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f r e d h o l m 模与指标 摘要 ( 在五，六十年代m f a t i y a h ，i m s i n g e r 等代数几何学家为了解决流形上 。 、 的r i e m a n n r o c h 问题而引入指标理论，对于紧流形的椭圆算子的指标有较 完善的结果，由于受边界的限制，对带边非紧流形指标的研究文献不多，这 一方面的工作有 5 】， 6 等，尤其 5 的工作为我们提供一种新的思想，用拟 微分算子的b d m 运算建立积分核来研究一维丛的微分算子的指标，但是其 理论是建立在f o u r i e r 分析基础上有一定的局限性，而f r e d h o l m 模结构为我 们提供一种新的框架，让我们避开了f o u r i e r 分析，可直接研究积分核。因 指标理论的研究不仅有自身的理论意义，而且它与方程，代数，几何都有密 、 切联系，为此，我们继续研究一些区域的微分算子和积分算子的指标：y 全文共分三章，安排烁 第一章：介绍有关拟微分算子理论的基本内容，我们从f o u r i e r 分析的角度 给出区域q 内的拟微分算子的定义，运算规律，讨论闭流形上的拟微分算子 的基本解的构造，、正则性估计，f r e d h o l m 性，给出带边流形的椭圆型边值问 题的定义，基本解的构造。 第二章：讨论带边流形的覆盖流形的椭圆算子的指标，用拟微分算子的b d m l 运算及h i l b e g n ( f ) 模理论给出比文献 5 更特殊的带边流形与其覆盖流形的 椭圆算予的指标关系，获得了比文献 5 更为精细的结果，从而由椭圆边界算 予的指标粗略估计椭圆边值问题解的存在性。 第三章：讨论f r e d h o l m 模结构与奇异积分算子的指标，运用复平面的单位 圆周上的p l e m e i j s o k h o t z k i 公式构造一个f r e d h o l m 模，给出奇异积分算子 是f r e d h o l m 算子的充分条件，获得其指标的k 群刻画。由此引出一般的 f r e d h o l m 模结构上算子在全空间的指标，从而推广 1 9 ，2 3 1 的结论到全空间 情况，运用这些结果给出四元数域上奇异积分算子是f r e d h o l m 算子的充分 条件，获得了文献 1 5 ，1 6 结论的简单证明和它的指标的k 群表示。 关键词：拟微分算子，指标，f r e d h o l m 模，k 群 f r e d h o l mm o d u l ea n di n d e x a b s t r a c t d u r i n gt h ep e r i o df r o m 1 9 5 0 st o 1 9 7 0 ，m f a t i y a h ，i m s i n g e ra n do t h e r s d e v e l o p e dt h ei n d e xo fa l le l l i p t i co p e r a t o ro nm a n i f o l di no r d e rt o g e tt h e h i r z e b r u c h - r e m a n n 。r o c ht h e o r e mf o rm a n i f o l d t h e yh a do b t a i n e d p e r f e c t t h e o r yo ft h ei n d e xo fa l le l l i p t i co p e r a t o rf o rc o m p a c tm a n i f o l d b u tt h er e s e a r c h w o r ko nm a n i f o l d sw i t hb o u n d a r ya r ev e r yr a r e ，w ec a no n l yf i l dw o r k s 5 ，8 ， b e c a u s et h e r ea r e t o p o l o g i c a l o b s t r u c t i o n st o i m p o s i n ge l l i p t i cb o u n d a r y c o n d i t i o n so ne l l i p t i cs y s t e m s i ti san e w t h e o r yi nt h ew o r ko f p a p e r 5 】t h a tt h e y e x t e n dt h ec l a s s i c a ll 2 - i n d e xt h e o r e mo fa t i y a ht o e l l i p t i cd i f f e r e n