（基础数学专业论文）darboux变换在akns系统非线性迭加公式中的应用.pdf

摘要 b a e c k l u n d 变换是求解孤立子方程的一项重要方法，而非线性迭 一一。7 加公式在求显式表达式中发挥重要的作用。 本文通过b a e c k l u n d 变换的一种显示形式一d a r b o u x 变换的方 法，给出了a k n s 系统一个统的非线性迭加公式，尽管该公式形式 较复杂，但该公式是纯代数的，即只含有解与解的一阶偏导数，不 含积分，同时也不含参数与势函数，因此它易于用计算机数学软件， 如m a t l a b ，m a t h e m a t l e a 等来实现 另外，本文将此公式具体地应用到k d v ，m k d v s g 和n l s 梯队， 证明了原先s i n e g o r d o n 方程和k d v 方程的非线性迭加公式可以适 用于整个梯队，而不仅仅是单个方程。 a b s t r a c t b a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni s a ni m p o r t a n tm e t h o dt os o l v es o l i t o n e q l l a t i o n s ，a n dn o n 1 i n e a rs u p e r p o s i t i o n f o r m u l ap l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i ng i v i n ge x p l i c i ts o l u t i o n s i nt h i st h e s i s ，a ne x p l i c i t f o r mo fb a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，1e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ， i su s e d t o g i v e au n i v e r s e n o n l i n e a r s l l p e r p o s i t i o nf o r m u l af o ra k n s s y s t e m s o m e w h a tc o m p l i c a t e da si t i s , t h i sf o r n l u l ai st o t a l l ya l g e b r a i c i tc o n t a i n so n l y t h es o l u t i o n sa n dt h ef i r s t p a r t i a ld i f f e r e n t i a l s o ft h es o l u t i o n s ，w h i l e i td o e sn o tc o n t a i ni n t e g r a l 3 ， p 啪m e t e r so rp o t e n t i a lf u n c t i o n s t h u s ，i t i s e a s yf o rt h i sf o r m u l at ob e u s e di nt h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，a n di ns o m ec o m p u t e r s o f t w a r e ，s u c h a sm a t l a bo rm a t h e m a t i c a m o r e o v e r , i nt h i st h e s i s ，t h ef o r m u l a i sa p p l i e ds p e c i f i c a l l yt ok d v , m k d va n dn l sh i e r a r c h i e s t o p r o v e t h a tt h e o r i g i n a ls u p e r p o s i t i o n f o m u l a ef o rs i n e g o r d o ne q u a t i o na n d f o rk d v e q u a t i o n s t i l lh o l df o rt h e w h o l eh i e r a r c h i e s ，i n s t e a do f t h ei n d i v i d u a le q u a t i o n s 1 导言 1 8 8 3 年，几何学家b g c k l u n d 在研究负常曲率曲面时，得到了s i n e g o r d o n 方程的一个有趣的性质，即可从s i n e g o r d o n 方程的一解而得出另一解， 后被称为b g c k l u n d 变换在其后，b i a n c h i 还发现了可换性定理和非线性 迭加公式，从此可以得到许多显式解 