（基础数学专业论文）diracc算子特征值的下界估计.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 本文证明了w e i t z e n b f c k 型公式，并给出紧无边的黎曼s p i n 。流形上的d i r a c c 算子特征值下界的一些估计。最后，我们在注记中讨论了这些估计在证明w i t t e n 猜想方面可能的应用。 关键谰：s p i n 。流形，s p i n o r 丛，s p i n 。联络，d i r a c 。算子，特征值，w e i t z e n b i c k 型公式。 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ep r o v eaw e i t z e n b s c kt y p ef o r m u l aa n d g i v el o w e re i g e n v a l u e e s t i m a t e sf o rt h ed i r a c 。o p e r a t o ro nc o m p a c tr i e m a n n i a ns p i n 。m a n i f o l d sw i t h o u t b o u n d a r y i nt h er e m a r k w ed i s c u s st h ew i t t e n sc o n j e c t u r ea sa na p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：s p i n 。m a n i f o l d ，s p i n o rb u n d l e ，s p i n cc o n n e c t i o n ，d i r a c co p e r a - t o r ，e i g e n v a l u e ，w e i t z e n b 6 c kt y p ef o r m u l a i i 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：王丛日期；塑堕丝! 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：3 邀导师签名： 日 期：芝竺：! ! ： 第一章前言 d i r a c 算子是一个重要的微分算子，它在数学和物理中都占有重要的地位。 1 9 2 8 年，物理学家d i r a c 在1 十3 维m i n k o w s k i 空间上定义了d i r a c 算子，并 成功地预言了负电子的存在性，改变了我们对自然界的认识。不久b r a u e r 和w e y l 将d i r a c 算子的定义推广到任意维数的空间上。 d i r a c 算子严格的数学定义源于m a t i y a h 和i s i n g e r 的工作。他们在具有 s p i n 结构的黎曼流形上构造d i r a c 算子，而这个算予在a t i y a h s i n g e r 指标定理的 证明中起到了巨大的作用。 正质量猜想是宇宙学和广义相对论中一个重要的基本问题，丘成桐先生在上一 世纪7 0 年代末，利用极小曲面的理论给出了其证明2 8 。尽管这一证明非常漂亮，丘 先生也因此工作和c a l a b i 猜想而获得f i e l d s 奖，但由于用到了复杂的偏微分方程 的先验估计，其证明非常繁难，物理学家很难理解。w i t t e n 在8 0 年代初期，利用物 理学家熟知的d i r a c 算子，给出正质量猜想非常简单漂亮的证明f 3 1 1 。正质量猜想 的证明对广义相对论的研究造成了巨大的影响。 流形上微分算子特征值问题的研究，不但是偏微分算子理论中的一个基本问 题，也是微分几何中一个重要的研究方向。它的研究，有助于我们了解流形的几何 性质和拓扑性质( 参见 9 ，1 1 】) 。 近三十年来，对d i r a c 算子特征值的下界估计的研究很多。 由w e i t z e n b 6 c k 公式给出n 维紧黎曼s p i n 流形x 上的d i r a c 算子特征值下 界的估计： 如叔r a i n s ( 巩 其中s 是x 上的数量曲率。1 9 8 0 年，数学家f r i e d r i c h 1 2 1 通过对联络进行一些变 换给出了一个更好的估计： a 2 蒜b 瓣s ( z ) 如果给流形再附加上一些几何条件，则式( 1 1 ) 估计中依赖于维数几的系数c 。= 鬲墨雨可以给出更好的值。k i r c h b e r g 1 9 ，2 0 】证明了在k i i h l e r ，s p i n 复流形上，当 ；为奇数时，c n 可以取为百n + 2 ，如果；为偶数时，c r , 可以取为赢。对于四元 k i h l e r 流形，k r a m e r ，w e i n g a r t 和s e m m e l m a n n 【2 1 】证明c 。