（基础数学专业论文）e（s）右可消幺半群的图扩展.pdf

e ( s ) 右可消幺半群的图扩展 摘要 v i c t o r i ag o u l d 给出了右可消幺半群的图扩展，并且在g r e e n - , 关系的 前提下利用右可削幺半群的一个幺半群表示的c a y l e y 图来构造左恰当半群， g r a c i n a d am s g o m e s 和v i c t o r i ag o u l d 给出了u n l p o t e n t 幺半群的图扩展，在 g r e e n - 一关系下利用u n i p a t e n t 幺半群的一个幺半群表示的c a y i e y 图来构造 弱左恰当半群的结构许多专家通过研究右可消幺半群和u m p a t e n t 幺半群已 经取得了丰硕成果如：如果( 置，s ) 是个幺半群表示，则朋= 朋( x ，回 是个左富足半群等价于s 是右可消的；等等我们知道格林关系是不同 于格林关系，+ 格林关系和 - 格林关系的一种格林关系利用格林关系 来研究e ( s ) 一右可消幺半群的结构在研究拟恰当半群时起着重要作用 首先，本论文给出了半群e ( s ) 右可消的概念然后，定义了个同余以 使得剐盯是e ( 纠盯) 一右可消的其次，利用e ( s ) 一右可削幺半群的个幺半 群表示的c a y l e y 图来构造出次左a m p l e 幺半群，同时给出次左a m p l e 幺半群 的范畴p s l a ( x ，s ) 的初始和终结对象最后，给出了两1 ：函子j ”和p ， 证明了j ”是p 的个左伴随 本文共分四章，主要有如下内容： 第一章是引言，主要介绍了完成本论文的主要背景 第二章介绍本文用到的一些基本定义和基本引理 第三章是本论文的主要结果，共分三个小节 第一节主要研究图的扩展； 第二节是讨论范畴p s l a ( x ，s ) ； 第三节主要给出函子p 和p 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词；幺半群的表示，图的扩展，e ( s ) 一右可消，次左a m p l e 幺半群 i i 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t v i c t o r i ag o u l dg i v e su st h eg r a p he x p a n s i o no far i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d a n da t t a i n st h ec o n s t r u c t i o no fal e f ta d e q u m es e m i g r o u pf r o ms t u d y i n ga c a y l e yg r a p ho far i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i du s i n g * - g r e e nr e l a t i o n s g r a c i n a d a m s g o m e sa n dv i c t o r i ag o u l ds t u d yt h eg r a p he x p a n s i o no fa nu n i p o t e t m o n o i da n ds h o wu st h ec o n s t r u c t i o no faw e a k l yl e f t 锄p l es e m i g r o u pf r o m s t u d y i n gac a y l e yg r a p ho fa nu n i p o t e n tm o n o i du s i n g 一- g r e e nr e l a t i o n s m a n ys p e c i a l i s t sh a da t t a i n e da l o to fr e s u l t si ns t u d y i n gr i g h tc a n c e l l a r r i v em o n o i c l s ，u n i p o t e n tm o n o i d s f o re x a m p l e ，l e t ( x ， s ) b eam o n o i d p r e s e n t a t i o n t h e n 朋= 朋( x ， s ) i sl e f ta b u n d a n ti fa n do n l yi fsi sr i g h t c a n c e t l a t i v e ；a n ds oo n i ti saw e l l - k n o w nf a c tt h a tt h eg r e e n s 一r e l a t i o n sd i f f e r sf r o mg r e e n