（基础数学专业论文）schrodinger型非线性偏微分方程初值问题在sobolev空间中的适定性.pdf

s c h r s d i n g e r 型非线性偏微分方程初值问题 在s o b o l e v 空间中的适定性 专业； 博士生： 指导教师： 基础数学 郭翠花 崔尚斌教授 本文研究几类s c h r s d i n g e r 型非线性偏微分方程和方程组初值问题在s o b o l e v 空间 中的适定性这些方程和方程组皆来源于现代物理学的一些领域全文共分四章 在第一章，我们研究二维情形的经典非线性s c h r s d i n g e r 方程u t + u = i u i “u0 帮，t 兄) 的初值问题在s o b o l e v 空间伊( 斧) 中的整体适定性，其中m 为正整数，且 m 2 我们应用高低频分解方法，证明了当 鲁薯 0 使得 1 ，忙( u ) i g m ”。2 ，k = 0 ，1 ，m 我们考虑了，满足条件a 时该方程的初值问题在空间日3 ( f p ) 中的局部适定性，其中 o m a ) 【( o ，；( 1 一熹) ) 然后用所得局部适定性结果和方程的守恒律，给出了酽解和日2 解的整体存在性特别地，我们证明了n = 1 ，2 ，3 以及k 2 时所对应的初值问题在空 间c ( n ，h ( j p ) ) nc 1 ( r ，h k - 2 ( j p ) ) 中存在唯一的古典解 在此基础上。我们考虑了一般的高阶非线性s c h r s d i n g e r 方程u t = i p ( d ) u + f ( u ) 0 舒，t r ) ，其中p ( d ) 为m 阶的齐次椭圆算子，( u ) 为非线性复值函数当= k 舻i | p ( ) i = l 为凸曲面，满足条件a 时，我们建立了上述方程初值问题在空间 俨( ，p ) 中的局部适定性，其中5 m a x ( 0 ，；( 1 一盂 2 m ) ) 在第二章的最后，我们研究了带位势的高阶线性s c h r s d i n g e r 方程u t = i p ( d ) u + v ( x ，t ) u 扛r ，l ，t r ) ，其中p ( d ) 为m 阶的齐次椭圆算子，y ( x ，t ) 为实的势函数 当v ( x ，t ) 满足一定条件时，我们给出了该方程的初值问题在l 2 ( 舻) 和日”( r ，1 ) 空间中 的局部适定性 在第三章，我们考虑两类各向异性的高阶非线性s c h r s d i n g e r 方程第一类是空间变量 为二维的六阶方程i u + 钍+ 口，。；。+ h 。，叫m 。+ “u = 0 ( ( z l ，x 2 ) 舻，t r ) ， 其中口和b 是不同时等于零的实数，a 为正常数我们的结论为：( 1 ) 当s m a x ( 0 ，1 一譬) 时，上述方程的初值问题在日8 ( r 2 ) 空间中局部适定，其中，如果6 0 ，则a + = 3 ；如果 b = 0 ，但a 0 ，则o t + = ；( 2 ) 当o t o + ，s 1 一鲁时，对于小初值，该方程的初值 问题在日。( 砰) 空间中几乎整体适定( 3 ) 当o t 3 a m a x a ，o ) ，d 3 ，s 1 一= 3 或b = 0 ，n ；， s 1 一袅时，对于小初值，该方程的初值问题在俨( r 2 ) 空间中整体适定 研究的第二类方程是空间变量为高维的四阶方程i u + u + i “i 。u + a ：1 “。；= 0 扛口，t r ，1 d n ) ，我们不仅证明了这个方程初值问题在空间伊( 册) 中的适 定性，其中s m a x ( 0 ， ( 1 一西芒丽) ) ，而且还给出了在各向异性的w ；1 1 ( 舻) 空间中的 适定性 在最后一章，我们研究了下列耦合的非线性s c h r s d i n g e r 方程组 ii仇u十+a。u：=la。lu。l。u+圳：。xerr。terr， 证明了匕述方程组初值问题在空间f p ( r ) x h 4 ( r ) 中的局部适定性，其中3 m a x ( o ，管) 在此基础上，我们证明了a 一1 ，a = 2 时在日1 ( 月) h 1 ( r ) 空间中的整体适定性 关键词：s e h r 6 d i n g e r 型方程；非线性；初值问题；s o b o l e v 空间；适定性 w e l l - p o s e d n e s so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so ft h es c h r s d i n g e rt y p ei ns o b o l e vs p a c e s a b s t r a c t m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：g u oc u i h u a s u p e r v i s o r ：c u is h a n g b i np r o f e s s o r u l i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d yw e l l p c 8 e d n e s so ft h ec a u c h yp r o b l e m o ft h es c h r s d i n g e r t y p en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds y s t e m si ns o b o t e vs p a c e s t h e s ee q u a - t i o n sa n ds y s t e m sa r i s ei nm o d e r np h y s i c s t h ew h o l ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p - t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w cs t u d yg l o b a lw e l l - p o s e d n e s sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h e n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o ni u t + a u = l u l 2 “i nt h e2 - d i m e n s i o ne a s e ，w h e r em i sa p o s i t i v ei n t e g e r ，m 2 u s i n gt h eh i g h - l o wf r e q u e n c yd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w ep r o v e t h a ti f 舞薯 0 s u c ht h a t 1 ，( ) ( lsc h 。+ 1 - w ep r o v et h a tu n d e rt h i sc o n d i t i o nt h ec a n c h yp r o b l mi sl o c a l l yw e l l - p o s e di nt h es o b o l e v s p a c eh 5 ( r “) p r o v i d e ds m a x ( 0 ，；( 1 一击) ) u s i n gt h i sl o c a lr e s u l t sa n dt h ec o n s e r v a - t i o nl a w s w ep r o v eg l o b a le x i s t e n c eo fl 2 - s o l u t i o na n d 俨一s o l u t i o n i np a r t i c u l a r ，i nt h e c a s en = 1 ，2 ，3a n dk 2 ，w ep r o v et h a tu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h ec a n c h yp r o b l e mh a s au n i q u ec l a s s i c a ls o l u t i o ni nt h ec l a s sc ( r ；h 。( 册) ) nc 1 ( r ；h 一2 ( r r 。) ) 1 v n e x t ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a lh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ”= i p ( d ) u + ，( u ) ，z 胛，t r ，w h e r ep ( d ) i sah o m o g e n e o u se l l i p t i co p e r a t o r ， ，i sag i v e nn o n l i n e a rc o m p l e xv a l u e df u n c t o n w ec o n s i d e rt h ec a s et h a tn 2 ， e = r “l i p ( 5 ) i = 1 ) i sac o n v e xh y p e r s u r f a c ea n d ，s a t i s f i e st h ec o n d i t i o na s i m i l a r l y , w eo b t a i nt h el o c a lw e l l - p o s e d n e s so ft h ec a n c h yp r o b l e mf o rt h eh i g h e r - o r d e r e q u a t i o ni nt h es o b o l e vs p a c eh 4 ( 凡“) ( s m a x ( 0 ，( 1 一器) ) ) i nt h el a s ts e c t i o no ft h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h eh i g h e r - o r d e rs c h s d i n g e re q u a - t i o nw i t hp o t e n t i a lf u n c t i o nu t = i p ( d ) u + y ( 。，) “( 。