可以取为厕n + 1 2 。 a l e x a n d r o v ，g r a n t c h a r o v 和i v a n o v 【3 证明了如果在流形x 上存在一个平行 一形式，则c n 可以被c 一1 = 可n 磊- 1 面代替。随后，m o r o i a n u 和o r n e a 2 5 】将条件平 2 兰州大学硕士学位论文 行一形式弱化为长度为常数的调和一形式。他们猜测长度为常数这个条件也不是必 须的，并且给出如下猜想：具有非零第一b e t t i 数的n 维紧s p i n 流形的d i r a c 算 子的特征值满足： 如晶赌咻 但是很遗憾，c h r i s t i a nb h r 和m a t t i a sd a h l 7 】证明这个猜想是错误的。他们证明 只要适当选取流形上的度量，这个流形上的d i r a c 算子的特征值可以无限接近不等 式( 1 1 ) 中的下界。因此不论在流形上附加什么样的拓扑要求( 如上面对第b e t t i 数的要求) ，不等式f 1 1 ) 中只依赖于维数的系数靠都不可骀取更大。 近些年来，人们开始更多的研究一些特殊流形上的d i r a c 算子的特征值的估计 以及用特征值研究流形性质等。o h i j a z i ，s e b a s t i 6 nm o n t i e l ，张晓对嵌入超曲面， 超曲面，子流形，带边子流形上的d i r a c 算子的研究【1 4 ，1 5 ，1 6 ，l7 】作了一系列工 作。b e r n da m m a n n 和e m m a n u e lh u m e r t 【5 】证明对于一个具有黎曼度量g 的紧 s p i n 环t 2 ，如果它上面的s p i n 结构z 是非平凡的，则r ( 丁2 ，刀) = 2 亓，其中7 _ 是一个依赖于d i r a c 算子特征值以及流形上所有共形类的一个拓扑不变量。j e a n l o u i sm i l h o r a t 【2 3 】利用g 的根系给出g k 上的d i r a c 算子第一特征值平方公 式，虽然给出的结果很好，但对流形要求很严格，他要求g k 是一个单连通紧s p i n 内不可约对称空间，并且g k 上的度量是由g 的k i l l i n g 型诱导出来的。j o s o p a u l os a n t o s | 2 7 利用d i r a c 算子研究了一个单连通正定四维流形上的瞬子模空 间。e u ic h u lk i mf 1 8 1 研究了黎曼乘积流形与原流形上的d i r a c 算子的特征值的 关系。b o g d a na l e x a n d r o v 【4 l 在一个紧局部可约s p i n 且具有正曲率的流形上给出 了d i r a c 算子特征值的估计，尽管这个估计不是十分漂亮，但是他的方法却可以给 出该流形上的万有覆盖空间。 i a g r i c o l a ，t f r i e d r i c hf 1 1 ，h b a u mf 8 1 ，n a n g h e l 2 1 等对d i r a c 算子特征 值上界的估计也作了一些研究。 近十年来，d i r a c c 算子也开始显示出了它的重要性。d i r a c 。算子在研究四维流 形的微分结构的分类中起到了巨大的作用。四维流形微分结构的研究是微分拓扑中 的一个重大课题。8 0 年代初期，d o n a l d s o n 通过研究模空间 m = t b i b 为x 上的s u ( 2 ) 联络，聪= o n 证明了畔上具有不可数多种互相不微分同胚的微分结构，并进而定义了一系列的 不变量来区分四维流形x 上不微分同胚的微分结构，其中岔为s u ( 2 ) 规范群。但 由于s u ( 2 ) 是非交换群，因而其工作非常的困难。由于四维流形上一定存在s p i n 。 3 兰州大学硕士学位论文 结构，因而其上可以定义d i r a c 。算子。w i t t e n 运用此事实，通过研究模空间 m = 卜，j 蕊兰砑i 旧 重新得到了可以由d o n a l d s o n 理论导出的的所有结果，并且由于w i t t e n 理论是 u 0 ) 理论，其复杂程度远远低于d o n a l d s o n 的情形，所以有“d o n a l d s o n i so v e r ” 的说法。更为吸引人的是，w i t t e n 理论可以解决很多由d o n a l d s o n 理论不能解决 的问题，如1 1 s 猜想等。 目前为止，尚没有对d i r a c 。算子特征值研究的报告。在本文中，我们受n i e d r i c h 1 2 】和张晓等【l7 】研究d i r a c 算子特征值方法的启发，利用w e i t z e n b s c k 型公式 给出d i r a c c 算子的特征值的一些估计。