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摘要 非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 即n u r b s ， 是2 0 世纪9 0 年代提出，用数学方法表示曲线、曲面，并在计算机中实 现这些曲线、曲面的数学方法。由于n u r b s 既能成功实现自由曲线、曲 面，又能准确地表达空间解析曲线、曲面，因此，n u r b s 受到人们的广 泛关注，由于n u r b s 这一方法强大功能，国际上许多商用c a d c a m 系统 都先后开发、扩充了n u r b s 功能，目前n u r b s 已由商用拓宽到可视艺术 如电影、艺术、雕塑中物体造型，虚拟现实应用中制做场景等。在国外， 由于b l u r b s 研究起步比较早，故n u r b s 理论已大体成形，且进入应用阶 段，而在国内，关于n u r b s 的研究才刚起步，还需要有国内研究人士使 用的基础理论及算法，只有这样，才能进一步去独立自主研究、开发n u r b s 功能。 本文讨论了n u r b s 这一数学方法的基础理论，介绍n u r b s 曲线曲面 中最简单的b e z i e r 曲线、曲面，进而讨论了n u r b s 曲线曲面中相对一般 化且具有核心地位的b 样条曲线曲面，在这一部分中，主要分析了b 样 条曲线的形成、基函数的性质，曲线的修改，如结点向量的插入、升阶 等技术，并以简单的实例，用程序得以实现，直观看到这些技术的效果。 此外，对n u r b s 建立、权因子对n u r b s 曲线形状的影响、b 样条曲线曲 面与n u r b s 的关系进行了讨论并以n u r b s 理论为背景实现曲线拟合。 关键词：计算几何；b 样条函数；离散数据模型 a b s t r a c t n 【爪b s ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ) ，p r o p o s e di nt h e19 9 0 s ，t ob e u s e dt oe x p r e s st h ec u r v ea n ds u r f a c eb ym a t h e m a t i c sm e t h o d ，h a sb e e n r e a l i z e di n t o a p p l i c a t i o nb yt h ec o m p u t e rt e c h n i q s b e c a u s en u r b sc a n s u c c e e di nr e a l i z i n gt h ec u r v eo ff r e e d o m ，s u r f a c e ，c a ne x p r e s st h es p a c ea n d a n a l y s et h ec u r v ea n ds u r f a c ea c c u r a t e l y , s os c i e n t i s t sh a v eb e e nm a k i n gg r e a t c o n c e mo ni t b e c a u s eo ft h es t r o n gf u n c t i o n ，n u r b sh a sb e e nd e v e l o p e d s u c c e s s i v e l ya n de x p a n d e di n t o al o to fc o m m e r c i a lc a d c a ms o f t w a r e p a c k a g e a tp r e s e n ta b r o a dn u r b sh a sa l r e a d yb e e nw i d e n e dc o m m e r c i a l l y t ov i s u a la r ts u c ha so b j e c tm o d e li nf i l m ，a r t ，v i r t u a lr e a l i t ym a n u f a c t u r e s s c e n ea n ds oo n t i l ln o wn u r b st h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e dr e l a t i v e c o m p l e t e ，a n da p p l i e di n t oi n d u s t r ya p p l i c a t i o n a th o m e ，t h i sr e s e a r c ha b o u t n u r b si sj u s ts t a r t e d ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yb a s i ct h e o r ya n da l g o r i t h ma n d t r a i n i n gp r o f e s s i o n a lp e r s o n s o n l yi nt h i sw a y , w ec a ng oo nf o r w a r d st ot h e i n d e p e n d e n ta n di n i t i a t i v es t u d y , a n dt od e v e l o pn u r b s f u n c t i o n s 。 