（基础数学专业论文）a+note+on+ainfinity+algebra+with+deations.pdf

背景和综述 j i ms t a s h e f f 在2 0 世纪6 0 年代在考虑拓扑同伦论问题的背景下 引入了a 无穷空间和a 无穷代数的概念。直到上世纪晚期，通过 m e r k u l o v 以及f i e l d s 奖得主m a x i mk o n t s e v i c h 等人的工作，a 无穷 结构在数学的其它分支，例如在几何和物理中，才初露端倪。最近 b e r n h a r dk e l l e r 比较系统地用代数的表述介绍了a 无穷代数，并通过 这套新颖而又复杂的工具解决了同调代数中的两个有趣的反问题。卢 涤明，p a l m i e r i ，吴泉水和张坚用a 无穷代数对整体维数为4 的 a r t i n s c h e l t e r 正则代数做了分类。 形变理论起源于微分几何，m u r r a yg e r s t e n h a b e r 在2 0 世纪6 0 年 代将它推广到结合环和代数上，引入了代数形变，特别是无穷小形变 理论。在他的论文中，他同时给出了代数形变理论的一般原则。自那 以后，人们纷纷开始对各种各样的代数做形变的理论，特别是无穷小 形变的理论。例如a l e x a n d e rv o r o n o v 就研究过p o i s s o n 代数的形变； m i c h a e lp e n k a v a 和a l b e r ts c h w a r z 研究了某类a 无穷代数的无穷小形 变，等等。 我的硕士论文的正文主要分成三个部分： 在第一部分中，我们考察了s t a s h e f f , k e l l e r 论文中a 无穷代数 的定义( 我们称之为代数a 无穷代数) 和p e n k a v a 与s c h w a r z 论文中 a 无穷代数的定义( 我们称之为几何a 无穷代数) 。证明在域的特征 为0 时，这两种定义是等价的。我们还讨论了a 无穷代数的一些简 单性质，例如它为何被称为强同伦结合代数，并用两个定义同时给出 一些简单的例子。 在第二部分中，我们回顾了结合代数的形变和无穷小形变的理 论，以及它与二阶h o c h s c h i l d 上同调的关系。我们还对结合代数的一 般形变理论给出了一个更范畴化的看法，用范畴的语言严格了前人的 工作，引入了一系列有用的概念，得到了一些有趣的结果，例如给定 一个结合代数，它的形变范畴事实上是一个g r o u p o i d 。 在第三部分中，我们给出了平行于结合代数的几何a 无穷代数 形变和无穷小形变理论，并用第一部分中得到的对应将其转换成代数 a 无穷代数的形变和无穷小形变理论。我们得到一系列有趣的结果， 例如第二部分的结合代数的形变事实上是一个特殊的a 无穷代数的 形变，只要我们将这个结合代数看成是一个平凡的a 无穷代数；何 济位论文中提到的( 2 ，p ) 代数可以由原来的分次结合代数通过一步 形变得到。 当然，还有不少问题有待进一步讨论，例如找到一个结合代数的 例子，使得它的形变范畴的s k e l e t o n 多于一个元素；讨论一般的形变 理论在形变过程中究竟什么代数性质可以被保持下来，以及到底什么 理论可以控制一般的形变理论。 邬恩信 2 0 0 7 年6 月 an o t eo na o o a l g e b r aw i t hd e f o r m a t i o n s e m d n ，u a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ep r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft w od e f i n i t i o n so fa na o o a l g e b r ao v e ra f i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0 r e v i e wt h ed e f o r m a t i o nt h e o r yo f a 口o c i a t i v ea l g e b r aa n d p u ti ti nam o r ec a t e g o r i c a lh - a m e w o r k ，a n dt h e ng e n e r a l i z ep a r to ft h i st h e o r yt ot h e c o n t e x to fa 一a l g e b r a s 摘要 在本文中，我们证明了域上a 无穷代数的两种定义当域的特征为o 时是等价的：回顾了结合 代数的形变理论，并用范畴的现点去看它；最后将部分结合代数的形变理论推广到a 无穷 代数的情形 k e y w o r d s ：a 一a l g e b r a ，a s s o c i a t i v ea l g e b r a ，d e f o r m a t i o n ，h o c h s c h i l dc o h o m o l o g y c o n t e n t s 1i n t r o d u c t i o n 2t h ed e f i n i t i o n so fa na - a l g e b r a 3d e f o r m a t i o na n dh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yo fa na s s o c i a t i v ea l g e b r a 4d e f o r m a t i o no fa na o o - a l g e b r a 1 2 3 9 1 6 1i n t r o d u c t i o n j i ms t a s h e f fi n t r o d u c e da o q - s p a e aa n da 一a l g e b r ai nat o p o l o g i c a lb a c k g r o u n di nt h e 1 9 6 0 bi nf s l t i l lt h ee n do ft h el a s tc e n t u r y ，t h er e l e v a n c eo fa s t r u c t u r ei no t h e rp a r t so f m a t h e m a t i c s s u c h g e o m e t r ya n dp h y s i c s b e c a