经过了一段时间的搁置后，2 0 世纪中叶，人们发现了s i n e g o r d o n 方 程在物理上的许多应用，于是b g c k l u n d 变换重新引起了注意，并成为制 作多个孤立子解的一种手段 1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 发现k d v 方程也具有b g c k l u n d 变换同 时也有类似的可换性定理和非线性迭加公式随后，b g c k l u n d 变换成为 求解孤立子方程的一项重要方法，非线性迭加公式更发挥了求显式表达 式的作用继b g c k l u n d 变换后，m a t v e e v 等人又发现了它的一种显式形 式，即d a r b o u x 变换在孤立子理论中有很重要的作用 2 0 世纪8 0 年代，谷超豪，胡和生，周子翔在一系列论文中，发展了 d a r b o u x 变换，找到了d a r b o u x 变换的一个普适的公式他们还在”孤立 子理论中的达布变换及其几何应用”一书中，系统地阐述了d a r b o u x 变 换和a k n s 系统的d a r b o u x 变换的构造法，同时证明了可换性定理 本文通过d a r b o u x 变换的方法，给出一个a k n s 系统统一的非线性迭 加公式，该公式只含有解与解的一阶偏导数，不含积分，同时不含参数 和势函数 另外，本文将此公式具体地应用到k d v ，m k d v s g 和n l s 梯队，证明 了s i n e g o r d o n 方程与k d v 方程的非线性迭加公式可以适用于整个梯队 而不仅仅是单个方程 2 问题的几何背景 b i e k l u n d 变换的几何背景可追溯到1 8 8 3 年，几何学家b k c k l u n d 在研究负 常曲率曲面时，将这类取面同s i n e - g o r d 。n 方程联系在一起【1 【3 4 由微分几何学知识，曲面的基本方程为 疗= d u 8 d g = b 磊+ 以瘴 蕊= u 3 磊( 8 ，b = 1 ，2 ) g a u s s 方程和c o d a z z i 方程分别为， d w ：+ ! a u ：= 叫：a w ： 职+ 胡 b = o ( 2 ) ( 3 ) 设s 为欧氏空间r 3 中的负常曲率曲面，即k 为负常数的曲面，通过 曲面5 的相似变换，不防取k = 一1 取曲率线为坐标曲线并作相应的正 交标架，即取曲率线的单位切向量为卤，卣，这时记 d f = 元d u + 元d = a d “西十b d v g u 1 = a d u ，“2 ：日d v 2 ( 4 ) ( 5 ) 曲面的第一基本形式为 第二基本形式为 d s 2 = a 2 d 2 + b 2 d v 2( 6 ) ，= h a 2 d “2 + k 2 8 2 d v 2 = ( u 1 ) 2 + k 2 ( w 2 ) 2 ( 7 ) 式中k l , ：是主曲率，g a u s s 曲率k ( = 一1 ) 是它们的乘积另一方面，从 ：一万拭可知第二基本形式 与( 7 ) 比较，得到 再由 定出 从c o d a z z i 方程 得到 i i = u ；u 1 + u ；2 u ；：k l u l = k l a d u ，u ；= k 2 w 2 = k 2 b d v 讪4 + u ；a u 6 = 0 u ；= 叫= 一鲁如+ 和 如；+ u ； w ；= 0 ( 1 a ) 。= k 2 厶 ( 8 ) ( 9 ) f 1 0 1 ( 1 1 ) 即 ( k 1 一k 2 ) a + h 。a = 0 ( 1 2 ) 因为k ：k l k 2 = 一1 ，置k 1 = t a n j ，2 = 一c 。t 号( o 。 7 r ) ，就有 代入( 1 2 ) 得到 ( 1 。g a ) 。一( 1 0 9c 。s 昙) 。= o 所以 a s 詈v ( u ) _ 口= s i n 詈y ( ”) 这里矿( 。) ，y ( ”) 分别是“，”的函数令d 毗= 驴( ”) 砒，d ”- = y ( ”) 如，从而得 到新的参数仍计它们为”，w ，这样就有 4 = c 。s 詈，b = s i n 詈 u 1 = c o s 詈d 钍，u 2 = s i n 詈d 郇 u ；= s i n 署砒，u ；= 一c o s d ” ( 1 3 ) u ；= ；( 吐。d u + a 。d ”) = 一u j 代入g a u s s 方程( 2 ) ，得 于是得到 山j = u ； u j = k l k 2 u 1 八u 2 = 一u 1 u 2 q u u 一吐口 = s i n o t 4 f 1 4 ) 这就是s i n e g o r d o n 方程，这时所引进的坐标称为c h e b y s h e v 坐标，相应的 标架称为c h e b y s h e v 标架，容易验证，这时c o d a z z i 方程是成立的，因而 由曲面基本定理得知 定理对于s i n e g o r d o n 方程( 1 4 ) 的任解o ( o a o ) 如果，( “) 仅有一个实根，则它是无界的现在我们设函数，( u ) 有三个 实根，即，( u ) = 一( “一c 1 ) ( “c z ) ( ”一c 。) ，其中c ， c ： c 。