今后我们还将对d i r a c c 算予作下面些研 究工作：第一，进一步对本文给出的特征值下界中的常数a 进行研究；第二，研究 d i r a c c 算子的特征值取到下界时流形的性质。由于s p i n 流形一定也是s p i n c 流形， 所以我们希望能找出只能用d i r a c c 算子而不能用d i r a c 算予刻画的流形的性质；第 三，对d i r a c c 算子的特征值上界给出的估计；第四，研究代数衄面上向量丛模空间 的s p i n 以及s p i n c 结构的存在性，如果存在，就在这个模空间上定义d i r a c 算子及 d i r a c c 算子，通过这些算子研究模空间的性质，并希望能将这些结果与a t i y a h 和 b o t t 通过y a n g - m i l l s 方程给出的模空间的性质f 6 1 作比较。 整篇文章分为三章，第二章是预备知识，它分为两个部分：微分几何，( 复) c l i f f - 一o r d 代数和( 复) s p i n 群及它们的表示。这两部分相对独立，分别介绍了我们必须 用到的几何和代数方面的基本知识，以使本文自包含。在第一部分，我们从最基本 的流形的概念开始，接着介绍了流形上纤维丛，向量丛，主、配丛的一些基本知识， 并着重介绍了切丛上的联络、曲率及其性质。在第二部分，我们引入c l i f f o r d 代数 和s p i n 群及其复化的定义，而后利用代数同构给出( 复) c l i f f o r d 代数的分类： c f ( y ) ：c f ( r m ) ： c ( 2 4 考m = 2 n 一 4 【c ( 2 “) o c ( 2 “) 当m 2 2 n + 1 其中d i m v ：m ，c l i f f o r d 代数的分类见定理( 2 2 2 ) 。最后通过它们的分类研究复 c l i f f o r d 代数的表示和复s p i n 群的表示。在第三章中，我们首先介绍了流形上的 s d i n c 结构以及s p i n c 流形的定义，然后利用复s p i n 群的表示构造s p i n 。流形上的 s p i n o r 丛，并定义了s p i n o r 丛上的s p i n 。联络、曲率，而后引出了d i r a c 。算子的定 义。接着，我们证明了w e i t z e n b s c k 型公式，并利用此公式给出d i r a c 。算子特征值 的估计： a 2 ；卿s ( z ) + ” 兰州大学硕士学位论文 其中a = m i n ( 帅) 丝 ；铲e 我们再利用f r i e d r i c h 1 2 1 的方法给出一个更好的估 计： 如可南毁+ 鲁a 最后，我们以注记的形式给出了d i r a c 。算子特征值的估计在证明w i t t e n 猜想方面 可能的应用。 5 第二章预备知识 本章的目的是使用尽可能少的知识对第三章需要用得的基础知识作介绍，以 使我们的文章自包含。 2 1微分几何 本节介绍微分几何中的一些重要概念：流形，纤维丛，向量丛，主丛，配丛以及 向量丛上的联络和曲率，并给出它们的一些基本性质。限于篇幅问题，我们没有介 绍微分算子和流形上的积分( 请参考 2 2 ) 。 2 1 1流形 这一节回顾了流形、定向流形及流形间映射的基本概念，并介绍微分几何中的 一个重要定理( 单位分解定理) 。 定义2 1 1 一个n 维的h a u s d o 彬的拓扑空间x 称为是微分( 光滑) 流形，如 果它满足下列条件： p jx 上存在一个簇“以，协) 忙d 使得 倒对任意i i ，阢是x 上的开集，并且u l ，阢= x ； 0 ) 对任意i ，恍：阢一即是一个同胚映射； 例对任意i ，i ，若识n 巧，映射 = 忱。啄1 ：嘞( 阢n ) 一慨( 以n ) 是无穷次可微的。 其中，( 阢，忱) 称为是坐标卡， ( 巩，忱) 1 i j 称为图册，开集玑称为坐标邻域， 映射协称为坐标函数，或者简称为坐标。今后如不特殊声明，我们所提到的流形 都是指微分( 光滑) 流形。 定义2 1 2 设x 是一个n 雏流形，如果x 上存在一个图册 ( 巩，忱) 1 i ) 使得对任意i ，j i ，或者矾n = 向或者 d e t ( 努) 础( 忱) 。，v p e 阢n 其中( ) a 表示向量的第血个分量，那么称x 为可定向流形，或者简称为定向流形， 否则称为是不可定向流形。 6 兰州大学硕士学位论文 定义2 1 3 设，：x y 是从m 维流形x 到仃维流形l ，的映射，如果对 x 上任意一点p 都存在x 上的一个坐标卡( u 妒) 和y 上的一个坐标卡( k 砂) ， 使得p 以f ( u ) c v 且 妒0 ，。q o 一1 ：妙_ 时 是无穷次可微的，则称映射，是一个可微( 光滑) 映射。 若y = r ，则称，为x 上的可微( 光滑) 函数，x 上所有光滑函数的集合记 为c p ( x ) 。若，：x y 是光滑映射，且它的逆映射也是光滑的，则称，是微分 同胚映射。 