m ea p p a r e n tt h r o u g ht h ew o r ko fm a x i m k o n t s e v i c hf k o n l ，m e r k u i o v 【m 】，a n do t h e r s r e c e n t l yb e r n h a r dk e l l e rs y s t e m a t i c a l l y i n t r o d u c e da 一a l g e b r aa l g e b r a i c a l l yi nf k l ， k 2 1 ，a n d 【k 3 i ，a n du s e dt h i st e c h n o l o g yt o s o l v et w oi n v e r s ep r o b l e m si nh o m o l o g i c a la l g e b r a l u ，p a l m i e r i ，r u ，a n dz h a n gu s e da 。 a l g e b r at oc l a s s i f yt h ea r t i n - s c h e l t e rr e g u l a ra l g e b r a so fg l o b a ld i m e n s i o n4i n l p w z l ， l p w z 2 la n d l p w z 3 m u r r a yg g r s t e n h a b e ri n t r o d u c e da l g e b r a i cd e f o r m a t i o nt h e o r y , e s p e c i a l l yt h ei n f i n i t e s - i m a ld e f o r m a t i o nf o ra s s o c i a t i v er i n g sa n da l g e b r a si nt h e1 9 6 0 si nf g i h ea l s og a v ea g e n e r a lp r i n c i p l ef o rt h ea l g e b r a i cd e f o r m a t i o nt h e o r y d e f o r m a t i o nt h e o r yf o rv a r i o u sa l g e - b r a se x p l o d e da f t e rt h a t a l e x a n d e rv o r o n o vs t u d i e dt h ed e f o r m a t i o no fp o i s s o na l g e b r a si n i v l ；m i c h a e lp e n k a v aa n da i b e r ts c h w a r zs t u d i e di n f i n i t e s i m a ld e f o r m a t i o n so fa a l g e b r a i n p s l ，a m o n go t h e r s t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r eo r g a n i z e da sf o l l o w s ： i ns c c t i o n2 ，w e 昏v et h ee q u i v a l e n c eo ft w od i f f e r e n td e f t n i t i o n so fa na 一a l g e b r a ，o n e g i v e ni n1 9 1ja n d 【l p w z l ，w h i c hw ec a l la na l g e b r a i ca 一a l g e b r a ，a n dt h eo t h e ri n 【p s i ， w h i c hw ec a l lag e o m e t r i ca 一a l g e b r a ，o v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0 i ns e c t i o n3 w er e v i e wt h ed e f o r m a t i o na n di n f i i n t e s i m a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo fa n a s s o c i a t i v ea l g e b r aa n di t sc o n n e c t i o nw i t hh o c h a c f i l l dc o h o m o l o g y w b 时v eam o l ec a t e - g o r i c a lv i e w p o i n to ft h eg e n e r a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo fa na s s o c i a t i v ea l g e b r aa n dr e a c ht h e c o n c l n s i o nt h a tt h ed e f o r m a t i o nc a t e g o r yo fa 丘x e da 啪c i a t i v ea l g e b r ai si nf a c tag r o u p o i d i ns e c t i o n4 w eg e tap a r a l l e ld e f o r m a t i o na n di n f i n i t e s i m a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo f ag e o m e t r i ca 一a l g e b r a ，a n dt h e nu s et h ee q u i v a l e n c ed e r i v e di ns e c t i o n2t og e tt h e d e f o m a t i o na n di n f m i t e s i m a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo fa l la l g e b r a i ca a l e e b r 扎w br e a 吐 t h ec o n c l u s i