由此推出： d = ；( c ，+ c 2 + c 3 ) ，a = 。1 ；c 】c 。+ c 。c 3 + c 3 c z ) ，b = j c l c 2 c 3 ( 2 1 ) 的精确解能表 9 示为j a c o b l 椭圆函数 ”叫州) = c 2 + c - - c 2 ) c n 2 ( 喾) ( z 一；( c l + c 2 + c 3 ) 班纠( 2 2 ) 其中，2 = ( c 。c 2 ) ( c 。c t ) 周期波方程( 2 2 ) 通常称为”c n o i d a l ”波， 因此”c n o i d a l ”波的周期为= 4 k ( 啬) 当k = 0 时，c n ( f ，0 ) = c o s f ，此时方程式( 2 1 ) 具有振动解 u = i - i - a c o s ( 2 ( 百c 3 - - c 1 ) ；( z f 2 3 1 其中，o = 半，n = ! 垆当k = 1 ，时，觑( f ，1 ) = s e c t ；即当c 2 c 。时，此 时周期变成无穷大，得到k d v 方程( 1 9 ) 常见的孤立子解 “= c ，+ c 3 - - c 1 ) c 。s h 一2 ( c 3 面- - c 1 ，：l 。一百1 ( 2 c 1 十c 3 ) f ) j ( 2 4 ) 若设c 1 - u 。，c 。c 严o ，则( 2 4 ) 变成 u = u o 。+ 。c o s h 一2 ( 击) ；( 。一( u o o + ( 2 5 ) 这里， i t 。表示在无穷远处的均匀态，a 表示孤立子的振幅从( 2 5 ) 可 以看出，这种孤立波的相对于均匀态的速度，是正比于振幅的，而波的 宽度反比于振幅的平方根，且振幅与均匀态无关若“。= 0 ，卢= 1 ，则从 ( 2 5 ) 可得 小，垆3 d c o s 铲( 孔z 锄) ( 2 6 ) 现在不断发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用下的波动方程和方程 组，在长波近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结为k d v 方程 1 0 例如：冷等离子体的磁流体波的运动；非谐振晶格的振动；等离子体的 离子声波；在弹性杆中的纵向色散波动；在液，气两种混合态的压力波 运动；在一个管底下部的流体的转动；在低温下非线性晶体格的声子波 包的热激发等 w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 对k d v 方程 进行b ：i c k l u n d 变换时利用了势函数 令”。= “，它满足 w + 3 ：+ 。= 0 作方程组 ”：= 一w 。一；w m w t ) 2 叫：= 一w 。+ ( 伽一叫，) ( 叫。一叫：。) 一2 ( 叫：+ 叫。叫：+ 叫：2 ) 容易验证，当”满足k d v 方程时，完全可积，其解”7 的导数u 7 = “也 是的解不仅如此，对k d v 方程，也有类似的可换性定理，而非线性迭 加公式为 叫。”。+ 2 坠。0 1 - - 鱼w 2 ( 2 8 ) 该公式在孤立子理论中占有重要的地位，并具有一定的物理意义若 咖是平凡解，则“，“。是单孤立子解由此公式，我们可以得到2 一孤立 子解。：继续这一步骤我们将得到许多多孤立子解，它们意味着若干个 水波的迭加 例如从珈= 0 出发，利用( 1 7 ) 得出单孤立子解 “i = 3 ，c 。s h - 2 ( 晏) 沁- p ，1 。：3c o s h z ( 冬) ( 一刚1 利用这些解以及非线性迭加公式，就可得到新的解，包括双孤立子解 。一( 卢。一卢，) 氅唑垫型磐 ( 所t a n h 1 一店c o t h v 2 ) 2 由于非线性迭加公式是求多孤立子解的重要工具，人们自然希望能为 更多的方程寻找到非线性迭加公式本文将用b 聂c k l u n d 变换的一种显式 形式，即d a r b o u x 变换，给出a k n s 系统的一个通用的迭加公式，并将 它用到几个特殊的梯队中，从而证明s i n e g o r d o n 方程和k d v 方程的迭 加公式对它们所在的整个梯队均有效 4 a k n s 系统及其特殊梯队 a k n s 系统最早由v e z a k h a r o v ，a b s h a b a t 和m j a b l o w i t z ，d j k a u p ， a c n e w e l l ，h s e g u r 1 5 和v e z a k h a r o v ，a b s h a b a t 1 6 引入本文 在此概述其内容，详见 1 2 定义1n na k n s 系统是指线性偏微分 方程组 倦三嚣三豢三叫文西( 2 9 v j p a 。