（固体力学专业论文）非线性结构随机分析数值模拟的方法研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文 第1 页 摘要 工程结构的随机问题一般用随机有限元法来进行数值模拟。本论文针对如 何提高非线性结构随机有限元计算精度和效率，提出了两种新的随机有限元法， 建立了相应的理论和方法，具体如下： ，1 、g a u s s 类积分随机有限元方法 建立了基于l e g e n d r e 积分的随机有限元方法。通过随机变量的等概率变 换，这一方法可以应用到任意分布形式的随机变量上；进一步，考察不同积分点 数目对响应随机量的影响，结果显示，在很少的积分点下，响应均值就能达到 较高的精度，随着积分数目的增加，响应方差的精度逐步提高。总体上，所需 要的积分点数目很小；相关算例验证了这种方法有效性，所有算例均利用了 m o n t ec a r l o 法进行验证。在一维l e g e n d r e 积分的随机有限元方法的基础上， 提出了多维l e g e n d r e 积分的随机有限元方法。为了减少在多随机变量情况下的 该方法的计算量，建立了一种简化算法，推导出利用单随机变量的响应结果构 造多随机变量的响应。算例验证其有有效性。 l e g e n d r e 积分是g a u s s 类积分的一种，基于这样的认识，研究了其他g a u s s 类积分在随机有限元分析中的有效性，具体建立了h e r m i t e 积分的随机有限元 分析格式。该方法对多维随机变量处理方法与多维l e g e n d r e 积分随机有限元完 全一样。 2 、多样本冗余度压缩算法的理论和方法 在n e u m a n n 随机有限元方法的启发下，首次提出了多样本计算冗余度概念 和冗余度压缩算法的概念。建立了基于冗余度压缩算法的m o n t ec a r l o 随机有 限元方法，多样本冗余度压缩算法还可以与遗传算法、模拟退火算法等智能算 法联合，以改善计算的精度和效率。 证明了在算法上n e u m a r m 法与一般迭代法是等价的，从而可以将计算效率 西南交通大学博士研究生学位论文第1 i 页 更高的迭代算法按n e u m a n n 法提供的思路引入m o n t e c a r l o 随机有限元。建立 了预处理共轭梯度( p c g ) 冗余度压缩算法，将特征样本作为预处理阵，采用 共轭梯度法进行求解：建立了b r o y d e n 秩l 算法的拟n e w t o n 冗余度压缩计算 方法。理论上证明了这两种方法有效性。算例验证了这两方法较n e u m a n n 法对 随机变量的实用范围有很大的扩展，突破了n e u m a n n 法随机有限元只适合随机 变量为小变异的情况。 在拟n e w t o n 冗余度压缩算法中，进一步发现该方法的实现只需要近似的 逆阵。在此基础上，提出了一种新的样本组织技术，算例验证了该方法的有效 性。最后，建立了非线性问题载荷随机的冗余度压缩计算方法。 3 、血管支架的随机分析 根据血管支架的选用材料和生产制作工艺，确定了血管支架胫截面的宽度 和厚度分别是空间一维随机场。 采用二维局部建模，利用本文建立的新随机算法，对某新型血管支架进行 了随机有限元分析。获得了轴向收缩比、径向回弹比的随机响应。 关键词：随机有限元法：g a u s s 类积分：n e u m a r m 法；多样本冗余度 血管支架 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 i i 页 a b s t r a c t t h es t o c h a s t i cp r o b l e mo f e n g i n e e r s t r u c t u r ei sa n a l y z e db yt h es t o c h a s t i cf i n i t e e l e m e n tm e t h o d g e n e r a l l y a i ma tt h ee f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n o ft h es t o c h a s t i cf e m ， t w ok i n do fn e ws t o c h a s t i cf e ma r ep u tf o r w a r da n dt h ec o r r e l a t i v et h e o r i e sa n d m e t h o d sa r ee s t a b l i s h e d ： 1t h es t o c h a s t i cf e mb a s e do ng a u s si n t e g r a lm e t h o d e s t a b l i s ht h em e t h o do fs t o c h a s t i cf e mb a s e do nt h el e g e n d r ei n t e g r a t i o n t h e m e t h o dc o u l db eu s e df o ra l ls o r t so fr a n