i nt h i st h e s i sii n t r o d u c e dt h eb a s i ct h e o r yo f 瓜b s t h es i m p l e s t b e z i e rc u r v e ，t h ec u r v e ds u r f a c e ，t h e nd i s c u s s e dt h er e l a t i vg e n e r a l i z e da n d a l s oa st h ec o r es t a t u so fbs p l i n ec u r v ea n ds u r f a c ei nt h en u r b sc u r v ea n d c u r v e ds u r f a c e i nt h i s p a r t ，i ti sm a i n l yt oa n a l y s et h ebs p l i n ec u r v e f o r m a t i o n ，p r i m a r yf u n c t i o nn a t u r e ，t h ec u r v er e p a i r s ，f o re x a m p l ep o i n t v e c t o ri n s e r t i o na n do r d e rr a i s i n ga n ds oo n b ys i m p l ee x a m p l e ，t or e a l i z e w i t ht h ep r o c e d u r ew i t hd i r e c t v i e w i n ge f f e c t f o r w o r d l yih a v ei n t r o d u c e d a n dd i s c u s s e dn u r b se s t a b l i s h m e n t p o w e rf a c t o rt on u r b sc u r v es h a p e i n f l u e n c e ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ebs p l i n ec u r v ea n dc u r v e ds u r f a c ea n d n u r b s a n dr e a l i z e dc u r v ef i t t i n gj nb a c k g r o u n do f n i 瓜b s k e y w o r d s c o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y ；bs p l i n eo ff u n c t i o n s ；d i s p e r s e d d a t am o d e l 第一章引言 第一章引言 1 1 问题的提出 自计算机出现，人们就试着用计算机来实现几何图形，并用计算机来设计几何 形体。起初是用计算机来实现自由曲线曲面，先是提出b e z i e r 曲线曲面，由于它在 表示自由曲线曲面的修改方法上的缺陷，接着人们又提出了b 样条曲线曲面，并提 出关于自由曲线曲面的修改方法，后来为了用计算机来设计解析曲线曲面，人们提 出了非均匀有理b 样条曲线曲面即n u r b s ，同样也提出了曲线曲面的修改方法，这样 基本上解决了工业产品设计问题。随着n u r b s 的不断发展与完善，人们也开始认识 n u r b s 这一方法强大功能，国际上许多商用c a d c a m 系统都先后开发、扩充了n u r b s 功能，目前n u r b s 已由商用拓宽到可视艺术如电影、艺术、雕塑中物体造型，虚拟 现实应用中制做场景等：其它方面的应用，如用它为背景进行数学建模及模型分析 能够提供高精度的模型和更精确的分析。这样n u r b s 又应用于模拟地下地层、应力 分析，在航空航天的应用：风洞模拟、应力分析等等。在气象科学的应用：气压、 温度、湿度精确模型的建立、趋势分析、动力系统分析等等。 1 2 发展状况与研究现状 在1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上，b a r n h i i i h r i e s e n f e l d 第一次使用了计算机 辅助几何设( c a g d ) 这个名词，从此，以几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门独 立的学科出现。