- s q ) i 圣产y 西= o j n 7 其中j = h ，。】是一个对角阵，其对角元互不相同p ( z ，t ) 是一个 矩阵，对角元为零y a p 是另一个n xn 矩阵，其元素是p 的元素的 函数 是谱参数 为使( 2 9 ) 可积，须满足可积条件 即 和 讥一k + 【矿，y j = o 隔， 三黟翠鬻毒墓细叫 b = v 。o ：一【p ， 州 ( 3 o j ( 3 2 ) 当我们着手研究一个a k n s 系统时，我们要给定满足( 3 1 ) 式的j ，p 和 巧，然后方程( 3 2 ) 就是我们最感兴趣的，它的l a x 对是( 2 9 ) 例如果n = 1 ，j = a = d i a g ( a i ， a n ，= b = d i a g ( b 1 ，b n ) ，且 q o j ，b i b j ( i j ) ，取k = q ( z ，) 的对角元都为0 ，则由，有 q i j - i b i - b j ( i j ) ， 而方程成为 或写成分量形式为 其中 只= 0 。一 p ，q 。 只j ，t = 哂只扭+ ( 岛b 一吼j ) 只 r j ，j b i 一6 ： 2 ：矗 1 3 是关于p u ( i j ) 的非线性偏微分方程组，称为波方程 而 当n 较小时，方程较简单比较常见的是2 2 a k n s 系统，此时 ，= ( j 三) ( 。0 ；) 肛( g a 三) a = 0 ，9a j ( x ，) a “一j b = 。s ，9 b ( z ，t ) a ”，。 c = e o _ j 。勺( 。，t ) a “ 其中p j q 。j ，b ，c j 是z ，的复值或实值函数由可积条件可得， 以及 b o3c o = 0 8 ，。= p c j q b j ( o j n j 5 j + = j 岛。+ p a j ( o5 j 礼一1 ) c j + t = 一；勺，。4 - q a s ( o jsn 1 ) 轨= 6 n ，。+ 2 p a 。 吼= 、一2 q a 。 在 1 】中证明了给出的叼，b j ，勺是p ，q 的微分多项式例如，对j ： 0 ，i ，2 ，3 ，有 a o = a o o ) ，6 0 = c o = 0 ， a l = a 1 ( ) ，6 1 = n o ( ) p ，c l = q o ( ) g ， a 2 = - ；a o ( t ) p q + n 2 ( ) ， 6 2 = i 咖( t ) + q 1 ( ) g ， c 2 = ；a o ( q 。+ n 1 ( t ) q ， ? 32 ；o o ( t ) ( p g z q p 。) 一；0 1 0 ) p q4 - 0 ：3 ( ) ， 6 3 = ( ( ) 。一2 p 2 9 ) + ；n 1 ( ) p 。+ 0 1 3 0 ) p ， c 3 = 蛳( 砷( 口一一印9 2 ) 一j n l ( ) 如+ o t 3 0 ) q ， 例当p = “，g = - 1 时，得到k d v 梯队，特别地，若。：3 ，。：4 椭 a l p h a ：= a l p h a 3 = 0 ，我们有 a 3 = 一u 。，b 3 = u z 。2 u 2 ，。3 = 2 仳 1 4 此时，化为3 阶k d v 方程 例当p ：q ：时，得到m k d v s g 梯队，特别地，若n = 3 ，以俨 4 ，1 ：。l p h 0 2 = a l p h a 3 = 0 ，我们有 8 3 = 0 ，6 3 = 一“一2 u 3 ，c 3 = u z z + 2 u 3 此时，化为3 阶m k d v 方程 例当p ：。，q ：一面时，得到非线性s c h r 5 d i n g e r 梯队( n l s 梯队) ，特 别地，若n ：3 ，n o = 一2 i ，a 1 一a l p h n z = o ，我们有 口2 = 一ij u f 2 ，b 2 = 一i u 。，c 3 = 一i 瓦 此时，化为非线性s c h r s d i n g e r 方程 定义2 若p 的元素之间不存在关系，我们称( 2 9 ) 为非限制a k n s 系 统，否则称它为限制a k n s 系统 例如，n 一波方程的l a x 对是非限制的，而k d v ，m k d v 和非线性 s c h r s d i n g e r 方程均是限制的 1 5 5d a r b o u x变换( d t ) d a r b o u x 变换是构造孤立子解的重要方法 1 2 1 7 1 8 1 9 2 0 ，大致过程 如下设p ( o ) 是( 6 ) 的一个解，有时也称为种子解，而圣。是l a x 对 悸三嚣三豢0 5 三键裔尚扩，西。i 西= y 壬= j 。( z ，) p ( 0 ) 】a “一j 西 、。7 的基本解矩阵我们可以按以下步骤构造d a r b o u x 阵 选取 其中a ”i = 1 ，互不相同 以及 使矩阵 非奇异，这里 三( 1 = f f ! ” 删) 日1 = ( 矗，危妒) = 西。