（基础数学专业论文）banach空间中微分方程适度解的存在性.pdf

扬州大学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究 成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研 究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声 明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 彳么过 签字目期：妒缛j 月砂汩 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本 人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信 息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。 学位论文作者签名：主铁过 签字日期：砂矾年妇珀 导师签名： 签字日期：万 多日 扬州大学硕士学位论文 摘要 b a n a c h 空间中的微分方程理论是非线性分析理论的一个重要分支，因为它在工 程技术、国民经济、控制论和优化理论等应用数学学科有着广泛的应用，近几十年 来得到迅猛的发展 非局部问题是古典c a u c h y 问题的推广，b y s z e w s k i 最早研究了具有非局部条件 的半线性微分方程，他的一些文章中证明了方程在不同条件下适度解的存在性和惟 一性等因为非局部问题较经典的c a u c h y 问题在实际中有着更好的应用，因此引起了 许多作者的兴趣 中立型脉冲微分方程由于其在工程、生物、医药、生态等越来越多领域的广泛 应用，受到许多数学家的青睐因为我们在研究一些实际问题时，通常需要建立这些闯 题的数学模型，但在这些问题的发展过程中，通常都有一个短暂快速的扰动，经典的微 分方程并不能准确的描述这些扰动过程，而脉冲微分方程恰恰可以用来描述这些扰 动的瞬时性，这就是为什么近年来脉冲微分方程得到很大发展的原因 对于上述的这些方程已经得到了许多结果，包括解的存在性、唯一性、稳定性、 解的渐进行为以及解的拓扑结构等由于抽象微分方程是一个无限维系统，所以在 有限维空间中研究的是没有意义的，因此以往的很多方法和结果对半群的紧性的假 设至关重要本文是在半群失去紧性的条件下，讨论了b a n a c h 空间中具有非局部条 件的积分微分方程和中立型脉冲泛函偏微分方程适度解的存在性，本文共分为两 章： 在第一章中，我们讨论了b a n a c h 空间石中具有非局部条件的半线性积分微分 方程： 丢“( ，) = 出( f ) + f k ( r ，曲b “( s ) ) 凼，( 0 ，6 】 ”( o ) = g ( ”) + 适度解的存在性利用b a n a n c h 空间中半线性微分方程理论和方法、h a u s d o r f f 非紧 测度性质和不动点技巧，在空阉x 不需要可分的条件下，我们得到了当半群歹f 小和 厂失去紧性时上述方程在不同情形时适度解的存在性，改进和推广了该领域的一些 张进 b 柚h 空间中微分方程适度解的存在性 3 已知的相关结果 第二章致力于研究如下中立型脉冲泛函偏微分方程： 彖z ( r ) + g ( ) = 血( f ) + 巾，薯) 小，= m ， 而= 伊猡， 血( ) = ，( ) f = l ，2 ，疗 适度解的存在性，其中彳是线性算子解析半群的无穷小生成元本章利用的主要工 具是b a n a c h 空间中微分方程理论和方法、h a u s d o r f f 非紧测度的性质、解析半群理 论和不动点技巧，得到了上述方程适度解的存在性推广了这方面的许多工作 关键词：适度解：h a u s d o r f f 非紧测度：非局部条件：c 0 一半群：解析半群：积 分微分方程；脉冲微分方程；中立型微分方程 扬州大学硕士学位论文 4 a b s t l a c t a b s t m c td i 疏r e n t i a le q u a t i o n si nb 粕a c hs p a c e si s 锄i m p o n a n tb m n c hi nt h e o 叮 o fn o n l i n e a r 锄a l y s i s ，i th a sd e v e l o p c df a s ti nt h el a s td e c a d e sb e c a u o fi t se x t e n s i v e p r a c t i c a la p p l i c a t i o n si nm a n ya r i 髭so fa 即j j e dm a t h e m a t j c s ，i n c l u d i 玎ge n g i n e e r i n g ， e c o n o m i c s ，o p t i m a lc o m r o l 锄do