o n st h a tt h ed e f o r m a t i o na n di n f i r s t e s i n l a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo fa na s s o c i a t i v e a l g e b r ai sas p e c i a lc a 8 eo ft h et h e o r yw ed e v e l o p e di nt h i ss e c t i o na n da n y ( 2 ，p ) a l g e b r a d e f i n e di nf h li sad e f o r m a t i o no fag r a d e da l g e b r a c o n v e n t i o n s f o rc o n v e n i e n c e ，w eu s et h ef o h o w i n gc o n v e n t i o n st h r o u g h o u tt h i st h e s i s ： 1 i f ，( r e s p e c t i v e l y , ) i sam a pf t o mo n eg r a d e ds p a c et oa n o t h e r ，w ew r i t e ，j ( r e s p e c t i v e l y , 幻) f o rt h er e s t r i c t i o no ff ( r e s p e c t i v e l y , ) t ot h ej t h g r a d e ds u b s p a c e 2 ，i ffi sam a pf r o mo n eg r a d e d8 p a c et oa n o t h e r ，w ew r i t epf o rt h ec o m p o s i t i o n p ，o ，w h e r e 矿i st h ec a n o n i c a lp r o j e c t i o nf r o mt h et a r g e tg r a d e d8 p a c et oi t sj ”- g r a d e d s u b s p a c e 3 w ea l w a y su s ekt od e n o t eaf i e l d 4 w i t h o u te x p l i c i te x p l a n a t i o n s ，t h es e to fa l lf o r m a lp o w e rs e r i e si no n ev a r i a b l eto v e r f l o m er , - v e c t o rs p a c ei st h o u g h tt ob ee n d o w e dw i t ht h ec a n o n i c a lt - f i l t r a t i o na si nd e f i n i t i o n 3 1 ，a n di t i so fc o i l r s eak “叫卜m o d u l ei n d u c e db yt h eo r i g i n a lk v e c t o rs p a c es t r u c t u r e s o i tf o r m sak 卜l i n e a rt o p o l o g i c a ls p a c ea n da n yf u n c t i o nb e t w e e nt h e mi sr e q u i r e dt ob e c o n t i n u o u sa n dk 卜l i n e a r 5 w i t h o u td e c o r a t i o n ，ow i l la l w a y sm e a no k ，a n dh a mw i l la l w a y sm e a n ，m m k 2 2t h ed e f i n i t i o n so fa na 。- a l g e b r a t h e r ea r es e v e r a ld e f i n i t i o n so fa n 如- a l g e b r a i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v eo u ta na l g e b r a i c o n ea n d8g e o m e t r i co n e ，a n ds t u d yt h e i rr e l a t i o n s h i p w ea l s og i v et h eb a s i cp r o p e r t i e so f a na 一a l g e b r aa n ds o m es i m p l ee ) 【a l n p l e 8 d e f i n i t i o n2 1 ( a l g e b r a i c ) ( 【k 1 1a n d l p w z l ) l e tkb eaf i x e df i e l d ，a n dl e ta= o 讵z b e az - g r a d e dk - v e c t o rs p a c e ai sc a l l e da na 。a l g e b r ai ff o re a c hi n t e g e rn 1 ， t h e r ei sam l i n e a rm a p ：a _ ao fd e g r e e2 一r i ，s u c ht h a tt o g e t h e rt h e ys a t i s f yt h e s t a s h 盯i d e n t i t i e s ： ( 一1 ) ”“僻+ 1 + to “秽o m 。 t ) = 0 r + s + t = n r ，t o 2 1 f o ra l ln21 ，w h e r ei di st h ei d e n t i t ym a pf r o mao n t oi t s e l f w eu s u a l l yd e n o t ea n 凡。一a l g e b r ab y ( a ， 佻耀1 ) r e m a r k l t os a y t h a t ：a s ah a s d e g r e e2 一n m e a n s m a p s 小1 0 0 a h i n t o a 。i 十。