( ) 妒 f i * ： f 令s ( 1 ) = 日( 1 ) a ( 1 ) 日( 1 卜1 ，d ( 1 ) = a i s ( ”，则d ( 1 ) 是一个d a r b o u x 阵 而西，( a ) = d ( 1 ) 垂o ( a ) 是l a x 对 傺三嚣三箦三辩鬻圣( 2 9 ，)l 西= y 圣= o j 。巧 p ( 1 ) a “一j 圣 。， ( 1 a ， = l a 0 ；嘏 ，-iii_ll、 = 、， n 、 f 的另一个解，其中p ( 1 ) 是方程( 3 2 ) 的一个新解从上述过程中易知 a ，+ p ( 1 ) = d ( 1 ( a + pc 。) d ( 1 ) 1 + d 1 1 ) d ( 1 ) 一1( 3 3 ) 我们有以下性质 尸( 1 ) = p ( o 】+ f ，s ( 1 s 9 1 + s ( ”，j s ( 1 + p ( 0 1 = 0 从( p 【o l ，圣。) 到( pc ”，屯。) 的整个过程称为d a r b o u x 变换( d t ) 类似地，我们可以选取a ( ”，( ”，得到( 尸( ”，壬z ) f 3 4 1 f 3 5 1 我们可以从( p ( ”，西，) ，通过a ( ”，l ( 2 ) 得到( p ( 1 ”，中：) ，也可以从( p ( ”，西z ) 通过a ( u ，l ( - ) 得到( p ( 2 ”，圣。，) ，著名的可换性定理 1 告诉我们 p ( 1 2 ) ：p ( 2 1 6 非限制a k n s 系统的迭加公式 定理1 在a k n s 系统( 2 9 ) 中，若圣。是基本解矩阵，s ( “，s ( “，s ( ”) 是按 上一节的步骤构造出的矩阵，如果sc 2 ) 一s 1 ) 非奇，则 证明 s ( 1 2 ) = ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) s ( 2 ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) 一1 日( 1 2 ) = ( 圣。( a 卧i 2 ) ，壬。( a1 2 ) ) f 铲，垂。( a 譬) 搿) f 3 6 1 由于 我们有 这样 s ( ) 垂。( a i 2 ) ) f i 2 ( 垂。( a 宁) f i 2 ) s ( ，) f 壬。( 舻) f i 2 ：h ( 2 ) a ( 2 ) 一s ( 1 ) 日( 2 圣。( a 嚣) f 譬) ( a 譬， r 圣。( a 譬) f 譬) s ( 2 ) ：日( 2 ) a ( 2 ) 日( 2 ) 一1 日【1 2 】= ( s ( ”一s ( 1 ) 1 日( 2 s ( 1 2 ) ：日( 1 2 ) a ( 2 ) 日( 1 2 ) 一1 s ( ) 圣。( a 好) f 好) a 好 = ( s ( 2 ) 一f ( 1 ) 日( 2 ) a ( 2 ) 日( 2 ) 一1 ( s ( 2 一s ( 1 ) 一1 = ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) s ( 2 ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) 一1 由( 3 4 ) ，我们得到 类似地 啦警 掣：警 锣2 = i j f 3 7 7 1 翌二型( 3 7 “) a i a y f 3 7 ) 所以，若我们能够用p t ”，尸( 2 和p ( o ) 表示s f l ) s f “，就可以利用定理 1 得到一个迭加公式，即，( 3 5 ) 式的非对角部分我们采取以下步骤 首先，将( 3 5 ) 式表示成分量的形式，即， ( 3 9 ) 对从1 到的所有的i ，j 均成立，但我们现在只考虑一i j 的情 形令 霹= ( a t 一吼) 糍残+ ( 竣簏一磁：)i j f ，k i ， 注意到( 3 7 ) ，经计算，得 嘏：+ 蜡+ 鳄背一锣背1 = 0 ( i j )( 4 0 ) 由于我们已在i j 时得到露，而姥：和蹬亦可算出，因此( 4 0 ) 式中只剩露k = l ，) 待表出若令f 蔓，帮f 。i j ，则由 ( 4 0 ) 中任意两个方程构成的线性方程组表示出和 于是我们得到 定理2 若日( 1 ) 非异，且f ( 4 0 ) 唯一确定即表示为 蒜j oi j ，则s 的对角元可由方程 。峁 i ( 剐= ( 篓， = 文 p+s， (n 蜓 一 p+s， 娥 蜓 + 或 瓤开展或 彰，秽 旧， r蹬h文阳b 一 0 7 碟礤 蛳 g踏 咄 町“奠钱 口 蛳 姥 掣露 蹬哆 + + 鸡蹬 q 葶均 对s ( z ) 也有平行的结论 现在，若用符号a 表示元素为 气= 叁 的矩阵，则由( 3 7 ) ，( 3 7 ，) ，( a t ) ，( 4 1 ) 和( 3 5 ) 的非对角部分，可得 其中 p 5 2 ) = p 1 ) + ( ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) ( p i 2 ) 一尸i 。