2.4 用一元二次方程解决问题（能力提升）（解析版）

.4用一元二次方程解决问题题型一图形问题1．为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（

）A．πx+32-C．πx+32-【答案】B【详解】解：设水池的边长为x米，每边均相距3米，则圆的半径为12∵可种植绿植的面积恰好为72平方米，∴π12．学校打算用长20m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长11(1)若矩形生物园的面积是48m，求边AB(2)矩形生物园的面积能否达到52m【答案】(1)6m；(2)【详解】（1）解：设边AB的长为xm，则有BC=x20-2x解得：x1∵墙长11m∴当x=4时，BC=20-2×4=12m∴x=6；答：边AB的长为6m（2）由（1）可知：x20-2x整理得：x2∵Δ=100-4×26=-4<0∴方程无解，∴矩形生物园的面积不能达到52m3．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示．(1)求矩形菜地的长和宽．(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买A、B两种化肥共20千克．已知A种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施A种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米；(2)购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为x米(0<x≤4)，则长为(8-x)米，由题意，得x(8-x)=15，解得x1=3，8-x=8-3=5（米）．答：矩形菜地的长为5米，宽为3米．（2）解：设购买A种化肥m千克，则购买B种化肥(20-m)千克，总花费为w元，由题意，得m+0.6(20-m)≥15，解得m≥7.5．由题意，得w=8m+6(20-m)=2m+120，∵2>0，∴w随m的增大而增大，∴当m取最小值，即m=7.5时，w取最小值，此时20-m=20-7.5=12.5．答：购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少．4．如图1，有一张长为30cm、宽为16cm的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图(1)若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为___________cm(2)若纸盒的底面积为240cm(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm【答案】(1)26；(2)剪去正方形的边长为3cm；(3)剪去的正方形的边长为【详解】（1）解：由题意得：30-2×2=26cm，16-2×2=12纸盒底面长方形的长为26cm（2）解：设剪去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的长为30-2xcm，宽为由题意得：30-2x16-2x解得：x=3或x=20（舍去），∴剪去正方形的边长为3cm（3）解：设剪去的正方形的边长为acm由题意得：a16-2a解得：a=2或a=-17（不符合题意，舍去），∴剪去的正方形的边长为2cm题型二营销问题1．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（

