（基础数学专业论文）7twisted仿射李代数sl3cθ的顶点算子实现.pdf

2 0 0 5 年河南大学硕十论文 摘要 本文在参考文献【6 1 中工作的基础上，具体地构造了7 - t w i s t e d 仿射李代数矗( 3 ，c ) n 的顶点算子表示，也就是说，给出了它的顶点算子实现。为进一步研究相应的顶点 算子代数奠定了萋础具体地说，先找到单李代数s z ( 3 ，c ) 的一个7 阶自同构o ，也 就是说，口a u t ( s t ( 3 ，c ) ，并且使得口7 = 1 ，根据这一日，对s ( 3 ，c ) 进行仿射化然 后，再根据顶点算子的性质，详细地构造出s z ( 3 ，c ) n 的顶点算子表示 关键词：李代数，扭仿射李代数，顶点算子，顶点算子表示 a b s t r a c t b a s e do nf 6 】，w ec o n s t r u c tt h ev e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n so f7 - t w i s t e da f f l n el i e a l g e b r as l ( 3 ，c ) 例i n t h i sa r t i c l e ，t h a ti st os a y , w eg i v et h er e a l i z a t i o no fv e r t e xo p e r a t o r s o f7 - t w i s t e da f f i n el i ea l g e b r as l ( 3 ，c ) 刎，w h i c hl a yaf o u n d a t i o nf o rt h ef u r t h e rr e s e a r c h a fv e r t e xo p e r a t o r m g e b r aa s s o c i a t e dw i t h i iw ed dn 韶f c 耻a 加g ：f i r s t l y j 话圯f i n da n a u t o m o r p h i s mo fs l ( 3 ，c ) w i t ho r d e r7 ，i e 0 a u t ( s l ( 3 ，c ) ) ，a n d0 7 = l t h e n a c c o r d i n g t ot h e 0 ，f i n dt h ea f f i n i z a t i o no fs l ( 3 ，c ) f i n a l l y , a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so fv e r t e x o p e r a t o r s ，c o n s t u c tt h ev e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n so fs l ( 3 ，c ) l 明i nd e t a i l k e y w o r d s ：l i ea l g e b r a ，t w i s t e da f f i n el i ea l g e b r a ，v e r t e xo p e r a t o r ，v e r t e x o p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n i i 第一章引言 早在1 9 7 3 年，德国的b f i s h e r 和美国的b g r i e a s 就预见了大魔群( m o n s t e r ) 的 存在1 9 8 1 年1 月，b g r i e s s 用手工构造了一个1 9 6 8 8 4 维的非结合的交换实代数( 称 为g r i e s s 代数) ，而大魔群就是g r i e s s 代数的自同构群1 9 8 1 年2 月，s n o r t o n 用 计算机证明了大魔群的唯一性大魔群是最大的散在单群( s p o r a d i cs i m p l eg r o u p ) ， 它含有2 4 6 3 2 0 5 9 7 6 1 1 2 1 3 3 1 7 1 9 2 3 2 9 3 1 4 1 4 7 5 9 7 1 约1 0 5 4 个元素，与 地球上全部基本粒子的个数相当 椭圆模函数的理论研究已经有1 6 0 多年的历史了，在费马大定理( t h e l a s tf e r m a t st h e o r e m ) 的证明中起了重要作用一个函数，( z ) ，如果有 ，( z ) = ，扛+ 1 ) = f ( - x 。) 