c a g d 主要研究工业产品的几何问题，它是各种几何外形信息的计算 机表示、分析与综合、以函数逼近论、微分几何、计算数学，以及数据技术为基础 的边缘学科，其核心问题是计算机表示，要解决既适合计算机处理、且有效地满足 形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学 方法。经过不断发展，c a g d 理论不断深化，方法日益丰富，应用愈加广泛。对c a d c a m 技术来说，c a g d 是它的理论和关键技术之一。c a g d 的产生和发展极大地影响着c a d 的技术水平。形状描述的数学方法即几何造型方法，又在不断的改进，其中由于参 数化表示具有与坐标轴无关，可直接进行几何变换以及几何不变性等优点，它已经 成为c a g d 中曲面的主要表示形式。1 9 6 3 年美国b o e i n g 飞机公司的f e r g u s o n 首先 提出了自由曲面表示的参数矢函数方法，并成功构造了f e r g u s o n 双三次曲面片， 该方法由f m i l l 系统实现，它可以生成数控纸带。f e r g u s o n 所采用的曲面的参数形 。3 式从此成为形状数学描述的标准形式。f e r g u s o n 将四角点的混合偏导矢( 又叫“扭 n u r b s 离散数据理论分析与应用 矢”) 都取为零矢量，1 9 6 4 年美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 发展了具有一般 性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年 孔斯进一步推广了他这思想，孔斯双三次曲面片在c a g d 实践中广泛应用。1 9 7 1 年 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r 发表了由控制多边形定义曲线的方法。它 是雷诺公司u n i s u r fc a d 系统的数学基础。随后f o r r e s t 和g o r d o n 等把b a z i e r 曲 线中的b a z i e r 基改写成t b e r n s t e i n 基( f o r r e s t1 9 7 2 g o r d o n1 9 7 4 b ) 。“”，奠 定了参数曲线曲面的计算机辅助设计基础。这种设计方法，只需移动控制顶点就可 以方便地修改曲线曲面的形状，直观易用，很好地解决了整体形状控制问题，并逐 步发展成为主流设计方法。为克服b 6 z i e r 设计方法中难以灵活地进行局部修改的缺 点，1 9 7 2 年d eb o o r 给出了关于b 样条的一套标准算法。1 9 7 4 年美国通用汽车( g m ) 公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 将b 样条理论用于形状描述，提出了b f 4 条曲线曲面。遗 憾的是，b 样条设计方法不能精确表示圆锥曲线，给一些机械零件的设计带来了困 难。为了解决自由曲线曲面和初等曲线曲面的统一表示，1 9 7 5 年美国锡拉丘兹 ( s y r a c u s e ) 大学的v e r s p r i l l e 首先提出了有理b 样条方法。以后主要地由于p i e g l 和 t i l l e r 等人的功绩，至8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为用于曲线 曲面描述的最广为流行的技术。这种技术有以下的优点： 1 ) 为标准解析几何形状( 圆锥曲线、二次曲面和旋转曲面等) 和自由曲线曲面( 非 有理b 样条，有理和非有理b e z i e r 曲线曲面等) 提供了一个统一的数学表示形式。 不仅能对它们进行精确的表示，而且拥有一致的数据存储方式； 2 ) 通过权因子和控制顶点的修改，提供了灵活的控制方式，具有很强的设计能 力： 3 ) 4 ) 5 ) 入、优 阶段； 计算简单且具有一定的数值稳定性： 具有清晰的几何意义，给设计提供了极大的方便； 经过多年的发展，已经形成了一整套几何设计功能集，比如节点的删除、插 化以及降阶、分段等，而且这些功能贯穿于设计、分析、处理、检验等各个 6 ) 在缩放、旋转、移动等基本变换以及平行和透视投影变换下，具有不变性。 7 ) 它是非有理b 样条形式以及有理与非有理b 6 z i e r 形式的合适的推广。 为此，在1 9 9 1 年，国际标准化组织( i s o ) 把n i j r b s 作为定义工业产品几何形状 第一章引言 的唯一数学方法。不断地研究和发展基于矩形拓扑网的曲面造型技术目前，在理论上 n u r b s 的研究难点主要有：两个n u r b s 曲面的交线问题，n u m b s 面上求点的收敛性问 题。在实践上，如何将n u r b s 应用到实际的数学建模中，去分析实际问题，如地球 科学等。 1 3 本文概要 在本文中，着重对n u r b s 曲线的理论部分分析，较简略介绍了曲面部分，在n u r b s 曲线的理论中，分析了曲线的生成机理，如结点向量的变化对曲线的影响、控制顶点的 变化对曲线的影响，基函数的性质对曲线的影响等。