p t i m i z a t i o nm e o 阱 n o n l o c a li n i t i a lp r o b l e i t l se x t e n da n di m p r o v ct h ec l a s s i c a lc a u c h yp r o b l e m s t h e s t u d yo fa b s t 豫c tn o n j o c a ls e m i 】i n e a ri n i t i a lv a j u ep r o b l e m s 、张si n h i a t c db 罗b y s z e w s k i ， a m o n gh i s v e r a lp 印e r s ，h ep r o v e sm ee x i s t c n c ea n du n i q u e n e s so fm i l ds o l u t i o n s u n d e rd i 任b 他n tc o n d i t i o n s s u b s e q u e n t l y ，m 锄ya u t h o r sa r ed e v o t e dt 0t l l e s t i l d yo f v a r i o u sn o n l o c a lc a u c h yp r o b l e m sb e c a u s ei ti sd e m o n s t 豫主e dt h a tt h en o 玎l o c a lp r o b l e m s h a v eb e 抵re 舵c t si na p p l i c a t i o nt h a nt h ec l a s s i c a lc a u c h yp r o b l e m s t h em e o 巧o fi n l p u l s i v en e u t m ld i 行e r c n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n t a r e ao fi n v e s t i g a t i o ni n 愆c e n ty e a r s ，s t i m u l a t e db yt h e i rn u m e r o u sa p p l i c a t i o n s1 0 p r o b l e m sa r i s i n gi nm e c h 觚i c s ，e n g i n e e r i n g ，m e d i c i n e ，b i o l o g y ，e c o l o g 鼬c t h er e 弱o n f o rt l l i sa p p l i c a b i l 时a r i s e s 舶mt h ef a c tm a ti l i l p u l s i v ed i 虢r e n t i a lp r o b l e m s a r e 粕 a p p r 0 砸酏em o d e lf o rd e s c r i b i n gp r o c e 弱w h i c ha tc e r t a i nm o m e n t sc h a n g et h e i rs t 如 期l p i d l y 锄dw h i c hc a 衄o tb ed e s c r i b e du s i n gc l a s s i c a ld i 疏r e n t i a lp m b l e m s t l l e r eh a v eb c e nm a n yr e s u l l s0 ns u c hp r o b l 锄ss u c h 弱吐l ee x i 咖n c e ，u n i q u e n e 鼹 锄ds t a b i l i 够o f l u t i o n s ，嬲y m p t o t i c a lb e h a v i o ro fs o i u t i o n sa n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t j e s o fs 0 l u t i o ns e t s t h i sp a p e ri sc o n c e r dw i t ht 1 1 es e m i l i n e a ri m e g r o d i 丘e 托n t i a le q u a t i o n s w i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n 鲫d 鹏u 唿li m p u l s i v ep a r t i a ld i 疵r e n t i a le q u a t i o n si nb 柚a c h s p a c e s 1 1 1 e 强i s 锄1 c eo fm i l ds o l u t i o n sf o rt 1 1 ee q u a t i q n sa 