（基础数学专业论文）a单调性及其在非线性变分包含与集值变分包含组中的运用.pdf

a 单调性及其在非线性变分包含 与集值变分包含组中的运用 学科专业t 指导教师， 应用数学 邓磊教授 研究方向；非线性泛函分析 研究生t 余显志( $ 2 0 0 4 0 7 9 1 ) 摘要 本文在h i l b e r t 空间中给出了一类新的含小单调映象的完全广义集值强非线性混合隐拟 变分包含和广义集值变分包含组通过研究a 单调映象及其预解算子的性质，我们提出了一 些新的算法来解这些变分包含和变分包含组这些算法产生的迭代序列的收敛分析也被讨论 本文结果本质上是一般的并且改进和延拓参考文献中的大量结果 本文分为以下三章； 第一章、主要介绍了一些基本概念和小单调映象的起源，发展及应用通过研究a 单 调映象的性质，定义了a 单凋映象的预解算子并讨论了其l i p s c h i t z 连续性 第二章、在h i l b e r t 空间中引入并研究了一类新的含a 一单调映象的完全广义集值强非线 性混合隐拟变分包含通过应用a 一单调映象的预解算子技巧，我们构造了一个新的迭代算 法来逼近这类完全广义集值强非线性混合隐拟变分包含的解，并讨论了此算法产生的迭代序列 的收敛分析 第三章，在h i l b e r t 空间中给出了一类新的含a 一单调映象的广义集值变分包含组，提出 了一个新的迭代算法来解这类广义集值变分包含组，并在适当的假设下建立了其强收敛特征 关键词：小单调映象；预解算子技巧；强单调；松弛单调；松弛l i p s c h i t z 连续；广义伪压 缩；完全广义集值强非线性混合隐拟变分包含；广义集值变分包含组 a - m o n o t o n i c i t ya n di t sr o l ei nn o n l i n e a r v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n ds y s t e mo f s e t v - a l u e d i a t i o n a li n c l u s i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c ss p e c i a l i t yi n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s a d v i s o rlp r o f l e id e n g p o s t g r a d u a t ei x i a n - z h iy u a b s t r a c t t h i sp a p e rg i v e san e wc l a s so f c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e di m p l i c i t q u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dan e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t - v a h e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n g a - m o n o t o n em a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e s b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fa - m o n o t o n em a p p i n ga n d i t sr e s o l v e n to p e r a t o r ，w ep r o p o s es o m en e wa l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h e s ev a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n d s y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db y t h e s ea l g o r i t h m si sa l s od i s c u s s e d t h er e s u l t so ft h i sp a p e ra r eg e n e r a li nn a t u r ea n di m p r o v ea n d e x t e n dab r o a dr a n g eo fc o n s e q u e n c e si nt h el i t e r a t u r e t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yi n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h eo r i g i n ，d e v e l