（基础数学专业论文）c1样条小波方法及应用.pdf

摘要 自然界的许多物理现象、工程应用中的许多问题都可以用偏微分方程来描述。一般 的偏微分方程没有解析解，所以讨论方程的数值解就显得尤为重要。传统的偏微分方程 解法主要有：有限差分法、有限元方法、谱方法。前两种方法对不规则求解区域具有很 强的灵活性，但计算量大且精度不高，而谱方法在线性、规则求解区域上具有很高的精 度，但灵活性差。近年来，小波分析理论成为数学的一个重要分支，由于小波具有紧支 集、高阶消失矩等优点，在偏微分方程的求解中具有特殊意义，因此人们开始将各类小 波应用于偏微分方程的求解。 本文将样条小波与有限元方法结合起来求解偏微分方程的边值问题，其中样条小波 是在p o 眦1 1 s a b i i l 三角剖分上构造出的c 1 样条小波，这种小波具有紧支集、c 1 一正则性 及2 一稳定性。由于我们的方法是样条小波与有限元方法的结合，所以我们的方法不 仅保持了有限元方法的灵活性，也提高了数值解的精度、加快了解的收敛速度并减少了 计算量，因此我们的方法具有广泛的应用价值 本文主要讨论了以下内容： 1 简单介绍偏微分方程的传统解法及小波分析在求解偏微分方程中的应用； 2 介绍p 0 w e l l s a b i n 元、h 锄l 沁剖分格式和多分辨分析的相关知识。这为本文构 造小波基、求解偏微分方程奠定了基础； 3 构造出具有紧支集、c l 一正则性及日2 一稳定性的c - 样条小波，给出了三方网 格上小波的显式表达式； 4 运用c 样条小波法求解偏微分方程的n e u m a n n 边值问题，给出了解的收敛性及 误差估计：能量模估计、厶模估计、日1 ( g o 整数) 模估计。最后给出一 个求解l 坤l a 方程b k 啪锄边值问题的例子。 本文利用三角剖分上的c 1 样条小波法求解偏微分方程，这为讨论偏微分方程的数值 解问题提出了新的研究思路。 关键词：c 1 样条小波；三角剖分；p o w e l l s a b i n 元；h 咖娩剖分格式；n e 啪黝问题 a b s t r a c t m a n yp h y s i c a lp h o m e 舱血m n 聃雅d 眦n yp l _ 0 b l e m si n g i n e e r i n ga p p i i c a t i o nc a n b cd c s 嘶b c db yp a n i a ld i 侬榭l t i a lc q u a t i o n s t h eg 即e m lp a r t i a ld i 丘b r 锄t i a le q u a t i o 珊h a v e n oe x a c t l l i t i o n s ，t h 讹如坞i ti ss i g n i f i c a n tt of h l dt h en u m e r i c a l i 毗i 吼s 如ft h ee q u a t i o n s t h e 饥i d i t i 伽脚l v i n gm c t l h o d so fp 删a ld i 饪b 崩l t i a le q 岫t i s 锄m a i l l i yt h ef m i t e d i 丘曲舶m e t i l o d ，t h e6 l l i t ee l 锄蜘tm e t h o d 柚ds p c c t m lm e t i l o d t h e 痂s t 咖m e m o d sa 糟 n e x i b l c 斯t h e i m g u l a r m g i o n ，b u t t h ec 咖p u t a t i a lc o s t i s l a 学觚d t h ea 嘶曲i s 肿t h i g h a n dt h cs p c c n a lm e t l l o dh 私v e r yh i g h 伽托c yf o r t l l el i l l r 强d 粥g u l 盯坞西o n b u ti t s p o o rn 甑i b l e r c n t l y ，t h ew a v e l 吼孤a l y s i st l l e o f yb o m e so 毗o f t 量i ei i n p o f t a n tb r a h c so f m a t l l 锄a t i c s ，t h ew 钾e i c tp o s 豁m ep f o p e n i e s 如c h 船o m n p a c t 册p p o 鸭v 趾i s hm 伽e n t c t c ，i th 勰s p i a lm 啪i n gf b ft h c l v i n go fd i 丘打e n t i a le q u