d o mv a r i a b l eu s i n ge q u i p r o b a b l et r a n s f o r m f o r m u l a s t u d i e dt h ei n f l u e n c eo ft h ei n t e g r a t ep o i n t st ot h er e s p o n s er a n d o m ，t h e r e s u l ts h o wt h a tt h ef i r s tm o m e n tr e a c hh i g hp r e c i s i o na l t h o u g ht h e i n t e g r a t i o n p o i n t si s f e w e r t h ep r e c i s i o no fs e c o n dm o m e n ti sh i g h e ra st h ei n c r e a s eo ft h e i n t e g r a t i o np o i n t s i ng e n e r a l ，t h ei n t e g r a t i o np o i n t si sf e w e r t h ee x a m p l e ss h o w t h e e f f i c i e n c yo f t h em e t h o da n dv e r i f i e db ym o n t e - c a r l os t o c h a s t i cf e m o nt h eb a s e ， s t o c h a s t i cf e m i n c l u d i n gr a n d o m m u l t i v a r i a b l e si sd e v e l o p e d i no r d e rt od e c r e a s e t h e c o m p u t a t i o n ，ar e d u c t i o n f o r mi sd e d u c e dt o g e t t h e r e s p o n s e o fr a n d o m m u l t i v a r i a b l e sf r o ms i n g l ev a r i a b l e ，a n dv e r i f i e db ym o n t e - c a r l os t o c h a s t i cf e m a sl e g e n d r ei n t e g r a t i o ni so n eo fg a u s si n t e g r a t i o n ，i ti sn a t u r et oa p p l yt h e o t h e r sg a u s si n t e g r a t i o ni n t os t o c h a s t i cf e m s t o c h a s t i cf e mb a s e do nh e r m i t ei s e s t a b l i s h e dc o n c r e t e l y o nc o m p u t i n gr a n d o mm u l t i - v a r i a b l e sp r o b l e m ，t h em e t h o d i ss a m ea sl e g e n d r e i n t e g r a t i o n 2t h e t h e o r ya n dm e t h o d f o rm u l t i - s a m p l e sr e d u n d a n c y o nt h eb a s eo f s t u d y i n g n e u m a n ns t o c h a s t i c f e m ，p r o p o s e t h et w o c o n c e p t i o n s ：m u l t i s a m p l e sr e d u n d a n c y a n d c o m p r e s s e dr e d u n d a n c ya l g o r i t h m e s t a b l i s ht h em o n t e c a r l os t o c h a s t i cf e mb a s e do n c o m p r e s s e dr e d u n d a n c y a l g o r i t h m t h er e s e a r c ha l s oi se f f e c t i v ef o ra l ls o r t so fi n t e l l i g e n tc o m p u t i n gm e t h o d ， s u c ha s g e n e t i ca l g o r i t h m 、s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ，i n t h et e r mo ft h e e f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n 