o p m e n ta n da p p l v c a t i o no fa - m o n o t o n em a p p i n g ，b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fa - m o n o t o n em a p p i n g ，w ed e f i n et h e r e s o l v e n to p e r a t o rf o ra m o n o t o n em a p p i n ga n dd i s c u s si t sl i p s e h i t zc o n t i n u i t y i nc h a p t e rt w o ，an e w c l a 8 8o f c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e di m p l i c i t q u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n ga m o n o t o n em a p p i n gi si n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e di nh i l b e r t s p a c e s b ya p p l y i n gr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ef o ra - m o n o t o n em a p p i n g ，w ec o n s t r u c tan e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n so ft h ee l a 8 8o fc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e ds e t v a l u e d s t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e di m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so f t h ei t e r a t i v e s e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sa l s od i s c u s s e d i nc h a p t e rt h r e e ，an e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n ga - m o n o t o n em a p p i n g si sg i v e ni nh i l b e r ts p a c e s an e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h i ss y s t e m o fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si sp r o p o s e da n di t ss t r o n gc o n v e r g e n c ec r i t e r i ai sa l s o e s t a b l i s h e du n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s k e yw o r d s ：a m o n o t o n em a p p i n g ；r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ；s t r o n gm o n o t o n e ， r e l a x e dm o n o t o n e ；r e l a x e dl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ；g e n e r m i z e dp s e u d o - c o n t r a c t i v e ；c o m p l e t e l yg e n e r - a l i z e ds e t v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e di m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ；s y s t e mo fg e n e r a l i z e d s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s 独创性声明 学位论文题目：垒二垫遇! 