a t i o l l s ，t l l e 他f b mp p l e 印p l y v a d o u sw a v e l e t st os o l v cp a m a id i 丘锄t i a le q u a t i s ht h ep 他mt h c s 域w ec o m b i i l es p l i n ew w e i e t 砌ht h et i i i i t ee l 锄e n tm e t l l o dt o l v e 血eb o 蛐d a r yv a l u ep r o b l 锄so f p a 币a ld i f 向吼血lc q 删o n s o 叫s p l i i i ew 盯e l c tf i u l “o n sa ds p l i 哪e l e t 血n “s 咖曲m c t e do np o w e l l - s a b i n 妇g u l a l i o m ，t l l e w w e l e t sh a v e c o m p a c ts 叩p o 鸭c 1 一代g i i l “t y 缸d 2 一s t a b i l i 何c o m b i n i i l gs p l i n ew a v e l c t 谢t hm c 砌i t ce l 锄锄tm e t i l o d o i i rm c t h o dn o to n l yk c e p st h ef l e 虹b i l i 锣o f t l l ef _ m i t ee l c m 舶tm 劬o d ， b u ta l m i st i i ea c c u m c yo fl 量l es o l u t i o n s a c l e 翔l e sl 量l ec o n v 唧c es p c c do f 恤 l u t o n s 锄dm d e sm ec 啪p u t a t i o n a lc o s t s 0 ，o 咐m c t h o dh 船a p p l i c dv a l b 嘲d l y t h ep 印e rm a i n l yd i s s st l i cf o l l o w j l l gc o n t 髓：t s ： 1 h i 们d u c i i i gm i d “i 伽i a lm e t l l o d so fp a l t i “d i 缸h t i a le q u a t i o 璐锄dt h ea p p l i c a t i o n o ft h ew 眦l e ta n a l y s i si l i 丘n d i l l gt l l en 啪c r i i l u t i o 船t op a n i a ld i 珏b r c i i t i a i e q u a t i o n s 2 脚蜘缅g m e 糟l a c c dh o w l e d g eo f t h ep o 啪l l - s a b i l le l 眦c n t s ，h 删1 i t es u b d i v i s i o n s c h 锄ea n dm u l t i 他l u t i 龃a l y s i s t h i sl a y sb 硒i sf o rc o n s 仉l c t i n gl 量l ew a v e i e t b 邪i s 锄d 血e l 嘣吼t op a n i a ld i 位m m i a le q 删si l lt l l i sp a p 3 c o n s 订u c 血gc 1s p l i w a v e l e tw h i c hl l a v e m p a c ts u p p o 吒c 1 一g l l l 鲥哆蜘d 日2 s t a b i l 咄g i v e sc x p l i c “e x p m s s i o 船f o rm cw 吖e l c t s m ct l l r e e - d i r 鳅硫 m e s h 4 u s 堍c 1s p l j l l e 啪v e l e tm e t l i o dt o l v cn c u m 锄b o u n d a r yv a l u cp r o b l 锄o f p a r t i a ld i 瓜棚【i t i a lc q u a t i s ，g i v e st h 苦c v e r g e n o ft l l e l u t i 锄de s t i n l 如s ： e 吩7 n 咖e s t i n l 疵，厶n o 吼e s t i m a 嗡日一9 ( g o ) n o m e s t m a t c f i n a l l y ，a n 啪c r i c a la p l ci sp f c s e n t e d 。