（基础数学专业论文）pu（21）的kleinian子群的正规化子及高维mobius群的离散准则.pdf

p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 群的离散准刚 中文提要 中文提要 m s b i u s 群理论的发展已有一百多年的历史，至今仍是主流数学的一个活 跃分支，它在很多领域都有重要的应用许多著名的数学家，如l v a h l f o r s 、 f w g e h r 堍f k l e i n 、h p o i n c a r d 、d s u l l i v a n ，w p t h u r s t o n 、p t u k i a 等 对这一理论进行了深刻的研究近年来，双曲流型的个自然延伸，复双曲 流形，得到越来越广泛的关注 复双曲流形上的等矩群是离散群的一个延伸，其离散准则，特别是2 维 的情况，是人们目前研究的主要对象，如f 2 ，6 ，7 】等，都是这方面的工作 个双曲模型上的非初等的离散m 6 b i u s 群的正规化子的离散性与对应的双 曲流形上的等矩群的有限性有着密切的联系，见【1 0 】正规化子是群最基本 的代数扩张，它能否保持群的拓扑性质，是很自然而有趣的问题因此正规 化子的离散性是一个十分重要的问题! 离散m 6 b i u s 群与r i e m a n n 曲面及双曲流形之间的联系、群的离散准则以 及群列与其代数极限之间的关系的研究都是m i ；b i t m 群理论研究中的基本问 题本文尝试利用新的方法探讨二元生成群的离散准则 在第1 节中，我们研究了p u ( 2 ，1 ) 的非初等离散子群的正规化子的离散 性给出了复2 维复双曲空间上非初等离散群的正规化子离散的“维数条 件一，即：p u ( 2 ，1 ) 的非初等离散子群g 且d i m l ( g ) = 3 ( 见第1 节) ，则g 的正规化子是离散的我们用一个例子说明这个维数条件是不可减弱的 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 于群的正规化子及高维m s b i u s 群的离散准剐 中文提要 在第2 节中，我们研究了高维m s b i u s 变换群中的非初等的二元生成群 的离散准则，其中主要讨论的是其中个是斜驶元的情况在讨论中我们改 进了在a b a s m a j i a n 与r m i n e r 在【2 1 中处理复2 维情形的这类问题的方法， 并将他们的稳定盆思想推广到实高维的情形，获得了一些有趣的结果 关键词：m s b i u s 群，离散群，正规化子，复双曲空间 i i 作者：黄华鹰 指导老师。陈敏 n o r m a l i z e ro fk l e i n i a ns u b g r o u po fp u ( 2 ，1 ) a n dd i s c r e t e n e s s a b s t r a c t 。n o r m a l i z e ro fk l e i n i a ns u b g r o u po fp u ( 2 ，1 ) a n dd i s c r e t e n e s so fm s b i u sg r o u p si nh i g hd i m e n s i o n s a b s t r a c t m 6 b i n sg r o u pt h e o r yh a sb e e ns t u d i e df o ro v e rah u n d r e dy e a r s i th a sl o t s o fa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s n o w a d a y s ，a sa ne x t e n s i o no fh y p e r b o l i cm a n i f o l d s ， c o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l d si sc o n c e r n e dm o r ea n dm o r e t h ed i s c r e t e n e s so ft h ei s o m e t r yg r o u po fc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e ，e s p e c i a l l y , c o m p l e x2 - d i m e n s i o n ，i sa r e m a r k a b l ef i e l dp e o p l es t u d i e di n t h e r ea r es i g m f i c a n tc o n - n e c t i o n sb e t w e e nn o r m a l i z e ro ft h ek