t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sb yu s i n gt h eb o u t e dd em o n v e lc a l c u l u so fp s e u d o d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r so nm a n i f o l d sw i t hb o u n d a r y b u tt h i st h e o r yb a s e do nf o u r i e ra n a l y s i s ， i ti sv e r yd i f f i c u l tt oa p p l yi tt ot h ei n d e xo f e l l i p t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m f u r t h e r w em a yr e s e a r c ht h ei n d e xo ft h es i n g u l a ri n t e g r a lk e r n e lo ft h ed i f f e r e n t i a l s y s t e mb yu s i n gt h et h e o r yo ft h ef e r d h o l mm o d u l e b e c a u s et h et h e o r yo ft h ei n d e xn o to n l ya p p l yt oe q u a t i o n ，a l g e b r a ，g e o m e t r y a n ds oo n ，b u ta l s oa r eo fb o t ht h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li n t e r e s t t h em a i n p u r p o s eo f t h i st h e s i si st os t u d yt h ei n d e xo fe l l i p t i cd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n d 3 s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r sa n di so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo fp s e u d o - d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s t h ed e f i n i t i o na n dc a l c u l u so fp s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa r eg i v e n w ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no ft h ep a r a m e t r i c e so ft h ee l l i p t i cp s e u d o - d i f f e r e m i a l o p e r a t o r so nc l o s e dm a n i f o l d sa n dt h ec o n s t r u c t i o no ft h ep a r a m e t r i c e so ft h e e l l i p t i cb o u n d a r ya r eg i v e n i nc h a p t e rt w o w es t u d ye l l i p t i cd i f f e r e n t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so n c o v e r i n g s o fc o m p a c tm a n i f o l d s b yi n v e s t i g a t i n g m o r e s p e c i a l c o m p a c t m a n i f o l d sw h i c ha r ec o m p a r e dw i t h 【5 】，t h ef o r m u l aw h i c hr e l a t et h ei n d e xo f e l l i p t i cd i f f e r e n t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nc o m p a c tm a n i f o l d s t ot h o s eo f t h e i rc o v e r i n g sh a v eb e e ng i v e nb yu s i n gt h eb o u t e dd em o n v e lc a l c u l u so f p s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dt h et h e o r yo f t h eh i l b e r t ( r ) m o d u l e t h e s 。 