眭丞基在韭线性变金鱼金鱼篡焦变金鱼金塑 主鲍重用 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 目 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：渺导师签名： 签字日期：2 嘲年斗月2 乡日 签字日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话 邮编 名月矽日 第一章引言与预备知识 1 1 引言 众所周知，自从1 9 6 4 年s t a m p a c c h i a 提出变分不等式理论以来，变分不等式理论在研究 大量产生于纯粹数学和应用数学之不同领域中的问题时已成为非常有效的和强大的工具，诸 如s 微分方程，机械，物理，优化和控制，数学规划和数理经济的平衡理论等( 可参见f 1 ，1 4 ， 1 7 ，2 3 ”不仅是为了自身目的还是其应用，变分不等式已经沿不同方向通过新颖而有创造性 的技巧与方法得到了延伸和推广其中一些有用的和重要的延伸就是隐拟变分不等式和隐拟 变分包含d i n g 3 ，5 ，9 】，d i n g 和p a r k 1 0 ，d i n g 和x i a 【1 1 ，h u a n g 【1 9 ，l i u 2 4 】使用不同 的方法从各方面研究了大量此类问题 最近，d i n g | 4 1 在h i l b e r t 空间中引入了一类新的含舡极大单调映象的参数完全广义混 合隐拟变分包含 p e n g 和l o n g 【2 6 1 研究了带极大单调映象的参数完全广义强非线性隐拟变 分包含的解的灵敏性他们都使用了预解算子的技巧 另一方面，最近几年各种各样的单调性概念被提出2 0 0 0 年，d i n g 和l u o 【2 】引入了俨 次微分和中近似映象的概念通过使用这些概念，提出了一些迭代算法来逼近各类变分不等 式的解 2 0 0 3 年，h u a n g 和f a n g 【i s 首次引入极大俨单调算子，此包含叩- 次微分算子为 特例，定义了带极大咿单调算子的预解算子通过此预解算子技巧，给出了一类含极大俨单 调算子的一般变分包含的解的存在性同年，f a n g 和h u a n g 【1 2 】在h i l b e r t 空间中引入日 单调算子，此延伸了极大单调算子，并利用带日一单调算子的预解算子技巧研究了一类变分包 含此后，d e n g 【2 1 】和l i 2 2 也研究了带日一单调映象的广义集值变分包含组不久，f a n g 和h u a n g 【1 3 】进一步在h i l b e r t 空间中引入( h ，q ) 一单调算子，定义了其预解算子，通过使用 此预解算子构造了一个新的迭代算法来解一类算子包含问题2 0 0 4 年，v e r m af 2 8 1 引入a 一 单凋映象的概念并将其用于解非线性变分包含组a 一单调映象是日一单调映象的推广，它源 于半变分不等式，主要用于解决非凸条件下的非线性变分问题为更好的解释a 单调映象， 参见【3 3 半变分不等式，最初由p a n a g i o t o p o u l o s 3 4 】提出并研究，与非凸能源函数有关，被 证实在证明非凸约束问题解的存在性时非常有用另外，v e r m a 【3 1 ，3 2 】引入并研究了一些变 分不等式组和发展了一些迭代算法逼近这些变分不等式组的解 受以上工作的鼓励和激发，本文首先研究和讨论了a 单调映象的性质，定义了a 单调 映象的预解算子并证明了其l i p s c h i t z 连续性然后，引入并研究了h i l b e r t 空间中一类新的含 a 一单调映象的完全广义集值强非线性混合隐拟变分包含通过应用以一单调映象的预解算子 技巧，构造了一个新的迭代算法来逼近这类完全广义集值强非线性混合隐拟变分包含的解 讨论了此算法产生的迭代序列的收敛分析最后，在h i l b e r t 空间中引入和分析了一类新的含 a 一单调映象的广义集值变分包含组通过使用预解算子技巧，提出了一个新的迭代算法来解 这类广义集值变分包含组，并在某些适当假设下建立了其强收敛特征 1 - 2 预备知识 全文假设h 为实h i l b e r t 空间，并赋予范数”0 和内积( ，) ，令2 h ，c b ( h ) ，宜( ，) 分 别表示的全体非空子集簇，日的全体非空有界闭子集簇和c b ( h ) 上的h a u s d o r f f 度量 下面，我们回顾一些概念 定义1 2 1 设映象a ：h 一日为单值映象a 被称为是 ( i ) 单调的，如果 ( a u a u ，t 正一) 0 ，v t ，“7 日； ( i i ) 松弛单调的，如果存在一常数m 0 使得 ( a u a u ，t 一) 一m o t 正一“0 2 ，v “，t ，h ( i i i ) 强单调的，如果存在一常数r 0 使得 ( a u a u ，“一) r o t 一1 1 2 ，v 札，日； 这蕴含 i i a u a u 川2r i l “一“| 即a 是r 一扩张的，并且当r = 1 时为扩张的 ( i v ) l i p s c h i t z 连续的如果存在一常数0 0 使得 系 i i a u a u ，p 9 “一0 ，v t ，h 注1 2 1 显然，我们有以下的关于单调性，松弛单调性，强单调性以及扩张性的蕴含关 强单调寺单调号松弛单调 扎 扩张 定义1 2 2 设b e 只g ，s ：h c b ( h ) 为集值映象，a ，h ：h 一日，m ：h h 一 日，n ：hx h h 一日为单值映象 ( i ) h 被称为是关于g 强单调的如果存在一常数6 0 使得 ( 一 1 ，u t 7 ) d o u 一0 2 ，v 让，u t h ，u g ( u ) ，u g ( “7 ) ( i i ) n 被称为是对第一变元关于b 松弛单调的如果存在一常数| l 0 使得 ( ，) 一( 1 r ，) ，“一) 一o 10 一，2 ，v “，“h ，可b ( 乱) ，。