w ep f o v i d ean e ww a yt os o l v ed i 能r 锄t i a ie q u a t i 0 i l sb yu s h l gc 1s p l i n ew a v e l e t p o w e l l - s a b i n 们锄g t l l a t i o 船 k e yw o r d s ：c 1s p l i n cw a v e l e t ；们锄g i i l a t i s ；p 0 w e l l - s a b i l le l e m t s ；h e 彻h 蛐b d i v i s i s c h 黜e ；n e u m 锄p m b l e m 插图 图2 一l 盯的4 分裂6 图2 2 口的6 分裂和1 2 分裂 6 图3 1f i ，吃的6 - 分裂1 0 表格 表4 1 第。层致值解2 8 表4 2 第l 层数值解2 8 表4 3 第2 层数值解2 9 表4 4 第3 层数值解2 9 独创性声明 本人声明所旱交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：尘丝 日 学位论文著作权声明 本论文作者声明： 口本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得，本人和指导教师都有权使用本成果学 术内容( 有第三方约定者除外) 。 日 作权 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：海南师范大学有 权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文本，允许论文被查阿和借阅本人 授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩 印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；越 日 期：丝翌 日玎鼋 指导教师签名： 且瓤竺艄筑一埘 第一章绪论 1 1 偏微分方程的传统解法 偏微分方程的数值解法是计算数学中非常活跃的分支，自然界中大量的物理现象、 科学与工程中的许多问题最终都可以用偏微分方程来描述，因此解决偏微分方程的求解 问题对于解决许多不同学科、不同工程应用中的计算问题具有非常重要的意义。但是偏 微分方程一般没有解析解，所以必须借助数值方法或近似方法来求得数值解或近似解。 偏微分方程可以分为椭圆型、抛物型、双曲型三类。传统的求解偏微分方程的数值 方法主要有以下三种： 第一种是有限差分法【“，即在离散网格点上定义未知函数的取值，然后用邻近点之 问的差分来近似表示原方程中的微分算子，进而将问题转化为求解一个线性系统： 第二种是有限元方法2 “，即对求解区域按一定规则作单位剖分，并在剖分集上构 造一个具有紧支撑的线性无关测试函数集，再将微分方程在该函数集上积分，最后微分 方程的解就可以表示为这些测试函数的某种线性组合； 第三种是谱方法瞪j ，即首先选取具有全支撑和一定光滑性质的基函数集，待求函数 就可以用这些基函数线性表示，然后再将其截断至有限项就得到方程的近似解。 前两种方法在处理不规则求解区域的问题上具有很强的灵活性，但计算量大且精度 不高；而谱方法在解决线性、规则型求解区域的问题时具有很高的精度，但灵活性差。 1 2 小波理论的发展与应用 小波分析是对f o u r i e r 分析理论的继承和发展。小波分析源于信号分析，它的思想 来源于函数的伸缩和平移方法。它是f 0 u r i e r 分析、g a b o r 分析和短时f d u r i e r 分析发 展的直接结果。小波的起源可以追溯到2 0 世纪初。1 9 1 0 年， i a a r 嗍提出了规范正交小 波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系h a a r 函数系。1 9 3 6 年，l i t t l e 们o d 和p a l e y 对f 0 u r i e r 级数建立了二进制频率分量组理论，构造了一组l i t t l e 霄0 0 d _ p a l e y 基，这 海南师范大学硕士学位论文 为小波在后来的发展奠定了理论基础。人们真正研究小波是在2 0 世纪8 0 年代，1 9 8 4 年，g r o s s m 锄和m o r l e t 【7 】首次提出了小波的概念，给出了按一个确定函数的伸缩平移 系展开函数的新方法和进行信号表示的新思想1 9 8 6 年，m a l l a t 和m e y e r 提出了多分 辨分析的理论框架，为小波基的构造提供了一般的途径。