（基础数学专业论文）on+the+siegeltatuzawa+theorem.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以一求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： 日期： a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yt h eu p p e rb o u n de s t i m a t eo fl ( x ，x ) o fl o u b o u t i n 【2 2 】，【2 3 a n dt h er e s i d u ea ts = 1o ft h ed e d e k i n dz e t af u n c t i o no fa na l g e b r a i cn u m b e rf i e l d 酉v e nb yj ia n dl u1 2 1 t o 咖d yt h el o w e rb o u n do f r e a lp r i m i t i v ed i n c h l e tl - f i m c t i o n a ts = 1 i nc h a p t e ro n e ，w ep r e s e n ts o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ，n o t i o n sa n df a c t st h a tw i l lb e u s e dl a t e ri nt h i sp a p e r ，a n dw eg i v ea l le s t i m a t eo f ( ( ) i nc h a p t e rt w o ，w eu s et h ee s t i m a t eo f ( ( ) t oo b t a i na ne s t i m a t eo fl ( 1 ，x ) i f l ( s ，x ) h a sn oz e r oi ns o m ei n t e r v a l ，t h e nw eg i v es o m el e m n m sh a v i n gb e e np r o v e d b e f o r e ，w h i c hw i l lb eu s e dl a t e ri nt h ep r o o fo ft h e o r e m3 2 i nc h a p t e rt h r e e w ea p p l yt h el e m m a si nc h a p t e rt w oa n ds o m ea r i t h m e t i ct h e o r y o fb i q u a d r a t i cn u m b e rf i e l dt og e tan e wl o w e rb o u n do fr e a lp r i m i t i v el - f u n c t i o na t 8 = 1 i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rt h ee x c e p t i o n a lq u a d r a t i cn u m b e rf i e l di nt h e o r e m 3 2b ei m 趔i l a r yq u a d r a t i cn u m b e rf i e l dw i t hc l a s sn u m b e rh 0a n dg i v ea n o t h e rl o w e r b o u n do fr e a lp r i m i t i v el - f u n c t i o na ts = 1w i t hr e s p e c tt o7 如 k e y w o r d s ：d i r i c h l e tl - f u n c t i o n ；r e a lz e r o e s ；q u a d r a t i cn u m b e rf i e l d s ； r e a lp r i m i t i v ed i r i c h l e tc h a r a c t e r 2 摘要 在此论文中，我们应用l o u b o u t i n 对于“1 ，x ) 上界的估计以及纪 春岗和陆洪文对d e d c k i n dz e t a 函数在s = 1 处留数的估计给出了对 于实本原d i r i c h l e t 特征x ，l ( 1 ，x ) 较好的下界 在第一章中，作为预备知识，我们给出了一些将在论文中用到 的基本定义、记号和常用结果，并且给出了( ( ) 的估计。 在第二章中，我们利用了( ( ；) 的估计给出了当l ( s ，x ) 在接近于1 的某一区间无零点时对l ( 1 ，x ) 的估计同时，列出了对于定理3 2 的证明将要引用的若干引理。 在第三章中，我们运用第二章中的引理以及双二次域的算术理 论得到了对于实本原d i r i c h l e t 特征x ，l ( 1 ，x ) 较好的下界 在第四章中，对于定理3 2 ，如果其中例外的域存在并且是虚二 次域，我们给出对于实本原d i r i c h l e t 特征配l ( 1 ，x ) 另一种形式的下 界，并且是用该虚二次域的类数来表示的。 关键词：d i r i c h l e tl - 函数；实零点；二次数域；实本原d i r i c h l c t 特征。 