l e i n i a us u b g r o u p so fc o m p l e xh y p e r b o l i cm o d e l a n dt h ei s o m e t r yg r o u po nc o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l d s t h ed i s c r e t e n e s so fn o r m a l - i z e ri sa ns i g n i f i c a n to b j e c t t h e r ea r er e m a r k a b l ec o n n e c t i o n sa m o n gd i s c r e t eg r o u p s ，r i e m a u ns u r f a c e sa n d h y p e r b o l i cm a n i f o l d s a sa ni n d i s p e n s a b l ep a r to fm 6 b i u sg r o u p st h e o r y , t h ed i s c r e t e - n e s so fm 6 b i n sg r o u p si sa ni m p o r t a n tp r o b l e mm a n yw o r k e r sc o n c e r n e d w et r yt o d i s c u s 8t h i sp r o b l e mb yu s i n gn e wm e t h o d i ns e c t i o n1 ，w ec o n s i d e rt h ed i s c r e t e n e s so ft h en o n n a l i z e ro fak l e m i a us u b g r o u p o fp u ( 2 ，1 ) w eg i v e ”t h ec o n d i t i o no fd i m e n s i o n f o rt h en o r m a l i z e ro fak l e i n i a n s u b g r o u pi nc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c eo fc o m p l e x2 - d i m e n s i o nt ob ed i s c r e t e t h a tj s i fgi san o n - e l e m e n t a r y , d i s c r e t es u b g r o u po fp u ( 2 ，1 ) a n dd i i nl ( g ) = 3 ，t h e nt h e n o r m a l i z e rno fgi sd i s c r e t ei np u ( 2 ，1 ) f i n a l l y , w eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a t ”t h ec o n d i t i o n o fd i m e n s i o n c 8 nn o tb ew e a k e n i ns e c t i o n2 ，w et r yt of i n dt h en e c e 唧c o n d i t i o nf o ran o n - e l e m e n t m tt w o i i i n o r m a l i z e ro fk l e i n i a us u b g r o u po fp u ( 2 ，1 ) a n dd i s c r e t e n e s s a b s t r a c t g e n e r a t o rm 6 b i u sg r o u p st ob ed i s c r e t e w em a i n l y d i s c u s st h ec a s et h a to n eg e n e r a t o r i sl o x o d r o m i c b yi m p r o v i n gt h es t a b l eb a s i nt h e o r e mi n 【2 】t oh i g hd i m e n s i o nr e a l h y p e r b o l i cs p a c e 明h a v e8 0 m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s k e y w o r d s ：m 6 b i u sg r o u p s ，d i s c r e t eg r o u p s ，n o r m a l i z e r ，c o m p l e xh y p e r - b