r ”，t 固，w h e r ep ( d ) i sa h o m o g e n e o u se l l i p t i co p e r a t o r ，y ( x ，t ) i sar e a lp o t e n t i a lf u n c t i o n w ee s t a b l i s hs o m el o c a l a n dg l o b a le x i s t e n c er e s u l t sf o ri n i t i a ld a t ab e l o n g i n gt ol 2 ( 口) a n dh “( 钟) i fy ( x ，t ) s a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d ya n i s o t r o p i ch i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a - t i o n s t h ef i r s te q u a t i o nw ec o n s i d e ri st h eas i x t h - o r d e re q u a t i o ni nt w od i m e n s i o n s 乱吒+ a u + a u l l z 1 + 地z l z l z l z l z l 。l + i 训o u = 0 ，( 2 ：1 ，2 7 2 ) r 2 ，t r ，w h e r ea ，b a r en o t s i m u l t a n e o u s l yv a n i s h i n gr e a lc o n s t a n t s a n d i sap o s i t i v ec o n s t a n t o u rm a i nr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ：( 1 ) a s s u m et h a ts m a x ( 0 ，1 一譬) t h e nt h ec a u c h yp r o b l e mi sg l o b a l l y w e l l - p o s e d i ns o b o l e v h 。( 譬) ，w h e r eo + = 3 i fb 0h o l d s ，口+ = ；i fb = 0 ，o 0h o l d s ( 2 ) a s s u m et h a to t q + ，s 1 一譬t h e nf o rs m a l li n i t i a lv a l u e ，t h ec a n c h yp r o b l e m i sa l m o s tg l o b a l l yw e l l - p o s e di ns o b o l e vh 3 ( 舻) ( 3 ) a s s u m et h a ta 3 a m a x a ，0 ) ， 3 ， s 1 一兰o rb = 0 ，口 ；，s 1 一五8 ，t h e nf o rs m a l li n i t i a lv a l u e ，t h ec a u c h y p r o b l e mi sg l o b a l l yw e l l - p o s e di ns o b o l e vs p a c eh 。( 序) a n o t h e re q u a t i o ni st h en o n - i s o t r o p i c a l l yp e r t u r b e dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n i nh i g hd i m e n s i o n s 饥+ a a + 阻l 。札+ o 垒l t 上吼。瓤。= 0 ，。口，t r ，1 d n b o t ht h ew e u - p o s e d n e s sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mi ni s o t r o p i cs o b o l e vs p a c eh 5 ( 舻) ( s m a x ( 0 ，( 1 一面) ) ) a n dt h ew e l l - p o s e d n e s eo ft h ec a u c h yp r o b l e mi nn o n i s o t r o p i c s o b o l e vs p a c e 研1 ( 口) a r ee s t a b l i s h e d ： f i n a l l y , w es t u d yt h ef o l l o w i n gc o u p l e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ： iiu。,+a。u：=la。llu。l。+。i：2zxe兄r，。te兄r， w ee s t a b l i s hs o m el o c a le x i s t e n c er e s u l t sf o ri n i t i a ld a t ab e l o n g i n gt oh 3 ( 兄) h 。