陀o b t a i n e dw i t h o u tt h e a s s u m p t i o no fc o m p a c 仃l e s so na s s o c i a t e d m i g r o u p s t h i sp a p c ri s 撇i n l yd i v i d e di r i t o “，0c h 啦璐 i i l c h a p t e r1 ，w es t u d yn l ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st 0t h ef o l l o w i n gs e m i l i n e 盯 i m e g o r d i f 诧r e n t i a le q u a t i o n 张进 b 锄a c h 空间中微分方程适度解的存在性 5 丢甜( f ) - 么搿( r ) + 上k ( 厶曲厂( 岛砧( s ) ) 呔，( 0 ，6 】 甜( o ) = g ( “) + w i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n si nb 柚a c hs p a c cx w r eu s et h cm e o d ra n dm e t h o d so f s e m i “n e a rd i 腩r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e ，t h ep r o p e r t i e so fh a u s d o r 铲sm e a s u 坞 o fn o n c o m p a c t n e s s 锄dt h ef i x e dp o i n tt e c h n i q u e sa sb a s i ct o o l s t h ee x i s t e n c eo f m i l d s o l u t i o n sf 0 rt l l ee q u a t i o n si nd i 行b r e n tc a s ei so b t a i n e dw i t h o u ta s s u m p t i o no nt h e c o m p a c t n e s so f l es e m i g r o u p 丁( ，) o r 如n c t i o n 厂，a n dt h es e p a r a t i o no ft h es p a c e sx i s a l s on o tn e c e s s a 拶i n0 u rr e s u l t s s ow ei m p r 0 v ea n dg e n e r a l i z es o m ep 焊v i o u s s u i n t h i sa r a t h ep u r p o o fm ec h a p t e r2i st 0s t u d ye x i s t c n c eo f m i l ds o l u t i o n sf o ri m p u l s i 、，e p a r t i a ln e u t m lm n c t i o n a le q u a t i o n sm o d e l e di nt h ef 0 册 考) + g ( ) = 厶( ，) + 巾，五) ，= m ， 而= 9 ， 缸( f f ) = ( ) f _ l ，2 ，刀 w h e 聆彳i st h ei n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o fo f 孤a n a l y t i cs e m i g r o u po fl i n e 盯o p e r a l o r s d e f i n e do nab 觚hs p a c ex o u rb a s i ct o o l sa r et h em e t h o d s 粕dr e s u n sf o rd i f r e 托n t i a l e q u a t i o n si nb a 眦c hs p e s ，t l l ep r o p e r t i e so fh 踟s d o m sm e a s u 陀o fn o n c o m p t i l e s s ， t h e 恤。