o l i cs p a c e s i v w r i t t e nb yh u a n gh u a y i n g s u p e r v i s e db yp r o f c h e nm i n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经淀明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体融经发表或撰写过的研究成果，也不禽为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：遗星璺日期；鱼避堡盟p 醢 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国辩学技术信息研究所、国家睫书馆、清华大学论文会 作部、申匿社科院文献信怠情报中心有权保留本入羼送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采雳影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名；董呈豇毽期：翟趟基狴骚 导师签名：芒垒丝日期： p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 群的离散准则 引言 引言 十九世纪中期，m s b i u s ，l i o u v i l l e ，r i e m a n n 等开始了对m 6 b i u s 变换群的研 究，它与r i e m a n n 曲面、双曲流形之间的联系使之后的数学家对m 6 b i u s 群理 论产生了浓厚的兴趣，许多著名的数学家，如l v a h l f o r 8 f w g e h r i n g ， f k l e i n ：h p o i n c a r d ，d s u l l i v a n ，w p t h u r s t o n 、p t u k i a 等对这一理论进 行了深刻的研究，对它的发展作出了巨大的贡献今天，作为主流数学中的 一个活跃分支，m 6 b i u s 群理论发展仍然具有蓬勃的生命力! 它在周边科学 中的应用也充分体现了其实用价值，如超弦理论利用了m 6 b i u s 群与流形之 间的关系 复双曲流形是双曲r i e m a n n 面的延伸，它与实双曲空间有着很多相似的 内容，然而复双曲流形上的结构远远复杂于实双曲流形 1 9 1 5 - 1 9 2 1 年问， 受z p i c a r d 思想的影响。g g i r a u d 对复2 维双曲空间作了大量初步的研究工 作，随着遍历理论，l i e 群的发展，实高维m 6 b i u s 群理论，复分析，r i e m a n n 几 何，辛几何，负曲率空间等各方面内容都有了很大的发展，为复双曲空间理论 的发展建立了重要基础1 9 8 0 年，g d m o s t o w 构造了复2 维双曲空间上一类 多面体，其非算术格的几何构造影响了此后的很多研究者，而复2 维双曲空 间上基本群的构造也吸引了大批数学家，如m d e r a u x ，e f a l b e l ，w m g o l d m 蛆 等在这个方面都有成功的工作e c a r t a n ( 1 9 3 2 ) 关于h e i s e r b e r g 几何的论 文在1 9 8 4 年的发表为复双曲空间上等距群的研究提供了另一重要途径，而 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a u 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 群的离敢准则 引言 复双曲空间的h e i s e r b e r g 结构极大地丰富了复双曲空间的内容 1 9 8 7 年， w m g o l d m a n 与j j m i l l s o n 发表的复双曲空间上的离散群的局部刚性，使复 双曲空间上的刚性理论有了巨大的发展，然而由于复双曲空间的复杂性，形 变理论并没有m 6 b i u s 群形变理论那样的显著成果1 9 9 2 年，w g o l d m a n 与 j p a r k e r 发表复双曲理想三角形群后，数学家们开始致力于三角形群的形变 理论，e f a l b e l ，r s c h w a r z 先后在此领域作了研究同时在群的离散准则研究 上，也取得了相应的进展1 9 9 8 年，a b a s m a j i a n 与r m i n e r 用稳定盆的几 何思想给出了p u ( 2 ，1 ) 的二元生成群的离散准则，蒋月评，s k a m i y a ，j p a r k e r 等对其作了推广，他们还将j c g e n s e n 不等式推广到了p u ( 2 ，1 ) ，此类工作可见 1 6 ，7 】在2 0 0 2 年国际数学家大会上r s c h w a r z 关于复双曲三角形群形变成果 的作了详细的报告，表明了复双曲几何是个非常活跃，非常重要的研究领 域，并具有广阔的发展前景 另一方面，离散m 6 b i u s 群的研究与r i e m a n n 曲面，双曲流形理论有着密 切的联系1 8 8 3 年，h p o i n c a r d ，f k l e i n 给出了k l e i n - p o i n c a r d 致定理。