这部分中，在分析前人科研成果的 基础上，自己独立完成这部分的程序实现，以加强对这部分的内容理解和为应用作一些 准备。在第四章中，利用前面所讨论的结果，以一个1 7 个数据点的实例为背景，实现 了n u r b s 曲线的拟合。文章的擐后，较简略介绍n u r b s 曲线曲面理论的发展动向，和自 己末来工作。 第二章b 样条曲线曲面理论分析 第二章b 样条曲线曲面理论分析 n u r b s 的发展历程大致经历三个阶段，第一阶段的标志是1 9 7 1 年法国雷诺 ( r e n a u l t ) 汽车公司的贝齐尔( b 6 z i e r ) 发表了一种由控制多边形定义曲线的方 法，由于这种方法没有局部控制性，这种方法就不断的在改进：第二阶段的标志 是1 9 7 2 年德布尔( d eb o o r ) 给出了b 样条的一套标准算法，经过其他人的完善， 到1 9 8 4 年前后，b 样条理论基本完成，这种方法有不能表示解析曲线曲面的缺陷； 第三阶段，美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的弗斯普里尔( v e r s p r i l l e1 9 7 5 年) 在他的博士论文中首先提出了有理b 样条方法，后来经过皮格尔( p i e 9 1 ) 、蒂勒 ( t i l l e r ) 、法林( f a r i n ) 等人的完善，到1 9 9 4 年非均匀有理b 样条方法基本形成， 但由于其中还有一些问题没有解决，至今这种方法还在发展之中。 2 1b 6 z j e r 曲线与曲面 b 6 z i e r 曲线和曲面是非均匀有理b 样条( n u r b s ) 曲线曲面中最简单的，它和 n u r b s 曲线曲面在表达形式上虽然不同，但这者有一致性的统一，即它也可以用 n u r b s 来实现，这样，可以把b 6 z i e r 曲线曲面作为n u r b s 家族中的一个特殊成员。 但是，这种转化不是双向的，即b 6 z i e r 曲线瞌面不能表达n u r b s 曲线曲面。 这里讨论b 6 z ie r 曲线曲面的主要原因是，有了它可以更好进入n u r b s 曲线曲面 的这个新领域。 2 1 1 隧z j e r 曲线 1 ) n 次b 6 z i e r 曲线的定义5 1 c ( “) = e ，。( ) d ，( o ! “1 ) ( 2 1 ) 定义中c ( “) 当“ 0 ，1 对应的函数值，谚是三维空间的控制顶点，e 。( “) 是 基函数，其定义如下： 1 e ，” 卜赢o “r ( 22 ) 下面是用4 个控制项点画的一条三次b 6 z i e r 曲线 n u r b s 离散数据理论分析与应用 p l 图2 1 基函数e 。( ) 中的n 是曲线的次数，f 是基函数e 。( ) 的序号。通过下面关于基 函数的图象( 图2 2 ) ，可以间接看出控制顶点如何通过基函数旦。( “) 对曲线产生影 响，影响的大小也可以看出来： 2 ) 基函数e 。( “) 的性质 b 4 z i e r 基函数是n 次的b e r n s t e i n 多项式， p i e g l l 9 9 7 在他出的书里总结了基函 数的如下性质“1 ：非负性，单位分解性，定义域内有唯一的最值，对称性，递归式的 定义。 下面提供4 条3 次基函数的图象： 图2 2 3 ) n 次b 6 z i e r 曲线的性质有：端点值性，凸包性，即b z i e r 曲线完全地包含在控制 多边形中，变差减小性，即一条直线与b 6 z i e r 曲线交点个数不会多于b a z i e r 曲线的 控制多边形交点的个数，如果是三维空问的b 6 z i e r 曲线，则为平面与b 6 z i e r 曲线交 点个数不会多于这个平面与b 6 z i e r 曲线的控制多边形的交点个数， 第二章b 样条曲线曲面理论分析 如下图所示 n 图2 3 21 2 8 4 z i e r 曲线 b 4 z j e r 曲面是从b 6 z i e r 曲线自然发展而来，直觉的解释是b 6 z i e r 曲面是b z i e r 曲线的轨迹，印移动b 4 z i e r 曲线通过空间，从而改变了b 6 z i e r 曲线的形状，形成 b 6 z i e r 曲面，这是”总结出来的，这种曲面也叫张量积b 4 z i e r 曲面，如下图： 图2 4 从数学上解释其形成过程如下，假设移动的曲线是以“为参数的甩次b 4 z i e r 曲 线，在任何时刻定义它的n + 1 个控制顶点分别沿着在空间的胛十1 条坍次b 6 z i e r 曲线 移动，这n + l 条m 次8 e z i e r 曲线以v 为参数，这样，就形成了张量积的b 4 z i e r 曲 n u r b s 离散数据理论分析与应用 面，一张n m 次的b 6 z i e r 曲面定义为 c ( u ，v ) = e ，。( “) 目。( v ) b ，o “，v 蔓l ( 2 3 ) 上式中c ( u ，- 0 是曲面上的点，。