( 兄) ( s m a x ( 0 ，1 a - i 4 ) ) ，a n dp r o v et h a ti fo 一1 ，o = 2 ，t h e nt h eg l o b a lw e l l - p o s e d n e s si n 肼( 固h 1 ( r ) i se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs c h r s d i n g e rt y p e ；n o n l i n e a r ；c a u c h y p r o b l e m ；s o b o l e vs p a c e ；w e l l - p o s e d n e s s v l xq y 啦 a u d “t 上 v 钍 f p l 、 复数z 的实数部分 复数z 的共轭复数 本文所用的符号 表示x ，y 都是拓扑线性空问，x c y 且为连续嵌入 a t 工 既 蕊 鑫，其中i n l = a t + - + a 。 ( o , u ，0 2 u ，o u ) 塑 鲁出? f o u r i e r 变换：凡( ) = ( 2 订) “e 。f u ( z ) 出 f o u r i e r 逆变换tf - 1 u ( z ) = e “_ u ( ) j o f u s ( 口)s c h w a r t z 函数空间，即在彤上满足下述条件的c 。实值或复值函数 s ( 彤) p ( 舻) n ( 口) 日“( 舻) 日。( 舻) 的全体构成的空间t 对任何非负整数m 和多重指标a ，有 s u p = 酽。( 1 + i z 2 ) 号i d 。 ( z ) l 。o 缓增广义函数空间，即s ( r “) 的对偶 舻上全体p 幂可积的可测函数形成的b a n a c h 空间，其范数定义如下 i f 。l l 。： ( f n - t 训功p 如妒，当p 。时 ie s s s u p h mi ，当p = o 。时 整数次s o b o l e v 空间 = w m , 2 ( 舻) ，它是h i l b e r t 空间，内积为 ( t ， ) j ：r m = “( z ) ( z ) 如 j r ” 0 r ，1 p o 。) 非齐次s o b o l e v 空间t u ( 尼。) ：l i 训i 仃”= i i f - 1 【( 1 + 2 ) ；叫i i p o o 伊( 即) 日5 9 ( 形) 驴( 口) b ；，。( 舻) 睇，。( 即) p ( ( 一t ，t ) ，x ) g ( 【一z t 】，x ) = h 8 , 2 ( ，p ) ( s r ，1 p so 。) 齐次s o b o l e v 空间t n ( j p ) ：u 8 小，= i i f - 1 ( 陪i 。n ) l i 驴 o o ：矗s ，2 f 尼1 ( 8 r ，1 p ，q so 。) 非齐次b e s o v 空问 0 r ，l p ，q o o ) 齐次b e s o v 空问 定义域为区间( 一t ，t ) 而值域为b a a a c h 空间x 的p 幂可积 映射全体构成的b a n a c h 空间。其范数为： 扩( b 拼1 ，当p 锄时 【e s s s u p ( t ) l u l l _ f ，当p 。o 时 映区间( 一t ，t ) 到b a n a c h 空间x 的连续映射的全体构成的 b a n a c h 空间，其范数取为i p = s u p 0 为正数，妒( 而h 8 ( 舻) ，人们已做了大量的研究，获得了许多非常深刻的结 果有关问题( 0 2 ) 在s o b o l e v 空间日8 ( 彤) 中的局部适定性( 见文【2 ，【1 9 ，【4 6 】，【1 1 2 ， 1 2 0 】等) ，除个别特殊的a 值可以得到指标为负的s o b o l e v 空间中的局部适定性外，其余 的最好的局部适定性结果已由t s u t s u m i 1 2 0 】以及c a z e n a v e 和w e i s s l e r 【1 9 给出，结论 如下：设 当口 一 一 s s ，ljflii、 前言 3 一个很自然的问题是：是否对所有的s s o ，问题( 0 2 ) 都在伊( ，p ) 中整体适定? b o u r g m n 猜测这个问题的答案是肯定的，这就是著名的b o u r g a i n 猜测在文【1 1 一 13 】 中，b o u r g a i n 对此问题做了最早的研究其中，文 1 1 】考虑了n = 2 ，m = 1 的情形他 把初值分解成两个函数的和，即所谓的高频和低频部分，成功地得到了s ；的整体解的 存在性应用同样的方法，b o u r g m n 又考虑了n = 3 ，m = 1 的情形，得到了s 西1 1 时的 整体适定性，并证明当妒( z ) h 5 ( 即) 为径向对称函数时，该结果可以改进为8 ；( i 见 文1 2 1 ) 他还应用该方法考虑了n = 3 ，m = 2 ，妒( z ) h 3 ( r 3 ) 为径向对称函数的情形， 得到了s 1 的整体适定性( 见文【1 3 d 最近几年，c o l l i a n d e r ，k e e l ，s t a f f i l a n i ，h a k a o k a 和t a o 合作( 见 2 6 ， 3 0 】) 采用前面提到的i 方法，改进了b o u r g a i n 的结论，证明了当 n = 2 ，m = l ，s 7 4 或者n = 3 ，m = 1 ，s ；时，初值问题( 0 2 ) 在空间伊( 胛) 中整 体适定近两年，他们又应用改进的j 方法证明了当n = 3 ，m = 1 ，s i 4 时，初值问题 ( 0 2 ) 在空间俨( 印) 中整体适定( 见文 3 0 ) 对于比( 0 2 ) 更一般的方程 ji “+ 札= ( ，面) ，z 舻，t r ，。小 i “( z ，o ) ：妒( z ) ，z r n ， 。 其中n ( u ，日) = 。l + 。