利用光滑函数可以给出光滑流形上的一个非常重要的定理( 单位分解定理) 。 定理2 1 4 ( 单位分解定理) 设x 是一个光滑流形，对于x 上的任意一个开 覆盖e = u d ，存在x 上的一个局部有限开覆盖 l = k i a n ) 以及一族函数厶c o 。( x ) 满足下列条件： f j j 饥么e l ，都存在矾。，使得kc 玑。； 俐v a n ，0 i o 1 ； 俐s u p p ( 1 ) = 万己雨丽丽c k ； “，v x x ，。n 丘( 。) = 1 。 2 1 2纤维丛 本节，我们先在流形上引入纤维丛的概念，再利用纤维丛之间的映射给出纤维 丛等价的定义。 定义2 1 5 一个纤维丛旧，7 r ，x ，f g ) 是由下列概念组成的： 门j 流形e 称为全空间； 偿) 流形x 称为底空间； 佃j 流形f 称为纤维； “，映射7 r ：e x 称为投射；x 上任意一点p 在7 r 下的逆向”_ 1i 昂型f 称 为p 点的纤维： 例李群g 称为结构群，它在f 上有左作用口：g f f 且满足条件： f l j 盯( e ，q ) = q ，v q f ； 一口( 9 1 ，a ( 9 2 ，q ) ) = a ( 9 1 9 2 ，g ) ，v 9 1 ，9 2 g ，v q f 。以后记9 q 兰口( 9 ，g ) i 俐x 上存在一个开覆盖 u d 和一个微分同胚映射协：以f 一7 r - 1 ( 阢) 使得 ”o 慨c p ，q ) = p ，称忱为局部平凡化映射。 7 兰州大学硕士学位论文 r 记奶( p ，f ) 三魄p ( 厂) ，映射妒i ，( ，) ：f 一昂是微分同胚，且t 。j ( p ) 5 吼- ，i 。，： f f 是g 中的一个元素。称t 蚶：阢n 一g 为转换函数。 注：如不特殊说明，我们所提到的概念都是指光滑的。 虽然有时两个纤维丛表示形式不同，但事实上却是同一个纤维丛，下面我们给 出纤维丛等价的定义。 定义2 1 6 设7 r ：e x 和一：e 一x 是纤维丛，如果映射，：一刀将 e 7 的每一个纤维乃映入e 相应的纤维f q 上，其中p x ，q x ，则称映射s 为丛映射。 定义2 1 7 设7 r ：e x 和7 r 7 ：e 一x 是纤维丛，如果存在一个丛映射 ，：e ，一e 是一个微分同胚映射，并且由丛映射，自然诱导出的底流形之间的映 射，：x x 是恒等映射，则称纤维丛e 与e ，等价。 2 1 3向量丛 本节引入向量丛以及向量上的度量的概念，并介绍了流形上一个重要的向量丛 一一切丛及其性质。 称纤维为向量空间的纤维丛为向量丛。 在给出一个重要的向量丛的例子前，我们先补充几个概念。 定义2 1 8 流形x 在点p x 上的一个切向量v 指的是满足下列两个条件 的映射 ：g 字( x ) 一酞： 一jv g ( ( x ) ，v a r ，v ( i + a g ) = u ( ，) + a 0 ) ； ，剀v ，g c 字( x ) ， ( ，9 ) = ，( p ) ( 9 ) + ( ，) g ( p ) ： 其中c 铲( x ) 表示在p 点的光滑函数的集合。 称集合耳x = i 是p 点的切向量) 为p 点的切空间，称t x 三u p e x 己x 为流形x 上的切丛。 例：n 维流形x 上的切丛t x 是向量丛，它的纤维f 是舯，结构群是 g l ( n ，瓞) = a 是n n 实矩阵l d e t ( a ) o ) 。如果x 是定向的，则结构群可 以约化为s l ( n ，豫) = a g l ( n ，r ) jd e t ( a ) o ) 。 定义2 1 9 设7 r ：e x 是向量丛。如果映射仃：u e 满足条件： 7 ro 盯= 1 ：u _ x 其中u 是x 的开集，1 是u 上的恒等映射，则称o r 为向量丛e 的( 定义在u 上的) 局部截面。 若u = e ，则称仃为e 的整体截面，记整体截面的集合为c 。( x ，司。t x 上的整体截面也称为切向量场。 8 兰州大学硕士学位论文 由向量丛7 r ：e x 的定义可知，对于流形x 上的任意一点p ，总存在p 的 一个坐标邻域u 使得7 1 - - 1 ( u ) 皇u ( 或) 。因此我们总可以在u 上取n 个实( 或复) 线性无关的截面，记为 e l ，) ，并称这些截面为向量丛e 的( 定 义在u 上) 的( 局部) 标架。 下面在向量丛e 上定义度量结构。 定义2 1 1 0 称g 是向量丛丌：e x 上的黎曼度量，如果g 在x 上的每一 点p 的作用 卯：7 1 - - 1 ( 力7 r - 1 ( 力_ 理 满足下列条件： 以j 线性性：纬，a v + b w ) = a g p ( u ， ) + b g p ( u ，t i ) ，v u ， ，w i f - i p ) ，a ，b r ； 偿，对称性：9 p ( u ， ) = 酆( 口，钍) ，v u ，”7 r 一1 ( p ) ； 俐正定性：v h ”_ 1 ( p ) ，跏( 仙，u ) 0 ，等号成立当且仅当“= 吼西，o ) ，其中忱 为p 点的局部平凡化映射； “jg ( s l ，8 2 ) g 。