西南交通大学博士研究生学位论文第1 v 页 p r o v et h e e q u i v a l e n c e b e t w e e nt h en e u m a r u 3 s t o c h a s t i cf e ma n dt h e e q u a t e d s t i f f n e s si t e r a t i o nm e t h o d t w om o r ee f f i c i e n tm e t h o d sa r ei n t r o d u c e di n t o m o n t e c a r l os t o c h a s t i cf e ma c c o r d i n gt on e u m a n ns t o c h a s t i cf e m e s t a b l i s h p c gc o m p r e s s e d r e d u n d a n c ym e t h o d t h ec h a r a c t e r i s t i c s a m p l e i sc h o s ea s p r e c o n d i t i o n e dm a t r i x ，a n dt h ep r o b l e ms o l v e da st h ec o n j u g a t eg r a d i e n t ；e s t a b l i s h q u a s i n e w t o nc o m p r e s s e dr e d u n d a n c ym e t h o du s i n gb o r d e ni o r d e ra l g o r i t h m t h e e f f i c i e n c yo f t h et w om e t h o d sa r ep r o v e di nt h e o r y t h ee x a m p l e ss h o wt h a tt h et w o m e t h o d sc o u l da p p l yi nl a r g e r - s c a l er a n d o mv a r i a b l ep r o b l e m s o l v et h ep r o b l e mo f l a r g e v a r i a t i o nt h a tt h en e u m a n ns t o c h a s t i cf e mc a r l td o s p e c i a l l y , i nq u a s i n e w t o nc o m p r e s s e dr e d u n d a n c ym e t h o d ，t h es t u d ys h o w s t h a ta p p r o x i m a t ei n v e r s e - m a t r i xi sj u s tr e q u i r e di nt h em e t h o d o nt h i sb a s e ，d e v e l o p t h es a m p l eo r g a n i z e dt e c h n i q u e t h ee x a m p l e sp r o v ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d a t l a s t ，e s t a b l i s ht h el o a d r a n d o mc o m p r e s s e dr e d u n d a n c ym e t h o da b o u tn o n l i n e a r p r o b l e m 3s t o c h a s t i ca n a l y s i sa b o u tv e s s e ls t e n t a c c o r d i n gt o m a t e r i a la n dt e c h n i c a lo fm a n u f a c t u r e ，m a k ec e r t a i nt h a tt h e w i d t ha n dt h et h i c k n e s so f s h a n ks e c t i o na r e1 d i m e n s i o nr a n d o mf i e l d o nt h eb a s eo f2 - d i m e n s i o np a r tm o d e l i n ga n dd e v e l o p e ds t o c h a s t i ct h e o r y , s t u d yn e w v e s s e ls t e n ti nd e t a i l ，u s i n gs t o c h a s t i cf e m g e tt h es t o c h a s t i cr e s p o n s e o f a x i s - s h r i n kr a t i oa n d r a d i a l s p r i n