多分辨分析的思想是小波的核 心，它是理论与应用的结晶。至此，小波分析才真正形成为一门学科。之后，人们构造 出了大量的小波，例如b a t t l e l e m a r i e 小波、第一个双正交小波- t c h 锄i t c h i a n 小 波、具有紧支集的有限光滑正交小波等。 在小波理论发展的同时，小波在各个领域中的应用也在不断地开展，主要有以下几 个方面译州：第一，小波在数学其它分支的应用，如求微分方程、积分方程、函数逼近、 f 分形、混沌问题、概率小波、非线性分析等等。1 9 8 8 年a r n e o d o 和g r a s s e 叫把小波理 论运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生成现象；1 9 9 0 年，b e y l k i n 和 c o i f m a n 把小波用于算子理论；1 9 9 1 年j a f f a r d 和l a u r e n e o t 把小波变换运用于偏微分 方程的数值解。第二，小波在信号处理中的应用，包括信号检测，目标识别以及去噪等， 比如语音信号、雷达信号、医学信号、地震信号、机械故障信号等等。第三，小波在图 象处理中的应用，其中包括图像数据压缩、去噪、数字水印、指纹鉴别。第四，小波在 通信中的应用，如在c d 姒、自适应均衡、扩频通信和分形调制等方面的应用。 1 3 小波分析在求解偏微分方程中的应用 小波是一种满足特定性质的函数，其伸缩和平移可以生成厶( r 2 ) 的一组基。小波具 有光滑性、高阶消失矩和局部紧支集等性质，从而能够比传统方法更好地处理局部问题。 因此，自小波理论建立起就有研究者将小波用于偏微分方程、积分方程的求解”。1 ”。样 条小波可同时具有紧支集、对称性和反对称性、很高的正则度、高阶的消失矩及半正交 性等性质。而且，样条小波构造方法简单，易于操作；具有显式表达式和很好的光滑性； 容易被推广到高维小波。因此样条小波很适合于微分方程、积分方程的求解“1 当前，在一般三角剖分上构造c 1 样条小波吸引了越来越多人的注意。在 1 7 中， 贾容庆和刘松涛利用p o w e l l s a b i n 元得到了一般三角剖分上样条小波的构造方法 p o w e l l s a b i n1 2 一分裂元9 1 具有可加细性，这保证了h 锄i t e 剖分格式的存在。并且通 2 第一章绪论 过运用p o 啪1 1 s a b i i l 元，我们还可以建立满足s o b o l e v 空间上多分辨分析的c l 二次样条 函数空间族。贾和刘的小波具有紧支集性、c l 一正则性及日2 一稳定性，适用于数值分 析中很多问题的求解，例如偏微分方程，尤其是双调和方程哪】、积分方程、算子方程 的数值解，以及奇异扰动问题的求解等2 “。 1 4 本文的主要研究内容 本文将【1 7 】中的研究结果用于偏微分方程边值问题的求解。本文的主要工作如r 第一，c 1 样条小波的构造。利用p o 聊1 1 s a b i n 元构造出具有2 一稳定性的二次样 条函数空间上的c 1 样条小波基，给出三方网格上c l 样条小波基的显式表达式 第二，c l 样条小波法的应用。将c 1 样条小波与有限元方法相结合用于偏微分方程 边值问题的求解。作为特例，我们具体讨论椭圆型偏微分方程的n 叫m 锄边值问题。 第三，讨论c 1 样条小波解的收敛性，给出三个误差估计。 第四，用姒t l a b 语言对方程进行数值求解。 3 第二章预备知识 本苹将首先回顾s o b o l e v 空同中的一些基本概念、符号和性质，然后介绍 p o w e l l s a b i n 元、h 咖娩剖分格式及多分辨分析的相关知识。 2 1s o b o i 州空间 设、z 、r 分别为正整数集、整数集、实数集，n c 舻是l e b e g i l e 可测子集。 定义模 i 扣k 。：- ( 互l 卜( x ) 1 2 叙) ， x = ( 花，恐) r 2 ， 其中搿是q 上实值可测函数。 另外，我们设c ( q ) 、c 1 ( q ) 分别为q 上所有连续和一阶连续可微函数空间。厶( q ) 表示。上二次可积实值函数空间，空间厶( q ) 上的内积定义为 亿，d ：= b ( x ) x ) 叔， “，厶( q ) ，x = ( 舶，娩) e 丑2 对于具有l i p s c h i 乜连续边界的非空子集qcr 2 ，定义s o b 0 i e v 空间 耿固+ 嘻善厶叫， 迸一步我们可以分别定义s o b o l c v 空问日；( q ) 和日：( q ) 为 口( q ) # v ：v e 日1 ( q ) ，v i 。