+ s 【2 ) d l a g ) ( s 2 一s 1 ) 一1 ) 。7 7 ( 4 2 ) s ( 2 ) 一s ( 1 ) ：p 1 2 ) 一p i l ) + ( s ( 2 ) 一s ( 1 ) 出。 注1 现在从理论上说，借助( 3 7 ) ，( 3 7 ) ，( 3 7 ) ，( 4 1 ) 和( 3 5 ) 的非对角部分， 我们得到了一个非常复杂的迭加公式，但是值得注意的是，该公式是代 数的，只含有p ( 1 ”，p ( 1 l ，p ( ”，p ( o ) 的元素和尸( ”，尸( ”，p ( 。元素关于z 的一 阶偏导数，而不含参数与积分因此，此公式很容易通过计算机程序实 注2 在n ：2 情形中，该公式可简化，这是因为码= 0 ，于是 隧篓拦p(o)p(o)p(1)p(1 4 3 j 叱1 一( 口2 一d “f1 m = 毯装辩 【。2 2 一( 0 2 一a 1 ) ( p p j ? 一p ：p ：) 我们将在下一节中用到此式，若p ( o ) 有一些零元素，那么此公式还可进 2 0 7 限制系统 当我们要将定理1 用于限制系统时，必须注意p ( ，p ( “，p ( ，p ( ”得满足 一些条件一般说来，在限制系统中给定( 2 9 ) 的一个种子解p ( o ) 后， d a r b o u x 变换理论只能保证( p ( ”，圣。) 满足( 2 9 ) ，而尸( 1 ) 是否满足限制条 件则依赖于参数a ( 1 ) 和工( 1 ) 的选取，而这又与正。有一定的关系 p ( ：) 和p ( ，z ) 亦如此 在本节中，我们分别研究几个著名的限制系统我们总是假定= 2 ，j = ( 1一，) 7 1 m k d v s g 梯队 设p = ( 一。“) ，肌 限制条件是 p 1 2 = 一p 2 1 我们得到m k d v s g 梯队，其中最著明的是m k d v 方程 ( 4 4 1 若我们允许a 的指数为负，那么s i n e g o r d o n 方程也可看作在此梯队 中但我们得注意此时( 1 6 ) 中的q 不是p 中的u 事实上，它们的关 系是 u 一 2 我们可以直接验证下列引理【4 2 1 引理 m d d v s g 梯队中，给定一个种子解p ，如果( 苫& ：；) 是( 。9 ) 在a = a o 时的解，则( i 粥。) 是( 2 9 ) 在a = 一h 时的解 另外 引理z 若存在一个形如( k k ) 的a ，和一个形如( ；? ) 的日， 使得d a r b o u x 阵d 能被表示成d = ，一h a h ，则d 可以将p 变为一 个新的尸7 ，p 和p 7 都满足限制条件( 4 4 ) 现在从p ( 哪= ( 一咖) 和西。出发，若选取a = ( 九一。) ，和 任意的f i l = ( 。a ，1 ) 一，我们有卵= 圣。( az ) ( 。a ，1 ) = ( ； 未；) 由引理 1 ，( 看羚订) 是( 3 ) 在a = a - 时的解因为西。是基本解矩阵，必然存 在常数c t 和叱使得( 乏心j ) = 西。( 一c 1 ) 显然，c ，和d ，依赖于 6 h a z 和蛋z 若选取上= ( a 。ld c 。1 ) ，日q ，形如( 卢o t ? ) ，则由引理。， 我们知道d ( 1 ) 给出一个新解尸( ” 采取同样的步骤，我们可以通过a ( 。) 和删得到尸( ：) 现在从尸( ，西t ，通过a ( “，三( ”，我们由_ 以下计算证明p ( 1 2 】仍满足( 4 4 ) 显然 危( 1 2 = ( a 2 j s ( 1 ) 西。( a 2 ) f i 2 ) 矗2 ) = ( 一a 2 ，一s ( 1 ) 西o ( 一a 2 ) ：铲 由于 黔( 1 。) 2 2 2 我们有 = ( - a 2 s ( - ) 的构造过程告诉我们 ，( 。 因此我们有 p 于是，日( 1 2 ) 具有形式 若令 则 ( 。) 毗) f ( 2 1 ) = ( 一。1 ) 弘 ( 一。1 ) 硝2 ) ，q 1 2阮2 i 卢。：一n 。： 厅：日( 1 2 ) f 1 、 一。) = ( 雳：一o 卢l 1 2 ”) s ( 1 2 ) ：h ( 1 2 ) a ( 2 ) h ( 1 2 ) 一= 面a ( 2 ) 面一1 由引理2 ，d ( 1 。) 可给出满足限制条件的解p ” 于是我们得到 定理3 在m k d v s g 梯队中，给定p ( ，若a ( ”，三( ”，a ( ”，三( 2 满足引理 2 的条件，则由d a r b o u x 变换构造的解尸( “，尸( ”，p ( 1 2 ) 满足限制条件( 4 4 ) ， 于是( 3 5 ) ，( 3 7 ) ，( 3 7 ，) ，( 3 7 ) ，( 4 3 ) 对整个梯队仍成立 借助这一定理，我们可得到m k d v s g 梯队的迭加公式 由( 3 7 ) s ( 1 ) o i i = ( 半半) ， ( 3 7 ，) ，( 3 7 ”) 给出s ( 2 ) 和s ( 1 2 ) 的类似形式，( 4 3 ) 给出 s ；j “1 一7 a 0 。 