gr a t i o k e y w o r d ： s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h eg a u s s i n t e g r a l ，n e u m a n nm e t h o d ， m u l t i s a m p l e sr e d u n d a n c y , v a s c u l a r s t e n t 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， j 自意学校保留并和国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文授予 1 保密口，在 2 不保密函， 年解密后适用本授权书 适用本授权书。 ( 请在以上方框内打“、”) 学位论文作者签名：卉矽走、 指导教师签名：古善名j 日期：d 斗年f 月6 日 日期：护p 年、月；日 西南交通大学 学位论文创新性申请 本人郑重申明：所提交的学位论文，是本人在导师下独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体己经发表或撰写过的研究或成果。对本论文的研究做出贡献的个人和集体， 均己在文中作了明确的说明。本人完全意识到本申明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 、提出并具体建立了基于l e g e n d r e 积分的随机有限元方法和一种简化形式的 多维l e g e n d r e 积分的随机有限元方法。 2 、研究了其他g a u s s 类积分在随机有限元分析中的有效性，具体建立了 h e r m i t e 积分的随机有限元分析格式。 3 、在n e u m a n n 法随机有限元方法的启发下，首次提出了多样本冗余度概念和冗 余度压缩算法的概念。建立了基于多样本冗余度压缩算法的m o n t ec a r l o 随机 有限元方法。该方法还有利于遗传算法、模拟退火算法等智能算法的发展。 4 、建立了预处理共轭梯度( p c g ) 冗余度压缩算法和b r o y d e n 秩l 的拟n e w t o n 冗余度压缩计算方法，该方法突破了n e u m a n n 法随机有限元只适用于随机 变量为小变异的情况。在拟n e w t o n 冗余度压缩算法中，进一步发现该方法 的实现只需要近似的逆阵，在此基础上，提出和建立了样本组织技术。 5 、建立了非线性问题载荷随机的压缩计算方法。 6 、确定了血管支架胫截面的宽度和厚度是空间一维随机场。采用二维局部建 模，利用本文建立的新随机算法，对某新型血管支架进行了随机分析。 i 霉位 龛知砀弛：雅、 日期：口牛和目日 西南交通大学博士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 工程结构的不确定性 对某一系统认识程度的描述，可分为白色系统，灰色系统和黑色系统。白 色系统指系统的构成、规则和参数等己被完全确定，整个系统对人们来说是完 全被认知了的。灰色系统是指系统的构成、规则、参数等已有一定的认识，但 由于主、客观条件限制，这种认识并不完整，存在着不确定性，这种不确定程 度可利用灰度表示，灰度越大，不确定性越高。黑色系统指对人们而言，完全 未知的领域。 当今，在工程结构的安全性评定方面，用于计算的有限元模型常常要求是 完全确定的，即被假定为白色系统。在此基础上，已开发了相当复杂和先进的 结构有限元分析软件，如美国a n s y s 公司的a n s y s 软件，m s c 公式的n a s t r a n ， p a n t r a n 等。基于白色系统计算模型的结构有限元分析目前已深入到众多的工程 领域中，成为虚拟仿真的一个重要手段。 但是，另一方面，现实的工程问题中，存在着大量的不确定因素，它的本 质是一个灰色系统。如在岩石问题分析中，杨氏模量e 和泊松t e 口在整个岩石 体中的分布，岩石层断面的走向和大小都是不确定性的：又如在机械工程中， 外载荷情况，装配情况，尺寸大小都存在着不确定性。这些不确定性，有些是 由于目前人们的观测手段或工艺水平所限制而产生；有些是结构问题自身所具 有的随机性。因此，实际结构工程是一个灰色系统。在确定性问题的计算分析 中，相关的求解技术已使得求解精度相当的高，但计算参数的确定却较为随意。 计算参数与实际情况相比，它所具有的精度已远远落后于工程结构的计算分析 精确，如果不考虑设计参数的不确定性，结构的精确分析所能取得的效益，将 被粗略的经验性安全指标所淹没【i 3 l 。因而，对于结构不确定性的研究，具有重 第2 页西南交通大学博士研究生学位论文 要意义。 灰色系统一般表现为三种形式，即随机性、模糊性以及未确知性，本论文 着重于随机性的研究。在结构工程中，较有共性的随机因素主要有0 , 2 l ： 1 、结构的材料性能随机性。对于弹性材料。如杨氏模量，泊松比，对于塑 性材料，如屈服应力，强化系数等等；2 、结构的几何尺寸的随机性；3 、载荷的 随机性；4 、结构装配随机性。 