（基础数学专业论文）a1型扩张仿射李代数的分次自同构群.pdf

摘要 文 a a b g p 】在刻划扩张仿射李代数的扩张仿射根系时介绍了半格的概念，并 由半格出发构造了一类以j o r d a n 环面为坐标代数的a 1 型扩张仿射李代数设s 是e u c l i d 空间( 1 ) 的一个半格，歹= j ( s ) 是对应于半格s r 的j o r d a n 代数，利用t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 构造法 j 】，由此j o r d a n 代数j ( s ) 可构造出李代 数9 ( 了( s ) ) ，即 9 ( 歹( s ) ) ：= ( s h ( c ) oj ) oi n d e r ( f 1 ) ， 其中i n d e r ( f f ) = 【l j ，l j ，l j 为了的乘法算子的集合再利用乡( 了( s ) ) 得到4 1 型扩张仿射李代数c ( 了( s ) ) 本文给出当| ，= 2 ，s 为格时，( 了( s ) ) 的z 2 一分次 自同构群 全文分三章：在第一章，我们先回顾了扩张仿射李代数的定义及一般构造第 二章中我们引入半格的概念及a 1 型扩张仿射李代数的一种构造最后，在第三章 中，我们研究c ( 歹( s ) ) 的z 2 一分次自同构群 关键词：扩张仿射李代数；分次自同构群 a b s t r a c t i n a a b g p ，t h ea u t h o r si n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e m i l a t t i c et od e s c i b et h e e x t e n d e da f f i n er o o ts y s t e m so fe a l a s ，a n dd e f i n eaj o r d a na l g e b r af r o mas e m i - l a t t i c e ，t h e nc o n s t m c ta ne a l a so ft y p ea 1w h i c hi sc o o r d i n a t i z e db yt h ej o r d a n a l g e b r a l e ts b eas e m i l a t t i c ei ne u c l i d e a ns p a c e 酞p ( 王，1 ) l e t 了= 歹( s ) b et h e j o r d a na l g e b r ac o n s t r u c t e df r o mas e m i l a t t i c eso f 础al i ea l g e b r a 夕( 歹( s ) ) c a n b eo b t a i n e df r o mt h ej o r d a na l g e b r ab yt h et i t s - k a n t o r - k o e c h e rc o n s t u c t i o n j ，i e 9 ( 了( s ) ) ：= ( s 1 2 ( c ) o 了) oi n d e r ( j ) ， w h e r ei n d e r ( j ) = 【l j ，l j ，a n dl ji st h es e to fm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o mf o r 歹 e a l a so ft y p ea 1c ( 了( s ) ) c a nb eo b t a i n e df r o mt h el i ea l g a b r a9 ( 歹( s ) ) i nt h i s p a p e rw es t u d yt h ez 2 - g r a d e da u t o m o r p h i s mg r o u po fc ( 了( s ) ) w h e n = 2 ，si s al a t t i c e w ed e s c r i b et h er e s u l t sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e w er e c a l lt h en o t i o na n dag e n e r a lc o n s t r u c t i o no fe a l a s i n c h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e m i l a t t i c ea n da k i n do fc o n s t r u c t i o no f e a l a so ft y p ea 1 f i n a l l yi nc h a p t e rt h r e e w es t u d yt h ez 2 - g r a d e da u t o m o r - p h i s mo fc ( 了( j s ) ) ，t h e nw eg e tz 2 一g r a d e da u t o m o r p h i s mg r o u po fc ( 了( s ) ) k e yw o r d s ：e x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a ；g r a d e da u t o m o r p h i s mg r o u p 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果， 均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究 生学术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题 ( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实 验室的资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号 内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的， 可以不作特别声明。) 声明人( 签名) ： 年月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送 交学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图 书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的 标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位 论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年 月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保 密委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的， 默认为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月日 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 引言 1 8 7 0 年左右挪威数学家s o p h u sl i e 在研究微分方程的对称性( 即在变换下的 不变性) 的过程中提出李群概念李群理论即连续变换群理论，它是在微分方程用 积分求解的可能性问题以及对连续变换群的研究中发展起来的由于受g a l o i s 理 论的影响，数学家们希望对于微分方程也能建立一种与g a l o i s 理论类似的理论，他 们将变换群的思想推广到几何与分析领域，发现几何与分析领域的自同构交换群， 其本身通常也会具有自然的几何或分析的结构李群正是这样一种结合体，它同时 具有群和可微结构，而且群的运算对于其可微结构来说是可微的另外李群也对代 数学，物理学，化学等多个方面产生了深远影响 李代数来源于李群，最初是作为研究李群的代数工具而引进的李群是可微分 的群，微分的基本思想就是在无穷小的层面上的线性化，显然李群具有它的线性化 所得到的一种“无穷小群”的结构s o p h u sl i e 认为关于可微群的大量信息已被 包含在它的“群的无穷小变换 的代数中，而且这种代数做为线性对象在许多方面 都比可微群本身更容易研究1 9 3 4 年，w e y l 正式将这一数理模型称为“李代数 李代数的研究是近代数学中一个蓬勃发展的领域，它已成为一个独立的数学分支， 而不再仅仅作为研究李群的代数工具二十世纪以来，几乎所有的数学学科都和李 群及李代数发生联系，李代数成为线性代数中许多极好的开拓性问题的来源 1 8 9 0 - 1 9 0 0 年间对复数域上的有限维单李代数的结构和表示的研究有了巨大 的突破首先是w i l h e l mk i l l i n g 给出了有限维复单李代数的分类【k i l ，接着e l i e c a f t a n 进一步研究了复半单李代数的结构 c a l ，并对它们的有限维不可约表示 进行了分类【c a 2 h w e y l 进一步发展了k i l l i n g - c a r t a n 的理论，并得到复半单 李代数的有限维不可约表示的特征标公式及有限维表示的完全可约性定理1 9 6 6 年s e r r e 统一实现了有限维复半单李代数 k a c - m o o d y 代数即无穷维李代数，是1 9 6 7 年v g k a c 和r v m o o d y 在前 人工作的基础上，各自独立地对有限维单李代数进行无穷维推广的过程中引进的 k a c - m o o d y 代数被引入后迅速发展，它在数学的许多领域，包括群论组合，模形式， 微分方程和不变理论以及数学物理中的统计物理，保型场论等具有重要的应用 扩张仿射李代数( e a l a s ) ，也称为拟单李代数，是h o e g h k o r h n 和t o r r e s a n i a l 型扩张仿射李代数的分次自同构群 在受到量子规范场理论研究工作的启发于1 9 0 0 年引入的这类代数具有一个非退 化对称不变双线性型，有限维的c a f t a n 子代数，离散根系以及非迷向根的根空间 是局部n 幂零的，且该代数是不可约的这些性质此类代数不但包括有限型和仿 射型k a c - m o o d y 代数，还包括了t o r o i d a l 李代数，t k k 李代数等许多重要的李代 数1 9 9 7 年b e r m a n ，郜云等人对e a l a s 的根系进行了分类并给出了e a l a 8 的 一般构造 a a b g p ，他们发现e a l a s 的坐标代数不但可以是多变量的罗朗多项 式，还可以是某些特殊的交错代数，j o r d a n 代数及量子环面 a 1 型的扩张仿射李代数的分类依赖于j o r d a n 环面，可将j o r d a n 环面作为其 坐标代数( 【从b g p ， y 0 1 ， y 0 2 1 ) 由欧氏空间上的半格可确定一个j o r d a n 代数， 进而以其为坐标代数，可构造出一类a 1 型的扩张仿射李代数 对于李代数的自同构群及其结构的研究可以加深人们对李代数自身结构和它 的表示的结构的认识很多学者对不同类型的李代数的自同构都进行了研究例如， g b s e l i g m a n 在文献【s e l 中讨论了特征不为2 和3 的代数闭域上的典型李代数 的自同构群，其结论指出，a ，d ，型李代数的自同构是由两类自同构复合而成的， 其它类型的李代数只有内自同构这个结论在李代数的教材【h 】，【m e l 也有详细描 述，即任一复半单李代数的自同构群都是其内自同构群和图自同构群的半直积，而 在b ，c ，岛，b ，只，g 2 的情形，只有平凡图自同构此外，通过对李代数的自同构 映射和自同构群的研究还可以帮助人们构造出更多更有趣的李代数和表示比如， 扭的仿射李代数就是通过无扭仿射李代数在某种特殊的自同构映射下的不动点所 构成的李子代数来实现，而且这种方法还被推广到顶点代数表示的构造中去 在同构的意义下，二维欧氏空间r 2 中只有一个格s 和一个非格半格s 7 格也 是半格，由【从b g p 】知，任一半格上可定义一个j o r d a n 代数，而每一个j o r d a n 代 数都对应了一个t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数9 ( 了( s ) ) ，由乡( 歹( s ) ) 可构造出a 1 型扩张仿射李代数c ( 歹( s ) ) 文献【t 】，【m 司分别研究了由和s 构造得到 的t k k 代数以及它们的顶点算子表示，文献给出了李代数9 ( 了( s ) ) 的分次 自同构群本篇论文中我们主要研究( 了( s ) ) 的z 2 一分次自同构群 在第一章中，我们先回顾了扩张仿射李代数的定义及一般构造第二章中我们 引入半格的概念及a ，型扩张仿射李代数的一种构造最后，在第三章中，我们研 究a 1 型扩张仿射李代数c ( 歹( s ) ) 的z 2 一分次自同构映射，从而给出其自同构群 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群3 1 第一章扩张仿射李代数 1 1 扩张仿射李代数的定义 设c 是复数域上的一个李代数，假定： ( e a l ) c 有一个非退化不变对称双线性型( ，) ； ( e a 2 ) c 有一个非平凡的有限维交换子代数咒，且何等于它在中的中心化 子q ( 咒) ，另外，对所有的h h ，a d z h 是对角化的； 这里咒是c 的一个c a f t a n 子代数令h + 是h 的对偶空间， c a = _ 【z z l h ，z 】= q ( ) z ，v h 7 l f ) ，q 咒+ ， 其中c a 是相对于q 7 - + 的根空间另外我们令 r = q 7 - 1 + l 厶 o ) ) ， r 称为c 相对于何的根系由( e a2 ) 我们有 c = 0 厶，岛= 咒 口r 由( e a1 ) 易知，对，卢h ，若q + p 0 ，则 ( 厶，岛) = o ， 特别有( ，) i 咒咒是非退化的，因此可以定义映射 妒：咒+ _ 咒 qh t a 使得 q ( 九) = ( t 口， ) ，v he 咒 于是可以将c 上的( ，) 转移到冗+ 上，定义 ( q ，p ) = ( t q ，o p ) ，v q ，p 咒+ ， a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 4 令 a o = 【q r l ( a ，q ) = o r = r r o = q r i ( q ，q ) o ) r o ，r 分别称为c 的迷向根和非迷向根的集合 ( e a 3 )如果a r ，z 口厶，则o d c z a 在c 上的作用是局部幂零的； 假设c 满足( e a3 ) ，因此若q r ，z o 厶，则对v y 厶有一个整数n 0 使得 ( a d x 口) n ( y ) = 0 ( e a 4 ) r 是咒+ 的一个离散子集； ( e a 5 ) c 是不可约的 定义1 1 1 李代数c 是不可约的如果c 满足： ( a ) r 不能分解成r 1 出如，其中r 1 ，如是r 的非空子集，且( r l ，如) = o ) ( b ) 对v 盯r o ，了q r 使得q + d r r 定义1 1 2 如果( e a1 ) 一( e a5 ) 成立，则称，( ，) ，冗) 是一个扩张仿射李代数 为方便起见，我们也简称c 是一个e a l a 从b g p 定义i i 3 扩张仿射李代数c 是t a m e ，如果c 等于中心z ( c 。) 