p r e f a c e l e txb eap r i m i t i v ed i r i c h l o tc h a r a c t e rm o d u l o ( 1 ) i ti sw e l lk n o w nt h a ti f 工( s ，x ) h a sn oz e r oi nt h ei n t e r v a l ( 1 一c 1 l o g k ，1 ) ，t h e nl ( 1 ，x ) c 2 l o g k ，w h e r ec l a n d0 2a r ep o s i t i v ec o n s t a n t sa n dc 2d e p e n d su p o nc l ( s e el e m m a2 2 ) ，h o w e v e r ， l ( s ，x ) h a sa r e a lz e r oc l o s et o1 ，t h eo n l yn o n - t r i v i a ll o w e rb o u n d st h a ta r ek n o w nf o r l 0 ，x ) a r ei n e f f e c t i v e s i e g e l 【1 】 f o re x a m p l e ，p r o v e dt h a ti fx i sar e a lp r i m i t i v ed i r i c h l e tc h a r a c t e rm o d u l o k ，t h e n f o ra n y f o 即，x ) 警， w h e r ec ( ) i s8 醯i n e f f e c t i v ec o n s t a n td e p e n d i n gu p o ne a f t e rt h a te s t c r m a n a1 2 1 ， c h o w l a 【3 】，g o l d f e l d 【4 】h a v eg i v e nt h es i m p l ep r o o f so fs i e g e l 8r e s u l t ，r e s p e c t i v e l y t a t u z a w a 【5 】p r o v e dt h a tl e t0 e 渤1 ，a n dxb ear e a lp r i m i t i v ed i r i c h l e t c h a r a c t e rm o d u l o w h i c hi sg r e a t e rt h a ne l ，t h e nw i t ha tm o s to n ee x c e p t i o n ， l ( 1 ，x ) 1 0 6 5 r 5 6 w ec a l lt h et w os i e g e l - t a t u z a w at h e o r e m s i e g e l st h e o r e mw a st h ec u l m i n a t i o no fas e r i e so fd i s c o v e r i e sb ys e v e r a lm a t h e - m a t i c i a n s t h ep r o b l e mo fp r o v i n gt h a th ( d ) _ o oa sd _ 一o o ( w h e r eh ( d ) d e n o t e s t h ec l a s sn u m b e ro ft h ei m a g i n a r yq u a d r a t i cn u m b e rf i e l dq ( 倜) ，o re v e no fp r o v i n g t h a t ( d ) 2i f - di ss u f f i c i e n t l yl a r g e ，w a sp r o p o u n d e db yg a u s s ，b u tn op r o g r e s sw a s m a d eu n t i lm o d e r nt i m e s h e o k e 6 】p r o v e dt h a ti ft h ei n e q u a l i t y 卢 c 4 l d l i l 1 0 9i d i i np a r t i c u l a rt h i sc o n c l u s i o nw o u l df o l l o wf r o mt h eg e n e r a l i z e d r i e m a n nh y p o t h e s i s i n1 9 3 3 ，d e u r i n g 【7 1p r o v e dt h eu n e x p c c t e dr e s u l tt h a tt h ef a l s i t yo ft h ec l a s s i c a l r i c r n a n nh y p o t h e s i sf o re ( s ) i m p l i e st h a t 危( d ) 2i f di ss u f f i c i e n t l yl a r g e ，a n d s h o r t l ya f t e r w a r dm o r d e u 【8 1p r o v e dt h a tt h i sa s s u m p t i o na l s oi m p l i e st h a t ( d ) _ o o 船d _ 一o o t h e i r w o r k w a sb a s e do n8s t u d yo f t h e b e h a v i o r a sd 一+ 一，o f 0 ( x ，g ) ， o ， w h e r eqr u 璐t h r o u g har e p r e s e n t a t i v es e to ff o r m so fd i s c r i m i n a n td i n1 9 3 4 ，h e i l b r o n n 9 1t o o kaf u r t h e ri m p o r t a n ts t e pf o r w a r d h ep r o v e dt h a tt h e 如z s 蚴o ft h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i si i n p l i e st h a t ( 回_ o 。