目前，研究最广泛的是材料和载荷的随机性，几何随机性出于算式上的复 杂，相关论文较少，结构装配中的力学问题逐渐被重视，相应的，装配问题中 的随机性已开始有相关研究。 1 2 随机有限元方法及随机场理论 结构工程中的随机性问题，一般采用随机有限元方法解决，当前，被广泛 使用的方法是摄动法、正交展开法以及m o n t e c a r l o 法，其中，前两种是采用 分析的方法，后一种是统计的方法 i j 。 1 2 1 摄动随机有限元法 摄动随机有限元是指结合了摄动方法的一种随机有限元法，该方法在假定 随机变量的小参数扰动的前提下，将有限元基本方程中的剐度矩阵按随机变量 做t a y l o r 展开，得到关于随机变量的一组递归方程。求解这个递归方程，可获 得位移的各阶摄动系数，进而可以获得位移、应力等响应的均值和方差 2 4 1 1 引。 摄动随机有限元方法起源于上世纪6 0 年代末，c o l l i n s 和t h o m p s a n 6 ， s h i n o z n k a 和a s i l l t t l 分别独立地运用摄动技术研究了随机系统的特征值问题， h a r t 和c o l l i n s 8 】研究了随机有限元模型，采用二阶泰勒级数展开表示系统的特 征值、特征向量，在动力特征值问题方面，首次实现了摄动随机有限元分析。 随后，c h e n 和s o r o k a 9 ，h a s s e l m a n 和h a r t 1 们，c o m b o s 1 l 】d e n d r o w 和h o u s t i s 1 2 j 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 等人对摄动随机有限元法进行了拓展。8 0 年代初，n a k a g i n i 和h i s a d a i b 2 0 1 ，h a n d a 和a n d e r s o m t 2 ”，b a e c h e r 和i n g r a 2 2 1 对基于摄动技术的随机有限元作了比较系统 的研究，形成了较完整的摄动法体系。这些研究确立了摄动随机有限元法在结 构静力问题中的适用性。 在非线性随机结构研究方面，l i u 等口抛4 】针对二维问题最早给出了材料非 线性和几何非线性分析的随机有限元列式。h a l d a r 和z h o u l 2 5 1 也提出了类似方 法，并用于分析几何非线性问题。陈虬、刘先斌等【1 1 对同时对具有材料非线性 和几何非线性动力问题进行了初步研究。刘宁【2 0 6 】对l i u 等人基于全量理论的偏 微分法推广至增量理论的偏微分法，使之能反映加载路径，用于分析弹塑性问 题和材料软化问题。赵雷【5 2 7 1 ( 1 9 9 6 ) 研究了增量理论的弹塑性动力问题的摄 动随机有限元列式。在随机变分领域，l i uwk 于1 9 9 8 年提出了一个随机变分 原理，但此原理仅限于讨论响应场互不关联的情况。陈虬、刘先斌在这方面做 了进一步的研究【l 】，建立了随机变分列式和相应的有限元列式。并研究摄动变 分列式解的存在性、唯一性及误差界。赵雷基于瞬时最小势能原理，研究动力 分析的随机变分列式 4 j 。 基于摄动技术的动力分析的随机有限元法应用很普遍，因为人们对确定性 分析的摄动方法已研究得比较成熟，这些方法可以比较方便地运用到随机动力 分析中。摄动随机有限元的技术目前日趋完善，摄动随机有限元成为结构随机 分析的一种重要的方法。但在研究中，也发现摄动随机有限元有着些难以克 服的困难。如动力问题的长期项问题，计算效率问题，关于这方面，赵雷有较 全面的评述 4 1 。 长期项问题。对于随机结构的动力方程，用摄动技术作瞬态响应分析不是 正则的，因此导致了解的奇异性。在摄动求解过程中，尽管系统的荷载并不含 有共振频率部分，但由于摄动格式的使用将导致递推方程组的一阶和二阶动力 方程中出现共振因素并造成动力方程摄动解的精度变坏，在一些情况下甚至出 第4 页西南交通大学博士研究生学位论文 现不收敛的结果。这就是所谓的“长期项”问题f 2 8 m 】。对单自由度随机系统的 脉冲响应函数的均值和方差，与m o n t ec a r l o 数值模拟结果的比较表明，摄动 法只适用于t 4 r e c o o ( o j o 为系统固有频率) ，此后的偏差随时间增大而越来越大 1 2 9 。尤其对瞬态响应的方差，二阶摄动法比一阶摄动效果更差。这是由于长期 项中所含时间变量的阶数与摄动阶数相等所致，低阶解答中的瞬态共振项在高 阶递推运算中被一再地放大，导致所有的统计解答精度随时间增加而降低，而 这种放大效应在真实动力反应中是根本不存在的【3 ”。因此，摄动的随机有限元 法解决瞬态动力响应时，一般只适用于较短的时程，长期项问题是摄动随机有 限元法解决动力问题时的一个固有弱点。w a u b k e 【3 3 1 用一个线性震荡的算例具体 说明了摄动随机有限元法不适用于动力问题。 为了克服长期项的困扰，提出一些方法用以在数值上消除长期项，但这些 方法的有效性仍在研究中。相关的研究主要有l i u t 川1 等提出的快速f o u r i e r 变换 ( f f t ) 方法。这种方法对线性随机结构的瞬态动力响应解答有较好的数值结 果，但对于非线性的随机结构并不适合。