= ， 穰( ( d - v ：v 日1 ( q ) ，v i m = o ) 2 2p o 们l i s a b i n 元 设口是r 2 中的一个三角形，4 ，曰，c 是盯的三个顶点，口，6 ，c 分别是仃三边 粥，e a ，彳b 的中点。将盯分成4 个小三角形：爿施、a 跏、c 功、缸抛，我们 称为仃的4 - 分裂，记作嗄( 仃) ，见图l 。另外，图2 给出了口的6 - 分裂瓯( 力和1 2 - 分 裂4 2 ( 力，显然，磊：( 仃) 是么( 力和皖( 力的细分 5 海南师范大学硕士学位论文 丛丛 a c b a c ba c b 图2 1 盯的4 分裂图2 - 2 盯的6 - 分裂和1 2 分裂 定义2 2 1 如果仃和它的任意相邻三角形都能构成一个平行四边形，则称盯是 正则的，否则，称为非正则的。另外，正则三角形的所有边称为正则的，非正则三角形 的所有边称为非正则的。 定义2 2 2若对三角剖分丁的任意一条边e ，存在一个正常数膨，满足 砌j 叫 ，其中 是r 的网格步长，即r 的所有边的长度的上确界，则称r 是一个拟 一致三角剖分。 设r 是五2 中多边形区域q 的一个拟一致三角剖分，p 是r 中所有顶点的集合，记 西( 刃= u 嗄( 盯) 。定义 丁；( u 瓯( 盯) ) u ( u 点：( 盯) ) ， o n rd e l t 其中霉，互分别表示r 的所有正则三角形和非正则三角形的集合。 令 ( r ) # 岛( d n c l ( q ) ， 其中最( r ) 是r 上的二阶样条函数空间。 定义2 2 3 设p 是r 的任意非正则边，若样条函数j 雹( r ) 在g 的中点处的法 向导数等于在p 两端点处的法向导数的平均值，则称s 是容许的。用昱( r ) 表示由昱( r ) 中所有容许的样条函数构成的空间。 下面我们给出p 0 啪1 1 s a b i n 元的定义 定义2 2 4 称鼋( 瓯( 盯) ) 中的样条函数为第一型p 0 w e l l s a b i i i 元，韪( 嘎2 ( 盯) ) 中 的样条函数为第二型p o w e l l s a b i l l 元 根据p a w e l l s a b i l l l 2 分裂元的可加细性，函数鼋( 吒( 回) 可由它在盯三个顶点处 6 第二章预备知识 的函数值和梯度值唯一确定。函数g 避( 龟( o r ) ) 可由它在盯三个项点处的函数值、梯 度值以及在口三边中点处的法向导数唯一确定( 参见【1 9 】) 事实上，设“e 避( r ) ( 见图2 - 1 ) ，若给定三角形盯的三个顶点处的函数值和梯度 值，以及在三边中点处的法向导数。则我们有l 王a 强沁剖分格式的公式 = 半一亟盥学， ( 2 1 ) 从而我们可以求出在曰c 中点口处的函数值为得到梯度值，我们首先计算口点处沿五c 方向的方向导数 ， 一c ) v ：2 。一) 一堡生里宴业 ( 2 2 ) 二 联合( 2 2 屿已知的口点处的法向导数，我们就可以得到口点的梯度值v 心类似地，我 们可以将其他中点处的函数值和梯度值计算出来。 2 3 多分辨分析 多分辨分析的概念是理解和构造小波的统一框架，无论在理论分析还是在构造、理 解和应用小波方面都是十分重要的。 定义2 3 1 厶俾2 ) 空问中的一列闭子空间 巧 脚称为厶( r 2 ) 的一个多分辨分 析，如果满足下列条件： 1 一致单调性：c c 强c c k c k c ： 2 渐近完全性：n 巧= o ；u 巧= 厶俾) jz|tz 3 伸缩规则性：厂( x ) 巧厂( 2 7 x ) ，z 4 平移不变性：( x ) e ，( x 一) e ，对所有的z 2 ； 5 。r i e s z 基存在性：存在g e ，使褥 g ( x 一所防e z 2 构成虼的m e 配基，即 可e 存在唯一序列( 唧 ，2 使得，( x ) = q g ( x 一) 成立；反之，对任意序列 幽i z - e ，2 确定一函数厂e 巧，且存在正数a ，b ，其中a b ，使得 7 海南师范大学硕士学位论文 对所有厂成立 彳岬s 阱口帅 彝z 2 4 本章小结 本章回顾了s o b o l e v 空间的一些基本概念和性质，介绍脚e 1 1 s a b m 元及多分辨分 析的相关知识。这给后面构造c l 样条小波并运用其求解偏微分方程的边值问题奠定了 必要的基础。 8 第三章a 样条小波的构造 本章将利用p o w c i i s a b i i i 元构造二次样条函数空间上的c 1 样条小波基，这种小波基 具有紧支集、c 1 一正则性和日2 一稳定性，给出三方网格上c 1 样条小波基的显式表达式。 对于更详细的叙述，读者可以参见 1 7 。 