s “ r e l a t i o n sa n dg r e e n s - r e l a t i o n s s t u d y i n gt h ec o n s t r u c t i o no fa ne ( s ) - r i g h t c a n c e l l a t i v em o n o i du s i n gg r e e n s 一一r e l a t i o n sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h e r e s e a r c ho fq u a s i a d e q u a t es e m i g r o u p s f i r s t ，t h i sp a p e rg i v et h ed e f i n a t i o no ft h ee ( s ) 一r i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d s s e c o n d tw ed e f i n eac o n g r u e n c e c ra n dw ec a ns h o wt h a ts 细i sa l le ( s o ) - r i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d t h i r d ，w eo b t a i nt h ec o n s t r u c t i o no ft h es e c o n d a r y l e f ta m p l es e m 谤o u p su s i n gt h ec a y l e yg r a p ho fam o n o i dp r e s e n t a t i o no f e ( s ) r i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d a n dg i v ei n i t i a la n dt e r m i n a lo b j e c to fc a t e g o r y o fs e c o n d a r yl e f ta m p l em o n o i d s a tf m a i l y , w eg i v et w of u n c t i o n sf ”a n df e a n ds h o wf 4i saa d j o i n to f f e t h e ea l ef o u rc h a l p e r so ft h i sp a p e r ，t h em a i nc o n t e n ta l ea sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a l p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i ti sm a i n l ya b o u tt h eb a c k g r o u n do f t h i sp a p e r t h es e c o n dc h a l p t e ri n t r o d u c e st h ee l e m e n t a r yd e f i n i t i o n sa n d m l e m m a sw h i c ha r eu s e di no u rp a p e r t h et h i r dc h a r p t e ri sc o m p o s e do ft h e p r i n c i p a lc o n c l u s i o n so fo u rp a p e ra n di ti sd e v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s i nt h e f i r s ts e c t i o nw ei n v e s t i g a t et h eg r a p he x p a n s i o u s t h es e c o n ds e c t i o nd i s c u s s e s t h ec a t e g o r yp s l a ( x ，s ) t h et h i r ds e c t i o ng i v e st h ef u n c t o r sj ”姐d p k e y w o r d s ：am o n o i dp r e s e n t a t i o n ，g r a p he x p a n s i o n s ，刀( s ) 一r i g h tc a n c e l i a - t i v e ，s e c o n d a r yl e f ta m p l em o n o i d s i v 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章引言 