7 b ( “7 ) ( i i i ) 被称为是对第二变元关于e 强单调的如果存在一常数o t 2 0 使得 ( ( ，口，) 一( ，勘，) ，u 一) 0 2 l i “一“翎2 ，vu ，t ，h ，钌g ( t ) ，v e ( “) 2 ( i v ) 被称为是对第一变元关于s 和a 强单调的如果存在一常数0 1 3 0 使得 ( g ( u ，) 一( u ，) ，a ( x ) 一a ( ) ) 2 口3 i i a ( * ) 一a ( y ) 1 1 2 ，v z ，y h ，s ( z ) ， s 白) ( v ) 被称为是对第三变元l i p s c h i t z 连续的如果存在一常数口 0 使得 j i n ( ，“) 一( ，“) i 口0 “一t ，| l ，v “，“7 日； ( v i ) n 被称为是对第一变元关于a 松弛l i p s c h i t z 连续的如果存在一常数o f 4 0 使得 ( ( z ，) 一v ( ，- ，) ，a ( x ) 一a ( ) ) 一d 4 i i a ( * ) 一a c y ) 1 1 2 ，v z ，口h ( v i i ) m 被称为是对第二变元关于f 广义伪压缩的如果存在一常数n 5 0 使得 ( 彳( ， ) 一朋( ， ) ，t 一, t , i ) q 5 l 钍一t ，2 ，v 缸，h ，口f ( 缸) ，f ( u 7 ) ( v i i i ) b 被称为是：- l i p s c h i t z 连续的如果存在一常数a 0 使得 日( b ( ) ，b ( u ，) ) a 0 一t ，v t i ，t ，日； 类似的，我们可以定义映象对第一，二变元的l i p s c h i t z 连续性，映象e ，f ，g 和s 的h l i p s c h i t z 连续性 注1 2 2 ( 1 ) 如果g = i ( h 上的恒等映象) ，那么( i ) 中h 关于，的强单调性即是定义1 2 1 中 ( i i i ) 的强单调性 ( 2 ) 如果b = e = i ，n 被a 代替，那么( i i ) ，( i i i ) 和( v ) 与定义1 2 1 中( i i ) ，( i i i ) 和( i v ) 一致 ( 3 ) 如果a = i ，那么( i v ) 中对第一变元关于s 和，强单调弱于对第一变元关于 s 和a 强单调( 其中a i ) ，见下面的例1 2 1 下面的例子表明对第一变元关于s 和a 的强单调性是对第一变元关于s 的强单 调性的推广 例1 2 1 设h = ( 一o o ，+ o 。) ，且设s ：h o b ( h ) 被定义为 f 双班 - 1 一z如果z 0 ， 【- 1 ，1 】 如果$ = 0 ， l z 如果z 0 使得 扣一 ，t 一钍) 一7 n l i u 一1 1 2 ，v t ，h ，口p ( 让) ，v p ( ) ( i i ) a - 单调的如果p 是* 松弛单调的且( a + p p ) ( h ) = h 对p 0 成立 注1 3 1 ( 1 ) 因为松弛单调弱于单调，我们可以看到a 单调映象比弘单调映象更为一般 ( 2 ) 如果( i i ) 中a = i ，我们也可以得到一个新的概念极大松弛单调”以下例子表明 p 是极大松弛单调的但对于某个a 不是小单调的 例1 3 1 设h = ( 一，+ ) ，p t = 一“和a ( u ) = u 2 ，对所有u h 那么我们容易看 出p 是极大松弛单调但不是a 单调因为a + p 的值域为i a 4 ，+ o 。) 定理1 3 1 设a ：h 一日为p 强单调映象和p ：h 一2 月对于0 p r m 为a 单调 映象如果扣- d ，“- - u 7 ) 一m - - u 川2 对所有的( ， 7 ) g r a p h ( p ) 成立，那么 p ( u ) ， 这里g r a p h ( p ) = ( u ， ) h h ：口尸( u n 证明：反证，假设存在某个( u o ，”o ) 譬g r a p h ( p ) 使得 ( t b 一口7 ，“o 一“7 ) 一m l l u o 一川2 ，v ( “，t ，) g r a p h ( p ) ( 1 3 1 ) 因为p 对予0 p r m 为小单调的，( a + p 尸) ( 日) = h 对于0 p r m 成立那么存 在 l ，口1 ) g r a p h ( p ) 使得 a u l + p v l = a u o + p r o ，0 p r m ，( 1 3 2 ) 由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 得 j a “1 一 t | 0 ，t 幻一“1 ) 。