哆o fa n a l y t i c 锄dt h ef i x e dp o i n tt c c h n i q u e s w bg a i nt h ee x i s t c n c eo fm i l d s o l u t i o nf o rt 量l ee q u a t i o n s ，w h i c he x t e n d 卸di m p r o v em 卸y 坞s u i t sa b o u t l i sp r o b l e m k e y w o r d sa n dp h 咫s e s ：m i l ds o l u t i o n ；h a u s d o r f rm e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ； n o n l o c a lc o n d i t i o n s ；c o - s 锄i g r o u p ；a n a l ”i cs e m i g r o u p ；i i l t e g r o d i 仃e 托n t i a le q 岫t i o n s ； i m p u l s i v cd i 虢踟_ t i a le q u a t i o n s ；n e u t r a ld i 虢f e n t i a le q u a t i o 璐 扬州大学硕士学位论文 第一章b a 衄c h 空间中具有非局部条件的积分微分方 程适度解的存在性 1引言 本章主要讨论了b a n a c h 空间x 中具有非局部初始条件的半线性积分微分方 程： 鲁掰( f ) = 么甜( f ) + f 趸( 毛s ) 厂( 岛甜( s ) ) 凼f ( o 6 】， ( 1 1 1 ) 材( o ) = g ( “) + ( 1 1 2 的适度解的存在性，其中彳为线性算子半群 丁( f ) ：f o ) 的无穷小生成元，：【o ，6 】 x _ 石，g ：c ( 【o ，6 】；x ) 专z ，k ：【o ，6 】【o ，6 卜为适当函数，6 o 为常数 b a n a c h 空间中微分方程和积分方程解的存在性问题，近年来得到广泛的关注和 研究 卜4 ，非局部问题是古典c a u c h y 问题的推广，比经典的c a u c h y 问题在实际问题 中有更好的应用，b y s z e w s k i 5 最早在上世纪9 0 年代初研究了非局部c a u c h y 问题的 经典解，强解和适度解的存在性和唯一性关于非局部c 硼c h y 问题的各种不同类型的 方程也有很多作者在研究报道 6 9 最近x u e 1 0 一1 1 ，f 柏 1 2 在这方面也做了深 入的研究，取得了很好的成果 本文利用非紧测度和不动点理论，研究了在r ( r ) 和失去紧性和不需要x 可分 的情况下，方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 适度解的存在性，因此推广和改进了该领域一些先 前已知的结果 张进b 锄h 空间中微分方程适度解的存在性 7 2预备知识 本节我们给出本文所必需的定义的引理 设( x ，1 1 i | ) 是一个实的b 锄a c h 空间，c ( 【o ，6 】；x ) 表示定义在【o ，6 】上x 值向量连 续函数空间，其范数为叫| = s u p i i “( f ) ，f 【o ，6 】) ，其中甜c ( 【o ，6 】；x ) 可测函数 材：【o ，6 卜争x 称为b o c h n e r 是可积的，当且仅当f 专肛( ，) 0 是l e b e s g u e 可积的记为 掣( o ，6 ；x ) = 豁：【o ，6 卜xi 掰是b 。c h n e r 可积的 ，其范数定义为一= f 扣( f ) l 出 定义1 2 1 设】，是实b a n a c h 空间，b 是y 中任一有界子集，令 屏( b ) = i n f 占 o ；b 在】，中能被有限个半径不大于占的球所覆盖) ，则称屏( b ) 为b 在y 中的h a u s d o m 非紧测度 引理1 2 1 ( 【1 3 】) 设】，z 均为实b 锄a c h 空间，b ，c 是】，中有界集，名是一实数，则 有： ( 1 ) 屏( b ) = o b 是相对紧集； ( 2 ) 屏( b ) = 屏( 西) = 屏( ，柏) ，其中否和，舳分别表示b 的闭包和凸包； ( 3 ) 口互c j 屏( b ) 屏( c ) ； ( 4 ) 屏( 曰+ c ) 屏( 占) + 屏( c ) ，其中口+ c = z = x + y ：x 丑，y c ) ； ( 5 ) 屏( 君u c ) m a ) 【 屏( 召) ，屏( c ) ； ( 6 ) 屏( 肋) l 名i 屏( 口) ，其中允b = x = 勉：z b ) ； ( 7 ) 若映射口：d ( 秒) 】，专z 是l i p s c h i 亿连续的，且其l i p s c h i t z 常数为三，则对任意 有界集曰冬d ( 秒) ，有厦( p b ) 三屏( 曰) ； ( 8 ) 屏( b ) = i n f 以( e c ) ；cc 埔对紧 ，其中4 ( 历c ) 表示b 与c 在】，中的 h a u s d o r f r 距离； ( 9 ) 若 形) ：是】，中非空有界闭集降列且! 骢屏( 呒) = o ，则n 葚t 呢是】，中非空紧集 扬州大学硕士学位论文 定义1 2 2 设】，是实b a n a c h 空间，q ：】，一】，连续有界，若存在正常数七t o ，专 r ( f ) x ：工召) 都等度连续，则称半 群丁( f ) 等度连续 张进b 柚a c h 空间中微分方程适度解的存在性 9 引理l2 6 若半群丁( f ) 等度连续，7 三( o ，6 ；灭+ ) ，则对任意f 【o ，6 】，集合 f 丁。