+ “+ 2 一”f o r a n y i l ，一，如i z r e m a r k2 w h e bt h es t a s h e f fi d e n t i t i e sa r ea p p l i e dt ot h ee l e m e n t so fa ，a d d i t i o n a ls i g n s w i l la p p e a rd u et ot h ek 0 8 z u ls i g nr u l e f o re x a m p l e ，( 1om r ) ( ooa lo a r ) = ( 一1 ) i 研ol aom r ( 印，砷) ，w h e r el m r i = 2 一ri st h ed e g r e eo f 砷a n dl n li st h ed e g r e e o ft h eh o m o g e n e o u se l e m e n t 口 l e t 8 懈w h a tt h es t a s h e f fi d e n t i t i e st e l lu 8w h e n ，li ss m a l l ： w h e n n = 1 m lo m l20 t h a tm e a i l $ ，m li sad i f f e r e n t i a lo fd e g r e e1 n m ( a ，m 1 ) i sac o c h a h lc o m p l e x w h e n n = 2 ， m lo m 2 = m 2o ( 1 0 m 1 ) + m 2o ( m 1 0 1 ) s i n c em 2h a sd e g r e e0 ，w ec a nv i e wi ta sam u l t i p l l c a t i o n ，a l t h o u g hi tm a yn o tb ea a s o e m t i v e t h e nt h ei d e n t i t ys h o w st h a tm li sad e r i v a t i o nw i t hr e s p e c tt o 抛 w h e n n = 3 耽o ( 1 0 抛) 一化o ( 忱0 1 ) = m lo m 3 + m 3o ( 1 0 1 0 m 1 + 1 0 m 1 0 1 + m 1 0 1 0 1 ) t h em a p 佻c a nb ev i e w e da 8ac h a i nh o m a t o p y , m 3 ：化o ( 1 0 他) = 化o ( 他0 1 ) ：( a 。3 ，1 0 1 0 m l + l m l o l + m 1 0 1 1 ) 叫( a ，m 1 ) t h u sr n 2i sa s s o c i a t i v eu pt oh o m o t o p y t h i sa l s oe x p l a i n sa n o t h e rn a m ef o ra a l g e b r a s ： s t r o n g l yh o m o t o 嘶a s s o c i a t i v ee d g e b r a ( s h aa l g e b r af o rs h o r t ) r e m a r k3 i fm l = 0o rm s50 ，t h e nm 2i si n d e e da na s s o c i a t i v em u l t i l c l l i c a t i o n r e m a r k4 【l u lt h es t a s h e f fi d e n t i t yf o rag i v e n 仃i 8t h e 锄o fl i n e a rm a p sf r o ma n t o ao f d e g r e e3 一n i ng e n e r a l t h e yc a nb e w r i t t e n i n t h e f o r m n - - l m 1o + 慨o ( 一1 ) n - 1 ( 1 咿o m l0 1 。( 一) r - - - - - o = 一 f ( 一1 ) 7 州嘶+ l + co ( 1 。r o 0 1 。) r + j + c = n ：当婴， r o u g h l ys p e a k i n g ，m n ( n 4 ) i sah o m o t e p yb e t w e e nt h eh o m o t o p i e s ： 肌，( 一1 ) ”一1 ，n 卸- 1 ( 1 咿o m l 0 1 。m 一1 一) ) ) _ + ( a ，m 1 ) o f d e g r e e2 一n 3 e x a m p l e2 2 w ec a l la ad i f f e r e n t i a lz g r a d e dk a l g e b r a ( b o af o rs h o r t ) ，i fa = 0 l za i s a z - g r a d e d k - v e c t o rs p a c e w i t h a d i f f e r e n t i a l d o f d e g r e e la n da l l a s s o c i a t i v e m u l t i p l i c a t i o n mw h i c hr e s p e c t st h eo r i g i n a lg r a d i n g s u c ht h a tdi sad e r i v a t i o nw i t hr l 茧l o e c tt om t h e n w ec a r lv i e waa sa na o o a l g e b r a 们t h1 9 t 12d ，r n 2 。