）A．200-x20+x=1400 BC．200-x20+2x=1400 D【答案】B【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价x元，∴降价后每件的利润为200-120-x元，∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价x元后每天多售出2x件，∴降价后每天的销售量为20+2x件，∵每天总盈利为1400元，∴可列方程为200-120-x20+2x2．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元．【答案】4【详解】解：设每杯奶茶应降价x元，由题意得：(15-x-5)(300+50x)=3000，解得x1=0，∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高，∴舍去x=0，取x=4，答：每杯奶茶应降价4元.3．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】(1)(20+2x)，(40-x)；(2)每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元；(3)不可能【详解】（1）解：已知每件降价1元，多售出2件，降价x元时，多售出2x件原每天售出20件，因此每天销售量为(20+2x)件，原单件利润为120-80=40元，降价x元后，单件盈利为(40-x)元．（2）根据总利润等于单件盈利乘销售量，列方程得(20+2x)(40-x)=1200整理得x2因式分解得(x-10)(x-20)=0解得x1因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．（3）假设平均每天赢利2000元，列方程得(20+2x)(40-x)=2000整理得x2判别式得Δ=(-30因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价x所以平均每天赢利2000元不可能．4．红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg，当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg，红薯的单价降低0.2元/kg，但要求红薯的单价不低于2元/kg【答案】该零售商购买红薯的质量为350【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为250+ykg根据题意，得250+y3-解得y1当y=25时，250+y=275<300，舍去．当y=100时，250+y=350>300，且3-y答：该零售商购买红薯的质量为350kg题型三动态几何问题1．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=60cm，OB=80cm，OC⊥AB，垂足为C．甲虫由点A以3cm/s的速度沿AB向点B爬行，同时乙虫由点C以2cm/s的速度沿CO向点O爬行，当乙虫到达（1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形．（2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm【答案】7.25或7或6+71【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，OA=60cm，OB=80cm，∴AB=O∵OC⊥AB，∴S△AOB∴OC=OA⋅OB∴AC=A∴BC=AB-AC=100-36=64cm设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得AP=3xcm，CQ=2x当0≤x≤363即0≤x≤12时，点P在线段AC上，连接此时CP=AC-AP=36-3xcm∵甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形，∴CP=CQ，∴36-3x=2x，解得x=7.2；当12<x≤482即12<x≤24时，此时点∴CP=AP-AC=3x-36cm∵甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形，∴CP=CQ，∴3x-36=2x，解得x=36；不满足范围12<x≤综上所述，在7.2秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形．（2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得AP=3xcm，CQ=2x当点P在AC上时，此时CP=AC-AP=36-3xcm根据题意，得12即x36-3x=105解得x1=5，当点P在BC上时，此时CP=AP-AC=3x-36cm根据题意，得12即x3x-36=105整理，得x2解得x=12±故x1=6+71此时x=6+71综上所述，在5秒或7秒或6+71秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于1052．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=40cm，BC=30cm．点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以2cm/s的速度由点C向点(1)当t=5时，求△PQC的面积．(2)当△PQC的面积为64cm2时，求(3)△PQC的面积能否达到120cm2？若能，求出【答案】(1)100cm2；(2)t的值为2或8秒；(3)△PQC的面积不能达到【详解】（1）解：当t=5时，AP=4×5=20 ∴PC=AC-AP=40-20=20cm∴S△PQC（2）解：由题意得，PC=AC-AP=40-4t，CQ=2t，∴S△PQC整理，得t2解得t1当t=2时，40-4t=40-4×2=32>0，CQ=2×2=4<30，符合题意；当t=8时，40-4t=40-4×8=8>0，CQ=2×8=16<30，符合题意；∴∴t的值为2或8秒．（3）解：不能．理由如下：由（2）可知，S△PQC令12整理，得t2∵Δ=-10∴t2∴△PQC的面积不能达到120 3．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是2cm/s．连接PQ、AQ、CP，设点P、Q(1)当运动t秒时，线段BQ=DP=_______cm，AP=CQ=_______cm（用含有t的代数式表示）；(2)求当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)如图2，在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ【答案】(1)2t，12-2t；(2)94；(3)1或【详解】（1）解：由题意得，BQ=DP=2tcm，AP=CQ=（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AP=CQ=12-2t∴四边形AQCP是平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形，根据勾股定理得：AQ则62解得t=9∴当t=94时，四边形（3）解：由折叠的性质可得，∠AQB=∠AQB'，AB'=AB=6在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AQB=∠PAQ，∴∠AQB∴PA=PQ=12-2t∴B∵∠AB在Rt△AB'∴6整理得：t2解得t1=1，即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为(1)求CD的长；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15cm2？若存在，请求出所有满足条件的【答案】(1)16；(2)8+813；(3)存在，满足条件的t的值为2512秒或【详解】（1）解：如图1，过点A作AM⊥CD于M，∵AM⊥CD，∠BCD=90∴AM∥∵AB∥∴四边形ABCM是平行四边形，∴CM=AB=10cm，在Rt△ADM中，∴根据勾股定理得，DM=A∴CD=DM+CM=16cm（2）解：当四边形PBQD是平行四边形，则点P在AB上，点Q在DC上，如图3，由运动知，BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，∴t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，根据勾股定理得，BQ=B∴四边形PBQD的周长为2BP+BQ（3）解：①当点P在线段AB上时，即：0≤t≤10如图2，S△BPQ∴t=25②当点P在线段BC上时，即：103如图4，BP=3t-10，CQ=16-2t，∴S∴t=5或t=19即：满足条件的t的值为2512秒或51．某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是338m2．【答案】当矩形温室的长为30m，蔬菜种植区域的面积是338m2．【解答】解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意得：（x﹣1﹣1）（2x﹣3﹣1）＝338，整理得：（x﹣2）2＝169，解得：x1＝﹣11（不合题意，舍去），x2＝15，∴2x＝2×15＝30．答：当矩形温室的长为30m，蔬菜种植区域的面积是338m2．2．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为个．（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【答案】（1）（200+50x）；（2）9元【解答】解：（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为（200+50x）个，故答案为：（200+50x）．（2）∵清仓处理的单价为4元/个，处理的数量为600﹣200﹣（200+50x）＝200﹣50x个，∴清仓处理利润为（4﹣6）（200﹣50x）＝100x﹣400元，∴该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润为（10﹣6）×200+（﹣50x2+800）+（100x﹣400）＝﹣50x2+100x+1200元．﹣50x2+100x+1200＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣x＝9．答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元．3．十一黄金周期间某旅游景点的日游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：此景点日游客承载量的极限为10万人，为了确保安全“十一”黄金周期间日游客量不能多于9万人，每卖出一张门票所需成本为20元，那么要想获得日利润300万元，该日的门票价格应该定为多少元？【答案】（1）y＝﹣0.1x+15；（2）120元【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（50，10），（100，5）代入y＝kx+b，得：50k+b=10100k+b=5，解得：k=-0.1∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.1x+15．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣0.1x+15）＝300，整理得：x2﹣170x+6000＝0，解得：x1＝50，x2＝120．∵“十一”黄金周期间日游客量不能多于