就称函数，( z ) 为模函数而椭圆模函数是在整数环z 上2 维特殊线性群s l ( 2 ，z ) 作用下保持不变的函数在所有的椭圆模函数中，有一个非常特殊的函数 j ( z ) = q 一1 + 7 4 4 + 1 9 6 8 8 4 q + 2 1 4 9 3 7 6 0 q 2 + 8 6 4 2 9 9 9 7 0 q 3 + 其中q = e 2 州2 ，i = ，丁对任何椭圆模函数f ( x ) 存在函数9 ( v ) 使得，( z ) = 9 0 ( z ) ) 后来，j m c k a y ，j t h o m p s o n 等人发现大魔群和椭圆模函数j ( z ) 之间有一种非常神 秘的联系，人们把它称为“月光猜想”( c o n j e c t u r eo f m o n s t r o u sm o o n s h i n e ) 1 9 9 2 年，r b o r c h e r d s 正是用顶点算子代数理论( 由g r i e s s 代数理论逐步发展而 来) 证明了“月光猜想”的正确性，并因此于1 9 9 8 年获得菲尔兹奖( t h e f i e l d s m e d a l ) 1 9 8 6 年，b o r c h e r d s 提出了顶点代数( v e r t e xa l g e b r a ) 的概念( 8 ) ，1 9 8 8 年，i g o r f r e n k e l ，j a m e sl e p o w s k y 和a r n em e u r m u n 又给出了顶点算子代数( v e r t e x o p e r a t o r a l g e b r a ) 的定义( 1 ) 定义1 0 1 项点算子代数y = ( k k l ，u ) 是一个z 分次线性空间 v = o ，d i m v n 。，= o ，若m 0 ； 例1 v 0 ，y ( 1 ，z ) = i d ，y o ，z ) i y ，且! 嘎y ( v ，。) 1 = 俐z o l d ( z l ；- 。) y ( u 崩) y ( 舭2 ) 一z 0 1 d ( 等 ) y ( 呐) y ( u ，z 1 ) 2 巧1 6 ( 警) y ( y ( 蛐) 呐) ，其中 旧刊“叫( ：) 此条件称为j a c o b i 恒等式； u u 称为v r a s o r o 向量 ( ：) = 止掣 y ( u ，2 ) = 。zl ( 。) 。一靠一2 一 = ( m 刊刊+ 竺事如帆0 c 1 称c 为v 的秩或中心荷这里 厶( o ) i n 。= n( n z ， k ，w t v = 札) y ( l ( _ 1 ) 郴) 2 云y ( 邺) ，v v v y ( v ，z ) 称为与”相关的顶点算于 顶点算子代数，这一全新的数学领域，在代数几何，有限群论，l j e 理论，模函 数，拓扑学，可积系统等诸多数学分支中都有广泛而深入的应用而且，它还是物 理学中二维共形场论和弦理论的数学基础并且为数学家进入弦理论这一科学殿堂 提供了可能的途径， 在参考文献【1 】中，i g o rf r e n k e l ，j a m e sl e p o w s k y , a r n em e n u r m a n 给出了与m o o n s h i n e 相关的顶点算子代数，在【4 中，j a m e sl e p o w s k y , h a i s h e n gl i 给出了与v i r o r o 2 2 0 0 5 年河南大学硕十论文 代数相关的顶点算子代数，与h e i s e n b e r g 代数相关的顶点算子代数，与正定偶格相 