3 1 分段二次多项式基 本节我们将利用p o w 它1 1 s a b i n 元构造二次样条函数空间的稳定基。 r 如2 2 节所设，对丁的任一顶点p ，设力。，力j ，力2 是鼋( 丁) 中唯一的样条函 数，使得 l 哆，o ( p ) e 砟，o ( p ) q 砟，o ( p ) ir l o 0 1 阮揣端镜按m 圳 3 i 力。2 ( p ) 皿露o o ) q 力0 ( p ) l l o o 1 j 且 力j ( w ) 2 0 ，见砟( w ) = o ，q 以( w ) = o ，w 尸、 办，= o ，l ，2 ( 3 4 ) 对删，定义星形踢( p ) ：当所= 1 时，坼( p ) = 磷( p ) 是r 中以p 为顶点的所有三 角形的并；当朋 1 时，s 带 ) 是r 中与& 一( p ) 相交的所有三角形的并。显然，在 坼( p ) 上，每个以，都是紧的。 由【1 7 】中的引理3 1 ，我们有下面的稳定性定理。 定理3 1 1 办j ：p p ，f = o ，1 ，2 是空间昱( d n 如( q ) 的一组稳定基，即，存 在某个实数即，使得每个奄( d n 岛( 锄都可以表示为甜= 窆，力j ，并且存在 两个正常数彳，b ，使得 彳( 荟喜i 斤) 1 ，2 m b 烈荟喜i ) l ，2 9 海南师范大学硕士学位论文 设 r = u ( ( q + 力u ( + 力) ， 作z 2 其中是以( o ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( 1 ，o ) 为顶点的三角形，f 2 是以( o o ) ( 1 ，1 ) ，( o ，1 ) 为顶点的三角形。 图3 - 1 f 1 ，f 2 的6 分裂 如图3 ，胁2 ( 0 ，o ) 、只气l ，o ) 、见气l ，1 ) 是f l 的三个顶点，乃气圭，o ) p 4 = ( 1 ，吾) ， 岛= ( 兰，争是三边p o p l ，p 1 仍，见p o 的中点，d l = ( ；，；) 是f i 的重心。取d l 为原点，则 甚茎 用只，f = l ，5 ，及d 1 表示经过坐标变换后的顶点、中点和重心。三条中线 胁胁，p i 岛，见岛的方程为 帆：x 一2 j ，= o ；呐：x + j ，一l = o ；蚺：2 工一y l = o 经过坐标变换后，三条中线的方程是 碱：，一2 y = o ；嬲：x + y = o ；么片：2 x 一y 7 = o 设噍 驴吮， j 2 ，吮，西j j ，噍 朋，噍， ，氏椭分别为限定在f 1 的六个小 三角形1 1 = 锄d i p 4 ，1 2 = 瓴d 幽，1 3 = 锄d l 岛，1 4 = 舰d i 风，1 5 = 瓴d l 见， a 1 6 = 觇d i p 2 中的函数允，则有 1 0 第三章c l 样条小波的构造 九，西j 二= 噍， 朋+ a ( x 一2 y ) 2 九， j j = 吮，a ，啦+ 五( ，+ y ，) 2 吮， j 4 = 氏，凡舻+ 五( 2 ，一y ) 2 噍， = 屯 j ，+ 五( 一一2 y ，) z 氏， j = 吮抽j j + 五( ，+ y 甲 九。 朋= 屯。 + 九( 2 ，一y y ( 3 5 ) 其中a ，五，九是待定参数。求方程组( 3 5 ) ，得 = 以，五= ，五= 以( 3 6 ) 运用( 3 1 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，求得 如，o ( 废) = o ；v 氟，o ( 蛾) = o ；九o ( p ： = o ； 允o ( 科) = o ；v 如o 嘣) = o ；允，o ( 曩) = 吉； ( 3 7 ) 如，o ( 磊) = 1 ；v 如o ( 届) = o ；吒0 ( ) = 专 设噍 月j 的表达式为 屯m o 。i = 饿。+ 砂2 + “夕+ 出7 + 秒+ ， 其中口，6 ，c ，d ，p ，厂是待定系数。由( 3 3 v ( 3 7 ) ，我们可以得到方程组 。 ：量 2 ( 3 8 ) 求解方程组，可得 口2 3 ，6 砘c = o ，d = - 2 ，口吨厂2 号， 吨五= 一1 ，五= 一1 1 1 f ! 一酝+ 3 ， 晚。p a 1 1 f 蔓一粤+ 3 ， z = 1 2 ； 唬庙毋2 三茹：2 ，+ 2 薹三i ：畚耄 i 之2 2 + 枷+ l ， = 脚5 ； f y 2 一数一勿+ 4 砂+ 2 ，= 1 6 簿一川毛 广鼢嚣。 f i ，+ 劬啪刍 噍斛l t 唬4 j e 1 2 ； ，唬旆j 凸d 3 ； 畦 j 1 4 -如n 。