( v o 一 l ，t 。一“1 ) 一m o u o u l i l 2 因为a 是r - 强单调的，上面不等式蕴含 0 ( a u o a u l ，u o 一1 ) 一n | | 咖一u l0 2 rj f z 幻一“i | 2 一砣f jz 幻一“lj 1 2 = ( r p m ) l l u o 一“1 1 1 2 由0 p r m 知u o = u 1 再由( 1 3 2 ) 知? 3 0 = n 因此( “o ，咖) g r a p h ( p ) ，矛盾所以， v 尸( ) 证毕 4 定理1 3 2 设a ：h 一日为r - 强单调映象和p ：h 一2 ”为a 单调映象那么，算子 ( a + p p ) - 1 对于0 p r m 是单值的 证明；对任意给定的“h ，设口，( a + p p ) - 1 ( “) 则有- a ( v ) + ep p ( v ) 和一j 4 ( t ，) + “e p p ( 。，) 因为p 是 p 松弛单调的， 11 ；( a ( i i t ) 一a ( 口) ， 一 ) 2 ；( 一a ( ) + t 一( 一a ( ) + t ) ， 一口7 ) 一m i i 一”i | 2 由a 的强单调性和上面不等式得 0 ( a ( u ) 一a ( v ) ，口一口) 一n 0 口一t ，i 2 r l l v v t l l 2 一n l l v 一口2 = ( r 一口m ) l l v 一0 2 因此，对于0 p r m ， = t ，所以( a + p ) - 1 是单值的证毕 由定理1 3 2 ，我们可以定义关于a ，p 和p 的预解算子嚣9 如下 定义1 3 2 设a ：h 一日为r 强单调映象和p ：h 一2 h 为a 一单调映象关于a ，p 和p 的预解算子名9 ：h h 定义为 嚣妒( u ) = ( a + p p ) _ 1 ( “) ，v “h ，0 p r m ( 1 3 3 ) 定理1 3 3 设a ，p 与定义1 3 2 一样且满足相应条件那么预解算子砖9 ：h h 对 于0 p r m 是( 1 ( r 一印1 ) ) 一l i p s c h i t z 连续的，即 o ( “) 一( “川i ( f 高) o u - u l l ，u , u i 日，o p r m 证明：对任意给定的“，u 7 h ，设 = 9 ( u ) 和= 嚣9 ( u ) 由( 1 3 3 ) 得 = ( a + p p ) _ 1 ( “) 和7 = ( a + ，| p ) “扣，) 这蕴含 型p p ( ) 和型p p ( 以 因为p 是m 松弛单调， 一m i i 钉一v 1 1 2 ：( 一a 扣) 一( 一a ( t ，) ) ，”一”) = ：( “一t ，一( a ( ”) 一a ( w 7 ) ) ， 一t ，) a 的强单调性和上面不等式蕴含 0 u u 0 i i 一t ，02 ( u 一， 一口) a ( v ) 一a ( v ) ， 一v ) 一p m | | ”一口川2 r 0 口 ，2 一p m i i 口- 口，2 = ( r p m ) 0 u t ，1 1 2 5 因此， 即 证毕 i i v - t ，1 1 - ( f 丽1 ) 卜u i i ，v 刚日，。 p r m 1 i ( u ) 一巩u ，) l ( 杀) 一, t l l ，v u ，风。 0 和q 0 使得对 每一个o ，b ，c h ， l i ，反? 。) ( c ) 一j 盎? ( c ) 0 q l o b l i ( 2 2 1 ) 和 f( 如+ m d l ) ( d 2 一r 血) 一也i i ” 2 一( d 3 + m d l ) 2 i d 3 + m d l ，e d 2 一r d l 0 ， ( d 3 + m d l ) ( d 2 一r d l ) 一e 2 d 4 ( e 2 d 一( d 3 + m d l ) 2 ) ( 2 一( d 2 一r d l ) 2 ) ， d l = l f 卢a g 一叩r a 工 0 ，d 2 = 口卢1 2 6 + 2 a 刍+ ，如= 口j e a d + 7 1 a e d 4 = n l f 1 2 + o l 3 0 ，d 5 = 口l a 口+ u 2 a c + 1 鬯a f ( 2 2 2 ) 那么由算法2 1 1 产生的迭代序列 “。 ， ) ， ) ， z 。 ， ， ， s 。) 和 t 。 分别强收敛 于矿，矿，札广，矿，g ，z + ，矿和t ，且( + ，矿， 。，矿，旷矿，s ，t + ) 是c g s v s n m i q ( 2 1 1 ) 的个 9 解 证明，对于n = 0 ，1 ，定义 = p e + a ( g ( ) 一 ( s n ) ) 一p ( ( ，t ，( z 。) ) 一m ( ，钿) ) 由引理1 3 3 ，算法2 1 1 和( 2 2 1 ) ，我们有以下估计， ( “。