关的顶点算子代数，与仿射李代数相关的顶点算子代数等典型例子受此启发，在 参考文献 6 中工作的基础上，本文具体地构造了7 - t w i s t e d 仿射李代数s l ( 3 ，c ) 吲的 顶点算子表示，为进一步研究相应的顶点算子代数奠定了基础 全文共分三章第一章，引言；简要介绍了扭仿射李代数的有关背景以及本文 所用的符号约定第二章，预备知识；列举出了本文所要用到的李代数及形式计算 的相关知识第三章，s l ( 3 ，c ) 吲的顶点算子表示；较详细地介绍了7 - t w i s t e d 仿射李 代数s l ( 3 ，c ) 吲的顶点算子表示的构造过程 符号约定 z = 整数环 n = 自然数集 z + = 正整数集 q = 有理数域 c = 复数域 c = 由非零复数所作成的乘法群 s l ( n ，c ) = 由迹为0 的n n 阶复矩阵所构成的李代数 给定一个李代数或线性空间v a u t v = v 的自同构群 e n d v = v 的自同态集合 鲥( y ) = 由v 上的线性变换构成的一般线性李代数 3 第二章预备知识 本章对本文将要用到的预备知识进行简单的综述主要内容为李代数的基础知 识以及与形式计算相关的内容 2 1 李代数 本节对李代数的基础知识给了一个简单综述 定义2 1 1 ( 参见p s i ) 设g 是域f 上的线性空间，如果g 中有二元运算 ( z ，y ) 一k y l ( 通常称为换位运算或李括号) 满足下面三个条件： 1 ) 双线性，即陋z + b y ，z 】- 口kz 】+ b y ，： 陋，a y + b z 】= a x ，y + 6 沁，z 】 v x ，y ，z 9 ，v a ，b c 2 ) 【z ，z = 0 ，v x g ； 3 ) 陋，b ，司 + b ，k ，z 】 + p ，陋，】 = 0 ，v x ，y ，z g 则称g 为城f 上的李代数条件3 ) 称为j a c o b i 恒等式 一个李代数g 的维数是指9 作为线性空间的维数，记作d i m 9 定义2 1 2 ( 参见p s i ) 设h 是域f 上的线性空间，又是一个环，环的加法 与线性空间的加法一致，而且满足 a ( 曲) = ( a o ) b = a ( a 6 ) ，v a f ，v a ，b h 则称h 为域f 上的结合代数，常简称为代数如果结合代数h 作为环是交换的，则 称h 为交换的结合代数 定理2 ：1 3 ( 参见p s i ) 设g 是域f 上的结合代数，在9 中定义李括号运算如 下： 陋，6 j = a b 一6 口，v a ，b 9 则g 对于这个李括号运算与线性空间结构，构成f 上的李代数口 4 2 0 0 5 年河南大学硕士论文 定义2 1 4 ( 参见p s i ) 如果李代数g 的子空间h 满足b ，h ich ，则称h 为g 的理想 没有非零真理想的李代数称为单李代数 定义2 1 5 ( 参见p s i ) 设9 1 ，9 2 都是域f 上的李代数，若g t 到9 2 上的线性映 射( 同构) a 满足 a ( 。) ，a 白) 】= a ( 陋，鲥) ，v z ，y g l 则称a 是9 1 到9 2 的同态映射( 同构映射) 或同态( 同构) 定义2 1 6 ( 参见p s i ) 设g l ，9 2 ，g k ，均为域f 上的李代数，又 是g i 到吼+ 1 上的李代数同态如果k e r ( f i | + 1 ) = f m ( ，i ) ，i = 1 ，2 ，则称序列 9 l 上卯立吼 9 + 1 一 为正合序列 定义2 1 7 ( 参见肛可) 设h ，与g 均为域f 上的李代数，若有g 的理想他与 h 同构，而商代数g n 与k 同构，则称g 是k 通过h 的扩张h 称为此扩张的核 ( 参见 1 5 】) 设a 是h 到n 的同构，p 是9 到k 的满同态，并且k e r # = 硝又t 是0 到h 的 映射i ( o ) = 0 ；0 是k 到0 的零映射，o ( b ) = 0 ，vb k ，则序列 0 上h 土口二k 三0 是正合序列反之，若上述序列为正合序列，则g 是k 通过h 的扩张 如果扩张核ncc ( g ) = z 引b ，y 】= o ，v y g 则称此扩张为中心扩张 定义2 1 8 ( 参见p s i ) 设g 是域f 上的李代数，y 是f 上的线性空间，若p 是g 到g t ( v ) 中的一个同态，则称p 是g 的一个以y 为表示空间的线性表示，简 称表示d i m v 称为表示的维数，k e r p 为表示的核若k e r p = o 则称此表示是忠实 的 5 2 0 0 5 年河南大学硕十论文 定义2 1 9 ( 参见p s i ) 设g , v 分别为域f 上的李代数和线性空问，若有g v 到y 的映射： ( z ，v ) hz - 钉，z 9 ，u v 满足 1 ) z - ( k l v l + k 2 v 2 ) = k l x 口l + k 2 x v 2 2 ) ( k l z l + k 2 2 2 ) = k l x l + k 2 x 2 刨 3 ) p l ，x 2 】 = x l ( x 2 w ) 一x 2 - ( x l v ) 其中，v k l ，k 2 f ，。，z 1 ，z 2 9 ， ，u l ，钉2 v ，刑称v 是一个9 - 模 容易看出，李代数g 的表示与俨模实质上是一回事，我们对此不加区别，z - ” 也简记为z ” 定义2 1 1 0 ( 参见口纠) 设g 是李代数，y 是g 一模，若v 的子空间满足 z 州iy l ，比吼 ，则称是y 子模 显然，y 的子模也是9 模 o ，y 都是y 的子模，称为平凡子模如果非零9 一 模y 无非平凡真子模，则称y 是单旷模或不可约g 模，相应的表示称为不可约表 示 定义2 1 1 1 ( 参见卢鄙) 李代数g 上的线性同态d ：口一9 ，如果满足 d ( i z ，】) = 【d x ，y 】+ 陋，d y ，忱，y g 则称d 为g 的导子 定义2 1 1 2 ( 参见) 设9 l ，9 2 是李代数，7 r ：9 1 - e n d ( 9 2 ) 是9 1 在线性空 间9 2 上的表示，并且v x 仇，r ( z ) 是9 2 的导子则9 10 9 2 在二元运算卜】： ( g l0 卯) ( 9 l0 9 2 ) - - - - - 49 lo 鳜 。 ( ( z ，”) ，( z ，) ) 一( 【。，。7 】，。y 一z - y + b ，9 】) 之下是一李代数，称为口1 和9 2 的半直积记作g l 啦 6 2 0 0 5 年河南大学硕士论文 2 2 形式计算 在这一节，我们简单地介绍了形式计算的一些基本概念，并引入一些记号 设y 是c 上的线性空间，我们定义如下的记号 k y m = 蚶”i o ，n n = 0 即所有系数属于y 的多项式的集合 y n i = v n z n i v n n 0 即全体系数属于y 的形式幂级数构成的集合 v z , z - 1 _ 扩i v n y n e z 即全体系数属于y 的l a u r e n t 形式幂级数构成的集合 y 协= 蝴“h y ) n e c 即全体系数属于y ，形式变量z 的次数属于c 的形式和构成的集合 定义2 2 1 ( 参见口) 设 矗h n 为y 上的一族线性算子，如果v v ， 都有m i 旧 o ) i n 例巧1 a ( 塞) = 去+ 击口 8 ，4 、- _ 一 第三章s l ( 3 ，c ) 吲的顶点算子实现 这一章是本文的核心内容，详细地构造出了i 夏菇) 嘲的顶点算子实现 3 1单李代数s t ( 3 ，c ) 的7 阶自同构 在这一节，我们给出了单李代数s l ( 3 ，c ) 的一个7 阶自同构，并据此给出了 s t ( 3 ，c ) 的z 7 分次结构 我们把第i 行第j 列的元素等于1 其它元素均为0 的n n 矩阵记作五0 s l ( 3 ，c ) 是迹为0 的3 3 复矩阵构成的集合在下述运算之下 1 ：8 ( 3 ，c ) s l ( 3 ，c ) 一s l ( 3 ，c ) ( x ，y )h 【x ，y 】= x y y x 坂，y s t ( 3 ，c ) s l ( 3 ，c ) 构成一个李代数我们取s t ( 3 ，c ) 的一组基 西1 一e 2 2 ，易2 一e a 3 ，e i jli j ，i ，j = 1 ，2 ，3 令u ：e 孕，我们考察线性映射 0 ： s z ( 3 ，c ) 一s t ( 3 ，c ) e n e 2 2 。