m ，a n d 盹20f o ra l li23 w e d e n o t et h ed g a b y ( a ， m l ，m 2 ) ) e x a m p l e2 3 w ec a l laaz g r a d e dk - a l g e b r a ( g af o rs h o r t ) ，i fa = o t z 卅i saz - g r a d e dk - v e c t o rs p a c ew i t h a s s o c i a t i v em u l t i p l i e a t i o nm w h i c hr e s p e c t st h eo r i g i n a l g r a d i n g t h e n w ec a nv i e w aa sa d g a w i t h m l = 0a n dr n 2 = m w ed e n o t e t h e g ab y ( a ，m 2 ) e x a m p l e2 4 i fai sa no r d i n a r y ( u n g r a d e d ) a s s o c i a t i v ea l g e b r a , t h e na c a nb ev i e w e da s ag aw i t ht h eo n l yn o n t r i v i a t e r mi nt h e0 t n g r a d i n g c o n v e r s e l y , i fai sag a t h e nac a l l a l s ob ev i e w e d a no r d i n a r y ( u n g r a d e d ) a s s o c i a t i v ea l g e b r aw h e nw ef o r g e ti t sg r a d i n g e x a m p l e2 5 i f ( a ， 佻 墨1 ) i sa n 如一a l g e b r a ，珥0a n d 叻= 0f o ra l lj o a 肌= k o a o a 0 2 0 t o g e t h e r w i t h t w o r - - l i n e a ro p e r a t i o n s ：t h ec o m u l t i p l i c a t i o na i sg i v e nb y ( 1 ) = 0a n d n a ( a l 。p ) = ( a x 。m ) 。( 啦+ 1 。) i = 0 a n dt h ec o u n i t i st h ep r o j e c t i o no ft ao n t ok d e f i n i t i o n2 7 l e tk - v e c ：b et h ec a t e g o r yw i t ho b j e c t s 压伊a d e d * v e c t o rs p a c e sa n d m o r p h i s m sh o m o g e n e o u s 压口a d e d * l i n e a rm a p sb e t w e e nt h e s ez - g r a d e dk - v e c t o rs p a c e s t h e nn - v e e r oh a sa ni n t e r m a lh a mf u n e t o rh d t h ( h o m ( a ，b ) r = ，：a _ b ，i saz - g r a d e d 十l i n e a rm a po fd e g r e ei ) f o ra n ya ，b o b j ( * v e c t z ) w ec a l ls ：十v e c t z _ p v e e r z8s u s 卵n s i o ni ff o ra n ya o b j ( k - v e c t z ) ，w eh a v e ( a a ) 4 = a 件1 t h e nsi s 缸 a u t o f u n c t o r d e f i n i t i o n 2 8 ( c o m e t r i e ) p s 】l e t k b e a f i x e d f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 0 ，l e t a = o z a i b enz - g r a d e dr 。- v e o t o rs p a c e ，a n dl e ts ab et h es u s p e n s i o no fa w ec a l l ( a ，d ) a l la 一 a l g e b r ai fd i snc o d e r i w t i o no v e rt h es t a n d a r dt e l t f l o r * c o a l g e b r at ( s a ) o ft o t a ld e g r e e1 ， s u c h t h a td o d = 0a n dd ( 1 1 = 0 r e m a r k5 l e t 厶：0 i 2 2 a 剑_ t a 。t ab e8k - l i n e a rm a pd e f i n e db y a ( a l o0 q ) 0 ( 0 4 + 1o o a n ) a n d 正：t aot a 叫t ab et h es t a n d a r dm u l t i p l i c a t i o ni nt h et e n s o rn - a l g e b r at a t h e n 矿。po 厶i a 。，i = ( n 一1 ) i d 。i ，w h e r e 矿：t a 叫 肌i st h ec a n o n i c a lp r o j e c t i o n s i n c ec h a r n = 0 ，厶i sam o n o m o r p h i s m f u r t h e r m o r e ，r e s t r i c t e dt o0 2a 剐i sa l s oa m o n o m o r p h i s m 一 r e m a r k6 t h a tdi so ft o t a ld e g r e e1m e a n s 肌。n 上g 讹曼增鲥b 4 oo “：l = 0 r e m a r k7 t h a tdi sac o d e r i v a t i o nm e a n st h a tdi sak - l i n e a rm a pa n d ao d = ( d 0 1 + 1 0d ) o a r e m a r k8 b ya b u s i n gt h en o t a t i o n t h e r ei sac a n o n i c a li s o m o r p h i s m8 ：a _ s ao f d e g r e e - 1i nm o r ( * v e c t z ) ，w i t hs ( a ) = o e x a m p l e2 9 f l p w z i l e t ( a ， m 1 ，m 2 ) b ead g a o v e raf i e l dko fc h a r a c t e r i s t i c0 t h e nw ec a nc o n s t r u c tag e o m e t r i ca a l g e b r a ( a ，d ) w i t hd = d o + d l ，d oa n dd 1b e i n g r - l i n e a r a n d n d o ( s ( 口1 ) 。