它的值由“，v 来计算，其中0 “，v 1 ，b ，三维空间 的控制顶点，e 。( “) ，b 。( v ) 基函数，其定义同b e z i e r 曲线中的基函数。 b 6 z i e r 曲面展示了许多b 6 z i e r 曲线的性质，如凸包性、端点插值性、变差减小性 等，b 6 z i e r 曲面还有另外的性质，如它边界曲线还是b 6 z i e r 曲线，并由b 6 z i e r 曲 面的边界多边形给出。 2 2 b 样条曲线有关理论 关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年就己经提出。1 9 7 2 年，d eb o o r 与c o x 分别 独立的给出关于b 样条计算的标准算法。b 样条方法兼具了b e z i e r 方法的一切优 点，具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是最广泛流行的形状数学描述的 主流方法之一。另外，b 样条方法是目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的 有理b 样条方法的基础。 22 1 b 样条曲线的建立 1 ) p 次的第i 个b 样条基函数的建立 b 样条有多种等价定义，经常为自由曲线曲面设计所采用的是作为标准算法的 d eb o o r c o x 递推定义，又称为d eb o o r c o x 递推公式。1 。这个著名的递推公式的发 现是b 样条理论最重要的进展之一。它原来采用阶数( 等于次数加1 ) 给出。为了方 便应用，现直接采用次数给出如下： 设结点向量u = ，“l j t ，“。) 是一不减的实数序列，即m l d i + li = o ，l ，2 ，m 1 ， 以u 作为样条结点，p 次的第i 个b 样条基函数m 。( “) 定义为 帅) = 肛要i f = 叫，z ，旷- n i , r 。嚣m ，舡) + 篡“) ( 2 4 ) 说明：当上式中出现o o 形式商时，规定其比例为0 定理2 1 m = “。n i , p - i ( “) = 0 证明( 用数学归纳法) 对次数p 作归纳 当p = 1 时，“，。= “，时，由基函数的定义知结论成立。 第二章b 样条曲线曲面理论分析 假设p = k 时结论成立，即“。= “，m ( “) = 0 当地m 1 = “，时，由“m = m m n i ) = o 及“m “= j + l , k - 1 ) = 0 再由 m 。 ) = 堕f m ， ) + 兰坐l 二兰m + 1 。 ) = o 成立 “，+ 女一珥“，+ t + l 一“i 成立 这样，可以在节点向量u = u o ，u 1 ，“， 是一不减的实数序列下，求出“ 时的基函数m ，( “) 对应值。由于在实际的工程设计中，采用三次已经能较好地符合 设计要求，同时使运算简单、快捷。因此这里仅给出三次b 样条基函数的推导方法 及其表达式： n ( ) 兰二生n ：( “) “? ，一h ， 竺l j ，( “) 珥+ 2 一蚱 素去啪，怯嚣q “ 考焉舻“f + 2 一蚌+ i【u ， 生= ! 兰n 。( m ) 叶+ 3 一珥“ 卫n i 。：( “) “j 一q + 1 一“i + l q + 3 一蚱+ 考兰敝喜“m “一h i u ，共匕 最兰老舻“一“【u ， 、j 1 ，q h “3 1 0 ) 舻一“q + 4 这样得的基函数为分段函数的形式，对于三次基函数而言有如下的形式。 ( 2 5 ) 孤 “蛐占细 忡谤脚仉 誊磊 和 水 誊而 奠飞玉 n u r b s 离散数据理论分析与应用 j ，( “) 旦旦旦, u i “ “ 蚌+ 3 一珥q + z 一坼“一“， 堡丝二! ! 二堡 ! 二堡+ 竺二堡 ! ! ! ! 二竺 兰二生! ! + 蚱+ 2 一“r + 2 一“j 坼一h i珥- u f 蚺一h + i 蚱+ 1 一坼十1 虹二生! 兰l 盟，+ 。 q “一坼+ l “j + 3 一“川m + 2 一q + 。 ( 2 6 1 1 1 1 1 二!竺二堡! !堡! ! 二! + 堡! ! 二兰竺! ! 二!竺二堡蔓+ 珥十4 一珥+ i 蚌+ 3 一q + l * + 3 一虬+ z坼+ 一嵋+ l 坼+ 3 一坼+ i 虬+ 】一q + 2 兰二生竺生盟， 蚌。 - u “。 玛+ 3 一叶坼+ 1 一“t m + 3 屿+ 2 兰= 4 二生土 生土：苎，叶+ ，- - m 时， 则j 。( “) 0 9 2 立- 。 旦f 。( “) o ， “i + 1 一u i 当：蛙卫j m 女( “) o “+ “2 一“h 若。兰“ 。时，m 。( “) = o ，i 世i 三暑m 小女( 甜) o ，则肌 ) o 成 “f “+ 2 一m + l 若“ “。时，j ，。 ) = 0 ，m h 。( “) = o ，则f “) = o 成立。 综上，对于任意的u 来说均有。( “) 0 故p = k + i 时，结论成立。由数学归纳法知非负性成立。 