：n 1 。1 西。，口 0 为正数， 妒( z ) h 。( 邱) ，可以得到与问题 ( 0 2 ) 类似的局部适定性结果对于n = 1 的一些特殊情形，最近几年又得到一些不错 的结论，即s o b o l e v 空间的指标可以取到负指标例如，k e m g 等人在文1 7 9 】中得出t 当n = l ，n ( u ，面) = u 2 或( “，) = 豇2 ，s 一；时，所对应的初值问题在俨( 固空间 中局部适定；当n ( u ，面) = 2 ，s 一i 1 时，所对应的初值问题在h 8 ( 励空间中局部适 定最近b e j e n a r u 等( 见文【4 1 ) 利用b o u r g a i n 空间构造了一个新的空间得到了n = 1 ， n ( u ，豇) = u 2 所对应的初值f 哥题局部适定的最优估计：当s - 1 时，初值问题局部适 定；当s 一i 时，所对应的初值问题在伊( 舻) 空 间中局部适定；当n = 3 ，n ( u ，面) = u 2 或n ( u ，面) = 豇2 ，s 一i 1 时，所对应的初值问题 在俨( 廖) 空间中局部适定该结论充分说明s c h r s d i n g e r 方程同k d v 方程一样，也可 以得到指标为负的s o b o l e v 空间中的局部适定性由于( 0 3 ) 中口和日1 不一定守恒。 只有( o 2 ) 才满足口和h 1 守恒律，因此在护( 研) 空间中的整体适定性同( o 2 ) 在二阶s c h r s d i n g e r 方程中加上一项势函数，即成为如下的方程 札+ a u + i u l 9 u = y ( z ，t ) u ，z 口，t r ， 其中y ( x ，t ) 为势函数，它可诣与时间t 无关，也可能与时间t 有关y ( 置t ) 与时间t 4 前言 无关时的讨论相对来说多一些，与时间t 有关的讨论则比较少一些当v ( x ) 一 ， 6 0 时，已经得到了不少结论当n = 1 时，文【5 1 】给出了当y ( z ) l 1 ( 固时 的色散估计；当n = 2 时，文【1 3 3 】给出了当v ( x ) 一 “一时的l p ( 1 p o ； ( i i ) p 0 ，盯n 4 ； ( i i i ) 芦 0 ，o - n = 4 ，l 备。f 耶1 4 的情形并未得到解决 f i b i c h 等人的这些适定性结果比较粗糙，而且他们并没有考虑解的局部存在性，因 而也不严谨我们将在本文第二章建立( o 5 ) 在铲( 形) 空间中的局部适定性，并利用 这个局部适定性结果给出( 0 6 ) 在驴( 舻) 空间和日2 ( f p ) 空间中整体适定的新的充分条 件特别地，我们还讨论了n = 1 ，2 ，3 时初值问题( 0 6 ) 的古典解的整体存在性所得结 论改进了文【3 9 】的结果 高阶s c h r f d i n 9 e r 方程中还有一类下列类型的特殊方程 ji u t + x u + l u i + o 耋1 周郴。+ 6 乌讯。q q = 0 ，。彤，t r ，1 d 仉 iu ( z ，0 ) = 妒( t ) ，z 舻 6 前言 这类方程的特点在于方程中含有各向异性的高阶色散项该类方程来源于应用物理w e n 和r m ( 见文【1 2 9 ) 用这种方程来描述具有不规则时间色散的平面介质中超短波导脉冲的 传播模型这类方程也用来描述光纤排列中孤立波的传播模型( 见文 1 】) 关于这类方程 物理背景的其他介绍可参见文 4 1 】- 4 0 】- 对于此类方程初值问题在s o b o l e v 空间中适定 性的讨论比较少，仅有的讨沦就是f i b i c h ( 文 4 1 一【4 0 】) 等给出了整体解存在的临界指数， 但是他们并没有考虑局部解的存在性显然，这样得到的结论并不完善 我们将在本文第三章研究两类具有代表性的上述类型方程的初值问题 和 t ：t + “+ n u z - z t z - 。- j 6 n z ，z t z t 。，z t z t + c l u i 。“= o ，z6r 2 , r ， ( o 7 ) iu ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z r 2 ， 弩+ ? 晓耋，“一一6 1 叫：0 】蚝e 涎r1 狄 ( o 8 ) i ( z ，0 ) = 妒( 茹) ，z 口， 其中初值问题( 0 7 ) 的讨论适合讨论维数低但方程阶数高的方程；初值问题( 0 8 ) 的讨论 则适合维数高但方程阶数较低的情形 我们将考虑这两个初值问题在s o b o l e v 空间h 3 ( 彤) 中的适定性这类高阶方程与前 两章所提到的高阶方程有所不同，它们的偏微分算子分别为p ( 三k ) = 一d 一明+ a d 一 6 d 2 和p ( d 。) = 一：。d ? + n 。dld ? ，显然这些偏微分算子是各向异性的。它们所对 应的符征p ( f ) 并不是椭圆多项式因此，已有的高阶方程的色散估计并不适合这两类 方程我们必须先建立线性的色散估计在此基础上，我们将进一步建立其所对应的线 性方程的时空估计，并建立其s t r i c h a r t z 估计和非线性项的估计，然后用不动点原理得 到其局部解的存在性理论，并利用能量法得到解的整体存在性同时。