陈虬等将静力分析的t a y l o r 展开随机 有限元列式用于随机结构动力分析，导出了相应的递推列式，并解决了具有随 机弹性模量的简支梁的动力挠度响应【3 4 1 。至今还没有一种合适的方法能够有效 地消除由于摄动格式产生的长期项的困扰。 计算效率问题。为了得到具有二阶精度的结构均值响应，当随机变量个数 为行。且为相关随机变量时，随机结构动力分析的计算工作量是相应确定性分 析的( 1 切+ 疗2 ) 倍。若采用随机变量的特征正交化变换，将门维相关随机变量 转换为一组互不相关的随机变量 射，可使随机动力分析的工作量仅为确定性分 析的( 1 + 2 n ) 倍。注意到方差数值较小的随机变量经中心化处理后，它们对结 构系统随机性的相关结构的影响比方差数值较大的随机变量的影响微弱得多， 因而可以在正交化变换后的n 维独立随机变量中选取方差数值较大的前盯个随 机变量取代原来的门维随机变量，用以描述动力系统的随机场，可以进一步将 西南交通大学博士研究生学位论文第5 页 摄动随机有限元法处理随机结构动力响应的工作量缩减为确定性分析的( 1 + 2 q ) 倍( 口 ”) 【1 a 根据数值计算经验可知，随机动力响应分析中，一阶摄动的随机有 限元法效率较高，而二阶摄动方法的计算工作量大，实用性差。 大变异随机变量问题。摄动随机限元法是随机变量的小参数扰动前提下建 立起来的，因而在其自身的理论体系范围内，不可能提出解决随机变量出现大 变异的情况。b s u d r e t 和a d k i u r e g h i a n t 3 5 1 ，变异系数小于2 0 的情况下，利 用摄动随机限元法能够获得出较高精度的随机响应解答，但超过2 0 以后，其 计算性能就变成差了。该问题是摄动随机限元法的理论前提所限制。 虽然有以上的问题存在，但摄动随机限元法在静力问题中的有效性是被广 泛的承认的，并且应用于大量的工程应用。在刘宁在其专著随机有限元分析 及可靠性( z l ，在理论上详细探讨了非线性摄动随机限元法，并结合自己的 研究，介绍了在土木工程中如何应用摄动随机限元法。ho s n e s 和h p l a n g t a n g e n l 3 6 1 针对钢结构的静态和非静态，分别考虑材料为线弹性和非线性的 问题，应用摄动随机限元法对其计算，并在此基础上进行安全性评定。a h a l d a r 和s m a h a d e v a n 3 r l 应用摄动随机限元法于地下水流，也取得了较好地计算结果。 当前，该方法的研究仍在深化之中，比如e r 和i n 1 38 】基于摄动法和单元分解的 思想，建立了一种新型的分析技术，对于大型结构的随机问题，该方法的计算 效率较一般摄动法更大。 1 2 2 正交展开随机有限元方法 正交展开方法的思想在结构随机问题中的应用源于1 9 7 9 年s u n f 矧的工作， 针对具有系数随机微分方程的求解问题，提出了位移量取h e r m i t o 正交多项式 的逼近方法，详细讨论了随机场的谱方法表示，基于谱分析的随机有限元列式 和求解。j e n s e n 和1 w a n l 4 州在s u n 的思想上进一步探讨了用一般正交多项式构成 其展开式函数的方法。 g h a n e m 、s p a r t o $ 4 1 0 2 】提出的混沌正交多项式方法，并在专著随机有限元： 第6 页西南交通大学博士研究生学位论文 一个谱方法( 4 3 l 中进行了详细阐述，陈虬、刘先斌【“舶1 也独立地提出了这个算法， 在专著随机有限元及其工程应用【l 】中，进一步研究了摄动随机有限元的误 差估计和随机场的k a r h u m e n l o e v e 级数，结合随机场函数的k a r h u m e n 1 0 e v e 级数展式与g a l e r k i n 方法的思想建立了新的变分和随机有限元列式，指出 g h a n e m 、s p a n o s 用的“基本的”随机变量序列在理论上是正确的，但构造的 繁琐不利于问题的解决。在h i l b e r t 相空间中研究随机场的构造和随机有限元的 求解，从理论上证明了该方法不再需要随机场函数是小参数量级的限制。 李杰对该方法进行了较全面的研究，在泛函分析的框架下，对场域随机变 量施行逐变量次序正交分解，发展了一类扩阶系统方法，直接从多自由度体系 随机结构动力方程中按次序正交分解原理得到扩阶系统动力方程，解之便可以 由正交多项式的级数形式得到随机响应的动力特征 3 1 1 4 7 - 4 9 1 ，对随机结构所进行 的在确定性地震输入和随机性地震输入下的动力响应研究，表明了扩阶系统方 法的适用性。在此基础上。李杰进一步提出了聚缩算法【5 0 l ，聚缩算法可较有效 的减少计算量，且该方法易于推广至静力与稳定性分析 近年来，关于正交展开随机有限元方法的研究不断走向深化。a n d e r s 和 h o r i 5 h 将该方法应用于非线性问题，在一定简化的基础上，初步实现了材料非 线性问题的求解。目前，关于正交展开法的线弹性静、动力分析已趋成熟，相 关软件平台也初步建立起来，基于m a t l a b 环境下的软件平台s t o f e r n 得到广泛 的使用，y y u 5 z , 5 3 在s t o f e m 的基础上，详细介绍了正交展开随机有限元方 法的实现恿路和步骤，并结合a n s y s 软件，在前处理、求解和后处理上，实现 了与a n s y s 的很好结合，其编制的软件能够处理弹性动力问题。