性质4单位分解性： n u r b s 离散数据理论分析与应用 ，( “) = l ， 证日月，鸯= ，峭u 矿- u j i + 老等蝴 2 ，邑 菇j 2 - j 哇老等_ 1 ( “， 由于“h ，“) ，“，“，。+ 。) 1 l i _ p ，b l i ) ，故f - p , p - i ( “) = o 同理“仨一“。+ - ) ，从而m + 1 p - i ( “) = 0 接脐磊i 磊l d - 。1 ) _ 一一”，善i 。考杀一) ( 这里，+ = ，十i ) 2 ，圭鹕 u 旷- u 矿嚣扣) = 哆一“) = 卜，+ 1 将上式递推进行下去有 ， jf n j ，( “) 2 h ，。( “) c m ( “) p 1p + 1j p + 2i l 也，。( “) = m ，。( “) = l 证毕 性质5 在一个结点支撑内部，f ，( “) 的所有导数存在。在一个结点处，j 。( “) 是p k 次连续可微的，此处k 是该结点的重数，所以增加次数，则增加连续性，而 增加结点的重数，则降低连续性。 性质6 除p = o 的情形外，批，( “) 恰好达到一个最大值。 性质7 在性质5 的基础上，若 ，( “) 有p k 次连续可微的，这样，可以对川。( “) 求p k 次导数，导数公式具体如下： 吖。炉去旷瓦“) ( 2 8 ) 菇二章b 样条曲线曲面理论分析 同理还有 础5 去彬一瓦+ l p _ ( k - o ( 2 9 ) 3 ) b 样条曲线的定义 设 珥) 为控制点， 。( ”) ) 是定义在非周期且非均匀结点向量 u = 口，甜，“。“，一，z i n - p - i6 ，b ) 上的p 次样条基函数，p 次b 样条曲线方程为 p ( “) = m ，( “) 吐 ( 2 1 0 ) 定理在上述p 次b 样条曲线中，结点向量u 的长度为m + l ，控制顶点d i 的个数 为n + 1 b 样条曲线的次数p ，其中m 。t q ，p 的关系如下：m = l q + p + 1 证明由于p 次基函数m ，( “) 由“，“。，川共p + 2 个结点来确定，故有如 下关系 u = “o ，“，吖p 小，“川，+ ，+ 1 ) 其中“o ，“p ，“川确定基函数n 0 p ( u ) ，u n ，。，“。川确定基函数m ，0 ) ，这样得 到n + 1 个基函数，便可以与n + 1 个顶点z 搭配，实际上结点向量u 的长度为m + l ，由 上便知，结点向量的长度m + l 减去p + l 等于控制顶点的个数n + l ，即有下面的关系式， ( m + 1 ) 一( p + 1 ) = n + l 得到m = n t p + 1 这个关系式。 4 ) p 次b 样条曲线的实现 给定结点向量u 及结点个数m + l ，控制顶点个数n + l ，曲线的次数p 据公式( 2 1 ) 实现基函数 判断关系m = n + p + 1 是否成立，不成立，重新输值 调用公式( 2 2 ) 求相应参数处的值，生成横、纵坐标值 i 竺型些竺f 图2 7 具体c 源程序见附录。 下面是以结点向量u = o ，o ，o ，o 2 ，o 4 ，o 4 ，o 8 ，1 ，i ，1 ：7 个控制顶点绘制的b n u r b s 离散数据理论分析与应用 样条曲线( 见图2 8 ) ，图2 7 中可以看出由于结点在0 4 处重复度为2 ，故基函数 挑： ) 有失点存在( 见图2 9 ) ，从而在控制顶点d 处形成尖点。 图2 8 图2 9 2 2 2b 样条曲线的性质 性质1 若n = k ，且u = 0 ，o 州1 一，1 ) ，则p ( “) 是一条b e z i e r 曲线。 第二章b 样条曲线曲面理论分析 性质2p ( u ) 是一条分段多项式曲线，它的次数k ，控制顶点数n + l ，结点数m + l 之间有关系式m = n + k + l 性质3 端点插值性 p ( o ) = 磊，p ( 1 ) = 以 这里b 样条曲线的定义域为 0 ，1 性质4 仿射不变性：仿射变换是通过应用它到控制点组上来变换曲线 仿射变换+ ：f ? t( 2 1 1 ) m ( ，) = a r + 。 性质5强凸包性：该曲线包含于它的控制多边形的凸中，特殊地，若 “ q ，q + 】，k i o ( i = o ，l ，h + 女) ，这样的结点矢量 定义了均匀b 样条基。 ( 2 ) 准均匀b 样条曲线( q u a s i - u n i f o r mb - s p l i n ec u r v e ) 其结点矢量中两端结点具有重复度k + l ，即“。= u = 一 。， + = ”。一一。( 这里k 为b 样条曲线的次数) ，而所有内结点均匀分布，具有 重复为1 ，定义域“【，“。】内结点区间长度a ，= + 。一蚌= 常数 o ( f _ k ，月) ( 3 ) 分段贝齐尔曲线( p i e c e w i s eb e z i e rc u r v e ) 其结点矢量中两端结点重复度与上述( 2 ) 相同，即有k + l 的重复度，而所有内结 点重复度为k ，选用该类型有个限制条件，控制顶点减l 必须等于次数的正整数倍， 即n k = 正整数，这样的结点矢量定义了分段伯恩斯坦基。 ( 4 ) 一般非均匀b 样条曲线( g e n e r a ln o n u n i f o r mb - s p l i n ec u r v e ) 这种类型里，任意分布的结点矢量u = u 0 , u 一，虬。) 只要在数学上成立( 其中结点 序列非递减，两端点重复度k + l ，内结点重复度k ) 都可选取，这样就定义了一般 非均匀b 样条基。 n u r b s 离散数据理论分析与应用 2 2 6 结点矢量的确定 从上节的b 样条曲线的分类中，非均匀b 样条曲线较其它三类更一般，它是非 均匀b 样条曲线即n u r b s 的基础，因此应该了解其有关的方法。 1 、结点矢量的确定 对于非均匀b 样条曲线来说，仅仅给定了控制顶点与次数，还不能定义曲线， 应先确定结点矢量，再确定基函数，最终才能定义非均匀b 样条曲线，结点矢量的 依据只有这些给定的控制顶点与次数。为此，人们以不同方法使曲线的分段连接与 控制顶点或控制多边形的边对应起来，常用的方法有以下两种。 ( 1 ) 森费尔德( r i e s e n f e l d ) 方法1 里森费尔德的方法，把控制多边形近似看作样条曲线的外切多边形，并使曲线 的分段连接点与控制多边形的顶点或边对应起来，然后使其展直，并规范化，得到 结点矢量的参数序列。 令控制多边形的各边长依次为= l4 4 一，i ( f = 1 ，2 ，n ) ，总的边长为l = t ： 结点矢量分别确定如下： 一 偶次b 样条曲线的结点矢量，里森费尔德假定偶次b 样条曲线的所有n k 个 分段连接点对应于控制多边形上除两端各k 2 条边外其余n k 条边的中点，将其展 直后，规范化。 对于二次b 样条曲线的结点矢量为 + 詈+ f 2 + 等+ + 一：+ 等 u = o ，o ，o ，子，手，产，i ，1 ，1 ( 2 1 2 ) 一般情形为 ，2 + l ， ”一，2 一l ， ( o ) + 华( t j ) + 华 卫了二， ，掣心1 3 奇次b 样条曲线的结点矢量 假发样条曲线的n k 个分段连接点对应于控制多边形上除两端各! ! 二二个顶点外 2 其余的n k 个控制顶点，将其展直后，规范化，分别可得三次、五次、等奇次b 样 条曲线的结点矢量。其中三次的为： u ： o 000 ，毕，型学，毕，1 ，1 ，l ，1 ( 2 1 4 ) lll k 次b 样条曲线的结点矢量为： 擎 掣 第二章b 样条曲线曲面理论分析 0f j 吲掣，午，卜，- ，掣2 1 5 ( 2 ) 哈特利( h a r t l e y ) 一贾德( j u d d ，1 9 7 8 ) 方法。” 由于k 次b 样条曲线要插值一个顶点，无论采用重结点还是重顶点，都必须是k 重的。 这表明，使相邻分段连接点的参数值之差与相邻顶点间的距离成正比与实际有相当 的出入。而采用控制多边形相应k 条边之和，再予以规范化。也就是使定义域结点区 间长度按下式计算： q 一坼一i = i 若 ，i = k + l ，庀+ 2 ，- 一，n + l ( 2 1 6 ) 0 ，= 女+ i ，一k 于是可得结点值 坼= j 2 “ + l = 1 2 2 7b 样条曲线中插入一个结点1 漫已给一条k 次b 样条曲线 p ( “) = 吐f 。( “) i = 0 其中，b 样条基函数由结点向量u = ”。，“。+ ，) 完全确定。 现在要在曲线定义域内插入结点“ u i , u i + 。】c 【u l , “。】，于是得到新的结点向量 西= m ，坼，蚱，“，i ，“+ 1 ) 这个结点向量西决定了一组新的b 样条基函数丙( “) ( f - o ，胛，n + 1 ) ，原来的b 样 条曲线又可用新的b 样条基函数与新的控制顶点巩( f = 0 ，n ，n + 1 ) 表出 n + l p ( “) = 孑一n ( “) i = o 上面表述中，同一曲线， ) 用两种形式表述，即有 n u r b s 离散数据理论分析与应用 p ) = 珥j 。 ) = - l 丙( “) 而r ，t ( “) ( f ：o ，聆，聍+ 1 ) 已由u = u o ，“l ，坼，1 4 ，i j 一，“m 矗确定，只有 讲( f = 0 ，疗，月+ 1 ) 末知，可由旧控制顶点4 来求出新的控制顶点，伯姆( t 9 8 0 ) 给出了这些末知新顶点的计算公式 i ，= d j ，( ，= o ，l ，i ) 瓦“= 孑，1 = ( 1 一叶) t + o 【，哆+ ，= i t ，i k + l ，i r 旷而- - u j + i ( 规舻0 ) 2 - 1 8 d j = d ，一l ，= i - ，+ 1 ，n + 1 上式中r 表示所插结点“在老结点向量u 中的重复度，若坼 i o ，且顺序女个权因 子不同时为零，以防止分母为零，保留凸包性质及曲线不至于因权因子而退化为一 点，基函数j 。( “) 由结点向量 u = u 0 “i ，“。十女十1 ) 决定的基函数。 ( 2 ) 有理基函数表示 p ( “) = d i r i ，。( “) ( 3 2 ) 其中置。