其中厶= ( c 口l q r x ) 是c 的子代数，士= z c i ( z ，。) = 【o ) ) 1 2 扩张仿射李代数的一般构造 首先，设是一个正整数，乡是复数域上的一个李代数，假定夕满足： ( 1 2 1 ) 9 有一个非退化不变对称双线性型( ，) ； ( 1 2 2 ) 饨是9 的一个非平凡的有限维交换子代数能够使得a d g ( l ：1 ) 是对角化的； ( 1 2 3 ) ( 。，) i 竹饨是非退化的； a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 设心4 是心的对偶空间，由( 1 2 3 ) ，我们可以将( ，) 转移到饨上又 由( 1 2 2 ) ，我们有 乡= 鼠， 玩= 如9 ：脚，z 】- a ( 峨y h 心) 6 心 令 r = a 7 + ： o r = r o ) ( 1 2 4 ) g 是由e 吼作为李代数生成的； ( 1 2 5 )设1 = ，是a 张成的实空间，( ，) i v x 多是正定实值的，使得直是矽中的一个 不可约有限根系； 定义1 2 1令彤是一个非平凡的有限维实向量空间，其上有一个正定对称双线 性型( ，) ，是疋的一个子集，如果 ( a ) 是有限的，0 a 且张成疋 ( b ) 对v q a o ) ，映射p _ p 一2 勰q 保持不变 ( c ) 对 c a a o ) ，p a ，有2 艄z 则称是疋中的一个有限根系另外如果 ( d ) 不能表示成a 1 出2 ，其中1 ，2 是的两个非空子集且满 足( l ，2 ) = o 则称是彳的一个不可约有限根系 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 2 8 ) 2 9 ) 2 1 0 2 1 1 由 9 = o 酽是作为一个李代数的彤一分次； 玩= e ( 酽n 乳) ，对v d r ； 酽n 吼 o ) ，对抛氏使得 aga ； 饨：g ong o ： ) o r 刀l 旷 o ) ) 生成刀的一个秩为的子群； ) 盯，丁z p ，盯+ 7 0 号( 9 口，9 r ) = o ) ( 1 2 6 ) 定义也口e 7 ( 乡) ，z = 1 ，p ， d i x = 扎i z a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 6 其中x 9 1 ，n 一，佗i z 下面回顾怎样从一个满足( 1 2 1 ) 一( 1 2 1 1 ) 的李代数9 出发构造一个n u l l i t y 为的扩张仿射李代数c 定义 c = 夕o c 0 d 其中c = c c lo oc 勺，是一个矿维向量空间，且d = e d to oc 以d e r ( g ) 定义c 上的【，】7 如下： k ，c 1 = o ) ，p ，纠= o ， 限，z 】7 = d i x ，坛9 ， p ，可】= p ，刎+ ( 以z ，可) q ，y 够 i = l 易知是c 上的一个李代数 接着再定义c 上的( ，) 使得 ( ，) 扩充了9 上的( ，) ， 犯，c ) = ( d ，d ) = o ， b ，d j ) = ，t ，歹= 1 ， ( c ，9 ) = p ，乡) = o ) 令 咒= 饨oc0 d 由( 1 2 2 ) 和( 1 2 9 ) 可知，咒是c 上的一个交换子代数，且 咒+ = 饨+ oc od + 对d 咒，令 c 口= z c ：【九，叫= a ( h ) x ，v h 咒) 由( 1 2 2 ) ，( 1 - 2 6 ) ，( 1 2 7 ) ，( 1 2 9 ) 知 = 厶= 帅， a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 买中 r - o = ( g on 乡o ) o cod = 饨oco d = 咒， 厶枷= 吼n 酽 这里a a ，o r z p 且a ，d r 0 令 r = q ：厶 o ) ， 则 r = a + 盯l a 氏，盯z p ，吼n 乡矿 o ) ) a + z y 设x 表示根系直的类型，如果9 满足( 1 2 1 ) 一( 1 2 1 1 ) ，则以上构造的李代数c 是 一个t a m en u l l i t y 为的x 型的扩张仿射李代数【从b g p l 2 第二章4 1 型扩张仿射李代数 2 