_ e n e 2 2 e 2 2 一e 3 3 “e 2 2 一岛3 e 1 2 。_ w e 2 e z 3 h u 2 e z 3 e 1 3h u 3 e 1 3 l ；3 1h “4 点3 l e 3 2 。+ u 5 j 1 3 2 e m ”u 6 e 2 l 通过直接计算可知，0 是s l ( 3 ，c ) 的7 阶自同构也就是说，o a u t ( s l ( 3 ，c ) ) 并且 p 7 = 1 9 2 0 0 5 年河南大学硕+ 论文 下面我们定义一些记号： n 1 ：= e l l e 2 2 口2 ：= e 2 2 一民 n 3 ：= e l l e 3 3 2a 1 + 0 2 1 ：= e 1 2 z 0 2 ：= e 2 3 2 0 3 ：= e 1 3 x a 1 ：= e 2 1 o 一口2 ：= e 3 2 z a 3 ：= e m 通过标准的计算知，s l ( 3 ，c ) 有根子空间分解 s 2 ( 3 ，c ) = q 。c z 。 ( 3 1 ) a 其中 = s p a n c o l ，2 ，a 3 ) = s p a n c a l ，a 2 ) = 仕a 1 ，士a 2 ，士) 引理3 1 1 ( 参见) 设李代数g 有根子空间分解 g = q 0 c n 其中卵是g 的c a f t a n 于代数，是g 的根系如果”是由线性张成的，并且 对任意的夙，y 存在a 1 ，口。使得卢= a 1 ，7 = n 。而且( ，o 件1 ) 0 i = l ，m 一1 则g 是单李代数 口 由引理3 1 1 知，s z ( 3 ，c ) 是单李代数 我们定义8 z ( 3 ，c ) 上的双线性函数( ，) ： s t ( 3 ，c ) s t ( 3 ，c ) 一c ( z ，y ) h t r ( x y ) 1 0 2 0 0 5 年河南大学硕十论文 通过一些简单的计算知， ( ( 啦，) = 0 1 ) = 2i = 1 ，2 ，3 1 i = l j = 2 l i = 1 j = 3 1 = 2 j = 3 ( o ，x q - a j ) = 0 i ，j = 1 ，2 ，3 i ，j = 1 ，2 ，3 容易证明，( ，) 在s l ( 3 ，c ) 上是非退化的对称不变( 不变性是指：( 陋，引，z ) = ( z ，z l t 其中，。，y ，2 s t ( 3 ，c ) ) 双线性形式并且上述目保持这一形式不变，即( 缸，o y ) ： ( z ，g ) 记 s t ( 3 ，c ) ( ) = 。s l ( 3 ，c ) j 口z = u z )( 3 2 ) 则我们得到s t ( 3 ，c ) 的z 7 一分次： s l ( 3 ，c ) = os l ( 3 ，c ) ) i e z 7 3 2s t ( 3 ，c ) 的仿射化 在上一节工作的基础上，本节将对s l ( 3 ，c ) 吲先进行中心扩张，然后再进行仿 射化，并用形式变量的语言把i 厅丽) 中的李代数关系式具体地写出来 记c 【t ，t 一 l 为c 上的单变量t i l 的l a u r e n t 多项式代数 令d = 。蕊d 是c p ，t 一 】上的导子，对于 f = s j ( 3 i c ) e c c t ，t 一却o c c 定义 ，- 】：f f f ，i t , f 1 = 【只c j = 0 ， 陋。亡m ，圆t “】= 【z ，胡圆“+ ( z ，咖n 如机o c 比，y s l ( 3 ，c ) v m ，n ；z 1 1 啦r o 口o t ”( u ) = 陋o t m ) u 若m o z h = a z h + v h ，叩，a ( 3 7 0 ) 记d e g l ( a ) = 一；( a ，a ) 其中口三，则 v l = o 忆) 。 ( 3 7 1 ) n q 2 n 2 0 0 5 年河南大学硕士论文 设d 日是c l ) 和耽上的度数算子则日，和饥q ) 按下述方式作用 在儿上： d ：d = d 1 十1 0 d h = h 圆t o h ( 0 ) = 1 h ( 0 ) h 田 h t ”f - - - - * h ( n ) = h ( n ) 0 1 he qn z o ) 凸h 1 圆口n l 驴h 1 h e 对口矸定义 e 士( = ) = e x p ( 掣z 一“) ( e n d s ( 幅) ) 【矿1 1 】c ( f 耐耽) ：) n 士z + 岫 引理3 3 2 ( 参见埘) e ( 0 ，z ) = 1 e 士( o + 卢，。) = e 士( 口，z ) e 士( 卢，z ) 瞄e 土( ，z 1 = - d e 士( 。) = ( 。( n 矿“) 萨( 岛z ) a ，p e 华 h e 土z + 若h ，o 则 m ( m ) ，e + ( o ，z ) 1 = 0 妒m n 【h ( m ) ，e 一( a ，z ) 】= 一 z m e 一( a ，2 ) 矿m z + 陋( m ) ，e 十( n ，z ) 】= 一 z m e + ( q ，名) 香，m 一z + 胁( m ) ，e 一( 0 ，2 ) 】= 0 厂m 一 设e 是给定的截面，我们构造顶点算子x ( e 口，2 ) x ( e 。，2 ) = e 一( 一o ，= ) e + ( 一n ，名) e 口。a + s 学 据此引理，得到下面的关系式： 【 ( m ) ，x ( ，z ) 1 = z m x ( e 。，z ) ( 3 7 2 ) ( 3 7 3 ) ( 3 7 4 ) ( 3 7 5 ) ( 3 7 6 ) ( 3 7 7 ) ( 3 7 8 ) ( 3 7 9 ) ( 3 8 0 ) ( 3 8 1 ) 2 0 0 5 年河南大学硕士论文 因此 【d ，x ( e 。，。) 】= - d x ( e 。，z ) x ( k e a ，z ) = 一x ( e 。，z ) v h 叶，m z ，。 b o t m ，x ( 8 士m ，z ) 】 = z m x ( e 士口。，z ) = 士2 z “x 0 士a ，。) ( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 陋i o t m ，x ( e 土口3 ，名) 】= z m x ( e 士n 3 ，z ) = 士。“x ( 8 士q 3 ，z )“= 1 ，2 ) 【d 3 0 t m ，x ( e 士n 。，z ) 】 = z m x ( e 土。，z ) = 土o ”x ( 。士0 i ，：) = 1 ，2 ) 【啦o t m ，x ( e 士哪，。) 】= x ( e e q ，。) = 干z ”x ( e 士哪，z ) ( z ，j = l ，2 ，i j ) 对札q ，我们按下式定义h 上的算子z 。( n ) 当a = 0 时，令e o = 1 x ( e a 。) = z 。( n ) z n q x ( 1 ，z ) = 1 = = j 。o ( n ) = 如of o r 礼q 由( 3 8 3 ) 知x k e 。( n ) = 一。( n ) 其中n q 对于线性空间y ，下面我们引入e n d v 上的正规序的概念 定义3 3 4 ( 参见) 对形式幂级数 a ( z ) = ( n ) z ”其中a ( n ) e n d v ( 3 8 2 ) ( 3 8 3 ) ( 3 8 4 ) ( 3 8 5 ) ( 3 8 6 ) ( 3 8 7 ) ( 3 8 8 ) ( 3 8 9 ) 2 0 0 5 年河南大学硕士论文 有 q ( z ) = n q + a ( ) 2 “+ n q 一“( ”) 2 其中o 毗( 3 9 1 ) = o + ( 2 ) + 口一( z ) 对于n 1 ( z ) ，a ( z ) ，我们定义e n d v 上的正规序 ：a l ( z ) ：= d 1 ( z )( 3 9 2 ) ：a 1 ( 名) 0 2 ( z ) - a k ( z ) ：= q 七( 。) 一：a x ( z ) o 七一l ( z ) ：+ ：a l ( z ) q 七一i ( z ) ：o 七0 ) + = n q ( 。