( x ) ，v s l ，8 2 d ”( x ，e ) 。 若流形x 的切丛t x 上有一个黎曼度量，则称x 是黎曼流形，并把这个度量 简称为x 上的黎曼度量。 设x 是个n 维黎曼流形，g 是x 的黎曼度量。选取x 上开集u 上的一 个标架 e 一，e 。) ，如果对于任意i ，j 1 ，n ) 有g ( e i ，勺) = ，则称这个标 架为标准正交标架。若x 是黎曼流形，则t x 的结构群可以约化为o ( n ) = f a g l ( n ，爬) f a a = a a = 曰 ，其中表示a 的转置。 如果向量丛e 是复向量丛，我们还可以定义该向量丛的另一种度量。 定义2 1 1 1 称9 是向量丛7 r ：e x 的厄米度量，如果g 在x 上的每一点 p 上的作用 g p ：7 1 - - 1 ( p ) 7 1 - 1 0 ) _ c 满足下列条件： 以jg n ( a u + b y ， ) = a g p ( u ， ) + 的 ，w ) 绵( u ， ) = 厕，v u ，u ? r - 1 ( p ) ； v u ，即，t j 7 f - 1 ) ，v a ，b c ； 阿v u - 1 ( p ) ，野( u ，u ) 0 ，等号成立当且仅当“= 慨( p ，o ) ，其中吼为p 点 一个邻域的局部平凡化映射； 例g ( s l ，8 2 ) o ”僻) ，v s l ，8 2 c ”( x ，e ) 。 如果复n 维流形x 的切丛t x 上有厄米度量，则t x 的结构群可以约化为 矿( n ) = 似是佗n 的复矩阵i a 小= a + a = e ) ，其中+ 表示共轭转置。 9 兰州大学硕士学住论文 2 1 4向量丛的联络和曲率 本节将继续对向量丛进行介绍。主要内容包括向量丛上的联络、曲率的定义及 其性质，切丛上特殊的联络、曲率的定义及其性质。 定义2 1 1 2 如果映射 v ：酽。( x ，t x ) 俨。( x ，e ) 一c 。( x ，e ) ：( ，w ) 一v 。w 对于任意彬啊，w ；c ”僻，e ) ， c 。伍，t x ) ，f c 。伍) 满足下列条件： 门j 砜对变元v 是g * 线性的； 俐v 。( m + ) = v 。m + v 。w 2 ， v 。( f w ) = 0 ，) w + ，v 。w ； 则称v 是向量丛7 r ：e x 上的联络。 由于任意向量丛7 r ：e x 上的局部联络都是存在的，并且光滑流形上都有 单位分解( 参见定理f 2 1 4 ) ) ，所以自然可以构造出e 上的整体联络。因此所有的 向量丛上都存在联络。 如果向量丛e 上存在黎曼( 或厄米) 度量，我们定义与黎曼( 或厄米) 度量相 容的联络如下。 定义2 1 1 3 设v 是向量丛e 上的一个联络，g 是e 上的黎曼( 或厄米) 度 量，如果联络v 满足务件： v 。g ( s l ，8 2 ) = g ( v 。s l ，8 2 ) + g ( s l ，v 。8 2 ) 其中v v c ”僻，t x ) ，v s l ，8 2 c ”( x ，e ) 。则称联络v 是黎曼( 或厄米) 联络。 定义2 1 1 4 设v 是向量丛e 上的联络( 不必是黎曼或厄米联络) ，如果映射 由下式确定 r ：c ”( x ，t x ) c 。( x ，t x ) c ”( x ，e ) 一c 。( x ，e ) ，口，甜) h 冗，口) 叫 r ( u ，w ) = ( v 。v 。一v 。v 。一v h q ) ，其中m ，口】= u 一u “ 则称r ( ，) 为v 的曲率。 注：如果“与 是x 上的切向量场，则 “，u 】也是x 上的一个切向量场。 命题2 1 1 5 设v 是e 上的联络，曲率算子r ( ，) 有下列性质： 俐r ( ， ) = - r ( v ，) ； 1 0 兰州大学硕士学位论文 例尺( u ，v ) ( f s ) = f r ( u ，”) ( s ) ； 俐r ( f u ，u ) = i r ( u ， ) ； 其申”， c 。( x ，t x ) ，d ”( x ) ，8 c 。( x ，e ) 。 下面我们介绍切丛t x 上的一个特殊的黎曼联络、曲率并给出它们的一些性 质。 定义2 1 1 6 设x 是黎曼流形，v 是t x 上的黎曼联络，如果v 满足条件： 【u ，u 】- v 。w v 。珏 其中v u ， e o 。( x ，t x ) ，则称联络v 为x 上的l e v i - c i v i t a 联络。 设r 是l e v i - c i v i t a 联络所对应的曲率，p 是黎曼流形x 上的任意一点，任取p 的个邻域上的局部标准正交标架 e 1 ，e 。) ，定义s ( p ) = 一r ( e l ，e j ，e t ，白) ) 为p 点的数量曲率。