直接 说明在2 维时，除几种个别情况，所有的r i e m a u n 曲面都共形等价于b 2 r 形式的曲面，其中r 是一个保持单位圆盘不变的无挠离散m 6 b i u s 群这个 基本定理是r i e m a n n 曲面、t e i c h m h l l e r 空间和复动力系统等理论中的一个 重要基础p o i n c a r d 时代的数学家对高于3 维的m 6 b i u s 变换群缺乏足够的 兴趣，直到上世纪3 0 年代，e h o p f 将遍历理论推广到n 维f u c h s 群，为高 维m 6 b i u s 群的研究提供了一个基础，随着对k l e i n 群和t e i c h m i l l e r 空间的兴 趣的不断增加，在高维m 6 b i u s 群理论上取得了很大进展，其中m 0 6 t o w 的刚 性定理是最为著名的成果之一! 这一结果在1 9 6 8 年由g d m o r r o w 发表后，“ 2 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m s b i u s 群的离散准则 引育 先后由s a g a r d 、d s u l l i v a n 、p t u k i a 和陈敏等给予了推广此外，八十年 代，w p t h u r s t o n 在3 维流形上的工作以及a h l f o r s 利用c l i f f o r d 代数研究高 维m 6 b i u s 群的工作，使得高维m s b i u s 群的研究非常活跃 在本文的第1 节中，我们考虑了p u ( 2 ，1 ) 的非初等，离散子群的正规化 子的离散性对于实双曲流形形如m = b “r ，n 是r 的正规化子，m 上的等 距群，( d 同构于r ! 这方面的工作可见【1 0 j 因此，作为群最基本的代 数扩张，正规化子的离散性一直是人们关注的问题b m a s k i t 在【9 】中证明 了m ( r 2 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子的离散性在高维的情形，j g r a t c l i f f e 证明了m ( 伊) 的一个有限生成的非初等离散群g ，如果g 不能保持任何低 于n 1 维伊的子空间不动，则g 的正规化子在m ( 伊) 中离散我们注意到 p u ( 2 ，1 ) 的元素特殊性质，给出了其非初等，离散子群的正规化子的离散条 件，主要结果如下： 定理1 设g 是p u ( 2 ，1 ) 中非初等的离散子群，d i m 工( g ) ；3 ，则g 的正 规化子n 是离散的 一 这里d a n l ( g ) = 3 是指g 的极限点集的上方向量张成空间的维数这个 维数是不可减弱的，我们用一个例子来说明，用p u ( 1 ，1 ) 中的元延拓成p u ( 2 ，1 ) 的元素，来构造p u ( 2 ，1 ) 的子群，使锝它是非初等的，离散的，极限点集的 上方向量张成的空间的维数是2 ，而它的正规化子不离散 在对m 6 b i u s 群理论的研究中，群的离散准则一直是人们关注的基本问 题在本文第2 节中，我们用纯几何的思想探讨了高维m s b i u s 群中二元生 成群的离散准则1 9 7 6 年，t j o r g e n s e n 建立了著名的j c r g e n s e n 不等式： 3 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 群的高散准刖 引盲 定理a 设， g 是两个m s b i u s 变换，它们的生成群离散，非初等，则 i t r 2 ( f ) 一4 i + i t r b e , g l 一2 i2 1 1 9 8 9 年，m a r t i n 用l i e 群的方法将其推广到任意维数，其矩阵表示结果如 下： 定理b ( s l ，c o r o l l a r y3 4 ) 设ab o + ( 1 ，1 ) ，它们的生成群离散，则 m 舣 l l a 一1 r i l l ，l i b i d l l 2 一、5 ， 除非( a ，b ) 是初等的幂零群 而1 9 9 8 年，a b a s m 8 j i a a 与r m i n e r 在复2 维双曲空间的等距群p u ( 2 ，1 ) 上用稳定盆的概念，构造序列，使其不动点序列收敛到稳定盆内的点，从而 