一s ) 甜( j ) 凼，肛( s ) o 7 7 ( s ) ，口p j 【o ，6 b 等度连续 下面我们将给出当g 是紧的，厂满足一个非紧测度条件适度解的存在性然后将 用不同的方法给出当g 是l i p s c h 沱连续，满足一个非紧测度条件适度解的存在性 不失一般性，我们假设= 0 3主要结果 本节我们给出本章的主要结论，即g 在不i 司情形f 方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 适度 解的存在性 3 1 g 是紧算子情形 这一部分我们将利用h a u s d 0 毋非紧测度理论来研究非局部c a u c h y 问题 ( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 适度解的存在性，为此我们给出下面的假设： ( 倒) ：丁( f ) 是由彳生成的等度连续c o 一半群，且存在m ( m 1 ) 使得 膨= 锄p 舻( 佛 【o ，6 】) ( 可) ：( 1 ) 厂满足c 嬲l n l 6 0 d 0 巧条件，即对任意的材x ，( ，甜) 可测，对几乎所有 的r 【o ，6 】，厂( f ，) 连续； ( 2 ) 存在函数j i l ：【o ，6 】一，使得对任意的s o ，办( ，s ) 上( o ，6 ；f ) ， 对几乎所有的，【o ，6 】， ( ，) 递增且连续，对任意“x ，j l ( ，“) | | o ，对任意“c ( 【o ，6 】；x ) 得使得| f g ( 甜) 忙： ( 月x ) ：( 1 ) 对每一个f 【o ，6 】，k ( f ，) 在【o ，6 】上可测，且 k ( f ) = p 船s u p i k ( f ，s ) i ：o s f ) ： ( 2 ) 映射f 专x ( f ) 连续 在上面的假设条件下，我们给出存在性结果 定理1 3 1 若条件( 删) ，( 影) ，( 玩) ，( 欣) 均满足，则方程( 1 l1 ) 一( 1 1 2 ) 至少 有一个适度解 证明：设m ：【o ，6 卜彤是下面标量方程的一个解： m ( f ) = 心+ 掀f ( 册( s ) ) 凼 ( 1 3 2 ) 其中x = s u p 陋( f ) l ，定义映射q ：c “o ，6 】；x ) 哼c ( 【o ，6 】；x ) 为 ( 矾) ( ，) = r ( ，) g ( 材) + f r ( 卜s ) r k ( 妒) ( 础( ，) ) 融， 其中，【o ，6 】，甜c ( 【o ，6 】；x ) 由定理的假设条件( 巧) 和l e b e s g u e 控制收敛定理易 知q 在c “o ，6 】；x ) 上是连续的 记= “c ( 【o ，6 】；x ) ：肛( f ) l j 朋( f ) ，任意的f 【o ，6 】 ，则c ( 【o ，6 】；x ) 是一 个有界闭凸集定义暇= 砚( ) ，其中历丽表示凸闭包，易见彤c ( 【o ，6 】；z ) 是 闭凸集，而且对任意的“q ( ) ，f e 【o ，6 】有： ，) l i o 存在 ) 三c 呢使得 夕( q 睨( z ) ) 2 罗( u 三缈。( r ) ) + g 2 夕( ) g ( u 二( ，) ) + f 丁( ) r k ( 妒) 巾，u 琶( ，) ) 抛) ) + 占 2 p m r ) g ( u 二( ，) ) ) ) 脚( 渺( ) r k ( ) 竹，u 鼍( ，) ) 抛) ) + 由g 的紧性，引理1 2 1 ，引理1 2 4 ，引理1 2 5 和( 可) ( 3 ) 可得 ( q 形( f ”= ( q 呢o ) ) s 2 ( 渺( ) r k ( 叫巾，u 篙( ，) ) 融) ) + 占 2 肘f ( f k ( s ，) ( ，u 鼍蚝( ，) ) 咖 ) 凼+ g 4 mfr l k ( j ，) p ( 厂( ，u 葚。( ，) ) ) 西击+ s 4 搬“刁( ，) ( u 篙( ，) ) ) 抛+ g 4 艇fr 刁( ，一) ( 呢( r ) ) 撇+ 占 4 6 懈f 誓( j ) 夕( 形( j ) ) 凼+ 占 4 6 懈r ，7 ( j ) ( 呢( s ) ) 豳忆 扬州大学硕l 学位论文 由占的任恿性可得： ( q 形+ ( f ) ) 4 掀f 叩( s ) ( 取( s ) ) 凼 ( 1 3 3 ) 因为彬单调递减，所以可以定义万( r ) = 熙( 呒( f ) ) 在( 1 3 3 ) 式中，令n _ + o o 得： 万( f ) 4 6 艇r 刁( j ) 万( s ) 出 ( 1 - 3 4 ) 由著名的g r o n w a l l 不等式知万( f ) = o 故由引理1 2 3 