格林关系是由g r e e n 于1 9 5 1 年提出的，许多半群学者利用格林关系对正 则半群做了深入的研究，如完全正则半群，纯正半群，逆半群等格林关系在 正则半群中起着重要的作用 扣格林关系是由f o u n t a i n 于1 9 7 9 年提出的，f o u n t a i n 利用扣格林关系 引入了富足半群的概念令s 是半群，如果s 的每个c 一类含有幂等元，则称 s 是右富足半群，如果s 的每个彤类含有个幂等元，则称s 是左富足半 群若s 既是右富足半群又是左富足半群，则称s 是富足半群富足半群是 半群代数理论研究中十分活跃的课题之一，学多半群学者，诸如f o u n t a i n ，e i - q u u a l i ，b l y t h ，m c f a d d e n ，n a m p o o r i p a d ，郭聿琦教授，岑嘉评教授等都曾涉猎这 一课题，并得到了一系列的结果 1 9 7 6 年，f o u n t a i n 给出了左a m p l e 半群的概念，任何逆半群是左a m p l e ， 但是左a m p l e 半群的类要比逆半群类大的多，例如，每个右可消幺半群是左 a m p l e 半群，1 9 9 6 年，g o u l d 利用幺半群s 的幺半群表示的c a y l e y 图， 从( 墨，s ) 出发构造出图扩展m ( x ，s ) ，并且得到一系列有价值的结果， 在【3 1 】中证明了t 定理1 1 如果暖，s ) 是个幺半群表示，则m = m ( x ，f ，s ) 是个 左富足幺半群等价于s 是右可消的 定理1 2 如果( x ， s ) 是个右可消幺半群s 的幺半群表示，则m = m ( x ，s ) 是个真左a m p l e 幺半群，进一步，对任意的( ，s ) ，( ，t ) m ， ( 1 ) t ( a ，s ) e ( 朋) 等价于s = 1 ； ( 2 ) ( a ，8 ) + = ( ，1 ) ； ( 3 ) ：( ，8 ) 彤( ，t ) 等价于a = ； ( 4 ) ；( a ，8 p ( e ，t ) 等价于s = t 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 3 如果( x ，s ) 是个右可消幺半群s 的幺半群表示，令朋= m 僻，s ) ，贝! im = 且( 7 - 2 , 4 ，朋) 是范畴p l a ( x ，s ) 的一个对 象 定理1 4 函子p ：r c ( x ) _ p l a ( x ) 是一个扩展 这里r e ( x ) ，p l a ( x ) 分别表示由x 生成的右可消幺半群的范畴和真左 a m p l e 幺半群的范畴 定理1 5 函子p 是函子f 4 的个左连接 l a w s o n 首先定义了b 半恰当半群，一个半群s 是b 半恰当半群，如 果每个c p 类和每个冗e 类包含e 的一个幂等元，这里e 是半格并且是s 的子半群c f 和r f 是和7 p 关系的推广1 9 9 9 年，f o u n t a i n 给出弱 左a m p l e 半群的概念和一些重要结果，2 0 0 0 年，g o u l d 研究了u m p o t e n t 幺 半群的图扩展构造出了弱左a m p l e 幺半群，且得到下列主要结果( 9 】 定理1 6 如果( x ，s ) 是个幺半群表示，则下列条款等价t ( 1 ) is 是u n i p o t e n t ； ( 2 ) - 朋= m ( x ， s ) 是一个弱左a m p l e 半群； ( 3 ) t冗是朋( x ，s ) 上的一个左同余并且每一个7 0 类包含一个幂等 元 定理1 7 伍，s ) 是个u n z p o t e n t 幺半群s 的幺半群表示，则朋= 州( x ，s ) 是个真弱左a m p l e 幺半群，进步，对任意的( ，s ) ，( e ，t ) m ， ( 1 ) ( a ，s ) e ( m ) 等价于8 = 1 ； ( 2 ) 。( a ，5 ) + = ( a ，1 ) ； ( 3 ) ( ，8 ) 兄( ，t ) 等价于a = e ； ( 4 ) t( ，s ) 盯( ，t ) 等价于s = t 定理1 8 函子f c ：u - p w l a 是个扩展 定理1 9 函子j 受：v ( x ) _ + p w l a ( x ) 是一个扩展 定理1 1 0 函子殿是函子f 的个左伴随 2 曲阜师范大学硕士学位论文 2 0 0 5 年。孔祥智教授把牝格林关系推广为一格林关系，在此关系的前 提下。本文主要研究次左a m p l e 幺半群，给出半群e ( s ) - 右可消的概念，定 义个同余盯，使得剐口是e ( 酬盯) 一右可消的，并且利用e ( s ) - 右可消幺半 群的图扩展构造出次左a m p l e 幺半群 3 曲阜师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 帚一早 耿亩大u 玩 2 1 基本概念 本节我们先给出一些基本概念，没有提到的概念和记号都是标准的可参 看文献( 1 1 】或者文献【1 2 】 定义2 1 1 【2 1 1 + 一格林关系 c + = ( ( d ，b ) s s ：( v z ，毫s 1 ) n 。