2 ( 扎1 + 札o ) a ( 2 ) 一! 垒! 二塑：! 山1 2 ( “2 + o ) 于是，计算( 3 5 ) 的( 1 ，2 ) 元素，我们得到迭加公式 其中 “1 2 = u o + ( 1 一 2 ) 4 ( 吁 堡! 鱼二型垫兰1 4 ( k k ) 2 + ( 7 , 1 一“2 ) 2 2 o ) = 蒹嵩 k 2 惹嵩 f 4 5 1 ( 4 6 ) 接下来我们证明( 4 5 ) 和( 1 8 ) 等价微分( 1 8 ) 式可知，为了证明等 价，只须证明， 可蕊再1 下可瓢a i + a 2 c o s t q l - - q 2 = 在 4 中提到 其中 钍1 = 一钍。一目l ， q 1 = 一9 0 + 2 巩 ! 【堡二堕! ! 兰! 二型! 兰! 兰 4 ( m k ) 2 + ( u 1 一2 ) 2 目1 = - - 2 u o 一2 a is i n 目1 巩口 t a n 一22 五 而( ；) l a x 对在a = a 。时的解 u ：有相同结论 2 4 f 4 7 1 f 4 8 1 f 4 9 1 ( 5 0 1 在对m k d v s g 梯队进行d a r b o u x 变换时可直接验证这些结果 由( 4 8 ) 和( 5 0 ) ， 所以， 类似地， “l 。= u 0 z + 2 a l 目1 ，zc o s 目1 从( 4 8 ) 和( 5 0 ) ，我们可得 = 一a lc o s 目l a 2c o s 口2 “l 一”2 = 2 a 1s i n 巩一2 a 2s i n 目2 ”1 + ”2 2 u o = 2 a 1s i n 目1 + 2 a 2s i n 目2 考虑到( 4 9 ) ，通过直接计算可知( 4 7 ) 成立，于是( 1 8 ) 式对整个m k d v s g 梯队都成立 例1 对于m k d v 方程 钍t + 牡枷+ 6 u 2 u $ = 0 取“。：0 ，我们先通过d a r b o u x 变换的方法求出单孤立子解此时，它的 l a x 对为 从中解得，当a = a ，时，西可取 2 5 ，、 1 | | | t l e l l e l ，lj，、l ”渤础 m f 嚣 令l = a 1 z 一4 a ； 于是，可取 胪) = ( 竺。一一e - ”) 弘) ：日( 1 ) p 、1 日( 1 ) 。 - - a 1 从( 3 3 ) 式，可得 类似地，可得 。c 1 ，= ( 三j 。a 。, 。t h a n h 。2 ，u ，- - + a l 。c 。o + s 。h 。- h 12 。u 。) u 1 = 2 a 1 c o s h 。12 ( a 1 z 一4 a a t ) u 2 = 2 a 2 c o s h “2 ( a 2 。一4 2 2 3 t ) 现在利用迭加公式( 4 5 ) ( 4 6 ) 求蚍， = - a tt a n h2 ( a 1 z 一4 a a t ) = - a 2 t a n h 2 ( a 2 z 一4 a ；t ) ， 2 ( a ；一a ；) ( a 1c o s h 2 v l a 2c o s h 2 v 2 ) 2 一可可f i 忑雨忑甄瓦面i 再忑= r 瓦磊i 可可 7 2 非线性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 梯队 设p = ( 一面”) ，即，限制条件是p 2 t = 一再，我们得到非线性s c h r s d i n g e r ( t 、 梯队，其中最著名的是非线性s c h r s d i n g e r 方程 i p = p 。+ 2 l p i 2 p 2 6 知知骝知 2 1 h n hh 1 c a k ， 若令a 为( 1i ) ，并令日取( ；髻) ，整个过程将和m k d v s g 梯队一样所以为避免重复，我们在此只给出最后的公式 ，。：! ! 塑i 堕二坠! ：! 竺! ( 堕二堡21 坠：堕2 丝! 些二堕! ! 竺堕2 堡( 5 1 ) 毗产可万j 订可i 二了一 其中 u 面i i ) ， 石( “2 ，。n o ，。) 一u 1 ( 面；j 一面五j ) 一屹2 1 丽i 万一 7 3k d v 梯队 现在令尸= ( - 1 “) ，即限制条件是p 2 产一，我们得到k d v 梯队，其 中研究得最多的是本文开头提到的k d v 方程 为了更好地叙述结果，我i f 弓i 入以下定义 定义3 一个限制条件为马。= i 的a k n s 系统称为k d v * 梯队中的系 统两个具有相同的巧( z ，t ) 【p 】的系统，若一个在k d v 梯队中，而另一 个在k d v * 梯队中，则称它们为对偶的而这两个系统对应的方程也称 为相互对偶 例如，k d v 方程的对偶方程是 由直接计算可得以下引理 引理4 在k d v 梯队中，给定一个种子解p ，若( ；& ：；) 是( z 9 ) 在a = a 。 时的解，则( ；浇 + 2 以知) 是( 2 9 ) 在a 一a 。