使得序列收敛的几何思想为二元生成群的离散准则提供了另一重要方法， 其结果如下： 定理c ( 【2 】，t h e o r e m9 1 ) 设f , g p u ( 2 ，1 ) 是斜驶元或椭圆元，口，r ， ，白分别是，g 的不动点如果在稳定域中存在一点( r ，r ，0 ，使得 l 【町，r ，b 】i 一， 且 m a x i a c f ) 一1 1 ，i a ( 9 ) 一i i 0 ，a ，b o ( ，1 ) ，口，r ，吩，白分别是， g 的不动点，如 果存在0 r 去，使得h ，r ，勺l r 2 ，且 伽 i i a a x l l ，0 b 1 1 1 ) e ( r ) ， 其中 ； s ( r ) = 丌7 丽j ( 1 - 而3 r 再s ) 2 盯习i ， ( 1 ) 则u 计初等，或者非离散 定理2 中的交比指 j 口，r ，a e , r o i = 瓦 a ! i - i a 而g l l i r ! ：- 习r g l ( 【3 】，( 3 6 2 ) ) 等式( 1 ) 意味着( r ，r ，) 是稳定球域( 见第2 节定义) 内一点，其取值可见 表1 如取r = 0 1 5 ，则e ( r ) 圭0 9 1 1 而且r 取得越小，( r ) 就越大在实双曲 空间内我们用e u c l i d e a n 距离代替了定理b 中的c y g a n 度量，得到了更好的 结论，稳定域的取值可以有力地说明了这点另一方面，我们的结果又有别 于m a r t i n 的矩阵表示结果我们得到的离散条件只与元素的标准形式及不 动点位置有关一般来说，如果h ，7 1 2 是任意的m 6 b i u s 变换，u9 ) 的离散 性与( ，l t f h i l , h 。夕k 1 ) 的离散性没有明显的联系而我们给出的离散准则说明 只要，g 满足定理2 中的条件，( f , g ) 与( h a ，蚵1 ，k 9 坛1 ) 就具有相同的离散 性 p r j ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m j b i u s 群的离教准刚 引言 推论1 设9 是固定0 0 的抛物元，一a a 是以0 为吸性不动点，以g 为斥性不动点的斜驶元，若存在稳定域中一点( r ，r ，s ) 使得i i ；a j 1 i 且 l q l l 掣( 1 + r 2 + 们羽，则饵9 ) 非离散或初等 6 p u ( 2 。1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m s b i t t s 的商敌准列 1p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子 1 1 预备知识 我们把带有酉结构的3 维的复向量空间伊，记为伊t ，其中酉结构由( 2 , 1 ) ，懈) 所给出的h e r m i t i a n 形式，则 ( 毛叫) = 魂_ 3 + 施i - 2 + 忽面l ( 1 1 ) 其中z = ( z l ，现，幻) ，伽= ( 埘l ，1 0 2 ，? m 3 ) c 3 复双曲空间磁，定义如下。 磁一 纠p 伊1 ：仁，z ) o ) 这里p c 2 1 是俨- 1 的投射空间： c 口，1 一 p 俨1 一 ，a 、 蜘【委j 其懈。艨删节础t 柚一妨掌2 = 贼们定 l j 义m - o o 我们将：称为磁中的点纠在c 2 , 1 中的代表向量 7 p u ( 2 ，1 ) 的k l e h f i a n 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 的离鼓准尉 定义月暑的边界如下t a 瑶= 嘲p 伊1 ：( 毛力= o ) 因为当施0 ， 俨_ + p c 2 1 是浸入映射，月吾同胚于球 b 2 = 纠c 2 ：( 仁，z ) ) 0 ，再令 u = f e p u ( 2 ，1 ) ：p ( ，( g 嘲) ，夕嘲) ； ， b ( ii = 以 1 0 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 于群的正规化子及高维m 6 b i u 8 的离傲准则 1 b 1 a b ( ；) = ( ；) ，b 一1 a b ( i ) = ( i ) ， b 一1 a 召= ( r 享；三) ， b 一1 口= i 。li l l ，b l c r ：= ( ；) 也是线性无关的，所以勿o ，由a c = 帕可面 b 珧h ) 。 