1 半格 本节中“代表一个维数为的实向量空间 定义2 1 1 设s 是“的一个子集，如果s 满足： ( s 1 ) 0 s - s = s s + 2 sss ( s + s s ) ( s 2 ) s 张成“ ( s 3 ) s 在甜中离散 则称s 是一个半格( 格) a a b g p 设s 和分别是纠和的半格，如果存在线性同构妒：翻_ ，使 得妒( s ) = s ，则称s 和同构，记作s 笺s 7 如果存在盯使得s 竺s + 盯， 则称s 和相似 引理2 1 2 设s 是的甜一个半格，则 s + 2 s ) s a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 8 命题2 1 3 设s 是酣的一个子集如果s 是翻的一个半格，令a = ( s ) ，则a 是“中的一个格，使得 2 a s a2 a + s s( 爿c ) 反之，若“中存在一个格a 使得( 木) 成立，则s 是甜中的一个半格 注：若a 是“中的一个格，s 是酣的子集，且s 满足( 事) ，则s 是2 a 在a 中 的陪集的并，包含平凡陪集2 a 2 2 a 1 型扩张仿射李代数的一种构造 设z 1 ，r v 是维e u c l i d 空间，s 是r p 中的一个半格，( s ) 是s 生成 的加法子群，由命题( 2 1 3 ) 知，s 是2 s ) 在( s ) 中的一些陪集的并，其中包含平 凡陪集2 ( s ) ，因此在相似的意义下可以假设s 是2 刀在刀r y 中的一些陪集 的并，包括陪集2 秽，即s = u & ，其中岛，是2 秽在z p 中的不同陪集 且s o = 2 7 , p 对盯s ，设矿为一个符号，定义一个向量空间歹= j ( s ) ：= oc x 口，在其 a e $ 上定义乘法如下： ，： x a + r 若吼7 - 岛u & ，0 主m ， i o ， 其它， 则j ( s ) 为一个j o r d a n 代数【从b g p ，并且有单位元x 0 = 1 设l j ( s ) 是j ( s ) 的左乘算子的集合，令i n d e r ( j ( s ) ) ：= 【l j ，己了】在向量空 间 乡( 歹( s ) ) ：= ( s h ( c ) o 歹( s ) ) oi n d e r ( f f ( s ) ) 上定义李积 【4oa ，bo6 】= 【a ，b 】圆a b + ( a ，b ) l 口，l 6 】， 【d ，a 圆口】= ap d a ， 【d ，【l 口，l 6 】= 【l d d ，l 6 】+ l a ，l d b 】 a l 型扩张仿射李代数的分次自同构群 其中a ，b s 1 2 ( c ) ，a ，b 歹，d i n d e r ( f f ) ，( a ，b ) = 2 t r ( a b ) ，则9 ( 了( s ) ) 构成 一个李代数 定义线性映射e ：j ( s ) 一c 如下 水昝r 鞣： 则9 ( 歹( s ) ) 有一个不变对称双线性型 a a b g p ( ，) ：多( 了( s ) ) 夕( 了( s ) ) _ c ， ( a a ，b b ) = ( a ，b ) e ( a 6 ) ， ( a 圆a ，d ) = 0 ，( d ，【l 。，l b ) = ( ( d a ) 6 ) ， 其中a ，b 了( s ) ，a ，b s 1 2 ( c ) ，d i n d e r ( j ) 设z + ，z 一，q 是s 1 2 ( c ) 的标准c h e v a l l e y 基，令 饨：c qo1 心是g ( 了( s ) ) 的一个一维交换子代数注意到g ( 了( s ) ) 可分解为， 9 ( 歹( s ) ) = 玩og oo9 一矗 其中a 心，满足a ( qo1 ) = 2 ，且 瓯= z + p 了，= 口圆歹oi n d e r ( j ) ，9 一d = z 一圆歹 另外由 ( qo1 ，q 1 ) = ( q ，q ) e ( 1 ) = 4 ( a ，a ) = 1【q ，a j2 容易看出，j o r d a n 代数j ( s ) = o 了p ) 口有一个口分次，其中 了c 回矿= 掌口萋善? s 显然9 ( 歹( s ) ) 也是z y 一分次的： 9 ( 歹( s ) ) 矿= ( s f 2 ( c ) 歹( s ) 仃) 。 【三歹p ) r ，己歹( s ) 】 ( 盯z - ) a l 型扩张仿射李代数的分次自同构群 因此可以定义也d e r ( 乡( 歹( s ) ) ) ，i = 1 ，u 哦z = n i x 其中z g ( 了( s ) ) - ，n 引，n z 定义扩张李代数c ( 了( s ) ) ，令 c ( 了( s ) ) = 乡( 7 ( s ) ) o co 口， c = c c lo oc 白，刃= c d lo oc 以 c ( 歹( s ) ) 上的李运算如下 【c ( 歹( s ) ) ，c 】= o = 【d ，驯， 也，z 】= d i x ，i = 1 ，z 夕( 了( s ) ) ， a 。，b 圆6 】= 【a ，b 】 。