够d _ 一o o c o m b i n e dw i t ht h er e s u l to fh e c k e ，t h i sg a v ea l lu n c o n d i t i o n a lp r o o ft h a th ( d ) _ o 。a s d _ 一o o a n ds os o l v e dt h ef i r s to n eo fg a u s s c o n j e c t u r e so nt h ei m a g i n a r yq u a d r a t i c n u m b e rf i e l d s a l s oi n1 9 3 4 ，h e i l b r o n na n dl i n f o o t 【l o p r o v e dt h a tt h e r ea r ca tm o s tt e nn e g a t i v e d i s c r i m i n a n t sdf o rw h i c hh ( d ) = 1 a sn i n es u c hdw e r ek n o w n ， 一3 ，一4 ，一7 ，一8 ，- 1 1 ，- 1 9 ，- 4 3 ，- 6 7 ，- 1 6 3 t h eq u e s t i o nw a sw h e t h e rt h e r ei sat e n t hs u c hd i s e r i m i n a n t i ft h e r ew e r e t h e nt h e l - f u n c t i o nl ( s ，x d ) w o u l dh a v ear 幽z e t o 卢l a r g e rt h a n ；i n1 9 6 6 ，b a k e r 1 1 】a n d s t a r k 【1 2 1p r o v e di n d e p e n d e n t l yt h a tt h e r ei sn os u c ht e n t hd i s c r i m i n a n t b a k e rn o t e d t h a th i sh m d a m e n t a lt h e o r e mi nt r a n s c e n d e n c et h e o r yp r o v i d e sas o l u t i o no ft h i sc l a s s n u m b e rp r o b l e mi nv i e wo fe a r l i e rw o r ko fg e l f o n da n dl i n n i k s t a r kw a si n s p i r e d b yap a p e ro fh e c g n c r 1 3 】i nw h i c he l l i p t i cm o d u l a rf u n c t i o n sw e r eu s e dt os h o w 5 t h a tt h e r ei sn ot e n t hd i s c r i m i n a n tw i t hc l a a sn u m b e r1 i tw a sl o n gt h o u g h tt h a t h e e g n e r sa r g u m e n tw 船i n c o m p l e t e p a r t l yb e c a u s ei t8 e e 1 st 0d e p e n do na l lu n p r o v e d c o n j e c t u r e o f w e b e r h o w e v e r ，i n r e t r o s p e c t i t h a s n o w b e e n f o u n d t h a t h e e g n e r s p r o o f i se s s e n t i a l l yc o r r e c t ；t h eo b s c u r ed e t a i l sh a v eb e e nd a r i f i e db yd e u r i n g 【1 4 a n ds t a r k 1 5 j s ot h e r ee x s i te x a c t l yn i n ei m a g i n a r yn u m b e rf i e l d sw i t hc l a s sn u m b e ro n e ，w h i c h i sc 删h e e g n c r - b a k e r - s t a r kt h e o r e mg e n e r a u y i n1 9 7 1 ，b a k e ra n ds t a r kf o u n d 【1 6 a l lq u a d r a t i cd i s c r i m i n a n t sd 0f o rw h i c h ( d ) = 2 ，b u tf o r 九( d ) = 3t h ep r o b l e mo ff i n d i n ga l ls u c hdw a so p e nt h e n t h e f a c tt h a ti th a sn o tb e e np o s s i b l et of i n da l ls u c hd ，o rt or e d u c et h ep r o b l e mt oo n e o fc o m p u t a t i o n ，r e f l e c t st h ef a c tt