因为勉都不为0 ，所以r e _ = 1 ，那么r = l , c t = 0 或孥，由此知，b - 1 a b = e z - i 或，即a = e 等，或，也就是说，h = 纪所以n n u - - i d ，n 是离散的 注如果d i m l ( g ) 3 ，则g 的正规化子n 不一定离散，在下节中，我们 构造一个p u ( 2 ，1 ) 的子群，使得它是非初等的，离散的，极限点集的上方向 k o 阵矩由择选们我 孵 张 名 本 1 在 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m s b i u s 的离散准则 0 ，切) = z l 面l + + 磊l - n 一荔件1 面，i + l ( 1 2 ) 其中：= 陬，勿，+ 1 ) ， = ( f f ) l ，忱，+ 1 ) c n + l , n 1 复双曲空间月罂定义如下： 王珐= m p c “，1 ：仁，力 0 ，我们称g 为边界椭 圆元 对于正则椭圆元g ，其p o i n c a r 6 扩张亘在j 诏，1 内只有唯一一个不动点， 由b r o w d e r 不动点定理知，参在j 口内也有一个不动点，我们可以考虑蚕 的p o i n c a r 6 扩张，它在研+ 1 内有两个不动点，由于p o i n c a r ( 扩张保持元素类 型，因此亘的p o i n c a r 6 扩张是椭圆元，而且是边界椭圆元，所以我们只需讨 论边界椭圆元的情况以下我们将不区分元素与其扩张的记号 1 4 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n l a n 子群的正规化子及高维m s b i u s 的离散准则 2 下面给出本节常用的记号： 对于n n 阶矩阵a = ( ) 我们用 = 臣“略j i ，2 ， 表示其h i l b e r t - s c h m i d t 模，用i i 表示愈中点的e u c l i d e a n 模 用i 口，6 ，c ，d i = 悟鞘表示口，6 ，c ，d 的交比，特别地，l a , 玩c ，o o i = 悟爿 用盯( z ) 2 静声o 表示反射，且仃( o ) = 0 0 , o ( ) = 0 引理2 1 3 ( 1 ) 若9 是抛物元，则存在变换h m ( 静) 使得h g h - 1 ( z ) = a x + b ， 其中a o c n ) ，6 殿 o 不与a 的特征子空间正交； ( 2 ) 若g 是斜驶元，则存在变换h m ( 静) 使得h g h _ 1 ) = a a x ，其中a 0 ， a o ( n ) ； ( 3 ) 若g 是边界椭圆元，则存在变换h m ( 愈) 使得h g h - 1 ( z ) = a x ，其中 a d ( n ) 证明：见【1 1 性质2 1 4 设，g 是m ( 肛) 中的斜驶元或边界椭圆元，有不动点钆z z 静，9 有不动点如，瓤觑，可以交换x 3 和z 4 的位置以使h z 。，勋，z 4 l 1 ，则 存在h m ( 静) ，使得 ( 1 ) h f h 一1 有不动点o ，o o ； ( 2 ) h g h 一1 有不动点 ) ， 做) ，使得i h ( x a ) l = r 及l ) i = ；1 ，其中r = i x l , 现，乳1 1 特别地，当r = 0 时，h g h 一1 有不动点0 和0 0 证明：设h i ( z ) = 盯j 钾( z ) ，其中t ( x ) = z z 。，于( z ) = 一盯( z 2 一x 1 ) ， 则h l ( z 1 ) ；o 亍a t ( x 1 ) 一d p 盯( o ) = 口于( ) = 口( ) = o ，h l ( z 2 ) = o i a t ( x 2 ) 一 p u ( 2 ，1 】的k l e i n i a n 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 的离散准则 弘 撕_ ( z 2 一善1 ) = 口( o ) = ，设( ) = l h 。( z 3 ) i - i l h l ) 一z ，h = h 2 h l ，则h 满足 ( 1 ) ( 2 ) 事实上，h ( z t ) = o , a ( x ：) = 是h f h 一1 的两个不动点，而 ( z 3 ) ， ) 是h g h 一1 的不动点，且 i = i ( 圳= ( 渊) 5 ， 又因为h i ( 奶) = 盯j ；a t ( 3 3 ) = a b ( 黝- x 1 ) = 盯( 盯( 3 3 一z 1 ) 一a ( z 2 一z 1 ) ) ， l ( 3 4 ) = 仃( 盯( 乳一z 1 ) 一a ( z 2 一z 1 ) ) ，则 i h c z 。) l = ( 删) 5 一i 搿篆碧剿1 5 = l 穗鲁俐1 5 一( 蘸) 2 = ( 渊) 。 