可以验证这个定义与局部标准正交标架的选取无关。 定理2 1 1 7 门j 每一个黎曼流形上有且仅有一个l e v c i v i t a 联络； 偿由l e v i c i v i t a 联络所确定的曲率有下面等式( b i a n c h i 第一恒等式l r ( u ， ) 叫+ r ( v ，叫) “+ r ( w ，u ) v = 0 如果取t x 的一个局部标准正交标架 e 一，) ，记r 州= g ( r ( 岛，e j ) e k ，e 1 ) 则我们有下面等式 p h j k t = 一吩删= 吼删，勘“+ 风吣+ 嘞批= 0 ( 2 1 ) 2 1 5 散度 本节我们先引入散度，l 2 伴随算子的概念，然后给出向量丛的黎曼联络和它的 l z 伴随算子与散度的关系式。这个关系式对于后面研究d i r a c 。算子的性质非常重 要。 由n 维流形x 上的切向量场 和切丛上的联络v 可以给出一个同态映射 t x t x ：”一v 。u ，把这个同态记为v ，称它的迹为u 的散度，记为 d i v ( v ) 讹c e ( v ”) = ( v 。”， ) 其中e 一，e n 是t x 的基，e i ，是对偶基，即满足条件( e “弓) = 。 注：这个定义是不依赖于基的选取的。 命题2 1 1 8 对任意，c o 。( x ) 和切向量场u c ”( x ，t x ) ，有 d i v ( f v ) = f d i v ( v ) + ( ，) 1 1 兰! ! ! ：! 垄鲎堡主堂堡垒查 下面先引入l 2 内积的定义，再介绍l 2 伴随算予的概念。若e 是一个黎曼( 或 厄米) 向量丛，g 是e 上的黎曼( 或厄米) 度量，对v 妒，咖c 。o ( x ，目) ，可定义它 们的三2 内积为 厂 ( 1 p ，妒) = g ( 妒，妒) d v 0 1 如果算子d ，d + ：a ”( x ，e ) 一g * ，e ) 满足条件 ( d + l p ，砂) ；( 1 p ，d 妒) ， 则称d + 和d 互为伴随算于。 定理2 1 1 9 设e 是黎曼向量丛，v 是e 上的一个黎曼联络，别 w s + 砜s = 一d i v ( 口) s 其中s c 。( 五e ) ，口：x t x ，既是砜的三2 伴随算子。 2 1 6 主丛，相伴丛 本节介绍主丛，相伴丛的概念，并给出一个判别相伴丛是否为向量丛的方法。 定义2 1 2 0 如果纤维丛( p ) ”，x ，g ，g ) 满足结构群g 在p 上有一个右作用 即群g 在p 上的右作用 p x g _ p ( p ，9 ) h p g ，坳p g g ， 满足下列条件： 以jp e = p ，v p p 1e 是g 的单位元； l j0 9 1 ) 9 2 = p ( 9 1 9 2 ) ，坳只1 ，9 2 g j f 3 ) p p ，p g = p 当a 仅当g = e ： 则称这个纤维丛为g 主丛，记为p ( x ，g 1 或p 。 例：设x 是一个n 维定向黎曼流形，t x 上所有正向标准正交标架所生成丛是一 个s o ( n ) 主丛。 定义2 1 2 1 相伴丛p g f 是一个纤维丛( p gf 17 r ，x ，g ，f ) ，并且满足下 列条件： 1 ) p 是gi 灶 俐g 在f 上有一个左作用； 俐p g f 三p f 一，其中( p ，) 一 乃是指0 ，) = 西或存在9 g 使得( p ，) = ( 两，9 。，) j 其中v ( p 1 ，) ，晡，) p f 。 1 2 兰州大学硕士学位论文 定理2 1 2 2 若f 是一个向量空间，且g 在f 上的左作用是线性的，则相伴 丛w ：p g f x 是一个向量丛，它的纤维为f ，结构群为g 。 2 2( 复) c l i f f o r d 代数，( 复) s p i n 群及它们的表示 本节介绍( 复) c l i f f o r d 代数，( 复) s p i n 群及其表示的有关知识，尤其是对 ( 复) c l i f f o r d 代数的分类和表示及( 复) s p i n 群的一些性质作了比较详细的讨论， 为第三章s p i n o r 丛的介绍做准备工作。 2 2 1c l i f f o r d 代数和s p i n 群及其复化 设y 是一个实n 维向量空间，g ( ，) 是v 上的内积， 8 l ， 是v 上的标 准正交基。定义矿上乘法运算如下： w + u = 一2 9 ( v ，”) ，v v ，w v 则此向量空间y 在这个乘法运算下生成一个代数，称为实c l i f f o r d 代数，记为 e l ( v ) 。在不发生混淆的情况下，我们有时将”伽记为 。c l i f f o r d 代数c l ( v 1 是一个2 n 维的实向量空间，它的一组基是： e j = b t l e “ 其中i = 1 ，- ，缸i o i 1 e 由 于葡。