2 = 唬 j 仨1 5 唬脚越6 和戎竹j ，= l ，2 ，f = o ，1 ，2 ，的表达式 屯，a j = l 2 一矽+ y ， 一砂+ y ， 一砂+ y ， x 2 一善+ 三 2 氏m 2 1 l ； 九，d 2e 1 2 ； 九m 2 1 3 ； 如2 a 1 4 ； 氏m 2e 1 5 ； 氏m 2 1 6 j 一2 ，4 j 一1 + 砂2 _ 砂一2 砂， 虎。1 l ； i 鼍+ 4 x 一1 一砂：一砂+ 2 矾 z ：1 2 ； 拓 藏轰2 卢2 2 砩象畿 防+ 3 y ：“矾艺1 5 ； 【缸2 + 砂2 一锄：厶1 6 + j ， 如历je 1 1 ； + j ， 吒，n j 1 2 ； + y ， 九。 j 1 3 ； j m 22 屯n j 1 4 ； 吒曲je 1 5 ； 屯以j a 1 6 屯础l l ； 矗郴a 1 2 ； 吒，1 3 ； 晚巾2ea 1 4 ； 屯m 2e 1 5 ； 屯 2 1 6 三r ! r 斛 抖 ，、，、 妒 妒 妒 。吖2。吖2，2，一2，2 f 0 、2 卜1 一砂2 + 勿+ 锄吒如冉a i l ； f 一+ 2 卜1 + 勿2 + 砂一2 矾 ：1 2 ； ，o 一譬器瓮 f ：_ 办4 砚 吒鼎一l5 ； 【- 2 ，+ 2 卜l _ 砂2 + 2 ，+ 2 奶z ：二l ： 事吖+ 享+ 秒一只噍蹦e - - ；f f 吖+ ；+ ；，7 一奶嚷也。e 越t 隆扣一讹；陟鸡加+ 班乏孟 户7 雾芝二竺户7 誊， 恕三麓 f 嚣2 l 竺f 争o 锄 毳：瓮 f 三羔：+ 主+ 秒一土乏：三：耋 p j + i + i 一y 一司峙薹：i 以上给出了f l 中的样条函数，运用同样的方法，我们可以给出矗的六个：刍彤 竺2 7 巴加2 2 。蛾0 2 ma 2 3 = 锄d 2 见、厶2 4 ；颤呸风、厶2 ，；瓴0 2 岛、 厶2 6 2 4 b d j 见中的样条函数 f 乏_ ? ? ：，一劲+ 4 砩吒。， j 芝：一誓+ 锄 乙 = 7 黧强一锄疆 j 芝一! + j乏 阿砂+ 3 ， 乏 讼瓴篆羞 h 户黪中矾蓥 1 7v q 屯 j 厶2 6 麓陪y + 孝，蚴，； 薹广窿要东誊 拢 伊叫+ ；， l e 2 s ； 【i 广一j ，+ 孝，气。e 矗2 6 降+ 知i 一妒+ 耖+ 2 职杰m 越 臣+ 锄杰。p e 必 b ：般 器i f 羔 癌刚地 陋勰孽蠹 1 3 e e 晚 ，l = 噍， ，o = 如l ； j 2 l ， i r x + i + 广一y 一习 屯，愚i a 2 l ； ，+ 吉矿一2 拼屯，a ie 2 2 ； ；，绻麓b = a 广西# 2 4 m 如j ：；山+ 疆乃+ 秘乏e 嵫 ；，一x + ；+ ，一j ，一奶 噍州e 逝 3 j 2 十秒2 一锄 农。冉，oe 2 i ； 3 x 2 + 3 y 2 6 】9 如 。2 2 ； 一矿+ 2 j ，2 2 】， 噍儿oe 2 3 ； - 2 x 2 2 x l 一2 2 + 4 y + 2 】沙，噍伟d 2 4 ； _ 2 石2 一缸一l _ 2 y 2 + 4 j ，+ 2 砩屯。2 5 ； 2 ，一2 x l y 2 + 4 y 一2 习7 ， 吒， 。e 2 6 + 昙y ：哪 22 7” 寻几丢产奶 2 2 7 ” j 一j + 砂， 一昙“狒 2 一 善“砩 2 7 寻几昙卢拼 22 。 一 九i 2 l ； 如i 2 2 ； 噍i 2 3 h 。2 4 ；h 2 2 噍ie 2 5 ； 走l e 2 6 3 2 c 1 样条小波函数 一! x ： 2 一三石： 2 一三x z 2 吾y 2 3 i 旷一 兰产 防叫+ 争矽一五噍。业1 ； f r ， 噍。e 必 矿， 心。嗡 一；乒杰a 。她 ；，一y + ；+ ，吵一为噍。蝤 五少一y + j + 砂一为噍艟工驾 ；，y + j + 习，五唬。e 2 匠 互，y + j + 3 吵五唬虎。e 2 丘 i， 一i j ，+ 习如，此，2 2 l ； 一，2 + 习噍，r ，2 2 2 ； 一 y 2 + 砂，屯。r ，2 2 3 ； 2 y + 昙一习，+ 五屯a 。2 2 4 ； 2 _ y + 寺一】吵+ 墨允，r ，2 2 5 ； 2 y + 寺一秒+ 毛噍，岛。2 2 6 定义瓦# r ，五：= 嗄( 正一。) ，i e n ，则砭l 是军的细分。对i n 。，n 。# n u o ， 易证得昱( 五) c 霹( 瓦。) 。 定义 屹车昱( 互) n 厶( 锄， j en 0 ， 我们有 c 巧c kc c 日1 ( q ) ， 1 4 第三章c l 样条小波的构造 并且u 圪在日1 ( q ) 中是稠密的( 参见【1 7 1 ) t 0 定义 办，r ， ( 功：= 2 谚( 2 x 一) ，七o ，f = o ，1 ，2 ，z 2 ，x 置2 ， 其中谚 ) # 九j ( x ) 。