= a y 车 b x = 幻) ， 冗= ( d ，b ) s s ：( v x ，y s 1 ) z o = y a 车 x b = y b ， 咒= c n 冗，口= c v7 r 定义2 1 21 2 5 格林关系 = ( 口，b ) s s ：( r e e ( s ) ) 0 e = g 兮b e = 6 ) ， 冗= ( 口，6 ) s s ：( v e e ( s ) ) e a = n 甘e b = 6 ) ， 霄：互n 宠 定义2 1 3 【3 5 格林关系 z = ( n ，b ) s s ：( v e ，f e ( s 1 ) ) = 口， = b e = b 1 ) ， 宠= ( 口，6 ) s s ：( r e ，e ( s 1 ) ) e 口= ，口 = e b = f b ， 霄= z n 瓦，万= z v 瓦 我们可以看到c c z 互郭聿琦教授给出下面的例子，表明一格 林关系是不同于格林关系，格林关系和格林关系的一种新的格林关系 4 曲阜师范大学硕士学位论文 例子2 1 4 令s = l ，6 ，c ，d ，a ，a 2 ， 是一个乘法半群，其乘法如下 c a y l e y 表给出； 通过计算，s 有四个彤类。 1 ) ， 6 ， g ，口2 ，) ， c ，田，三个死类。 l ， 6 ，口，舻，) ， c ，d 和两个亿类； 1 ，b ，o ，a 2 ， ， c ，田 定义2 1 5 【3 5 一个半群称为拟富足的，如果它的每个乙类和每个j 孓 类包含至少个幂等元 定义2 1 6 幺半群m 是左拟恰当的，如果每个瓦- 类包含一个幂等元并 且e ( m ) 是个半格 显然左拟恰当幺半群中每个7 暑类的幂等元是唯一的；我们表示这个幂等 元为口+ 定义2 1 7 我们称左拟恰当幺半群肘是次左a m p l e 的，如果冗是个 左同余并且对所有的o m 和e e ( m ) 有a e = ( a e ) + 口 定义2 1 8s 称为e ( s ) 右可消的，如果对任意的e ，e ( s ) 和所有的 z s 由哆= 扣可以推出e = ， 定义2 1 9 个次左a m p l e 半群是真的，如果冗n 盯= “ 5 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 1 0 3 1 】称三元组( x ，s ) 是个幺半群表示，如果x 是个 集合，s 是个幺半群，且，：x + s 是个映射，使得x 生成幺半群s 定义2 1 1 1 3 1 】图r 是由集合v = v c r ) ( r 的顶点) 和e = e ( r ) ( r 的边) 及两个映射( 写在左边) i ：e - + v t ：e - + v 组成t 和t 分别是初 始映射和终结映射，对于e e ，i c e ) = t ，和t ( e ) = 用 。与一 表示 定义2 1 1 2 3 1 】由顶点 到1 l ，是边e l ，c ，l 的个有限序列且 d ( e 1 ) = u ，t ( e 1 ) = i ( e 2 ) ，t ( e 2 ) = i ( e 3 ) ，t ( e ，i ) = 叫 称为一条路径，表示为 ，马马与。 由顶点t ，到t ，本身的路径用l 表示一条路径r 称为伽根，如果口v 和 全部的t ，v 存在由口到叫的路径图r 的子图有集合v c r ) 的子集y ( ) 和e c r ) 的子集e ( ) 构成且对任意的e e ( ) ，l ( e ) ，t ( e ) y ( ) l = 1 与。， 是1 - 根子图且( l ，z ，) m 显然，任意的路径定义个图，为了方便我们用相同的符号表示条路径 和与其相对应的子图定义t a d ：x - m ，z 仉l = ( l ，z ，) 定义2 1 1 3 3 1 】图映射口：r _ + r ，由从 ( r ) 到口( i ) 及s c r ) 到e ( r ，) 的两个函数构成，均表示为p ，并且使得任意的e s c r ) ，有i ( e ) 口= ( b 和 t ( e ) p = t ( e 口) 显然，此口映射子图到子图，路径到路径如果y 和e 是左s - 集合且i 和t 是左s - 映射，即对所有的s s 和eee 有d ( s e ) = s i ( e ) 和t ( s e ) = s t c e ) ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 则称幺半群从左边作用在图r 上我们注意到如果s 作用在r 上，则任意的 8es 的作用是个同态，因而。