l ，是一个镜像反射，并且任意两个镜像反射的复合是一个旋转，所以可构 造出下面同态映射： a d ：s 川n ( v ) 一s o ( v ) 妒ha d 9 其中s 0 ( 矿) = a a l ( v ) ：”9 = g ，d e t ( a ) = 1 ) 。由于对任意妒s p i n ( v ) 有 j 瓯：a 如，所以我们仍将同态a d 记为a d ，由这个同态映射我们可得到下面事 实。 1 4 兰州大学硕士学位论文 一 命题2 2 10 一z 2 三s p i n ( v ) 骂s o ( v ) 一1 是一个正合序列，其中z 2 ： 一1 ，1 ，i 是含入映射。当d i m v 3 时，s p i n ( v ) 是s o ( v ) 的万有覆盖。 s p i n ( v ) 的李代数s p i n ( v ) = s p a n a v w l v ，伽k 口 ) 兰c 2 ( y ) ，由a d 诱 导的李代数的同态映射为 a d ：s p i n ( v )一s o w ) 一o d ( f ) 其中n d ( f ) ( ”) = 和一 f 。 称c l ( v ) 一c l ( v ) oc 为c l i f f o r d 代数c l ( v ) 的复化，也称为复c l i f f o r d 代数。给定y 的一组标准正交基 e l ，e 。 ，c l ( v ) 中的任意个元素都可写为 z = ，x l e l 的形式，其中e ，与前面定义同，z ，c 。自然地，c q v ) 上有一个厄 米结构 g ( x ，g ) = f z j 面 了 定义s p i n 。( y ) = e i o 茁i 口r ，z s p i n ( v ) ) 为s p i n 群的复化，记s p i n 。为 s p i 礼c ( 矿) 的李代数，则我们有如下结论： s p i n 。( y ) = s p m ( v ) oi r ， s p i n 。( y ) = s p i n ( v ) o z 2s 1 ，( 2 3 ) 毒中对( 妒，z ) ，( 妒，y ) s p i n ( v ) 固s 1 ，( 妒，。) 一( 砂，y ) 是指( 妒，嚣) = ( 币，y ) 或( 妒，z ) = ( 一妒，- y ) 。由式( 2 3 ) 得到两个正合序列： 0 一s 1 一s p i n 。( 矿) 骂s o ( v ) 一1 ， 0 一s p i n ( v ) 一s 撕舻( 矿) 鸟s 1 1 ， 其中这两个正合序列中的第2 个映射都是含入映射，映射a d 的定义与在s p i n ( v 1 上的定义相同，6 ( e 妒) = e 2 胡。 2 2 2( 复) c l i f f o r d 代数的分类 设y 是礼维的实向量空间，选取 o 一，n 。) 是v 上的一组标准正交基，建 立向量空间y 和2 一之间的同构映射 f ：v 一黔 a i 卜e 。 1 5 兰州大学硕士学位论文 其中岛是豫”中第i 个元素为1 ，其它元素为0 的向量。记职n 上的2 形式为 q ( x ) = 茁；+ + z i ，那么将同构映射，进行乘法扩充得到一个代数同构 c z ( v ) 型c z ( r “)( 2 4 ) c l ( v ) 兰c l ( r ”) ( 2 5 ) 一般的，记e f ( 豫n ) ，c f ( r “) 分别为e k ，c k ，记8 p n ( r “) ，s 印n 。( 豫“) 分别为 s 川n ( 礼) ，s p i n 。( n ) 。因此要研究c t ( v ) 只需对g f 。进行研究即可。关于舯上c l i f - f o r d 代数有如下经典结论： 定理2 2 2 将代数同构的符号记为= ，则有 f j jc l n + 8 = c k 0 g 2 8 ； f 剀从g f l 到e f 8 的l 舌 构关系如下： c l l = c ， c 1 4 = ( 2 ) ， c 1 7 = a ( 8 ) o r ( 8 ) c 1 2 = ， c 1 5 = c ( 4 ) ， c l s = r ( 1 6 ) ， c 1 3 = 丑o 丑， c 1 6 = r ( 8 ) ， 其中是四元数，聪( n ) 表示n 扎的k 矩阵，= 酞，c 或丑。 再根据c l ( r ”) = a f ( i n ) oc 的事实及下面引理 引理2 , 2 1 对任意竹，m n ，有 r ( n ) 瓞( m ) = r ( n m ) c o r 衄= c ( 2 ) ， 酞( 竹) o r k = k ( 札) ，c 魄c = c o c 亚o r 噩噩= r ( 4 ) 可直接得出c ( r - t ) 的同构关系如下： 定舭2 s c l m = 茎乳刚耋：鬈0 时。 下面给出具体的同构对应关系的几个例子： ( 1 ) 令e 1 与i 等同，得到c 1 1 = c ； 令1 ，e 1 分别与( 1 ，1 ) ，( i ，一i ) 等同，得到c l l = c o c 。 ( 2 ) 令e 1 ，e 2 ，e l e 2 分别与，五等同，得到g 如= 珏； 令1 ，e 1 ，e 2 ，e l e 2 分别与e ，口1 ，0 2 ，0 - 3 等同，得到c 1 2 = c ( 2 ) ，其中o - 】，0 - 2 ，o 3 是 p a u l i 矩阵 一i l 三) ，驴0 。：) ，印= 00 ) ， 1 6 兰州大学硕士学位论文 e l e 2 c 3 e 2 e 3 e 3 e l e l e 2 = ( - 1 ，1 ) = ( i ，一i ) = 匕j ) ；( k ，- k ) 得到c l a = 皿o 。将1 ，e l ，e 2 ，e l e 2 分别与( e ，e ) ，( 口1 ，一0 1 ) ，( 观，一观) ，( 等同，得到c l ( 3 ) = c ( 2 ) o c ( 2 ) 。 ( 4 ) 令 e t = ( o l 。1 ) e 。= ( ：) e s 一( ；j 。) e a = ( ：k 。) 则c l i f f o r d 代数与2x2 的四元数矩阵同构，即c l ( 4 ) = 狂( 2 ) 。 令 g l = e 3 = 一盯l 0 一毋 0 得到c 1 4 = c ( 4 ) 。 2 2 3复c l i f f o r d 代数及复s p i n 群的表示 c l i f f o r d 代数的很多重要应用都来源于它的表示，事实上这些表示很容易从上 节c l i f f o r d 代数的分类中得出。下面我们先从般的概念开始。 定义2 2 4 c 跣f f o r d 代数c l ( v ) 的一个复表示是一个c 代数同态 h ：c l ( v ) 一h o m ( 彤w ) 即要求h 是一个c 线性映射，且对任意妒，母c l ( v ) 满足h ( 妒妒) = ( 妒) oh ( 妒) ， 其中h o m ( w , w ) 是有限维向量空间w 上的所有复线l 生变换生成的代数。向量空 间w 称为c l ( v ) 复模。 在不发生混淆的情况下，我们有时把上面符号 ( 妒) ) 简记为 危( 【p ) ( 似) 兰妒伽三妒钳，( 2 6 ) 式( 2 6 ) 中的妒在w 上的作用 ( 妒) ( ) 称为c l i f f o r d 乘。 1 7 u 0 i 、耐 k u = = 1 | = 印 以 彩 印 令 、，p 、 沈0 、 、 宙o 2 o町。目 ，一 = = 龟 、。， o 川。咱 ，一， 兰州大学硕士学位论文 注：由于欧氏空间的复c l i f f o r d 代数在同构意义下有 = c ( 2 - ) 。删| | | ：黧冀时。 并且c l ( v ) = c l 。，所以c l ( v ) 有一个自然的复模w ，使得 h ：c t ( v ) 一h o m ( w , w ) 是复c l i f f o r d 代数c t ( v ) 的一个表示。 定义2 2 5 如果复模w 可以分解为非平凡空间的直和形式 w = m o 并且满足条件 ( 妒) ( 嵋) c 嵋，其中j = 1 ，2 ，v 妒c z ( v ) ，则称复c o r d 代数 c t ( v ) 的复表示h ：c t ( v ) 一h o m ( w , w ) 是可约的。在这种情况下，记 h = h l oh 2 其中b ( 妒) = 危( 妒) 1 ，j = 1 ，2 。 一个表示如果不是可约的，则称它为不可约表示。 命题2 2 6 复c a z o r d 代数c i ( v ) 的任意复表示都可以写为不可约表示的直 和形式。 我们所关心的复c l i f f o r d 代数的表示并不是所有的表示，而是不可约表示的等 价类。下面先引入表示等价的定义，然后再来讨论复c l i f f o r d 代数表示的一些性质。 定义2 2 7 两个表示b ：c t ( v ) 一l l o m ( w ；，w j ) ，= 1 ，2 称为等价的，如果存 在一个复线性同构f ：u ，1 一w j 使得对于任意妒c t ( v ) 都有f 。 l ( 妒) 。f 。= 2 ( 妒) 。 定理2 2 8r j j 礼n 阶复矩阵环c ( n ) 作为c 上的代数，在向量空问c ”上 的自然的表示h 是唯一的不可约表示( 其中唯一是指在同构意义下唯一xr 剀代数 c ( 札) oc ( 扎) 有且仅有两个不等价的不可约复表示，它们是 h 1 ( 1 p 1 ，妒2 ) = ( 妒1 ) ， 2 ( 妒1 妒2 ) = h ( a 2 ) 其中h 是复矩阵c ( n ) 在向量空间c “上的自然的表示。 由式( 2 5 ) ，定理( 2 2 3 ) ，定理( 2 2 8 ) 易得到： 推论2 2 9 在等价意义下，如果v 的维数是偶数，则c f ( y ) 有且只有一个不 可约表示；如果v 的维数是奇数，则c f ( y ) 有且只有两个不可约表示。 1 8 兰州大学硕士学位论文 当y 的维数是偶数时，将复c l i f f o