r e s u i t sa r em o r ea c c u r a c yc o m p a r e dw i t ht h o s eo f 5 】f u r t h e r , w ec a r le s t i m a t e e x i s to ft h es o l u t i o nf o rt h ee l l i p t i cd i f f e r e n t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sb yu s i n g t h ei n d e xo fo p e r a t o r sf o rb o u n d a r yo n m a n i f o l d s i nc h a p t e rt h r e e w ed i s c u s s e df r e d h o l mm o d u l e a n dt h ei n d e xo fs i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r s b yi n v e s t i g a t e du n i t c i r c l eo nc o m p l e xp l a n e ，af r e d h o l m m o d u l ei sc o n s t r u c t e db yu s i n gp l e m e i j s o k h o t z k if o r m u l a ，as u f f i c i e n t 4 c o n d i t i o no fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw h i c ha r ef r e d h o l mo p e r a t o r si sg i v e n a n dt h ef o r m u l ao fi n d e xf o rs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa r er e p r e s e n t e dt h e d i m e n s i o no fk g r o u p b yi n v e s t i g a t i n ga b o v er e s u l t ，w ee x t e n dt h ew o r k so f 19 ， 2 3 o ni n d e xo ff r e d h o l mo p e r a t o r st o t h ec a s eo ft h ew h o l eh i l b e r ts p a c e f u r t h e r , w ea p p l yt h o s er e s u l tt om u l t i d i d i m e n s i o n a l ，t h e no b t a i ns i m p l ep r o o f o nt h er e s u l to f 1 5 ，16 ，t h ee x p r e s s f o r m u l ao fi n d e xf o r s i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r so nq u a t e m i o n i ca r eg i v e nb yu s i n g k g r o u p k e y w o r d s ：p s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r , i n d e x ，f r e d h o l mm o d u l e ，k - g r o u p 5 第一章基本理论工具 1 3 拟微分算子及其性质： 众所周知，广义函数理论为我们用f o u r i e r - l a p l a c e 方法解r o 上的常 系数偏微分方程提供理论基础，拟微分算子理论推广了f o u r i e r - l a p l a c e 方法 解紧流形，非紧流形及带边流形上变系数的偏微分方程，拟微分算子代数 是一种奇异i n t e g r o d i f f e r e n t i a l 算子代数，它包括所有的微分算子，椭圆微 分算子的逆算子，下面我们从f o u r i e r 分析的角度给出拟微分算子的定义： 我们称算子p 是区域q 内的拟微分算子，如果它有下面的形式： 只r ( x ) = ( 2 厅) 4 ”k ( 工，孝) 7 ( 孝) e “d 善，fes 其中函数口称为象征满足下面的条件： i 掣彤a ( x ，乎) 峰巴。