如果是r 的子图，那么s h 也是r 的子 图 在个幺半群表示( x ，s ) 的c a y l e y 图i = f ( x ，s ) 中， v ( r ) = s e ( f ) = ( s ，盘，8 ( z ，) ) ：8 s z x ) 这里i ( 8 ，z ，8 ( z ，) ) = 8 ，t ( 8 ，z ，8 ( x 1 ) ) = s ( z ，) 边也可以写为( 8 ，z ，s ( x 1 ) ) 或与 其对应的子图 。与。峰n 幺半群s 作用在r 上，对8 只口k ( t ，z ，t 扛，) e ，我们有 s 口= 舢，8 ( t ，8 t ( x i ) ) = ( 时，z ，武( 霉，) ) 定义2 1 1 4 【3 1 】( x ，s ) 的图扩展朋= m ( x ，s ) 如下给出。 朋= ( ，8 ) ：是r 的个有限1 - 根子图且1 ，8 v c a ) 朋上的乘法定义为：( a ，s ) ( ，t ) = ( aus e ，s t ) 定义2 1 1 5 【3 4 个范畴是由一些对象( 表示成a ，b ，c ，) 形成的类 c 加上 ( i ) 一个由非交集合构成的类 幻m ( a ，b ) i a ，b c ) ( a o m ( a ，b ) 中的元素，叫作从a 到b 的态射，表示成，：a - + b ) ( i i ) 对于c 中的每个3 - 对象组( a ，b ，g ) ，均存在一个函数 a o , n ( b ，c ) xh o m ( a ，b ) - - 4 , o m ( a ，e ) 7 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 对于态射，：a _ + b ，g ：b - + c 这个函数写为( g ，) + g o f ，把g o ：a - + c 叫做，和g 的合成) ，并且满足以下两条公理t ( i ) 结合律：如果，：a _ b ，g ：b + c ，h ：c 斗d 是c 中的态射，则 h 0 ( 9 0 ，) = ( h o g ) o ， ( i i ) 恒等性，对于c 中的每个对象日，均存在态射1 b ：b - - ) b ，使得对于 每个，：a _ + b 和g ：b - - + c ， 1 b0 i = 轧9 0 1 b = g 定义2 1 1 6 【3 4 】范畴c 中的对象，叫做初始的( 或叫泛的) ，是指对于 c 的每个对象c ，均存在唯一的态射j - g c 之对象t 叫做终结的( 或叫余 泛的) ，是指对于c 的每个对象c ，均存在唯一的态射c _ t 定义2 1 1 7 【3 4 l 设c 和d 均是范畴从c 到口的个函子f ( 表示成 f ：c 刀) 是指一对函数( 均表示成f ) # 个是对象函数，即将c 中的每 个对象g 对应于d 中的一个对象t ( 研，另个是态射函数，即将c 中的每 个态射，：e g 对应于口中的一个态射t ( f ) ：t ( c ) - t ( ) ，使得： ( i ) 对于c 中每个恒等态射l c ，均有t ( 1 c ) = 1 r ( c ) ； ( i i ) 对于c 中任意两个态射，和g ，均有t ( f o g ) = t ( g ) 0 t ( ，) ，只要合成 运算，0 9 是可定义的 定义2 1 1 8f 2 4 设f ，g 都是范畴c 到口的函子，f 到g 的自然变换 是一个对应，7 ：o b c - + h o m d ，a - - 9 ：f ( a ) - g ( a ) 定义2 1 1 9f 2 4 设f ：c _ d ，g ：d _ c 为函子，则f 称为g 的右 伴随函子，同时g 称为f 的左伴随函子，若任意的a o b c ，b o b d 有双 射佃 ：h o m e ( g b ，a ) _ + h o m d ( b ，f a ) 且在a ，b 处均是自然的此时称 7 ：( b ，a ) - 仙。a 是g 到f 的个附加，称( e g ，们是个附加 8 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 基本引理 本节我们将给出一些在本文中起重要作用的基本事实，用引理的形式给 出，其中有些事实本身也具有独立的意义 引理2 2 1 幺半群m 的元素a ，b 满足瓦关系当且仅当对所有的e ， e ( m ) 有e a = f a e b = f b 由引理2 2 1 个幺半群是e ( s ) 一右可消的等价于它是单一j 曩类 引理2 2 2 令m 是个左拟恰当幺半群则 ( 1 ) 对所有的e ，e ( m ) 有( a b ) + = ( 口矿) + ； ( 2 ) 对所有的a m ，e e ( m ) 有( e a ) + = e a + ； ( 3 ) 对所有的a ，b e ( m ) 有( a b ) + a + 这里是e ( m ) 上的自然偏 序 引理2 2 3 如果s 是一个e ( s ) 右可消幺半群，则s 是一个次左a m p l e 幺半群s 的一个子集合x 作为( 2 ，o ) 型代数是s 的一个生成子的集合等 价于它作为( 2 ，1 ，0 ) 一型代数是s 