ol i ea l g e b r 鹊i nt h em a n 璐c r i p t 【3 2 】，j 一l l o d a yf o 衄d an o m a l lf o r mo fe l e l e n t 8o fa 丘e ed i a l g e b r a h e r ew ec o n t 劬et os t u d yf e ed i 以g e b r 鹪 a n dp r o v et h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o rd i a l g e b r a s a si ti sw e nl 【n o w n ，t h i sl 【i n d o fl e m 】吸ai st h ec o r n e r s t o n eo ft h et h e o 巧o fg r 6 b n e ra n dg r 6 b n e r - s 1 1 i r s h o vb a s e s ( s e e ， f o re x a m p l e ，【1 5 】a n dc i t e dl i t e r a t u r e ) i nc o m m u t a t i v 争a s s o c i a t i v ec a s e ，t h i sl e 姗ai s e q u i v 出e n tt ot h em a i nb u c h b e r g e r st h e o r e m ( 【1 8 ，1 9 】) 。f b rl i ea n d a s s o c i a t i v ea l g e b r a l 8 ， t h i si st h es h i r s h o 矿sl e m m a 4 0 】( s e ea 1 8 0l a b o k u t 3 ，4 】，g b e r g m a n 2 】，l a b o k u t a n dy u q u nc h e n 【5 】) a sr e s 比s ，w eo b t 咖g r 6 b n e r s h i r s l l o vb a s e sf o rt h e 嘶v e r s 2 l l e 1 1 、r e l o p i n g 出g e b r ao fal e i b n i za l g e b r a ，t h eb a re x t e n s i o no fad i a l g e b r a ，t h ef t e ep r o d u c t o ft w od i 出g e b r a s ，a n dc h 肋r dd i a l g e b r a b yu s i n go u rc o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m 【1 1 a f o rd i a l g e b r a s ( t h e o r e m1 5 5 ) ，w eo b t a i ns o m en o r m a lf o r i 璐f o r 出g e b r a sm e n t i o n e dt h e a b o v e m o r e o v e r ，w eg e ta i l o t h e rp r o o fo ft h em a y m o n ，p 一p g r i v e l sr e s u l t ( 【1 】) o n t h ep o i n c a r e - b i r l 【l l o 毋w i t tt h e o r e mf o rl e i b n i za l g e b r a u s ( s e ep k 0 1 e s n i k o v 【2 9 】f o ro t h e r p r o o f ) t h ea u t h o rw o u l dh k et ot h a n kp s k o l e s n i l 。d vt qg i 、，e8 0 m ev a l u a b l er e m a r l 【sf o rt h i s t h e s i s 3 1 1 n e ed i a l g e b r a m m at o r ， d e j j i n i t i o n1 1 1 l e t 七b ea 丘e l d a 七一1 i n e a rs p a c ede q u i p p e d 丽t ht ，ob i l i n e a r m u l t i p h c a t i o l l s 卜- a n d i sc a l l e dad i a l g e b r a i fb o t h 卜a n d 一缸ea s s o c i a t i v ea n d f o ra n yn ，6 ，c d 口一( 6 卜c ) = o 一6 一c ( q 一6 ) 卜c = o 卜6 卜c o 卜- ( 6 一c ) = ( o 卜6 ) 一c d e f i n i t i o n1 1 2 l e tdb ead i a l g e b r a ，男cd l e tu sd e n ed i r o r d so fdi nt h es e t bb yi n d u c t i o n ： ( i ) 6 = ( 6 ) ，6 bi sad i w o r di nb o fl e n 对h1 6 l = 1 ( i i ) ( 钆) i sc a u e da d i w o r di nbo fl e n 酵hi ( 乱) l = n ，i f ( 钍) = ( ( u ) 一( t u ) ) o r ( u ) = ( ( u ) 卜 ) ) ，w h e r e ( u ) ，( 伽) 盯ed i w r o r d si nb o fl e n 昏h 忌，2r e s p e c t i v e l ya n d 七+ 2 = 仡 p r o p o s i t i o n1 1 3 伊别l e td 6 eo 出口匆e 6 m 口佗dbcd a 佗秒d z 叫d 祀巧d 饥耽es e j e i 拈e g 乱口2t d 口出伽d 庀锄bd ，玑e 如m z ( u ) = 6 一m 卜卜6 一l 卜6 0 一6 l 一一6 n( 1 1 ) 似危e 他玩b ，一仇i n ，m o ，n 0 a 礼6 m c 托t i 咒9 吖统e 确咖s d e 盯一，u 夕i u e s 饶es 口m e 化s 乱玩 口 d e f l n i t i o n1 1 4 l e txb eas e t af r e ed i a l g e b r ad ( x ) g e n e r a t e db yxo v e r 庇i s d e 6 n e di nau s u a lw a yb yt h ef o l l o w i n gc o m m u t a t i v ed i a g r a m ： 4 v w h e r edi sa n yd i a l i 驴b r a o m o r p h i s m ) i n 【3 2 】，ac o n s t m c t i o no fa f r e ed i a l g e b r ai s 西v e n p r o p o s i t i o n1 1 5 n 售别l e td ( x ) 6 en ，把e 战。