h a tt h em o r ep o w e r f u la r g u m e n t st h a th a v eb e e n d e v e l o p e df o rt h i sp r o b l e ma r eo fa ni n d i r e c tc h a r a c t e r t h e ni n1 9 7 6g o l d f e l d 【l j 7 】 u s e dt h eb s dc o n j e e t u r eo ne l l i p t i cc u r v et ot h ep r o b l e mo nt h ec k 稻n u m b e r s o n t h eb a s eo ft h er e s u l to fg o l d f e l d ，i n1 9 8 3 ，t h el a s tp a r to fg a u s s c o n j e c t u r e so nt h e i m a g i n a r yq u a d r a t i cn u m b e r 矗e l d sw a ss o l v e db yg r o s sa n dz a g i e r 【i s ，w h i c hw ec a l l e d g o l d f e l d - g r o s s - z a g i e rt h e o r e m i tw o u l dl i k et op o i n to u tt h a tt h e s et w of a m o u sw o r k s h a v eb e e na w a r d e df i e l d sm e d a lo f1 9 7 0a n dc o l ep r i z eo f1 9 8 7r e s p e c t i v e l y s ot h i s e n d e dt h es o l u t i o no fg a u s s c o n j e c t u r e so nt h ei m a g i n a r yq u a d r a t i cn u m b e rf i e l d s g a u s s c o n j e c t u r eo nt h er e a lq u a d r a t i cn u m b e rf i e l d sh a sn o tb e e ns o l v e du n t i l n o w t h ek e yd i f f i c u l t yi st h er e g u l a t o rl o g c d ( w h e r e dd e n o t e st h ef u n d a m e n t a lu n i t o fr e a lq u a d r a t i cn u m b e rf i e l dq ( 狮) ) t h a ti sb e c a u s e l o g ( h ( d ) 1 0 96 d ) 一互11 0 9 d ，d - 。e o b ys i e g e l - t a t u z a w at h e o r e m ，w h e r e ( d ) i st h ec l a s sn u m b e ra n ddi st h ed i c r i m i n a n t o f q ( 内 。 6 a l s ob ys i e g e l - t a t u w at h e o r e mw eh a v e ( d ) _ c oa sd _ 一( w h e r eh ( d ) d e n o t e st h ec l a s sn u m b e ro ft h ei m a g i n a r yq u a d r a t i cm l m b e rf i e l dq ( 询) m a n yh a v e i m p r o v e du p o ns i e g e l - t a t u z a w at h e o r e m h o f f s t e i n 【1 9 】p r o v e dt h a tl e t0 e 曲 志，志 l u1 2 s jp r o v e dt h a tl e t0 e 蛐 志，静 l ua n dj i 【2 0 】p r o v e dt h a tl e t0 e l i n 而杀，下1 8 2 3 6 e ， j i a n d l u 2 1 】p r o v e d t h a t l e t 0 e i i l i n 丽蕊1 面，下3 2 2 6 0 e ， i nt h i sp a p e rw eg e tan e wr e s u l t ： t h e o r e m3 2l e t0 f 0 a n ds u p p o s et h ee x c e p t i o n a lq u a d r a t i cf i e l di n t h ea b o v et h e o r e mi si m a g i n a r yw i t hc l a s sn u m b e rh o f o ra n y 矾h e rd i s c r i m i n a n td k = f d i ，t h ef o l l o w i n gh o l d s ： 印 x ) l i n 而杀，藤丽蠢蒜 t h i si m p l i e sl a r g ev a l u e sf o ra l ll ( 1 ，x ) i ft h e r ee x s i t sj u s to n ei m a g i n a r yq u a d r a t i c f i e l dw i t hal a r g ed i s c r i m i n a n ta n ds m a l lc l a s