的一个生成子的集合进一步，从次左a m p l e 幺半群m 到s 的个函数毋是个幺半群同态，也就是一个( 2 ，0 ) 一映射等 价予它是个映射，这里s 看作个次左a m p l e 幺半群，也就是个( 2 ，1 ，o ) 一 映射 此定理证瞻类似于【3 2 】的引理2 3 的证明 引理2 2 4 如果s 是个次左a m p l e 幺半群，在s 上定义a a b 等价于存 在某个e e ( s ) 使得e a = e 6 ，那么仃是个同余且酬盯是e ( 酬盯) 一右可消 的，若下是s 的个同余使得e 在同个弘类中，则盯f 特别地，仃是 s 上的最小的e ( 剐一右可消幺半群同余 证明，盯的自反性，对称性和右相容性是显然的若a t r b 且b a c ，则存在 某些e ，e ( s ) ，e a = e b ，f b = l e ，又因为e f = l e ，所以，= e f c ，即 9 曲阜师范大学硕士学位论文 阳c 如果6 且c 只则对某些e e ( s ) ，e a = e b 并且由t e a = c e b 得 ( c e ) + c a = ( c e ) + c b ，因此口是一个同余 假设e a b a = a b a ，对某个g e ，有g e b = g f b 且因此g e b + = g f b + ，显 然e l 仉从而e a g e b + ，f a g f b + ，因此e o f 且彤盯是e ( 酬盯) 一右可消的 令a ，b s 使得a a b ，从而对某个e e ( s ) 有e a = e b 且因d - e ，所以 盯，6 r e 6 从而a r b ，因此盯r ，证毕 如果口最，h e ，使得扣= h e ，则a a h ，从而a + 盯 ，故( a ，a - t - ) 仃n _ 因此，a = 矿e 若a = h 由2 1 7 得( a ) + n = h e ，由上面过 程a e 从而真次左a m p l e 幺半群s 是b 酉的，上面过程同时给出，s 是 昂酉的，则e ( s ) 是一个伊类 引理2 2 5 令m 是一个真次左a m p l e 幺半群，如果o ，b m ，则a a b 等 价于b + a = a + b 证明；对任意的a ，b m ，因r 是左同余，所以 口+ 6 】弘+ 6 + = 6 + o + 】诌+ 口 如果a a b 则a + a b + ，从而a + b d b + a 又因叮n 夏= l 使得b + a = a + b 必要性显然 令x 是个集合，a 是一个固定类型的代数类那么，a ( x ) 是个以 ( ，a ) 为对象的范畴且对任意的a a 有，：x a ， = a a ( x ) 中 ( ，a ) 到( 9 ，b ) 的映射是个同态口：a b 使得下图交换： x pi a 产b 由于 = a ，如果口存在，则口是唯一的由 = b 知，这样的口 必是到上的显然对所有的a ( x ) 中的对象( a ) 有厶m d r ( ( ，ta ) ，( ，a ) ) 进步，如果口m o r ( ( ，a ) ，( g ，b ) ) ，妒m 0 r ( ( 夕，占) ，( h ，c ) ) 则：a - + c 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 是一个同态且f o e = 9 妒= h ，使得口妒m o , c c f ，a ) ，( h ，g ) ) ，a ( x ) 是个范 畴 如果下图可交换： 这里也是以o m 为核的个同态则( 口，m ) 是p s l a ( x ) 的个对象由 前面只盯! i f 必须是使上图可交换的仅有的同态，且吐是到上的，使得s 是 m 的最大刀( s ) 一右可消象 引理2 2 6 在范畴p s l a ( 五，s ) 中，设0 ( ( 玑m ) ，( h ，) ) ，则0 是幂 等纯的，且有砘= ，峨= ，g o = h ，口砖= 以 证明；令霉x ， ( z g ) p 盯k = x g o a k = z 盯= z ，= = g o o 。m = ( $ 9 ) 口仃k 使得在口以和以作用在x g 上相同但m = 且由引理2 2 3 知， 口砖和吐是( 2 ，1 ，o ) 一映射，使得口砖= 以由上面的陈述知其它等式成 立 如果m m 且m 一是个幂等元，则 1 吐= 1 = ( 棚) 砖= 脚! l f 使得l a m m 但m 是真的，因此e ( m ) 是个o m - 类，使得m e ( m ) 且0 是幂等纯地 由引理2 2 3 ( f ，s ) 是p s l a ( x ，f ，s ) 的个对象，且如果( g ，m ) 是范畴 币任一其它对象，则如：m _ s 是m a r ( ( g ，m ) ，( ， s ) ) 中的唯一态射，因 此( ，s ) 是p s l a ( x ，s ) 的个终结对象 1 1 s 了 x 吐m 曲阜师范大学硕士学位论文 引理2 2 7m = m c x ，s ) 是个图扩展，定义2 1 1 4 中定义的m 上 