相关的研究 还包括有d x i u 和g e k a m i a d a k i s 将正交展开技术应用于流体结构的随机分 析 h 。硎。 基于正交多项式展开的随机有限元分析的主要优点有两点 m ，其一，随机 变量不受参数变异量大小的限制，其二、对于动力问题，利用该方法长期项干 西南交通大学博士研究生学位论文 第7 页 扰的问题，这是较摄动法而言，十分重要的优势。但是，该方法的数学结构十 分复杂，随机有限元的实现较摄动法而言非常繁琐。该方法求解随机响应时要 相当大的扩展求解动力方程的阶数，其正交展开多项式的项数随参数变异系数 的增大而增加，即求解动力方程的阶数随参数变异系数的增大而增大，即使采 用聚缩算法，也不能从更本上解决计算两大的问题。 1 2 3m o n t e c a r l o 随机有限元方法 m o n t e c a r l o 法是一种随机抽样的方法，将m o n t e c a r l o 法应用于随机有限 元，是很自然的，m o n t e c a r l o 随机有限元法在结构随机有限元分析中占有重要 的地位，在足够的样本情况下，该方法能够获得响应的任意高阶矩。对随机有 限元领域内建立的新方法，一般都利用m o n t e c a r l o 随机有限元法检验其有效 性。现今成熟的商用有限元分析软件为m o n t e c a r l o 的实现提供了十分方便的 途径。m o n t e c a r l o 随机有限元的缺点如同它优点一样明显，那就是计算的耗时 性，对于具有一定规模的确定性非线性有限元问题，单个样本的计算分析已十 分耗时，若要进行足够样本量的计算，在计算时间上是决不可行的。m o n t e c a r l o 随机有限元方法的研究的核心问题就是如何减少计算时间上。研究主要在两方 面进行，一是基于误差分析的抽样法，二是并行算法。 抽样技术的研究一直受到广泛的重视，m o n t e c a r l o 的误差分析显示，统计 误差与响应的均方差成正比，因而，减少方差就能够提高收敛的速度。基于这 样的思路，提出了很多方法，r e c a f l i s c h 5 8 1 对此有专门的综述。主要的方法 有以下几种：对立变量抽样法，在抽取样本时，同时抽取两个对立的样本，则 其响应和的方差大小将得到线性的减少：重要抽样法，引入一个与待求响应分 布近似的己知随机量，通过它进行方差缩减技术，其难点是构造缩减的样本分 布函数，在这方面，k j j a w a t 5 9 】获得了较大的进展，其提出的方法对于较少随机 变量的静力问题( 线性或非线性) 能够获得较好的效果：分层抽样法，将整个 抽样空间划分为多个子空间，在子空间抽样结果的基础上，进一步计算得到响 第8 页西南交通大学博士研究生学位论文 应的统计量，递归方法的应用能有效提高这种方法的效率【6 0 ；另外还有矩匹配 方法、变异控制法等等。其中，重要抽样法一直是研究的重点。 在对随机过程与随机场的模拟方面，三角级数模拟方法应用最为广泛，它 利用谱分解形式，将随机过程与随机场表示具有随机相位的正弦或余弦的级数 形式，在地震波的人工模拟中这种方法得到了广泛的应用。这种方法最早是由 r i c e 6 1 1 提出，s h i n o z u k a f 6 2 。1 1 对该方法及应用进行了系统的研究。针对模拟法有 计算量大的特点，y a n g 7 2 , 7 3 】引入了快速傅里叶变换( f f t ) ，使计算量得到了很 大程度的改善。 m o n t e - c a r l o 法天生适合并行运算，具有很高的计算并行度，近年来a k e e s e 和h g m a t t h i e s 7 4 - 7 6 】对m o n t e c a r l o 法的并行算法上做了系统研究。在 硬件上，有基于多c p u 的单机并行计算和网络计算两种，在网格计算上，目前， 通信方式一般采用域的模式，它较共享磁盘方式有更高的效率和更好的可管 理性。 关于m o n t e c a r l o 随机有限元研究的另一方向基于n e u m a n n 级数的随机有 限元研究。从历史上看，这个方法的思想可以追溯到a d o m i a n 7 7 1 的系列工作。 在他们的工作中，针对随机微分算予方程的求逆问题，引入了随机算子的 n e u m a r m 展式的概念并以此为基础建立了等价于原随机算子方程的一组递归算 子方程。他们的研究奠定了n e u m a n n 随机有限元的基础。从本质上讲，随机算 子方程的n e u m a r m 展式方法是一类正则的小参数摄动方法，它要求随机变量的 扰动量是小量，a d o m i a n 给出了关于这个扰动量的一个度量，以保证解答的收 敛性。如果随机变量的扰动量越过了界限值，则解答出现发散。基于n e u m a n n 级数的随机有限元方法优于摄动随机有限元法的地方是，摄动随机有限元法一 般最大只目取到随机量的二阶摄动。而n e u m a n n 展式方法能够获得更高精度的 响应。 