我们也给出了当 d = n 一1 时初值问题( o 8 ) 在各向异性的s o b o l e v 空间w ；1 1 ( 舻) 中的适定性，在讨论 整体适定性时，我们用到了文 5 2 】中各向异性的s o b o l e v 不等式 同s c h r & l i n g e r 方程的讨论一样，s c h r 6 d i n g e r 方程与其他方程的耦合方程组也是许 多学者所感兴趣的s c h r s d i n g e r 方程可以与许多方程耦合，这种耦合来源于具有应用价 值的物理背景这样的耦合方程组有m a x w e u - s c h r 6 d i n g e r 系统( 见文【6 0 】， 9 7 ， 1 2 1 】和 【1 2 2 ) ，s e h r s d i n g e r - p o i s s o n 系统( 见文【1 4 ) ，d a v e y - s t e w a r t s o n 系统( 【4 5 】，【6 2 和【1 0 2 ) ， s c h r 6 d i n g e r - k l e i n - g o r d o n 系统( 1 0 3 ) 以及s c h r s d i n g e r 自身所耦合得到的系统等等我 前言 7 们在本文中只讨论了其中一种，即如下的耦合s c h r s d i n g e r 方程组 lt u t + u = o i 钍卜u + i t 叫。u ，z r ，t r ， i q + 口= i 钍i 。”+ n l i “”，z r ，。r ，( o 9 ) iu ( 。，0 ) = l p ( z ) ，z r ， i ( o ，0 ) = 妒( z ) ，z r 文【9 9 】给出了该方程组的物理背景以及行波解的讨论该耦合方程组描述的是当光纤支 持两种不同的传播模式之间的相互作用的模型文【1 0 8 】和【1 0 0 讨论了孤立波的存在及 其稳定性文 2 3 】中则讨论了稳定的周期的行波解，文【3 2 】中同样讨论的是行波解的性 质 从这里列举的参考文献可以看出针对( 0 9 ) 的工作多数都研究孤立波的存在及其特 性。有关耦合方程组在s o b o l e v 空间中的适定性的讨论比较少我们将在本文第四章考 虑该方程组在s o b o l e v 空间中的初值问题的适定性所用的方法与单个s c h r s d i n g e r 方程 解的存在性讨论类似，即先建立线性估计，再建立非线性估计，然后应用不动点原理建 立局部解的存在性由于考虑的是方程组，因此我们需要用到向量空间及其向量空间的 范数，在所建立的向量空问的子空间上用不动点原理得到解的局部适定性，再用能量法 得到解的整体适定性 在以上工作的基础上，我们还将进一步研究下述一般的高阶非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程的初值问题 j ”e 一p ( d z ) “= m ) ，。彤，兄( o 1 0 ) i ( z ，o ) = 妒( z ) ，z r “， 其中p ( o 。) 为m ( m 4 ) 阶椭圆算子，( u ) 为给定的非线性函数这一研究将借助于 1 3 4 】建立的线性算子的估计得到 同时，我们还将附带地讨论下列带势函数的高阶s c h r s d i n g e r 方程的初值问题 2u t 一尸( d z ) = y ( 曩) 让，舅钟，r t ( 0 1 1 ) l ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 彤， 其中y ( 。，t ) 是个与t 有关的势函数当m = 2 时，文【1 3 1 已经讨论了( 0 1 1 ) 的解的 存在性与解的正则性当m24 时，文【1 3 4 给出了当v ( x ，t ) 只与$ 有关时的驴估 计，但并未给出解的表达式在实际应用中经常会碰到势函数y ( x ，t ) 与t 有关的情形， 即( 0 1 1 ) 中所出现的这种情形，因此有必要对这种情况进行讨论 8 前言 3 主要结果和方法 ( 1 ) 在第一章，我们用b o u r g a i n 提出的高低频分解方法研究初值问题( 0 4 ) 在竹= 2 ， m 是大于等于2 的正整数时在s o b o l e v 空问日3 ( 帮) 中的整体适定性主要结果为t 定理1 1 1 设n = 2 ，m 是大于等于2 的正整数。_ p ( z ) h 5 ( j 2 2 ) ，其中；蛊穗 0 使得当 0 茎k 茎m 时成立 i 严( u ) i c l , , i 一 我们的主要结果为： 定理2 1 1 ( 局部适定性) 假定非线性函数，满足假设条件( a i ) ，对任意妒( z ) h 。( 尼1 ) ，必存在t 0 使得当s 满足下述关系式 如果o ts ： 如果n ： 时，则初值问题阳印在c ( - t ，卅，h 8 ( r “) ) 空间中有解，且解连续依赖于初值 把上述局部适定性结论用到( 0 6 ) ，并且利用工2 和日2 守恒可得如下结论： 定理2 1 2 ( 整体适定性) 下述结论对f o 础成立： 0 ) 当0 4 且盯士或, u v 一 s s ，lii，、_l 前言 9 当p p 0 j 2 ，灿p 0 ，并且0 盯 0 使得 初值问题佃印在空间g ( 卜卅；h “( 兄”) ) n c l ( 【一z 明；l 2 ( r n ) ) 有解，且解连续依赖 于初值 ( 3 ) 在第三章，我们研究两类各向异性的高阶s c h r s d i n g e r 方程的初值问鼯( o 7 ) 和 初值问题( o 8 ) 对于问题( o 7 ) ，我们的主要结论如下： 足理3 1 - l ( 局部适定性) 对任意妒( ) h 。( 帮) ，必定存在