6 + ( a ，b ) g ，l d + ( 也( a 。) ，bq b ) c i ， i - - - - 1 d ，aoa 】= aod a ， p ，厶1 1 = 陋帅叫+ l d b + ( d i d ，陋口，厶1 ) c ， i = 1 其中a ，b s z 2 ( c ) ，a ，b 7 ，d i n d e r ( j ) 我们可以将9 ( 歹( s ) ) 上的双线性型扩充到c ( 歹( s ) ) 上 ( c ，c ) = o ) = ( d ，d ) ，( q ，d j ) = 如， i ，j = 1 ，l ， ( c ，9 ( 歹( s ) ) ) = o ) = ( d ，9 ( 了( s ) ) ) 则( ，) 在c ( 歹( s ) ) 上定义了一个非退化不变对称双线性型，并且c ( 歹( s ) ) 构成 了一个a 1 型扩张仿射李代数【a a b g p 3 下面我们考虑l ，= 2 ，s 为r 2 中的格的情形，这里s = us ，其中 = o 岛= 2 z 巩+ 2 2 5 2 ，曼= s o + 瓯， 主= 1 ，2 ，3 ， 盈= ( 1 ，o ) ，如= ( 0 ，1 ) ，如= 文+ 如r 2 令 & ：= & ，鼠：= s 2 ， a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 1 1 则 岛= 最+ & ，& = s + 1 + & + 2 ， i = 1 ，2 ，3 另外，我们记r 2 中盯1 = ( a l ，b 1 ) ，0 2 = ( a 2 ，b 2 ) 的内积为 引理2 2 1 ( 闻) o r l 0 2 = 0 1 6 l + a 2 b 2 设1 ，u 2 & ，n ，t 2 ，0 i ，j 3 且u 1 + q = u 2 + 死，则 【厶，- ，l 霉q 】= 【l 霉，。，厶勺】 设口= o 1 + u 2 & 0 = 1 ，2 ，3 ) ，其中q 最钾u = 1 ，2 ) 由引理2 2 1 ，我们可 以令见：= l l 以】 为方便起见，我们如下定义一个映射p ：sxs _ o ，士1 ) 对协，7 s ， p ( 盯，7 - ) = 0 ，若盯，7 - s ou 鼠，1 i 3 ； 1 ，若口s ：，r & + l ，1 is3 ； 一1 ，若盯s + l ，丁s ：，1 i 3 引理2 2 2 ( n 门口)设叽7 - s ，则 l z ，l 。r 】= p ( 以下) d 0 + r ，且 i n d e r ( f l ( s ) ) =0c 见 显然李代数夕( 歹( s ) ) 的z 2 一分次为： 此时 叮鼠u 岛u 岛 唧矿= 僻：嚣仇m 若a 叫e s o , 岛 c ( 了( s ) ) = 9 ( 了( s ) ) o co 口， c = c c lo c c 2 ，d = c d toc d 2 容易看出c ( 歹( s ) ) 也是z 2 一分次的： c ( 了( s ) ) = oc ( 了( s ) ) 盯， 叮z 2 口 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 其中 c c 歹c s ，盯= ：芝 詈；兰；兰兰2 f 。) c ( 歹( s ) ) 上的李关系如下 若仃s o ， 若口s s o 瞄( 了( s ) ) ，q = 0 = p ，叫， ( 2 2 - 1 ) 【d ，x 圆矿】- ( 仃文) xo 矿，【d i ，d 小= ( 仃6 i ) d 矿 g = 1 ，2 ) ， ( 2 。2 2 ) q 矿，yoz 1 l i x ，y 】 z 仃+ r + ( z 口+ r ) ( x ，y ) ( 盯6 k ) c k ，若盯，7 s o u & ，1 i 3 ， lp ( 吒7 - ) ( 咒y ) d 叮+ r ， 若盯& ，下岛，1 i 歹3 ， 。 ( 2 2 3 ) 陆皿】： 一量p 峨) c b 辄 - 0 ( 2 2 4 ) l p ( 盯，7 - ) d o + r ，若仃+ r 0 ， d 仃，xox r l = 一p ( 盯，r ) x 圆z 盯+ 下，若盯s 岛，7 - 舅 ( 2 2 5 ) 3 第三章a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 3 1 c ( 了( s ) ) 的分次自同构 在本节，我们将研究李代数c ( 歹( s ) ) 的z 2 - 分次自同构 定义3 1 1设g 是一个a b e l i a n 群，a = 0 1 g a , 是一个g 一分次代数，p 是a 的一个自同构如果存在g 的一个自同构p g 使得j d ( 厶) = a p g ( 7 ) ， g ，则称p 是a 的一个g 一分次自同构我们用a u t g ( a ) 表示a 的g 一分次自同构群 抛 w 卸g 以z m 0 。