l + + 。k = 。：q 1 ( 札1 ) o ( n k ) ：) z 一“ ( 3 9 3 ) 定义3 3 5 ( 参见) 对于圪= s ( 坛) o c l ) 我们定义e n d v l 上的正规序 ： ( 。) 8 口：= ：e a h ( z ) ：= ( 2 ) 一8 口+ 8 p 九( 2 ) + = ( 危( z ) 一 ) e 口 ( 3 9 4 ) = 印( ( z ) + 5 ) ： ( o ) 8 口：= ：e # h ( o ) ：= ( ( o ) 8 p + 8 p ( o ) ) = ( ( o ) 一 ) 印 ( 3 9 5 ) = e 卢( 九( o ) + ) ：8 口：= ：印少：= 。“一竿。口= e # z “+ 竿( 3 9 6 ) ： 0 ) x ( 8 口，z ) ：= ：x ( 8 目，z ) 0 ) ：= h 0 ) 一x ( 8 口，z ) + x ( 8 8 ，z ) ( z ) +( 3 9 7 ) ：x ( e 口，z 1 ) x ( e a ，z 2 ) ： = ：e d - 1 ( 。( 。1 ) 一。( o ) ) 十d 。( p ( ) 一口( 0 ) ) e 口印z ： = ：e d - 1 ( n ( ；- h o ) ) + 。一1 ( 俐一俐：印。1 + 簧竽z 尹驾竽 ( 3 9 8 ) = e 一( 一d ，名1 ) e 一( 一p ，忽) e + ( 一q ，2 1 ) e + ( 一卢，砘) e 。e 口。? + 皇学鸢+ 型坞丰臣 a ，卢正，h q 引理3 3 3 设a ，口厶则在形式幂级数代数( e n d v l ) z 1 1 , 砘】c ( e n d v l ) z 1 ，砘) 击 e + ，。1 ) e 一，砘) = e - ( 卢，z 2 ) e + ，z 1 ) ( 1 一署) ( 3 9 9 ) 2 3 2 0 0 5 年河南大学硕十论文 证明 于是，根据等式 就有 从而 纠训2 唧互掣矿) e 弋触) 。唧丕掣硼 吲- + 一) = 一k l 学 【。z + 曼掣z 一，。z 一掣巧“】 = e 。z 。z - 【旦铲，掣k “百” = e m e z + , n e z 一 ；4 n 十。，o z f ”巧” = n z 一 吾1 1 n ；2 - “ = 一 e n z + ! 二# 一 = t o g ( 1 一署) e + ，z 1 ) e 一，砌) ；e 一( 卢，砘) e + ( q ，。1 ) e 【m e 珥粤竽= i “e “e z 一弓卑z i “l = e 一( 砌) e + ( 叫1 ) ( 1 一署) 卵口 目i 理3 3 4 设口，口l 则 x ( e a ，丸) x ( 。口，地) - c ，p ) ：x ( 8 口，z 2 ) x ( e 。，2 1 ) ： ( z t 0 0 ) x ( e 群1 ) x ( 8 肿) = ：x ( e a , z 1 ) x ( 8 舭) ：( 詈) “加7 2 ( 1 一署) 即 ( 3 1 0 1 ) 2 0 0 5 年河南大学硕+ 论文 证明：( 3 i o o ) 式可从( 3 9 8 ) 式得到，我们证明( 3 1 0 1 ) 式，事实上 x ( e a ，z 1 ) x ( e 口，z 2 ) = e 一( 一q ，名1 ) e + ( 一q ，z 1 ) e 。名；+ 2 e 一( 一风勿) e + ( 一p ，z 2 ) e 卢髫+ 2 = e - ( 一q ，卸) e + ( 一a ，名1 ) e 一( 一芦，砘) e + ( 一j 3 ，。2 ) e a e 口嚣1 0 l + + 。1 。2 = + 犀口 2 = e 一( 一口，z 1 ) e 一( 一卢，z 2 ) e + ( 一n ，z o e + ( 一卢，z 2 ) e n e 口( 1 一署) n ，p 2 r 。，9 + ”7 2 z 尹胁7 2 = e 一( 一，z 1 ) e 一( 一卢，z 2 ) e + ( 一口，z 1 ) e + ( - 8 ，z 2 ) 8 卿z r ”+ 4 2 矿4 。