，( 1 + j 乎“ 对任意的z ? ，x k ，舌r ”上式成立，其中k 是q 内的紧子集，s 是r n 上 的s c h w a r t z 空间，常数q ，依赖于紧集k ，整数m 称为算子p 的阶，7 是f 的f o u r i e r 变换。 记所有阶数为m 的象征集合为s “( q ) ，记象征p 对应的算子为o p ( p ) ， 从上面的定义可知，如果p ( x ，圆= 1 有，p = i ，如果p ( x ，掌) 是关于善的m 阶的多 项式，则p 是m 阶的微分算子。 我们称阶为m 的拟微分算p ( x ，d ) 为古典的拟微分算子，如果下面的条 件成立： 1 1 对每一个= o ，l ，2 ，存在函数p j ( x ，# ) c 。( q r ”) ，使得对所有的 t 1 , 1 手1 1 以及j = o , 1 ，- ，2 ，p j ( x ，f 孝) = f “1 p ，( x ，善) 成立 2 对所有的n = 0 , 1 有下面的结论： n p ( x ，掌) 一p ，( x ，毒) s ”“( q ) 函数p o ( x ，f ) 称为主象征。 拟微分算子有下面的一些基本性质，参看文 1 】， 定理1 1 1 ：拟微分算子是从c o ( a ) n c ”( q ) 上的连续算子。 证明：设“c o ( t a ) ，由p a l e y w i e n e r 定理，对任意n 有： j 百( 纠c u ( 1 + j 参p 一” 如果i 口i - k ，贝0 有： d ；【p ( x ，孝) 打( 孝) p “。】j c ：，o + l 孝b “+ 一”， 因此，对ia 怪n m 一以，函数d 8 p u ( x ) 在q 内是连续的，由n 的任意性，于是 有e u ( x ) c 4 ( q ) 定理1 1 2 ：如果p s ”( q ) ，h g ( r “) ，则有： 0 h ( x ) p ( x ，d ) u l t ，sc + 。 对所有的“，j r 成立，其中c 不依赖h ，h 是s o b o l e v 空间，p 是 象征为p 的拟微分算子。 证明参看文【1 1 2 拟微分算子运算 在讨论拟微分算予运算之前介绍象征s ”( q ) 的象征子类w ( q ) ，它是所有 在q 的边界领域内为零的象征全体类，它在象征乘法下形成代数，且有下面 2 的一些运算性质： 定理1 2 1 ：设a w ( q ) ，b g ( q ) ，则算子c = b a 是具有象征为 cew ”( q ) 的拟微分算子，而且对每个n ，有c 一s ，”“( q ) ，其中 c 。( x ，# ) = 予：6 ( x ，g ) 噬a ( x ，亭) n h n “： 定理1 2 2 ：设口s g ( n ) ，a 是象征为口的算子，而且 6 ( 硝) - l 毛扣研砸，。 则用下面公式( + ) 定义的算子a + 是具有象征6 ( x ，孝) s m ( q ) 的拟微分算子， 且对所有的正整数n ，b - b 。s ”( q ) ， a u ( x ) 页蕊= p ( x ) 爿v ( 螂c ；u , v ec 孑( q )( + ) 1 3 闭流形上的拟微分算子 在讨论流形上的拟微分算子之前我们来看下面的定理， 定理1 3 1 ：设f ：q 斗q 是微分同胚，a 是具有象征为口“f ) s m ( 固的拟 微分算子，则用下面公式( ) 定义的算子b 是具有象征6 ( 毛善) s m ( q ) 的拟 微分算子， f ( a “) = b ( f + “) ，其中f + “( x ) = “( f ( x ) ) ，“c 言( q ) ，( + + ) 且6 ( z ，亭) 一d ( f ( x ) ，f ( x ) 一1 掌) es n - i ( q ) 有了上面的定理1 3 1 的结论就可在光滑流形x 上定义拟微分算子，设 夥，q )是x 上的图卡，设纸g ( q ) ，。纪；i ，一个定义在g ( 爿) 的线性 算子称为。阶的拟微分算子，如果满足下面的两条件： 1 对所有的f 算子( ，) 。彤妒，：c ( n ) 一c 4 ( 固是阶为m 的拟微分算子。 3 2 若妒，妒c 。( x ) 有不相交的支集，则算子“_ c p ( w ) 是光滑算子。 象征p 定义为了1 ( x ) 的截面，在坐标领域。内等于相应的拟微分算子 ( ，) 。