( “) = 毒业称为七次有理基函数。 研f ，。( “) i = o ( 3 ) 齐次坐标表不 如果给定一组控制顶点吐= i x , ，儿，z 。 ( i = 0 , i ，2 ，h ) 及相联系的权因子( w e i g h t ) ( i = 0 , 1 ，2 ，n ) ，那么就可以按以下步骤定义k 次n u r b s 曲线。 i 、 确定所给控制顶点z ( i = o ，1 ，2 ，n ) 的带权控制点 d i = 【面，西，可，】= 毋，t ，可，y i ，1 7 j ，z ，面 ( i = o ，1 ，2 ，胛) i i 、用带权控制点d ( 江o ，l ，2 ，h ) 定义一条三维的k 次非均匀有理b 样条曲线 n u r b s 离散数据理论分析与应用 p ( u ) = d i n j 。( “) i = o i i i 、将它投影到盯= l 平面上，所得透视像即x y z 空间上一条次n u r b s 曲线 口r , 4 n 啦( ”) p ( “) = h 0 ( “) ) = 鼍- 一 m , n i ，。( “) i = o ( 3 3 ) 说明：四维空间的点通过投影到超平面玎= 1 上而形成三维空间中n u r b s 曲线的 过程如下： 【q 一，q y j ，q z ，罚，】笙盛塑堡土丛盛p ( “) 日，一，日，m ，可，z ，口i n , ， ( “) l = 0 ” p ( “) = 旧，d , n i 。 ) ，q f ，。( “) 】哒墅型婴三! 垩亘占 - = 0 h q 砖。( “) p ( ”) = 型) - 。o ) n i 女( “) 仁o 即为三维空间的k 次n u r b s 曲线。 3 12 三种等价的n u r b s 曲线方程比较 在三种等价的n u r b s 曲线中，权因子是给定的一些常数，它不随参数值的改变 而改变，而是通过对控制顶点的作用而影响曲线。基函数由结点向量及参数值共同 来决定，它对曲线的影响是指从总体上决定这一类曲线的性质，如光顺性等，在基 函数给定后，则由控制顶点决定曲线的形状，也决定了曲线上点的参数域内点的对 关系。 三种等价的n u r b s 曲线中，有理分式表示是有理的由来，当所有权因子均为相 同的非零有限值时，约去分子分母的公因子，由b 样条基函数的规范性，分母将等 于l ，此时n u r b s 曲线就变成非有理b 样条曲线，可见，有理是由权因子引起的，同 时也告诉我们，n u r b s 曲线是非有理与有理1 3 6 z i e r 及非有理b 样条曲线推广：有理 基函数表示形式中，可以从有理基函数的性质来认识n u r b s 曲线的性质；齐次坐标 表示告诉我们，n u r b s 曲线昌在高一维空间里它的控制顶点的齐次坐标或带权控制点 所定义的非有理b 样条曲线在口= l 超平面上的投影。在高一维空间中有理b 样条曲 线的性质，可以迁移到它在低一维空间中的n u r b s 曲线上，这样可以先讨论非有理b 样条曲线的性质来间接获得n u r b s 曲线的性质，但这里还的不一致的地方，如非有 理b 样条曲线在菜参数值处不连续，而在它的投影n u r b s 曲线却是连续的，这说明 第三章b n u r b s 曲线 i i 面理论分析 两者的联系还需从理论上进一步的探索。 3 1 3 有理基函数具有的性质 如同b 样条基函数，有理基函数具：1 ) 非负性；2 ) 单位分解性：3 ) 唯一最值；4 ) 局部支集性： 以上五个性质都相应在有理基函数的图象上有直观的表现，所提供的有理基函 数由结点向量u = 0 ，0 ，0 ，0 2 5 ，0 5 ，0 5 ，1 ，1 ，1 ) 及权因子w = l ，l ，1 ，2 ，3 ，5 ) 时的 图象，下图中红色曲线为有理基函数恐：( “) 的图象，形成尖点是由于结点向量中结 点0 5 的重复度为2 造成的。 图3 1 6 ) 在一个结点支撑内部，r 。( “) 是一个分母不为零的有理函数，因而它存在各 阶导数，在一个结点处，r i 。( “) 是k r 次连续可微的，此处，是该结点的重复度。 7 ) 基函数。( “) 是有理基函数r i 。( “) 的特殊情形，事实上，只须取所有的权因 子巧为同一个非零正常数，则可知r j 。( “) _ n i 。( “) ，对一切，均成立。 其中，关于有理基函数尺，。( “) 的微分结果如下： 设r 。( “) 为有理基函数量。( “) 的m 阶导数，下面列出基一次及二次导数形式如下： m ( 。，：霉盟一兰兰! 霉：! 薹! 兰! ! ! ! ! 。， q j 。( “)( q ，。( “) ) 2 n u r b s 离散数据理论分析与应用 置2 ( “) = 0 7 i _ ：| ；( “) d 7 i n i ， ( “) 月 2 f 口i n i , k ( | ) ( “) q f ，i ”( “) + q m ，i ) q j ，t 2 ( “) ( q j ，。( “) ) 2 9 0 ( 3 5 ) 2 q f 女( “) 匹a r n 。( o ( “) 】2 + 百鲤一 【q ( “) r i = 0 其中，e