1 9 8 8 年y a m a z a k i 等【7 8 】首先将算子的n e u m a n n 级数引入随机有限元的研 西南交通大学博士研究生学位论文第9 页 究，之后，对该方法的研究引起了很大的兴趣。将n e u m a 衄展式与m o n t e c a r l o 随机有限元结合，既保留了m o n t e c a r l o 随机有限元的求解的完备性，又弥补 了该方法的固有缺陷一计算量大。为了解决随机变量小变异的要求，y a m a z a k i 等进一步提出了修正递归过程的技巧，其做法是给出一个具有待定常数的修 正表达式，通过调整待定常数的大小来实现n e u m a n n 级数的收敛。 赵雷【3 1 研究了将n e u m a r m 展式应用于随机结构弹性动力分析，建立了相应 的随机有限元列式，初步验证了该方法的有效性，说明该方法可避开采用摄动 法带来的“长期项”问题的困扰，郝志明 4 1 在此基础上，进一步将n e u r l l f l l l l l 展 式应用于随机问题的结构大变形弹塑性动力分析中，将非线性随机方程的 n e u m a n n 展式与增量逐步求解技术结合起来，证明了n e u m a n n 展式求解非线 性随机问题的收敛性，同时给出了改进收敛性和计算效率的方法，算例表明了 该方法有良好的应用潜力。同时，郝志明也指出，由于非线性问题的复杂性， 采用n e u m a n n 展式求解方程时，应进步考核起计算效率，探讨其实用的范围 和改进的形式。 陈虬、刘先斌从另一个方面；n n e u r n a n n 随机有限元法进行了研究。指出 n e u m a r m 随机有限元法的实质是随机矩阵的求逆。说明随机场函数的离散对变 分形式的等价性转换起了重要的作用，n e u m a n n 展开法能够完成这种转换。进 而，在变分法的基础上对随机结构进行分析，提出了n e u m a n n 随机有限元的变 分列式。并分析了该方法的误差来源，给出了估计式。 b a b u s k a 和c h a t z i p a n t e l i d i s 7 9 - 8 3 的系列工作较全面和系统地研究n e 啪a n n 随 机有限元，在级数误差理论方面做了非常细致的工作，提出了级数误差公式； 并在此基础上提出了区域分解法，该方法的实质是加快了级数误差公式的收敛， 因而有利于提高其求解效率；进一步，b a b u s k a n l c h a t z i p a n t e l i d i s 7 9 - 8 3 】提出了利 用并行计算来实现该方法，这样可以有效的降低计算量。 第l o 页西南交通大学博士研究生学位论文 1 2 4 随机场理论 一般来讲，结构材料、几何、载荷等因素的随机量是一个随机场，要进行 随机分析，首先要给出随机变量的分布函数或谱密度函数，这在现实中是很难 做到的。对随机场进行离散是一个很自然的思路，对它的研究构成了随机场理 论重要部分。离散随机场的方法主要有三种。 中，t l , 点法是a d k u i r e g h i a n 和j b k e 8 4 1 提出的方法，该方法针对规则性 单元，以单元中，t l , 点的随机量代表整个单元上的随机场，该方法实施简单，有 一定的实用性，但其局限是很明显的，其一，这种方法只能适合于三角形、长 方形等有规则形状的单元，对于没有“中心”这一概念的不规则单元就很难使 用了，这使得该方法的应用上有很大的局限，更重要是，这种方法在计算的精 度较低，它一般会高估随机场的变异性。研究表明，三种离散方法中，该方 法的精度是最低的。 形函数法或内插值法。该方法由w k l i u ，t b e l y t s c h k o ，和a m a n i t 8 6 】提 出和建立。利用单元上的形函数作为单元上随机场的插值函数，这样可利用结 点处的随机变量来模拟整个单元上的随机场。从数学方法来看，中心点法是形 函数法的特殊形式，把形函数看作是常数，结点看作是中点，此时形函数法退 化为中心点法。 目前得到广泛使用的是局部平均理论。该方法由v a n m a r c k e 和m c n - i g o r i u 【8 7 】 提出。v h m a r c k e 8 8 l 在其专著随机场：分析与合成中，系统的研究了随机 场局部平均理论。局部平均理论是将单元上的随机场进行局部平均，形成一个 随机变量来替代原单元上的随机场，朱位秋等人【峨9 0 1 也做了类似的工作。c c “和a d k i u r e g h i a n 9 1 1 在其1 - 作e e ，说明了局部平均理论较中一t l , 点法更好。 随机场经局部平均后形成的向量具有对原随机场函数相关性不敏感的特点，且 只要求给出原随机场的均值、方差及相关尺度，降低了对输入随机信息的要求， 使方法趋于实用。w k l i n t b e l y t s c h k o ，和a m a n i 【9 2 1 应用g r a m s c h r n i d t 特征正 西南交通大学博士研究生学位论文第“页 交化方法，将满秩的协方差矩阵变换为对角矩阵，有效降低了计算量。陈虬等 9 3 - 9 5 将局部平均理论应用于等参数单元，建立了等参局部平均单元，由于等参 数单元在结构分析中起着重要的作用，因而这一研究较大的扩展了局部平均理