彤的象征，记所有的m 阶象征集合为s “( ) ，如果定义算子p 的主象征 作为商空间s ”一( q ) 的元素，从定理1 3 1 我们可知流形x 上的拟微分算 子的主象征在t + ( z ) 上是不变的。 1 4 椭圆型拟微分算子 1 4 1 椭圆型拟微分算子及基本解的构造 在区域q 内，具有象征p s m ( q ) 的拟微分算子p 称为椭圆的，如果对任 意紧子集kcq 存在正常数c ，c 使得下式成立： j p ( x ，f ) i cj 孝i ”，f 孝i c 设q c c q ，h g ( q ) 且在区域q 内，矗( x ) = i 。称拟微分算子q 是p 在q 内的 右基本解，如果下式成立： p h q u = “+ t u ，“c 善( q ) 其中算子t 是光滑算子，同理可定义左基本解。从上面的拟微分算子乘法运 算规律知如果g 是右基本解的象征，则有：p ( x ，孝) 鼋( x ，孝) 一1 s - i ( q ) ，因此 有9e s - m ( q ) 且当蚓充分大时，p ( x ，孝) g ( x ，f ) f ，由基本解的存在性知p 是 椭圆算子，而且算子q 也是椭圆的。 对于基本解的构造有下面的定理： 定理1 4 1 ：如果拟微分算予p 在f 2 内是椭圆的，那么在q 的任意闭的紧 子区域q 内，存在算子q 是p 在q ，内的左右基本解。 定理证明参考文 1 】。 4 1 4 2 ：流形上的椭圆算子 定义：设q 是光滑的无边紧流形，如果拟微分算子p 在流形的每一个坐 标领域内是椭圆的，则称p 在q 内是椭圆的。同理在q 内也有基本解的构造， 并且有下面的解的正则性估计： 定理1 4 2 ：设p 是光滑流形x 上的阶数为m 的椭圆型拟微分算子，则 对任意实数s ，存在常数c = c ( s ) 使得下面的不等式成立： 。c ( 1 | 尸“k + 1 1 “1 1 。) ，“ec 。( x ) 1 4 3 ：f r e d h o l m 性质： 定义：设日。，h 2 是h i l b e r t 空间，a e b ( h 。，h 2 ) ，算子a 是f r e d h o l m 的， 如果下面的性质成立： 1 它的值域： i m a ；妇e h ： = a v ，v h ， 在h ：是闭的，有有限余维数， 2 它的核： k e r a ； h ：a u = 0 1 有有限维数。 记f r e d h o l m 算子a 的指标为：i n d a d i m k e r a - c o d i m i m a 设p ( x ，d ) 是光滑闭流形x 上的阶数为m 的椭圆型拟微分算子，则它有下 面的一些f r e d h o l m 性质： 定理1 4 3 ：算子p ：h 5 ( z ) 斗日一( z ) 的核有有限维数，它的值域是它的 共扼算子尸+ 的核空间的正交补空间，有有限余维数且都不依赖。的取值，因 此是f r e d h o l m 算子。 对于特殊的流形有更精细的指标估计： 定理1 4 4 ：若x 是维数甩 2 的单连通闭光滑流形，p 是x 上的椭圆型 拟微分算子，则舰垆= 0 气 1 5 带边区域的拟微分算子理论 1 5 1 雕上的椭圆边值问题定义 设联= x r ”，“ o ) ，月3 ，设 j d ( d ) = d “ i 口l z ” 是具有常复系数的m 阶椭圆椭圆算子，微分算子 占，( d ) = 屯。d 。 1 8 i 。” 的阶研， 0 ， b ，( d = g j ( x ) ，x 。= 0 ，- ，= 1 ，k 我们一般用f o u r i e r 变换解上述问题，设x = ( x ，工。) 令 v ( 弘。) = l “( 工) e “掣d x 上面的方程变为： p ( 乎，见) v = 0 ，x 。 0 ， 岛( 孝，d 。) v = 彭( 孝) ，x 。= o ，= 1 ，“k 其中见= ，既然p 是椭i 圆0 0 1 e ( 孝) i c o l 孝l ”，v 善r ”，c o o ，若善0 ，对于 方程j d ( f 7 ，五) = 0 ，z 不可能有实根，设 ，旯，是方程的r 个不同的根，其重数分 别为胛，_ ，啊+ + 一= m ，常微分方程p ( 舌，或) v = 0 的解如下一般形式： ，( 4 7x n ) ：7n f l q ( 孝，) 。呐皑) 根据p 的定义显然对所有的，0 有，z _ ，( t 4 ) = t 2 j ( 4 ) ，如果f m 以( 孝) 0 ，因此函数p w “ i m 2 ，( 孝) o 时不可能是广义函 数的f o u r i e r 变换，因此当i m a ，( 孝) 0 ，而当= r o + 1 ，时，i m 2 ，( f ) 0 ， ( 1 ) e 。( ，v ) u = g j ( y ) ，当儿= 0 , j = l ，七时( 2 ) 其中e o ( x 。，d ) 是算p ( x 。，d ) 的特征项，b j o ( ，d ) 是算子占，( ，d ) 的特征项。 