设幺：圪一，七n ，是一个线性投影且幺= o 定义 g i # l ( e r 鲛，j e n o ，则v 七n o ，= g ；，攻= k - i + g i 。设只，巨分别为五的 顶点集和边线集 设p = 【胁，a 】乓- i ，只是e 的中点为了得到g 的基，我们考虑如下的函数 ，i ，f = o ，l ，2 ， 菱兰 一磊 菱兰 一马 囊兰 ， ( 3 9 ) 其中岛和蜀是3 3 矩阵，而且v w 足- i ，有( 上，丸j 纠) = o ，厶_ ，= o ，l ，2 显然， f i q ，并且对某个p 丑，j 上在星形躞( 力上是紧的，其中用n 与i 无关 于是，根据【1 7 ，定理6 2 】，我们有下面的定理 定理3 2 1对见e 只，f = o ，l ，2 ，设，是如上构造的小波函数，则 协p ( 一) ：f = o ，1 ，2 ，z 2 u 世 2 一缸。 ( 2 一) ：见只，f = o ，1 ，2 ，z 2 是 日一( r z ) 的一组弛踞基，其中满足硒 | _ i g v d f h g k 缇。| | g i l 。 即，q ，v 是连续的线性泛函。从而，根据l a x - m i l 毋n 定理( 见【2 4 ，定理1 1 3 】) ，( 4 1 1 ) 在矿中有唯一解。 设 巩= 谚，o ( 一) ：f = o ，1 ，2 ，z 2 u u 2 一肛p ， ，。( 2 。一) 矾，i = o ，1 ，2 ，z 2 ) 是 k ，i o ，的基。设( 4 1 1 ) 的近似解为 ：壹谚 一) + 圭壹以，2 一如坩( 2 ，x 一) ，z q ， ，e z 2f = 0，暑l 肚z 2 e 只，= o 则由g a i e r k i n 逼近格式，( 4 1 1 ) 可以离散化为 三妻反萌。一以砍) + 套互薹喜疗( 2 嗍，工一觑破州= l 厂再庙( + ( g ，磊) ， $ 亡l 目i i 、9 叠艮e t t 自 一 其中z = o ，1 ，2 ，唬o i 。 4 2 收敛性及误差估计 本节我们讨论样条小波方法的收敛性，然后再给出三个误差估计。 设= 昱( 瓦) ，圪= 鼋( 瓦) ，i e n ，我们有收敛性定理 2 4 第四章c 1 样条小波方法 从而 定理4 2 1 ( 收敛性) 对于( 4 1 1 ) ，近似解矿关于范数籼，收敛于精确解“ 证明首先，问题( 4 1 1 ) 近似为：求心e 珞，使得 这样，我们有 口( ，唯) = l 厂屹叔+ p ，也) ， v 屹， ( 4 1 2 ) 4 一心，唯) = o i k 一肛c h ( 摊一“i ，群一) = c 【口 一，却一唯) + d 一，唯一蚝) 】 = c h 一，雄一唯) s c 陋一肚- 肛一唯。 其中c 是正常数，化筒得 卜蚝b c 驯甜一唯k v 占 o ，由于“y ，c 。( q ) 在矿中是稠密的，所以j 厅e c 。( q ) ，使得 卜厅忆 o 整数) 模估计。 类似于( 4 1 4 ) 有不等式 肛刊b 好肛叫i 矿品，k 剖肛队 ， 他 其中矿是以w 为右端项，( 4 1 1 ) 的共轭问题的解：形矿，使得 口( 形，d = ( w ，d ，咖e 矿 ( 4 1 9 ) 定理4 2 4 ( 日一g ( g o 整数) 模估计) 在定理4 2 2 的条件下，成立误差 海南师范大学硕士学位论文 可得 卜b 嘉西州皿 证明由( 4 1 8 ) 及问题( 4 1 9 ) 的正则性估计： 柙皿s c g n ， ，臻。形一o 矿一。形j ；c 如9 “i 矿i ，。皿j 品c 铲“o w ，。， 将此代入( 4 1 8 ) 并运用定理4 2 2 可得证。 4 3 数值仞题 本节给出一个例题来说明我们的方法。 考虑l a p l e 方程的n e l i m 锄问题 l 群曩+ = o ， o 善 l ，o y l ， ( o ，y ) = o ， ，( 1 ，_ y ) = s 证2 刀y ， ( 墨o ) = o ，b ( x ，1 ) = o ( 4 2 0 ) 取“( o ，0 ) = o ，运用前面的方法求解方程，表l 表4 给出了部分数值解及误差。 表4 1 ( 甜( x ) 精确解，辄( 对一小波解) x 甜( x )( b ( x ) 一锹o ) l ( 0 ，0 ) 000 ( 1 ，1 ) o 2 2 7 0 4 5 2 3 6 8 1 6 7 0- 0 5 5 4 8 9 7 4 i 7 6 0 9 7 90 3 2 7 8 5 2 1 8 0 7 9 3 0 9 ( 1 ，o ) o 1 s 0 2 7 1 4 6 “7 3 1 0o ，1 7 3 s 4 s 3 0 ”7 4o 0 0 6 4 2 3 4 5 8 1