8 ( ) ) = ( 一1 ) 蜀：j ( 川一1 ) s ( a 1 ) 。m l ( 8 h ) ) 。a ( ) i ；1 d l ( s ( b ) ) = 0 ， f n d l ( s ( 6 1 ) o - o s ( h ) ) = 芝二( 一1 ) ；：( 1 b i - i ) s ( b 1 ) o os ( 仇2 ( 玩一1 ，以) ) o os ( b m ) i f f i 2 f o rn l ，a n ，b ，b l ，6 mh o m o g e n e o u se l e m e n t s i n a ，佗z + a n d m 2 ，s i n c e t h r o u g h d i r e c tc o m p u t a t i o n sw ec a l ls e et h a td d ，d la r eb o t hc o d e r i v a t i o n s ，d d0d o = 0 ，d 10d l20 a n dd 10d o + d 00 d l = 0 ( t ( s a ) ，d ) i sc a l l e dt h eb a rc o n s t r u c t i o no ft h ed g a ( a ，f i t l ，耽) n o wl e t1 1 8s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w od e f i n i t i o n sb ys o m el e m m a s l e m m a2 1 0 i 司l e tab enz g r a d e dm v e c t , o rs p a c ew i t hc h a r k = 0 g i v e na n y * l i n e a r m a p f ：a ”_ o f d e g r e e w h i c h n b em e w e d a k - l i n e a r m a p f ：烈_ aw i t h i t so n l y7 1 0 似c t oc o m p o n e n tb e i n g 鲥u 帆b yt h eo r i g i n a l ，o n 帅t h e nt h e r ei sdu n i q u e w a yt o 埘tft oac o d e r i v a t i o nf ：t a _ t a ，s u c ht h a t p0 f = | ，t h a ti s ，t h e i o f l o w i n g d i a g r a mi sc o m m u t a t i v e ： t a 3 , 1 ，l ， t a - a ， ， w h e r ep = p 1 ：t a _ ai st h ec a n o n i c a lp r o j e c t i o n h ，口c ，i sg i v e nb ut h ei o u o w i n gf o r m u l a s ： m 。= o 盛- o n ( - 1 ) l i l ( 1 a d + + l m l ) a l 。 。f ( a + l 。- - 。) 。；k o ，s i n c e ，i sac o d e r i v a t i o n ， a 。( a l o o a k ) = ( ，0 1 4 - 1 0 ，) o a ( a 1 0 o o ) i = ( ，。1 + 1 。，) ( ( 0 1 。m ) 。( a i + 1 。口k ) ) - - - - 0 = ，( 口l 。 啦) 。( 啦+ 1 。钆) k + ( 一1 ) i 州i 。1 i 扣+ h l ( d l 。啦) 。，( 0 1 i + l 。口七) 5 p r o j e c t i n gb o t hs i d e st oa 印w eg e t 。户( 口1 。a d = ，l “( a l 。啦) 。( 啦+ l 。) i = 0 + ( 一1 ) l i c t a l l + ”+ i 皿i ( 卿。m ) 。户一( 啦+ l 。r 。口k ) t h er i g h t h a n ds i d ed e p e n d so n l yo n 广w i t hi 0 玉。= 0 f o ra n y n r e m e m b e r t h a tl e m m a2 1 0s h o w s t h a t - j 弓，”= 露：= 1 和 由。1 。( “一j ) a = o f o ra n y j a n d0o t h e r w i s e t h u s ，d o d = 0b e c o m e s q 矛i 川, - i - j + + 1 2 。弓“= 0 ( 1 ) ，曼“ s 1 f o ra n yn n t a k e = n ，i = u j + 1a n dp r o j e c tb o t hs i d e s t os ab y p ，w e g e t 孟+ l + 。( 1 副。吗。1 s k ) = 0 ， i + j + k = n t 0 j 1 w h i c hi sv e r ys i m i l a rt ow h a tw ed e s i r e d s u s p e n s i o nb r i n g st h es i g n s b ya p p l y i n gt ot h ee l e m e n t s w ec a n8 e eh o wt h e 口 r e m a r k9 e q u a t i o n ( 1 ) c a nb ed e r i v e df r o mt h es t a s h e f fi d e n t i t i e s ，t h a ti s ，w eh a v en o t l o s ta n yi n f o r m a t i o nb yt a k i n gt h es p e c i a lv a l u e si nt h ep r o o fo ft h ea b o v et h e o r e m t h e o r e m 2 1 3 a n