幻e 6 md 口e r 七夕e 佗e m e d6 x a 佗y 历伽d 纪讥d ( x ) 妇e g 伽z 幻饶e 钆佗i g 珏e 出伽d 砌巧饶e 扣m z m = z m 卜- 卜z 一1 卜- z o z 11 一z n 全z m z 一1 z o z l z n ( 1 2 ) 砒e 他虢x ，m o ，扎o ，帆d 茹。妇c o f f e d 危ec e n t 卵盯危e 住o m o jd i 叫d 祀肌 2 2m 。d 彻以d i 伽祀一死x ) 砸沈冼e 口5 s 。c l 砒钐e1 i 。祀饥a e 咖，谚m = m ，t 眈礼 u ：u 觑p 矽眈t 【卅，m6 e 伽。佗d m 以d i 叫d 础砌e nm 卜【移】妇现e 礼d 肌a f 出钮。祀 【札钉】埘冼饶ec e 佗t e r 以饶ec e 佗钯r 盯m a c c 。祀i 哪饥m m 话饶e 佗。彻口：d i 伽。庀k 秒】 以纨饶ec e 优e r 口t 饶ec e 仃钯r 叫 口 ( z 一1 卜- z o z 1 ) 卜( 可一1 卜珈一可1 ) = z 一1 卜- z o 卜- z 1 卜- 秒一1 卜如一1 ， ( z 一1 卜- z o z 1 ) 一( 可一1 卜珈一秒1 ) = z 一1 卜_ z o z 1 一可一l 一珈一秒1 口 1 2 t h eo r d e r i n go nt h es e to fn o r m a ld i w o r d s l e txb eaw e l lo r d e r e ds e t ，d ( x ) t h e 矗e ed i a l g e b r aa v e r 忌，x + t h e 行e em o n o i dg e n e r a t e d b yx 缸l d x ，】t h es e to f i l o r m a ld i w o r d si nx l e tu sd e f i n et h ed e 分l e xo r d e r i n go n 【x + 】 i nt h ef o u o w i n gw a y ：f o ra n ym ，m + 】， w h e r e 心1 p 1 车= 争叫亡( 【叫) 伽t ( u 】) l e x i c o g r a p h i c a l y ， 叫t ( 【叫) = ( 仃+ m + 1 ，m ，z m ，z o ，z n ) i f 【叫= z m z 一1 叠o z l z n t h r o u g h o u tt h ep a p e r ，w ew i u u s et h i so r d e r i n g 5 i ti 8e a s yt os e et h a tt h eo r d e r i n g i ss a t i s 矗e dt h ef o u o w i n gp r o p e r t 豳： m p 1 号z 卜心1 z 卜- p 】，沁】一z 】，q ，叱，州u 】) 后，a o w bc a l l 阴 t h el e a d i n gt e r mo f ，d e n o t es 聊( 厂) b yt h es e t m l ，( m ) o ) a n d 如g ( ，) b yi 【，】i ， i sc a l l e dm o i l i ci fq = 1 ，i sc a l l e dl e 乳( r i g h t ) n o r m e di f ，= q i u l 疵( _ 厂= q l 疵讹) ， m e r ee a c ho 庇，z t xa n d 乱 x + i fm 】，p 】甜eb o t hl e f tn o 吼e do rb o t hr i g h tn o m e d ，t h e ni t i sc l e 盯t h a tf ；0 ra l i l y 【叫】+ ， 【叫 【秽】= 专心】卜- 陋】 【秒】卜【叫】，【叫】卜- 心】 【伽】卜m ， 心】一m 】 【口】一【t u 】，陋】一m 【伽】一【口】 1 3 s d i w o r da n dn o r m a ls d i w o r d l e tscd ) b ya ng d i w o r d 夕w e 、7 l r i um e a nad i w o r di nx u sw i t ho n l yo n eo c c u r r e n c e o fs s i ft h i si st h ec a u s ea n d 夕= ( o s 6 ) f o rs o m eo ，6 x 4 ，s s ，w ea l s oc a l l 夕a n s - d i w o r d f r o mp r o p o s i t i o n1 1 3i tf o l l o w st h a ta n ys d i w o r di se q u a lt o 【o s 6 】= z m 卜卜z l 卜- z o z 1 一一z n i 茁k s ( 1 3 ) w h e r e 一仃l 尼礼，s s ，z x ，一m i n 1 阽b em o r ep r e c i s e ，【口s 6 = 【o 6 】i f 南= o ；【0 s 6 = 【o s 6 1 2 0 6 2 】i f 尼 o i ft h ec e i l t e ro ft h e s d i w d r d o s 6 】i si no ，t h e nw ed e n o t e i tb y 【a s 6 】= 陋1 z 0 0 2 s 6 】s i i n i l a r l y ，【o s 6 】= 【o s b l 叠0 6 2 】 ( o fc o u r s e ，e i t h e r 锄o r 玩m a yb ee m p t y ) d e 6 n i t i o n1 3 1 t h es - d i 、) l ，o r d ( 1 3 ) i sc a l l e dan o r m a ls d i w o r di fo n eo ft h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sh o l d s ： ( i )庇= 0 ， ( i i ) 七 0a n dsi sr i g h tn o r h l e d w ec a l lan o r m a ls - d i w o r d 【0 s 6 】al e r ( r i g h t ) n o r l e ds d i w o r di fb o t hsa 肛d 【o s 6 】a r e 1 e r ( r i g h t ) n o 咖e d i np 盯t i c m a r y ，si sal e r ( r i g h t ) n o r m e ds d i r o r di fsi sl e f t ( r i g h t ) n o r m e dp o l y n o m i a l t h ef o l l 0 w i n gl e m m af 0 1 l o w sf r o mt h ea b o 、r ep r o p e r t i e so ft h eo r d e r i n g l e 姗a1 3 2 上砀r 口仃d r m 耐8 一出叫d 庀【o s 6 】，纨ez e 口砒佗9t e 仰z 盯陋s 6 】i se 口u 以d n 同6 】， 危疵妇，【o s 6 】= 【凸同纠m d 他印e c 析f f y ，乏厂 陋s 纠= z m 卜- 卜z 一1 卜z o z 1 一一z n l z k s ， 耽e 他c d 屯印o 也叼t d 忌= 0 ，尼 o ，他印e c i 可e 匆，伽e 九口口e i 二：1 二_ _ _ = 瓦- _ f 霸i 丁- _ 瓦= z m 卜卜z 一1 卜同一z 1 一一。n ， 芴二_ mf _ 卜- s 卜- 卜z o ： i 。= z m 卜卜同卜卜_ z o 1 一z t l ， 三二：- f _ _ _ f _ i 了j r _ _ = i _ i ：r - - 而= z m 卜卜z o 一一 司一一z n 口 1 4 c o m p o s i t i o n s n o w ，r ed e 6 n ec o m p o s i t i o 璐o fp o l y n o m i a l si nd ( x ) d e f i n i t i o n1 4 1 l e tt h eo r d e r i n g i 叫i ， w h e r el 厂6 】i san o r m a l 产d i w o r da n d 【叼】an o r m a l 俨d i w o r d t h e n ( ，9 ) 【叫= 【厂6 i 一 0 夕】 i sc a l l l e dt h ec o l i 】【p o s i t i o no fi n t e r s e c t i o n ，a n d阻】i sc a l l e dt h ea 肛l b i g u i t yo f ，a n d 夕 r e m a r ki nt h ed e 矗n i t i o n1 4 1 ，f o rt h ec a s eo f2 ) o r3 ) ，w eh a e ( ，夕) m 【叫】f o rt h e c a s eo f1 ) ，d e 9 ( z 一厂) 如夕( 厂) + 1a n dc f e 夕( ，卜z ) d e 夕( ，) + 1 d e 矗n i t i o n1 4 2 l e tt h eo r d e r i n g b ea sb e f o r e ，scd ( x ) am o n i cs e ta n d ，9 s 1 ) l e tz 一，b eac o m p o s i t i o no f1 e f tm u l t i p l i c a t i o n t h e nz 一，i sc a l l e dt r i v i a l l o d u l os ，d e n o t e db y z 一，三0m d d ( s ) ， i f z 十厂：f 。z 一 叱 o 溉玩】， w h e r ee a c h 锄七，锄，玩x ，瓯只阮s t 玩】r i g h tn o r m e ds i d i w o r da n d 【o p - 】眈】i 如9 ( z - 1 厂) l e t ，卜zb eac o m p o s i t i o no fr i g h tm u l t i p l i c a t i o n t h e n 厂卜- zi sc a l l e dt r i 访a l m o d u l os ，d e n o t e db y ，卜z 兰0 仃l d d ( s ) ， i f ，卜z ：f 。z 一 毗【n 溉玩 ， w h e r ee a c h 后，o i ，现x + ，s i s ， a s 加 】l e f tn o r m e ds i d i w r o r da n di 【o t 降- 】玩】i d e 夕( t 厂卜z ) 8 2 )c o m p o s i t i o n ( ，9 ) mo “n c l u s i o n ( i n t e r s e c t i o n ) i sc a u e dt r i v i a lm o d u l o ( s ，【】) ， d e n o t e db y ( ，夕) 【。川兰o7 n d d ( s 【t d 】) ， i f ( ，夕) m = 吣玩】， w h e r ee a c hq 忌，啦，玩x + ，s s ，【吼s l 玩】n o 咖a 1s t d i w o r d ，k 同嘲 m a n de a c hk 瓯嘲i 8r i g h t ( 1 e 仡) n o 跚e d & 一d i w o r dw h e n e v e re i t h e rb o t h ，a n d 【叼6 】 o rb o t h ，纠a j l d n 9 】a l r er i g l l t ( 1 e r ) n o r h l e d5 _ d i w o r d s w ec a ut h es e tsag r 6 b n e 卜s 1 1 i r s h o vb a s i 8i nd ( x ) i fa n yc o m p o s i t i o no fp o l y n o i l l i 幽 i nsi st r i 、r i a lm o d u l os ( a n d 】) 1