知屏( 呢) = o ，又由引理1 2 1 知形= n = 是c ( 【o ，6 】；x ) 中非空闭凸紧集，且q c 矿，故由s c h a u d e r 不动点定理 知q 在矿中至少有一个不动点z f 即甜是初值问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 适度解定理证 毕 注：若厂是紧的或l i p s c h i t z 连续时文献 2 ，1 2 ，( 巧) ( 3 ) 显然成立 在早期的一些文章中和上面的结论中，假设g 是一致有界的，这个条件比较强，我 们可以将其弱化事实上，g 是紧的就意味着它在有界集上有界另外条件( 缈) ( 2 ) 有时候很难验证，这里我们给出当g 不是致有界和厂满足另一种增长型条件适度 解的存在性，即将( 彤) ( 2 ) 替代为下面的条件： ( 巧) ( 2 ) ：存在函数口工( o ，6 ；) 和递增函数q ：彤j 矿使得对任意 “x ，口名。【o ，6 】有妙( 埘) i i 口( f ) q ( ) 定理1 - 3 ，2 若条件( 翮) ，( 巧) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，( 题) ( 1 ) ，( 凇) 均满足，且下面条件成 立：r 舰s 印警( 缈( 七) + 6 k q ( 七) r 口( s ) 凼) o ，使得肘( 妒( 七) + 6 艘( 七) r 口( s ) 凼) 七，类似 于定理1 3 1 证明，设= 甜c ( 【o ，6 】；x ) ：肛( f ) i f 七，任意f 【o ，6 b ，彬= 确( ) ， 对于任意甜q ( ) ，f 【o ，6 】，我们有： ) i j m 缈( 七) + 掀fr 口( ，) q ( 七) 触 m 妒( 七) + 懈q ( 七) r 口( j ) 凼 七 这意味着形c 后面的证明与定理1 3 1 的证明完全类似定理证毕 3 2g 是l i p s c h i t z 连续情形 在以前的一些存在性结果中，作者总假设当丁( f ) 是紧的，g 也是紧的，或者当 厂( ，) 是l i p s c h 池连续的，g 也是l i p s c h 池连续的在前一部分我们得到了当g 是紧 的，但丁( f ) 和厂失去紧性的条件下适度解的存在性在这一部分我们将讨论g 是 l i p s c h 池连续的而厂( f ，) 不是l i p s c h i t z 连续时，方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 适度解的存在 性 、 用下面的条件替代( ) ( 1 ) ： ( ) ( 1 7 ) ：存在常数三( 。，击) 使得对任意的甜，v c ( 【。，6 】；x ) ， 0 9 ( “) 一g ( v ) 0 三l 卜一 ，i | 定理1 3 3 若假设条件( 删) ，( 巧) ，( 魄) ( 1 ) ( 2 ) ，( 胀) 均满足，且下面条件成 立： 尬+ 4 懈r ，7 ( 5 ) 凼 l ， 则方程( 1 。1 1 ) 一( 1 1 2 ) 至少有一个适度解 扬州大学硕士学位论文 证明：对任意的甜c ( 【o ，6 】；爿) ，定义映射q ：c “o ，6 】；x ) c ( 【o ，6 】；x ) 为 ) ( f ) = 丁( 咖( 材) + f r ( f 一5 ) r k ( 妒) 厂( 删( ，) ) 融，【o ，6 】， 假设q = q + q 2 ，其中： ( q ) ( r ) = r ( f ) g ( 甜) ， ( q ”) ( f ) = f 丁( r - j ) r k ( ) ( 删( ，) ) 融 类似定理1 3 1 的证明，定义= 材c ( 【o ，6 】；x ) ：肛( f ) 忙掰( f ) ，任意f f o ，6 】 ， 形= 鬲初( ) ，由定理1 3 1 的证明知形是c ( f o ，6 】；x ) 中有界闭凸集，在( o ，6 】上等 度连续，且q 矽c 矿 下面我们证明q 是形上的严格集压缩映象 首先，踢是l i p s c h i t z 连续的 事实上，对任意的材，c ( 【o ，6 】；x ) ，f 【o ，6 】有 峰甜( ，) 一g v ( r ) 0 = l l r ) g ( “) 一r o ) g ( v ) 0 m i i g ( 甜) 一g ( v ) 0 1 纪l 卜一v 8 ， 则对r 【o ，6 1 ，取上确界可得： l l q i 甜一q v i | o 存在序列 u = jc 口，使得 ( 易b o ) ) 2 ( u 罢。