+ t ) 一9 ( ) 0 = l i h c s 。) + 瞄? i ) ) 岛一( s 。- ) + 嘴i ( h 一。) ) 岛一1 ) o i i h ( s 。) 一 ( s 。一1 ) 0 + 0 瞄? i ( “) ) c 。一嘴i ( k 1 ) ) c 。一1o i l h c s 。) 一h ( s n 一- ) 0 + i i 瞄i ( t t i ) ) c 。一嘴? i o 。) ) c 。一1 0 + 0 嘴? 蚶。) ) c 。一1 一瞄i ( t f i 一，) ) c 。一10 l l h c s ) 一吣。_ 1 ) i i + 三磊慨一- l | i + q i i m 。) - l ( 址川1 ( 2 _ 2 3 ) 因为g 是强单调的，我们有以下估计； j 1 9 ( u 。+ 1 ) 一9 ( u 。) l l l l “。+ l t ，l ( 9 ( “。+ 1 ) _ g ( t h ) ，u n + l 一“。) 列u n + l u n 0 2 蕴含 | | “。+ l u 。0s 0 9 ( t h + 1 ) 一9 ( “。) 0 ( 2 2 4 ) 由h ，g 和g 的l i p s c h i t z 连续性，我们有 i l ( s 。) 一 ( s 。一，) 0 i l s 。一8 。一1 0 ( 1 + n - i ) 日( g ( 9 ( u 。) ) ，v ( g ( u 。一1 ) ) ) a g ( 1 + n 一1 ) l l gc u 。) 一9 ( “。一x ) l i p a g ( 1 + 7 7 , - 1 ) l l u 。一u n - 1 叭( 2 2 5 ) 由i 和l 的l i p s c h i t z 连续性，我们得到 i l i ( t 。) 一 ( f 。一1 ) i l r i i “一t n l0sr ( 1 + n - 1 ) h ( l ( “。) ，l ( “。一1 ) ) r a l ( 1 + n - 1 ) 0 t h 一珥。一l 叭( 2 2 6 ) 下面，我们考虑以下估计： i i “一岛一l0 = i i + a ( g i u 。) 一h ( s 。) ) 一p ( ( ，w n ，( z 。) ) 一肘( ，钿) ) 一( 胆+ a ( g ( u 。一1 ) 一九( s 。1 ) ) 一， ( ( “。“，( z 。一1 ) ) 一m ( 鲰1z n1 ) ) ) 0 0 a ( 9 ( “。) 一h ( s 。) ) 一a 国( “。一1 ) 一h o 。一1 ) ) j i + 0 ，( u 。) 一，( 嵋。一1 ) 一p ( ( ”。， 。，( 耳；) ) 一( “w n 一1 ，( z 。) ) 一m ( 一l ，z n ) + m ( 一1 ，如一1 ) ) l i + l i ( u 。) 一，( “，t ) i i + 川( “。一l ，( z 。) ) 一( 一1 ，w n _ l ，( 一1 ) ) l i + p l l m 0 y ，z n ) 一肘( 弧一l ，z ) 1 1 ( 2 2 7 ) 1 0 由h 关于g 的强单调性和h ，9 ，a 与g 的l i p s c h i t z 连续性，我们有 l i a ( g ( u ) 一h ( 8 。) ) 一a ( g ( u 。一1 ) 一h ( s 。一1 ) ) 酽 口2 i i g ( u ) 一 ( 毋。) 一( g ( t h 1 ) 一 ( s 。一1 ) ) 9 2 = 0 2 ( 1 l g ( u 。) 一9 ( “n - 1 ) 1 1 2 2 扫( “。) 一g ( u 。一1 ) ，h ( 8 。) 一_ i l ( s 。一1 ) ) + l i h ( s 。) 一h ( s 。一1 ) i | 2 ) 0 2 ( 1 l g ( u 。) 一9 扣n - i ) 1 1 2 2 6 l i g ( u 。) 一g ( u n - 1 ) 1 1 2 + f 2 a 各( 1 + n - 1 ) 2 i i g ( ”。) 一9 ( t h 一- ) 1 1 2 ) 0 2 1 3 2 ( 1 2 6 + p a 吝( 1 + n 一1 ) 2 ) i i 协。一珥。一10 2 ( 2 2 8 ) 因为是对第一变元关于b 松弛单调的和对第二变元关于g 强单调的，是对第一、二变 元l i p s c h i t z 连续的m 是对第二变元关于f 广义伪压缩的和l i p s c h i t z 连续的，口，e ，f 和 ，是l i p s c h i t z 连续的， i l ，( ) 一，( 一1 ) 一“u ( v 。，t n n ，( ) ) 一( 一1 ，t 一1 ，( z 。) ) 一m ( 鲰“2 n ) + m ( 一1 ，一1 ) ) 旷 0 ，( ) 一，( 一1 ) 1 1 2 2 p ( ，( ) 一，( t l i 一1 ) ，( ，( ) ) 一( 一1 ， l o n ，( z 。) ) ) 一2 p ( ，( ) 一，( “。一1 ) ，( “n k ，(