寸1 ：卜 ；i l i a3 1 3设( g ，) 是一个有限阶交换群，则s = f l f 是g l 2 ( z ) 到g 的群同态) 关于乘法( ，og ) ( a ) = ，( a ) g ( a ) ( v f ，g s ，a g l 2 ( z ) ) 成为一个交换群 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 我们定义映射a ：g l 2 ( z ) _ 仕1 ，对任意a = ( ) g l 2 ( z ) ，定义 入( a ) ： 1 若存在o ，2 3 ) 使得a l l , a 1 2 ) & ，( a 2 1 , a 2 2 ) 最+ 1 ， i 一1 ，若存在i 1 ，2 ，3 ) 使得( a l l ，0 1 2 ) & + 1 ，( 0 2 l ，口2 2 ) 最 容易验证入是一个群同态嗍事实上，我们有 引理3 1 4 当g = 土1 ) 时，h o m ( g l 2 ( z ) ，g ) 与k l e i n 四元数群同构 证明：由引理3 1 2 易知对y a g l 2 ( z ) ，h o m ( g l 2 ( z ) ，g ) 中只有 ：a 一1 ；厶：a _ i a i ； ：a ，入( a ) ；，4 ：a l a i a ( a ) 四个元素且 詹= 詹= 砑= ，五。乃= ，2 i j k 4 口 设c + 是非零复数构成的乘法群为简便起见，对o = a 1 ，口2 ) ( c + 2 ，仃= ( s ，t ) s ，我们用a 盯表示口 n ； 定理3 1 5 设是李代数( 歹( s ) ) 的一个线性变换，则是c ( 了( s ) ) 的一个z 2 分次自同构当且仅当存在a = ( a i l ) g l 2 ( z ) ，p a u t ( s 2 ( c ) ) ，o = a l ，口2 ) ( c ) 2 ，k z 2 = 士l ，z 1 ，七1 ，z 2 ，k 2 c ，使得 ( xoz 矿) = 后面n 叮p ( x ) oz 口 ，v x s 1 2 ( c ) ，盯= ( s ，t ) s 咖( 坊) = 七州矿a ( a ) d 豳v6 r = ( s ，t ) s 岛， 矽( q ) = 啦l c l + a i 2 c 2 ，i = 1 ，2 ， 删2 胬胬如“c - + ( 如) = 一a i a l 2 i 一, 4 l + a l a u i d 2 + ? 2 c l + 如c ：2 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 为证明定理3 1 5 ，我们先回顾文献问中的两个引理 引理3 1 6 ( 闻) 设妒是加法群z 2 的一个自同构，则存在a g l 2 ( z ) ，使得 妒( 盯) = a a ，砂( ) = 岛，矽( 最) = ( t ) ，i = 1 ，2 ，3 ， a l 型扩张仿射李代数的分次自同构群 1 4 其中盯z 2 ，u 是集合1 【1 ，2 ，3 ) 的一个置换 引理3 1 7 ( r y t 】)设0 x s 2 2 ( c ) ，则 y s f 2 ( c ) i ，y 】= o ) = c x 设是c ( 了( s ) ) 的一个z 2 分次自同构，砂是z 2 的相应于的自同构由 引理3 1 6 ，存在a g l 2 ( z ) ，使得 矽( 盯) = a a ，盯z 2 因为是一个分次自同构，所以我们可以设： l 粕( x ) oz o + 6 0 ( x ) c 1 + c 0 ( x ) c 2 + e o ( x ) d t + f o ( x ) d 2 ，若盯= 0 ， 僻。矿) = 如僻) 圆z 艄， 若盯s o o ) ， i 如) o z 以+ 如) 见a ， 若盯s s o ( 3 1 5 ) 其中x s 1 2 ( c ) ，如是s 1 2 ( c ) 上的线性变换，b o ，c o ，e 0 ，南，d o ，是从s h ( c ) 到c 的 线性映射 引理3 1 8 设砂是李代数c ( 了( s ) ) 的一个z 2 一分次自同构，则 ( xo z 盯) = o 盯九( x ) 固z 盯a ， c a s , x s z 2 ( c ) ，( 3 1 6 ) 其中九是s 1 2 ( c ) 的李白同构，a g l 2 ( z ) ，0 a 盯c 且a o = 1 证明：设x s 1 2 ( c ) ，则存在z s 1 2 ( c ) 使得x = kz 1 于是对任意盯s ， 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 5 ) 及( 3 1 5 ) 式，有 ( x z 口) = ( 【z 】oz 矿) = ( roz 仃，z 圆z 0 1 ) = 【( yoz 盯) ，( z x 0 ) 】 = 九( y ) oz 口a ，( z ) oz o 】= 【叮( y ) ，c o ( z ) 】oz 盯a 将上式与( 3 1 5 ) 式比较，可得 ( x 圆z 矿) = 口( x ) 圆x 矿 ，、盯曼xes z 2 ( c ) ( 3 1 7 ) 另外，对任意x ，y s 1 2 ( c ) ，我们有 c o ( x ) ，c o ( y ) 】圆z o = 【僻) 圆护，九( y ) 圆z o 】= 【o ( x 圆一) ，o ( yo 护) 】 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 = ( p rqz o ，y 圆x 0 】) = ( p ( ，y 】p 。