sn u m b e r 8 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w ep r e s e n ts o m e b a s i ck n o w l e d g ew h i c hw i l lb ec o m m o n l yu s e di nt h i s i ib a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so fr i e m a n nz e t af u n c t i o n d e f i n i t i o n1 1 1 t h ee u l e rg a m m af u n c t i o nr ( s ) i sd e f i n e db yt h ee q u a t i o n 南= s 里o oc + 护加， w h e r e7i se u l e r sc o n s t a n t i ti so b v i o u s l yt h a ti r ( s ) i = l r ( i ) l 。 r e m a r ki i 2 i tf o l l o w sf r o m t h ed e f i n i t i o na n ds o m et h e o r e m si nc h a p t e r2o f 2 4 】 t h a tr - 1 ( s ) i sa ne n t i r ef u n c t i o no fo r d e ra tm o s to n e m o r e o v e r ，r ( s ) i sa 丑a n a l y t i c f u n c t i o ni nt h ee n t i r es - p l a n ee x c e p tf o rt h ep o i n t8 = 0 ，- 1 ，- 2 ，w h e r ei th a ss i m p l e p o l e s w en o wf o r m u l a t e8 0 h l ef t m d a m e n t a lp r o p e r t i e so fr ( s ) ： a ( e u l e r sf o r m u l a ) r ( s ) ：；最( 蚓1 + 一8 b y t h i s w cg e t b ( f u n c t i o n a le q u a t i o n ) r ( s ) 2 熙 ! ：塾堕二1 2 壁 8 ( 8 + 1 ) 0 + n 一1 ) r ( 8 + 1 ) = s r ( 8 ) c ( d u p l i c a t i o ne q u a t i o n ，l e g e n d r e ) r ( 2 s ) r ( ；) = 2 2 , - l r ( s ) r ( s + ；) 9 d ( i n t e g r a lf o r m u l a ) f o rr es 0 ， r ( s ) = f e j f a d d i t i o nf o r m u l a ) f o ra n yn u m b e r8 cn o ta ni n t e g e r i np a r t i c u l a r ，r ( ) = 何 r ( s ) r ( 1 一s ) = 志 d e f i n i t i o n1 1 3 f o rr e8 ；叮 1 ，t h er i e m a n nz e t af u n c t i o n ( ( s ) i sd e f i n e db y m ，= 薹嘉 r e m a r k1 1 4 i tf o l l o w sf r o mt h ed e f i n i t i o nt h a t ( 0 ) i sa na n a l y t i cf u n c t i o ni nt h e h a l f - p l a n er e8 1 w en o wf o r m u l a t et h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so f ( ( s ) ： d ( t h ee u l e rp r o d u c t ) f o rr es 1 ，w eh a v e 1 扛f o r r e8 0a n d n 1 ，w eh a v e ，= 耋刍+ 五n l - s1 1 v a + s f 等砒， w h e r e 反“) = ；一 u ) t h e nw ec a ne x t e n d ( ( 8 ) t ot h eh a l f - p l a n er es 0 t h e n ( ( s ) i sa na n a l y t i cf u n c t i o ni nt h eh a l f - p l a n er e8 0 e x c e p ta tt h ep o i n ts = 1 a tt h e p o i n ts = lt h ef u n c t i o n ( ( 8 ) h a sas i m p l ep o l ew i t hr e s i d u ee q u a lt o1 ， c ( f u n c t i o n a le q u a t i o no ft h ez e t af u n c t i o n ) 7 r a 2 r ( 扣$ ) = 霄一( 1 叫2 r ( 1 - - r 8 ) ( ( 1 一s ) b yt h i sw ec a l le x t e n dc ( s ) t ot h ee n t i r es - p l a n e ，t h e n ( ( s ) i sa na n a l y t i cf u n c t i o ni n t h ee n t i