( f ) ) ) + s 注意到b 和q 占都是等度连续的，由引理1 2 1 ，引理1 2 4 ，引理1 2 5 和( 矽) ( 3 ) 可 得： 张进b a 眦c h 空间中微分方程适度解的存在性 1 5 夕( q 2 占( ) ) 2 m f 罗( r k ( 是，) ( 乃u = 心( ，) ) 办 ) 出+ 占 4 肘加k ( 川p ( 外，岵( ，) ) ) ) 抛+ 占 4 般fr 刁( 厂) ( u 三( ，) ) ) 抛+ 占 4 懈fr7 7 ( ，) ( 曰( ，) ) 西+ 占 4 6 懈r 刁( s ) ( b ( s ) ) 凼坛 由引理1 2 3 ，对f f o ，6 】取上确界可得： 尾( q 2 ( b ) ) 4 6 孱( 占) f 7 7 ( s ) 凼+ 占 由占的任意性可得： 屉( q 2 ( b ) ) 4 6 懈屉( 占) r 刁( j ) 出 ( l3 8 ) 其中b 为矿中任一有界集故对任意的召c 形，由引理1 2 1 和( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 式可褥： 屈( 妒) 展( q l b ) + 屉( q 2 b ) s ( 尬+ 4 掀矽( j ) 咖) 屈( b ) 由( 1 3 6 ) 式知，q 是形上的严格集压缩映象，由引理1 2 2 ( d a r b 0 - s a d o v s l ( i i ) 知q 在矿中至少存在一个不动点甜，这个即是方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 的适度解 下面我们给出g 不是一致有界时原方程适度解的存在性 定理1 3 4 若条件( 倒) ，( 魄) ( 1 7 ) ，( 可) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 满足，且( 1 3 6 ) 式和下式成 立： 尬+ 懈e 口( s ) 凼舰叩挈 t ， ( 1 - 3 9 ) 则方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) 至少有一个适皮解 证明：由( 1 3 9 ) 式和三 0 使得： 扬州大学硕士学位论文 1 6 肘( 舡+ 6 k q ( 七) r 口( s ) 毋+ 悟( o ) 8 ) 七， 定义= “c ( 【o ，6 】；x ) ：i 甜( f ) l l 七，v ，【o ，6 】) ，则对任意的“c 有： 胁( 悱m ( f | g ( “) | i + k i cr 口( ，) q ( 足) 抛) s 硝( f | g ( 甜) 一g ( o ) f | + f | g ( o ) f l + k fr 口( ，) q ( 后) 掀) m ( 勉+ 恬( o ) | | + k fr 口( ，) q ( 七) 抛) 膨( 托+ 恬( o ) | | + 6 k q ( 豇) r 口( s ) 凼) 七 这意味着q c 定义形= 确( ) ，由上面的证明知后面的证明与定理 】3 3 的证明窨伞类似帘理讦毕 张进b 鲫a c b 空间中微分方程适度解的存在性 1 7 第二章b a n a c h 空间中中立型脉冲偏微分方程适度 解的存在性 1引言 本章主要讨论b a n a n c h 空间x 中的中立型脉冲偏微分方程 害) + g ( 毛五) = 厶( ，) + 心，) ，川= m ， 而= 缈， 缸( ) = ，( ) 扛l ，2 ，刀 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 适度解的存在性，其中其中薯：( 埘，o 】一z ，薯( 矽) = 工( f + p ) 属于抽象的相空间，彳 是线性算子解析半群的无穷小生成元忙j i = s u p | | 茗( s ) | i ，g ，( 扛1 ，2 ，功： j 一x ，o f 2 对掣( 碲磁( x ) 赋以范数 批= 。器，剃，易知磁( 矾磁( x ) 均为相空陬 在本章中我们假定彳：d ) 彳专x 是一致有界线性算子解析半群r ( f ) 的无 穷小生成元，o p 0 ) ( p ( 彳) 为彳的预解集) ，则由解析半群的性质可知，对任意 o 口s 1 可定义分数幂算子( 一么) 口，它是定义在d ( ( 一彳广) 上的闭线性算子，且 d ( ( 一彳) 4 ) = 石定义d ( ( 一彳) 4 ) 上的范数h l = 0 ( 一彳) 口工0 ，x d ( ( 一么) 4 ) 记 以= ( d ( ( 一么) 口) ，降k ) ，具有下面的性质。 引理2 2 1 ( 【2 9 】) 若以上条件成立，则对0 1 使得 叭f ) 忙砑，f ， ( 巧) ( 1 ) 函数厂：，一x 满足c a r a t k o d o r y 型条件，即对几乎所有的f ， 厂( ，) ：_ x 连续，对任意的y 尻( ，少) 可测 ( 2 ) 存在函数吩三( 0 ，口；足+ ) 和连续非减函数q ( ) ： o ，删一 o ，佃) 使 得i l ( f ，) 6 唧( f ) q ( | l 沙0 声) ，f 毛y ( 3 ) 存在函数刁z ( o ，口；r + ) 使得z ( r ( s ) 厂( f ，形) ) 7 7 ( f ) s u pz ( ( 口) ) ， sfsu 对几乎所有的f ，形g 