+ 4 2 ( 1 一箸) a ，口 ；f a , 4 2 z i 。，肛7 2 = ：x ( e 。，z 1 ) x ( e z ，勿) ：( 嚣) 一。t 口2 ( 1 一署) 。t 4 口 引理3 3 5 设x ( z 1 ，z 2 ) ( e n d v ) z 1 ，2 f 1 ，z 2 ，百1 l i r a x ( z l ，砘) 存在，而且n c + 则在( e n d v ) z l ，砘) 中 x ( z l ，z 2 ) 6 ( a z l z 2 ) = x ( a z l ，z 2 ) 6 ( a z t z 2 ) = x ( z t ，a z 2 ) d ( a z l z 2 ) ( 3 1 0 2 ) 证明：( 参考【1 】1 ) 若 = 一2 且q = 一卢，则 而 i x ( e a ，z 1 ) ，x ( 8 口，z 2 ) 】= x ( e n ，z 1 ) x ( 8 口，施) 一x ( 8 p ，砘) x ( e a ，z 1 ) = ：x ( e n ，z 1 ) x ( e 口，忽) ： ( 嚣) 一。，4 2 ( 1 一署) “，4 ( 3 1 0 3 ) 一( 一1 ) 。4 ( 暑) 一。1 4 2 ( 1 一卺) 。，9 ( 嚣) 一。 4 肛( 1 一嚣) 。，8 一( 一1 ) 。4 ( 嚣) 一。，4 ，2 ( 1 一嚣) 。胁 = ( 嚣) ( 1 一嚣) 一2 一( 一1 ) 一2 ( 嚣) ( 1 一嚣) 一2 = ( 嚣) ( 1 一署) 一2 一( 嚣) ( 1 一嚣) 一2 = 。e zn ( 署p = ( d 6 ) ( 署) 2 0 0 5 年河南大学硕+ 论文 因此 瞵( e 口，0 1 ) ，x ( 印，砘) 】 = ：x ( e 。，z 1 ) x ( 印，砘) ：( d d ) ( 暑) = ：e d - 1 ( 。( 2 ) 一。( 0 ) ) + d 。【一。( 。) + 。【o ) ：e 。e 一。z ( d 6 ) ( 署) = e ( q ，一a ) ：c d - 1 ( 。( 。1 ) 一4 ( o ) ) + d _ 1 【一。( 。2 ) + 。( 0 ) ：z f 虿。( d 巧) ( 暑) = e ( a ，一a ) ：e o - 1 ( q ( 。1 ) - a ( o ) ) + d 1 ( 一。) + 。( o ) ：( 嚣) 。( d 6 ) ( 暑) = ( a ，一a ) ( 署) 一o ：e d 一1 ( 。( 2 1 ) 一o ( o ) ) + d 一1 ( 一。( 地) + 。( 0 ) ：( d 6 ) ( 暑) = ( q ，一口) ( 筹) 一o x ( 2 1 ，砘) ( d 6 ) ( 署) 2 e ( 一a ) ( ( a ( 勿) 一o ( o ) ) ( 卺户d ( 嚣) 一( 釜尸d = 。6 ( 嚣) ) 2 e 似，一a ) ( n ( 砘) ( 嚣) n d ( 嚣) 一d ：，( 嚣) 。j ( 卺) ) 口 引理3 3 6 ( 参见俐) 对x ( 。1 ，z 2 ) 设口c + 则 x ( z l ，勿) ( d 6 ) ( 口笔) = x ( a - l z 2 ，2 2 ) ( d d ) ( n 薏) 一( d x ) ( n 一1 砘，砘) 6 ( n 笔) ( 3 - 1 0 4 ) = x ( z l ，口名1 ) ( d j ) ( o 薏) + ( d 钝x ) ( 2 1 ，凸。1 ) 6 ( 口嚣) 口 弓l 理3 3 7 谩口，p l ， z 且s ( o ，口) g ( p ，n ) = ( 一1 ) = e ( d ，卢) 则 【x ( e 。，z 1 ) ，x ( 8 口，z 2 ) 】= 0 若( d ，卢) 0 ( a ，芦) x ( e n 邯，忍) ( 釜) 抖“4 7 2 6 ( 釜) 若( ，芦) = 一1( 3 1 0 5 ) e ，一q ) 缸( 现) ( 嚣) q 6 ( 嚣) 一d = 。( ( 嚣) 。6 ( 笔) ) ) 若n ，a ) = 2 且p = 一口 2 0 0 5 年河南大学硕+ 论文 证