r es - p l a n ee x c e p ta tt h ep o i n ts = 1 a tt h ep o i n t8 = 1c ( s 1h a sas i m p l ep o l e w i t hr e s i d u ee q u a lt o1 d b yt h ef u n c t i o n a le q u a t i o no ft h ez e t af u n c t i o nw eh a v et h e z e t af u n c t i o ni se q u a l t o0a ts = 一2 ，一4 ，- - 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( 犯= l ，2 ，) ， w h e r e 风i sb e r n o u l l in u m b e r ： 上：一b n t n 两2 幺可。 i np a r t i c u l a r ，风= 1 ，b 1 = 一；，口2 = ，b 3 = 0 ，b 4 = 一刍，既= 0 ，b 6 = 一矗， g f o ra n y t r ，( ( 1 + i t ) 0 l e m m a1 1 ( s e e 【2 0 ，l e m m a1 】) f o rr i e m a n nz e t af u n c t i o n ( ( s ) ，w eh a v e ( i - 2 i - 一) ( 扣差譬，一， i np a r t i c u l a r ( ( ) 1 3 4 2 1 p r o o f i n 【2 0 h o n g - w e nl ua n dc h u n - g a n g j ig a v et h er e s u l t ，b u td i d n tg i v et h e p r o o f n o ww eg i v et h ep r o o li ti sc l e a rt h a t ( 1 - 2 1 - s 2 1 - s ) ( ( 3 ) ；妻譬侧s 1 = 号 ，r e ( s 1 啦南薹譬 8 + 2 以，, i 。狐1 怕怕 。广l 卜虿十而一瓦十面一丽 行以1何瓶瓶 + 面一丽+ 一2 4 3 一一1 0 0 0 十1 3 3 18 6 4 、1 3、1 4 、1 5 1 1 7 、 十2 1 9 7 一2 7 4 4 + 3 3 7 5 一1 0 2 4 - 1 - 石蓟j j 1 5 4 6 9 1 8 2 ( 1 0 1 7 6 7 7 6 6 + 0 0 6 4 1 5 0 1 0 0 3 1 2 5 + 0 0 1 7 8 8 8 6 0 0 1 1 3 4 0 2 + 0 0 0 7 7 1 3 6 0 0 0 5 5 2 4 2 + 0 0 0 4 1 1 5 3 0 0 0 3 1 6 2 2 + 0 0 0 2 4 9 1 9 - 0 0 0 2 0 0 4 6 + 0 0 0 1 6 4 1 2 0 0 0 1 3 6 3 5 + 0 0 0 1 1 4 7 6 一o 0 0 0 9 7 6 5 + 0 0 0 0 8 3 9 3 1 = 1 5 4 6 9 1 8 2x0 8 6 7 5 8 9 8 1 r e m a r k1 3 2 i tf o l l o w sf r o mt h ef a c tt h a ti x ( n ) is1t h a tl ( s ，x ) i sa n a l y t i ci nt h e h a l f - p l a n er es 1 w h e n = 1 ，l ( s ，x ) = ( ( s ) w en o wf o r m u l a t et h ef u n d a m e n t a l p r o p e r t i e so fl ( s ，x ) ： 1 4 n ( t h ee u l e rp r o d u c t ) f o r r es 1 ，w h a v e = ( 1 - 等) _ 1 t h e nl ( s ，x ) 0f o rr e8 1 b l e tx ( n ) = x o ( n ) m o d u l ok ，f o r r e8 1 w eh a v e 工( 训= ( ( 引， ( 1 一扩1 - p 忙a n dp i sp r i m e t h e nl ( 8 ，x 0 ) i sa l la n a l y t i cf u n c t i o ni nt h ee n t i r es - p l a n ee x c e p ta tt h e p o i n ts = 1 ， w h e r ei th a sas i m p l ep o l ew i t hr c s i d u ee q u a lt o 瑰 卜矿1 n l ka n d pp r i m e i 8 c l e tx x o ，f o rr e8 0 w eh a v e l ( s ，x ) = s s ( x ) z - 1 出， w h e r es ( x ) = x ( n ) t h e nw ec a ne x t e n dl ( 8 ，x ) t ot h eh a l f - p l a n er e8 0 ，t h e n l ( 8 ，x ) i 8a na n a l y t i cf u n c t i o ni nt h eh a l f - p l a n er es 0 d ( f u n c t i o n a le q u a t i o no ft h ed i r i c h l c tl - f u n c t i o n ) l e txb eap r i m i t i v ec h a r a c t e r m o d u l ok ，w ed e f i n e t