同理可得i h c z , ) l = ；口 引理2 1 5 设g 是固定o o 的抛物元，q 酽，且m i g ( o ) l ，则 1 0 , q , g ( o ) 北胚毋( + d ) 证明：由三角不等式得，i g ( o ) 一q l2l q l l e ( o ) 1 由于9 是固定0 0 的 抛物元，则9 ( z ) = a x + 6 a d ( n ) ，b 俨 o ，所以l g ( o ) i = 旷1 ( o ) i 又 1 6 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a u 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 的离散准则 b 0 ) i = i 夕一1 ( o ) 一鲥l 口1 一i 夕( o ) l 0 ，1 9 ( 的一引i 口l + i g ( q ) l ，因此 1 0 ，g ，9 ( o ) ，9 ( 口) i = ) ，则称g 是离散 群 2 2 稳定球定理 我们首先给出稳定的定义： 定义2 2 1 设“与u ( q ) 是愈中分别包含p ，口的开集，且具有互不 相交的闭包芦是m ( 静) 中元素的个族，如果对于任意g g “，9 ( g ) “( 曲，则称似，“( 口) ) 称为关于族，稳定 注令族，= d m ( 办) ：g x a ，a 0 ，a d ( 曲，i i ；) ， 其中( z g ， t g 是g 的两个不动点易知，在用盯( z ) = 许作共轭下是闭的 记厨= 伽形：吲 r ) 则( 羼，燧) 关于，是稳定的当且仅当对任意 g ，9 ( o ) 屏事实上l 叩( o ) i = l a g ( o o ) l = 丽b ；1 ，所以 g ( o o ) 研 下面的定理描述了族，中元素将移动舻中点的程度，我们称之为稳定 球定理 1 7 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a a 子群的正规化于及高维m s b i u s 的离教准则 定理2 2 2 设o r 击，0 一 0 ，a d ( n ) ，i i x a j 1 i ( r 一) ，研，e 唆) 是稳定 的，其中 ( r ，r ，) = s u p m i n o ( r ，o ) ，口 o o 蛘 这里 印( r r ，a ) = ， 1 币- ( j 3 + 硕a ) f r 2 ( 矿1 - 3 r 2 ) 特别地，若g ，( r e ( r r ) ) ，则i g ( o ) l o 使得i i x a - i i i 口且r 赤由o r 而1 ，o ；一r r m ( 2 1 ) 旷1 删叩1 2 凿 南 誉 。 ( 2 3 ) 因为r | m 椰旷1 g t ( o ) i 2 脚。g t ( o ) - 矿1 0 r ( 0 ) l ( 2 4 ) 那么 i x 4 b - 1 g t ( o ) 一b - 1 ( 0 9 一勺) i = l a a b 一1 g r ( o ) 一b 一1 g t ( o ) + b 一1 g t ( o ) 一b 一1 ( 勺一勺) l i b 一1 g t ( 0 ) 一b 一1 ( 一勺) i i m b 一1 g t ( 0 ) 一b 一1 g t ( o ) i l g t ( o ) 一d 口+ 白i a l c t ( o ) l ， 所以由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ， l 砸丽i i i , x 万a - 而i i i 习- i g t 丽( 0 研) i - l a 砑, - 酉r g l 2 丽，( 2 5 ) 由( 2 3 ) 式，( 2 5 ) 的右式 一 一 ( i 一勺l 一 器黠 一( 躲秽一勺l 。i 田o l 1 i ，i g t ( o ) f i g t ( o ) i 、，1 一l 盟i 、 ( 2 6 ) p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i s u 子群的正规化子及高维m 6 b i u s 的离散准则2 又因为i 转i 导= 研r 2 ，结厶( 2 2 ) 知 仁回 卷撬= 黼蚓 习b 么如果。 l l m j i i 1 r ( 1 丽- ( 3 刁+ ( 1 ) 而t a ) ( 刁l - - i 厂3 r 2 ) ， ( 2 7 ) 则1 9 ( 0 ) l ， 因为i i r 所以( 2 7 ) 的右式大于o ( r r ，口) ，见定理2 2 2 若i i 从一j l l 6 o ( 1 r ，则( 2 7 ) 成立，因此( 毋，酸) 关于族，( r ，m i n 忙( r ，r ，n ) ，口) ) ，对于任意 满足o 口 l 笋的a 稳定因此对任意o 口 l 笋，取m i n s ( r ，a ) ，a ) 的最大值，则( 毋，艇) 关于曩r ，e ( r ，) 稳定，其中 ( r ，7 - t ) 一s u pm i n , o ( r t ，口) ，a ) o o i 孚 特别地设g 只r ( r r ) ) ，注意到i i m t l