乘法下构成个幺半群，( ，1 ) 是其单位元 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章主要结果 3 1 圈的扩展 本节通过研究e ( s ) - 右可消幺半群从而推广了【3 1 】中的相关结果 定理3 1 1 ( x ，s ) 是一个幺半群表示，则朋= 州( x ，s ) 是一个次 左a m p l e 幺半群等价于s 是日( s ) 右可消的 证明，首先假设s 是昱( s ) 一右可消的，若是r 的一个有限1 根子图， 则 ( ，1 ) 州= m ( x ，s ) 且( ，1 ) 显然是幂等元，且朋的任何幂等元都具有这种形式，易知e ( m ) 是 个半格若( ，8 ) 朋，则( a ，8 ) 瓦( ，1 ) ，从而m 是左拟恰当半群且 ( ，8 ) + = ( ，1 ) 于是( ，s ) 瓦( ，t ) 等价予= 从而容易验证面是个左同余，令( e ，1 ) 曰( m ) ，对任意的( e ，s ) m 有 ( ( ，s ) ( e ，1 ) + ( ，s ) ，- ( u s e ，s ) + ( ，s ) = ( us e ，1 ) ( ，s ) = ( a us e ，8 ) = ( ，8 ) ( 0 ，1 ) 因而m = 朋( x ， s ) 是一个次左a m p l e 幺半群 另一方面，假设m 是次左a m p l e 幺半群令z x ，盯= ( f 。，z ，) 因 m 是拟左恰当幺半群，从而存在个幂等元( ，e ) 州使得r ( ，e ) r ( r ；，z ，) 1 3 曲阜师范大学硕士学位论文 因此 ( l ，z ，) = ( ，e ) c r 。，x 1 ) = ( u e f ；，e ( x 1 ) ) 并且l 三。，和。与。( 玎) 相等因此e = 1 现在假设 $ x ，x l 1 且e ( x 1 ) = g ( x 1 ) ，e ，g e ( s ) 因s = ，由l 到e 和1 到g 分别存在路径只和b 令是子图 只u 弓u ( 。与- 。( 。，) ，9 与9 ( 。，) 使得( e ，e ) ，( ，g ) 朋由 ( e ，e ) ( f 。，$ ，) = ( ，g ) ( r 。，x 1 ) 给出 ( ，e ) ( ，1 ) = ( e ，g ) ( ，1 ) 从而e = g 定理3 1 2 令( x ，s ) 是e ( s ) - 右可消幺半群s 的幺半群表示，则 m = m 伍，s ) 是真次左a m p l e 幺半群，且对任意的( ，s ) ，( ，t ) m ， ( 1 ) - ( ，s ) e ( m ) 等价于8 = 1 ； ( 2 ) 。( ，8 ) + = ( ，1 ) ； ( 3 ) ；( ，s ) 瓦( e ，t ) 等价于= e ； ( 4 ) ( ，8 ) 盯( e ，t ) 等价于8 = t 证明：由定理3 1 1 ，m 是次左a m p l e 幺半群且( 1 ) 成立，并有( ，8 ) 瓦( ，1 ) 和( ，8 ) + = ( ，1 ) 由( 1 ) ，显然e ( 州) 是一个半格( ，s ) 元( ，t ) 等价予 ( ，s ) + = ( ，t ) + 即= 如果( ，8 p ( e ，t ) 则对某个( e ，1 ) e ( 朋) 有 ( e ，1 ) ( ，8 ) = ( e ，1 ) ( ，t ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 得到8 = t 如果8 = t 则 ( u ，1 ) ( ，8 ) = ( a u ，1 ) ( ，t ) 从而( a ，s ) 盯( e ，幻( 4 ) 成立由( 3 ) 和( 4 ) 立刻得到朋是真的，从而朋是真 次左a m p l e 幺半群 定理3 1 3 设( x ，s ) 是e ( s ) - 右可消幺半群s 的幺半群表示。令m = m ( x ，i s ) ，则m = 且( 铂，m ) 是范畴p s l a c x ，s ) 的个对 象 证明；令( ，8 ) 朋，如果是，则由于8 是的一个顶点，8 = 1 且( a ，s ) = ( 1 ，1 ) 是朋的个单位元，因此，( ，s ) 现假设 不是l ，则在中存在一条边 e = u 斗v ( z ，) 由定义，是1 一根的，因此，中存在由1 到“的某条路径 1 马$ 。，马w ) ( 。2 ，) 与w ) ( ，冲 使得 只= 1 马。，马( 。舳，) - 与。与。( 。，) 是的个子路径我们注意到 ( 只，1 ) = ( 2 1 t a 4 x 2 t 2 m z n t 2 v t 2 t a d ) + 由于是1 一根的，a = u 。