时的解而在k d v + 梯 队中， ( ；浇；一2 以凡) 是( 2 9 ) 在a = - a o 时的解，、 引理s 砉a ：( h a 。) ，日= ( 壬( 训f 1 ，西( 一训f 2 ) 有形式( ；。名2 卢) ， 则d 。r b 。阵d 将p 变为p 7 ，其中p 2 。= 一i ，g ，= 1 若h 具有形式 ( ；。j 2 卢) ，则d 可将p 变为尸7 ，其中p 2 t 21 ，g ，21 l 接下来，仿造m k d v s g 梯队那一节的过程，我们得到 定理6 对k d v 梯队中的一个系统，给定p ( 0 1 ，圣( ，若a ( ”，l “，a ”，l 2 满 足引理5 第一部分的条件，则由d a r b o u x 变换构造的p ”，p 2 是其k d v 4 梯队中对偶系统的解，而p ( 1 2 ) 是原来的k d v 梯队中的系统的解 我们还可证明 性质7 若让是k d v 梯队中一个方程的解，则一u 是其在k d v + 梯队中 对偶方程的解，反之亦然 利用定理6 和引理7 ，我们可以用( 3 5 ) ，( 3 7 ) ，( 3 7 ) ，( 3 7 ) ，( 4 3 ) 推导出 如一小。，糕一黯等 ， 其中 = 丽u 0 , z 习- - u l , z 砺= 箍 ( 5 5 ) 。1 2 j i i i 而。2 2 j i i i 葡 、。7 这里，u 。，”，”。，l , ，。是k d v 梯队中同一个方程的解 现在我们证明f 5 4 ) 和( 2 8 ) 等价，先证明它们对k d v 方程等价从 2 8 ( 2 8 ) 式得到 啦：一一z 牟每c 7 1 - - u 2 ， 为证等价性，只须证明 z 牟畚= 糕+ 嘉2 ( v i 南 ， 。( 1 一 2 ) 2一k 一) 2 在 4 中提道， k d v 方程的b 萎c k l u n d 变换的一个方程为 w 。= 卢，一 。，。一l ( w l - w o ) 2 ( 5 7 ) 从它可推出 “1 。+ “。，= 一( ，一 o ) ( “一u o ) ( 5 8 ) 以及 岛一岛：u 1 一2 + ；( 1 一 2 ) ( 1a - t 0 2 2 w o ) ( 5 9 ) 风一岛= “1 一2 + i ( ”1 一”2 ) ( ”1 2 一o j【3 。j 于是 = t w i - - w 0 = 竿 通过简单的计算，可知( 5 6 ) 成立至于整个k d v 梯队，只须验证( 5 7 ) 也成立在 1 中证明了，通过d a r b o u x 变换，易得 u 1 = 卢1 一“o 一2 c r 2 这里一= ! 所以只要检验 ( 叫，一切。) 2 = ( 三) 2 由于”是势函数，我们可以调整它在无穷远处的极限值所以只要 证明 ( 叽。一虮。) 2 = ( 凳) 2 而这由直接的计算即可得 现在，我们有结论：( 2 8 ) 式对整个k d v 梯队均成立 3 0 参考文献 【1 谷超豪，胡和生，周子翔著孤立子理论中的达布变换及其几和 应用，上海科学技术出版社1 9 9 9 年1 1 月 【2 谷超豪等著”孤立子理论与应用浙江科学技术出版社， 1 9 9 0 年8 月 【3 e i s e n h a r tlp at r e a t i s e o i lt h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fc u r v e s a n ds u t r a c e s d o v e r ，n e wy o r k ，1 9 6 0 4 r o g e r s ，c a n ds h a d w i c k ，w f ，b 最c k l u n d t r a n s f o r m a t i o “8a n d t h e i ra p p l i c a t i o n s ”a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 2 5 j o s e p h s o n ，b d ，s u p e r c u r r e n t s t h r o u g hb a r r i e r s ，a d v p h y s 1 4 ， 4 1 9 4 5 1 ( 1 9 6 5 ) 6 】l e b w o h l ，p a n ds t e p h e n ，m j p r o p e r t i e s o fv o r t e xl i “。8 i n s u p e r c o n d u c t i n gb a r r i e r s ，p h y s r e v 1 6 3 ，3 6 7 _ 3 7 9 ( 1 9 6 7 ) 7 1s e e g e r ，a l ，d o n t h ，h ，a n dk o c h e n d o r f e r ，a ，t h e o r i e d e rv e 。8 。 z u n g e ni n e i n d i m e n s i o n a l e na t o m r e i h e n ：i ib e l i e b i ga n g