i e o ( r ，r t a ) ，则在( 2 7 ) 中用i i 代替r ，不等式仍然成立，对o 口 l 乒取m m s ( r ，r ，口) ，口 的最大值， 因此对任意g ，( r ( r r ) ) ，i g ( o ) k f 口 注f l je o ( r ，一q ) = 丛等寻 罱耕可知，勖( r ，一口) 关于r 和口都 递减，当n 减少，旬( r ，q ) 增加，在a = e o ( r ，r ，a ) 之前，m i n o ( r ，n ) ，q ) = 翮( r r ，a ) ，当q 继续减少时，m m e or ，一，o ) ，a = q 因此e ( r 一是方程 印( r r ，= a 的解为了说明r ，e ( r ，) 及n 之间的关系，我们引如一些 术语如果o r 击且 o 使得o r 赤且e m i n 口，e o ( r , r ，口) 如果o r ，r 0 ，a ，b d ( n ) 如 果在稳定球域中存在一点( r r e ) 使得b ，r ，白i r 2 且 m a x l l a a 一州，l i x b 一川) ， 则( ，g ) 是初等群或非离散群 2 】 p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子爰高维m 6 b i u s 的离散准则 2 我们记，的不动点集为f i z ( f ) 如果有一个元为边界椭圆元，我们取满 足上述交比条件的边界椭圆元的两个不动点，一个记为吸性，另个记为斥 性，由交比条件，这种记法是合理的 证明：假设( f , g ) 是非初等的，则f i z ( f ) n ，缸( 9 ) = o 由性质2 1 4 知，不 妨设，两个不动点为0 和，即，= x a 且由于l a s , r s ，a g ，r g l r 2 ，g 的不动点 满足b r 及勺成 我们考虑，的共轭元序列： 9 1 = g f g 一1 ，9 2 = g a y g ；1 ，g n = g n l ，9 ，- - p l l 则g i 都是斜驶元，i = 1 ，2 ，下面我们用数学归纳法证明序列 鲰) 的元素 各不相同，且都包含在f f 7 ( 7 ，8 ) 内 因为a g 历，b 呈，g a a ，m 一川 e 及( r ，r ，e ) 是稳定球域中的点， 由定理2 2 2 知，( 耳，蹙) 关于族，( r ，e ) 稳定，因此夕( o ) 耳，夕( ) eb 茎，所 以g ( o o ) 0 ，特别地，因为f z ( f ) i 1f i z c g ) - - - - 谚，所以g ( o ) 0 ，因此有1 9 ( o ) l k 1 因为9 ( o ) ，9 ( o o ) f i z ( 9 1 ) ，我们记9 ( o ) = a u ，9 ( o 。) = r m ，由定义2 2 1 的 注，i l g l b r ，又噬，g l x a 且i i x a 一川 毛由定理2 2 2 ，i g l ( 0 ) i 1 ，i ，g l ( o o ) 琰，由于9 ( o ) 0 ，夕( ) o ，g ( o o ) ，则9 1 ( o o ) o ，9 l ( o ) 0 又 因为g l ( o ) ，g x ( o o ) s i = ( 9 2 ) ，记g l ( o ) = 口靠，仇( o o ) = ，由于i a m l - 1 9 l ( o ) i i l g 。l ， 则，缸( 9 1 ) f z ( 9 2 ) ，因此g l 夕2 假设9 1 ，夕2 ，鲰，( r ，) 各不相同，虫一a a ，不动点+ 。= 吼( o ) ，+ = g , ( o o ) 属于b = ( g j ，且i i i 一。l 0 ，0 a 1 ，be 舻 o ，仉，巩 d ( n ) 我们考虑g 中形如下面的元素： h ( z ) = 9 2 9 1 9 2 1 矿( 茹) = 巩嘴瞄1 盯( z ) 一口沈讲叼1 ( 6 ) + b ， 若巩有限秩的，即叼= ，m 则取七= m j 是m 的倍数否则，存在序 列 叻，使得峨。咿= ，因为0 o t l g ( o ) 1 d az j l 理2 1 5 ， 1 0 , q , g ( o ) g ( 口) l 拶( + d ) ， 1 2 9 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 的右边不大于7 - 2 ，即由( 2 8 ) 可得， i o ，q ，9 ( o ) ，g ( q ) i r 2 令h ：g f g h 有不动点9 ( o ) ，9 ( q ) ，且h x a 由定理2 3 1 ，i f ， ) 非离散或初 等假设i f ，9 ) 离散的，则i f , h ) 是离散的，所以i f ， ) 是初等的由【8 l 第4 节，l e m m a 4 1 ，知( ，g ) 初等口 p u ( 2 ，1 ) 的k l e