f ( ) 只且有 ( ，1 ) = n ( r e ，1 ) e e a ) 1 5 曲阜师范大学硕士学位论文 因此，如果8 = 1 ，( a ，s ) 如果8 1 ，由于sey ( ) ，是1 根的，存在某条边e e ( a ) 使得t ( e ) = 8 因此s 是只的一个顶点使得 ( p c ，8 ) e 朋且进一步对某些z l ，x 2 ，z x 有 ( 只，s ) = x l t m x 2 t , a 4 z n 铂z 铂 现在有 ( ，1 ) ( 只，8 ) = ( u 只，8 ) = ( ，s ) 使得( a ，s ) 符合要求 上面证明了( t m ，m ) 是p s l a ( x ) 中的一个对象要证明( 仉i ，m ) 是子 范畴p s l a ( x ，s ) 中的一个对象，我们须证明下图可交换： x 铂j m 了r s 4 知 这里乩是以口m 为核的同态定义也：m _ s ，( ，8 ) 也= s 显然 也是个同态，由定理3 1 2k e r a k = ( t h d 显然乩= ， 1 6 曲阜师范大学硬士学位论文 3 2 范畴p s l a ( x ，s ) 我们用e r c ( x ) 表示由x 生成的e 僻) - 右可消幺半群的范畴，p s l a ( x ) 表示由x 生成的真次左a m p l e 幺半群的范畴，p s l a ( x ，s ) 表示由x 生成 的以s 为最大e ( x ) - 右可消象的真次左a m p l e 幺半群的范畴( x ，s ) 是一 个e ( s ) 一右可消幺半群s 的个幺半群表示，本节我们证明范畴p s l a ( x ，s ) 有个初始对象( t a t ，m x ，s ) ) 由引理2 2 6 ，( ，s ) 是范畴p s l a ( x ，s ) 的个终结对象 由定理3 1 3m ( x ，s ) ) = m = 且( t a t ，m ( x ，s ) ) 是 p s l a ( x ，s ) 的个对象 引理3 2 1 如果m 是个次左a m p l e 幺半群，且假设m = ，则对 任意的a m ，a 可以写成 口= 研( 1 ) ) 十( 卵蟊) ) + y l y , t 其中m ，n ，z ：，雏k 1 g m ，1 j p ( 。) ，1 k 竹( 仇和n 可以 为0 ) 证明：y 中的元素满足要求形式，假设q n 且m 的所有由y 中的元 素经过小于q 步的运算得到的元素满足要求形式，假设a m 是y 中的元素 经过q 步的运算得到 情况( 1 ) ：a = 1 令m 一仃= 0 , a 满足要求的形式 情况( 2 ) ：a = 6 + ，这里b 是y 中的元素经过q 一1 步运算的到，由假设对 某些m ，n n b = ( 口 露( 1 ) ) + ( z ? z ；。) ) + y l y n 这里呓，y k k 1 i 仇，1 j p ( 。) ，1 k n 6 + = ( e y l ) + ，e = 0 i 露( 1 ) ) + - ( z ? 磺。) ) + 是幂等元，由引理2 2 2 ，口= 6 + = e ( 1 ) + ，d 满足要求形式 1 7 曲阜师范大学硕士学位论文 情况( 3 ) ：a = b c , 这里b 和c 是y 中经过少于q 步运算得到由假设对 某些m ，n ，3 ，t n b = ( z i 霉( 1 ) ) + ( z r z ；，。) ) + y l y j 和 c = ( 矗露( 1 ) ) + ( 才z 袅。) ) + w l 伽t 这里，执r 1 t m ，1 j p ( 。) ，1 k 8 和弓，叫k 1 i 1 j g ( i ) ，1 k t 如果s = 0 或n = 0 ，则口= b e 满足要求形式，假设s o , n 0 令 y = y l 舶且对1 l n ，e i = ( 露z ) + 由于m 是次左a m p l e 幺半群 掣e 1 e n = ( y e l ) + y e 2 e n - = ( y e t ) + ( e n ) + y 对任意的i 1 ，n ) ，由引理2 2 2 ( y e t ) + ( 可( 叠卫款。) ) + ) + = ( y z i 噶( 。) ) + ， 从而a = b c 满足要求形式 定理3 2 2 设伍，s ) 是e ( s ) 一右可消幺半群s 的幺半群表示，令m = 朋，s ) 则( t a , t ，m ( x ， s ) ) 是范畴p s l a ( x ，s ) 的一个初始对象 证明：我们只须要证明对于范畴p s l a ( x ， s ) 中的任意的对象( h ，) ，有 i m d r ( ( 仉l ，朋) ，( ，) j = 1 ，由2 2 等价于去证明m d r ( ( 仉l ，m ) ，( h ，) ) o 令( h ，) 是p s l a ( x ，印中的一个对象，因此n = 且下图可交 换 x l n 百s 这里砖是个以即为核的同态 曲阜师范大学硬士学位论文 定义口：m - ( ( z i 铂露( 1 ) 而) + ( 。p 铂尘；。) 撕) + y t t m 蜘妒 = ( ( z a 巧1 ( 1 ) ) + ( z p 扛z 茹。) 妨+ 乳毳y , h 这里仇，s n ，霉，x ，1 。m ，1 j p ( 。) ，1 k s 由引理3 2 1 ，一 定义在整个m ，下证0 是可以定义的