均成立 ( 嵫) 存在( o ，1 ) 使得g 是函数，对任意x ：，口】专石，而，x i ， 形，函数f 一( 一彳) 户g ( 厶薯) 在j 上连续，且存在正常数q ，c 2 ，厶使得 l l ( 一4 ) ，g ( f ，少) 0s c ll l y 声+ c 2 ， l i ( - 么) ，g ( 蝴) 一( 一彳) 卢g ( 卸) | f o ，f = 1 ，2 ，以，使得 张进b 锄a c h 空间中微分方程适度解的存在性 0 ( f ，) 一( 伊) 0 厶l i 吵一伊0 ，少，缈侈，f = 1 ，2 ，刀 ( 巧) ( 3 ) 对任一有界集d c 口存在常数办z ( o ，口，r + ) 使得 z ( ( f ，d ) ) 办( ，) s u pz ( d ( 秒) ) 对几乎所有的f j ，其中d ( 口) = y p ) ：缈d ) s f s o 定义函数) ，：( 嘲，口卜x ，= 缈，y ( f ) = r ( ，) 伊( o ) ，f ，则y 下面记 疋= s u pk ( f ) ，心= s u p 足( ，) 0 9 5 妇，e 定理3 1 假设条件( 上阴) ，( z f 7 r ) ，( 蜀亨) ，【f 口) 均满足，若还有f 列条件成立 ( 1 ) 蝴一；l i + 孚扣啪脚；唑f 半+ 砑外，叫， ( 2 ) 厶+ r 刁( s ) 西 o 令犀= x 忍，。七) ，则 羼s 忍为有界凸集，对任意的z 屡，由y 的定义和相空间的公理可得 l k + 只k l k l l + 1 只1 0 k ( f ) s u p 肛( 啡o j f ) + m ( f ) + x ( f ) s u p 渺( 跳o s f + 膨( f ) 罗 疋七+ 吃砑日i i 伊0 ，+ 乞0 缈0 ， = 兄七+ ( 瓦砌+ 心) f 令七= 兄七+ ( 心砌+ 鸩) 俐b ，则 扬州大学硕士学位论文 忙+ 圳s 七 定义算子r ：绣一线为 h ( f ) = ( 2 - 3 3 ) 0 ， f 0 r p ) g ( o ，缈) 一g ( f ，+ 只) 一f 彳丁( f s ) g ( s ，墨+ 只) 毋 + f 丁o s ) ( s ，t + 儿) 凼+ 丁o 一) ( 气+ 咒) ， ， u l r 由假设条件( 删) ( 题) 和( 2 3 3 ) 式知 l j ( 一彳) 丁( f s ) g ( s ，+ 只) 0 = l ( 一彳) 1 - ，r o s ) ( 一彳) ，g ( s ，薯+ 只) 0 o 存在屏，广，使得0 ) 忙七，即 张进 b 卸a c h 窄间中微分方程适度解的存在性 2 3 妖畛( ，) l 忙( ，) g ( o ，缈) 0 + 怙( ，i ，+ ) 0 + f 忙丁( ，i j ) g ( s ，+ 儿) j | 凼 棚丁( 卜s ) 砟，+ 咒) h 引丁( 卜) ( t + 以) 0 砑o g ( 。，伊) o + f l ( 一么) 一o ( qo + 只。o ，+ 乞) + c i 一f 昝凼 + 砑f ( s ) q ( 悻+ 蚱豳+ 砑。三。厶峙+ 跆k 衍l i g ( o 州巾彳) 一* 肌乞) + 孚( + q ) + 藏( 矿) r 竹( s ) 豳+ 磁窆， 两边同除以七，再令七一佃取下极限得 州一，| l + 孚卜鲥群铷r 啪牌乎半 糊一，| | + 等 + 砑射触f 铷r 啪唧警车 削的定义易见l 黜f 等l 唑掣学= l i 恶够掣，因此有 ，5 啪一，l l + 孚扣啪，凼半+ 砑斟 这与( 2 3 1 ) 式矛盾因此一定存在七 0 使得r 属屡 第二步r 。在磊上l i p s c h 沱连续，且l i p s c h 妇常数为厶，其中 h 广l | + 孚 + 砑甜 事实上，对任意的豁，v 屡， i i r l 材一r ，y 0 扬州大学硕士学位论文 2 4 2 删r - 甜( 矿i 川0 磐| l g ( ，坼+ 咒) 一g ( f ，哆+ 训i + 霉册么) 丁( ) 以+ 见) 一g ( 鹕+ 只) | l + 攀剖丁( ) ( + 以) 一( 屹+ 堋 啡一彳) 叩盱哆露霉喜厶卜_ k + 磐肛彳) 郸r ( ) 陋) 一声g ( 蹦+ 儿) 一( 一彳) 叩g ( + 圳凼 科卜广愁判致刈+ 普f 静陋吨豳 + 砑磐 私( f ) 斗刊 眯砂m 卜v 静砷_ 叫l 口凼+ 瓦唾啦地 = 艺广| | + 孚卜鲫虬 = 厶l i “一v i | 口， 因此，r ，在反上l i p s c h 池连续，且l i p s c h 池常数为厶 第三步r 是严格集压缩映象 首先，由假设条件( 髟) ( 1 ) 和l e b e s g u e 控制收敛定理易知r ：在犀是连续的，另外 r ：盔在，上是等度连续 事实上，对任意的r l ，f 2 【o ，口】，任意的x 层由假设条件( 巧) r ：x ( 乞) 一i ：x ( ) 0 张迸 b 觚h 空间中微分方程适度解的存在性 2 5 = 8 rr ( f 2 一s )