o ) = ( p ( ，y 】) 圆z o ， 因此( x ) ，c o ( y ) 】= 九( ，y 】) ，这说明如是s z 2 ( c ) 的一个李自同构 对于盯s ，0 x s z 2 ( c ) ，因为o 矿，xqz o 】= 0 ，所以 0 = 眵( xq 矿) ，矽( xqx 0 ) 】= 【九( x ) oz 仃a ，( x ) oz o 】= 如( x ) ，c o ( x ) 】圆z 盯a ， 从而得到 如( x ) ，c o ( x ) 】= 0 由引理3 1 7 ，如( x ) 是九( x ) 的一个非零常数倍 因此，对仃sx s 1 2 ( c ) ，我们有 妒( xqz 圹) = a a ( x ) 妒o ( x ) z 仃a ， ( 3 1 8 ) 其中a g l 2 ( z ) ，a 矿为s 1 2 ( c ) 到c 的映射，并且0 0 ( x ) = 1 固定s 1 2 ( c ) 中一个非零元素，由( 3 1 8 ) 式有 ( x o 圆z 盯) = a a ( j ，o ) o ( x o ) z 口a ，盯s 另外，对任意x l ，k s 1 2 ( c ) 有 ( 隅，隅，陬，j 】o 矿) = 咖( x loz o ，p 巳 z o ，i koz o ，x o 固x 盯】) = 【( x l 圆x 0 ) ，【( j ，2 x 0 ) ，【多( 】0ox 0 ) ，( j 厂0 圆矿) 】 = 【妒o ( x 1 ) o 护，i o ( x 2 ) 圆护，【九( ) o 护，a 仃( x o ) o ( x o ) oz 盯a 】刀 = 九( x 1 ) ，【如( j 已) ， 咖o ( j 0 ) ，口盯( x o ) 矽o ( x o ) 】 z 盯a = a a ( ) ( l ，阢，隔，蜀】) 圆z 彻， 因为s h ( c ) 是一个单李代数，所以对任意o r s x s 1 2 ( c ) 有 咖( x z 盯) = a a ( j ，0 ) ( x ) z 口a 记：- - o 口( ) ，于是引理得证 口 引理3 1 9 设盯，7 岛u s ，1 i 3 ，则a c a r = a 盯+ r a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 1 6 证明：设是李代数c ( 歹( s ) ) 的一个z 2 一分次自同构对任意盯，丁s ou & ，1 is3 ，x ，y s z 2 ( c ) ，由( 2 2 3 ) 式及引理3 1 8 ，有 2 ( 。矿，y 。z 丁】) = 矽( ，y 】。z 叶r + e ( z 叶r ) ( x ，y ) ( 盯以) 瓯) 2 知= l = d 外下( ，y 】) 。z 外下m + e ( z 叶丁) ( x ，y ) p 以) 咖( q ) ， k - - - - 1 ( o 矿，yoz r 】) = 眵( x 圆x - ) ，( y 圆z 下) 】= 口矿九( x ) 圆x a a 嘶( y ) z r a 】 2 = 口盯口丁o ( x ，y 】) 。z 矿+ 下a + 口盯n r e ( z 口+ 7 ) ( x ，y ) ( ( 盯a ) 6 k ) c k 所以有a a a r = a 叮+ 7 - 推论3 1 1 0 o 。氐= ( o 氐) 8 ， v s z ，1 i 3 k = l 定理3 1 5 的证明：设妒是李代数c ( 了( s ) ) 的一个z 2 一分次自同构 口 对x s 1 2 ( c ) ，存在z s h ( c ) 使得x = i v , z 】由引理3 1 8 ，推论3 1 1 0 及( 2 2 3 ) 式，我们有 ( x z 士2 如) = 口警( x ) 固z 士确a ， 咖僻圆z 士2 6 。) = ( o z 士峨，z o x 土2 6 2 】) = 陋士笳1 ( y ) 圆z 士砸”，o 士2 如( z ) 圆z 如a 】 = 口斧n 警九( x ) pz 士炳a 从而有。謦= 口芽口警令k = 若，则k = 4 - 1 对盯= ( 8 ，t ) 岛us 1u 岛，有 a 盯= a s 6 1 + 地= n s 6 1 n 娩= n ；1 口乞， 对盯= ( 8 ，t ) 品，有 2 = a 玉。+ 娩= 口乙一。) 6 ，+ ( t 一。) 毛口毛= 口嚣卜1 口警1 口鸯口乞= ( 口；。) 2 ( n 乞) 2 ， 所以，对盯= ( 8 ，) s ，有a 口= k , t ( 口6 。) 。( o 如) 。 记a i ：= a 6 , ，i = 1 ，2 ，取p = ，则( 3 1 5 ) 式即( 3 1 1 ) 式 a 1 型扩张仿射李代数的分次自同构群 1 7 下面我们证明( 3 1 2 ) 式 对盯& ( 1 is3 ) ，存在乃= ( s j ，t j ) 最+ j u