定义1 5 2 ：如果边值问题( 1 ) ，( 2 ) 在r 的每一点都是椭圆的，则称 原问题在q 内是椭圆的。 注：上面的椭圆型条件通常称为l o p a t i n s k y 条件，由1 4 节流形上的拟 微分算子理论知l o p a t i n s k y 条件不依赖于坐标的变换。 1 5 4 基本解的构造 设h = r ( q ) 日m - m 、- g ( r ) x h ”“一托( r ) ， h ，：何1 ( n ) 日t + y ：c r ) h + 必( r ) 运用彤上的基本解的构造方法和l o p a f i n s k y 条件在变换下的不变性，容易获 得下面关于有界光滑区域的椭圆型边值问题的基本解构造性定理： 定理1 5 2 ：如果有界光滑区域的边值问题是椭圆的，则一定存在左， 右基本解。 8 第二章流形的指标及( r ) 模 2 1 前言 在五，六十年代以m f a t i y a h 为代表的代数几何学家为了解决流形上的 r i e m a n n r o c h 问题而引入指标理论，m f a t i y a h ，i m s i n g e r 在文【2 中用微 分拓扑示性类理论给出了可定向紧流形的指标公式，刻画了流形的拓扑不 变性，随后又在文【3 】给出了带边流形的指标公式，十年后，m f a t i y a h 在文 4 】中运用v o nn e u m a n na l g e b r a s 研究了紧流形与它的覆盖流性的指标关 系，最近t h o m a ss c h i c k 在文【5 】中运用拟微分算子理论推广了文 4 】的结论到 带边流形。 在这一章里，主要研究带边紧流形的覆盖流形的椭圆型边值问题的指标， 设m 是具有边界为a 膨紧流形，设麝是r 群作用于m 的正规覆盖流形，设 e ，f o m ，rj ，o m 分别是m 和a 吖上的向量丛，a ：c 。( e ) 哼c 4 ( f ) 是m 上的椭 圆微分算子，t ：c 。( 占) 一c ”( ，) 是边界a 膨上的微分算子使得户：= ( 一，) 是椭 圆的，有下砸关于指标的定义： 殷一：= ，l 2 ( e ) ；厂c ”，a f = 0 ；r f ) ， c o k e r p _ ( ( f ，) l 2 ( f ) r ( y ) ； ( ，爿伊) p ( 一+ ( ，t o ) e ( r ) = 0 , v o 仨c 2 ( 五) ) 前一部分拟椭圆微分算子理论表明p 的核和余核都是有限的，定义指标： i n d p ：d i m k e r p d i m c o k e r p ，这样定义的指标是拓扑不变量，它与流形的拓扑， 9 几何，分析和方程都有很深的联系。因为算子芦：= ( 彳，f ) 是由p 通过群r 提升 获得的，它是r 等变的，可同样的方法定义核和余核，但有可能是无限维的， 但是胁，芦，c o k e r 都是v o nn e u m a n n 代数群上的h i l b e r t 模，有加法运算 定义维数d i m r ( 矿) # 印，( i d v ) o ，叫，其中矿是h i l b e r t n ( f ) 模，印，是它上面的 f - t r a c e， 如果l f f 0 0 ， 则有d i m ，= 击d i m 。如果定义 i n d ，( f ) 等d i m ，k e r ( p ) 一d i m ，c o k e r ( p ) 事实上从文 5 】中可得下面的结论： 定理2 1 1 ：设m 是具有边界为o m 紧流形，厨是r 群作用于m 的正规覆 盖流形，如果( 爿，r ) 是m 上的椭圆边界问题提升到届上的边值问题为( j ，f ) ， 贝0 有d i m rk e r ( 声) 2 ， 则它们的指标都由边界算子t 的指标决定。 在证明定理之前，给出一些准备工作： 1 0 2 2 ：( f ) 模射的迹 设r 是离散群，c r ：= c ，r ：c ，c ，r r ，r 取有限和) ，满足下面的运算 规律： ( v ) ( b ，) = c 州b ” ，r 由上面的运算规律知c r 构成群环。定义：1 2 ( r ) ：= ，q ，f ，川2 。) ，显然f2 ( r ) 构成h i l b e r t 空间，并且是r 酉等距的，记，2 ( r ) 中与1 1 交换右作用的算子全体 为( i ) = b ( 12 ( r ) 7 ，h i l b e r t ( r ) 模是具有左r 作用的h i l b e r t 空间v 能够等距 嵌入到，2 ( r ) o 日。设v ，w 是两h i l b e r t ( r ) 模，称f ：v w 是( 1 1 ) 模射， 如果f 是有界线性映射，且与r 作用相溶。 设口是在，2 ( r ) 中的( r ) 自同构，有标准的有限迹坼( 口) = ( 口( e ) ，e ) 一r ) ，而且在 - - h i l b e r t 空间h 中，遢t s p ( a ) - - z ( a h i ，魄) 总是存在的，其中h i 是h 中的正 交基。由上面迹的定义诱导模空间，2 ( r ) o 日的迹的定义。 定义2 2 1 ：设a a ，2 ( r ) 圆日，满足s p ， o 彳) = t r ( a ) 印( 一) ，则称印，为 l2 ( r ) o 日上的f - t r a c e ，称f eb ( t2 ( r ) 圆日) 7 为f - h s ，如果印r ( 厂门 0 ，使得下面不等式成立： h 懈，刍k 剐v ，兰们叭 特别当h 。( 露) 在p 的拉回范数下是h i l b e r t n ( r ) 模，相应的结论在丛豆上成立。 引理2 3 3 ：设er ，如果， ，则包含映射丁：h ( 童) 一日3 ( 吾) 是 f h s 的，如果， m ，则包含映射7 是r 一护。 证明：设x 上w 是e 的二重，由p 的定义下面的图可交换： h ( 营) 上c q ，2 ( r ) o 日”( j f ，) 7 ，0山1 固i 何( 营) 止，5 ( r ) 固h 。( 岩i ，) 我们已知何，( 豆) 己具有h i l b e r t 空间结构，p 是等距嵌入，于是有p p = 1 ，因此 有下面的等式： 飞= 试p j = p o 圆q p n r 运用性质2 2 1 的( 2 ) ，( 5 ) 式及丛映射的定义得上面的结论。 2 3 2b o u t e dd em o n v e l 运算 b o u t e dd em o n v e l 运算是一种处理边值问题的工具，它推广了无边界流 形的拟微分算子，这一部分的工作主要有 1 】， 1 0 】。 定义2 3 2 ：设e ，fj ，m ，x ，j ，山o m 分别是m 和它的边界o u 上o 内向量丛， 称具有如下形式的算子p 为b d m 算子： p ：a + g 足1 ：c 一c ， l t p jg ( ) c * ( y ) 其中a ，p 分别是m 和它的边界a 材上的拟微分算子，它们的椭圆边值闯题 可化成上面的矩阵形式，每一个b d m 算子都有阶为e 一，懈) ，型为de n o ， 其中阶是拟微分算子阶的推广，型由t 和g 决定，它表示边界限制的多少， 上述定义的算子可延拓到s o b o l e v 空间上，下面给出b d m 算子的些基本 的运算性质： 设p ：c 。( e ) o c 。( ，) 专c ”( f ) o c 。( 】，) ，q ：c ”( f ) o c 。( 】，) _ c 。( g ) o c ”( z ) 分 别是阶为，型为d 和阶为，型为d 的b d m 算子，q p 是阶为+ ，型 为m a x d ，d + a ) 的b d m 算子。 为了研究指标理论，我们定义椭圆算子， 定义2 3 3 ：一个b d m 算子p 称为椭圆算子，如果其阶0 ，型d ， 且存在阶为一，型为零的b d m 算子q ：c 4 ( ，) o c 。( y ) 一c 。( e ) o c 。( j ) ， 使得，下面的等式成立： s o ：= q p 一1 ，s ：= p q 一1 其中s o , s ，的阶都为一o o ，s o 的型为，s 的型为零，q 称为p 的基本解，在 模阶为一m 的算子后是唯一的。如果p 是在l o p a t i n s k y s h a p i r o 意义下椭圆边 值问题，那么在b d m 代数意义下也是椭圆的。 定义2 3 4 ：设m 是r i e m a n i a n 流形，称算子p ： c g ( e ) o c g ( x ) 专c 。( f ) o c 。( d 为e ( e o ) 局部的，如果满足： s u p p ( p f ) c x m ；d ( x ，s u p p f ) 0 ，则每一个b d m 算子p 是一个具有相同阶和型的占( s o ) 局部的b d m 算子与型为零的光滑算子之 和。 l5 证明：选择有限个半径为球夥 覆盖m ，溉) 对应的单位分解， 是 截断函数使得在s u p p p ，上= 0 ，h s u p p v ，c u ，令 鼻：= p 。p y ，：= p - # = 妒。p o y ，) ， 则有县是型为零的光滑算子，只是s o ) 局部的。 定理2 3 2 ：设p ：c 。( e ) o c 。( z ) 寸c ”( e ) o c 。( x ) 是阶为一 d - 必，p 可延拓到s o b o l e v 空间上的有界迹算子， 即：p ：h5 ( e ) o h 5 ( x ) _ h5 ( e ) o h 。( x ) ，其中迹的值与s 无关。 如果p 是占( 占 o ) 局部的，则它的提升算子： 声：( 蜀o h 5 ( 舅)一h 。( 营) o 。( 局，对j d - 是r 一护，且有： s p ，( 乃= 蹦固 定理的证明参考文献 5 】。 2 4 关于指标定理的证明： 定理2 1 2 证明：( 1 ) 先证i n d ，( 局= i n d p ，这一部分内容可参考文献【5 】 设m 是具有边界为o m 紧流形，设露是r 群作用于m 的正规覆盖流形，设 e ，f 山m ，yj ，3 m 分别是m 和a m 上的向量丛，p ：= ( 4 ，r ) ：c 孑( e ) 哼g ( f ) o c o ( y ) 是m 上的椭圆边值问题其阶0 ，型d ，它的群提升算子为 f ：g ( 营) 专c f ( 户) o g ( ，) ，由文【1 ，5 】知有到s o b o l e v 空间的延拓， p ：h a ( e ) _ 2 ( f ) o 2 ( y ) 及声：日一( 童) 斗l 2 ( f ) $ l 2 ( y ) 。 令h 。：l 2 ( ，) 哼k e r ( p ) 是p 的核空间上的正交投影，：l 2 ( ，) o l 2 ( y ) _ i m ( p ) 1 是 1 6 到p 的余核空间的正交投影，同理可定义提升算子芦的核，余核的投影空间 或，豆，由定理2 3 1 可设q 是s 局部的p 的基本解，于是有： 尸q = 1 一s 1 ，q p = 1 一s o ， ( 1 ) 于是有提升： 声垂= 1 一豆；驴= 1 一墨 ( 2 ) 由前面的性质，s os 都是占局部的，s o 瓦是阶为一。，型为p 的b d m 算予， 而s ，置是阶为一，型为零的算予。 由定理2 3 2 我们知道印，豆= s p ，s ，因此如果我们能证明： s p s o s p s l = ，爿。一肇爿i ， 同理在砑上也有同样的结论，运用这些结论就是我们这一部分的结论，下面 我们让性质2 2 2 的结论构造模射，在( 2 ) 的前一式中左乘存。，后一式中右 乘詹。，又在( 2 ) 中让声分别左乘和右乘两等式有： p s o = s , p 定义算子： ：= ( 1 一骨。) 墨( 1 一詹，) ， ( 江o ，1 ) 由性质2 2 ，l 知磊是h i l b e r t ( r ) 模日一上的r 一挣涮算子，爱是h i l b e r t n ( f ) ：模z 2 上的r r ，。算子，因为豆，是投影算子，组合上面的各式有： s p ，磊= s p ，式一s p ，鼠 印，霉= 印，i s p ，膏。 因此， s p r 元：s p r s p r 墨一5 汐，墨= s p r 督。- s p r 曰i 1 7 又显然有： k e r pck e r t o ；k e r 乒ck e r 让声左作用于磊，右作用i ，再展开有： 芦元= 墨芦= p s o = 声， 取v = h 一，w = 三2 ，p ：v 斗是有界的，满足性质2 2 2 的所有条件，于是 有印，磊= s p ，于是有i n d 。( 声) = i n d p ( 2 ) 指标由边界的决定性，m f a t i y a h 在文【3 中给出了带边紧流形的拓 扑指标公式： i n d ，( a ，r ) = kc h ( t r c a ) ) a + t ( m ) 十l ( c h ( t t ( a ，r ) ) 万t ( m ) ， 其中厅：t m 呻m 是投影，t ( 吖) 是m 上的t o d d 类，c h 是c h e r n 特征，口( m ) ，s ( 肘) 分别是切丛t m 上的单位球丛和球切面丛。并且获得了带边紧流形通过反射 把两流形粘合它们的边界而获得无边流形，给出了它们之间如下的指标关系 公式： ( 1 ) o t x ( 4 ，e ) - a f ( 彳，正) = 口r ( 所( 厉) ( 2 ) 口f ( 月。，五) 。( 4 2 ，正) = 口鼻( 4 l ，互) + 口膏( a 2 ，疋) ( 3 ) 口( 4 ，五) + 口( 4 ，疋) = 口j ( j ) 其中j 是x 的反射获得的无边紧流形，j 是x 上的椭圆算子a 反射后相对 应的岩上的算子。由上面前一部分的结论我们只证紧带边流形m 的指标， 根据带边紧流形与其反射无边流形的指标关系公式，如果能计算m 的二重 w 上的指标为零，由上面的指标关系公式知，若取t ；，( 爿，疋) 为p 的反射 算予，由( 1 ) 与( 3 ) 的指标公式获得f 嘛( p ) = 俐。( r ) ，又由由前面的 18 拟微分算子结论维数大于2 的无边紧的单连通流形椭圆算子的指标 - i n d 。( d ) = 0 ，于是有定理的结论。 注2 4 1 ：上面的等式蒯r ( 声) = i n d p 2 必i n d * ( t ) 只用到删，( d ) 。0 ，如果 有i n d ，( d ) = 0 的假设，m 的二重w 为无边单连通流形且维数疗 2 的条件事实 上可去掉。、 注2 4 2 ：上面的等式懈( 局= 脚2 玩( ，) 与复平面上广义解析函数指标 是一致的。 定理2 1 3 的证明：只要对流形m 对应的覆盖